Основные задачи теории упругости для составного клина тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

С

Иванов Эдуард Георгиевич

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО КЛИНА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата фнзико - математических наук

ии3487733

Воронеж-2009

003487733

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова».

Научный руководитель:

кандидат физико - математических наук, доцент Кулагина Марина Фокеевна

Официальные оппоненты:

доктор физико — математических наук, профессор Сильвестров Василий Васильевич

доктор физико - математических наук, профессор Ковалёв Алексей Викторович

Ведущая организация:

Ульяновский государственный технический университет

Защита состоится 24 декабря 2009г. в 15:20 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 в Воронежском государственном университете по адресу: Россия, 394006, г.Воронеж, Университетская пл., 1, конф. зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан « » ноября 2009 г.

Ученный секретарь диссертационного совета Д 212.038.24 кандидат физико - математических наук

С.Д. Махортов

Актуальность темы. Механика контактного взаимодействия является одним из ведущих направлений в механике деформируемого твердого тела. Несмотря на то, что получены решения большого количества контактных задач, как аналитическими методами, так и численными, построение и исследование моделей контактного взаимодействия остается актуальным и сегодня в связи с разработкой новых материалов и технологий, предъявлением новых требований к условиям и срокам эксплуатации узлов трения. Научный интерес к этой проблеме обусловлен многообразием процессов и явлений, протекающих при контактном взаимодействии и трении поверхностей.

Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов — это работы B.C. Тонояна, С.А. Лутченко, Г.Я. Попова, М.И. Бронштейна, В.М. Александрова, И.И. Воровича, В.В. Копасенко, Б.И. Сме-танина, В.Т. Койтера.

Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г. Акопяна, В.Г. Блиновой, A.M. Линькова, М.С. Быркэ, В. Д. Ламзюка, А. И. Феденко, Б.М. Прокофьева (метод функций податливости), Н.Б. Сафаряна, Чен Дай-Хенга (метод разделения переменных), Ж. С. Мишуриса. Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса, исследовался в работах А.Г. Акопяна. О.Н. Шинджикашвили; В.В. Лапенко решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных и методом ортогонализации. В работах В.Г. Блиновой, A.M. Линькова предлагался эффективный метод нахождения асимптотик напряжений и смещений в окрестности общей вершины упругих клиньев. Преимущество метода состоит в том, что независимо от числа клиньев используются матрицы не выше второго порядка. Это обеспечивается учетом геометрической особенности проблемы - клинья образуют систему типа цепочки. Применение преобразования Меллина и использование этой особенности приводит задачу к системе трехточечных разностных уравнений с матрицами не выше второго порядка, определитель которой вычисляется методом прогонки. Приводятся соответствующие формулы для открытых и замкнутых систем упругих клиньев, при полном сцеплении и прскальзывании на контактах, для плоской и антиплоской деформации. М.С. Быркэ приводит решение плоской задачи теории упругости для клина с модулем, зависящим непрерывно от полярного угла, под действием сосредоточенной в его вершине силы. С помощью функции Хеви-сайда осуществляется переход к дискретному случаю. В работах В.Д. Ламзюка, А.И. Феденко предлагался способ решения основных граничных задач плоской теории упругости для неоднородной среды, составленной из произвольного числа скрепленных клиньев. Способ основан на использовании введенных в статье функций податливости составного клина. Н.Б. Сафаря-ном рассматривалось напряженное состояние на крае контактной линии составного клиновидного тела со степенным законом упрочнения материалов в условиях плоско - напряженного состояния. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон неод-

нородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г. Б. Колчина.

Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред и в связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка методов решения задач теории упругости для неоднородных клиновидных областей.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка аналитических методом решения основных задач плоской теории упругости для плоско - напряженного однородно - изотропного бесконечного клина, а так же для клина:

1) составленного из двух однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными,

2) составленного из N однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными.

На стыке клиньев рассматриваются следующие контакты: жесткий, гладкий, контакт с трением.

Решение конкретных задач, построение графиков найденных напряжений и смещений.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1) построение структуры искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами;

2) построение систем линейных алгебраических уравнений конечного порядка, из которых эти коэффициенты определяются;

3) исследование и решение полученных систем;

4) доказательство сходимости рядов, дающих искомое решение;

Методами исследования является классические подходы к построению математических моделей деформируемых сред, решение систем уравнений в частных производных при помощи степенных рядов с функциональными коэффициентами. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в среде Maple 12.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) постановка основных задач теории упругости для клина, состоящего из двух или нескольких клиновидных областей с различными упругими постоянными;

2) структура искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными функциональными коэффициентами;

3) метод нахождения этих коэффициентов;

4) доказательство сходимости рядов, дающих решение полученных задач;

5) решение конкретных задач, построение графиков.

Научная новизна результатов работы:

1) построена структура механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными функциональными коэффициентами;

2) основные задачи теории упругости для плоско - напряженного однородно - изотропного бесконечного клина сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;

3) основные задачи теории упругости для плоско - напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или N) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;

4) получены аналитические решения в виде степенных рядов, сходящихся абсолютно и равномерно внутри заданных клиновидных областей, и имеющих бесконечный радиус сходимости;

5) рассмотрены конкретные задач, построены приближения найденных механических параметров к граничным условиям.

Достоверность полученных результатов работы обеспечивается корректностью постановок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и математической строгостью методов их решения, а также сравнением с известными из литературы результатами.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости степенных рядов к решению основных задач плоской теории упругости для плоско - напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или Ы) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными, сведении подобных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчете напряжений элементов клиновидных конструкций из различных материалов во многих областях техники, а так же позволяют построить графики искомых механических параметров.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на:

1) 41-ой студенческой (региональной) научной конференции по гуманитарным, естественным, техническим наукам (Чебоксары, 2007);

2) международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2008);

3) X международной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" и международной научной конференции "Гидродинамика. Механика. Энергетические установки" (Чебоксары, 2008);

4) международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2009);

5) X всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, 2009);

6) шестой всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и Краевые задачи» (Самара, 2009);

7) всероссийской конференции «СамДиф-2009» (Самара, 2009);

8) девятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009);

9) 5-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Белоруссия, 2009);

10) всероссийской научно - практической конференции "Механика: современное состояние, проблемы, перспективы" (Чебоксары, 2009).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 189 страниц, включая список литературы из 146 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, приводятся обзор литературы по теме диссертационной работы и ее краткое содержание.

Первая глава «Решение основных задач теории упругости для клина» состоит из трех параграфов и носит вспомогательный характер. Основной целью главы является получение структуры механическим параметров в виде степенных рядов, для дальнейшего их использования в следующих главах, а также решение основных задач плоской теории упругости для однородно -изотропного бесконечного клина. Рассматриваются примеры, строятся графики найденных напряжений и перемещений, а также их приближение к граничным функциям.

В § 1 решается задача со следующей постановкой: найти упругое равновесие однородно-изотропного клина с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V, ограниченного в полярной системе координат (/-,0) лучами 9=0 и 0=а, ае(0,я), (0</-<<»), для случая плоского напряженного состояния.

На границах клина 6=0 и 8=а заданы напряжения в виде степенных рядов с бесконечными радиусами сходимости:

°е(ле)|<ы,=£/лО)Лт>,9)|е=0 =

п=0 л=0 ^^

= ¿/„(2)Лт>,е)|0ч1 = |><2У.

п=О п-0

Вершина клина закреплена, вращение в фиксированной точке с координатами 0=0, г - г0, (г0 > 0) отсутствует.

Решение ищется в виде степенных рядов

аг(г,в) = Х Лп(е)г»,<тв(г,е)=£ вп(ву",

п = 0 л = 0

00

Е С„(в)г\ (2)

п = 0

и(г,0)= £ Д,(в)г",у(г,0)= 2 ^„(9)г\

п=0 п=0

где функции Ап (9), Вп (9), С„ (9), Ц, (0), (0) определяются подстановкой (2) в дифференциальные уравнения равновесия, уравнения неразрывности и закон Гука.

