Гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя) с применением к задачам математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Гибридные интегральные преобразования

Фурье» Фурье, Бесселя)

§1. Гибридные интегральные преобразования

Фурье - Фурье - Вебера на полярной оси . .ЛЗ

§2. Гибридные интегральные преобразования Фурье

Ханкеля П-го рода - Фурье на полярной оси

§3. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода - Фурье - Фурье.

§4. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля И-го рода - Фурье - Фурье.

ГЛАВА П. Гибридные интегральные преобразования

Фурье, Бесселя, Бесселя)

§5. Гибридные интегральные преобразования Фурье

Ханкеля П-го рода - Вебера на полярной оси

§6. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода - Фурье - Вебера

§7. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля П-го рода - Фурье - Вебера.

§8. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода - Ханкеля П-го рода - Фурье

§9. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля П-го рода - Ханкеля П-го рода - Фурье

Одной из основных задач ускорения научно-технического прогресса является создание принципиально новых видов техники и технологии, повьанение производительности труда, освоение недр земли, океана, космоса, охрана и облагораживание окружающей среды, обеспечение надежной обороноспособности и достаточно высокого жизненного уровня населения.

Развитие и усовершенствование производства на современном этапе связано с широким применением композиционных материалов в разного рода технологических процессах, строительстве, радиотехнике и радиоэлектронике, сварочном производстве, атомной энергетике и космической технике. При расчете на прочность конструктивных элементов машин и механизмов, нагревательных устройств, зданий и сооружений, а также среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений возникает необходимость в изучении температурных полей и вызываемых ими упругих напряжений в кусочно-однородных телах, состоящих из нескольких материалов, имеющих разные физико-механические характеристики, в неоднородных телах. Важное место здесь занимает аналитическое исследование кинетики физических и химико-технологических процессов, расчеты элементов на кручение и изучение колебательного процесса под воздействием массовых сил. При этом инженерное исследование кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов идентичны задачам стационарной и нестационарной теплопроводности.

Поэтому определение температурных полей и температурных напряжений на современном этапе развития науки представляет существенный теоретический , практический и, в конечном счете, экономический интерес.

Этим обстоятельством и объясняется то исключительное внимание, которое уделяется вопросам теплопроводности в настоящее время. При этом значительно повышаются требования к точности определения температур и тепловых потоков. В связи с этим возрастает роль точных аналитических методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности, в ряде случаев позволяющих представить общее решение в виде, удобном для оценки теплового режима твердого тела, превалирующих факторов теплообмена. Особенно это относится к тепловым задачам обобщенного типа, когда классические аналитические методы математической физики становятся неприменимыми. Определенные трудности вызывают многомерные задачи (особенно в цилиндрической и сферической системах координат), а также тепловые задачи в слоистых телах.

Таким образом, возникает потребность решения достаточно широкого класса задач математической физики неоднородных структур. Последнее требует с одной стороны усовершенствования и модификации существующего математического аппарата, а с другой стороны -развития новых методов.

Проверкой достоверности информации о решении задач математической физики, как правило, служит решение соответствующей линейной задачи. Одним из эффективных методов решения линейных задач является метод интегральных преобразований. Наиболее распространенными среди них являются, ставшие классическими, интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Фурье-Бесселя, Вебера, Ханке-ля, Меллина, Лежавдра, Гильберта, Канторовича-Лебедева, Меллера-Фока [4, 10, 20, 33, 54, 60] . Оказывается, что для решения задач математической физики кусочно-однородных (неоднородных) сред может быть создан аналог интегральных преобразований, как эффективного метоца получения точного решения краевых задач математической физики неоднородных структур.

Впервые такие интегральные преобразования появились в математической литературе в 70-х годах нашего столетия в работах Уф-лянда Я.С. и его учеников f23,24,25 26] и были названы гибридными. В этих работах получены гибридные интегральные преобразования Фурье - Фурье на полубесконечном и конечном промежутке, гибридные интегральные преобразования Бесселя - Фурье и Фурье -Бесселя на полярной оси.

