Контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи ~ УДК 539.3

КЛИНДУХОВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ С ДВУХСЛОЙНЫМ ПОКРЫТИЕМ

01.02.04-механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2003

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель :

доктор физико-математических наук, профессор Александров В. М.

Официальные оппоненты:

академик РАН доктор физико-математических наук,

профессор Горячева И. Г.

доктор физико-математических наук, профессор Тарлаковский Д. В.

Ведущая организация:

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 30 октября 2003 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМ РАН по адресу: 119526 Москва, пр. Вернадского, 101, корп.1, ауд. 235.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИПМ РАН (пр. Вернадского, 101, корп.1).

Автореферат разослан " " " " 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета fynzée**— Сысоева Е.Я.

УТЬг.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются пространственные статистические контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием.

Изучение контактных задач для многослойных упругих оснований началось с середины 50-х годов и первоначально было связанно с проектированием дорожных и аэродромных покрытий, слоистых полов промышленных зданий, гидротехнических сооружений, Фундаментов АЭС, плотив, скважин в горных породах.

Совершенствование методов решения известных задач и успешное решение новых в конечном итоге приводит к значительному экономическому эффекту как при создании таких дорогостоящих и ма-териалоемких сооружений, как автомобильные дороги, так и при осуществлении высоко технологичных проектов, в которых используются тела с износостойкими покрытиями.

В начале 80-х годов стало актуальным изучение папряжснно-дс-формируемого состояния (НДС) тел с износостойкими покрытиями. Высокая стоимость и длительность испытаний на износ материалов и изделий непосредственно на стендах и необходимость осмысления этих результатов поддерживает и сегодня интерес к решепию контактных задач для упругих оснований имеющих слоистую структуру-

Целью работы является:

1) корректная постановка контактных задач для слоистых упругих оснований и развитие методов их решения;

2) вывод соответствующих интегральных уравнений (ИУ), а также развитие методики определения ядер этих ИУ в аналитической форме;

3) развитие методов решения ИУ как для осесимметричных, так и для пространственных контактных задач и определение физических и геометрических параметров задачи, при которых эти методы дают достоверные результаты;

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА 1 С.Петервург^, ) ОЭ кир ' \

4) определение полей напряжений и перемещений как внутри основания, так и непосредственно под штампами при различных параметрах задачи.

Методика исследования. Сведение контактных задач к ИУ основывается на использовании аппарата интегральных преобразований Фурье, Ханкеля. Трансформанты ядер ИУ, а также трансформанты компонент тензора напряжений построены в аналитической форме. Для решения ИУ использованы численно-аналитические методы.

Научная новизна. Предложены две повые модели упругого основания с двухслойным покрытием. НДС верхнего слоя покрытия описывается уравнениями классической теории упругости, а НДС более тонкого среднего слоя покрытия описывается на основе уточненных уравнений равновесия тонких пластин [Авилкин В.И., Александров В.М., Коваленко Е.В. Об использовании уточнеппых уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 6. С. 1010— 10] 8; Коваленко Е.В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 1. С. 119-127], которые были преобразованы и упрощены с целью получения обозримых результатов.

На примере этих моделей разработана методика получения тран-формант ядер ИУ в аналитической форме, а также методика определения транформант компонент тензора напряжений и вектора перемещений в аналитической форме для каждого слоя многослойного основания, что чрезвычайно важно при численной реализации методов решения ИУ и определении компонент тензора напряжений и вектора перемещений.

Предложен новый вариант метода ортогональных многочленов для решения осесимметричных контактных задач теории упругости. Определен диапазон геометрических и физических параметров задач, при которых этот метод дает достоверные результаты. Также предложена новая модификация метода коллакации Мультопа-Каландия для решения осесимметричных контактных задач теории упругости.

Асимптотическим методом решена задача о внедрении одного и двух гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием.

Практическая значимость работы. Настоящая работа вносит вклад в теоретические основы численно-аналитических методов решения ИУ для осесимметричных и пространственных контактных задач. В диссертации разработана методика определения ядер ИУ в аналитической форме, что важно при численной реализации методов решения контактных задач, а также для определения полей напряжений и перемещений внутри упругих оснований.

Представленные в диссертации исследования выполпены в рамках плановой тематики ИПМ РАН по теме "Современные проблемы взаимодействия деформируемых тел со сплошными средами" (КП-ФИ, раздел "Механика", направление "Механика деформируемого твердого тела", Гос.рег. № 01.20.0006132), грантов РФФИ № 99-0100038, № 02-01-000346.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок задач, применением строгого математического аппарата, сопоставлением частных случаев получаемых решений рассмотренных задач с известными результатами, а также сопоставлением результатов полученных различными методами.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на IV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1999), на VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001), на семинарах по механике сплошной среды им. Л.А. Галина (под рук. проф. В.М. Александрова) ИПМ РАН, на научном семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на научном семинаре кафедры сопротивления материалов, динамики и прочности машин Московского государственного авиационного института.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения списка литературы из 177 наименований.

Полный объем диссертации составляет 138 страниц, в том числе 91 рисунок и 45 таблиц.

Содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку основных задач исследования, краткое содержание диссертации. Здесь же дан обзор работ, касающихся темы диссертации. Отмечается, что большой вклад в развитие аналитических и численно-аналитических методов решения задач механики контактных взаимодействий внесли: Абрамян Б.Л., Авилкин В.И., Айзикович С.М., Александров А.Я., Александров В.М., Аль-перин И.Г., Арутюнян Н.Х., Бабешко В.А., Баблоян A.A., Беленький М.Я., Белоконь A.B. Бирман С.Е., Булавко А.Г., Васильев В.З., Вигдерович И.Е., Вилков И.М., Вольский C.JI., Ворович И.И., Галин Л.А., Гольштейн Р.В., Горшков А.Г., Горячева И.Г., Грилиц-кий Д.В., Гринченко В.Т., Гришко Н.Т., Гришин С.А., Губенко B.C., Довнорович В.И., Ефимов A.B., Ильман В.М., Киселев М.Я., Клу-бин П.И., Коваленко Е.В., Коган Б.И., Колчин Г.Б., Корсунский М.Б., Кравчук A.C., Кучеров В.А., Ламзюк В.Д., Лебедев H.H., Ломакин В.А., Лурье А.И., Львовский Б.В., Мажаровский В.В., Малый В.И., Манжиров A.B., Моссаковский В.И.,Наумов Ю.А., Никишин B.C., Партон В.З., Перлин П.И., Петришин В.И., Пожарский Д.А., Попов Г.Я., Приварников А.К., Проценко B.C., Раппопорт P.M., Рвачев В.Л., Ростовцев H.A., Савин Т.Н., Сметанин Б.И., Соловьев Ю.И., Тарлаковский Д.В., Улитко А.Ф., Устинов Ю.А., Уфлянд Я.С., Чебаков М.И. Шапиро Г.С., Шевляков Ю.А., Шер-ман Д.И., Шматкова A.A. Штаерман И.Я., Bufler H., Burmiss-ter D.M., Busbridge W., Carleman T., Chen W.T., Civelek M.B., Cooke J.C., Dundurs J., Ehgel P.A., Erdogan F., Fremond M., Hussain M.A., Kalker J.J., Keer L.M., Kuo C.H., Noble В., Pu S.L., Ratwani H., Tranter C.J., Tsai K.C., Weitsman Y. и многие другие.

Глава 1 посвящена постановке контактных задач, выводу интегральных уравнений (ИУ) осесимметричной и пространственной контактных задач для многослойных оснований, а также методам

их решений, развитым в данной диссертации. В § 1 дана постановка осесимметричной контактной задачи для многослойного упругого основания, а также вывод соответствующего ИУ 1-го рода относительно контактного давления

а

Jq(p)K(£,£)pdp = 0H5(r), (0 < г < а) о

оо

К(а,т) — JL(u)Jo(cru)Jo(Tu)du. о

и сведение его к ИУ 2-го рода с разностным ядром

а

р{х) тм ) di = 9д{х)•- а) —а

оо

М(у) = J[1 — L(u)] cos иу du

(1)

(2)

где а — радиус области контакта штампа с основанием; Н — толщина верхнего слоя; в = 6/(1 - и), О, V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона верхнего слоя; ¿(г) — непрерывная функция, описывающая осадку точек границы верхнего слоя в области контакта; 7о(ж) — функция Бесселя. Функция Ь(и) — зависит от механических и геометрических характеристик основания. Функции р{х) и д(х) связаны с контактным давлением д(г) и осадкой штампа 6(г) соотношениями

q{r) =

р(а)

у/а2 — г2

а /

Ve17^

д(Х) = 5(0) +1®;

FI /

5'(r)dr yjx2 — г2

В последующих параграфах главы 1 изложены некоторые методы решения ИУ (2). В § 2 предложен новый вариант метода ортогональных многочленов для осесимметричных контактных задач. Суть метода заключается в следующем. Решение интегрального уравнения (2) ищется в виде ряда по четным полиномам Лежандра, а именно:

оо

р(х)=ва^1Р2г(-) (4)

• Л \(Х '

1=0

где коэффициенты аг ряда (4) находятся из следующей бесконечной системы алгебраических уравнений (5), коэффициенты которой могут быть выражены через однократные интегралы, что важно при практическом использовании метода:

1 00

- ^д = 6* (к = 0,1,...) (5)

4 * + .

г=0

йи и

оо

ы\) = 27гА(—1)'+к ¡{ 1 - Ь(«)]7м+1/а (£) 72к+1/3 (5) о

а

1д{х)Р2к (I)йх

—а

где А = Н/а — безразмерный параметр.

При достаточной гладкости функции 6(г) эта алгебраическая система (5) квазивполне регулярна при всех значениях безразмерного параметра А 6 (0,оо), и поэтому может решаться методом редукции. После определения коэффициентов а* ряда (4) для функции д(г) получим следующее выражение

(4г — 4т — 1)(2г — 2т — 2)!! „ / Г 1 -(2г — 2т — 1)!!-(У1~ * ) } (6)

В § 3 представлен модифицированный метод коллакации Муль-топпа-Каландия для решения осесимметричных контактных задач. Введя безразмерные переменные и функции

е = = = ^ (7)

а а 9а а

интегральное уравнение (2) представим в виде

d£ = ф(х) (|®| < 1) (8)

(здесь и далее штрихи у %' и для простоты записи опускаем).

Построим для функции <р(х) четный интерполяционный полином Лагранжа по нулям полинома Лежандра P-2N+i{x)

^ rj ¥>(0)P2N+I(x) | 2j2 Фп)хРт+i(g) ^

^Ar+lC) n=1 (x2 ~ l(xn)

здесь xn — корни полинома Лежандра P2N+i{x)- (P2N+i{xn) = 0; n = 0,1,... ,N; жо = 0).

После преобразований из ИУ (8) получим относительно значений функции ip(x) в точках хт (т — 0,1,..., N) алгебраическую систему

(>0)

+2 ¿ W М (^)l} " * W

n=1 ' 2JV+1 где «;„ находятся из условия

N

xP2N+1(x)-xnP2N+1(xn) = j2ainP2t(x)

»=0

Разрешив систему (10) относительно <р{хп), определим a¡ как

„ „ , of Фп) í-I 1 \

ai Т>—Шам+ —ГяПГ' in ( }

а, затем, найдем функцию р(х), связанную с ip(x) соотношением (7), а также выражение для контактного давления q(r), отличающиеся от (6) лишь тем, что суммирование по i необходимо вести от 0 до N.

