Смешанная задача теории упругости для клина тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДНЯ ПЛОСКОГО КЛИНА., С ЗАДАННЫМИ НА. ГРАНИЦАХ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И НОРМАЛЬНЫМИ СМЕЩЕНИЯМИ.

1.1. Постановка задачи. Преобразование Меллина. II

1.2. Выбор контура интегрирования

1.3. Особенности вычисления напряжений с помощью теории вычетов. Лемма Жордана. Правило суммирования вычетов.

1.4. Учёт влияния нормальных перемещений заданных на границах клин^.

1.5. Результаты'и., выводы по разделу I

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ.

2.1. Представление граничных функций в виде кусочных полиномов.

2.2. Промежуточные формулы и интегралы.

2.3. Улучшение сходимости процесса вычисления напряжений. ^

2.4. Вычисление напряжений в угловой точке клина при = |= ос*

2.5. Результаты и выводы по разделу

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА.

3.1. Преборазования типа Меллина.

3.2. Задача о чистом сдвиге

3.3. Вычисление напряжений и перемещений при произвольном ос и ; p^^-i

3.4. Анализ напряжений в угловой точке при произвольном значении угла о*.

3.5. Обобщённое преобразование Меллина.

3.6. Вычисление напряжений при pmax>-i и малых значениях г.

3.7. Результаты и выводы по разделу

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

4.1. Постановка тестовых задач.

4.2. Вычисление трансформант

4.2.1. Случай о( = 90°, а^ = 0, ах ф 0, Л =-0,5.

4.2.2. Общий случай. П

4.3. Анализ результатов расчёта. ПЗ

4.4. Задача о действии сосредоточенной силы на внутреннюю точку клина.

4.5. Результаты и выводы по разделу 4.

Перше исследования в области расчета напряжённого состояния плоского клина были проведены в начале этого века. В 1900г. 0. U. Micfie ti [47] даёт решение задачи о действии сосредоточенной силы на вершину клина. Несколько позднее С.П.Тимошенко [ 32 ] решает задачу для случая полиноминального распределения нагрузки по граням клина.

Интегральное преобразование Меллина для решения задачи о клине впервые применил В.М.Абрамов [ i], рассматривая случай произвольного нагружения сторон. Однако, задача была решена не до конца. В 1941 г. А.И.Лурье и Б.З.Брачковским [ 21 ] при помощи функций комплексного переменного и интегралов Меллина было дано общее решение плоской задачи для клина с произвольным углом раствора при нагружении его грани сосредоточенной силой. Правильность этого решения ставилась позднее С.М.Белоносовым [ 2 ] под сомнение. С помощью интегрального преобразования Меллина M.L. [ 49 ] исследовал напряжённое состояние в окрестности угловой точки клина. Результатом его анализа явился вывод о существовании некоторого предельного угла = , начиная с которого напряжения бесконечно растут при приближении расчётной точки к острию клина. Степень этого роста связана с величиной угла <*>ос*. Подобные результаты получали затем многие авторы[2, 3, 17, 20, 31, 35, 40, 42, 43], поэтому вывод о неограниченном росте напряжений при г-^0 и ot>d* является общепринятым.

С помощью интегральных преобразований было дано решение целого ряда задач о клине [7, 30, 44, 48] . Много задач о клине, в том числе и смешанная задача, рассмотрены в работах Я.С. Уфлянда[34, 35] . Л.М.Куршиным [ 17], О.Я.Шехтер [ 37] исследовалась задача о действии сосредоточенной силы на внутреннюю точку клина.

Иной подход, основанный на совместном использовании интегральных преобразований Фурье или Меллина и интегралов типа Коши позволил С.М.Белоносову [2, 3] провести ряд исследований и дать эффективное решение некоторых задач для клина. Но, видимо, и на этом пути возникли трудности, непозволившие его последователям [II, 12] довести до числа различные задачи.