Методика развитая в этих работах была применена Процен-ком B.C. и его учениками для построения гибридных интегральных преобразований Фурье - Лежандра, Лежандра - Фурье, Фурье - Ханке-ля, Ханкеля - Лежандра [51, 52, 53, 54, 55] .

Характерной особенностью этих работ является рассмотрение случая лишь одной точки сопряжения (х-0. или ъ = Я0) в предположении наличия в ней только условий контакта:

CL у u<La = J-M*. сЬс |oe=CL ~ сЬс |ос = а

Однако, при осуществлении неидеального термического контакта, что естественно, первое из условий (I) имеет вид

2>

В задачах термоупругости для тел, обладающих симметрией, при осуществлении идеального механического контакта вместо второго условия (I) имеем условие [бб]

3) lOt^CL

-о

Условия (I), (2), (3) приводят к рассмотрению условий вида

Таким образом, структура (I) оператора сопряжения, принимающего участие в задачах, неохватывает даже таких практически важных условий сопряжения как неидеальный механический контакт на стыке цилиндрических или сферических поверхностей в задачах термоупругости. Более того, не всегда четко выписаны правила действия прямого и обратного оператора интегрального преобразования. Последнее означает отсутствие логической схемы применения гибридных интегральных преобразований для построения точных аналитических решений соответствующих задач математической физики неоднородных структур.

Указанные обстоятельства определили направленность настоящей работы. При наиболее общих предположениях на структуры оператора Бесселя и оператора сопряжения гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя) при всевозможных сочетаниях операторов Фурье и Бесселя на декартовой оси и полярной оси построены в работе [ЗЙ . Обобщение интегральных преобразований Фурье -Бесселя и Вебера на случай полярной оси с двумя точками сопряжения приведено в работах [39, 4l] .

Предлагаемая диссертация посвящена построению, математическому обоснованию и применению к задачам математической физики неоднородных структур гибридных интегральных преобразований (Фурье, Фурье, Бесселя) и гибридных интегральных преобразований (Фурье, Бесселя, Бесселя) при всевозможных сочетаниях операторов Фурье", Фурье, Бесселя и Фурье, Бесселя, Бесселя на полярной оси. Сущесо1-венную роль при этом играет метод дельтаобразных последовательностей, в качестве которых выступает либо ядро Коши, либо ядро Дирихле. В качестве ядра Коши выступает фундаментальная матрица решения задачи Коши для соответствующей сепаратной системы нестационарных уравнений теплопроводности параболического и В-параболи-ческого типов. Это позволяет выписать структуру спектральной функции, спектральной плотности и весовой функции, порожденных операторами Фурье и Бесселя сингулярных задач Штурма - Лиувилля на полярной оси с двумя точками сопряжения. Наличие же спектральной функции, спектральной плотности и весовой функции позволяет написать интегральные представления меры Дирака, порождающие как известно структуру прямого и обратного интегрального преобразования.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы

Основные результаты» полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Методом дельтаобразных последовательностей, в качестве которых служит ядро Коши, построены гибридные интегральные преобразования Фурье - Фурье - Вебера, Фурье - Ханкеля Б-го рода -Фурье, Фурье - Ханкеля П-го рода - Вебера, Ханкеля 1-го рода -Фурье - Вебера на полярной оси с двумя точками сопряжения.

2. Построены методом дельтаобразных последовательностей гибридные интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода - Фурье -Фурье, Ханкеля П-го рода - Фурье - Фурье, Ханкеля П-го рода -Фурье - Вебера, Ханкеля 1го рода - Ханкеля П-го рода - Фурье, Ханкеля 1Ь-го рода - Ханкеля 1-го рода - Фурье. В качестве дельтаобразной последовательности служит ядро Дирихле.