В § 4 представлен асимптотический метод решения пространственных контактных задач. Пространственная контактная задача сводится к двумерному интегральному уравнению первого рода типа свертки относительно функции распределения контактного давления q(x,y)

J <?(£, rj)K (j^j dil = 2тг9H5(x, у) ((х, у) € П) п

(12)

K(t) = J L{u) J0(ut) du; R = ~ + (v ~ У)2 о

Здесь f2 — область контакта штампа с поверхностью основания, Н — характерный геометрический размер (например, толщина верхнего . , Н

слоя), Л = —, где 2а — максимальное расстояние между двумя а

точками области fI. Считая А > 2 и разлагая ядро ИУ (12) в ряд по степеням А-1, придем к следующему ИУ относительно контактного давления q{x, у)

i =2neH6(x,y)+jr -g^- f q(Z,r,)R2mdn, ((х,у)ей)

П m=0 q

(13)

решение которого ищется в виде ряда по степеням 1/А

оо 1

«(£,»?) =$>(£,Ч)^ (14)

к=О

Подставив (14) в ИУ (13) и приравняв члены справа и слева при одинаковых степенях А, придем к рекуррентной системе более простых однотипных интегральных уравнений для последовательного определения функций qk(x,y).

В главе 2 (§ 5) диссертации вводятся в рассмотрение две модели трехслойных оснований и дается постановка осесимметричных контактных задач для этих оснований. Рассмотрим упругое основание с двухслойным покрытием, верхний слой которого толщины Н с механическими характеристиками G\ и v\ через прослойку толщины 2h (h <С Н) с механическими характеристиками <?2 и ;/2 жестко соединен с полупространством с механическими характеристиками G3 и из (рис, 1).

Для описания тонкой прослойки между верхним слоем основания и подстилающим его полупространством были использованы уточненные уравнения напряженно-деформируемого состояния тонких пластин [Авилкин В.И., Александров В.М., Коваленко Е.В. Об использовании уточненных уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 6. С. 1010-1018], "(рис. 2). Для относительно жесткого среднего слоя (G'2 > G\, 62 > G-¿), работающего в основном на продольное растяжение и изгиб, с точностью до членов порядка h2 ► имеем

Н

AG2hAiu{r) = -(1 - i/2)(t+ - т_), 0 = ст+ - <т- + - [г(т+ + т_)]'

i

ги+(г) = ш_(г) = ги(г), и+{г) = и-{г) = и(г) (15)

Здесь u,w — перемещения соответственно по осям г и г в цилиндрической системе координат, г, и — касательное и нормальное напря-, жения на гранях прослойки, знак (+) придается величинам на верх-

ней грани, а знак (-) на нижней; Ai = d2/dr2 +r~1d/dr — г~2. Если же сделать предположение о том, что тонкая прослойка мягче соседних слоев (G2 < Gi, G2 < G3), и также допустить, что <7+ = <т_ = а, т+ = т_ = г, то получим следующие уравнения равновесия тонкого, относительно мягкого слоя (работающего в основном на сдвиг и поперечное сжатие) с точностью до членов порядка h3:

G3hAi [u+{r) - u_(r)] = -Ц1-и2)т, G2 [u>+(r) - u»_(r)] = (1 -v2)ha

<r+(r) = <r_(r) = or(r), r+(r) = r_(r) = т(г) (16)

[

Итак, получены две упрощенные модели трехслойного упругого основания. Физико-механические свойства верхнего слоя и подстилающего полупространства такого основания описываются уравнениями теории упругости (уравнениями Ламе), а тонкого среднего слоя — уравнениями (15) или (16) соответственно, когда средний слой является более жестким или более мягким по отношению к верхнему слою и полупространству.

Далее в главе 2 (§6) ставятся две задачи о равновесии упругих оснований, модели которых были представлены в §5, находящихся под действием осесимметричной нагрузки д(г) в круге радиуса а (рис. 1), для случаев относительно жесткого и относительно мягкого среднего слоя, соответственно.

При г — Н для задач А (жесткая прослойка) и В (мягкая прослойка):

41) = -д(г) (0 < г < а), а?) = 0 (о < г < оо), = 0 (0 < г < оо)

(17)

При 2 = ОиО<Г<00

для задачи А (жесткая прослойка)

' 4С2ИА1и^ = -(1 - и2) [т£> + г£>)]

< ^-.(^"[Кг.ф-т^)]' (18)

= Ю, и^ = = и

для задачи В (мягкая прослойка)

' СаЬД! [и(1) - «(3)] = -3(1 - и2)т < <?2 [ги(1) - №(3)] = (1 - )Ьст

(19)

¡уг

2к

в2,у2

г

Рис.1

Г. ^ ^^^^

Рис.2

Для обеих задач при л/г2 + г2 —> оо перемещения исчезают. Здесь верхний индекс (1) используется для величин в слое, а верхний индекс (3) используется для величин в полупространстве.

Решение осесимметричной задачи для каждого слоя можно выразить через бигармонические функции, трансформанты Ханкеля для которых имеют вид

г) = («1 + аа£г) + (61 + Ъ2&) е«г, Ф3(& г) = (сг + с2£г) е«2

(20)

Удовлетворив с помощью соотношений (20) граничным условиям (17)—(18) (задача А) или (17), (19) (задача В), получим относительно функций с>(£)> (* — 1,2) систему шести линейных алгебраических уравнений, решив которую определим трансформанту Ханкеля для перемещений по оси г на верхней границе основания, а также связь между перемещениями верхней границы основания и давлением под штампом

тЫ(г,Н) = 1 ( 1д{р)рМ!;р)<1р\ ЩН)ШИг) % (21)

о \о /

Заменим (§7) 1-е условие в (17) условием контакта между штампом и основанием

из

(!) = _[*-/(г)], (г = Н, 0 < г < а)

(22)

где 6 — поступательное перемещение штампа по оси г, f(r) -— функция, описывающая форму основания штампа. Возникающие при этом краевые задачи (22), (17), (18) и (22), (17), (19) будем по прежнему называть задачами А и В (контактными).

Удовлетворив с помощью соотношения (21) условию контакта (22), придем к ИУ первого рода (1) относительно контактного давления (г), которое может быть сведено к ИУ второго рода с разностным ядром (2).

К интегральному уравнению (2) необходимо добавить также условие равновесия штампа

а

Р = J q(p)pdp (23)

о

служащее для определения связи между вдавливающей силой Р и осадкой штампа 6, а в тех случаях, когда радиус области контакта штампа с основанием неизвестен, еще и условие для его определения

Ч(о) = 0 (24)

В §8 (глава 3) диссертации метод ортогональных многочленов применен к задаче о внедрении штампа в форме параболоида вращения в упругое основание с двухслойным покрытием центрально приложенной силой Р. Получена связь между вдавливающей силой Р, радиусом области контакта штампа а, его радиусом кривизны И и осадкой 6.

