Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред

Айзикович, Сергей Михайлович

Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Айзикович, Сергей Михайлович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Автореферат диссертации на тему "Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред"

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2003

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета и в Научно-исследовательском институте механики и прикладной математики имени Воровича И.И. Ростовского государственного университета

НАУЧНЫЕ КОНСУЛЬТАНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Александров Виктор Михайлович; доктор физико-математических наук, профессор Белоконь Александр Владимирович. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических

|наук, профессор Горячева Ирина Георгиевна;

доктор физико-математических наук, старший научный

сотрудник Ляпин Александр Александрович;

доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Михаил Георгиевич. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский государственный университет

им. М.ВЛомоносова.

Защита диссертации состоится " 3 " июля 2003 г. в/Г** часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ростовском государственном университете (344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148).

Автореферат разослан мая 2003 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Боев Н.В.

йооЗ-А

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке и обоснованию новых эффективных математических методов решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.

Актуальность темы. Контактные задачи являются центральными в механике твердого тела, поскольку контакт - это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, и концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала. Аналитические решения могут быть получены только для очень ограниченного класса контактных задач, поэтому важно развивать численные и численно-аналитические методы чх решения.

Особое значение в настоящее время имеют контактные задачи для неоднородных сред, поскольку непрерывное изменение механических свойств по одной из координат характерно для многих тел, что связано с условиями их создания и эксплуатации.

Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Покрытия для реальных материалов достаточно сложные структуры, неоднородные по толщине, обладающие пористостью, различными свойствами на поверхности и в зоне, примыкающей к подложке.

Синтез современных покрытий направлен на создание все более

тонких покрытий сложной структуры (функционально-градиентных

или многослойных). Преимущества, связанные с увеличением срока

эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания функционально-

градиентных покрытий и функционально-градиентных соединений,

несмотря на усложнение технологии получения таких материалов.

.¡(ЛЦКОНЛДЬНАЯ ьИЬЛИОТЕКА | С.Петербург

3 5 ОЭ №Ф актА>^1

Развитые ранее математические модели классических однородных материалов их не охватывают, так как при наличии значительного градиента упругих свойств наблюдаются не только количественные, но и качественные различия поведения материалов с покрытиями.

Первые работы в области контактных задач теории упругости неоднородных тел, опубликованные в середине 50-х годов прошлого века, были связаны с расчетом фундаментов и оснований в строительстве, необходимостью расчета покрытий дорожных одежд, а также касались задач расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях.

Позднее, в конце 80-х годов, интерес к контактным задачам для непрерывно-неоднородных тел резко возрос в связи с развитием современных технологий, которые позволили получать покрытия с непрерывно изменяющимися упругими свойствами.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ как по механике многослойных, так и непрерывно-неоднородных сред. Обширный список работ, опубликованных до 1982 г., приведен в библиографическом указателе Колчина Г.Б., Фавермана Э.А. (Теория упругости неоднородного тела. Кишинев: Штиинца, 1977, 1987). Там же предлагается следующая классификация неоднородных сред: 1) слоистые среды (многослойные); 2) непрерывно-неоднородные; 3) статистические; 4) разнородные. Настоящая работа, согласно этой классификации, связана с разработкой методов решения контактных задач теории упругости для неоднородных сред второй группы: непрерывно-неоднородных. Она развивает научное направление в области неклассических контактных задач, созданное в Ростовском университете академиком РАН И.И.Воровичем.

Большое количество публикаций в области механики неоднородных материалов связано, с одной стороны, с актуальностью

проблемы и разнообразием задач возникающих на практике, а с другой стороны, с отсутствием эффективных методов решения краевых задач теории упругости для неоднородных тел в общих случаях неоднородности.

Отметим также, что исследование смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, теории консолидации, теории разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их исследования, являются общими для целого класса задач математической физики.

Цель работы состоит в 1) постановке и развитии методов сведения статических контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных сред к парным интегральным уравнениям; развитии аналитических методов решения парных интегральных уравнений, соответствующих этому классу задач; 2) практической реализации разработанных методов применительно к решению конкретных краевых задач с однородными и смешанными фаничными условиями, исследование которых другими методами менее эффективно; 3) проведении численного анализа для ряда конкретных моделей, представляющих самостоятельный практический интерес.

Методика исследования. Сведение рассматриваемых контактных задач к интегральным уравнениям основывается на использовании аппарата интегральных преобразований Фурье, Ганкеля и Меллина. Для численного построения трансформант ядер интегральных уравнений статических контактных задач обобщен метод модулирующих функций. При решении интегральных уравнений использованы асимптотические методы.

Научную новизну работы составляют следующие результаты.

1. В работе развит и реализован метод модулирующих функций для построения трансформант ядер интегральных уравнений статических контактных задач для непрерывно-неоднородных сред при общих законах неоднородности. Метод модифицирован для систем координат, отличных от декартовых. Практическая реализация метода выявила его высокую эффективность и позволила провести детальное исследование новых статических контактных задач для непрерывно-неоднородных сред.

2. Разработан и обоснован метод получения аналитических аппроксимаций трансформант, ядер парных интегральных уравнений этих контактных задач функциями специального вида. Построены аналитические приближенные решения установленного класса парных интегральных уравнений. Исследованы асимптотические свойства решений.

3. Впервые для кругового штампа получено в аналитическом виде выражение для формы осадки поверхности неоднородного полупространства.

4. Развитый в диссертации метод применен для задач изгиба балок и пластин на неоднородных деформируемых основаниях. Получены аналитические формулы для формы прогиба плиты, моментов, осадки вне плиты, контактных давлений. Доказаны двухсторонне асимптотические свойства приближенных решений.

5. Построено приближенное аналитическое решение для задачи с заранее неизвестной границей зоны контакта.

Достоверность результатов работы обеспечивается: строгостью

постановок задач аппарата математической теории упругости;

корректным анализом интегральных уравнений; физической обоснованностью моделей контактного взаимодействия; а также сравнением построенных решений в частных случаях с известными решениями для слоистых и однородных сред.

Теоретическая и практическая значимость. Научная значимость полученных в диссертации результатов заключается в разработке нового численно-аналитического метода решения контактных задач для непрерывно неоднородных сред; разработке и обосновании приближенного аналитического метода решения сингулярных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами для тел с неоднородными покрытиями. Результаты, полученные в работе, дают возможность делать расчеты и определять параметры контактного взаимодействия функционально-градиентных материалов. Ряд результатов может быть использован при расчете плит на непрерывно-неоднородных основаниях. Получены аналитические формулы для определения^ формы осадки поверхности основания вне плиты, распределение изгибающих и тангенциальных моментов в плите, формы прогиба плиты и распределение контактных давлений под плитой, что дает возможность производить анализ влияния неоднородности на жесткость грунтовых оснований в строительстве.

На защиту выносятся новые эффективные математические методы решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.

структур" (Львов, 1987); на Всесоюзной конференции "Системы автоматизированного проектирования фундаментов и оснований" (Челябинск, 1988г.); региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1990); на научном симпозиуме "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ереван, 1992г.); выездной сессии межведомственного научного Совета по трибологии при АН СССР, ГКНТ СССР и союзе НИО СССР (Ростов н/Д, 1990) .); на II,IV,VI и VII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 1998,2000 и 2001г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отчета рабочих групп по проекту INTAS-93-3513 и INTAS-93-3513Ext (Dep. МТМ, Leuven Katolieke Univ., Leuven, Belgium); 1996-1998), семинарах математических и инженерных факультетов университетов в Карлсруе (1997) - Германия; в Афинах (1996, 1998, 1999) - Греция, на 3-ей конференции по механике твердого тела (3-rd EUROMECH Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology), Королевский технологический институт, 18-22 августа, 1997, Стокгольм, Швеция; 21-23 мая, 2002, в Москве, на 434 Международном коллоквиуме «Контактная механика для тел с покрытиями» (EUROMECH Colloquium 434, Contact Mechanics of Coated Bodies), йа семинарах ИПМ АН СССР, на ряде республиканских и других конференций, на совещаниях и сессиях, на семинарах кафедры теории упругости механико-математичского факультета и НИИ механики И прикладной математики Ростовского госуниверситета.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит "из введения, 30 разделов, сгруппированных в 6 глав, заключения и списка литературы из 273 наименований. Общий объем диссертации 255 стр:, в том числе 53 рисунка и таблица.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор и анализ состояния проблемы, обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели исследования и основные положения, которые выносятся на защиту.

Первая и вторая глава посвящены контактным задачам для неоднородного полупространства и полуплоскости.

При постановке задач для неоднородного полупространства используется модель неоднородности по глубине специального вида -неоднородный слой (с произвольным законом неоднородности), склеенный с однородным полупространством.

Говоря о контактных задачах, следует сказать, что осесимметричная контактная задача для простейшего многослойного основания - двухслойного (слой на упругом полупространстве; между слоем и полупространством предполагается полное сцепление), рассмотрена впервые уже в работе Б.И.Когана (1957 г.), где для приближенного решения использовался метод коллокации. Задача о кручении такого основания жестким штампом рассмотрена в работе Д.В.Грилицкого (1961), в которой для построения решения задачи им использовался асимптотический метод «больших А» (по терминологии монографии Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.)

Плоская контактная задача рассмотрена в работе И.М.Вилкова (1963), решение получено методом коллокации. Много внимания контактным задачам для двухслойного основания (плоской, осесимметрйчной) уделено в работах Ю.А.Шевлякова, А.К.Приварникова, В.И.Петри шина, В.И.Ильмана, В.Д.Ламзюка. В них

рассмотрены случаи как полного сцепления слоя с полупространством, так и отсутствия трения между ними. При решении интегрального уравнения контактной задачи были использованы различные эффективные для «больших Л» методы: 1) метод коллокации; 2) метод сведения к линейной алгебраической системе путем аппроксимации полиномом регулярной части ядра интегрального уравнения; 3) асимптотический метод «больших Я», 4) метод сведения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и решения его методом механических квадратур.

Для решения практических вопросов, связанных с оптимизацией свойств закрепленных оснований, возникла необходимость исследования контактных задач в области малых значениях Л. Разработке таких аналитических и численно-аналитических методов и посвящена значительная часть данной работы.

Двухслойное основание подробно исследовалось в работах Г.П.Александровой, в которых решения контактных задач строились, используя методы «больших Я», а при малых значениях Л, определялось только «вырожденное» решение, полученное из рассмотрения интегрального уравнения, путем предельного перехода при Я—>0. Приближенными методами осесимметричная контактная задача для двухслойного основания исследовалось в работах W.T.Chen, P.A.Engel. Осесимметричную контактную задачу при наличии сцепления рассматривали В.М.Вайншлельбаум и Р.В.Гольдштейн. Работы В.С.Никишина и Г.С.Шапиро посвящены осесимметричным контактным задачам для кругового и кольцевого штампа, задачи рассматривались как при наличии трения или сцепления, так и без трения.

В работах И.Г.Горячевой и Е.В.Торской проведен анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном

характере нагружения (1994 г.),исследована периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием (1995 г.), рассмотрено напряженное состояние двухслойного упругого основания при неполном сцеплении слоев (1998 г.) и исследовано влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями (2002 г.)

В работе Б.И.Когана и В.Д.Зинченко (1969 г.) рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии неоднородного слоя с экспоненциальным законом неоднородности модуля сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона, сцепленного с однородным полупространством. Решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

При численной реализации для произвольных законов неоднородности использовался ряд подходов. В работе Ю.А.Наумова, Ю.А.Шевлякова, В.И.Чистяка, П.Х.Демченко, С.Я.Вольского, А.К.Приварникова, В.С.Никишина, Г.С.Шапиро и некоторых других непрерывная зависимость характеристик среды от глубины аппроксимируется кусочно-постоянными функциями (многослойными средами).

В работах Е.А.Кузнецова рассматривались контактные задачи для неоднородного полупространства и полуплоскости, у которых коэффициент Пуассона является произвольной функцией глубины, а модуль сдвига постоянный или зависит от глубины специальным

образом. Напряжения и перемещения определяются с помощью некоторой функции, удовлетворяющей неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка.