Большой интерес исследователей вызывает клин, как объект фундаментальных теоретических разработок, т.к. на базе задач о нём обосновывается [3, 38, 39] необходимость модернизации Мизеса [46 ] известного принципа Сен-Венана [31]. Примером, подтверждающим это, считается решение задачи о клине при оi >о(* ,

Несмотря на большое число работ, посвященным задачам о клине, имеется целый ряд вопросов, на которые до сих пор не получены ответы. Известно, например, что предельный угол является различным для задач с различными типами граничных условий. В первой основной задаче он равен 180°. В рассматриваемой смешанной задаче - 90°. Решив первую из них при 90° < < 180°, получим конечное напряжение в углу клина. Взяв полученные касательные напряжения и нормальные смещения в качестве граничных условий для смешанной задачи, получим парадоксальную ситуацию, - с одной стороны напряжения в углу клина уже получены и они конечны, с другой - они должны быть бесконечными, так как угол с<>90о, то есть больше предельного для смешанной задачи. Второй парадокс тоже основан на расходимости напряжений в острие клина при о< > и* . Характер их роста при г-»-о должен быть, согласно установившемуся взгляду, одинаков для всех клиньев с одинаковыми углами раствора << . Но это не так! Пусть имеется решение задачи, которое даёт бесконечные напряжения в углу клина. Отрежем от него полосу постоянной ширины вдоль одной из сторон. В результате получим новый клин с тем же углом раствора, но с конечными по величине напряжениями. То есть возникает то же противоречие.

Настоящая работа посвящена, в основном, поиску методов решения задачи о клине, свободных от указанных недостатков. Большое внимание в ней уделяется и численной реализации полученных алгоритмов.

Предлагается подход, основанный на применении новых интегральных преобразований, являющихся естественным обобщением преобразования Меллина [22, 23, 24 j . Основное отличие их состоит в раздвоении единого контура L в преобразованиях типа Меллина или появлении двух "вееров" контуров в обобщённом преобразовании.

Показан приближенный характер всех этих преобразований.

Разработан алгоритм, основанный на применении интегрального преобразования типа Меллина с двумя контурами интегрирования, реализованный в пакете прикладных программ на языке F0RTRAA/

Доказана принципиальная возможность невыполнения принципа суперпозиции решений при применении к решению задачи классического преобразования Меллина.

Угол d * трактуется как предельный в отличном от общепринятого смысла. Дело в том, что интегральные преобразования типа Меллина остаются справедливыми только в том случае, когда существует равномерная сходимость несобственных интегралов, входящих в выражение для напряжении и перемещений. При некоторых видах граничных функций, например, в том случае, когда налряже-ния на схэ пропорциональны г , перемещения ~ г* , а в углу клина все они конечны, условие равномерной сходимости совпадает с неравенством d 4d* .

Диссертация состоит из четырех разделов, заключения, приложений и строится следующим образом.

В первом разделе проанализировано решение задачи, выполненное на основе традиционного метода [35] с применением интегрального преобразования Меллина. При этом предполагалось, что решение можно представить в виде интегралов по единому контуру L . Выдвинута гипотеза, что парадоксальные ситуации, описанные выше, являются результатом такого выбора вида решения. Получены формулы для вычисления перемещений и напряжений через трансформанты Меллина. Предложено правило суммирования вычетов, которое гарантирует справедливость леммы Жордана при вычислении напряжений с помощью вычетов.

Показано, что для сходимости процесса вычислений необходимо таким образом выбрать неподвижную точку (изменить граничные условия ч/0(§) и ), чтобы ноше граничные условия 4>M = 4tW = 0 ПРИ 9 равном координате г расчётной почт.

Во втором разделе разрабатываются способы практического вычисления напряжений. Трансформанты на конечном участке у острия клина предлагаем вычислять, аппроксимируя граничные условия кусочными полиномами. Предлагается метод улучшения сходимости, основанный на выделении и численном вычислении медленно сходящихся членов, содержащихся в контурных интегралах. Доказывается сходимость процесса вычислений напряжений с помощью вычетов. Анализируется напряженное состояние в угловой точке клина.

В третьем разделе доказывается справедливость интегрального преобразования типа Меллина с двумя различными контурами интегрирования. Возможности его иллюстрируются на примере задачи о чистом сдвиге прямоугольного клина, которая не решается обычным преобразованием Меллина. Показана приближённость всех рассмотренных интегральных преобразований. Введено обобщённое преобразование Меллина, позволяющее построить более точные решения. Рассмотрен способ вычисления напряжений при больших углах раствора клина, позволяющий при малых величинах координаты г "обойти" возникающую при этом неравномерную сходимость несобственных интегралов.