В §9 (глава 3) получены формулы для вычисления эффективного напряжения сге на оси симметрии (т. е. при г — 0), отвечающего критерию пластичности Мизеса.

В §10, 11 (глава 3) проведены расчеты контактного давления и интенсивности напряжений для задач А и В, соответственно, при различных геометрических и физических параметрах и дан анализ полученных результатов. Для задачи А приведенные результаты показывают, что геометрические и механические параметры среднего слоя оказывают гораздо меньшее влияние на распределение контактного давления под штампом, чем параметры верхнего слоя. Для

случая А > 1 наличие тонкого среднего слоя оказывает незначительное влияние па распределение контактного давления под штампом. В случае А < 1 это влияние тем сильнее, чем больше относительная жесткость верхнего слоя п =

Гораздо сильнее средний слой влияет на значения интенсивно-стей напряжений внутри основания. Причем, чем жестче средний слой, тем это влияние сильней. Для достаточно малых толщин \ <\ и мягкого верхнего слоя п < 1 максимальное значение эффективного напряжения <ге находится внутри подстилающего полупространства, в случае же А > | максимум сте для верхнего слоя находится внутри слоя.

Качественно другая картина распределения эффективных напряжений на оси симметрии наблюдается для относительно жесткого верхнего слоя [п = > . Основная часть энергии деформирования сосредоточена именно в верхнем слое, и величина ае в подстилающем полупространстве пренебрежимо мала по сравнению с максимальным значением сге, которое достигается в верхнем слое основания. Отметим также следующую особенность характера распределения сге для относительно жесткого верхнего слоя: при малых толщинах верхнего слоя (А < внутри него находится точка, где егг = и следовательно сте — 0, причем положение максимальных и минимальных значений ае существенным образом зависит от геометрических и механических параметров среднего слоя.

В случае задачи В механические и геометрические парамегры среднего слоя оказывают гораздо большее влияние на распределение контактного давления под штампом, чем в случае задачи А. Также сильно это влияние на распределение интенсивностей напряжений сге внутри основания.

Следует отметить, что в случае задачи В независимо от величины параметра А = ® максимальное значение ае достигается либо в верхнем слое основания, либо на границе слоев, и хотя внутри подстилающего слой полупространства имеется локальный максимум ете, он гораздо меньше максимума, лежащего внутри верхнего слоя.

Чем мягче и тоньше верхний слой, тем сильнее влияние параметров

I

среднего слоя. При А>1ип=|^>1 эффективные напряжения ае внутри полупространства практически равны нулю.

Все результаты представленные в §10 и §11 получены двумя методами: методом ортогональных многочленов и методом коллакации Мультоппа-Каландия. Расхождение результатов полученных этими методами не превосходит 0,001%, если основной параметр задачи

В 4-й главе рассматриваются пространственные контактные задачи о вдавливании одного (§12) и двух (§13, §14) штампов в форме эллиптических параболоидов в упругие основания с двухслойным покрытием, модели которых представленны в главе 2. Пространственные задачи, аналогичные задачам А и В (обозначены, соответственно, как задачи С и О) имеют граничные условия:

при г = Н для задач С (жесткая прослойка) и О (мягкая прослойка)

= - /(х,у)] (х,у) € о, аЫ = о (х,у) $ П, т■£> = 0, т£> = О

(25)

здесь /(х, у) — функция описывающая форму основания штампа. При г = 0 и —оо < (ж, у) < оо для задачи С (жесткая прослойка)

_J_i?L Ui) _ T(3rt , L±nJL (Tm _ r(3)^ 1 _ y2 dyl V « x* ) ^ 1 - V2 дхду \ yZ VZ )

dy2

52 U1) _ + 1+J^.JL fT(l) _ T<3)\ V v* J * 1 - i/o дхду \xz xz )

l-u2dx2Vyz VZJ 1-щдхду д f (л\ . . , 9

(26)

(27)

<т(3) - (jt1) = h— (tW + T&A + h— (tW + T&A

г г дх \xz +T**)+ пду \ yz + vz ) ' (28) tu(i)=u,(3)| a = 1,3

для задачи D (мягкая прослойка)

+ 55^ Р»)

+ (30)

Ь («<Ч-.»<»)== т£> =г«>, т<Ч=т®

(31)

здесь и, V, IV — перемещения вдоль осей х, у и г соответственно. Для обеих задач при \/х2 + у2 + г2 оо перемещения исчезают; верхний индекс (1) используется для величин в слое, а верхний индекс (3) для величин в полупространстве.

Интегральное уравнение для пространственных контактных задач СиБ имеет вид (12). Функция Ь{и) для задач С и В та же, что и для задач А и В, соответственно.

Предположив, что область контакта штампа с основанием О есть эллипс с полуосями а и Ь (Ь < а) и учитывая, что функция 5(х,у), входящая в ИУ (12), полином

к I

*(*>у) = ЕЕьчхУ (*+* = (32)

¿=0 3=0

а также, учитывал, что д(х, у) = 0 на контуре Ь области контакта, решение ИУ (12) ищем в виде (теорема Галина)

д(х, у) = ^ 1-^-^ЕЕ Ы^У* (* + * = ) (33) 1=0 ^=0

Так как в случае симметрии относительно координатных осей

5{х'у) = 5-Щ~2Щ К®'*)6") ^

(здесь д — поступательное перемещение штампа под действием центрально приложенной силы Р, Дх и Дг — радиусы кривизны поверхности основания штампа), то из (33) следует, что

/ 2 2 \

Ф, у) = аоо (1 - ^ ~ ((*• У) е (35)

и ИУ (13) для задач С и О с точностью до членов порядка А 5 примет вид

п у/{х-02 + (у-п)2 V 2ДХ 2Я2)

/

а

1г,)ст + ^1ч) [(х - о2 + (у - *?)2] «и)

(36)

Н*-2а

Рис.3

Подставим (35) в (36) и вычислим интегралы в левой и правой частях (36). Приравнивая, затем, члены при одинаковых степенях х, у справа и слева, получим следующие соотношения:

2паЬаоо

265 (а V! \ 2а° 2а1 Со гЛ

аоо = ТА> И = ЗЛ " 15Л^(2"е V'

Дх

баоо

а3 =

а2в 3 РД3Д1^ю 2(жвН3 - РаЛ)'

1 _ Ьа00 /е , 2а 1

Р =

<5 =

3

3 РА 4ттва

5р1 Дх пвН3 - РД1Д2 а,

5ю ~ Д2 7Г0Я3 - Ра\К\' Я

триситет области контакта П.

