Интегральные претворения для задач математической физики неоднородных структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

. АКДДЕН1Я НАУК УКРАШ / 3 [,]ДГ| ¡ССФСТШТ МАТЕМАТИК!

На правах рукопису

Л Е Н Ю К Михайло Павлович

1НТЕГРАЛЬН1 ПЕРЕГВОРШШ ДЛЯ 3 АШ МАТЕШИЧНО! вШШ НЭД0Р1ДМ СТРУКТУР

01.01103 - ыатематична ф!эика

Автореферат

■дисертацН на эдобуття вчвного ступени доктора фгаико-математичних наук

Ки!в-1993

°обота пиконана на кафедр1 диферннцТальних р1внянь HepnieenbKoro державного ун1верситету 1м. Ю.Федьковича

0ф1ц)йи'1 опоненти:

доктор ф1зико-матемагичних наук, професор БЕРЕЗОВСЫШ A.A. доктор ф1зико-математичних наук, професор 31РЧЕН:-ТО Н.П. доктор ф1зико-матемзтичних наук, професор ГЛУЩЕНКО A.A.

Проа!дна устзнопа:- '.Хари1Еський державний ун(версятет, м. XapKis- .

Захист в1дбудеться OvfoäJfrtS'iwz р> 0 _^£_год.

нэ гас)данн! спец1ал{эованоГ Ради jlfoiö. 50.Oü при 1нститут1 математики АН УкрзТии за адресою :. ¿52601 КчXз 1, МС'Л i вул.терещенк1вська, 3

3 дисертац!сю можна ознайомитися в б f бл i отец t (нституту

Автореферат роз(слано

ВченгЛ секретар спрц]ал{эованоТ Рэдя доктор ф1оит{о-чатемятичних. наук

-ПУЧКА А. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальность теми. У эп"яэку з широким засгосуванням компо-эицхйних матергалхв у техн1ц1, технологи, буд1вництв1, радхоелек-трон1ц! й зваравальному виробництвх при розрахунку на мххрпсть конструктивних елементхв машин, ' в" численних тех-

нхчиих задачах, що вини кають при конструпваннх машин i проектуван-hí ¿нженерних споруд, виникае необх!дн1сть у вивченщ,в паршу чер-ryfтемпературних полiв i пружних напружен!» як в однор!дних об"ектах так i в кусково-однорхдних чи неоднор1дних тхлах.

До найб!льш значних досягнень напог.о Bii<y вхдносяться роз виток едерних джерел eHeprií й освоения на баз i' ракетно! технхки ви-соких швидкостей польоту. В обох випадках дово дигься мати справу а надзвичайно високими температурами,зв"язаними з процесом одер-;эиння eHspril, а у випадку високошвидк1сних польотхв також з яви-цами аеродинаьйчного нагрхву. KpÍM високих pibhíb теыпзр&тури в робочих умовах часто виникавть також значнх градхенти температур. Наследном цих великих р1зниць температур е температур« напруження, якх школи являвть собою важливий фактор, що визначае довговхчшсть катерхалу.

Тому питания розрахунку температурних поя!в I викликаних ними температурних напружень являють 1стотний теоретичний, практичний i 6К0Н01!ХЧНИЙ хнгэрес, . •

ЯкЦО _ ¡взяти ДО уваги, що ДО рхвнянь (систем р!вНЛНЬ^СТаЦХО' нарнох i нестацхонарно! теплопровхдностх та пружкостх (термопруж-hoctí ) ', зводиться досить широкий клас задач математичнох фхзики f те, що nepeaípKou достов1рност1 ÍH$oj»aiüí про розв"язок задач иатематично! ф1зики служить, як правило, розв"язок в!дпов1днох xíhíüho! задачг, то ыи повиннх мати у своему арсенал! досить ефективний математичний апарат побудови точних анал1тичних роэв"яз-kíb íiHÍfefflx задач.

Одним з ефективних метод!в розв*язання крайових.задач мате-матичнох ф!эики стае не«ОД 1нтегральних перетворень, народасений методом роэд{ления зы!нних, що виник в роботах ®ур"е Ж.Б.»Пуанкаре A. i Шварца Г.А. 1сторично розвинулися t стали класичними !н^егральн! перетворення Фур"е,Лапласа,Фурпз-Весселя,Вебера,Мел-л!на, Лежандра, Пльберта ,Меллера-8ока .Канторовича-Лебедева, Хан-келя i 1н. Вони ycnirno працйють при розвйлзанн1 задач математичнох ф£зики однор!дних структур.

3 гостроэ потребою на сучасному етагц науково-техшчного прогрзсу в разв"язанкх й дослгдеазннх аиракого класу задач мате-матичнох фгзики неоднорхдних структур виникла необххднхсть в побудовх таких штегральних перетворень, як1 б давали моилквхсть алгебрахзацгг даферешцальних рхвнянь з кусково-непзрервнши коеф1-цгентами.

Вперше TaKi штегральнх перетворення з"яшшшсь у математичн1й дхтератур1 в 70-х роках нашого стсипття в роботах Уфлянда Я.С.(х його учиIB ) .^Свое продовження вокл зкайяли у працях Лроценка Б.С. (i його учнхв ) . Характерною особливхст» цих роб it е розглзд Т1ль-ки одн!е? точки спряжения в прмуценш наявност: в Н1Й умов контакту, як1 не охоплюать навхть таких практично важливих умов,як умов невдеального тер(Лчного контакту та хдеального механичного контакту. При цьому не була вказана лог1чна схема застосування до розв"язання в1ДПов1Дпих задач матеыатичнох фхзики. Тому розв"язан-ня динашчних задач залишилися поза увагою.Ящо взяти до уваг-л, 40 найпростхыий композит мае дв1 точки спряжения, то ми повинн1 мати конструктив 1нтегрального оператора-перетворовача по мешай Mipi на трьохшаровому интервалi. В той же час приклади розрахунку терыопружних пол1В, електричних контурхв i т.д. в ортотропних i анхзотропних середоащах вкаэутоть на необххдшсть у ¡ктегральних пе-ретвореннях (г1бридних') на хктервалх ) з довхльним, але скЫ-ченним числом точок спряжения.

Не менашй итерес викликають зздаад хз зм1нними крайовими умовами i в негладких областях (.трикутник, прямокутник, призма, щрашда, цилхндр i т, д. ■)

Мета, роботи. Розробка загального методу побудови гхбридних 1нтегральних перетворень.i логхчно1 схеми застоЬування хх до типо-вих задач математичного анал1зу i задач математично! ф!зйки неоднорхдних середовищ. Побудова фуздамеятальних роэв"язкхв задач1 . -К.ош1--для-1нвархан'гних-оператор1в-на-спвц:альних-р1канових-многоЕИ--дах.