В четвертом разделе анализируются решения тестовых задач. Подробно рассматриваются приемы вычисления трансформант на бесконечных участках границ. Даётся решение задачи о действии сосредоточенной силы на внутреннюю точку клина. Результаты решения сравниваются с аналогичными работами.

В заключении даются основные выводы и очерчивается круг задач,представляющих интерес для дальнейшего развития теории.

Приложения, выделенные в отдельный том, состоят из пакета прикладных программ и некоторых результатов расчётов, иллюстрирующих возможности практического использования описанного алгоритма при произвольных углах о( . Приведены результаты решения с использованием метода улучшения сходимости и без него.

I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ да ПЛОСКОГО КЛИНА, С ЗАДАННЫМИ НА ГРАНИЦАХ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И НОРМАЛЬНЫМИ СМЕЩЕНИЯМИ

В первом разделе приводится решение смешанной задачи теории упругости для клина с заданными на границах касательными напряжениями Г и нормальными смещениями if , которое получено с помощью интегрального преобразования Меллина подобно тому, как решались задачи приведенные в книге Я.С.Уфлянда [35]. Проводится анализ возможности применения теории вычетов для вычисления напряжений. Вводится правило суммирования вычетов, выполнение которого необходимо при применении леммы Жордана к вычислению контурных интегралов и намечены некоторые проблемы ситуации.

В подразделе I.I рассматривается постановка задачи. В решении предполагалось возможным представление функций Папковича--Нейбера через комплексные интегралы по виду похожие на те, которые возникают в обратном преобразовании Меллина. (Возможность такого представления обсуждается далее - в 3 разделе). Представляя граничные условия, заданные произвольными функциями, в виде • преобразования Меллина, получим систему алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет выписать формулы для напряжений и перемещений в виде обратного преобразования Меллина, то есть через контурные интегралы в комплексной плоскости от трансформант Меллина.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные выводы и результаты работы:

- доказана справедливость интегрального преобразования типа Меллина и обобщённого преобразования Меллина;

- доказано, что цри решении дифференциальных уравнений в частных производных эти преобразования могут дать только приближённое решение. Точное решение можно получить при полиномиальном характере граничных функций на всей оси от 0 до °° ;

- из-за приближённости решения оно не может точно удовлетворять принципу суперпозиции;

- преобразованиями типа Меллина можно пользоваться только при условии равномерной сходимости несобственных интегралов, входящих в формулу для напряжений.

В некоторых случаях это условие совпадает с ограничением угла раствора клина предельным углом * ; <* а* ;

- на основании этого делается вывод о сомнительности тех результатов, которые были получены при > <** и на основании которых оспаривался принцип Сен-Венана в классической формулировке при применении его к задачам о клине;

- описанный метод можно применить к различным задачам, отличающимся'типом граничных условий, поэтому можно предположить, что результаты их будут выражаться подобными формулами, а полученные выводы останутся справедливыми и в этих случаях;

- проведён анализ напряженного состояния в утловой точке клина при различных значениях угла c/L . Доказано существование решения с конечными напряжениями в углу клина ;

- существует множество решений, удовлетворяющих одним условиям на границах клина, но различающихся поведением решений в особых точках: на бесконечности и в острие клина. Решение внутри

- 131 клина не может убывать быстрее, чем на границах;

- дана новая трактовка предельного угла * ;

- доказана сходимость процесса вычисления напряжений с помощью вычетов;

- для обеспечения применимости леммы Жордана необходимо выполнить введённое в I разделе правило суммирования;

- скорость сходимости цроцесса можно увеличить применяя метод улучшения сходимости;

- предложены приемы решения задачи при больших углах </ ;

- разработан алгоритм и составлена программа решения широкого круга смешанных задач с различными граничными функциями r0(S> ; » ЧД?) и V?) *

- даны решения частных задач:

- о чистом сдвиге прямоугольного клина;

- о действии сосредоточенной силы на внутреннюю точку клина;

- тестовые задачи с различными аналитическими граничными условиями;

- даны конкретные рекомендации по выбору величины шагов между расчётными точками; числа полюсов, в которых необходимо сосчитать вычеты для достижения пятипроцентной точности расчетов.