Наряду со статическими контактными задачами рассматривались и динамические контактные задачи. По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных законов непрерывной неоднородности были изучены в работах В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Н.В.Глушковой (неоднородное полупространство), В.А.Бабешко, И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой (неоднородный слой). Исследование динамических контактных задач для неоднородного полупространства и слоя отражено в монографии В.В.Калинчука и Т.И. Белянковой.

В предлагаемой работе рассматриваются только статические контактные задачи. В'данной работе решения контактных задач для непрерывно-неоднородного полупространства и полуплоскости в случае произвольного закона изменения коэффициентов Ламе по глубине в диссертационной работе были получены двухсторонним асимптотическим методом. Трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация аналитическим выражением специального вида находятся численно. После того, как аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения определена, его решение находится в аналитической форме. Аналитический вид решения удобен для исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Метод позволяет строить решения задач для достаточно широкого класса законов неоднородности.

При постановке задач для неоднородного полупространства используется модель неоднородности по глубине специального вида -

неоднородный слой (с произвольным законом неоднородности), склеенный с однородным полупространством.

Математически, в точной постановке, эти задачи сводятся к решению интегральных уравнений вида:

=/(*), w<i, (1)

-| -00

Jr(p)/x/p JL(«) J* (f)J* Cf)du = /(г); г < 1; к = 0,1, (2)

где L(u) имеет следующие свойства:

Ци) = А + Щ + 0(и2) при АфО (3)

L(u) = 1+1 + 0(и~2) при м-»оо (4)

В первой главе дана постановка задач I-IV. Дается постановка задачи 1 о чистом сдвиге полосовым штампом неоднородного полупространства, представляющего неоднородный слой с произвольным законом изменения неоднородности, сцепленный с упругим однородным полупространством, (задача I), [1]. Излагаются схемы численного построения трансформанты ядра интегрального уравнения.

Во втором параграфе ставится задача II о кручении жестким круглым штампом неоднородного полупространства (неоднородный слой, сцепленный с упругим однородным полупространством) [2] и в общем случае неоднородности для слоя приводится алгоритм построения трансформанты ядра L(u) интегрального уравнения вида (2) для к=1.

В третьем параграфе дается постановка задачи III о вдавливании штампа в неоднородную полосу, сцепленную с упругой однородной полуплоскостью, и приводится алгоритм построения трансформанты ядра интегрального уравнения.

Используя ' преобразование Фурье для задачи III, систему

уравнений равновесия в перемещениях можно записать в матричном виде:

f -Aw, (5)

где матрица А имеет следующий вид:

: 0 1 0 0 !| . ,.

i 22М + Л М' М' М + Лi| Will

-а- -а-— Ц

А о о о ii' w

_Л' М + Л 2__М_ 2М' + Л'1 :'w4!! а2М + Л а2М + А 2М + Л 2M+Al! ' '

Здесь А и М коэффициенты Ламе полуплоскости с глубиной

изменяющиеся по закону:

1) А = А0Ск), М = М0Ск), -Н<уйО (7)

2) А = А, = А„(-#), М = М, = М0(-Я), - оо <у <-Н (8)

Численное решение краевой двухточечной задачи строится методом модулирующих функций. Ищем w(a,y) в виде:

1 4 | '

w(a, у) = rf, (а)1, (а,у)еГ'У + d2 (а)я 2 (а, у)е,°'/ (9)

Здесь неизвестные вспомогательные векторы (/ = 1,2)

ограниченной вариации находятся из следующих задач Коши: Ил

~J=Aä,.-№ä„ -Н<у< 0 (/ = 1,2) (10)

1.5 х(а,у) = (1,«>1,от) (И)

,у = -Н

_ „ . , 2 А+ЗМ А+ЗМ 7 ч'

M«>v) =(ау,а+ау,- - +cty- a+a+azy)] (12) }=-" А+М Л+М

Функции d\{a) и d2(a) определяются из граничных условий:

rf, (а)(а (2) + ад (3))+ d2 (а)^2 (2) + <в»2 (3))= О di (а) I- Л(0)ш, (1)+(Л(0)+2М(0))а, (4)]+

+ </2(а)[- Л(())аа2(1)+ (Л(0) + 2М(0))а2 (4)]= ©0а

Здесь обозначено:

5М> = о = МЧ^Ч^Л^ ' = 1.2

Окончательно, трансформанту ядра парного интегрального уравнения (1)можно записать в виде :

Рассматривается также осесимметричная задача IV о внедрении жесткого кругового в плане штампа в неоднородное полупространство. Алгоритм построения трансформанты ядра интегрального уравнения аналогичен описанному выше для задачи III. В параграфе 5 приводятся некоторые численные примеры. В частности, на рис.1 приведены построенные с использованием алгоритма метода модулирующих функций трансформанты ядер для задач III и IV в случае, когда коэффициент Пуассона V = l/3, а модуль Юнга в неоднородном покрытии изменяется по глубине в соответствии со следующими соотношениями:

Ца) = V*(a,0) = d{a)ap)+d2(a)a2(3)

(14)

Ek(z) =

^(z) = l.l-z2oS ak =In(l.l-0.1A)/21n0.5, k = 3n, n = 1,2,3

Номер кривой соответствует значению и. Из рис. 1,6 видно, что чем быстрее с глубиной убывает значение модуля упругости в покрытии, тем быстрее с увеличением и убывает значение функции

Рис. 1.

трансформанты ядра /,(«), стремясь к единице.

В конце главы установлены общие свойства трансформант ядер, рассматриваемых интегральных уравнений. Это дало основание предложить аппроксимации их аналитическими выражениями вида:

(16)

Ци2 + А}

1 иг+п1

(17)

Доказана теорема о возможность приближения выражениями вида (16) трансформант Дм)

Заметим, что структура асимптотического решения контактных задач при больших Я, Я = На~\ где а- полуширина штампа для задач I, III (соответственно, радиус штампа для задач II, IV), Я- толщина слоя, определяется поведением Ца) при а —> со (Александров В.М., Белоконь A.B., 1967). Для непрерывно-неоднородного полупространства имеет место при а—><» представление (4),а для пакета однородных слоев ( Приварников А.К., 1973):

Да) = 1+0,5е~+ 0(е~2^ ), а оо (18)

Из (4) следует, что в общем случае непрерывной неоднородности решение при больших Я имеет вид ряда по степеням Я'1 и 1пЯ, а для многослойного пакета из (18) соответственно следует, что решение методом больших Я имеет вид ряда по степеням Я"2 .Это и показывает качественное отличие градиентных сред от однородно слоистых.

Во второй главе излагается двухсторонний асимптотический метод решения полученных интегральных уравнений задач I - IV, с транс формантами ядер обладающих свойствами (3), (4). Под двухсторонне асимптотически точным методом решения в данной работе будем понимать такой метод который позволяет получить асимптотически точные решения задачи, как при значениях характерного безразмерного параметра Я -» 0, так и при Д->оо. Метод является эффективным для всего диапазона значений входящего в ядро характерного безразмерного параметра ^. Построено замкнутое решение парных интегральных уравнений для трансформант ядер имеющих вид в (17), и затем, на основании теорем об

аппроксимации трансформанты ядра, предлагаемый метод переносится на рассматриваемый класс интегральных уравнений.

Доказывается, что построенные замкнутые приближенные . решения задач I—IV обладают двухсторонними асимптотическими свойствами при малых и больших значениях Л.

Пятый параграф этой главы посвящен определению формы осадки /(г) поверхности неоднородного по глубине полупространства для задачи IV. Для 1(а)еП^ обозначим форму осадки поверхности

Ниже приведено выражение для (г), при г > 1

/£(г) = 20(0)*

-1

л'

-ЕС.

] ^

агсвш-ч- У О В А~ I (г) Е

Г н — 1

А Л'ЧЪАЛ'1

И/™/и.

J = iL-Nl(ЯMj)(B2nЛ-1+M2J)

'В1 Л-1-А2 Я'2

I «,{

1 со%и I

¿=а

у»1 " о л/г2 —/2

Ш = \ 1 , -—'-Л, А, =

л/г1

Ч и

Т-1

N -В1*Аг

П —а-— й2 »2

В шестом параграфе приводятся численные примеры распределения контактных напряжений, осадок поверхности под штампом и вне области контакта для различных законов неоднородности.

На рис. 2-3 приведены графики функции %(г) = т(г)/т0(>),

характеризующей распределение контактных нормальных напряжений т(г) под штампом, вдавливаемым единичной силой в неоднородное

полупространство, при разных значениях Л = Н1а для коэффициента Пуассона V = 0,333, с модулем Юнга верхнего неоднородного по глубине слоя, изменяющегося по закону

Е(у) = Е0<р(у) -Н<у<0 ^

Где величина г„(г) - распределение контактных напряжений под штампом для однородного полупространства при Е(у) = для немонотонных законов неоднородности следующего вида

синусоидальный закон 1: р (7) = 1,1+зт(яу); (20)

синусоидальный закон 2: <Р2(у) = 0,1 -$т(лу). (21)

Рис. 2-3 соответствуют законам (20) и (21) соответственно. Цифры на кривых соответствуют значениям Я.

На рис. 4-5 приведены графики величины

Мг) =/Л(г)—(3&{0)У> - аггат-^ характеризующей изменение формы

осадки поверхности неоднородного полупространства в зависимости от

г-' для законов неоднородности (20) и (21) соответственно. Цифры на кривых соответствуют значению Я.

В третьей и четвертой главе рассматриваются контактные задачи для неоднородных покрытий, лежащих на недеформируемом основании.

Простейшая модель покрытия - это однородный слой или клин, сцепленный с недеформируемой подложкой.

Для упругого однородного слоя, лежащего на недеформируемом основании, хорошо известны работы российских ученых В.М.Александрова, И.Г.Альперина, В.А.Бабешко, М.Я.Беленько1 о,

A.В.Белоконя, С.Е.Бирмана, М.М.Бронштейна, И.И.Воровича,

B.А.Кучерова, С.А.Лутченко, В.И.Петришина, В.С.Тонояна, Ю.А.Устинова, Г.С.Шапиро а также зарубежных авторов 1.В.А1Ьеаз, О.М.СЫ\уе!1, АУ.Т.Кшреге, Р.Меуеге, Е.Ме1ап, Б.Р.БтМ, С.Р.\Уап£ и других. Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов. Это работы В.С.Тонояна, С.А.Лутченко;

Г.Я.Попова, М.И.Бронштейна, В.М.Александрова, И.И.Воровича, В.В.Копасенко, Б.И. Сметанина, W.T.Koiter.

Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г.Акопяна, В.Г.Блиновой, А.М.Линькова, М.С.Быркэ, В.Д.Ламзюка, А.И.Феденко, Б.М.Прокофьева (метод функций податливости), Н.Б.Сафаряна, Chen Dai-Heng (метод разделения переменных), G.S.Mishuris.

Специальные законы изменения неоднородности в клине были исследованы в работах R.E.Gibson, P.T.Brown, A.O.Awojobi,

A.Г.Акопяна, О.Н.Шинджикашвили, В.В.Лапенко, Г.Б.Колчииа,

B.И.Андреева, О.Д.Григорьева. Заметим, что рассмотренные модели неоднородных сред не достаточно точно отражают их реальные свойства, так как предполагают существование точек, в которых упругие модули равны нулю.

В третьей главе рассматриваются следующие контактные задачи:

V - о сдвиге полосовым штампом неоднородного по глубине слоя (§1);

VI - о вдавливании штампа в неоднородную по глубине полосу (§2);

VII - о чистом сдвиге полосовым штампом клиновидной области (§3);

VIII - о вдавливании штампа в неоднородный клин (§4). Решение этих задач сводится к построению решения интегральных уравнений вида

wrf—Ví(*<i)

},А (22)

m-ffcarndu

В пятом параграфе исследуются общие свойства трансформант L(u) ядер интегральных уравнений задач V-V1II, показано, что для этих задач трансформанты обладают следующими свойствами

L(u) = Au + Bu2+0(u3), и —>0 (23)

L(u) = 1 + С[М_| + с2и~2 + 0(и-3), оо (24)

Доказана возможность аппроксимации их аналитическими выражениями специального вида

= + (25)

В четвертой главе рассматривается класс парных интегральных уравнений, порождаемый контактными задачами для неоднородных полосы и клина, лежащих на недеформируемом основании.