Наукова новизна. В якостх загального методу побудови мбрид-них штегральних перетворень запропоновано метод дельтавидних пос-л1доэностей (ядро Дхрххле, адро Komi ) . Розроблена схема интегрального зображення мхри Дхраяа, що ророджус пряме i обернене.гхбридне мтегральне перетворення. Побудовано гхбридн| хнтегральн1 перетворення, породженх ыожливйм розм1щенням в сполученн1; диферешцальних оператор!в Фур"з,Бесселя,Лежандра. Указана логхчка схема застосу-

вання побудованих г!бридних гкгегральних перетворень до разевания задач аналхзу 1 математичнох ф1зики. Побудовано фундаментальна розв"язки задачх КоШ1 для швар1антних парабол1чних, В -параболхчних, Г1пербол1чних 1 В~г1лерСол1чнкх р1внянь I систем рхвнянь на спецгальних р1манових многовидах.

Теоретична I практична цхншсть. Узагальненх класичн1 хнтегральнх перетворення Фур"е,Фур"з-Бесселя, Вебера I Ханкеля на випадок штервалу з ^ точками спряжения; побудована група гхбрид-Них штегральних перетворень, породжених на поляршй осх зодшвю1 Двома точками спряжения можливим спалученнда диферещцальних операторов Фур"е.Бесселя 1 Лекандра; на спецгальних ргманових многовидах, утворених топологччним добутком 1и —лисног р1маново1 поверхнх (У1г£«?о) I Си-О - вим!рного евкл}дового простору, побудовано фундаментальний розв"язок задач! Кош! для хнваргантних параболхчних, В -парабол4чних, г1пербол1чних г В-Г1пер(5ол{чних операторгв в розум1кн! Летровського , Запроаонована лог1чна схема застосуван-ня гхбридних хнтегральних перетворень для побудови точних аналйич-них розв"язк1В В1ДПОВ1дних сингулярнлх задач математичнох фхзики неоднор!дних структур. Одержан! результати можуть бути використанх як ефективний математкчний апарат побудови розв"язку досить! широкого класу сингулярних задач математичнох ф1зшад неоднор1дшк структур 1 математичного аналхзу. Написаний при цьому аналхтичний розв"язок носить алгоритмхчний характер 1 можа бути використаний а допоморов ЕОМ для числового aнaлiзy.

Деяк! хдег 1 результати дисертацгг вже знайшли застосування у кен-дидатських дисертащях Лакусти К.В. (м Лерн1вц1,1981) , Валькхвсь-кох ВЛ. (м.Чернхиц,1981") ,Делея.В,1. (м.Хмельницышй, 1935), Русакова г О.Я. (мЛернхвцх, 1943 ), 1еляг Л .К. (м.Черн1вц1,19<39) , Шинкарика МЛ. (ы.Тернопхль, 1990 ), Романович Т.М. (м.Хмальниць-кий, 1991), Котенка Н.В. (м.4ерн1вц1, 1991), Паскаря 0.0. (м.Тирасполь, 1992)..

Апробация роботи. Осноэнх результати дисертацхйно? роботи допов1дались 1 обговоровались: на наукових семшарах кафедри дифе-ренц1альних р1внянь I наукових конфэренцхях Чернхвецького державного ушверситету, на наукових семшарах вхд^лу1 нелшхйних коли-вайь г математичко! ф!зики 1н статуту математики АН Украши, на наукових сем!нарах в 1нститун ППММ (м.Льв1в") , в 1нститутх ПММ

(м.донецьк) , на науковому семнарг кафедри математично! ф1зики Кигвського ун1верситету, на М1ськоиу семхнар1 "Диференцхальнх р)внянняи 1х зэстосування"'мДи1в, Пол:техн1чний 1Н-т, кер1Вник семшару проф. В1рченко Нл1. ); на другому республхканському слмпозхуш з диференц1альних г гнтегральних ргвнянь (м.Одеса, 1973 ) , на всесоюзмй конференци з теор:! пружностг (м .<3 ревак, 1979 ), на друГ1й всесоюзна конфэренци "Термодинамика необратимых процессовЛг(м.Черн1вц1, ,19с34), на першхй (¡м.Львхв, 1933) , друг1й (ы.Льв1В, 1987) 1 трет1й (м.Льв1В, 1991) всесоюзних конференциях "Механика неоднородных структур"; на респу(ШкансьК1й науковгй конференцП "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения " (ы.Одеса, 1937) ; на другхй (м.Дрогобич,19с39) I третей (ы.Дрогобич, 1991) всесоюзних конференцхях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений", на всесоюзна кон-ференци "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (м.Тернопхль,19(39); на наукових конференциях "Нелинейные задачи математической физики" (м,Донецьк,1983,1985, 1937,1991; ¡и.Чернхвцх, 1939 ); на мхжнароднЩ науковШ конфе-ренцп "Дифференциальные и интегральные уравнения, Математическая физика й специальные функции'с(м.Самара,1992-) ; на 1У М1жрес. публ1канському симпоз1уш " Остаточные напряжения:моделирование и управление" (м. Пермь, 1992) , на м{жнародн1й конференцп , присвяченхй пам"ятх академхка Кравчука МЛ. (Кихв-Луцьк,1992 ).

Публгкац!I. По матерхалах дисертацН опубл{ковано 90 праць, Основнх результат« викладено у роботах [1-531 • 3 результат!в сушсних праць у дисертац1ю включено тхльки Т1 ,як1 належать автору дисертащ I.

Структура х об"ем робота. Дисзртацхя складаеться ¿з вступу, чотирьох роздШв, заключения I списку цитованох лхтератури.. Робота викладена на 329 сторхнках машинописного тексту.Бхблхог-рафхя утримуе 142 найменування.

. ОСНОВНШ ЗМ1СТ ДИСЕРГАЦП

У вступ1 до дисертаци обгрунтовано актуальн!сть теми, дано коротко оглад Л1тератури по теки дисертацП I зроблено опис одер-, жаних результате по розд^ах.Тут же/наведено' список кандидатсь--. ких дисертацгй, .в'иконання яких базувалося на катерхалах та адеях

даноï робота, I перелхк положень, що виносяться на захист.