Исходя из этого на ближайшую перспективу можно наметить следующие задачи:

- исследование точности решения при использовании ограниченного числа контуров (например, одного или двух) из "вееров" L^и L2; при произвольных граничных условиях; о

- исследование решений вблизи точек на границе, в которых граничные функции теряют аналитичность;

- исследование многозначности решения, зависящего от выбора системы контуров;

- 132

- исследование напряжённого состояния около равновесной трещины с незакругленным концом;

- разработка рекомендаций по практическому использованию алгоритма. Дальнейшее его развитие;

- анализ парадокса Карозерса [41] с позиции приближенности решения;

- решение других основных задач для плоского клина;

- исследование напряженного состояния в клиновидных областях с криволинейными границами;

- решение задачи для конечного клина, ограниченного, напри-г мер, дугой постоянного радиуса.

1. Абрамов В.М. Распределение напряжений в плоском безграничном клине при произвольной нагрузке,- Труды коню.по опт.методу изучения напряжений/ НИИММ ЛГУ и НИИМех.МГУ - М.-Л.: ОНТИ, 1937, с.134.

2. Белоносов С.М. Плоская задача теории упругости для клина при заданных на границе напряжениях или смещениях.-Докл. АН СССР, I960, т.131, $ 5, с.1042-1045.

3. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для одно связных и двусвязных областей.- Новосибирск: Изд-во Сиб.отд.АНСССР, 1962, 231 с.

4. Фортран ЕС ЭВМ/ З.С.Брич, Д.В.Капилевич, С.Ю.Котик, В.И. Цагельский. М.:Статистика, 1978.- 264 с.

5. Будак Б.М.,Фошн С.В. Кратные интегралы и ряды.- М.: Наука, 1967.- 607с.

6. Бухтияров A.M. ,Маликова Ю.П.,Фролов Г.Д. Практикум по прог-рамированию на Фортране.- М.: Наука, 1979.- 304с.

7. Ворович И.И.,Александров В.М. ,Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: Наука, 1974.-455с.

8. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов,сумм, рядов и произведений.- 5-е изд.-М.: Наука, 1971.- 1108 с.

9. Грунд Ф. Программирование на языке Фортран-1У.- М.: Мир ., 1976.- 183с.

10. Джермейн К. Программирование на IBM-360.- 2-е изд.-М.: Мир, 1973.- 879 с.

11. Зияев М. Плоская задача о равновесии упругого клина(полосы), на одной грани которого заданы касательные напряжения и нормальные смещения.- Изв.АН Тадж.ССР,й979, JS 3, с.6-10.

12. Евграфов М.А. Аналитические функции. 2-е изд.-М.: Наука, 1968.- 471с.

13. Средства отладки программ в ОС ЕС ЭВМ/ В.И.Ерофеев, Ю.П.Мер-кушев, В.И.Першиков, А.П.Соколов.-М.:Статистика, 1979.-246с.

14. Кетков Ю. А.,Максимов В.С.,Рябов А.Н. Введение в системное программирование на языке Асемблера.- М.-.Наука, 1982.-284с.

15. Корн Г.Дорн Т. Справочник по математике.- 5-е изд. ,доп.-М.: Наука, 1984.- 832с.

16. Куршин Л.М. Смешанная плоская задача теории упругости для квадранта.- ПММ, 1959, т.23, J6 5, с.981-984.

17. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736с.

18. Лебедев В.М.,Соколов А.П. Введение в систему программирования ОСЕС.- М.: Статистика, 1978.- 144 с.

19. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 939с.

20. Лурье А.И.,Брачковский Б.З. Решение плоской задачи теории упругости для клина.- Труды/Ленинградский политехи.ин-т,Дз 3. Л., 1941.- 158с.

21. Матвеев Г.А.,Агуреев И.Е. Дукашин В.В. 0 применении интегрального преобразования типа Меллина в смешанной задаче теории упругости для клина.-Тула,1984.-8с.-Рукопись представлена Тульск. политехи.ин-том.Деп.в ВИНИТИ I ноября 1984г., is 7081-84.

22. Матвеев Г.А. Улучшение сходимости процесса вычисления напряжений в смешанной задаче теории упругости для клина.- Тула, 1984.- 4с.-Рукопись представлена Тульск. политехи, ин-том.- 135

23. Деп. в ВИНИТИ I ноября 1984г., В 7080-84. 24. Матвеев Г.А. Применение интегральных преобразований типа Меллина в задаче о клине.- Тула, 1984.-7о.-Рукопись представлена Тульск.политехи.ин-том. Деп. в ВИНИТИ I ноября 1984г., й 7079-84.