С учетом того, что вершина клина закреплена, вращение в фиксированной точке с координатами 6=0, г = г0, (го>0) отсутствует, получаем следующую структуру искомых механических параметров:

а, (г,в) = -а0 31п(20) - Ь0 соб(20) + сг09 + </0 +

+£{-ая %\п((п + 2)9) - Ъп со5((п + 2)0) -

п* 0

-с„ 5Ш(иО) - с1п соз (и0)) г'', я + 2 л+2

а00\9) = а0 зт(29) + Ь0 соб(29) + со0 + с10 + 5т((« + 2)0) + Ьп со${(п + 2)0) +

л* 0

+Сп 5Ш(и0) + с/„ СО5(н0))г",

*,е(г>в) = -а0 со$(20) + Ьа бш(20) + +£(-а„ со5((л + 2)0) + Ъп зт((и + 2)0) -

п* 0

-с„ —— СОЗ(/70) + йп ——БШ(а20)) /*",

м(г,0) = — (-а0(1 + у)вт(20) - 60(1 + У)СО5(20) + ¿0(1 - у))г +

+1уГ_а (1 + У)5т((и + 2)е) ъ (1 + У)СО5((И + 2)0) + (я + 1) " (я + 1)

(\п + 2х + п-2) . . ,ч , (уи + 2у + и - 2) Л „+1

—С ---51П(и9)-^ ---СОБГИВ) г ,

" (и + 1)(и + 2) " (и + 1)(и + 2) ^

(3)

у(г,9) = —(-а0(1 + У)соб(29) + й0(1 + у)5ш(29))г + Е

с

(1 + У)СО5((И + 2)9) , (1 + у)зт((и + 2)9)

—а--1- л--

(и + 1) " (и + 1)

(уп + п + 4) ... , (ул + и + 4) . , „Л

-с„--—соз(и0)+й?л —-—З1п(и9) +

"(и + 1)(и + 2) (л+!)(« +2) ^

4 +—

£

г,

где ап,Ьп,сп,с1п,(п = 0,оо) - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (1).

Подставив (3) в граничные условия (1) и приравнивая множители при соответствующих степенях г, получаем системы линейных алгебраических уравнений четвертого порядка.

При п = 0 система, имеет вид

¿0+4,=/о"' 1

а0 Бт(2а) + Ь0 С0Б(2а) + с0а + с(0= /0<2) -а0 С0Б(2а) + Ъ0 зт(2а) - = g¡)2)

Из (3) видно, что для однозначности напряжений необходимо, чтобы

с0=0.

Условие (4) выполняется, если

/<2> = /•« е<2> =_„(') УО /о »60 50

и решение примет вид

с„=0,^0 = я<1)1ё(а) + /0(1). При пфО матричная запись системы следующая

4А = я,>

где

0 10

(4)

(5)

(6) (7)

-1 о

5т((и + 2)а) соз((я + 2)а)

и

и + 2 зт(иа)

-со5((и + 2)а) $т((и + 2)а)--соз(иа)

п + 2

1 0

соз(иа) п

п + 2

Б1п(иа)

м ( л» Л 3 п

II к Сп м > II £ Л2) ^ п \оп /

Показано, что система (7) совместна и имеет единственное решение. Доказано, что (3) сходятся равномерно и абсолютно в рассматриваемой клиновидной области. Сформулирована теорема единственности решения.

Решены конкретные примеры, в частности, когда грань клина 0 = 0 находится под действием гидростатического давления, а грань 0 = а свободна от усилий. Найденные механические параметры совпадают с результатами, полученными в книге Папковича П.Ф. «Теория упругости», правда, в последнем случае, перемещения не определялись вообще.

Также рассмотрен пример, когда угол раствора медного клина а = —

6

(V = 0.25,£ = 1.37 -10"), а граничные условия представлены в виде рядов:

п=0 И'

=£(-!>"■-^ЛъМо, =0.

п=0 п\

Построены приближения найденных напряжений к граничным условиям (см. рис. 1-4). Линиями нарисованы приближения найденного решения к граничной функции, которая имеет точечный вид.

Рис. 1. Приближение ое(г,9) (в а) к Рис. 2. Приближение ав(г,0) (0 0) к

».о п- »-о Я!

о us i и 2 о ад 1 а

г г

Рис3. Приближение xrt(r,0) (0 -> а) к Рис. 4. Приближение trt(r,8) (О -> 0)к *Жв)к=0 т>,9)|в=о = 0

В § 2,3 рассматриваются задачи со следующей постановкой: найти упругое равновесие однородно-изотропного клина с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v, ограниченного лучами 6=0 и 9=а, а е (0,я), (0<г <со), для случая плоского напряженного состояния.

На гранях клина 0=0 и 9=а в § 2,3 заданы, соответственно, следующие граничные функции

«М)|е=0 = t/„(V,v(/-,9)|e=0 =f><V,

п-О л=0

=£/„(V,v(r,e)|e.a=£giV,

/1=0 л=0

И

OeWOL=I/n(V,Trt(r,e)|e=0= f><V,

n=0 я=0

=Z/n(v,v(r,e)|e=a

/1=0 n=0

с бесконечными радиусами сходимости.

В § 2,3 аналитические решения задач получены соответственно на основе выражений Папковича - Нейбера и уравнений Ляме. При этом на граничные функции накладываются некоторые условия. Структуры искомых механических параметров строятся в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами. Эти коэффициенты находятся из систем линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Показано, что существуют значения а^ е(0;л), при которых определитель одной из систем обращается в нуль и соответствующие коэффициенты не определяются. Если определители систем отличны от нуля, то решения в виде степенных рядов единственны. Ряды сходятся абсолютно и равномерно в клиновидной области. Представлены чи-

еловые расчеты, когда граничные функции имеют вид: полиномов, степенных рядов и целых функций. Построены графики найденных механических параметров, а также их приближения к граничным функциям.

Во второй главе решаются задачи о равновесии плоско — напряженного бесконечного клина, составленного из двух однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными. Рассматриваются случаи жесткого контакта, гладкого контакта, контакта с трением на стыке областей. Используя структуры напряжений и перемещений для каждой клиновидной области, полученные в первой главе, задачи сводим к системам линейных алгебраических уравнений восьмого порядка. Представлены числовые расчеты. Построены графики найденных напряжений и перемещений, а так же их приближение к граничным функциям и условиям стыка.

В § 1 рассматривается задача о равновесии плоско - напряженного упругого клина, составленного из двух однородно- изотропных клиновидных областей О<0<а и —Э<6<0, (0<г<со), (а+Р<я) с модулями упругости и коэффициентами Пуассона v , v соответственно.

На луче 0 = 0 заданы условия жесткого сцепления:

=°(e2V,e)L' =^'01о>

Здесь и ниже, верхний индекс 1 соответствует клиновидной области О<0<а, (0<г<оо) с параметрами v(1),£(1), а индекс 2 - области -Р<8<0,(0<г<оо)с параметрами v(2),£(2).

На гранях клина 8 = ~р и 0 = а заданы напряжения в виде степенных рядов с бесконечными радиусами сходимости:

оо оо

<4V,e)L=I/;v,T?9V,0)U=V,

л=0 п-0 ^

^wok-p=ЕГЛт^е)!^=¿¿v.

л=0 л=0

Вершина составного клина жестко закреплена.

Для каждой клиновидной области справедливы формулы (3), неизвестные коэффициенты в которых находятся из систем линейных алгебраических уравнений восьмого порядка. Доказано, что напряжения и перемещения, полученные по формулам (3), сходятся абсолютно и равномерно каждый в своей клиновидной области.

В числовых расчетах рассмотрен пример о равновесии клина, состав-

71

ленного из меди и железа в следующей постановке: пусть область 0 < 0 < —,

6

(О<г <оо) занимает медь (v(I) = 0.25, Ет = 1.37-10й), а область -^<0<О,

(О<г<со) - железо (v<2) = 0.26, Ет =1.68-10"). Граничные условия представлены в виде степенных рядов:

п=1 л=I \п )■

«И-

Решение определятся из (3). Построены графики приближений напряжений ае(1)(г,0), ае(2)(г,0), тл0(1)(г,6), т^(2)(г,0) к граничным условиям, смотрите рис. 5-8. Линией нарисованы функции граничных условий, а точечные графики представляют собою приближение найденных напряжений к этим функциям.

Рис. 5. Приближение ое( (г,0) (0 а) к Рис. 6. Приближение суе (г,0) (0 -» ~Р)

-4

\ I ' 2 ' :

1

■ [ ....... ................................4....................................... ♦ ♦ ♦

♦ ♦ ♦ ♦ .........

.........!■■ ■■■■:.......

Рис7. Приближение т^М) (в->а) Рис. 8. Приближение т^<2)С.0) (в->-р) к

В § 4,7 рассматривается равновесие плоско — напряженного упругого клина, составленного из двух однородно - изотропных клиновидных областей 0<9<а и -р<9<0, (0</-<со), (а+Р<гг) с различными упругими постоянными. На стыке областей заданы соответственно условия гладкого контакта:

и условия контакта с трением:

хйЧг.9)|м = ^о,Лг.9)|кв,Аг.9)|Н| = ^(г,9)|м),

Граничные условия представлены в виде (9). Задачи сведены к системам алгебраических линейных уравнений восьмого порядка. Получены аналитические решения в виде рядов, доказана их абсолютная и равномерная сходимость. Рассмотрены примеры, построены графики найденных напряжений и перемещений.