"\Ф{и)К(и)е-и'Чи=2т%(х), ]х|<1

(26)

\Ф(и)е~'"хс1и = 0, <х>1

-ОС

(27)

и пАц1 +у„

Решение этого уравнения строится приближенным методом, позволяющим получить основные характеристики задачи в аналитическом виде. Приведено замкнутое решение интегрального уравнения для задач У-УШ. Устанавливается разрешимость уравнений рассматриваемых задач, классы корректности. Доказано, что полученные приближенные решения являются асимптотически точными для малых и больших значений безразмерного параметра. Приведены численные примеры трансформант ядер, их аппроксимации, распределения контактных напряжений под штампом, связи между вдавливающей силой и осадкой штампа для различных законов неоднородности.

с(А)

0.1

0.14

' А

Рис.6

На рис. 6 приведено изменение величины с(Л )~Зн/8 , характеризующей влияние неоднородности полосы на осадку штампа 8Н для задачи VI по сравнению с однородной полосой 8 при одной и той же величине вдавливающей силы Р в зависимости от X. Значения с(А ) получены двухсторонним асимптотическим методом. Кривая 1 соответствует закону неоднородности 1, кривая 2 - линейному закону неоднородности. Из рис. 6 видно, что учет неоднородности

существенен при расчете неоднородной полосы, так для примера рассмотренного на рис. 6 при Я изменяющемся от 1 до 8 значение

Пятая глава посвящена задачам изгиба пластин на неоднородном

основании. Приведена общая постановка этих задач. Рассмотрены решения задачи (IX) об изгибе балки на неоднородной полуплоскости, задачи (X) об изгибе балки на неоднородной полосе и клине, задачи (XI) об осесимметричном изгибе пластины, лежащей на неоднородном

величины с(А ) увеличивается в три раза.

по глубине слое, сцепленном с однородным упругим полупространством. Получена формула определения осадки поверхности основания вне круглой пластины. Возможность применения аналитических методов к решению этих задач для произвольных гладких законов изменения неоднородности по глубине основана на результатах, полученных в главах 1-4. Показано, что предлагаемый метод является эффективным как для жестких, так и гибких пластин, в отличие от метода ортогональных многочленов, метода коллокации, метода малого и большого параметра.

Используется представление прогибов пластин в виде рядов по собственным функциям при соответствующих граничных условиях, благодаря этому удается свести указанные задачи к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, обоснован метод редукции. Проводится численный анализ влияния различных законов изменения неоднородности с глубиной на распределение контактных давлений под круглой пластиной, ее прогибы, осадку поверхности основания вне пластины, значения радиальных и тангенциальных моментов в пластине.

Рассмотрен изгиб круглой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки единичной интенсивности. На рис.7,а-й приведены графики величины %{г) = ^(г)/^ (г),' характеризующей

распределение контактных нормальных напряжений под пластиной на неоднородном основании по сравнению с однородным ^ (г) (для

Е - Е0<р(-1)) при различных значениях Я.

Пластина вдавливается в полупространство, модуль Юнга которого с глубиной изменяется по немонотонным законам неоднородности вида (19) - (21). Коэффициент Пуассона основания

и 0.5 *

с (г*,1) л <*=3>

Рис.7

V = 1/3, -со<г<0. Коэффициент Пуассона пластины =0,15.

Здесь и ниже рис.5.2,а,в соответствуют изгибной жесткости пластины $ = 0,1; рис.5.2Дг, - 5 = 3. Цифра у кривой соответствует значению Л, для которого производился расчет. Для немонотонных законов неоднородности вида (20) и (21) характерно, что в случае, когда <р(г) убывает с глубиной от поверхности покрытия (формула (20)), наблюдается рост функции %(г). В случае, когда (р{г) возрастает с

глубиной от поверхности покрытия (формула (21)), наблюдается убывание величины z(r)> ПРИ приближении изнутри к краю пластины.Форма кривых %(г) различна для малых и больших Я, а также для малых и больших s при Л > 1.

Видно, что распределение контактных давлений существенно зависит как от толщины неоднородного слоя и вида неоднородности, так и от изгибной жесткости пластины.

В шестой главе рассматривается контактная задача с неизвестной заранее зоной контакта для неоднородных тел. Приведена постановка и решение задачи (XII) о внедрении параболоида вращения в неоднородное полупространство. Доказаны теоремы о разрешимости данной задачи. В результате внедрения индентора в неоднородное покрытие определена связь между вдавливающей силой и осадкой индентора, которая сама по себе мало удобна для исследования эффектов неоднородности материала. Более информативной в этом отношении является функция жесткости:

где я - радиус зоны контакта, х~ перемещение индентора.

Рис. 8 показывает графики отношений S(À)/SQ, которые

характеризуют влияние различных законов неоднородности на величину жесткости неоднородного покрытия S по отношению к жесткости однородного основания S^. Цифры у кривых соответствуют

индексу / законов неоднородности f.{z'),i = 0,...,4,

для законов неоднородности вида:

•• /¡(z) = 3.5,/2(*) = 3-5; /3(z) = 3.5+2.5z///; /4(г) = + Н\

причем '0* соответствует однородному основанию.

.................. 1-1

0.1 1 10 л

Рис.8

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан новый метод исследования краевых задач статической теории упругости для непрерывно-неоднородных сред. Метод позволяет с единых позиций изучить контактные задачи теории упругости для непрерывно-неоднородных сред с фиксированной областью контакта в антиплоской, плоской и осесимметричной постановках, изучить задачи изгиба балок и пластин на непрерывно-неоднородных основаниях и исследовать контактные задачи для неоднородного полупространства с неизвестной заранее зоной контакта.

2. Разработан и обоснован численно-аналитический приближенный метод построения интегральных уравнений контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных сред при общих законах неоднородности, не исследованных ранее.

3. Разработан и реализован новый приближенный метод решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для непрерывно- неоднородного слоя и полупространства, асимптотически точный как при больших, так и при малых значениях характерного геометрического параметра задачи.

4. Проведен подробный численный анализ решений ряда конкретных контактных задач теории упругости прикладного характера, имеющих важное значение в инженерных приложениях.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Айзикович С.М. Сдвиг штампом упругого неоднородного полупространства специального вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1978, №5. С. 74-80.

2. Айзикович С.М. Кручение круглым штампом неоднородного полупространства // Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону: РИСИ. 1978. С. 156-169.

3. Айзикович С.М. Асимптотические методы в задаче о вдавливании кругового в плане штампа в неоднородное по глубине полупространство // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории упругости. Изд-во АН "АрмСССР". Ереван. 1979. С.9.

4. Айзикович С.М. Изгиб круглой плиты, лежащей на неоднородном по глубине основании // Тезисы докладов II Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Днепропетровск, 1981. изд. ДГУ. С. 82-83.

5. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т.46, вып. 1. С. 148-158.

6. Айзикович С.М., Александров В.М. О свойствах функций

податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству // ДАН СССР. 1982. Т. 266, №1. С. 40-43.

7. Айзикович С.М. Контактные задачи теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1983. С. 121-131.

8. Айзикович С.М. Эффективный метод решения контактных задач для непрерывно-неоднородных и слоистых сред // Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур, г. Львов, Киев, "Наукова думка", 1983. С. 7-8.

9. Айзикович С.М., Кузин Б.Н. О влиянии химического закрепления на механические свойства просадочных оснований // Тезисы докладов на X Всесоюзном научно-техн.совещании "Закрепление и уплотнение грунтов в строительстве". М„ Стройиздат. 1983.С.9.

10.Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство//Изв.АН СССР, МТТ. 1984. Т.39, №2. С.73-82.

11 .Айзикович С.М., Кузин Б.Н. Исследование взаимодействия круглого штампа с искусственным основанием из закрепленного химическим спобом грунта // Известия СКНЦВШ. 1985. №2. С.87-89.

12.Айзикович С.М., Александров В.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине // Изв. АН "Арм.ССР". Механика. 1986. Т.39, №3. С. 13-27.

13.Айзикович С.М., Александров В.М. Распределение напряжений под ленточным фундаментом на неоднородном основании // В кн.: Исследование по теории сооружений. М: Стройиздат, 1987. Т.25. С.82-92.

14. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Изгиб пластин, лежащих на неоднородном основании // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Кутаиси. 1987. Т. 1. С. 47-52.

15-Айзикович С.М., Трубчик И.С. Асимптотические свойства приближенного решения одного класса парных интегральных уравнений //ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 5. С. 850-856.

16.Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об асимптотических свойствах приближенного решения одного класса парных интегральных уравнений И Докл. АН СССР. 1989. Т.307, №2. С.316--320.

17.Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений // ПММ. 1990. Т. 54. С.872-877.

18. Айзикович С.М. Метод решения одного класса парных уравнений и его приложение в контактных задачах для сред со сложными физико-механическими свойствами // Сб.научных трудов "Современные проблемы механики контактных взаимодействий". Днепропетровск, 1990. С.40-41.

19.Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений и его приложение в контактных задачах для неоднородных по глубине сред // Динамически задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания Земли. Материалы докладов региональной конференции. Краснодар, 1990. С.7.

20.Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при малых значениях параметра // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, №1, С.48-52.

21.Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №5. С.1037-1041.

22.Лйзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Внедрение штампа в

неоднородную по глубине полосу // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №1. С.61-71.

23-Айзикович С.М., Трубчик И.С. Расчет круглой плиты на неоднородном по глубине основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. №3. С.24-29.

24.Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Расчет круглой пластины, лежащей на неоднородном по глубине полупрстранстве // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. №4. С. 163-171.

25.Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об определении формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства при внедрении в него кругового штампа // ДАН СССР. 1993. Т. 332, №6. С. 702-705.

26.Айзикович С.М., Македонов Ю.В., Герасев В.И. Авторское свидетельство "Способ определения модуля упругости". Заявка №4940779/28; приоритет изобретения от 29.03.91, положительное решение от 18.02.92. Патент 2002237, класс SG01//3/00,, Бюллетень 39. 1993. С.145.

27.Айзикович С.М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием // ПММ. 1995. Т. 59, №4. С. 688-697.

28.Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об асимптотическом определении формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства при внедрении в него кругового штампа // Изв. РАН, МТТ. 1995. №2. С. 58-63.

29.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik I.S. The Analytical solution of the Hertzian contact problem for functionally gradient materials // 19-th Int. Congress Theor. and Appl.Mech. Kioto, Aug 25-31. 1996. Book of Abstracts. P. 644.

30.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik l.S. The Analytical solution of

the Hertzian contact problem for functionally gradient materials // 3-rd EUROMECH Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, August 18-22, 1997. Book of Abstracts. P. 79.

31.АЙЗИКОВИЧ C.M., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферического индентора в неоднородное по глубине полупространство // Изв. РАН, МТТ. 2000.

№5. С. 107-117.

32.Айзикович С.М. Двухсторонний асимптотический метод решения контактных задач // "Механика контактных взаимодействий" - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 20-29.

33.Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания // "Механика контактных взаимодействий" -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213.

34.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik I.S. Approximate analytical solutions of the contact problems for continuously non-homogeneous elastic coatings // Program and Abstracts 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 21-23,2002. P.9

35.Aizikovich S.M., Alexandrov V.M., Kalker J. J., Krenev L.I., Trubchik I.S. Analytical solution of the spherical indentation problem for a halfspace with gradients with the depth elastic properties // Int. J. of Solids and Structures, (2002) 39,10.2745-2772.

Подписано в печать 22.05.2003 г. Формат 60*84 I/ 16 Заказ № 389 от 22.05.03. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Тираж 140 экз. Печ. лист.2,0. Усл.печ.л. 1,86. Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел. 929-516, 659-532. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

1369

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Айзикович, Сергей Михайлович

Введение.i.