I. У першому розд!л1 "1нтегральнг перигворення для кусково-однор^дних еередовищ"', що складаеться з семи параграф в, побудо-вано ядра прямих i обернених гнтегралышх перетворень,як1 уза-гальншть класичн! 1нтегральн! первтворення Фур"е,Фур"е-Бесселя, Вебера i Ханкеля на випадок штервалхв з точками спряжения. Ми виходиыо Ï3 того, що кожне 1нтегральне перетворення породжуеть-ся хнтегральним зображенням ^-функц11 ( Mipit Д1рака « Останна можна одержати як границя в розушнн! (ceHci ) reopiï узагальне-них функций дельтавидних посл1довностей, в якоотх яких служить або ядро Д1р1хле або адро Кошх -фундамёнтальний розв"язок задач! Кош1(фундаментальна фунгаця Komi) для сепаратно! системи класич-них piBHHHb теплопров!дност1 ' парабол!чного(й- параболхчного ) типу у в!дп0в1дних областях.

У першому naparpa$i штегральна формула Фур"s

що породжуе пряма

F = Sooi'a) G. 4-х - £ ftf ) (2)

i обернене r °° ~ i&X

■'F^çÇwl-ârif^^ (3)

хнтегральне перетворення Фур"е, узагальгаоеться на випадок декартово! oci з одш'сю точкою спряжения

О -оо

Звщеи маемо: ,

F. итЛ = S*3-?'00 w ** - (5).

* — 00

.00 ---, /V

Çtoc) УЫ^ 16od'X ~

'со

Тут Re.0" ") .означав дгАсну частину в{д виразу, -а риска зверху-

о

комплексне спряжения, 'ЗСэО-вагоаа фушсцхя, Ф^Лпектральна функция. Умови спряжения тут I дал1 мають' вигляд.

У другому параграф! методом дельтаввдно! поаодовност1 (ядро Дхргзсле") доводиться

Теорема Якщо фунгаЦя V виэначена на промхжку (ё0)оо), .кусново-неперервна, абсолютно сумовна I мае там обмежену вар1ац! то для осе I; = ¡¡^(^к) СЛи^60^ справедливе штегральне зображення

* Й<**^й*<>>]=¿А. (8 ) Тут п '

власна функц!я спектрально! задач! ¡Лтурма-Лхувглля

6?^-спектральна густина, ^Ох^вагова функция, 0(а) -одинична функцхя Хевхсайда.

3 1нтегрального зображення (8) одержуемо:

оа

Я^ 1 | 5 ^Ьо^га^зд^№ = С»)

Алгебру диферанцхального оператора й

дав можливхсть побудувати .

Теорека 2. Для двхчг неперервно ди$8ренц1ЙОБНОх на множит 1а фунщН ^(х) , що задовояьняе умовам слряиення (И),крайову умову ,

( зкикас на неск1нченност{ разом з пох1дною першого порядку,справедлива оснозна тотожН1с?ь гктеграяького перетворення диферен-Ц1ального опеоатора^: ■ *

г е.___1 ЙУ 1 Л А г. г-

- - X Г*¿я.

о "

^ Третхй параграф присвячеиий побудов1 систая власних чисел х звдповхдних ш аласних вектор-фуняцгй ка «шеищ

' "-'Л';-

задач! 13гур.:а-.'Нув!для:

СластпЕост! сиетеггз власш«пектар-<||у1шд!1

о

-ч 00 WM л ? OQ

дозволяють Сформулювати тверцження.

Теорема Стеклова . Будь-яка abíuí неперервно диференщйовна на множит функщя ,що задовольняе «pañoei умови ■ (17) i умови. спряжения (id) ,роэгортаеться у pÍBUOMipHO i абсолютно a6i«HHfl ряд Фур"е за системою ^ffajl;)

fía, ар re ¿Si

^Г<С)= pi líw^i9- b^aj^^hOrf«. (19)

Рад $yp"e (19) породжуе скхнченне пряме f^h. i обернене F-^ штегральне перетворення Фур"е на (И+1) »шаровому сегмент1 пРавилами !

F- t-fwl = dx (20)

¿n, р о ¿ i

р.-1 г-f-i = í- ^'У- 5 х<*>, си) V = Р-. 'i цч«,»^ 1

¡.Л"1"1>т'

а

Тут 11 Ч'вС} Яр || -квадрат норми власно! вектор-функцН.

У четвертому параграф! проведено уэагальнення интегралу $ур"е-Бесселя ^ со |

= ^ ! (23)

на випадок полярно! осг %7/ 0 з У1 точкаки спряжения. Теорема Э. Нехай функц1я *

виэначена, кусково-неперервна, абсолютно сумовна 1 мае обмежену вар{ац!ю. Тод! для

им

^ -ге и/й^М > ^

справедлива гнтегральна зображення

Г^ШУ су^ 6(0) 0(0 .

Тут вагова функция О ^^

б ~ 1 . - у 1

-спектрзльна густина, а компонент« X } спект-

рально: функцхг

е власними функгцяпи сингулярно:, спектрально! задач! Штурма-Л1ув1лля:

ч л „ Л , 9. а. V * 1V- 3 } ^гй, -г*- + (25)

Уз 4 « ^ ^ ^ 23- ^ у |

1нтегральне-зображення ^24) породжуе прдае

~ ?ГЛ) (28). 1 обернзне ■ ■ .

1нт£Гральне перетворення Фур"е-Еесселя на полярнгй ост з II» точкой отряження.

Побудова алгебри диференцгального оператора Грунтуеться на твевджених • -

Теорема 4. Якщо фунгаЦя ^ще С'^С1^ ) .задовольняе умовн*

спряжения{27) 1 умови* обмеження

то мае мхсце основна тотожнхсть шгегрального перетворення дифе-ренщального оператора :

Аналогхчно у п"ятому параграф! проводиться узагальнення Ытегрэла. Вебера > ^

£П-СЩ(Ъ0)\ - Х&ОМА ^ КрЩ&З(32)

на випадок полярно1 осх Ъу^-^О з И. точками спряжения. Теорема 5. Нехай функщя вкзначена , кусково-неперервна,

абсолютно 1Ктегровна1 1 мае обмежену вархацго на (Яо,^) Тод1 для ^ € ^ ( при 1?0> О ) справедлива хнтегральне зображення

а о ^ ¿33^,

, Спектральна фунщхя У^ ¿^АЬадовольняе систему (25) , уыовй спряжения-С27) I крайо^в 1: умовн

; л -спектральна гусгина* породкена спектральной зада- • чеяз Штурла-Лгувх для (25) , (27) , (34).. • . *•/! ' ^V ■ 1нтегральне зображення (33) породжуепрямеМ^ х обернене^Л£ ■ штёгральне .перётворенняг Веб&ра на'-пслярн1Й'Осх ЯЗ» О 3 точками спряжения: V * • •'."••. • •• ''