При этом сформулированы и доказаны теоремы о разложимости кусочно-непрерывных, абсолютно-суммируемых (с точно определенной весовой функцией) функции ограниченной вариации через ядра гибридных интегральных преобразований.

3. Сформулированы и доказаны теоремы о наличии основного тождества интегрального преобразования дифференциального оператора, позволяющего применять полученные интегральные преобразования для построения в замкнутой форме решений соответствующих сингулярных задач математической физики неоднородных структур.

4. В качестве применения полученных интегральных (Фурье,Бесселя) приведены: а) задача вычисления значений полипараметрических несобственных интегралов; б) задача о структуре нестационарных полей, возникающих в кусочно-однородной полубесконечной пластинке в результате действия сосредоточенного на одном из участков теплового источника; в) задача о структуре волн, возникающих при колебании кусочно- однородной струны в результате воздействия на каждом участке струны возмущающих сил; г) задача о структуре упругих полей, возникающих при кручении кусочно-однородного стержня в результате силового воздействия, сконцентрированного на одном из участков стержня.

5. Проведен численный расчет на ЭВМ ЕС-1022 структуры нестационарного температурного поля в кусочно-однородной полубесконечной пластинке в зависимости от физико-механических параметров и численный анализ структуры упругого поля, возникающего в кусочно-однородном стержне при кручении.

6. Теоретические результаты работы состоят в следующем: а) получены гибридные интегральные преобразования (Фурье, Фурье, Бесселя) и гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя, Бесселя) на полярной оси с 2-я точками сопряжения; б) предложена логическая схема применения гибридных интегральных преобразований для построения точных аналитических решений соответствующих задач математической физики неоднородных структур.

7. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы как математический аппарат для решения широкого класса сингулярных задач математической физики неоднородных структур. Решение, полученное в замкнутом виде, может быть использовано с помощью ЭВМ в инженерных расчетах»

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979. 832с.

2. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел -М.: Физ-матгиз, 1963. 688с.

3. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука, 1966. - 368с.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, - 243с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. Харьков: Вица школа, 1984. - 120с.

6. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1968, - т.1. -296с.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований: В 2т. М.: Наука, 1969. 1970 -T.I - 343с., Т.2 - 327с.

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функции и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.- 480с.

9. Белова Н.А. Об одном разложении в интеграле по сферическим функциям первого и второго рода // Диф.уравн. 1969. т.5 Вып. II. С. 2096-2100.

10. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962.- 360с.

11. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций /. Итоги науки и техники ВИНИТИ Мат.анализ. 1982. Т.20. - С.78-115.

12. Быблив О.Я., Ленюк М.П. Интегральные преобразования Ханкеля П-го рода для кусочно-однородных сегментов //Известие вузов Математика. 1987. № 5 С. 82-85.

13. Быблив О.Я., Ленюк М.П. Гибридные интегральные преобразования Вебера для кусочно-однородной полярной оси // Известия вузов Математика. 1987. № 8. G. 3-II.

14. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука. 1965. - 588с.

15. Вирченко Н,А. Об одном свойстве обобщенной присоединенной функции Лежандра 1-го рода //Вычисл. и прикл. мат. Киев, 1982. № 48. - С. 34-38.

16. Вирченко Н.А. Парные (тройные) интегральные уравнения. К.: Вища шк. Из-во при Киев ун-те, 1989. - 160с.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1 М.: Иностр.лит., 1949. - 799с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 528с.

19. ГрадштеЙн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100с.

20. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: П4ФИЛ, 1958.

21. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 542с.

22. Эфрос A.M., Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков.: 1937.

23. Ефимова И.Т. Некоторые задачи теории теплопроводности для двухслойной среды// МФК. 1968. Т.Х. - № I.

24. Ефимова И.Т. Некоторые интегральные преобразования на составном промежутке и их приложение к решению краевых задач для слоистых сред: Дис.канд.физ.-мат.наук. Л.: 1972. - 150с.