Глава 1. ПОСТАНОВКА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА И

ПОЛУПЛОСКОСТИ. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ.

§1.1. Задача I. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного полупространства.

§ 1.2. Задача II. Кручение жестким круглым штампом неоднородного полупространства.

§1.3. Задача III. Внедрение штампа в неоднородную полуплоскость.

§1.4. Задача IV. Внедрение жесткого кругового в плане штампа в неоднородное полупространство.

§1.5. Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV и аппроксимация их аналитическими выражениями.

§1.6. Примеры построения трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV.

Глава 2. ДВУХСТОРОННИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧ I-IV.

§2.1. Задачи I и III. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Фурье.

§2.2. Задача И. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Ханкеля Jх(аг).

§2.3. Задача IV. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Ханкеля J0(ог).

§2.4. Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач I-IV.

§2.5. Определение формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства для задачи IV.

§2.6. Численные примеры.

Глава 3. ПОСТАНОВКА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ СЛОЯ И КЛИНА, НЕОДНОРОДНОГО ПО УГЛОВОЙ КООРДИНАТЕ. ВЫВОД

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§3.1. Задача У. Сдвиг полосовым штампом неоднородного слоя

§3.2. Задача VI. Внедрение штампа в неоднородную полосу.

§3.3. Задача VII. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного пространственного клина .;.

§3.4. Задача VIII. Внедрение штампа в неоднородный клин.

§3.5. Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач V-VIII.

Глава 4. ДВУХСТОРОННИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧ V-VIII.1^

§4.1. Задачи V-VIII. Замкнутое решение одного класса парных интегральных уравнений.

§4.2. Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач V-VIII.

§4.3. Численные примеры.

Глава 5. ИЗГИБ ПЛАСТИН НА НЕОДНОРОДНОМ ОСНОВАНИИ.

§5.1. Постановка задач.

§5.2. Задача IX. Изгиб балки на неоднородной полуплоскости.

§5.3. Задача X. Изгиб балки на неоднородной полосе и клине.

§5.4. Задача XI. Взаимодействие круглой пластины с неоднородным полупространством.

§5.5. Определение осадки поверхности основания вне круглой пластины.

§5.6. Численные примеры.

Глава 6. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА С НЕИЗВЕСТНОЙ ЗАРАНЕЕ

ЗОНОЙ КОНТАКТА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

§6.1. Задача XII. Внедрение параболического индентора в неоднородное полупространство. Введение и постановка задачи.

§6.2. Некоторые свойства парных интегральных уравнений задачи.

§6.3. Приближенное аналитическое решение парного интегрального уравнения задачи.•.

§6.4. Численные результаты

Введение диссертация по механике, на тему "Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред"

Актуальность темы. Контактные задачи являются центральными в механике твердого тела, поскольку контакт - это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, и концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала. Аналитические решения могут быть получены только для очень ограниченного класса контактных задач,- поэтому важно развивать численные и численно-аналитические методы их решения.

Расширение температурных диапазонов работы тяжело нагруженных контактов поставило проблемы, связанные с расслаиванием многослойных покрытий, возникновением в них температурных напряжений при изменении рабочей температуры в зоне сопряжений двух различных материалов (как правило, материалы, имеющие разные значения упругих модулей, имеют и разные коэффициенты теплового расширения).

Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания функционально-градиентных покрытий и функционально-градиентных соединений, несмотря на усложнение технологии получения таких материалов.

И сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов поддерживает высокая стоимость и длительность испытаний на износ, а также необходимость осмысления этих результатов.

Развитие трибологии [114] способствовало расширению теоретических исследований, которые существенно развили область неклассических контактных задач теории упругости и теоретические основы трибологии. Контактные задачи для тел с покрытиями относятся к одним из основных задач трибологии. Подложка может быть как деформируемой, так и недеформируемой. Покрытия для реальных материалов достаточно сложные структуры, неоднородные по толщине [153], обладающие пористостью, различными свойствами на поверхности и в зоне, примыкающей к подложке.

Упругие свойства реальных покрытий могут отличаться в 3-6 раз от упругих свойств подложки. Толщина большинства покрытий изменяется в диапазоне от 5-10 нм до нескольких миллиметров. В настоящее время наибольшее прикладное значение имеют покрытия с толщиной меньше одного микрона.

При построении общей теории упругости неоднородного тела возникает необходимость решить все те же задачи, что и для теории упругости однородных материалов, но появляются и новые достаточно сложные задачи. В частности, появляется задача определения значений модуля упругости внутри неоднородного тела. Даже в частных случаях однородных тонких покрытий, не говоря уже о покрытиях, свойства которых изменяются по глубине это сложная задача.

Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Синтез современных покрытий направлен на создание все более тонких покрытий сложной структуры, (функционально-градиентных или многослойных). В большинстве практически важных случаев свойства покрытий материалов изменяются по одной координате, ортогональной к образующей поверхности подложки, на которую наносится покрытие, или просто упрочняется приповерхностный слой основного материала (чаще всего это глубина, радиус или угловая координата, в зависимости от геометрии подложки).Развитые ранее математические модели классических однородных материалов их не охватывают, так как при наличие значительного градиента упругих свойств наблюдаются не только количественные, но. и качественные различия поведения материалов с покрытиями. Так, например, увеличение износостойкости при удачной конструкции материалов, термостойкость. Но появляются и эффекты расслаивания, выкрашивания и т.д. Проблема изучения износостойкости покрытий особенно актуальна. На экспериментальное определение износостойкости покрытий расходуются миллиарды долларов и годы человеко-часов, но при реальном рассмотрении эксперименты носят чисто эмпирический характер, так как для покрытия тоньше 2-3 микрон определить достаточно точно упругие свойства и, более того, измерить их изменения по глубине без предварительного построения достаточно точной математической модели контактного взаимодействия практически невозможно.

Еще одна особенность неоднородных материалов - наличие дополнительных источников концентрации напряжений. В однородных телах концентрация напряжений возникает в местах резких изменений геометрии тела и нагрузки. В неоднородных материалах возникает дополнительная концентрация напряжений в местах резкого изменения физико-механических характеристик материала (модуля упругости, коэффициента Пуассона и др.), т.е. по. поверхностям сопряжения однородных элементов.

Разрушение неоднородных материалов определяется совместным действием температурных напряжений и напряжений от внешней нагрузки, причем чаще всего разрушение начинается в местах концентрации напряжений. В связи с этим при создании новых материалов следует учитывать концентрацию напряжений и от физико-механической неоднородности на поверхности контакта однородных элементов.

При расчетах на износостойкость реальных материалов необходимо учитывать, что вследствие механических, экологических, температурных и у других воздействий, неизбежно происходит перераспределение механических свойств в приповерхностных слоях.

Известно, что решения смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, теории консолидации [1,2,59,140], теории разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их исследования, являются общими для целого класса задач математической физики.

Первые работы в области контактных задач теории упругости неоднородных тел, опубликованные в середине 50-х годов прошлого века, были связаны с расчетом фундаментов и оснований в строительстве, необходимостью расчета покрытий дорожных одежд [146,147] а также касались задач расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях [74,91,92,103,104,135,136,142].

К настоящему времени опубликовано большое количество работ как по механике многослойных, так и непрерывно-неоднородных сред.

Обширный список работ, опубликованных до 1982 г., приведен в библиографическом указателе [152]. Там же предлагается следующая классификация неоднородных сред: 1) слоистые среды (многослойные); 2) непрерывно-неоднородные; 3) статистические; 4) разнородные.

Настоящая работа, согласно этой классификации, связана с разработкой методов решения контактных задач теории упругости для неоднородных сред второй группы: непрерывно-неоднородных. Она. развивает научное направление в области неклассических контактных задач, созданное в Ростовском университете академиком РАН И.И.Воровичем.

Постановка и исследование контактных задач для неоднородных сред, в достаточно общей постановке, стали возможны, с одной стороны, благодаря развитию аналитических методов решения статических и динамических контактных задач для классических и неклассических областей, а с другой стороны, вследствие возросших возможностей вычислительной техники.

Подробный обзор основных результатов для многослойных сред дан В.С.Никишиным в монографии [186]. Поэтому в данном обзоре методы, которые использовались при решении интегральных уравнений, к которым сводились решения контактных задач для многослойных сред, будут затронуты только вкратце.

1. Основные краевые и смешанные задачи для неоднородного покрытия лежащего на деформируемом основании. Говоря о контактных задачах, следует сказать, что осесимметричная контактная задача для простейшего многослойного основания - двухслойного (слой на упругом полупространстве; между слоем и полупространством предполагается полное сцепление), рассмотрена впервые уже в работе

Б.И.Когана [146]. Для приближенного решения использовался метод коллокации. Задача о кручении такого основания жестким штампом рассмотрена в работе Д.В.Грилицкого [121], в которой для построения решения задачи им использовался асимптотический метод «больших X» по терминологии [101]. Плоская контактная задача рассмотрена в работе И.М.Вилкова [99], решение получено методом коллокации.

Много внимания контактным задачам для двухслойного основания (плоской, осесимметричной) уделено в работах' Ю.А.Шевлякова, А.К.Приварникова, В.И.Петришина, В.И.Ильмана, В.Д.Ламзюка [133,134,162-165,200-204,235]. В них рассмотрены случаи как полного сцепления слоя с полупространством, так и отсутствия трения между ними. При решении интегрального уравнения контактной задачи использованы методы: 1) коллокации; 2) метод сведения к линейной алгебраической системе путем аппроксимации полиномом регулярной части ядра интегрального уравнения [45]; 3) асимптотический метод «больших Я», 4) метод сведения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и решения его методом механических квадратур. Т.е. методы, эффективные для достаточно больших значений X.

Для решения практических вопросов, связанных с оптимизацией свойств закрепленных оснований, возникла необходимость исследования в области малых значений характерного геометрического параметра задачи. Однако, не было методов, в результате применения которых получающееся решение носило бы аналитический характер, что представляет существенные удобства для приложений. Разработке таких методов и посвящена значительная часть данной работы.

Двухслойное основание подробно исследовалось в работах Г.П.Александровой [72,73], в них решения контактных задач строились, используя методы «больших Л», при малых значениях А, определялось только «вырожденное» решение, полученное из рассмотрения интегрального уравнения, путем предельного перехода при Л-> 0. Приближенными методами осесимметричная контактная задача для двухслойного основания рассматривалась в работах Чен, Энгела [249,254] (W.T.Chen, P.A.Engel). Осесимметричную контактную задачу при наличии сцепления рассматривали В.М.Вайншлельбаум и Р.В.Гольдштейн [96]. Работы В.С.Никишина и Г.С.Шапиро [184-188] посвящены осесимметричным контактным задачам для кругового и кольцевого штампа, задачи рассматривались как при наличии трения или сцепления, так и без трения. Для численных примеров брались два слоя, лежащих на абсолютно жестком основании.

В работах И.Г.Горячевой и Е.В.Торской проведен анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере нагружения [115], исследована периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием [116], рассмотрено напряженное состояние двухслойного упругого основания при неполном сцеплении слоев [117] и исследовано влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями [217].

При рассмотрении более широкой модели с учетом непрерывной неоднородности среды, сведение контактных задач к интегральному уравнению осложняется необходимостью при построении трансформанты ядра решать краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В ряде ранних работ были рассмотрены некоторые специальные случаи неоднородности по глубине (степенной, экспоненциальный, гиперболический, линейный). Заметим, что рассмотренные зависимости недостаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в этом случае предполагается существование точек, в которых упругие модули равны нулю или бесконечности. Так, в работе Г Л.Попова [192] приводятся формулы, по которым можно построить интегральные уравнения для полупространства с экспоненциальной зависимостью модуля Юнга от глубины. Н.А. Ростовцевым [210] впервые получено, точное решение задачи о действии силы, нормально приложенной к поверхности изотропного полупространства с модулем упругости, меняющимся по степенному закону. •

В серии работ R.E.Gibson с соавторами [256-259] рассматривались основные краевые задачи для линейной модели неоднородности по глубине для несжимаемого материала (полупространство или слой на жестком основании).