В § 2, 3, 5, 6, 8, 9 рассмотрены основные задачи (вторая и третья) для плоско - напряженного упругого клина, составленного из двух однородно -изотропных клиновидных областей 0<6<а и —р <9 < 0, (0 < г < оо),

(а+р<я) с модулями упругости Ет,Е(2) и коэффициентами Пуассона V0', У<2) соответственно. На стыке областей рассмотрены условия (8), (10), (11). Задача сведена к системам алгебраических линейных уравнений восьмого порядка. Получены аналитические решения в виде рядов, доказана их абсолютная и равномерная сходимость. Рассмотрены примеры, построены графики найденных напряжений и перемещений.

В третьей главе рассматривается общая задача о равновесии плоско -напряженного упругого клина, составленного из N однородно- изотропных клиновидных областей аи_, < 9 < ат, (т = , (0 = а^а^... < аЛ, < п), (0 < г < со), с упругими постоянными (£0),у0)),7 = 1,/^ соответственно. На лучах Q = aJ,j = \,N-l задано одно из условий контакта: жесткий контакт,

гладкий контакт, контакт с трением. Используя структуры напряжений и перемещений для каждой клиновидной области, полученные в первой главе, задачу сводим к системам линейных алгебраических уравнений порядка 4Ы. При совместности систем, задача имеет единственное решение. Доказательство сходимости рядов, дающих решение, можно провести аналогично тому, как это сделано во второй главе.

В заключении приведены основные результаты исследования, а именно:

1) Рассмотрены основные задачи теории упругости для однородно - изотропного бесконечного клина. Структура искомых напряжений и смещений

найдена в виде степенных рядов с помощью уравнений статики и выражений Папковича - Нейбера. Неизвестные коэффициенты в структуре определены из систем линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Показана абсолютная и равномерная сходимость найденных механических параметров. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров, а так же их приближения к граничным функциям.

2) Рассмотрены основные задачи теории упругости для бесконечного клина, состоящего из двух однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными. Задача сведена к системам линейных алгебраических уравнений восьмого порядка относительно неизвестных коэффициентов в искомых структурах. Показана абсолютная и равномерная сходимость найденных механических параметров в соответствующих клиновидных областях. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров, а так же их приближения к граничным функциям.

3) Приведена общая схема решения задач плоской теории упругости для бесконечного клина, состоящего из конечного числа клиновидных областей с различными упругими постоянными, на стыке которых заданы условия контакта (жесткого, гладкого или контакта с трением).

Личный вклад автора в опубликованных работах определяется следующим: 1) построена структура механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными функциональными коэффициентами [1], [4], [7], [10]; 2) сформулированы и решены основные задачи теории упругости для клина, составленного из двух или нескольких клиновидных областей с различными упругими постоянными, рассмотрены примеры, построены графики приближения найденных решений к граничным функциям [2], [3], [5], [6], [8], [9].

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Кулагина, М.Ф. Решение первой основной задачи теории упругости для клина с помощью степенных рядов / М.Ф. Кулагина, Э.Г. Иванов // Известия ТулГУ. Естественные науки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - Вып. 2. - С. 127-138.

Статьи и материалы конференций:

2. Иванов, Э.Г. Некоторые краевые задачи теории упругости для составного клина / Э.Г. Иванов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва: Опипм, 2009. — Т. 16, вып. 5-С. 854-855.

3. Иванов, Э.Г. О равновесии составного клина / Э.Г. Иванов // Механика: современное состояние, проблемы, перспективы: материалы всероссийской научно-практической конференции, посвященной 95-летию первого ректора Чувашского госуниверситета Семена Федоровича Сайкина. 25 сентября 2009 г. - Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 2009 - С. 108-112.

4. Иванов, Э.Г. О решении задачи теории упругости для клина в степенных рядах / Э.Г. Иванов // XXXIV Гагаринские чтения: научные труды не-ждународной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 1-5 апреля 2008 г. / Ответственный редактор Н.Н. Сердюк. - М.: МАТИ, 2008.-Т.1-С. 134-135.

5. Иванов, Э.Г. Об одной задаче теории упругости для составного клина / Э.Г. Иванов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Математическое моделирование и краевые задачи: труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы девятой международной Казанской летней научной школы - конференции. 1-7 июля 2009 г. - Казань: Издательство Казанского математического общества Казанского госуниверситета, 2009. - Т.З 8. - С.140-141.

6. Иванов, Э.Г. Основные краевые задачи теории упругости для составного клина в случае гладкого контакта слоез I Э.Г. Иванов // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов международной конференции. - Минск: ИМ НАНБ, 2009. - С. 74-75.

7. Иванов, Э.Г. Решение третьей основной задачи теории упругости для клина с помощью степенных рядов / Э.Г. Иванов // Прикладная математика и механика: Сб. науч. тр. -Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2009. - С. 118-129.

8. Иванов, Э.Г. Решение второй основной задачи теории упругости для составного клина с помощью степенных рядов / Э.Г. Иванов // XXXV Гагаринские чтения: научные труды международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 7-11 апреля 2009 г. - М.: МАТИ, 2009. -Т.1 -С. 107-109.

9. Иванов, Э.Г. Решение первой основной задачи теории упругости для составного клина с помощью степенных рядов / Э.Г. Иванов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой всероссийской научной конф. с междунар. участием. 1-4 июня 2009 г. Часть 1. - Самара: СамГТУ,2009.-С. 113-115.

10. Кулагина, М.Ф Решение второй основной задачи теории упругости для клина с помощью степенных рядов / М.Ф. Кулагина, Э.Г. Иванов // Сборник трудов X Международной научной школы. «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки». - Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008.-С. 583-588.

с*

Подписано к печати 16.11.09. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № К-619.

Отпечатано в типографии ГУЛ ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. Ивана Яковлева, 13.

Введение.

Глава 1. Решение основных задач теории упругости для клина.

§ 1. Решение первой основной задачи теории упругости для клина.

§ 2. Решение второй основной задачи теории упругости для клина.

§ 3. Решение смешанной основной задачи теории упругости для клина.

Глава 2. Решение основных задач теории упругости для составного клина.

§ 1. Решение первой основной задачи для составного клина в случае жесткого сцепления.

§ 2. Решение второй основной задачи для составного клина в случае жесткого сцепления.

§ 3. Решение смешанной основной задачи для составного клина в случае жесткого сцепления.

§ 4. Решение первой основной задачи для составного клина в случае гладкого контакта.

§ 5. Решение второй основной задачи для составного клина в случае гладкого контакта.

§ 6. Решение смешанной основной задачи для составного клина в случае гладкого контакта.

§ 7. Решение первой основной задачи для составного клина в случае контакта с трением.

§ 8. Решение второй основной задачи для составного клина в случае контакта с трением.

§ 9. Решение смешанной основной задачи для составного клина в случае контакта с трением.

Глава 3. Решение основных задач теории упругости для N составного клина.

Контактные задачи являются центральными в механике деформируемого твердого тела, так как контакт — это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, кроме того, концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала. Аналитические решения могут быть получены только для очень ограниченного класса контактных задач, поэтому важно развивать численные и численно-аналитические методы их решения.

Особое значение в настоящее время имеют контактные задачи для неоднородных сред, так как непрерывное изменение механических свойств по одной из координат характерно для многих тел, что связано с условиями их создания и эксплуатации.

Сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов поддерживает высокая стоимость и длительность испытаний на износ, а также необходимость осмысления результатов этих испытаний.

Известно, что решения смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязко-упругости, теории консолидации [1, 2, 15], теории разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их исследования, являются общими для целого класса задач математической физики.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ по механике как многослойных, так и непрерывно-неоднородных сред. Обширный список работ, опубликованных до 1982 г., приведен в библиографическом указателе [69]. Там же предлагается следующая классификация неоднородных сред: 1) слоистые среды (многослойные); 2) непрерывно-неоднородные; 3) статистические; 4) разнородные.

Постановка и исследование контактных задач для неоднородных сред, в достаточно общем виде, стали возможны, с одной стороны, благодаря развитию аналитических методов решения статических и динамических контактных задач для классических и неклассических областей, а с другой стороны, вследствие возросших возможностей вычислительной техники. Подробный обзор основных результатов для многослойных сред дан B.C. Никишиным в монографии [2].

К решению плоских задач теории упругости часто применяется интегральное преобразование Меллина, которое дает эффективные результаты для клиновидных областей, ограниченных двумя бесконечными лучами, исходящими из одной точки. Применяя систему полярных координат (г,0), в которой эти лучи являются линиями 0=сопз1, бигармоническую функцию представляют в виде комплексного интеграла по параметру р от выражения

ЛО)соз(1 - ¿0е+£(»т(1 - + СО)соз(1+р)е + И{р) 5т(\+р)Ву-р причем путь интегрирования выбирается в соответствии с поведением искомой функции при г -> О и г ->со [119].