Зная исходные параметры задачи С?1, (?2, бз, и\, ь>2, КЗ) Н, Н, Я], Д2, ао, а^, Р, по формулам (37) определяем эксцентриситет е области контакта, ее полуоси а и 6, осадку штампа 6, значение величины аоо и функцию распределения контактного давления.

В §13, §14 асимптотическим методом решена задача о вдавливании двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием. Рассмотрены случаи, когда области контакта расположены как показано на рис.3 и на рис.4. Предполагается, что величина д относительно велика.

Если области контакта штампов с основанием расположены так, как показано на рисунке 3 (вид сверху), то ИУ соответствующей контактной задачи будет иметь вид

У

А

26

1

Т

Рис.4

/ ?(£, ч)К £1 +1 д(2д - 2/ - Ч)ЛГ =

О

= —27Г ОН"и)(х, у)

д = + ((®,у) € пипо

где

= Ла;2 + + Су2 + + + ^, ((®,у)еП) (39) = - 2с?)2 + 2В(х - 2д)(у - 2/) + С(у - 2/)2+

(40)

+ 20(х-2д) + 2Е(у-2/) + Е, ((аг.у) € АО

здесь А, В, С, О, Е, ^-коэффициенты, определяющие уравнение поверхности основания штампа в системе координат (х,у), связанной с осями симметрии области контакта £2. Из-за небольшего, по все же имеющего место взаимовлияния штампов друг на друга, последние при внедрении их в основание претерпевают небольшие повороты вокруг осей (Ох, Оу, О г) (соответственно (Ох 1, Оу\, Ог\). Поэтому, коэффициенты Л и С не совпадают с главными кривизнами штампов, а коэффициенты В, Б к Е отличны от нуля (в отличии от случая внедрения одного штампа).

Однако, при решении задачи показано, что утлы поворотов а, /3, 7 вокруг осей (Ох, Оу, О г) (соответственно) малы по сравнению с единицей и, следовательно коэффициенты А и С можно приближенно считать равными главным кривизнам штампа (с точностью до множителей), а коэффициенты Б и Е равными углам поворота относительно осей Ох и Оу, коэфициент В пропорционален углу поворотов 7 вокруг оси Ог.

Проделав выкладки, аналогичные тем, что были в §12, получим соотношения, связывающие исходные геометрические и физические параметры задачи С?2, С?з, и2, г/з, Я, к, д, Д2, ао> аь Р, и характеристики, определяемые в ходе решения задачи 6, а, /3, 7, е,

а1 Ь, а00, д(х,у).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Развиты численно-аналитические методы решения осесимме-тричных контактных задач для многослойных упругих оснований: модифицированный метод ортогональных многочленов, модифицированный метод коллакации Мультопа-Каландия.

2. Предложены две новые модели упругих оснований с двухслойным покрытием. НДС верхнего слоя покрытия описывается уравнениями классической теории упругости, а НДС более топкого среднего слоя покрытия описывается на основе уточненных уравнений равновесия тонких прослоек. Рассмотрены случаи относительно жесткого и относительно мягкого среднего слоя. Даны постановки контактных задач для предложенных моделей. Дан вывод интегральных уравнений для соответствующих осесимметричных и пространственных контактных задач.

3. Решена осесимметричная контактная задача для упругого основания с двухслойным покрытием. Получена связь между вдавливающей силой, осадкой штампа, радиусом области контакта и радиусом кривизны штампа в его вершине. Изучено влияние тонкого среднего слоя на распределение контактного давления, а также на распределение интенсивностей напряжений внутри основания для случаев относительно жесткого и относительно мягкого среднего слоя.

4. На основании проведенных в диссертации исследований можно сделать вывод о том, что условия контакта верхнего слоя с подстилающим полупространством существенным образом влияют на распределение контактного давления под штампом и на распределение полей напряжений внутри слоя, когда верхний слой относительно тонкий. В случае же относительно толстого верхнего слоя (А > 2) это влияние мало и в реальных расчетах можно пользоваться решением Герца. Многочисленные численные примеры показывают высокую эффективность метода ортогональных многочленов и метода коллакации для осесимметричных контактных задач.

5. Асимптотическим методом решена задача о вдавливании одного и двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических

параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием. Изучено влияние тонкого среднего слоя на распределение контактного давления под штампами, осадку штампов, а также на углы поворота штампов относительно осей координат вследствие их взаимодействия.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Александров В.М., Клиндухов В.В. Новый вариант метода ортогональных мпогочлепов для осесимметричных контактных задач // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. С. 66-68.

2. Александров В.М., Клиндухов В.В. Вдавливание штампа в двухслойное упругое основание с неидеальной механической связью между слоями // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IV Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 1999 г. Том 1. Ростов-на-Дону: Из-во СКНЦ ВШ, 1999. С. 23-27

3. Александров В.М., Клиндухов В.В. Контактпая задача для двухслойного основания с неидеальной механической связью между слоями // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 84-92.

4. Александров В.М., Клиндухов В.В. Модифицированный метод Мультоппа-Каландия в осесимметричных контактных задачах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 2001 г. Том 2. Ростов-на-Дону: Из-во СКНЦ ВШ, 2001. С. 13-16

5. Александров В.М., Клиндухов В.В. Вдавливание двух параболических штампов в двухслойное основание с неидеальной механической связью между слоями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. Спец. выпуск. С. 19-22.

Клиндухов Владимир Васильевич

Контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием.