Контактные задачи для изотропного полупространства с модулем упругости, меняющимся по степенному закону, рассматривались в работах Б.Г.Коренева, Л.А.Галина, В.И.Моссаковского, ГЛ.Попова, Н.А.Ростовцева [210], В.С.Проценко, Ю.Д.Колыбихина, Г.И.Белика и других. Задача о кручении неоднородного слоя со степенной и экспоненциальной зависимостью от глубины рассматривалась H.Bufler [247]. Задачи о кручении неоднородного полупространства для некоторых частных законов неоднородности рассмотрены В.С.Проценко, Ю.Д.Колыбихиным, Г.А.Морарем. Г.П.Коваленко также рассматривал динамические и статические задачи теории упругости для неоднородных сред частных видов [150].

В работе Б.И.Когана и В.Д.Зинченко [147] рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии неоднородного слоя с экспоненциальным законом неоднородности модуля сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона, сцепленного с однородным полупространством, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

При численной реализации для произвольных законов неоднородности использовался ряд подходов. В работе Ю.А.Наумова, Ю.А.Шевлякова, В.И.Чистяка, П.Х.Демченко, С.Я.Вольского, А:К.Приварникова, В.С.Никишина," Г.С.Шапиро '[162,163,179,182,185] и некоторых других непрерывная зависимость характеристик среды от глубины аппроксимируется кусочно-постоянными функциями (многослойными средами).

Следует заметить, что метод аппроксимации произвольной непрерывной неоднородности среды многослойным пакетом нуждается в каждом отдельном случае в дополнительном исследовании, в каких случаях такая замена является корректной.

В работах Е.А.Кузнецова [154-159] рассматривались контактные задачи для неоднородного полупространства и полуплоскости, у которых коэффициент Пуассона является произвольной функцией глубины, а модуль сдвига постоянный или зависит от глубины специальным образом. Напряжения и перемещения определяются с помощью некоторой функции, удовлетворяющей неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка.

Наряду со статическими контактными задачами рассматривались и динамические контактные задачи. По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных законов непрерывной неоднородности были изучены в работах В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Н.В.Глушковой (неоднородное полупространство), В.А.Бабешко, И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой неоднородный слой). Исследование динамических контактных задач для неоднородного полупространства и слоя отражено в монографии В.В.Калинчука и Т.И. Белянковой.

В предлагаемой работе рассматриваются только статические контактные задачи. В данной работе решения контактных задач для непрерывно-неоднородного полупространства и полуплоскости в случае произвольного закона изменения коэффициентов Ламе по глубине в диссертационной работе были получены двухсторонним асимптотическим методом [8-27]. Трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация аналитическим выражением специального вида находятся численно. После того, как аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения аналитическим выражением определена, его решение находится аналитически. Аналитический вид решения удобен для исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Этот метод позволяет строить решения задач для достаточно широкого класса законов неоднородности.

2.0сновные краевые и смешанные задачи для покрытия лежащего на недеформируемом основании. Простейшая модель покрытия - это однородный слой или клин, сцепленный с недеформируемой подложкой.

A.В.Белоконя, С.Е.Бирманаа, М.М.Бронштейна, И.И.Воровича,

B.А.Кучерова, С.А.Лутченко, В.И.Петришина, В.С.Тонояна, Ю.А.Устинова, Г.С.Шапиро и др., а также ряда зарубежных авторов J.B.Albeas, G.M.GIadwell, W.T.Kuipers, P.Meijers, E.Melan, S.F.Smith,

C.F.Wang. Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов это работы В.С.Тонояна, С.А.Лутченко, ГЛ.Попова, М.И.Бронштейна, В.М.Александрова, И.И.Воровича, В.В.Копасенко, Б.И. Сметанина, W.T.Koiter.

Ряд работ, не включающих собственно смешанные задачи, связан с изучением вопросов об особенностях напряженного состояния вблизи особых точек сред [192,237]. В рамках исследования локального напряженного состояния в вершине составного клина эти вопросы рассматривались в работах [56,78,93,127,128,173,189,190,215,250,251,267, 270,271]. Было показано, что в окрестности общей вершины двух сцепленных клиньев могут возникать интегрируемые особенности, причем их тип зависит от характеристик материалов и локальной геометрии соединения.

Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г.Акопяна [43,44], В.Г.Блиновой, А.М.Линькова [93], М.С.Быркэ [91], В.Д.Ламзкжа, А.И.Феденко [165], Б.М.Прокофьева [205] (метод функций податливости), Н.Б.Сафаряна [213], Chen Dai-Heng [251] (метод разделения переменных), G.S.Mishuris [265].

Специальные законы изменения неоднородности по глубине были исследованы в работах R.E.Gibson, P.T.Brown [256-259], рассматривался упругий слой, модуль которого линейно возрастает с глубиной. В работе A.O.Awojobi [245] исследовалась неоднородная среда, для степенного закона неоднородности. Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса исследовался в работах А.Г.Акопяна [43,44]. О.Н.Шинджикашвили [237], В.В.Лапенко решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных [166,167] и методом ортогонализации [168]. Для радиально-неоднородного тела задачи теории упругости исследовались В.И.Андреевым [77] и О.Д.Григорьевым [120]. Заметим, что эти зависимости не достаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в этом случае существуют точки, в которых упругие модули равны нулю. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон неоднородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г.Б.Колчина [151].

Задачу о действии сосредоточенной силы на вершину плоского бесконечного клина, состоящего из материала, чувствительного к виду напряженного состояния рассматривал О.А.Чернышов [233].

Кручение цилиндрическим штампом упругого двухслойного основания рассматривалось S.Mukherjee [267] .Предполагалось, что модули упругости слоев являются степенными функциями специального вида.

Температурные воздействия на неоднородный клин рассматривались в работах [151,167].

Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред.

Во-первых, при механической постановке следует учитывать качественно-новую картину распределения контактных напряжений для существенно неоднородных материалов (эффект отставания основания от штампа при некоторых значениях геометрических и физических параметров и т.д.).

Во-вторых, в отличие от однородных сред (полупространство, слой) трансформанты ядер интегральных уравнений в смешанных задачах неоднородных сред имеют сложную структуру, необозримую в аналитическом виде, в общем случае строящиеся только численными методами.

Целью настоящей диссертации является разработка и обоснование эффективных методов решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.

Рассматриваются произвольные общие непрерывные законы изменения коэффициентов Ламе по глубине среды в случае полупространства или слоя, или по угловой координате в случае клиновидной области. Развивается полуаналитический метод решения рассматриваемых краевых задач. Задачи сводятся к решению парных интегральных уравнений. Трансформанты ядер парных интегральных уравнений строятся численно. На основании установленных аналитических свойств трансформант строятся их аппроксимации аналитическими выражениями специального вида. Для этих аппроксимаций парных интегральных уравнений построены замкнутые аналитические решения. Доказывается, что эти решения являются двухсторонне асимптотически точными относительно безразмерного геометрического параметра задач. Аналитическая форма решений интегральных уравнений удобна для приложений и позволила впервые получить в аналитическом виде решение задачи о внедрении параболического индентора в неоднородное полупространство, определить в аналитическом виде форму осадки поверхности вне штампа в случае неоднородного основания, получить в аналитическом виде решения задач об изгибе балок и плит на неоднородном основании.

Здесь при постановке задач для неоднородного полупространства используется модель неоднородности по глубине специального вида — неоднородный слой (с произвольным законом неоднородности), склеенный с однородным полупространством.

Математически, в точной постановке, эти задачи сводятся к решению интегральных уравнений вида [8-28]:

Jf (р{$) fZ(W)|zf = f{x), |*|<1, (0.1)

-1 -00 •ч • * г<1; к = 0,1, (0.2) о О Л А где L(u) имеет следующие свойства:

L(u) = A + B\u\ + 0(u2) при к->0, АфО (0.3)

L(u) = 1 + с|и|-1 + 0(и~2) при и—>со (0.4) для всех значений безразмерного параметра Л е (0,со).

Заметим, что для многослойного пакета, лежащего на однородном полупространстве свойство (0.4) имеет вид:

L(u) = \ + 0(e~2u), «->оо (0.5) что влечет за собой отличие в характере асимптотического поведения решения (это хорошо видно при его построении методом «больших Л»).

Цель работы состоит в 1) постановке и развитии методов сведения статических контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных сред к парным интегральным уравнениям; развитии аналитических методов решения парных' интегральных уравнений, соответствующих этому классу задач; 2) практической реализации разработанных методов применительно к решению конкретных краевых задач с однородными и смешанными граничными условиями, исследование которых другими методами менее эффективно; 3) проведении численного анализа для ряда конкретных моделей, представляющих самостоятельный практический интерес.

Апробация работы. Содержание работы докладывалось на I, II, III, IV Всесоюзных научных конференциях "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела" (Ростов-на-Дону, 1977; Днепропетровск, 1981; Харьков, 1985; Одесса, 1989); на XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Кутаиси, 1988г.); II Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1987); на Всесоюзной конференции "Системы автоматизированного проектирования фундаментов и оснований" (Челябинск, 1988г.); региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1990); на научном симпозиуме "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ереван, 1992г.); выездной сессии межведомственного научного Совета по трибологии при АН СССР, ГКНТ СССР и союзе НИО СССР (Ростов н/Д, 1990) .); на И,IV,VI и VII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 1998,2000 и 2001г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отчета рабочих групп по проекту INTAS-93-3513 и INTAS-93-3513Ext (Dep. МТМ, Leuven Katolieke Univ., Leuven, Belgium); 1996-1998), семинарах математических и инженерных факультетов университетов в Карлсруе (1997) - Германия; в Афинах (1996, 1998,. 1999) - Греция. на 3-ей конференции по механике твердого тела (3-rd EUROMECH Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology), Королевский технологический институт, 18-22 августа, 1997, Стокгольм, Швеция; 21-23 мая, 2002, в Москве, на 434 Международном коллоквиуме «Контактная механика для тел с покрытиями» (EUROMECH Colloquium 434, Contact Mechanics of Coated Bodies), на семинарах ИПМ АН СССР, на ряде республиканских и других конференций, на совещаниях и сессиях, на семинарах кафедры теории упругости механико-математичского факультета и НИИ механики и прикладной математики Ростовского госуниверситета.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 30 разделов, сгруппированных в 6 глав, заключения и списка литературы из 273 наименований. Общий объем диссертации 255 стр., в том числе 53 рисунка и таблица.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении работы автором получены следующие новые результаты:

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Айзикович, Сергей Михайлович, Ростов-на-Дону

1. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493с.

2. Механика контактных взаимодействий (под ред. Воровича И.И., Александрова В.М.) М. ФИЗМАТЛИТ. 2001. 672 с.

3. Абрамян Б.Л. Обзор результатов, полученных по контактным задачам в Академии Наук Армянской ССР // В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М. 1969. С. 3-7.

4. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости. В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. М.: Наука, 1966. С. 7-37.

5. Абрамян Б.Л., Макарян B.C. Осе симметричная задача о контакте между двумя слоями из различных материалов с учетом трения между слоями // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1976. Т. 29, № 5. С. 3-14.

6. Авилкин В.И., Александров В.М., Коваленко Е.В. Об использовании уточненных уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6. С.110-117.

7. Агрест М.И., Максимов М.З. Теория неполных цилиндрических функций, их приложения. М.: Атомиздат, 1965. 351с.

8. Айзикович С.М. Сдвиг штампом упругого неоднородного полупространства специального вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1978, №5. С. 74-80.

9. Айзикович С.М. Кручение круглым штампом неоднородного полупространства // Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону: РИСИ. 1978. С. 156-169.

10. Айзикович С.М. Асимптотические методы в задаче о вдавливании кругового в плане штампа в неоднородное по глубине полупространство // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории упругости. Изд-во АН АрмСССР. Ереван. 1979. С.9.