На возможность построения функции Эри в указанной форме было, по-видимому, впервые указано В. М. Абрамовым [3] (см. также [134]); однако им не были доведены до конца необходимые выкладки. Частный случай клиновидной пластины — бесконечная плоскость с прямолинейным разрезом — рассматривался в статьях Барнарда [133] и А.И. Лурье [83]. Несколько позднее А.И. Лурье и Б.З. Брачковским [85] при помощи функций комплексной переменной и интегралов Меллина было дано общее решение плоской задачи для клина с произвольным углом раствора, а также проведены некоторые численные расчеты. Аналогичные задачи впоследствии рассматривались Трантером в работе [145].

Я.С. Уфляндом в [119, 122] с помощью интегрального преобразования Меллина получено точное решение основных задач теории упругости для клина. Л.М. Куршин [74] исследовал частный случай квадранта.

Применению преобразования Меллина к различным плоским задачам для упругого клина посвящены также статьи С.Г. Лапшина [81], Годфри [136] и работы Пехоцкого и Зорского [141, 142] по расчету температурных напряжений в клине. Плоская задача теории упругости для анизотропного клина исследовалась В.М. Абрамовым [3] (см. также статью П.П. Куфарева [75]). На основе общих решений, относящихся к равновесию безграничного клина, С.Г. Шульманом [129, 130] детально изучались случаи нагрузок, связанные с расчетом плотин треугольного профиля, в том числе и для слоистой структуры. В диссертации того же автора [131] приведен большой численный и графический материал, относящийся к расчетам напряжений в клине, проведенным на электронной машине.

С помощью интегрального преобразования Меллина Вилльямс [146] исследовал напряженное состояние в окрестности угловой точки клина (см. также работы [49, 128, 143]). Этот вопрос связан со свойствами корней некоторых классов трансцендентных уравнений.

Существенным этапом в дальнейшем развитии метода интегральных преобразований применительно к задачам теории упругости являются работы С. М. Белоносова [33] и его диссертация [34], в которых использование интегральных преобразований Фурье и Меллина в сочетании с интегралами типа Коши позволило провести ряд исследований, относящихся к областям с угловыми точками, и дать, в частности, эффективное решение некоторых задач для клина.

Нагруженный клин вдоль граней и в вершине в произвольном направлении рассматривался соответственно в [116] и [124]. В [101, 116] задачи для клина решаются, для случая, когда заданные функции являются полиномами по г.

Работа [8] посвящена напряженному состоянию однородного упругого клина, который на некотором отрезке своей срединной линии ослаблен трещиной, на одном берегу которой заданы компоненты смещения, а на другом -компоненты напряжения. Задача, в общем случае, математически формулируется в виде системы двух сингулярных интегральных уравнений второго рода и решается методом ортогональных многочленов Якоби.

В работе [22] при помощи преобразования Меллина решена задача плоской деформации анизотропного клина в общем случае прямолинейной анизотропии. Полученное решение позволяет определить области изменения геометрических и физических параметров задачи, когда напряжения в вершине клина имеют особенности.

В [35] рассматривается задача о продольной трещине в упругом клине при следующих условиях на грани клина: упругий клин зажат между двумя гладкими жесткими основаниями, силы трения между основаниями и клином отсутствуют. Трещина расположена симметрично относительно граней. К поверхности трещины приложена нормальная нагрузка, поддерживающая ее в раскрытом состоянии. Излагается решение задачи для малых значений параметра лямбда и для любых значений угла бета. Основу метода составляет разбиение интегрального уравнения на два, сводящихся к одному, которое решается методом последовательных приближений. Методом Винера-Хопфа решение интегрального уравнения получается в замкнутом виде. Идея факторизации Койтера позволяет представить решение в форме, удобной для практического использования.

Задачу о действии сосредоточенной силы на вершину плоского бесконечного клина, состоящего из материала, чувствительного к виду напряженного состояния, рассматривал O.A. Чернышов [125].

Аналогично плоской задаче теории упругости с помощью интегралов Меллина можно получить решение задачи изгиба клиновидной плиты с закрепленными краями. Этому вопросу посвящена диссертация И.Е. Сахарова [113], в которой дано подробное (вплоть до численных расчетов) решение указанной задачи для случая сосредоточенной нагрузки. Построение функции Грина в этой работе проведено с помощью выделения частного решения неоднородного бигармонического уравнения. Общее решение задачи изгиба клиновидной плиты дано в статье автора [121] ив книге [119], причем решение, отвечающее любым образом распределенной внешней нагрузке и произвольным краевым условиям, получено путем непосредственного применения интегрального преобразования Меллина к неоднородному бигармоническому уравнению и граничным условиям задачи.

Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов — это работы B.C. Тонояна, С.А. Лутченко, Г.Я. Попова, М.И. Бронштейна, В.М. Александрова, И.И. Воровича, В.В. Копасенко, Б.И. Сме-танина, В.Т. Койтера.

Исследования локального напряженного состояния в вершине составного клина рассматривались в работах [14, 24, 39, 53, 54, 86, 96,115, 140, 144]. Было показано, что в окрестности общей вершины двух сцепленных клиньев могут возникать интегрируемые особенности, причем их тип зависит от характеристик материалов в локальной геометрии соединения.

Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г. Акопяна [6, 7], В.Г. Блиновой, A.M. Линько-ва [39], М.С. Быркэ [40], В.Д. Ламзюка, А.И. Феденко [77], Б.М. Прокофьева [108] (метод функций податливости), Н.Б. Сафаряна [112], Чен Дай-Хенга [135] (метод разделения переменных), Ж.С. Мишуриса [139].

Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса, исследовался в работах А.Г. Акопяна [6, 7]. О.Н. Шинджикашвили [126]; В.В. Лапенко решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных [78, 79] и методом ор-тогонализации [80]. В работах В.Г. Блиновой, A.M. Линькова [39] предлагался эффективный метод нахождения асимптотик напряжений и смещений в окрестности общей вершины упругих клиньев. Преимущество метода состоит в том, что независимо от числа клиньев используются матрицы не выше второго порядка. Это обеспечивается учетом геометрической особенности проблемы - клинья образуют систему типа цепочки. Применение преобразования Меллина и использование этой особенности приводит задачу к системе трехточечных разностных уравнений с матрицами не выше второго порядка, определитель которой вычисляется методом прогонки. Приводятся соответствующие формулы для открытых и замкнутых систем упругих клиньев, при полном сцеплении и проскальзывании на контактах, для плоской и антиплоской деформации. М.С. Быркэ в [40] приводит решение плоской задачи теории упругости для клина с модулем, зависящим непрерывно от полярного угла, под действием сосредоточенной в его вершине силы. С помощью функции Хевисайда осуществляется переход к дискретному случаю.

В работах В.Д. Ламзюка, А.И. Феденко [77] предлагался способ решения основных граничных задач плоской теории упругости для неоднородной среды, составленной из произвольного числа скрепленных клиньев. Способ основан на использовании введенных в статье функций податливости составного клина. Приводились рекуррентные соотношения для построении функции податливости и алгоритм решения основных граничных задач.

Н.Б. Сафаряном в [112] рассматривалось напряженное состояние на крае контактной линии составного клиновидного тела со степенным законом упрочнения материалов в условиях плоско - напряженного состояния.

Для радиально — неоднородного тела задачи теории упругости исследовались В. И. Андреевым [23] и О. Д. Григорьевым [48]. Заметим, что эти зависимости недостаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в этом случае существуют точки, в которых упругие модули равны нулю. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон неоднородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г. Б. Колчина [68].

Температурные воздействия на неоднородный клин рассматривались в работах [68, 79].

Аветикяном В.Е. и Акопяном A.C. в [4] рассматривается контактная задача для упругого клина с двумя конечными стрингерами. Стрингеры находятся на разных гранях клина, причем один из них выходит к ее вершине, а второй находится на некотором расстоянии от вершины. Клин деформируется под действием сосредоточенных сил, приложенных к концам стрингеров. Задача при помощи метода факторизации и метода ортогональных многочленов Чебышева сводится к решению квазивполнерегулярной совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно вычетов трансформантов Меллина и коэффициентов разложения Чебышева ин-тенсивностей контактных напряжений.