Подписано к печати 02.07.2003. Заказ №27-2003. Тираж 70 экз.

отпечатано на ротапринте Института проблем механики РАН 119526, Москва, пр-т Вернадского 101, корп. 1

i J7SZ

» 13 75 2

ВВЕДЕНИЕ.

1 ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ОСНОВАНИЙ

§1. Интегральное уравнение для осесимметричной контактной задачи.

§2. Метод ортогональных многочленов для осесим— метричных контактных задач.

§3. Модифицированный метод коллакащии Муль— топпа-Каландия для осесимметричных контактных задач.

§4. Асимптотический метод решения пространственных контактных задач. у (

ГЛАВА 2. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУ-Ь ГОГО ОСНОВАНИЯ С ДВУХСЛОЙНЫМ ПОКРЫТИЕМ

§5. Упрощенные модели трехслойного основания.

§6. Решение первой краевой осесимметричной задачи о равновесии упругого основания с двухслойным покрытием.

§7. Постановка осесимметричной контактной задачи для упругого основания с двухслойным покрытием

глава 3. осесимметричные контактные задачи для упругого основания с

ДВУХСЛОЙНЫМ ПОКРЫТИЕМ.

§8. Внедрение параболического штампа в двухслойное основание.

§9. Определение эффективных напряжений на оси симметрии.

§10. Анализ результатов (задача А: жесткая прослойка)

§11. Анализ результатов (задача В: мягкая прослойка)

ГЛАВА 4. ТРЕХМЕРНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ С ДВУХСЛОЙНЫМ ПОКРЫТИЕМ.

§12. Вдавливание эллиптического в плане штампа в упругое основание с двухслойным покрытием.

§13. Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием.

§14. Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов, рас— положеных на одной оси, в упругое основание с двухслойным покрытием

Исследование напряженно-деформируемого состояния многослойных упругих сред имеет большое теоретическое и практическое значение. Модель многослойного основания хорошо отражает свойства довольно широко распространенных объектов. Проектирование дорожных и аэродромных покрытий, слоистых полов промышленных зданий, гидротехнических сооружений, фундаментов АЭС, плотин, скважин в горных породах, а также деталей машин связанно с решением различных задач теории упругости для многослойных оснований. Совершенствование методов решения известных задач и успешное решение новых, в конечном, итоге приводит к значительному экономическому эффекту как при создании таких дорогостоящих и материалоемких сооружений, как автомобильные дороги, так и при осуществлении высоко технологичных проектов, в которых используются тела с износостойкими покрытиями.

Перейдем к анализу основных направлений, в которых развивалась статика упругих слоистых сред с плоскопараллельными слоями. Ограничимся рассмотрением только таких работ, в которых объектом исследования являются многослойные среды с произвольным конечным числом слоев, причем исследования проводилось с позиции линейной теории упругости. Не будем рассматривать работы, в которых излагаются приближенные теории слоистых сред, основанные на различных гипотезах о характере деформации слоев среды или приближенных методах, таких, как метод конечных элементов. Различные приближенные методы, в том числе метод конечных элементов, метод сеток, метод граничных элементов, использовались в работах В.В. Болотина, В.З. Власова, В.Н. Кузьменко, Н.Н. Леонтьева, Ю.Н. Пискунова, В.В. Парцевского П.Ф. Сабодажа, P.M. Ра' попорта, Г.А. Феня и других авторов.

Первая работа по теории расчета многослойных оснований была опубликована И.Г. Альпериным [34] в 1938 г. В ней рассматривается плоская деформация слоистой полуплоскости. При помощи интегрального преобразования Фурье автор выражает общее решение уравнений теории упругости для каждого слоя основания через четыре произвольные функции параметра интегрального преобразования. Из условий совместности деформаций вытекают рекуррентные соотношения между вспомогательными функциями. В конечном итоге задача сводится к отысканию вспомогательных функций, соответствующих верхнему слою, которые определяются из граничных условий на верхней границе основания, и условий отсутствия напряжений на бесконечности в его нижнем слое (однородной полуплоскости).

Метод определения напряженного состояния слоистых оснований предложенный, И.Г. Альпериным, относится к группе методов рекуррентных соотношений. Для методов этой группы характерным является то, что решение основных граничных задач теории упругости для слоистого основания, в конечном итоге, сводится к отысканию вспомогательных функций, определяющих напряженное состояние верхнего слоя. Вспомогательные функции для остальных слоев определяются из специальных рекуррентных соотношений. При этом порядок получаемой алгебраической системы линейных урав-\ нений относительно искомых вспомогательных функций не зависит от числа слоев в основании. В 60-70 г. методы рекуррентных соотношений получили широкое развитие в работах Ю.А. Наумова,

В.И. Петришина, Ю.А. Шевлякова, А.К. Приварникова, P.M. Рапопорта и других авторов [46, 105, 126-127, 133, 136, 139-140, 157, 158].

В 1942 г. Г.С. Шапиро [156], а позднее D.M. Burmister [167], предложил другой способ получения точного решения первой осесимме-тричной граничной задачи теории упругости для многослойной плиты при помощи интегрального преобразования Ханкеля. В пространстве трансформант Ханкеля напряженное состояние произвольного слоя среды линейно выражаются через четыре вспомогательные функции параметра преобразования. Таким образом, если слоистое основание состоит из п слоев, то для определения 4тг вспомогательных функций необходимо решить систему 4п линейных алгебраических уравнений, которая получается при удовлетворении граничных условий задачи и условий совместности деформаций соседних слоев основания. Заметим, что при решении этим способом пространственных задач система линейных алгебраических уравнений будет иметь порядок 6п. Предложенный подход к решению основных задач теории упругости для многослойных сред развивался в дальнейшем в работах Л.Г. Вулавко, Б.И. Когана, М.Б. Корсунского, B.C. Никишина, И.А. Родзевича, Г.С. Шапиро, Н. Bufler и других [40-41, 76, 78, 115, 143, 164-166].