11. Айзикович С.М. Изгиб круглой плиты, лежащей на неоднородном по глубине основании // Тезисы докладов II Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Днепропетровск, 1981. изд. ДГУ. С. 82-83.

12. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т.46, вып.1. С.148-158.

13. Айзикович С.М. Контактные задачи теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1983. С. 121-131.

14. Айзикович С.М. Эффективный метод решения контактных задач для непрерывно-неоднородных и слоистых сред // Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур, г. Львов, Киев, "Наукова думка", 1983. С. 7-8.

15. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений // ПММ. 1990. Т. 54. С.872-877.

16. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парныхуравнений при малых значениях параметра // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, №1, С.48-52.

17. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №5. С.1037—1041.

18. Айзикович С.М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием // ПММ. 1995. Т. 59, №4. С. 688-697.

19. Айзикович С.М. Двухсторонний асимптотический метод решения контактных задач // "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 20-29.

20. Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания // "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213).

21. Айзикович С.М., Александров В.М. Влияние неоднородности основания на распределение контактных напряжений под круглым штампом и его осадку // (Ред.журн."Основания, фундаменты и механика грунтов". Деп. ВНИИС. №2565. М., 1981.21с.

22. Айзикович С.М., Александров В.М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству // ДАН СССР. 1982. Т. 266, №1. С. 4043.

23. Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство //Изв.АН СССР, МТТ. 1984. Т.39, №2. С.73-82.

24. Айзикович С.М., Александров В.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1986. Т.39, №3. С. 13-27.

25. АЙЗИКОВИЧ. С.М., Александров В.М. Распределение напряжений под ленточным фундаментом на неоднородном основании // В кн.: Исследование по теории сооружений. М: Стройиздат, 1987. Т.25. С.82-92.

26. Айзикович С.М., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферического индентора в неоднородное по глубине полупространство // Изв. РАН, МТТ. 2000. №5. с. 107-117.

27. Айзикович С.М., Кузин Б.Н. О влиянии химического закрепления на механические свойства просадочных оснований // Тезисы докладов на X Всесоюзном научно-техн.совещании "Закрепление и уплотнение грунтов в строительстве". М., Стройиздат. 1983.С.9.

28. Айзикович С.М., Кузин Б.Н. Исследование взаимодействия круглого штампа с искусственным основанием из закрепленного химическим спобом фунта//Известия СКНЦВШ. 1985. №2. С.87-89.

29. Айзикович. С.М., Павлик Г.Н., Раецкий Н.Н. Расчет цилиндрического заглубленного резервуара на упругом слоистом основании // Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформированного тела", Ростов-на-Дону, 1977.С. 11.

30. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Изгиб пластин, лежащих на неоднородном основании // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Кутаиси. 1987. Т. 1. С. 47-52.

31. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Асимптотические свойства приближенного решения одного класса парных интегральных уравнений //ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 5. С. 850-856.

32. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об асимптотических свойствахприближенного решения одного класса парных интегральных уравнений //Докл. АН СССР. 1989. Т.307, №2. С.316-320.

33. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Расчет круглой плиты на неоднородном по глубине основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. №3. С.24-29.

34. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об определении формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства при внедрении в него кругового штампа // ДАН СССР. 1993. Т. 332, №6. С. 702-705.

35. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Об асимптотическом определении формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства при внедрении в него кругового штампа // Изв. РАН, МТТ. 1995. №2. С. 58-63.

36. Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Расчет плитных фундаментов на неоднородных основаниях // В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Системы автоматизированного проектирования фундаментов и оснований". Челябинск. 1988. С. 29.

37. Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Асимптотические решения смешанных задач теории упругости для неоднородных тел // Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Одесса. 1989. С. 10.

38. Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Внедрение штампа в неоднородную по глубине полосу И Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №1. С.61—71.

39. Айзикович С.М., Трубчик Й.С., Шклярова Е.В. Расчет круглой пластины, лежащей на неоднородном по глубине полупрстранстве // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. №4. С. 163-171.

40. Акопян А.Г. О продольном сдвиге неоднородно-составного клина // Изв. АН Армении. Мех. 1994. Т. 47, №1-2. С. 21-26.

41. Акопян А.Г. О плоской деформации малонапряженного неоднородносоставного клина //Изв. АН Армении. Мех. 1994. Т. 47, №5-6. С.42-48.

42. Александров В.М. // О приближенном решении одного типа интегральных уравнений. ПММ. 1962. Т.25, вып.5. С.934-943.

43. Александров В.М. Контактные задачи для упругого клина // Изв. АН СССР.МТТ. 1967. №2. С. 120-131.

44. Александров В.М. Об одной контактной задаче для упругого клина // Изв. Арм. ССР. Механика. 1967. Т. 20, № 1. С. 3-14.

45. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости //ПММ. 1968. Т. 32, вып. 4. С. 672-683.

46. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210, №1. С. 55-58.

47. Александров В.М. Об одном методе сведения парных интегральных уравнений и парных рядов-уравнений к бесконечным алгебраическим системам //ПММ. 1975. Т. 39, вып. 2. С. 324-332.

48. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. 2000. № 3. С. 12-16.

49. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел// ПММ. 1967. Т. 31, вып. 4. С. 704-710.

50. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины//ПММ. 1960. Т. 24, вып. 2. С. 323-333.

51. Александров В.М., Ворович И.И. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей // Сб. Прочность и пластичность. М. 1971. вып. 8. С. 19—28.

52. Александров В.М., Ворович И.И., Солодовник МД. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве // ИЗВ. АН СССР. МТТ. 1973. №4. С. 129138.

53. Александров В.М., Гришин С.А. Напряженно-деформированноесостояние малой окрестности вершины клина при физической линейности и различных граничных условиях // ПММ. 1987. Т. 51, вып. 4. С. 653-661.

54. Александров В.М., Калкер Д.Д., Пожарский Д.А. К расчету напряжений в осесимметричной контактной задаче для двухслойного основания // Изв. РАН, МТТ. 2000. №5. С. 118-130.

55. Александров В.М., Коваленко Е.В. Метод ортогональных функций в смешанных задачах механики сплошных сред // Прикладная механика. 1977. Т. 13, № 12. С. 9-17.

56. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями //М.: Наука, 1986. 336с.

57. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 2. С. 102— 108.

58. Александров В.М., Коваленко Е.В., Марченко С.М. О двух контактных задачах теории упругости для слоя с покрытием винклеровского типа // Прикл. механика. 1983. Т. 19, № 10. С. 47-54.

59. Александров В.М., Копасенко В.В., Контактная задача для упругого клина с жестко защемленной гранью // Прикладная механика. 1968. Т. IV, вып. 7. С. 75-82.

60. Александров В.М., Кучеров В.А. Некоторые задачи о действии двух штампов на упругую полосу // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. №4. С. 110— 123.

61. Александров В.М., Кучеров В.А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости // ПММ. 1970. Т. 34. вып. 4. С. 643-652.

62. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488с.

63. Александров В.М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи вмашиностроении//М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

64. Александров В.М., Сметанин Б.И. Об одном эффективном методе решения неклассических смешанных задач теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. вып. 1.С. 80-87.

65. Александров В.М., Солодовник М.Д. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве//Прикл. мех., 1974. Т. 10, вып.7. С.45-52.

66. Александров В.М.,' Чебаков М.И. Смешанные задачи механики сплошных сред, связанные с интегральными преобразованиями Ханкеля и Мелера-Фока // ПММ. 1972. Т. 36, вып. 3. С. 494-504.

67. Александров В.М., Чебаков М.И. О методе однородных решений в смешанных задачах теории упругости для усеченного клина и кольцевого сектора//ПММ. 1983. Т. 47, вып. 5. С. 790-798.

68. Александров В.М., Шацких JI.C. Универсальная программа расчета изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании // Труды 7-й Всесоюзной конф. По теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М.: Наука. 1970. С. 46-51.

69. Александрова Г.П. Контактные задачи изгиба плит, лежащих на упругом основании // Изв. АН СССР, МТТ. 1973, №1. С. 97-106.

70. Александрова Г.П. О двух осесимметричных контактных задачах для тонкого упругого слоя. В сб.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону. 1976. С. 126-135. ,

71. Альперин И.Г. Напряжения в бесконечной полосе, равномерно сжатой по половине длины // Зап. Научно-исслед. ин-та мат. и мех. Харьк. гос. ун-та и Харьк.-мат. общ. 1950. № 20. С. 107-113.

72. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 1.С. 64-69.

73. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волнвибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями // ПММ. 1983. Т. 47, вып. 3. С. 483-489.

74. Андреев В.И. Обобщенные уравнения плоской задачи теории упругости для радиально-неоднородного тела. Рук. деп. в ВИНИТИ. №1348-85Деп. Моск. инж.-строит. ин-т. М., 1985.

75. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактная задача для упругого слоя с накладками при наличии трения и сцепления // ПММ. 1993. Т. 57, вып.:1. С. 137-147.

76. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций. М.: Наука, 1965.

77. Бабешко В.А. Интегральные уравнения свертки первого рода на системе отрезков, возникающие в теории упругости и математической физике//ПММ. 1971. Т. 35, вып. 1. С. 88-99.

78. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решений некоторых двумерных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206. № 5. С. 1074-1077.

79. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 4. С. 777-780.

80. Бабешко В.А. Статические и динамические контактные задачи со сцеплением // ПММ. 1975. Т. 39, вып. 3. С. 505-512.

81. Бабешко В.А., Ворович И.И., Селезнев М.Г. Вибрация штампа на двухслойном основании//ПММ. 1977. Т.41, вып.1. С.166—173.

82. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства И Журнал вычислительной математики и матем. физики. 1987. Т. 27, № 1. С. 93-101.

83. Бабешко В.А., Чепиль М.В. О применении метода факторизации при исследовании задач гидроупругости определенного типа // Изв. АН СССР. МТТ. 1995. №2. С. 64-69.

84. Бабич С.Ю. Контактная задача теории упругости для слоя сначальными напряжениями // Прикл. механика. 1984. Т. 20. №6. С. 34-40.

85. БаблоянА.А. Решение некоторых парных интегральных уравнений // ПММ. 1964. Т. 28. вып. 6. С.1016-1023.

86. Баблоян А.А. Плоская контактная задача для двух усеченных клиньев // Докл. АН Арм.ССР. 1977. Т. 65. № 5.

87. Баблоян А.А., Гулканян Н.О. Плоская задача теории упругости для области, составленной из двух усеченных клиньев // Докл. АН Арм.ССР. 1976. Т. 62. №3.

88. Беленький М.Я. Смешанная задача теории упругости для бесконечно длинной полосы//ПММ. 1952.Т. 16. вып. 3.

89. Бирман С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 791-794.

90. Блинова В.Г., Линьков A.M. Метод определения асимптотик в общей вершине упругих клиньев // ПММ. 1995. Т.59, № 2. С. 199-208.

91. Булычев С.И., Алехин В.П. Испытание материалов непрерывным вдавливанием индентора. М.: Машиностроение, 1990.224с.

92. Быркэ М.С. К решению плоской задачи теории упругости для слоистого клина // В сб.: Вопросы механики деформируемых систем. Кишинев. 1977. вып. 1. С. 32-36.

93. Вайншлельбаум В.М., Гольдштейн Р.В. Об одном классе смешанных осесимметричных задач теории упругости для многослойной среды // ИПМ АН СССР, препринт №61. М., 1975.45с.

94. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М., 4.1. 1949.

95. Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований сложной структуры // Докл. АН УССР. Сер.А. 1979. № 6. С.434-438.

96. Вилков И.М. Плоская контактная задача для двуслойного основанияпри действии симметричной нагрузки на жесткий штамп // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 4. С. 172-174.

97. Вилков И.М. К вопросу определения перемещений в слоистом основании конечной толщины // В кн.: Надежность и долговечность строит, конструкций. Волгоград. 1974. С. 91-92.

98. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.456с.

99. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320с.