В [99] В.И. Остриком рассмотрена задача о контакте двух упругих клиньев, где предполагается, что до нагружения клинья соприкасаются своими вершинами. После нагружения берега клиньев входят в контакт вблизи их общей вершины. Построенная система парных интегральных уравнений сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с разностным ядром на полуоси. Уравнение Фредгольма решено точно путем сведения его к краевой задаче Римана для аналитических функций. Далее им же в [100] была исследована общая задача о контакте двух упругих клиньев с учетом сил трения, возникающих в зоне контакта, где, автор, полученное сингулярное интегральное уравнение второго рода с разностным ядром на полуоси свел к краевой задаче Римана для аналитических функций.

В статье [132] исследуется антиплоская задача о напряженно деформированном состоянии кусочного клина, состоящего из двух однородных клиньев с различными углами раскрытия и содержащего на линии соединения систему произвольных коллинеарных трещин. С помощью интегрального преобразования Меллина задача приводится к решению сингулярного интегрального уравнения относительно плотности дислокаций перемещений на трещинах. Затем проблема сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с ядрами, которые представляются в виде суммы ядер Коши и регулярных ядер. Эта система уравнений решается известным численным методом.

В решение плоских контактных задач для упругого клина значительный вклад внес В. М. Александров с соавторами [17, 19]. Ими рассмотрены задачи о плоской деформации бесконечного упругого клина, в одну грань которого без учета сил трения вдавливается плоский, наклонный или параболический жесткий штамп, а на другой грани выполняется одно из следующих условий: отсутствие напряжений, скользящая или жесткая заделка. Для решения интегральных уравнений в этих работах развиваются регулярный и сингулярный асимптотические методы (в зависимости от значения основного безразмерного параметра, характеризующего относительную удаленность области контакта от вершины клина), метод получения точного решения интегрального уравнения после специальной аппроксимации функции-символа ядра, другие методы.

В. Н. Беркович [37] применил метод факторизации матриц-функций к решению плоских контактных задач для клина, жестко сцепленного со штампом. Б.М. Нуллер [95] изучил плоскую контактную задачу для упругого клина, подкрепленного стержнем равного сопротивления. Двумерные задачи для упруго контактирующих клиньев при наличии трения рассматривались в работах А.Б. Дыхнова [51, 52].

В книге [43] XII глава посвящена приближенному решению плоской задачи о действии штампа на упругий клин с одной жестко защемленной гранью, где получено интегральное уравнение задачи, изучены свойства его ядра. Найдены простые асимптотические решения, позволяющие в комплексе изучить задачу при всех значениях входящих параметров. Получено замкнутое решение задачи при специальной аппроксимации ядра путем решения некоторого парного интегрального уравнения.

В [20] методом однородных решений исследована контактная задача о сдвиге штампом усеченного плоского клина. Задача сведена к решению бесконечной системы второго рода высокого качества типа систем Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части. Задача имеет самостоятельный интерес и в тоже время может служить моделью для значительно более сложных задач.

Взаимодействие вязкоупругого стареющего клина с гладким жестким штампом при угловом наращивании и контактная задача для клина при произвольном наращивании рассматривались в [25].

Для решения первой основной трехмерной задачи теории упругости для клина в [107] используется метод, состоящий в сведении ее при помощи комплексного интеграла Фурье-Канторовича-Лебедева к обобщенной по И.Н. Веку а краевой задаче Гильберта. Даются формулы, позволяющие рассчитать полностью вектор перемещений и тензор напряжений в пространственном упругом клине, одна грань которого свободна от напряжений, а на другой действует нормальная и касательная (перпендикулярно ребру) нагрузка.

Вторая основная задача теории упругости для трехмерного клина решена Я. С. Уфляндом [119] при помощи вещественного интегрального преобразования Конторовича-Лебедева. Им же [120] впервые обращено внимание на возможность решения первой основной задачи для клина из несжимаемого материала и намечен путь построения приближенного решения при учете сжимаемости. Задачи о нагрузке, действующей на несжимаемый трехмерный клин, рассматривались в [53, 54]. Контактные задачи для несжимаемого трехмерного клина (полосового штампа) изучались в работах В. М. Александрова и Д. А. Пожарского [18, 104].

С помощью вещественного интегрального преобразования Конторови-ча-Лебедева В.А. Бабешко и В.Н. Беркович [28, 36] изучили динамическую задачу об антиплоском сдвиге пространственного клина с переменным по углу модулем сдвига и с учетом ползучести материала. Интегральное уравнение этой задачи сведено ими к решению бесконечных алгебраических систем. Впоследствии В.Н. Беркович [38] построил точное решение (правда, довольно громоздкое) этого интегрального уравнения.

Эффективный метод решения первой основной и смешанной задачи теории упругости для трехмерного клина при произвольном коэффициенте

Пуассона, основанный на применении комплексного интегрального преобразования Конторовича—Лебедева и сведении задачи теории упругости к обобщенной но И.Н. Векуа [41] краевой задаче Гильберта, развит в работах И.Ф. Вовкодава, А.Ф. Улитко и Е.И. Орлюка [42, 97, 98, 118].

Вариационный метод Ритца применяется к трехмерной контактной задаче об эллиптическом в плане штампе вблизи ребра упругого клина в работе [103].

Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред.

Во-первых, при механической постановке следует учитывать качественно новую картину распределения контактных напряжений для существенно неоднородных материалов.

Во-вторых, в отличие от однородных сред трансформанты ядер интегральных уравнений в смешанных задачах неоднородных сред имеют сложную структуру, необозримую в аналитическом виде, в общем случае строят только численными методами.

В связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка и обоснование эффективных методов решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.

Целью диссертационной работы является разработка аналитических методом решения основных задач плоской теории упругости для плоско - напряженного однородно - изотропного бесконечного клина, а так же для клина, составленного из двух (или N) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными.

Решение конкретных задач, построение графиков найденных напряжений и смещений.

Предполагается, что граничные функции непрерывные. На стыке клиновидных областей рассматриваются несколько вариантов условий контакта (жесткий, гладкий, контакт с трением).

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1) построение структуры искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами;

2) построение систем линейных алгебраических уравнений конечного порядка, из которых эти коэффициенты определяются;

3) исследование и решение полученных систем;

4) доказательство сходимости рядов, дающих искомое решение;

Методами исследования является классические подходы к построению математических моделей деформируемых сред, решение систем уравнений в частных производных при помощи степенных рядов с функциональными коэффициентами. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в среде Maple 12.

Научная новизна результатов работы:

1) построена структура механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными функциональными коэффициентами;

2) основные задачи теории упругости для плоско - напряженного однородно — изотропного бесконечного клина сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;

3) основные задачи теории упругости для плоско — напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или N ) однородно — изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;

4) получены аналитические решения в виде степенных рядов, сходящихся абсолютно и равномерно внутри заданных клиновидных областей, и имеющих бесконечный радиус сходимости;

5) рассмотрены конкретные задачи, построены приближения найденных механических параметров к граничным условиям.

Достоверность полученных результатов работы обеспечивается корректностью постановок краевых задач, так же, как и в работах Я.С. Уфлянда [119] и B.C. Никишина, Г.С. Шапиро[92] и др., использованием фундаментальных принципов механики и математической строгостью методов их решения, а также сравнением с известными из литературы результатами.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости степенных рядов к решению основных задач плоской теории упругости для плоско — напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или N) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными, сведении подобных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Полученные результаты могут быть использованы при расчете напряжений элементов клиновидных конструкций из различных материалов во многих областях техники, а так же позволяют построить графики искомых механических параметров.

Использованный метод, к сожалению, не дает возможность рассматривать задачи с разрывными граничными условиями, а так же с дискретными сингулярностями (трещинами, включениями и т.д.).

В первой главе приводятся решения основных задач плоской теории упругости для плоско — напряженного однородно - изотропного бесконечного клина, ограниченного в полярной системе координат (г,6) лучами 0=0 и

0=а (0 < г < со). Граничные условия заданы в виде степенных рядов с бесконечными радиусами сходимости. В начале, на основе уравнений статики и выражений Папковича - Нейбера, строятся структуры искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами. Эти коэффициенты находятся из систем линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Проводится исследование их определителей. Доказывается, что ряды, дающие решения, сходятся абсолютно и равномерно в рассматриваемой клиновидной области и имеют бесконечный радиус сходимости. Проведены конкретные числовые расчеты. Построены графики найденных напряжений и перемещений.

Во второй главе исследуются задачи о равновесии плоско — напряженного бесконечного клина, составленного из двух однородно — изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными. Граничные условия заданы в виде степенных рядов с бесконечными радиусами сходимости. На стыке областей рассматривается: жесткий контакт, гладкий контакт, контакт с трением. Используя структуры напряжений и перемещений для каждой клиновидной области, полученные в первой главе, задачи сводим к системам линейных алгебраических уравнений восьмого порядка. Проводится исследование их определителей. Доказывается, что ряды, дающие решения, сходятся абсолютно и равномерно, каждый в своей клиновидной области и имеют бесконечный радиус сходимости. Представлены числовые расчеты. Построены графики найденных напряжений и перемещений.