В 70-80-х годах А.К. Приварниковым и др. [42, 44, 46-47, 82, 84-86, 132-133] для решения основных задач теории упругости для многослойных оснований был разработан метод функций податливости. Функции податливости зависят от параметра используемого интегрального преобразования, но не зависят от нагрузок приложенных к основанию. Поэтому они могут быть определены до решения какой-либо граничной задачи. При решении граничных задач теории упругости для многослойных оснований по методу функций податливости не приходится иметь дело с какими-либо вспомогательными системами линейных алгебраических уравнений. Трансформанты напряжений и перемещений в произвольном слое основания могут быть выражены непосредственно через заданные на его верхней границе напряжения и перемещения при помощи специальных рекуррентных соотношений, содержащих функции податливости. Точное решение основных граничных задач теории упругости для многослойных оснований получается в виде интегралов Фурье или Ханкеля.

При современном уровне развития вычислительной техники, решение 1-Й и 2-й краевых задач для многослойных оснований не вызывает особого труда.

Гораздо более сложным оказалось решение смешанных (контактных) задач теории упругости для многослойных оснований. Для постановки и решения смешанных (контактных) задач необходимо знать, какая существует связь между напряжениями, заданными на верхней границе основания, и соответствующими перемещениями точек этой границы. Сравнительно легко такую связь установить и исследовать для однослойного основания. Поэтому, естественно, в первых работах по смешанным (контактным) задачам для слоистых оснований рассматривались однослойные основания — слой на абсолютно жестком полупространстве (Н.Я. Беленький [38], С.Е. Бирман [39], Н.Н. Лебедев и Я.С. Уфлянд [87], И.И. Ворович и Ю.А. Устинов [49]).

Необходимо отметить, что все методы приближенного решения смешанных задач для упругого полупространства и однослойного основания пригодны и для многослойных оснований с любым числом слоев. В частности, подмеченно, что если известно замкнутое решение контактной задачи для полупространства, то аналогичная контактная задача для многослойного основания может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода. Таким образом, становится ясным, какое важное значение при решении задач для многослойных оснований с большим числом слоев имеют методы решения контактных задач для однородного полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы), приведенные в работах Н.И. Мусхелишвили [100-101], И.Я. Штаермана [161], JT.A. Галина [50], В.И. Моссаковского [97-98] и Я.С. Уфлянда [153-155], И.И. Во-ровича, В.М. Александрова и В.А. Бабешко [48].

Остановимся только на основных методах исследования смешанных (контактных) задач теории упругости однородных сред (в частности полупространства, слоя и полосы). На основе формы представления используемых общих решений основных уравнений теории упругости, можно выделить три обширных направления исследования смешанных (контактных) задач посредством интегральных уравнений, каждое из которых характеризуется своеобразными способами сведения исследуемых задач к разрешающим интегральным уравнениям, что в конечном счете определяет вид интегральных уравнений и структуру их ядер.

Первое направление исследований смешанных (контактных) задач базируется на методах теории функций комплексного переменного Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили. В основу этих методов положено представление решения основных уравнений плоской теории упругости через две аналитические функции комплексного переменного. При помощи методов теории функций комплексного переменного и конформных отображений смешанные (контактные) задачи плоской теории упругости для ограниченных областей сложной конфигурации и неограниченных областей (полуплоскость, полоса, клин и др.) естественным образом сводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши. Гибкость и эффективность методов теории функций комплексного переменного Колосова—Мусхелишвили обеспечили им обширные приложения. Основополагающие смешанные (контактные) задачи плоской теории упругости однородных сред разрабатывались методами теории функций комплексного переменного Н.И. Мусхелишвили [100], Д.И. Шер-маном [159-160], JI.A. Галиным [50], А.И. Каландия [68], С.Г. Мих-линым [96], Г.Н. Савиным [147-149] и многими другими. Фундаментальные исследования плоских смешанных (контактных) задач опираются на теорию сингулярных интегральных уравнений, построенную Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гаховым, Н.П. Векуа, И.Н. Векуа, Д.И. Шерманом, С.Г. Михлиным и другими.

В работе А.Я. Александрова, Ю.И. Соловьева [5] метод аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного при помощи суперпозиции плоских состояний распространен на осесимметричную и другие пространственные задачи теории упругости.

Следующее направление исследования смешанных (контактных) задач теории упругости для ограниченных и неограниченных тел базируется на методах теории потенциалов, представляющих решение основных уравнений теории упругости в форме интегралов, взятых по поверхности исследуемого тела, от произведения фундаментального решения на плотность — интенсивность искомых контактных напряжений. Фундаментальные обоснования этого направления исследований даны в монографиях В.З. Партона, П.И. Перли-на [123-124]. При использовании методов теории потенциалов пространственные смешанные (контактные) задачи теории упругости для ограниченных и неограниченных тел легко сводятся к сингулярным интегральным уравнениям для плотностей потенциалов. Однако эти уравнения, в общем случае, до настоящего времени малоиз-учены.

Задача о давлении без трения жесткого штампа произвольной формы на упругое однородное полупространство сводится к интегральному уравнению первого рода для интенсивности давления штампа, для которого при определенных условиях доказано существование и единственность решения [123]. Построение этого решения (как аналитического, так и численного), в общем случае, связано с известными трудностями. При наличии осевой симметрии оно построенно И.Я. Штаерманом [161], В.И. Довноровичем [60].

В большинстве работ, минуя прямое обращение к интегральному уравнению первого рода, смешанные (контактные) задачи для однородного полупространства сводятся к смешанным задачам теории потенциала, среди которых одной из основных является задача для уравнения Лапласа в полупространстве, когда на одной части поверхности полупространства задана искомая гармоническая функция, а на другой — ее нормальная производная. В работах А.И. Лурье [89-90], Л.А. Галина [50] и других авторов смешанная задача для уравнения Лапласа строится различными методами в форме потенциала простого слоя и, одновременно с этим, находится плотность потенциала — интенсивность давления под штампом.

Н.А. Ростовцевым [145-146] предложен метод построения потенциалов в комплексной форме. С помощью потенциала простого слоя в упомянутых выше работах исследованы в основном задачи о давлении на однородное полупространство круговых и эллиптических в плане штампов при отсутствии трения.