100. Ворович И.И., Кадомцев И.Г., Устинов Ю.А. Некоторые общие свойства трехмерного напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты симметричного строения // В кн.: Теория оболочек и пластин. Труды IX Всесоюз. конф. JL, 1975. С. 36-37.

101. Ворович И.И., Солодовник М.Д. Задача об изгибе круглой пластинки, лежащей на упругом полупространстве // Изв. СКНЦ ВШ. 1974. №4.С. 26-30.

102. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ. 1959. Т. 23, вып.З. С. 637-646.

103. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.264с.I

104. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости при наличии износа // ПММ. 1976. Т. 40, Вып. 6, С. 981-986.

105. Галин JI.A., Горячева И.Г. Осесимметричная контактная задача теории упругости при наличии износа // ПММ. 1977. Т. 41, Вып. 5. С. 807-812.73. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640с.

106. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640с.

107. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Плоская задача о колебании штампа на слое // Изд. СКНШ ВШ. 1969. № 1. С. 23-25.

108. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.1. М.:ГИИЛ, 1952.476с.

109. Голуб В.К. О расчете балочных плит на упругом основании // Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение, 1959. №3. С. 192-195.

110. Горбунов-Посадов И.И. Расчет балок и плит на упругом полупространстве//ПММ. 1940. Т.4, вып.З. С. 61-80.

111. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.

112. Горячева И.Г., Торская Е.В. Анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере нагружения // Трение и износ, 1994, т.15, N 3, 349-357.

113. Горячева И.Г., Торская Е.В. Периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием // Трение и износ, 1995, т. 16, N 4, 642-652.

114. Горячева И.Г., Торская Е.В. Напряженное состояние двухслойного упругого основания при неполном сцеплении слоев // Трение и износ, 1998, t.19,N 3,289-296.

115. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

116. Гребенщиков В.Н. Расчет круглой пластинки на упругом полупространстве. Сб. Теория расчета и надежность приборов // Труды II Саратовской обл. конференции молодых ученых. 1969. С.48-51.

117. Григорьев О.Д., Инкижинов Н.С. Об упругом равновесии неоднородного клина. В сб.: Расчеты прочности судов, конструкций и мех-мов. Новосибирск, 1988. С. 55-62.

118. Грилицкий Д.В. Кручение двухслойной упругой среды // Прикл. Механика. 1961. Т.7, вып.1. С.37-42.

119. Гудьер Дж. Н., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность. М.: ИИЛ, 1960. 100с.

120. Гурса Э. Курс математического анализа // М.; JL: Гостехиздат.1933. Т. 2. Ч. 1. 271 е.; Т. 2. Ч. 2. 287 с.

121. Джонсон K.JI. Механика контактного взаимодействия // М.: Мир. 1989. 509 с.

122. Долматов Б.И., Чикишев В.М. Определение осадок фундаментов с учетом изменения модуля деформации глинистого грунта в зависимости от напряженного состояния // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1984. №1. С. 24-26.

123. Дураев А.Е. Расчет круглых плит на неоднородном по глубине упругом основании. Сб. Строительные конструкции и строительная механика. Часть II. Саранск. 1974. С. 72-83.

124. Ефимов А.Б., Ефимов Д.Г. Сосредоточенное воздействие на упругий несжимаемый клин // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 6. С. 89-92.

125. Ефимов А.Б., Ефимов Д.Г. Действие сосредоточенной силы на ребро несжимаемого упругого клина // Вестник Московского ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1987. № 3. С. 98-101.

126. Зеленцов В.Б. О решении одного класса интегральных уравнений // ПММ. 1982. Т. 46, вып. 5. С. 815-820.

127. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Москва. 1965. Т. 1. 615 е.; Т. 2. 537с.

128. Зюкин Ю.П. Изгиб балочной плиты конечной длины на линейно-деформируемом основании общего типа // Изв. вузов, сер. Строительство и архитектура. 1970. №3. С. 43-48.

129. Зюкин Ю.П., Попов П.Я. Изгиб балки конечной длины на линейно-деформируемом основании // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №5. С. 105-113.

130. Ильман В.М., Приварников А.К. Действие системы штампов на упругом многослойном основании // Прикл. механика. 1971. Т. 7. вып. 6. С. 25-30.

131. Ильман В.М., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. О характеревзаимодействия штмпа с упругим многослойным основанием // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5. С. 134-138.

132. Ишкова А.Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве //Инж. сборник. 1960. Т.23. С. 171-181.

133. Ишкова А.Г., Коренев Б.Г. Изгиб пластинок на упругом и упругопластическом основании // Тр. 2-го Всесоюз. съезда по теорет. и прикп. механике. М.: Наука, 1966. Т. 3. С. 157-176.

134. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 393с.

135. Калинчук В.В., Беленкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных полуограниченных тел. М.:Физматлит, 2002. 240с.

136. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742с.

137. Керчман В.И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства // Изв. АН ССР. МТТ. 1976. №1. С. 45-47.

138. Кипнис JI.A., Черепанов Г.П. Контактная задача теории упругости для клина//ПММ. 1982. Т. 46. вып. 1. С. 141-147.

139. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании // Инж. сборник. 1952. Т. 12. С. 95-125.

140. Коваленко Г.П. Некоторые динамические и статические задачи теории упругости для неоднородных сред частных видов //В кн.: Всес. конф. по теории упругости. Тез. докл. Ереван. 1979. С. 178-180.

141. Коваленко Е.В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 1. С. 119-127.

142. Кодцингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Изд-во иностр. лит. 1958.474 с.

143. Коган Б.И. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости // Труды Харьковского автомоб.-дор. инст-та. 1957. вып. 19. С. 53-66.

144. Коган Б.И., Зинченко В.Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. 1969. №3.

145. Колчин Г.Б. Плоская задача теории упругости для неоднородного клина // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 3. С. 157-160.

146. Колчин Г.Б. Исследования по теории упругости неоднородных тел (основные результаты и перспективы развития) // В кн.: X Научно-техн. конф. Кишиневского политехи, ин-та. Тез. докл. Кишинев, 1974. С. 228— 230.

147. Колчин Г.Б. Аналитические методы в теории упругости неоднородных тел //В кн.: V Всесоюзн. съезд по теоретич. и прикл. механике. Аннот.докл. Алма-Ата. 1981. С. 203.

148. Колчин Г.Б., Лапенко В.В. Плоская задача термоупругости для неоднородного клина, жестко защемленного по одной из граней. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Респ. межвед. сб. Киев, 1978. вып. 18. С. 65-68.

149. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородного тела. Кишинев: Штиинца, 1977. 147с., 1987. 166с.

150. Крагельский И.В., Михин Н.М. Узлы трения машин. Справ. // М.: Машиностроение, 1984.280 с.

151. Кузнецов Е.А. Деформирование неоднородного полупространства при давлении круглого цилиндрического штампа // Проблемы прочности. 1983. №11. С. 30-37.

152. Кузнецов Е.А. О взаимосвязи некоторых контактных характеристик с переменными упругими свойствами сопряженных тел // Трение и износ. 1983. Т. 4, №2. С. 238-248.

153. Кузнецов Е.А. К решению контактных задач для неоднородного полупространства при давлении на него круглого цилиндрического штампа // Прикл. мех. 1984. Т. 20, №8. С. 24-33.

154. Кузнецов Е.А. Распределение напряжений на поверхности неоднородного полупространства при давлении на него кругового штампа// Трение и износ. 1984. Т. 5. №6. С. 1085-1094.

155. Кузнецов Е.А. Давление круглого цилиндра на полупространство с переменным по глубине коэффициентом Пуассона // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №1. С. 73-86.

156. Кузнецов Е.А., Гороховский Г. А. Напряженное состояние неоднородного полупространства с переменным по глубине коэффициентом Пуассона при действии на него сосредоточенной силы // Трение и износ. 1984. Т. 5, №5. С. 806-816.

157. Лазарев М.И., Перлин П.И. О решении задач пространственной теории упругости для кусочно-однородной среды // Докл. АН Арм.ССР. Механика. 1978. Т. 67. № 5. С. 295-301.

158. Лазарев М.И., Перлин П.И. Решение пространственных задач теории упругости для кусочно-однородной среды с постоянным коэффициентом Пуассона // ПММ. 1979. Т. 43. № 6. С. 1122-1125.

159. Ламзюк В.Д. Деформация упругого слоя нормальной нагрузкой // В сб.:. Деформация упругого слоя нормальной нагрузкой. Днепропетровск, 1986. С. 97-105.

160. Ламзюк В. Д., Приварников А.К. Упругая деформация неоднородного многослойного пакета при неполном контакте его слоев // Докл. АН УССР. Сер.А. 1977. № 7.С. 618-622.

161. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск. 1978. вып. 1. 64с., вып. 2. 68с.

162. Ламзюк В.Д., Феденко А.И. Основные граничные задачи плоской теории упругости для составного клина // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетр. ун-т. Днепропетровск. 1979. вып. 3. С. 64-75.

163. Лапенко В.В. Смешанная плоская задача теории упругости для неоднородного клина // В сб.: Вопросы механики деформируемых систем. Кишинев. 1977. вып. 1. С. 12-20.

164. Лапенко В.В. Об одной задаче термоупругости для неоднородного клина // В сб.: Расчет конструкций и возведение зданий и сооружений. Кишинев. 1986. С. 57-63.

165. Лапенко В.В., Диордиев Н.Д. Решение задачи для неоднородого клина методом ортогонализации // В кн.: Мат. исследования. Кишинев, 1976. вып. 40. С. 82-84.

166. Лебедев Н.Н., Уфлянд Я.С. Осесимметричная контактная задача для упругого слоя//ПММ. 1958. Т. 22. С. 320-326.

167. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию: Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы // М.: Наука, 1970. 671 с.

168. Леонов М.Я. К расчету фундаментов плит // ПММ. 1940. Т.4, вып. 3. С. 61-98.

169. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 824с.

170. Лущик О.Н. О поведении корней уравнения, определяющего особенность напряженного состояния в окрестности вершины составного клина // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 5. С. 82-92.

171. Марковец М. П. Определение механических свойств металлов по твердости. М. Машиностроение, 1979. 191 с. ил.

172. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.380с.

173. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

174. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости // Киев: Наук. Думка, 1985. С. 175.

175. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707с.

176. Наумов Ю.А., Чистяк В.И. К определению напряженного состояния упругого слоя с произвольной неоднородностью по толщине // В кн.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск. 1979. вып. 3. С. 97-104.

177. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А. К изгибу круглых плит на многослойном основании // Изв. АН СССР, МТТ. 1967. №1. С. 154-162.

178. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А. Изгиб балочных плит на упругом основании при неполном контакте // Гидроаэромеханика и теория упругости. Научно-техн. сб. 1968. вып. 9. Изд-во ХГУ.С.48-57.

179. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А., Чистяк В.И. К решению основных задач теории упругости для слоя с произвольной неоднородностью по толщине // Прикл. механика. 1970. Т. 6. вып. 7. С. 25-31.

180. Неустроев Э.А., Цейтлин А.И. К расчету круглых плит на упругом основании // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1971. №5. С. 7— 9.

181. Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред // В сб.: Сообщения по прикладной математике. 1976. вып. 3. С. 51-103.

182. Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред // Сообщ. по прикл. мат. ВЦ АН СССР. 1976. вып. 4. 60 с.

183. Никишин B.C. Статические контактные задачи для многослойных оснований. "Механика контактных взаимодействий" — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 214-233.

184. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости длямногослойных сред. М.: Наука, 1973.131с.

185. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задача о неполном контакте кольцевого или кругового штампа с упругой слоистой средой // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 5. С. 27-38.

186. Нуллер Б.М. Некоторые контактные задачи для упругого бесконечного клина//ПММ. 1972. Т. 36. вып. 1. С. 157-163.

187. Нуллер Б.М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой // ПММ. 1974. Т. 38. С. 876-882.

188. Плевако В.П. Распределение напряжений в зоне скачкообразного изменения упругих свойств неоднородного материала // ПММ. 1979. Т. 43. № 4. с. 760-764.