В третьей главе рассматривается общая задача о равновесии плоско -напряженного упругого клина, составленного из N однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянным. На стыке областей задано одно из условий контакта: жесткий контакт, гладкий контакт, контакт с трением. Используя структуры напряжений и перемещений для каждой клиновидной области, полученные в первой главе, задачу сводим к системам линейных алгебраических уравнений порядка АЫ. При совместности систем, задача имеет единственное решение. Доказательство сходимости рядов, дающих решение, можно провести аналогично тому, как это сделано во второй главе.

По теме диссертации опубликованы работы [55-62], [72, 73].

Отдельные результаты докладывались на:

1) 41-ой студенческой (региональной) научной конференции по гуманитарным, естественным, техническим наукам (Чебоксары, 2007);

2) международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2008);

3) X международной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" и международной научной конференции "Гидродинамика. Механика. Энергетические установки" (Чебоксары, 2008);

4) международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2009);

5) X всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, 2009);

6) шестой всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и Краевые задачи» (Самара, 2009);

7) всероссийской конференции «СамДиф-2009» (Самара, 2009);

8) девятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009);

9) 5-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Белоруссия, 2009);

10) всероссийской научно - практической конференции "Механика: современное состояние, проблемы, перспективы" (Чебоксары, 2009).

Основные результаты диссертационной работы:

1. Рассмотрены основные задачи теории упругости для однородно — изотропного бесконечного клина. Структура искомых напряжений и смещений найдена в виде степенных рядов с помощью уравнений статики и выражений Папковича — Нейбера. Неизвестные коэффициенты в структуре определены из систем линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Показана абсолютная и равномерная сходимость найденных механических параметров. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров, а так же их приближения к граничным функциям.

2.Рассмотрены основные задачи теории упругости для бесконечного клина, состоящего из двух однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными. Задача сведена к системам линейных алгебраических уравнений восьмого порядка относительно неизвестных коэффициентов в искомых структурах. Показана абсолютная и равномерная сходимость найденных механических параметров в соответствующих клиновидных областях. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров, а так же их приближения к граничным функциям.

3. Приведена общая схема решения задач плоской теории упругости для бесконечного клина, состоящего из конечного числа клиновидных областей с различными упругими постоянными, на стыке которых заданы условия контакта (жесткого, гладкого или контакта с трением).

Заключение

1. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред JI.A. Галина. — М.: Наука, 1976.-493 с.

2. Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

3. Абрамов, В.М. Распределение напряжений в плоском безграничном клине при произвольной нагрузке / В.М. Абрамов // Труды конференции по оптич. методу изучения напряжении. JL: НИИММЛГУ, ОНТИ, 1937.

4. Аветикян, В.Е Контактная задача для упругого клина, усиленного двумя конечными стрингерами / В.Е. Аветикян, A.C. Акопян // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 2, 1998. Т. 51, - С.3-11.

5. Айзикович, С.М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович., В.М. Александров, A.B. Белоконь, Л.И. Кренев, И.С. Трубчик-М.: Физматлит, 2006. 237 с.

6. Акопян, А.Г. О продольном сдвиге неоднородно-составного клина / А.Г. Акопян // Изв. АН Армении. Мех. 1994. - Т. 47, № 1-2. - С. 21-26.

7. Акопян, А.Г. О плоской деформации малонапряженного неоднородно-составного клина / А.Г. Акопян // Изв. АН Армении. Мех. 1994. - Т. 47, №5-6.-С. 42-^8.

8. Акопян В.Н. Об одной смешанной задаче для упругого клина, ослабленного трещиной / В.Н. Акопян, A.B. Саакян // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 1999. - С.66-78

9. Александров, В.М. Контактные задачи для упругого клина / В.М. Александров // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. - № 2. - С. 120-131.

10. Александров, В.М. Об одной контактной задаче для упругого клина /

11. B.М. Александров // Изв. АН Арм. ССР. Мех. 1967. - Т. 20, № 1. - С. 3-14.

12. Александров, В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров // ПММ. 1968. - Т. 32. вып. 4.1. C. 672-683.

13. Александров, В.М. О давлении на упругое полупространство штампа клиновидной формы в плане / В.М. Александров, В.А. Бабешко// ПММ. -1972.-Т. 36. Вып. 1.-С. 88-93.

14. Александров, В.М. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам дляцилиндрических упругих тел / В.М. Александров, В.А. Бабешко // ПММ.- 1967. Т. 31. вып. 4. - С. 704-710.

15. Александров, В.М. Напряженно-деформированное состояние малой окрестности вершины клина при физической линейности и различных граничных условиях / В.М. Александров, С.А. Гришин // ПММ. — 1987. — Т. 51. вып. 4.-С. 653-661.

16. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. М.: Наука, 1986.-336 с.

17. Александров, В.М. Контактная задача для упругого клина с жестко защемленной гранью / В.М. Александров, В.В. Копасенко // Прикладная механика. 1968. - Т. 4, вып. 7. - С. 75-82.

18. Александров, В.М. Об одной контактной задаче для упругого клина / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // ПММ. 1988. - Т. 52. вып. 4. - С. 651-656.

19. Александров, В.М. Действие полосового штампа на упругий пространственный клии / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // Прикл. мех. 1989. - Т. 25. № 8. - С. 19-26.

20. Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. — М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

21. Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров, М.И. Чебаков. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004.304 с. ISBN 5-9221-0519-1.

22. Александров, В.М. О методе однородных решений в смешанных задачах теории упругости для усеченного клина и кольцевого сектора / В.М. Александров, М.И. Чебаков // ПММ. 1983. - Т. 47, вып. 5. - С. 790-798.

23. Алексанян, Р.К. К первой основной задаче плоской теории упругости для анизотропного клина / Р.К. Алексанян, С.Х. Геворкян // Изв. АН Армении. Мех. 2000, - Т. 53,№ 2. - С. 10-15.

24. Андреев, В.И. Обобщенные уравнения плоской задачи теории упругости для радиально-неоднородного тела / В.И. Андреев. М.,1985. - Рук. деп. в ВИНИТИ. Деп. Моск. инж.-строит, ин-т., № 134885

25. Антипов, Ю.А. Контактная задача для упругого слоя с накладками при наличии трения и сцепления / Ю.А. Антипов, Н.Х. Арутюнян // ПММ. -1993.-Т. 57. вып. 1.-С. 137-147.

26. Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи механики растущих тел / Н.Х. Арутюнян, A.B. Манжиров, В.Э. Наумов. М.: Наука, 1991. — 176 с.

27. Бабешко, В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач / В.А. Бабешко // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 217, № 4.-С. 777-780.

28. Бабешко, В.А. Статические и динамические контактные задачи со сцеплением / В.А. Бабешко // ПММ. 1975. - Т. 39, вып. 3. - С. 505-512.

29. Бабегико, В.А. К теории смешанных задач для пространственного клина / В.А. Бабешко, В.И. Беркович // ПММ. 1972. - Т. 36. Вып. 5. - С. 943947.

30. Бабешко, В.А. О применении метода факторизации при исследовании задач гидроупругости определенного типа / В.А. Бабешко, М.В. Чепилъ // Изв. АН СССР. МТТ. 1995. - № 2. - С. 64-69.

31. Баблоян, A.A. Решение некоторых парных интегральных уравнений / A.A. Баблоян // ПММ. 1964. - Т. 28. вып. 6. - С. 1016- 1023.

32. Баблоян, A.A. Плоская контактная задача для двух усеченных клиньев / A.A. Баблоян // Докл. АН Арм. ССР. 1977. - Т. 65. № 5.

33. Баблоян, A.A. Плоская задача теории упругости для области, составленной из двух усеченных клиньев / A.A. Баблоян, И.О. Гулканян // Докл. АН Арм. ССР. 1976. - Т. 62, № 3.

34. Белоносов, С.М. Плоская задача теории упругости для клина при заданных на границе напряжениях или смещениях / С.М. Белоносов // ДАН СССР. 1960. - № 5.

35. Белоносов, С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей: автореф. дис. на соиск учен, степ. докт. физ.-мат. наук. / С.М. Белоносов. — Новосибирск, 1961.

36. Бердимуратов, П.К. Задача о трещине в клине и метод малых лямбда / П.К. Бердимуратов // Вестн. Астрах, гос. техн. ун-та. — 2004. № 1. — С. 104-109.