ГР0

=ъ )\[ я)ь*$(х\ (Зо)

К0

к ~ со

К 5 С36>

Основна тотожшсть набуваз вигляду:

У шостому параграф! побудовано пряые Нзи,' обернене сличение {нтэгральне перетворення Ханкеля ^-го роду на сегмент I з И. точками спряжения}

№3 н ^> (за)

Т 00 о

сад « %^ «»>

<№>^>3] =-+<&*„„^К'У' С40)

'' (ИЧ ви & Л , д

Тут "У^ ¿^^ЯО-власна Езктор~фунщ1я спектрально! задачг Штурма-Л1уз1лля на гложш

1Ж 1

1№ = {г.. -гА и^ки^н) ; а (4П

побудуватинепульойкл роЗв'лзок скстеу;^25) за уноваш» спряжения (27) £ крайовкш уцовами: ' .

За лог1чдазэ схемогз иоетого параграфд на сешент1 С Ко''®? К Р. С*э ) з Н/ точками спряжения побудовано скгнченш штр.гральнх перетворення Ханкеля 11-го роду:

Н* ^ Ге-Г'гЫ'г = £ , 143?

со

Г V = ад^^ЧГ-4«, (44)

— - р^ д/.

0держан1 результат« припускають узагальнення на ыножину функ-цхй 13 класу

Тотокшосп (31) , (37) , (40) 1 (45) доэволяють застосувати одержан1 хнтегральн1 перетворення до розв"язання в1дп0в1дних задач матеыатичнох фхзики кусково-одкорхдних середовищ.

П. ДругиП роздтл "1нтеградьн; перетворення з Нерозд1леншии эм1нни!ми"прясзячзнм£1 побудоз1 фундаментальних розв"яз1из задач; Кашх для хнваргантних вадюсно групи обертань навколо початку координат евшпдоэого простору Ег^ парабол¡чних, 6 -парабол 1чн их,' гшербол1чних 1 В-г1пербол1чша в розум1НН1 Петровського ргвнянь I систем ргвнянь вигляду^ 4

(т) с оа(">-. Тй(»«1

на р1манових многовидах — * "'И-Д. та (ГС^, ~ *

Дут ТЯ.^1 -рн:анова поверхня функци

аз = I ^ > г= Ц *

__ж УП-+РО 4 _ 1 I

Е »-а. = I >*»•"' ** ^ : ^ > -

| -г (с**,*,,..,,«*.,^: ^-б^оОд^М

Маратом побудови фундаментальних роз в"яз К1 в задач1 Кол! для р1внянь (46) 1 фундаментальних матриць розв"язк!В задач1 Кош! для систем ртвнянь 147) служать 1нтегральн1 зображення М1рн Д1рака .

Теорема о. Якцо при Судв-якону с> О для неперервно! за су куп-

HÍcto змхнних функцхх у , для якох -ytopo = 4 !нтвграл

piBHOMipHO зб!гаеться при t> £ до йичайног функци СгС+Л^ 5 ) , то в результат! Teopif узагальнених функцхй

- Q ¿4 v & • ■' © Ъъ ) . í4d)

Теорема 7. Яйцо при будь-якому £.? О неперервна за сукупнгстп змшних функцгя ) piBHOMipHO прямуз до одиницх при -t-»0t

i при -fc? & подв1йний 1нтеграл

^ VAR)

piBHOMipHO збхгаеться до звичайно1 функцП (ЗЧЧ,^?^^ ) , то в posyMÍHHi теорхх узагальнених фуницй

ХС)Ы• Íад,, . {в,

Теорема 3. Якщо функцхя -£04,задовольняз умови теореми i, то на многовид1 мае мхсце 1нтегральна зображення М1ри

Aiрака

СО I (50)

ДЗГт. 6 a: J

Теорема 9, Якщо функцхя задовольняз умови теореми 2, То на MHoroBHfli ь>аа мхсце хнтегралЬне зображення i.iipvt Д{рака

ttfb) >*<>+о от ^ Т (51)

. . jl. Скм^ Жлр^-ЪЩ 3 d л. .

&iíw» о в: ■

Уцих piBHOcTAX прийнятх пйзначення; • к- JUí/

R ^ 1-х- = [tV- 2/V^Jl1

квадрат вхддаЛ! mí» точками ос^ i c^v^--,^") '

-величина плоиц одинично!

сфер, в •

нормована функщя Бесселя 1-го роду д!йского аргументу, С/^5) -звичаНна функция Бессзля 1-го роду порядку ^ ;

Ж^рм)- й ™ зг+Ч! + ~7~В , с ЗГ-^ ' С/к сл5> -Чтг ч-к^-^й -«С

У 1 о\ 7 (т)

У'О-одиннчна фунгапя на ри;анов!й поверил '(Я-а. э

Фундаментальну роль при цьому Б1д:грають тотомюст1:

г-а* 1Ъ < г3, ^ *

Л, ЙГ £ А^З*1 = (52)

= №У

Тут функцгя -функцгя, чо в 2 - плоцин! з.ображуегься всади

зб1жним рядом, '

_"и—__5_-_:_■__:_!_._-_

Еиценаведен1 штегральн1 зображення мхри Д1рака дашть ыонлйвють

визначити 1нтегральн1 перетворения з неразделенный зм1ншжи типу Бохнера-Шестопала, як! внаслгдок тотожностей (52) задачу побудови фундаментального розв"язку задач: Кош! для р!вняиь(4б) 1 фундаментально! матриц! розв"язку задачх Коа! для систем (47)пркводять до побудови розвчязку задач! Ксш для эвичайних диференц!алы»к ■ рхвнянь 1 систем зэичайшх дйфзрекцгальних р!внянь.* ■■

В я.кост! приклад!в розглянуто основН! р!вняння *еорН поля:р!в-

няння теплопров1дноот1, система р1внкнь теорП пружностх,система р!внянь тепло-! масопереносу,система р!внянь, п;о онисуе збуреиня в"язко-пруяного середовища I т.д.