25. Ефимова И.Т. Об одном классе сингулярных задач, разрешимых с помощью специальных интегральных преобразований по цилиндрическим функциям /У Диф.уравн, 1972. Т.Ш. Вып.5. - С. 817822.

26. Ефимова И.Т., Уфлянд Я.С. О кручении составных цилиндрических стержней //Изв. АН АРМ.ССР. Механика. Т.ХХШ. № 3.1970.

27. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.- М.: Наука, 1974. 399с.

28. Камынин Л.И. О существовании решений краевых задач для параболических уравнений с разрывными коэффициентами //Изв. АН СССР Математика. 1964. Т.28. * 4.

29. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. - 287с.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968.- 800с.

31. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.- 710с.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736с.

33. Лебедев Н.Н. Некоторые интегральные преобразования математической физики: Автореф.дис. -док.физ.-мат.наук. Л., 1951.

34. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физ-матгиз. 1963. - 358с.

35. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. 0 разложении произвольной функции в интеграл по присоединенным сферическим функциям // Прикл.матем. и механ. 1968. Т.32. - № 3. - С. 421-427.

36. Ленюк М.П. Интегральные преобразования Фурье Бесселя и Вебера для кусочно-однородной полярной оси. - Киев.: 1985.- 64с. -(Предринт)/ АН УССР, Ин-т математики; № 85,90).

37. Ленюк М.П, Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред. Киев.: 1985. - 60с. (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; № 85).

38. Ленюк М.П. Гибридные интегральные преобразования (Фурье

39. Бесселя, Бесселя Фурье, Бесселя - Бесселя, Вебера - Фурье, Вебера - Бесселя). - Киев, 1985. - С.60 (Препринт У АН УССР. Ин-т математики; № 85.28).

40. Ленюк М.П. Гибридные интегральные преобразования Бесселя (Случай двух точек сопряжения)/ Начальные краевые задачи теплопроводности. Киев, 1987. - С. 12-23 (Препринт /АН УССР. Ин-т математики; № 87.43).

41. Ленюк М.П., Быблив О.Я. Интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода для кусочно-однородных сегментов с применением к задачам математической физики II Вычисл. и прикл. мат.- Киев, 1988. Вып. 65. - С. 24-34.

42. Ленюк М.П. Гибридные интегральные преобразования Вебера (еду-чай двух точек сопряжения). Киев, 1987. - С. 34-59 (Препринт У АН УССР. Ин-т математики; № 87.43).

43. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для дисспа-тивного волнового уравнения Бесселя. Киев» - 1983. - 61с. (Препринт / АН УССР. Йн-т математики; № 83.3).

44. Ленюк М.П., Олейник Н.П., Романович Т.Н. Гибридные интегральные преобразования Фурье Фурье - Бесселя на полупрямой II Хмельниц. технол. ин-т. - Хмельницкий, 1987. - 18с. - Деп. в УкрНИИНТИ 07.07.87. № 1914 - Ук87.

45. Ленюк М.П., Олейник Н.П., Романович Т.Н. Гибридные интегральные преобразования Фурье Бесселя - Фурье на полупрямой II Хмельниц. технол. ин-т. - Хмельницкий, 1987. - 21с. - Деп. в УкрНИИНТИ 07.07.87. № 1913. - Ук87.

46. Ленюк М.П,, Олейник Н.П., Романович Т.Н. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля П/го рода Фурье - Фурье II Хмельниц. технол. ин-т. - Хмельницкий, 1987. - 22с. - Деп. в УкрНИИНТИ 22.12.87. № 3277 - Ук87.

47. Ленюк М.П., Олейник Н.П., Романович Т.Н. Гибридное интегральное преобразование Бесселя Фурье - Фурье на полупрямой УУ Хмельниц. технол. ин-т. - Хмельницкий, 1987. - 32с. - Деп. в УкрНЙЖШ 22.12.87. № 3276 - Ук87.