37. Беркович, В.Н. Некоторые контактные задачи для пространственного клииа с конечным числом областей контакта / В.Н. Беркович // ПММ. — 1974. Т. 38. вып. 2. - С. 373-377.

38. Беркович, В.Н. Метод факторизации матриц в смешанных задачах статики упругого клина / В.Н. Беркович // ПММ. — 1976. — Т. 40. вып. 4. -С. 674-681.

39. Беркович, В.Н. О точном решении одного класса интегральных уравнений смешанных задач упругости и математической физики / В.Н. Беркович // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 267. № 2. - С. 327-330.

40. Блинова, В.Г. Метод определения асимптотик в общей вершине упругих клиньев / В.Г. Блинова, A.M. Линьков // ПММ. 1995. - Т. 59, № 2. - С. 199-208.

41. Быркэ, М.С. К решению плоской задачи теории упругости для слоистого клина / М.С. Быркэ // В сб.: Вопросы механики деформируемых систем. -Кишинев, 1977. вып. 1. - С. 32-36.

42. Векуа, И.Н. Об одной линейной граничной задаче Римана / И.Н. Векуа // Тр. Тбилиск. Мат. ин-та АН ГрузССР. 1942. - вып. 11. - С. 109-139.

43. Вовкодав, И.Ф. Обобщенная по И.Н. Векуа задача Гильберта в пространственной теории упругости / И.Ф. Вовкодав, Е.И. Орлюк, А.Ф. Улитка // Тез. докл. Республ. школы-конф. по общей механике и теории упругости. Тбилиси: Мецниереба, 1981. - С. 21—22.

44. Ворович, ИИ. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. -456 с.

45. Ворович, И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. — М.: Наука, 1979.-320 с.

46. Ворович, И.И. О давлении штампа на слой конечной толщины / И.И. Ворович, Ю.А. Устинов // ПММ. 1959. - Т. 23, вып. 3. - С. 637-646.

47. Галин, JI.A. Контактные задачи теории упругости / JI.A. Галин. М.: Гостехиздат, 1953. - 264 с.

48. Горячева, ИГ. Контактные задачи в трибологии / И.Г. Горячева, М.И. Добычин. — М.: Машиностроение, 1988. — 256 с.

49. Григорьев, ОД. Об упругом равновесии неоднородного клина / О.Д. Григорьев, И.С. Инкижинов // В сб.: Расчеты прочности судов, конструкций и мех-мов. Новосибирск, 1988. — С. 55-62.

50. Гринберг, Г.А. О характере напряженного состояния упругой тонкой клиновидной плиты с закрепленной и свободной сторонами. / Г.А. Гринберг, А.Н. Покровский, Я.С. Уфлянд // Инж. Сборник. — 1955.

51. Джонсон, K.JI. Механика контактного взаимодействия / K.J1. Джонсон, — М.: Мир, 1989.-509 с.

52. Дыхнов, А.Е. Контактная задача для упругих клиньев при наличии трения вдоль примыкающего к общей вершине участка граней / А.Е. Дыхнов // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 249. № 4. - С. 804-808.

53. Дыхнов, А.Е. Особенности напряженного состояния в окрестности углов упруго контактирующих плоских клиньев при наличии трения / А.Е. Дыхнов // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - № 6. - С. 144-148.

54. Ефимов, А.Б. Сосредоточенное воздействие на упругий несжимаемый клин / А.Б. Ефимов , Д.Г. Ефимов // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 6. - С. 89-92.

55. Ефимов, А.Б. Действие сосредоточенной силы на ребро несжимаемого упругого клина / А.Б. Ефимов, Д.Г. Ефимов // Вестник Московского унта: Сер.1. Математика. Механика. 1987. - № 3. - С. 98-101.

56. Иванов, Э.Г. Некоторые краевые задачи теории упругости для составного клина / Э.Г. Иванов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: Опипм, 2009. - Т. 16, вып. 5 - С. 854-855.

57. Иванов, Э.Г Решение третьей основной задачи теории упругости для клина с помощью степенных рядов / Э.Г. Иванов // Прикладная математика и механика: Сб. науч. тр. -Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2009. -С. 118-129.

58. Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных полуограниченных тел / В.В. Калинчук, Т.П. Белянкова. -М.: Физматлит, 2002. 240с.

59. Кипнис, Л.А. Контактная задача теории упругости для клина / Л.А. Кипнис, Г.П. Черепанов // ПММ. 1982. - Т. 46. вып. 1. - С. 141-147.

60. Колчин, Г.Б. Плоская задача теории упругости для неоднородного клина / Г.Б. Колчин // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 3. - С. 157-160.

61. Колчин, Г.Б. Исследования по теории упругости неоднородных тел (основные результаты и перспективы развития) / Г.Б. Колчин // В кн.: X научно-техн. конф. Кишиневского политехи, ин-та. Тез. докл. — Кишинев, 1974. С. 228-230.

62. Колчин, Г.Б. Аналитические методы в теории упругости неоднородных тел / Г.Б. Колчин // В кн.: V Всесоюзн. съезд по теоретич. и прикл. механике. Аннот. докл. Алма-Ата, 1981. — С. 203.

63. Колчин, Г.Б. Плоская задача термоупругости для неоднородного клина, жестко защемленного по одной из граней / Г.Б. Колчин, В.В. Лапенко // В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Респ. межвед. сб. -Киев, 1978.-вып. 18.-С. 65-68.

64. Колчин, Г.Б. Теория упругости неоднородного тела / Г.Б. Колчин, Э.А Фаверман. Кишинев: Штиинца, 1987.- 166 с.

65. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. / А.И. Кострикин. -М: Физматлит, 1994. — 320 с.

66. Крагелъский, И.В. Узлы трения машин: Справочник. / И.В. Крагельский, П.М. Михин. М.: Машиностроение, 1984. - 280 с.

67. Кулагина, М. Ф. Решение первой основной задачи теории упругости для клина с помощью степенных рядов / М.Ф. Кулагина, Э.Г. Иванов // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. — Вып. 2.-С. 127-138.

68. Куршин, JI.M. Смешанная плоская задача теории упругости для квадранта / J1.M. Курщин // Прикл. матем. и механика. — 1959. — № 5.

69. Куфарев, П.П. Определение напряжений в анизотропном клине / П.П. Куфарев // ДАН СССР. 1941. -№ 8.

70. Ламзюк, В.Д. Деформация упругого слоя нормальной нагрузкой / В.Д Ламзюк // В сб.: Деформация упругого слоя нормальной нагрузкой. -Днепропетровск, 1986. С. 97-105.

71. Ламзюк, В.Д. Основные граничные задачи плоской теории упругости для составного клина / В.Д. Ламзюк, А.И. Феденко // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетр. ун-т. Днепропетровск, 1979.-вып. З.-С. 64-75.

72. Лапенко, В.В. Смешанная плоская задача теории упругости для неоднородного клина / В.В. Лапенко // В сб.: Вопросы механики деформируемых систем. Кишинев, 1977. - вып. 1. - С. 12-20.

73. Лапенко, В.В. Об одной задаче термоупругости для неоднородного клина / В.В. Лапенко // В сб.: Расчет конструкций и возведение зданий и сооружений. Кишинев, 1986. - С. 57-63.

74. Лапенко, В.В. Решение задачи для неоднородого клина методом ортогонализации / В.В. Лапенко, И.Д. Диордиев // В кн.: Мат. исследования. Кишинев, 1976. - вып. 40. - С. 82-84.

75. Лапшин, С.Г. Напряжения в упругом клине от местной касательной нагрузки / С.Г. Лапшин // Труды Лен. инст. инж. водн. трансп. 1955.

76. Лебедев, И.И. Осесимметричная контактная задача для упругого слоя / И.И. Лебедев, Я.С. Уфлянд // ПММ. 1958. - Т. 22. - С. 320-326.

77. Лурье, А.И. Решение плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с прямолинейным разрезом / А.И. Лурье // Труды Лен. индустр. инст. — 1939. — № 3.

78. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1970. — 824 с.

79. Лурье, А.И. Решение плоской задачи теории упругости для клина / А.И. Лурье, Б.З. Брачковский // Труды Ленинградского политехи, ин—та. — 1941. № 3.

80. Лущик, О.Н. О поведении корней уравнения, определяющего особенность напряженного состояния в окрестности вершины составного клина / О.Н. Лущик // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 5. -С. 82-92.

81. Ляв, А. Математическая теория упругости / А.Ляв. — М.: НКТП, 1935. — 675 с.

82. Марковец, М.П. Определение механических свойств металлов по твердости / М.П. Марковец. — М.: Машиностроение, 1979. 191 с.

83. Мусхелишвши, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. — 707 с.

84. Никишин, B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / В.С Никишин // В сб.: Сообщения по прикладной математике. 1976. - вып. 3. - С. 51—103.