111. У третьоьу роздых Тхбриднх штегральнх перетворекня для неоднорхдних середови^" методом дельтавидних послхдовностей побудо-вано: а) на полярой ос1 з оян!ею точкою спряжения гхбриднх хнТег-ральнх перетворення (Пи) Ханкеля-1ур"е {"'Л) , Лежандра-Вебера I $ур"с-Лежандра (;3) ; 6} на полярнЫ ос: з дво\:а точками спряжения ПИ Ханкеля-Лежандра-Зебера (И) » Леяандра-Хан.-:еля-£ур"е 1§5) , . Хаккеля-5ур"егЗебора (¡о) ; в) на полярнгй ос1 з5>ггочьт:и спряжения Г1Л Бессе;гя-5>,р"ь--Еессэля-...-1ур"е-Бесселя ('//} .

. У кожному параграф! сформулзован1 х доведен: тэзреми про хнтег-ральне зображення кусково-нелерерзких, абсолптно-с^гюзннх (о точно визначеною ваговою функцхею) функцхй обмелено! вархапхх через ядра ■ побудован.их хнтегральнлх оператор! э, а також одержанI оснознх тотож-ност1 1нтегрального перетворення гибридного дифзренцхальнэго опера-тсра^з кетою застосузання побудованях Г1П для розв"язування вгдпо-вгдних задач математично! ф1зики неоднорхдних структур) .

Поскгльки теорема нооять хдентлчний характер, то наведемо одну э них.

Згхдао § о введемо в розгляд слектральну функцш

Уг-г/м = У^г^ б^ + Уаг?л) 9(^)9(7-^)+

+Угг?,*)

спектральн;/ густину

3.

! вагову функц10.

визначена, неперервна, абсолютно |нтегрована 1 мае обмежену варха-цЬ на (о^оо ).Тод! для ,

' Л . / < ...<■_ И \ I 1/П V /. ,

справедлива {нтегральнг зображення.

Шх > ^У^л^Ш^Р • (ьз) о о

Доведения. Ауикц» Л) I V- задо-

вольняють р!внякня:

■м •ф1

р!В1Исть (54) помноашш на Ъ ^ (ър , а р1вн!сть (55) -на * веднЫемо вгд перио{ другу:

Р1вн1сть (56) помножаю на Уд/'З^) ( а ргвнхсгь (57) -на 1' в1ДН1мёмо в1д першо! другу:. •

> А

, ЗДзьмемо деяке достатньо велике одело ,

.■» Внаслхдок

р!вностеЯ (бй) 1 (59) маемо :

4 ' ' (5Э)

Л-й <№> ■ ] дп.

Для довхльних додатних чисел С- I (С*с1) ; дов1льно'г' ск1нченох функцп , задано! на сегмент! 1 , знай-

деко величину штеграла .'

(61)

ос

Лодвхйний хнтеграл (о!") ен&слхдок ргвностх (63) напшаемо так:

Лоскхльки С I А. - дс.птнх числа, то для знаходження транши (52) скористаемося для функцхй У-к i йУъ аслштотичними

сиг.

формулами ■

НН* ^ ь- Г- <Р'

Безпосередньо маемо: ^

"{ад1

* ^ - ~ . Сб3)

Якцо функция ЧТЯ) неперервна, абсолютно штегравна 1 иаз обмежану вар1ац1ю на Ц , то постановка (63) в (62) з використанням леи РН'.ана х Д1р1хле приводить до рхвностх

с -С<( Ч>Ся^/ЭТ1,

Якщо фунюЦя Ч^А) володхе вэдеоказатши властивостями на ' Т0 00

s0 С&4)

Припустило телер, що функция

^'ЩУЪ^Я^Л) . (25)

Цомножшо (65) на (2) У^^ } , де^ -довхлыю до-датне число.,! проштегруемо по 'Ъ вхд 'г- о до 'Зггоо . Бкаслщок (34) пряходкю до рхвностх -

Надставивши функцию

■ ЧТя) = 4гр) Уср.» б-ц»^ _ __

у ргвихсть (55) одержуемо штегральне зображення (53) .

1нтегральне зобраагшня (53 ) породжуе ггбридне интегральна 1:еретворення Ханкеля 1-го роду -$ур"с-8ебера:

ОО

^ оо

^ = Сба)

Алгебру гхбридиого диферзац1ального оператора :

ад ^ ^

* + Ч/з

Дае можлив:еть пэбудувати основна тотэ.глхоть. Теорема И. Яйцо функщя задозольняз умоди-

спряжения, обмежена разом з першоа, похгдноаз в точцг £ = о >а . при ©о зникае разом з период поххдною як функция

— Ч^1** &г то мае ¡.цеце основна тотожпсть штегрального перетворення диференцхального оператора ЗД^ ^ :

Доведения проводиться' методом гатегрування частинаки з вико-ристанням властивостей функцхй <1), ; &сг ) .

* Останшй параграф цього роздглу приевячений побудов! на ; тютш! ; ; .■■.■■■•.'.'. .•''..;.-/...•' '

скшченних Г1брздних хнтзгральних перетворень Ханкеля-1-го роду-3ур|,5-%р,,е (й =о) I Ханкеля 2-го роду-Зур"е-Фур"е СЯ0>сО:

'V-' - 4- :■':.-•,'••■.• К-Ц ■:-'•■ • ' г ' ' ••'••: '■ .:■■ ''" Н $ ^ (?о)

«•А 4 «о ^ • . Ы-> ■■■■ ■

и>а. * И v^'VMl

Явно виписано трансцендентне р1вняння, структура власнох . вектор-функци та квадрат i'i норки . При цьому ефэрлульована теорема Стекдова i теорема про оснавну тотожнхсть.

Методика, эапрспонована у цьому роздьт:, дае можливхсть бу-дувати пбрлдн! 1нтегральк1 перетворення, породаенх хчбридники ;ишйними диференцхальними операторами 2-го порядку на кусково-однор1дному 1нтервал1 та ix алгебру (4дентичну алгебр: диферен-цхального оператора 5ур"е

Практика niflKasye, що досить обмелштися г1брлдниыи диферен-цхапьники операторами, в CTpyKTypi яких беруть участь диферен-Ц1альнх ' оператори iyp"e

F= А а /vV-

tkr' . Весселя о^-^д. % ¿ц

хЛежандра А^+^Фг^ ^Н'

Оператор F появляешься при ыоделюванщ ф1эико-механ1чних характеристик середавица за постгйшм законом ¡оператор ^ _ за степеневим законом, оператор Л. -за експонегацальним законом.

(Кг

1У. Четвертой роздхл "Типов! задач1 аналхзу i математичнох ф1зи-ки, що роэв"язуються методом Г1бридних 1нтегральних перетворень", носить прикладний характер. Вш складаеться з шести параграф1В.