189. Попов Г.Я. К теории изгиба плит на упругом неоднородном полупространстве // Изв. вузов. Сер.:Строительство и архитектура. 1959. № 11-12. С.11-19.

190. Попов Г.Я. Контактная задача теории упругости при наличии круговой области контакта // ПММ. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 207-216.

191. Попов Г.Я. Пластинки на линейно-деформируемом основании // Прикл. механика. 1972. Т.8, вып.З. С. 3-17.

192. Попов Г.Я. Метод ортогональных многочленов // В кн. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976.

193. Попов Г.Я., Ростовцев Н.А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. М.: Наука, 1966. С. 235-252.

194. Попов Г.Я., Хомяк Ю.М. Изгиб круглой пластинки на линейно-деформируемом основании // Мат. к 8-й Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. Ростов-на-Дону. 1971. М.: Наука. 1973. С. 752-756.

195. Попов Г.Я., Хомяк Ю.М. Расчет круглой пластинки, лежащей на линейно-деформируемом основании // Строит, мех. и расчет сооружений. 1972. №5. С. 15-19.

196. Потележко ВЛХ, Филлипов А.П. Контактная задача для плиты, лежащей на упругом основании // Прикл. Механика. 1967. Т. 3, вып.1. С. 87-91.

197. Приварников А.К. Действие неплоского штампа на упругий слой конечной толщины, лежащий на жестком основании // Докл. АН УССР. 1962. №8.С.64-67.

198. Приварников А.К. Пространственная деформация многослойного основания // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск.: Днепропетр. ун-т, 1973. С. 27-45.

199. Приварников А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований. Метод. Разработка. Днепропетровск, 1976. 60 с.

200. Приварников А.К., Ламзюк В. Д. Упругие многослойные основания. 4.1. Днепропетровский ун-т. Днепропетровск,. 1985. 162с. (рук.деп. в ВИНИТИ 23.12.85, №8789-В).

201. Приварников А.К., Стулей В.А. О контакте растянутой полосы с основанием //Гидроаэромеханика и теория упругости. 1985. вып.ЗЗ. С. 118-123.

202. Прокофьев Б.М. Контактная задача для составного клина // В кн.: Взаимодействие в механике конструкций. Киев; Одесса, 1980. С. 52-59.

203. Проценко B.C., Рвачев В.Л. Пластина, имеющая форму бесконечной полосы, на упругом полупространстве // ПММ, 1976. Т. 40, вып. 2. С. 298-305.

204. Рвачев В.Л. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости // Прикладная механика. 1967. Т. 3. № 10. С. 109— 116.

205. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977.235с.

206. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.:1. Наука, 1964. 263 с.

207. Ростовцев Н.А. Об одном интегральном уравнении, встречающемся в задаче о давлении жесткого фундамента на неоднородный грунт//ПММ. 1961. Т. 25, вып. 1. С.271-279.

208. Ростовцев Н.А. К теории упругости неоднородной среды // ПММ. 1964. Т. 28, вып. 4. С.147-156

209. Ростовцев Н.А., Храневская И.Е. Решение задачи Буссинеска для полупространства при степенной зависимости модуля упругости от глубины//ПММ. 1971. Т. 35, вып. 6. С.122-131

210. Сафарян Н.Б. О малонапряженности плосконапряженного составного клина //Изв.АН Армении. Мех. 1994. Т.47, №5-6. С.49-54.

211. Снеддон Я.Н. Преобразования Фурье. М.: ИИЛ, 1955. 668с.

212. Тадевосян Р.Г. Плоская задача для бесконечного составного клина //Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1983. Т. 36, № 6. С. 12-22.

213. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.288 с.

214. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики //М.: Наука, 1972.735 с.

215. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.—JI.: Гостехиздат, 1948.

216. Толстов Г.П. Ряды Фурье // М.: Физматгиз, I960! 390 с.

217. Торская Е.В. Анализ влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями // Трение и износ, 2002, т.23, N 2, 130-138.

218. Триус Е.Б. Изгиб плиты на упругом основании при неполном контакте с основанием (плоская задача) // Науч. докл. высш. школы. Сер.: Строительство. 1958. №3. С. 92-101.

219. Триус Е.Б. Изгиб круглой пластины на упругом основании при неполном контакте с основанием // Научн. докл. высш. школы. Сер.: Строительство. 1958. №4. С. 27-36.

220. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JL: Наука, 1967.404 с.

221. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. JL: Наука, 1977.220с.

222. Федоровский В.Г., Дохнянский М.П. Осадки круглых и кольцевых фундаментов: прогноз и сопоставление с данными натурных наблюдений // Сб. трудов II Балтийской конференции по механике грунтов и фундаментостроения. Т.2. Таллин, 1988. С. 99—106.

223. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: Наука, 1985.350 с.

224. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970. 592 с.

225. Филиппов Н.А. К расчету напряженно-деформированного состояния слоистого массива горных пород // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. 1979. № 2. С. 3—10.

226. Цейтлин А.И. О методе парных интегральных уравнений и парных рядов и его приложениях к задачам механики // ПММ. 1966. Т. 30. № 2. С. 259-266.

227. Цейтлин А.И. Об изгибе круглой пластины, лежащей на линейно-деформируемом основании // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №1. С. 99-112.

228. Чебаков М.И. О дальнейшем развитии «метода больших Ъ> в теории смешанных задач // ПММ. 1976. вып. 3. Т. 40. С. 561-565.

229. Чезари JL Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Мир, 1964.

230. Чернышов А.Д. О деформировании сплошных сред в клиновидной области с гладкими гранями // ПММ. 1975. Т. 39. С. 1093-1099.

231. Шацких JI.C. К расчету изгиба плиты на упругом слое // Изв. АН СССР, МТТ. 1972. №2. С. 170-176.

232. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругостинеоднородных сред//Киев-Одесса: Вища школа, 1977. 110с.

233. Шехтер С.Я. Расчет бесконечной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой //Сб.НИС Фундаментстрой. 1939. №10.

234. Шинджикашвили О.Н. Влияние неоднородности материала на порядок сингулярности упругих решений вблизи вершины углов // Труды Тбилисского матем. ин-та. 1979. Т. LXI. С. 60-67.

235. Ширинкулов Т.В. О расчете балочных плит на упругом основании, модуль упругости которого является функцией глубины // ДАН УзССР. 1967. №9.

236. Ширинкулов Т.В. Расчет круглых плит, лежащих на упругом полупространстве, модуль которого есть степенная функция глубины // Сб. Вопросы механики. Ташкент, 1970. Вып 6. С. 102-122.

237. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1949. 272с.

238. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik I.S. The Analytical solution of the Hertzian contact problem for functionally gradient materials // 19-th Int. Congress Theor. and Appl.Mech. Kioto, Aug 25—31. 1996. Book of Abstracts. P. 644.

239. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik I.S. Approximate analytical solutions of the contact problems for continuously non-homogeneous elastic coatings // Program and Abstracts 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 21-23, 2002. P.9

240. Awojobi A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non-homogeneous stratum //Intern. J. Solids Struct. (1976) Vol. 2, No. 11, pp. 639-748.

241. Brown P.T., Gibson R.E. Surface settlement of a finite elastic layer whose modulus increases linearly with depth // Intern. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1979. Vol. 3, No. 1, pp. 33-47.

242. Bufler H. Die Torsion der Inhomogenen Dicken Platte // ZAMM. 1963. Vol. 43, No. 9. pp. 389-401.

243. Burmister D.M. The General Theory of Stresses and Displacements in Layered System // J.Appl.Phys., 1945. Vol. 16. pp. 89-94; 126-127; 296302.

244. Chen W.T. Computation of Stresses and Displacements in a Layered Elastic Medium // Int. J. Engng. Sci., 1971. Vol. 9 pp. 775-800.

245. Chen Dai-Heng, Nisitani Hironobu Logarithmic singular stress field in bonded wedges // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. Vol. 59, No. 567. pp. 2687-2693.

246. Chen Dai-Heng Condition for occurence of logarithmic stress singularity // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1996. Vol. 62, No. 599. pp.1634-1642.

247. Chen Dai-Heng Analysis of stress singularity at a vertex of bonded wedges based on the separation of variables technique // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1999. Vol. 65, No. 635. pp. 1-8.

248. El-Sherbiney M.G.D., Hailing J. The Hertzian Contact of Surfaces Covered with Metallic Films // Wear. (1996) Vol.40, No3. pp.325-337.

249. Engel P.A. Indentation debonding test for polymer coatings to a substrate // IntJ.Adhesion and adhesives July 1985, pp. 129-132.

250. Giannakopoulos A.E., Suresh S. Indentation of solids with gradients in elastic properties: Part I. Point force.Part II. Axisymmetric indentors // Int. J. Solids Structures. V. 34. (1997) N 19. pp.2357-2428.

251. Gibson R.E. Some Results Concerning Displacements and Stresses in a Nonhomogeneous Elastic Half-space // Geotechnique. Vol. 17. (1967). pp. 58-67.

252. Gibson R.E., Brown P.T., and Andrews K.R.F. Some Results Concerning Displacements in a Non-homogeneous Elastic Layer // Z.Angew. Math, und Phys. 1971. Vol. 22, No. 5, pp. 855-868.

253. Gibson R.E., Kalsi G.S. The Surface Settlement of a Linearly Inhomogeneous Cross-anisotropic Elastic Half-Space // Z.Angew.Math. und Phys. 1974. Vol. 25, No. 6. pp.843-847.

254. Gibson R.E., Sills Gilliane C. Settlement of a Strip Load on a Non-homogeneous Ortotropic Incompressible Elastic Half-Space '// Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1975. Vol. 28, No. 2. pp. 233-243.

255. Krai E.R., Komvopoulos K., Bogy D.B. Elastic-Plastic Finite Element Analysis of Repeated Indentation of a Half-Space by a Rigid Sphere. // ASME Journal of Applied Mechanics. 1993. Vol. 60. pp. 829-841.

256. Kuznetsov Ye.A. Plane contact problem for a half-space with a Poisson's ratio that varies with depth // Wear. Vol. 92 (1983). pp. 171-196.

257. Mishuris G.S. Boundary value problems for Poisson's equation in a multi-wedge multi-layered region // Arch. Mech. 1996. Vol. 48, N 4, pp. 711-745.

258. Moutmitounet P., Edlinger M.L., Felder E. Finite Element Analysis of Elastoplastic. Indentation: Part I Homogeneous Media; Part II — Application to Hard Coatings // Transactions of the ASME. Journal of Tribology. vol.115. 1993. pp. 10-19.

259. Mukherjee S. Torsion problem of a circular die in a non-homoeneous elastic layer perfectly bonded to a non-homoeneous elastic layer rigidly fixed at the other end // Indian J. of Theoretical Physics. 1984. Vol. 32, No. l,pp. 39-46.

260. Shahani A.R., Adibnazari S. Analysis of perfectly bonded wedges and bonded wedges with an interfacial crack under antiplane shear loading // Int/ J/ Solids and Struct. 2000. Vol. 37, No. 19, pp. 2639-2650.

261. Suresh S., Giannakopoulos A.E., Alcala J. Spherical indentation of compositionally graded materials: theory and Experiments // Acta mater. 1997. Vol. 45. No.4. pp. 1307-1321.

262. Inoue Tadanobu, Koduchi Hideo, Yada Toshio Effect of elastic property of intermediate material on order of stress singularity // JSME Int. J. A. 1995. Vol. 38, No. 2, pp. 163-170.

263. Inoue Tadanobu, Koduchi Hideo. Influence of the intermediate material on the order of stress singularity in three-phase bonded structure // Int. J. Solids and Struct. 1996. Vol. 33, N. 3. pp. 399-417.

264. Yingzhi K.Li., Hills D.A. The Herzian Cone Crack // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechnics. Vol. 58, March 1991. p.p. 120

265. Zeng К., Breder К., Rowcliffe D.J. The Hertzian stress field and formation of cone cracks: I. Theoretical approach. II. Determination of fracture toughness// Acta metall. mater. 1992. Vol. 40, No 10. pp. 25952605.