48. Ленюк М.П., Романович Т.Н. Гибридные интегральные преобразования (Ханкеля П-го рода Фурье - Вебара, Ханкеля П-го рода-Ханкеля 11-го рода - Фурье) УУ Хмельниц. технол. ин-т. - Хмельницкий, 1988. - 45с. - Деп. в УкрНИЙНТЙ 29.08.88 № 2128 -Ук88.

49. Лозановская И.Т., Уфлянд Я.С. Об одном классе задач математической физики по смешанным спектром собственных значений УУ Докл. АН СССР. 1965. - Т.164. - № 5. - С.40-42.

50. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983 - 424с.

51. Найда Л.С. Гибридные интегральные преобразования типа Хан.келя Лежандра У/ Мат. методы анализа динам, систем. - Харьков, 1983. » 7 - С. 40-42.

52. Найда Л.С. Гибридные интегральные преобразования Ханкеля -Лежандра УУ Мат. методы анализа динам, систем. Харьков, 1984, № 8. - С. 132-135.

53. Проценко B.C., Головченко А.В. Обобщенное интегральное преобразование типа Фурье Лежандра УУ Мат. методы анализа. Харьков, 1982. - № 6. - С. 26-28.

54. Проценко B.C., Кошовец П.Т. Гибридные интегральные преобразования Фурье Ханкеля и некоторые задачи кручения кусочно-однородных тел УУ Динамика систем несущих подвижную распределительную нагрузку. Харьков, 1978, № I. - С. 120-124.

55. Проценко B.C., Соловьев А.С. Некоторые гибридные интегральные преобразования и их приложение в теории упругости неоднородных сред. /У Прикл. механика. 1982, - Т.ХШ. - № 1.-6.62-67.

56. Романович Т.Н. Моделирование нестационарных температурных полей в элементах теплоэнергетических объектов // Тез. докл. научно-технич. конф. "Проблемы экологии и ресурсосбережения "Экоресурс I". - Черновцы, 1990. - С. 96-97.

57. Романович Т.Н.Вычисление одного класса несобственных интегралов методом гибридного интегрального преобразования Ханкеля -П-го рода Фурье - Фурье./Нелинейные задачи диффузии и несложного теплообмена.-Киев.1990.-С.41-50 (Препринт АН/УССР.№42)

58. Снедон И. Преобразования Фурье. М.: Иностр.лит., 1955.-668с.

59. Степанов В.В. Курс диффрренциальных уравнений. М.: Физмат -гиз, 1959. - 468с.

60. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724с.

61. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.:

62. Иностр. лит., I960. T.I. - 278с.

63. Титчмарш Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гос-техиздат, 1948. - 480с.

64. Трантер К.Д. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат,, 1956. - 204с.

65. Уздалев А.И., Брюханова Е.Н. Нелинейная задача теплопроводности для двухсвязной пластины.// ИФЖ. 1984. № 6. - C.I0-27.

66. Уфлявд ЯХ. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. - 402с.

67. Уфлянд Я.С. 0 некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики.// Вопросы математической физики. Ленинград, 1976. С.93-106.

68. Уиттвкер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Физматгиэ, 1963. - Т.2. - 516с.

69. Федорюк М.В. Интегральные преобразования обобщенных функций. // Итоги науки и техники ВИИШ. Мат. анализ. 1982. - № 20.- С. 78-115.

70. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1966. - Т. 3. - 655с,

71. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965. 328с.

72. Magnus W., OberheUiri^er F.,Soni R, P. Formulas andi Theorems jor the Special functions o{ WaAhema.tica.t Phusics.- fe,: HeideUer^ U.Y.: Springer ,«€6.- 508

73. Me ?er F.G-. Ueder eine (nit Ku^et ond СчЬгикг Funktioiven Vervandte Function undl ihire ftrwenelun^ in dler TheoKe Etebctricitats - Verteifuncj Matb. tonal*», tt,

74. V/imp T, ft Ctass oj inteqrats tra«${Grws fl Proc. Edinburgh tAath.Soc-1964-УЛ4,