У першому параграф! методом скаченного гхбридного штеграль-ного леретворёння Ханкеля 1-го роду-Фур"е-Фур"е обчислен1 суми полхпараметричнох cim"x функц1ональних ряд! в, члени яких вира-жаються через функцхх Бесселя i тригонометричш функцИ.

У другому параграф! методом гхбридного ¿нтегрального перет-ворення Ханкеля 2-го роду-Леяандра-Вебера обчислено полхпара-метричну схМ"ю невласних 1нтегралхв,п1дштегральн! функцхх яких виражагаться через функцп Бесселя i функци Лежандра.

Трегхй' параграф присвя.-чений розрахунку структурц нестац1онарного температурного поля в неоднорхднхй нашвбезмеж»-Hiil пластинх методом ПЛ Ханкеля 1-го роду-$ур"е-Вебера, яке

виникае в результат! дй' эосередженого на однхй з дыянок пластики теплового джерела.

Числовий анализ виконано на Е0!<1 ЕС-1022.

У четвертому параграф! методом Г1П Фур"з-Ханкелй 2-го роду-Фур"е розв"яэана задача про структуру пружних полги, як! утзорюють-ся при крученн1 кусково-однордаого щшндричного стержня у результат! дп сконцентрованого на однхй з дыянок стертая зусилля. Числовий анал1з розрахункових формул виконано на ЕО.М ЗС-1С22.

У п"ятому параграф! методом штегрального перетворення Фур"е на декартов!й п1вос1 з М, точками спряжения побудовано у замкнут!й форм! розв"яэок незв"язно! динам!чнох задач: термолруж носл для ()Х-И) -шарового пружного глвпростору. Числовому зка-Л1зу пхддаеться структура нестац!онарного температурного поля у двоиаровому пгвпростор!, ¡до виникае у результат: здхйснення теплового удару на меян пхвпростору.

У шостому параграф! методом штегрального перетворення Зебе-ра на полярой ос1 з 'Л. тачками спряжения побудовано

роэв"язок динаМ1чно1 задач! термопружностх для СК-М)-шарового симетричного простору з.скметричною порожниною, що включав 5 себе випадок як цилшдричнох (осьово!') симетрхх , так х оферлчнаI(центрально г) симетрт!' . При цьому штегральне перетворення Вебера зас-тосовуеться двхч!: для роэв"язання нестацхонарнс1 температурно! задачх I для роззяязання динагхчног пружнох задет.Лнал1зу п!дцаеться випадок двоаарового простору з цилхндричною порожни-ною.

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТ»! I ВИСНОЗсШ

1. Проведено узагальнення штегрального перетворення 5ур"е на випадок декартозо'х ос1 з одн1ею I двома точками спряженння, класичних хнтегральних перетворень Фур"е-Бесселя г Вебера на випадок полярнох осх з УЬ точками спряжения.

2. Побудовано штегральне перетворення Фур"з на декартов1й п!вос! х декартовому сегмент! заточками спряжения.

3. На сегментах IИ точками спряжения побудовано скшченнх г£бридн! хнтегральн! перетворення Ханкеля як узагальнення класичних штегральних перетворень Ханкеля на од-нор!дному сегмент!.

4. На полярнхй осх з одн!ею х двома точками спряженнл методом

zz

дельтавпдних посягдовностей аобудрвако Рхбрцдат хитэгральн! пе-р^творення, породжеиг'мооаЕик етиучйааш дкферанцгальних оператор! в iyp"e .Беесеяя i Яезшадра. хазбудовава на подярий ooi з 2ИЪ точками слрякення гхбридяого хнгьгрального леретворення Бесселя- ; Фур"с-Бесееля-...-5yp"c-Beccess шкззуз, ф заяролонойана мето- . дика дозволяе побудуаата г£5радаг штегральнх перетворення, по- ■ роджен: будь-якпк сподучбннш д^еренцхадьних. ояэраторхв £ур"е, Бесселя, Лежандра х т.д. на хнтзрзглг виэкаченкя з будь-яким сделок точок сг.ряканкя.

■5. На приклад! скшчекшга гибридного !гп,ехгрального перет- • ворення Ханкеля-5ур"е-5ур"е запропонований кетод побудови ск!н- , : ненних гхбридких. йгсегральних перетворень„порадасених сполученнда рхзнотипних лхнхйних дифзрзкцхальнкх onepatopis другого порядку. -Такх ¿ктегралыя перегворення ricHo характеризуемся наявнхегю теорем про дискреткий спектр i дискрегну фуккцхв.теореми Стеклова i теореми про асиовиу тотожнхеть !нтегрального перетворення дифе-ракц1ального оператора.

о. На спедхальнжс ртанових многоввдах (топологхчний добутох vyl- ллскох поверхш Рх&ана i (w -о-виихрного евклхдового простору) одержано хнтегральне зображення isipsi Дхрака як узаг&кькен-ня композицхх м!р Д!рака, породжеких вхдповхдао оператором Лапласа в Е^ i оператором Бесселя в . Це дало ыожливхсть для хнвархантних вхдносно групи обертань иавкодо початку вхдлхку Yh~ вияхрнога йзклхдозого простору парабояхчких, В -параболхчних.г!-пербол!чних i В- г!пербол!чких за Петровеьккм рхЕнянь i систем рхвкянь побудувати вхдповхдно фундамектальнх розв"гаки задач! Kaai i fäHf&s&asJtbHi матриц! pозв9язкгв з&дач! Koai.

f. Сфордуяьовано i доведено теореми про хнтегральне зобра-кенкл щусково-неперервшис, абсолютно суыовшв:(э точновшначецом вагозсэ &нщ1еэ) з обмежетав вархацхев фуккдй чзрзэ едра побу- :. -доазник гхбршах_1ктеградьшсс поретварзнь. - '

3. Запрзяонована ¿оНчна ехша застоеувшш --ЬКУрдаор fKter-pasbsos взратворень для р0зв"язаннп с5ёц1окаригх i иестащонаркж '. задач казсиатсчно! §1зией нзоднор1дах ) серз-

Ярвщ..Вдя цьс^у оенэшу рзяь евдхграа каяш!сть (коаиШ раз) ос-* кошох тоитаост! ¡штегрального перзтворзйня х^бредного дйгерш-jgiasbsoro ся^тсрз, л:э дйзваляз побуйува?« в!дпоз!дку 'йдау ел-

гебру, а, значить, виключити його з розгляду.