24. Сборник научных программ на Фортране.- Вып.2. Линейная алгебра.- М.:Статистика, 1974.- 224 с.

25. Палкович П.Ф. Теория упругости.- М.-Л.:0боронгиз,1939.-539с.

26. Рейтборт И.М. Пособие для оператора ЕС ЭВМ.- М.:Статистика, 1979.- 192с.

27. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1-22 изд. .стереотипное. -М.: Наука, 1967.- 478с.

28. Снедцон И. Преобразование фурье.- М. :ИЛ., 1955.- 667с.

29. Тамбовцев Е.П,,Лозовой И.И. Точное решение интегральных уравнений некоторых смешанных задач о плоской деформации полосы и клина.- М., 1977.- 77с.-Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ 18 марта 1977г., 1057-77.

30. Тимошенко С.П. ,Гудьер Дне. Теория упругости.- М.: Наука,1975. 575с.

31. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. 2-е изд.- Киев.: Наукова думка, 1972.- 507с.

32. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.-М.: ГТТИ, 1948.- 68с.

33. Уфлянд Я.С. Смешанная задача теории упругости для клина. -Изв.АН СССР, сер.мех.и мат., 1959,й 2, с.156-158.

34. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. 2-е изд.доп.- Л.: Наука, 1968.- 402с.

35. Хъюз Ч. ,Пфлигер Ч. ,Роуз Л. Методы программирования. Курс на основе Фортрана.- Пер.с англ.- М.: Мир, 1981.- 332с.- 136

36. Шехтер О.Я. О решении задач для бесконечного упругого клина с нагрузками внутри его.- В кн.: Основания, фундаменты и подземные сооружения. М., 1970, iS 59, с.22-30.

37. Штернберг Е. О принципе Сен-Венана. В кн.:Механика. М., 1955, В 2, с.96-104.

38. Штернберг Е. ,Койтер В. Клин под действием сосредоточенного момента, парадокс в плоской теории упругости.- В кн.:Механика. М., 1959, 3.- с.97-110.

39. Вос^ 2>.&.? Кио И.С. PW sokuiion {or the displacement aW traction dispafacement proSHews for anisotropic e&tstlc zJedqes.1. Trains,. ME ; <m,E A4, Vl

40. Carolers P£aln streli^ Ln, a itfeclcje.

41. P roc. ftotf. Soc. ,IQ12}2S3 s. 292.42. 5)ewpsey £ Tfce tfedge sufijecteol io ti-acilorig: cl paradox re&oEi/ed. tfat-crnaB o{ E&xstic.Liy ^381, Vol M, У 4 Ы0.

42. Dempsel Sinclair Q. 8. On iLe sCn^u&xr $e-flairior at ^fic Vertex of a

43. Jec/^e. ti.E&isi., IMij 44,j/3jS.34t-a2?.

44. Ku.0 H.C., 2). P£ccne SoLdioHi for traction, profilers cm <9 ft Inotropic tcn^mmetKca^ vJed^eg аи-ol gymmetHcatfy t&Juiweoi ^f-aol^es,

45. Traws. АЙНЕ , Ш4 , E , ^ }s.2oz-2o<8.45. //e£cc& У. Rexetti ^ьйагжоиСске^о proWewu pro пе1соиеси^ ие^оилГеХис &LsopCs pro peUtoVa^l watentail leg 7 PralU, roc.

46. Muses R. Ok Sxxini Vevuxvii's principle, butt. Jbier. Hoik. Soc. , 1945 , 54 , s.555.

47. Micfie(£ I.H. £ве.упеп£сигц Nations of Рбалое 5-tress. Proc. Ьоио^ои. MoAfi. Зое. , 1900 ? 32 а s. 35-6*.

48. TiW:er С. Я . T&e use of He Me^rt -transform wa finding i&e stress distribution. ivi Lwfli^lte ft/edge. Quccwi. У. Heck, силск

49. Appl Hoik. ? 4948, i; s. 125.

50. Wt^feamS KL Stress San^uA^ieS resuming frOM l/CLtLOrijS. SoLWldobry COl/lditLCMi Щ, omj^^Zcl^ coruerd of piodei in. exiev\$lovi.of Appdiecl HecbcLvtics, f Trans . 4952, I/. У2, ; s.