85. Никишин, B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред / B.C. Никишин // Сообщ. по прикл. мат. ВЦ АН СССР. 1976, - вып. 4. - 60 с.

86. Никишин, B.C. Задачи теории упругости для многослойных сред / B.C. Никишин, Г.С. Шапиро. -М.: Наука, 1973.

87. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир 1975. — 872 с.

88. Нуллер, Б.М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой / Б.М. Нуллер // ПММ. 1974. - Т. 38. - С. 876-882.

89. Нуллер, Б.М. Контактная задача для упругого клина, подкрепленного стержнем равного сопротивления / Б.М. Нуллер // Докл. АН СССР. -1975. Т. 225. № з. - С. 532-534.

90. Нуллер, Б.М. Некоторые контактные задачи для упругого бесконечного клина/Б.М. Нуллер //ПММ.- 1972. -Т. 36. вып. 1.-С. 157- 163.

91. Орлюк, Е.И. Функциональные уравнения пространственной задачи теории упругости для клина и их решение / Е.И. Орлюк // Докл. АН УССР. Сер. А. 1979. - № 3. - С. 194-198.

92. Орлюк, Е.И. Обобщенная по И.Н. Векуа краевая задача Гильберта в пространственной теории упругости: автореф. дис. на соискание учен, степени канд. физ.-мат. Наук / Е.И. Орлюк. Киев, 1987. - 18 с.

93. Острик, В.И. Контактное взаимодействие двух упругих клиньев / В.И. Острик, А.Ф. Улитко // Мат. методи та ф1з.-мех. поля 1. — 1999. Т. 42. — С. 68-74.

94. Острик, В.И. Контакт двух упругих клиньев с учетом сил трения / В.И. Острик, А.Ф. Улитко // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. - С. 93-100.

95. Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. — К.: Оборонгиз, 1939.-641 с.

96. Партон, В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1981.-688 с.

97. Пожарский, Д.А. Вариационный метод в трехмерной контактной задаче для упругого клина / Д.А. Пожарский // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. 2005. - № 7. - С.7-10.

98. Пожарский, Д.А. Контактная задача теории упругости для пространственного несжимаемого клина / Д.А. Пожарский // Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1988. - № 5. - С. 78-81.

99. Пожарский, Д.А. О трехмерной контактной задаче для упругого клина при учете сил трения / Д.А. Пожарский // Прикл. мат. и мех. 2000. — Т. 64.-С. 151-159.

100. Попов, Г.Я. К теории изгиба плит на упругом неоднородном полупространстве / Г.Я. Попов // Изв. вузов. Сер.Строительство и архитектура. 1959. - № 11,12. - С.11-19.

101. Приварников, А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований: Метод. Разработка / А.К. Приварников. — Днепропетровск, 1976. — 60 с.

102. Прокофьев, Б.М. Контактная задача для составного клина / Б.М. Прокофьев // В кн.: Взаимодействие в механике конструкций. — Киев: Одесса, 1980.-С. 52-59.

103. Рвачев, В.Л. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей / B.JI. Рвачев, B.C. Проценко. Киев: Наукова думка, 1977. — 235 с.

104. Ростовцев, П.А. К теории упругости неоднородной среды / П.А. Ростовцев // ПММ. 1964. - Т. 28. вып. 4.

105. Сахаров, И.Е. Изгиб клиновидной защемленной пластинки под действием произвольной нагрузки / И.Е. Сахаров // Прикл. матем. и механика. 1948. - № 4.

106. Снеддон, КН. Классическая теория упругости / И.Н. Снеддон, Д.С. Бери. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961 г. 220 с.

107. Тадевосян, Р.Г. Плоская задача для бесконечного составного клина / Р.Г. Тадевосян // Изв. АН Арм. ССР. Мех. 1983. - Т. 36. № 6. - С. 12-22.

108. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.: Наука, 1975.-576 с.

109. Тихонов, А.П. Методы решения некорректных задач / А.П. Тихонов, В .Я. Арсенин. -М.: Наука, 1979. 288 с.

110. Улитко, А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости / А.Ф. Улитко. — К.: Наукова думка, 1979. — 262 с.

111. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости /Я.С. Уфлянд. Л.: Наука, 1967. - 404 с.

112. Уфлянд, Я.С. Некоторые пространственные задачи теории упругости для клина / Я.С. Уфлянд // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. - С. 549-554.

113. Уфлянд, Я.С. Применение преобразования Меллина к задаче изгиба клиновидной платы / Я.С. Уфлянд // ДАН СССР. 1952. - № 3.

114. Уфлянд, Я. С. Смешанная задача теории упругости для клина / Я.С. Уфлянд // Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш. 1959. - № 2.

115. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. — М.: Машиностроение, 1970. 592 с.

116. Фшоненко-Бороддч, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. 364 с.г

117. Чернышов, А.Д. О деформировании сплошных сред в клиновидной области с гладкими гранями / А.Д. Чернышов // ПММ. 1975. - Т. 39. — С.1093-1099.

118. Шиндлсикашвили, О.И. Влияние неоднородности материала на порядок сингулярности упругих решений вблизи вершины углов / О.И. Шинджикашвили // Труды Тбилисского матем. ин-та. 1979. Т. LXI. -С. 60-67.

119. Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости / И.Я. Штаерман. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 272 с.

120. Штернберг, Е. Клин под действием сосредоточенного момента, парадокс в плоской теории упругости / Е. Штернберг, В. Койтер // Механика, Период, сб. переводов иностр. Статей. 1959. — № 3.

121. Шулъман, С.Г. Два случая расчета плотины треугольного профиля. / С.Г. Шульман // Сб. докладов по гидротехнике. -М.:Госэнергоиздат, 1961.

122. Шулъман, С.Г. Треугольный составной клин под действием местной нагрузки на участке грани / С.Г. Шульман // Инж. физ. журн. 1961. - № 5.

123. Шульман, С.Г. Некоторые задачи статического расчета массивных гидросооружений треугольного профиля: автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. техн. наук / С.Г. Шульман. — JL, 1962.

124. Bardzokas, D.I. About a stress deformation condition of a piecewise-uniform wedge with a system of collinear cracks at an antiplane deformation / D.I. Bardzokas, S.H. Gevorgyan, S.M. Mkhitaryan // Math. Probl. Eng. -2005. -№ 2. P.245—268

125. Barnard, M. Flexure an infinite plate, having in it a semiinfinite straight crack. / M. Barnard // Ztschr. f. Angew. Math. u. Mech. 1935. - № 3.

126. Brahtz, J.H.A. Stress distribution in wedges with arbitrary boundary forces. / J.H.A. Brahtz // Physics. 1933. - № 2.

127. Chen, W.T. Computation of Stresses and Displacements in a Layered Elastic Medium. / W.T. Chen. // Int. J. Engng. Sci. 1971. - V. 9 P. - P. 775-800.

128. Godfrey, D.E.R. Normal-loading on a wedgeshaped plate / D.E.R. Godfrey // Aero Quart. 1955. - № 3.

129. Koiter, W.T. On the bending of cantilever rectangular plates / W.T. Koiter, J.B. Alblag // Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wetench. 1954. - № 2.

130. Koiter, W.T. On the bending of cantilever rectangular plates / W.T. Koiter, J.B. Alblag // Proc. Koninkl. Nederl. Acad Wetench. 1957. - № 3.

131. Mishuris, G.S. Boundary value problems for Poisson's equation in a multi-wedge multi-layered region / G.S. Mishuris // Arch. Mech. - 1996. - V. 48. №4.-P. 711-745.

132. Mukherjee, S. Torsion problem of a circular die in a non-homoeneous elastic layer perfectly bonded to a non-homoeneous elastic layer rigidly fixed at the other end. Indian J. of Theoretical Physics. 1984. - V. 32, № 1, - p. 39^16.

133. Piechocki, W. The stresses in an infinite wedge du to a heat source / W. Piechocki // Arch. Mech. Stos. 1959. - № 1.

134. Piechocki, W. Termoelastic problem for a wedge / W. Piechocki, H. Zorski // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. sci. techn. 1959. - № 10.

135. Rumpel, G. Rehavior of thin plates corners / G. Rumpel // Baningenier. — 1958.-№3.

136. Tadanobu, I. Effect of elastic property of intermediate material on order of stress singularity / I. Tadanobu, K. Hideo, Y. Toshio // JSME Int. J. A. -1995. V. 38. № 2. - P. 163-170.

137. Tranter, C.J. The use of the Mellin transform in finding the stress distribution in an infinite wedge / C.J. Tranter // Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math. -1948.

138. Williams, M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension / M.L. Williams // Journ. Appl. Mech.-1952.-№4.