9. Р1зновиднгсть застосування побудованих 1нтегральних пе-ретворекь показано на тштових задачах матеыатичного аиалхзу (су-Мування функхцональних рад1в I обчислення невласних 1нтеграл1з) I математично! ф1зики неоднор1дних середовиц; нестационарна задача теплопров!дност1 для трьохскладово1 неоднор1дно1 нап1вбезмежно1 пластини, кручення трьохшарових неоднор1дних цилхндричних стерев, динам 1ЧН1 задач1 термопружностг для кусково-однорхдного (И+1)-ла-рового пхвпростору I (И+'П-шарового симетричного простору з симет-ричною порожниною . Побудовшп методом Г1бридних 1ктегральних перетворень анал1тичн1 розв"язки задач мають алгоритм1чну форму I можуть бути використанх (з допомогою-ЕОЫ) для числового аиалхзу (гнженерних розрахунк1в) .

Таким чином, в дисертацП побудовано I математично о б грунтовано гхбриднх хнтегральнх перетзорення, якх можуть .бути використанх як ефективний метематичний апарат побудови розв"кзку дос-татньо широкого класу регулярних х сингулярних задач математично! фхзики неоднорхдних структур х математичного аналхзу.

Основний ЗЫ1СТ дисертацп викладено в таких публхкацхях автора:

1. Гибридные интегральные преобразования Вебера для кусочно-однородной полярной оси// Изв.вузов. Математика.-1987.-А 3.-С.З-П («йвавтор Библхв О.Я ^

2. Интегральные преобразования Ханкеля П рода для кусочно-однородных сегментов// Изв.вузов. Математика.-1937,- $ 5,- С.32-85 (спхвазтор Вибл1з О.Я").

3. Интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода для кусочно-однородных сегментов с применением к задачам математической физики// Вычисл.и прикл.математика.—• 1933.-'? 65.-С. 24-34 (спхвавтор Библхв О.'Я.)

4. Гхбриднх скхнченнх хнтегральнх перетворення Ханкеля 1-го роду 3ур"е-3урпе у задачах математично! фгэики// Крайовх задач1 з рхзними виродкенннми х особливостями: 36.наук.прадь.-Черн:ецх , 1990.- С.123-137.

5. Гибридные интегральные преобразования (Весселя,Лежандра,Бесселя ) // Укр.. мат.журн.- .-1991.- 43, № б.- С.770-77Э.

6. Гибридные интегральные преобразования Бесселя (случаи двух точек сопряжения) // Начально-краевые задачи теплопроводности,- К.,1937,- С.12-33.-('Препринт/ М1 УССР,Ин-т математики,-

.87.43) .

7. Гибридные интегральные преобразования Вебера (случай двух точек сопряжения ) // Начально-краевые задачи теплопроводности.- К., 1937.- С.34-59.- ¿Препринт/ АН УССР,Ин-т математики; 87.43,) .

3. Гибридные интегральные преобразования (Фурье-Бесселя,Бесселя-Фурье,Бебера-5урье,Вебера-Бесселя)-К.,1935.-64 с. -(Препринт/ АН УССР. Кн-т математики; 85.23 ) .

Интегральные преобразования Фурье на кусочно-однородной полупрямой// Изв.вузов.Математика.- 1989.- К' 4.-С.14-13.

10. Задача Коти для инвариантных В -параболических операторов на Римановых многообразиях// Граничные задачи математической физики.- К.; Ин.-т прикл.математики и механики,1981.- С.62-64.

И. /¡нтегралсные преобразования с разделенными переменными (Вебера, Фурье-Бесселя, Лежандра-$урье ) - К.,1983.—55 с.-^Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 03.И ).

12. Интегральные преобразование с разделенными переменными (фурье, Ханкеля ) К., 1933.- 60 с.-(Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 83.4 ) .

13. Штегральные преобразования Фурье-Бесселя и Вебера для кусочно-однородной полярной оси.-К., 1935,- 64 е.- (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 85.30) .

14. Интегральные преобразования Зурье для слоистых полупространств/ Черновиц.ун-т.- Черновцы» 1933,- 31 с.-деп'.в Укр НИШТй,

№ 1293 Ук.-А.ВЗ.

!5. Интегральные преобразования Фурье на ограниченной слева полупрямой с точкой сопряжений/ Методы исследования дифференцй-

альных и интегральныхЛэператоровг€б ;науч-^тд^-у/-АН-УССР,--

Ин-т прикл.проблем механ. и математики.- К. :Наук. думка, *989.-СЛ27-132.

16. Интегральный преобразования Ханкеля 1-го рода для составных сегментов/ Черновиц.ун-т.-Черновцы, 1963.- 30 с. -Дел.в Укр. НИИНТИ № 1037 УК.-Д.83. , •

17. Интегральные преобразования Ханкеля 2-го рода для составных сегментов/Черноеиц.ун-т.-Черновцы, 1983.-28 ч.-Доп.в Укр.ШШГИ,

»3 765 Ук.-Д.бЗ.

16. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя.- К.,1963.-62 с.-(^Препринт/АН УССР Ин-т математики; 63.3) .

19. Исследование основных смешанных задач для диссипативного одномерного волнового уравнения 2-го порядка/ Черновицк.ун-т,-Черновцы, 1962.- 32 с.-Деп.в ЗИНИГЛ Г> 4131-62 Деп.

20. Конечные интегральные преобразования Зурье и задачи математической физики для составных сегментов//1Х школа по теории операторов в функциональных пространствах: Те^ . докл.-Тер-нополь,1964.- С.75-76.

21. Моделирование динамических термоупругих полей в многослойном полупросгранстве//1У межреспубликанский симпозиум "Остаточные напряжения: моделировение и управление";Тез; докл.-Пермь,

' 1992.- С.39-41.

22. Новое в теории интегральных преобразований//3сесоюзная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и мат, . .-г.. .физики":Теэ,{1с^1 докл. ч.1 .-Тернополь, 1939.-С.236-239'.

23. О дважды разветвленном фундаментальном релении задачи Коаи для одного класса 8 -параболических систем//Докл.АН УССР. Сер.А.-1971.- :?4.-С,306-309.

24. О разветвленном решении задачи "Йоши для одного класса гиперболических систем// Линейные и нелинейные краевые задачи.-К.: Йн-т математики.АН УСС?Д97{.-С. 168-178.

25. Один клас гнтегральних перетворень (Лежандра-Бесселя-Фур"е)// . Доповш АН УРСР, Сер.А.-1990.-Г' о.-С.12-16.

26. Один класс непрерывных гибридных интегральных преобразований// Докл.АН УССР, Сер.А.-1965.-}."' 5.-С.14-16.

27. Одна группа гибридных интегральных преобразований//5Сигр02Ьии? дС уАяа, грс-гг^^роЫьуъ сДе ^сг. армЯ-паД.а ар?йа&-& О.-Скц'иглю, 199Г.-С. 122-123.

28. Разветвленные фундаментальные решения задачи Коык для инвариантных ^-параболических ,Операторов//Мат4 ' физика и нел,шей-, ная.механика.- К.:Наук.думка, 1964..-С.57-73.

29. Построение методом Дельтаобразных последовательностей гибрид. ных интегральных преобразований (®урье-Фурье-Вебера,5урье-

' 'Ханкеля:2-го.рода-Фурье ,£урье-Ханкеля'2-го рода-Вебера ) .-;-Тирасполь, 1990.-76 с. ^спгвавтор Паскарь 0.9.^.

30. Гибридные интегральные преобразования (Ханкеля 2-го рода-Фурье-Вебера,Ханкеля 2-го рода-Ханкеля 2-го рода-$уръе) / Хмельницкий тзхнол.ин-т.- Хмельницкий, 1933,- 45 с. - Деп.в УкрНШТЙ Я 2126-У к. 83 (спхвазтоо Романович ТЛО.

31. Конечные интегральные преобразования (Фурье.Ханкаля,Фурье) с применением к задачам математической физики.-К.,1992.- 64 с.-(Препринт/АН Украины, йн-т математики; 92.12) (спгвавтор Трас-

ковецька Л.М.}

32. Интегральные преобразования в цилиндрически-эллиптической системе координат и температурные поля в эллиптических областях,- К.,1992.- 60 с.-(Препринт/ АН Украины, йн-т математики} 92.13) (спгвавтор Под1льчук Н.Б."),

33. Гибридные интегральные преобразования Лекандра.-Львов,1989,-

. 60 с.-(Препринт/ АН УССР. Ин -т прикл.пробл.механики и математики; • (сп!вавтор Шинкарик М.1.-).

34. Интегральные преобразования ¿елера-Фока первого рода на поляр. ной оси с одной точкой сопрянения/Д1ат. физика и нелинейная

механика.-1991.-Вып.1о.(50; .-С.33-63 (спхвавтор Шинкарик МЛ).

35. О дважды разветвленном решении задачи Коши для одного класса параболических систем/Акр.мат*журн. -1971.-23,, № I.-С, 110117- (епгвагор ¡Десгопал А.Ф.}. . •

36. Обойденная динамическая задача термоупругости для среды с ишметричной полостью// Зопросы прикладной термомеханики.-Киев: Наук6в|1 думка, 1979,-С. оЬ-73.

37. Общие конечные интегральные преобразования Ханкеля для полых сишетричных тал/ДЖ, 1930,- 38, о.-С.924-925.

33. Применение интегральных преобразований Ханкеля в термоупругости составных сегментов //Механика неоднородных структур;Тезбеа^ докл.первой Всесоюзной конференции.-К.:Наук^ . думка,1933,- . С .125. '

_3.9^_?асчет температурных полей в многослойных пространствах//Пятая Всесоюзная научно-техническая конференция "Состояние и перспективы развития средств измерения'температуры";Тез. " докл,-Льаов, 1934.-ТЛ.-С.212-213. . ,..-

40. Интегральные преобразования Фурье на кусочно-однородных неограниченных и полуограниченннх средах.-Киев, 1985.-60с,-(Препринт/АН УССР.Ин-т математики ;85.29) .

41. Один класс гибридных интегральных преобразований Бесселя,Бесселя,Зурье // Нелинейные задачи математической физики:Те:,,

• . докл.У1 республ'к конференции. -Донецк, 1967.-сВо .

42. Моделирование упругих полей кручения цилиндрических стержней// Математическое моделирование технологических процессов обработки

. материалов давлением: Тез.... докл.Всеросийской научно-техк. конференции.-Пермь,1990.-С.31 .

43. Решение задач термокеханики неоднородных структур методом гибридных интегральных преобразований ГСП // Механика неоднородных структур;Тез, докл.Третьей Всесоюзной конференции.-Львов, 1991.-В 2-х 4.-0.269.',.

44. Один класс гибридных интегральных преобразований//Третья Всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений"ГТез. докл./Вычислительный центр АЧ СССР.-Москва,

1991.-С 73 С сл1вавтор Пил:ш"юк ТЛ'/).

45. Интегральные представления функций ограниченной вариации через тригонометрические функции Бесселя и Лежандра//»1еждунар.науч... конф. "дифференциальные и интегральные уравнения.Мат^.— физика и спец.функции": Тез. . докл.-Самара,1992.-С.147-143. (сп1вавтор оилип"юк Т.М.").

45. Решение нелинейных задач математической физики методой гибридных интегральных преобразований/Донференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики".-Вторые Боголюбовские чтения";Тез. докл.-Киев, 1992.-СЗб г.

47. Фундаментальные решения для инвариантных уравнений с оператором Лежакдра на римановых многообразиях/ДПшародна конференция, присвячена пам"ят1 акад. М. П.Кравчука; Тез. доп .-&!1в-Луцьк,

1992.-С.-И .

43. Решение задач математической физики неоднородных структур методом конечных гибридных интегральных преобразований//Респ . научно-методическая конференция,посвященная 220 -летию со дня рождения Н.И.Лобачевскогр:Тез, ьдокл.-Одесса,1992.-В 2 ч.-Ч.2.-С.26. "; .

49. Сбчислення невласних 1нтеграл1в методом ггбридних гнтегральних перетзэрень Лекандра-Бесселя-$ур"е 1 Лежандра-5урме'-Бесселя.-Черн1вц1,1992.-49"с.-Деп.в УкрЮТл! „'А 743.^.92.

20. Разложение реыений смешанных задач для некоторых дифферен- . циальных операторов в частных производных по фундаментальным решениям задачи Кош: Дис.».канд.физтмат.наук.-К., 1971.-127 е.-Машинопись. . '

51. Узагальнена зв"яэна динам чна задача терыопружност1 для без-межно! плити//доп.АН УРСР.Сер.А.-1990.-1? б.- С.46-51,

52. СтаЦ1онарш 1 нестацхонарнх температурн! поля 8 багатошарових просторах 1 тйах.- 4ерн1вц1,1991»- 63 с.-Двп.в УкрНЩНТ!,

№ 17-Ук91.

53. Стацхонарнг I нестащонарн! температур«I поля в багатошарових кругових клиновидних областях.-Черн!вц!.1992.- 66 с.-Деп.в УкрШТЕ!, № 742- Ук92.