Более сложная смешанная задача теории потенциала встречается в работе В.И. Моссаковского [98], в которой дано первое решение основной смешанной задачи теории упругости для однородного полупространства с круговой линией раздела краевых условий и ее частного случая — задачи о круговом штампе при наличии сцепления. Здесь исходная задача преобразуется к плоской смешанной задаче теории потенциала для двух аналитических функций, которая сводится к одной задаче линейного сопряжения граничных значений аналитических функций. В работах B.C. Губенко [58-59] данный подход применяется к исследованию задачи о давлении кольцевого штампа на однородное полупространство при отсутствии трения, которая в конечном счете сводится к интегральному уравнению Фред-гольма на полубесконечном интервале, или к системе двух уравнений на конечном и полубесконечном интервале.

Эффективный метод решения смешанных задач теории потенциала для полупространства, основанный на интегральном преобразовании Мелера—Фока и тороидальных координатах, разработал Я.С. Уфлянд [153-155]. При помощи этого метода, в указанной монографии даны решения многих смешанных (контактных) задач теории упругости для однородного полупространства, в том числе основная смешанная задача с круговой линией раздела краевых условий, как в осесимметричном, так и в общем случаях.

Третье направление исследования смешанных (контактных) задач теории упругости для однородного полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы) базируется на интегральных преобразованиях Фурье, Ханкеля, Мелера—Фока и других. К этому обширному направлению относятся такие методы как: метод ортогональных многочленов, асимптотические методы, метод парных интегральных уравнений и другие.

Метод ортогональных многочленов и асимптотические методы основаны на общей идее — сведении исходной смешанных (контактных) задач теории упругости к интегральному уравнению первого рода и построению решения этого уравнения в форме функциональных рядов различной структуры. Реализация этой идеи обеспечена тем, что многие смешанные (контактные) задачи теории упругости посредством интегральных преобразований сводятся к интегральным уравнениям первого рода на конечном или бесконечном интервале с ядрами, зависящими от разности аргументов и представимыми в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Причем, обычно, сингулярная часть ядра характеризуется тем, что соответствующий ей интегральный оператор имеет собственные функции, совпадающие с одной из систем классических ортогональных многочленов Чебыше-ва, Лежандра, Лягера и других. На этом свойстве непосредственно основан метод ортогональных многочленов, суть которого заключается в построении решения интегрального уравнения первого рода в виде разложения в ряд по системе соответствующих ортогональных многочленов, представляющих собой собственные функции интегрального оператора для сингулярной части ядра. Существенно, что если регулярная часть ядра отсутствует, как, например, в контактных задачах для однородного полупространства (полуплоскости) при отсутствии трения, интегральное уравнение первого рода решается в замкнутом виде или в форме разложения в ряд по собственным функциям, коэффициенты которого находятся с помощью простых квадратур. В общем случае исходная задача сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений для коэффициентов ряда. Начало методу ортогональных многочленов положила работа П.И. Клубина [71]. Развитию, обобщению и приложениям этого метода к контактным задачам посвящены многие работы Г.Я. Попова [129-131], В.М. Александрова, Е.В. Коваленко В.А. Кучерова, Б.И. Сметанина, М.И. Чебакова [6, 7, 13, 22, 23, 26, 29, 31, 163] и других авторов.

Асимптотические методы — это методы построения решений интегральных уравнений первого рода, обладающих описанными выше свойствами, в форме асимптотических разложений по малому или большему характеристическому параметру исходной смешанной (контактной) задачи теории упругости. Асимптотические методы исследования контактных задач теории упругости впервые были предложены в работах И.И. Воровича, В.М. Александрова, Ю.А. Устинова [8, 10-11, 15, 28, 30, 49, 162]. Фундаментальному обоснованию и развитию асимптотических методов посвящены многие статьи и монография И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко [48], а также работы многих других исследователей [23, 27, 28, 95, 138]. В них построены эффективные асимптотические решения задач о давлении кругового и кольцевого в плане штампов на слой при отсутствии трения, плоские контактные задачи для полосы и клина без трения или сцепления в области контакта, родственные задачи о трещинах, и другие смешанные задачи.

Многие контактные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода на конечном или полубесконечном интервалах, которые эффективно решаются методами факторизации Винера-Хопфа и приближенной факторизации функций. Эти методы широко используются при построении асимптотических решений в работах В.М. Александрова, В.А. Бабешко, Г.Я. Попова [95, 138] и других исследователей.

В работах Б.Г. Пальцева [120-121] и В.Ю. Новокшенова [119] разработан аналог метода Винера-Хопфа для широкого класса интегральных уравнений свертки на конечном интервале, к которому сводятся многие задачи математической физики и, в частности, смешанные задачи теории упругости. Развитые в них методы позволяют, в частности, проводить качественные исследования интегральных уравнений свертки, например, изучать асимптотику спектра и собственные функции.

Известно, что прямое численное решение интегрального уравнения первого рода неустойчиво к малым изменениям свободного члена и относится к числу некорректно поставленных задач. В связи с этим, в последнее время интенсивно развивались методы регуляризации построения приближенных решений интегральных уравнений первого рода в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, и многих других авторов [95, 138, 151].

При построении решений методами интегральных преобразований контактные задачи, при отсутствии трения, и другие смешанные задачи теории упругости, в которых касательные напряжения в областях задания краевых условий для перемещений тождественно равны нулю, при наличии одной, двух, ., п — 1 линий раздела краевых условий, сводятся, соответственно, к парным, тройным ,., n-интегральным уравнениям, определенным на двух, трех, ., п смежных интервалах, покрывающих в совокупности полубесконечный или бесконечный интервал.

Для парных интегральных уравнений, связанных с интегральными преобразованиями Фурье, Ханкеля, Мелера-Фока и другими, разработан ряд эффективных методов решения: метод доопределения (В. Noble [173], C.J. Tranter [176]), метод подстановки (Н.Н. Лебедев [87], J.C. Cooke [170]), метод регуляризации (Т. Carleman [168], В. Noble [173]), метод преобразующих операторов (В. Noble [174], А.А. Баблоян [37], C.J. Tranter [177]), метод теории аналитических функций (Э.Ч. Титчмарш [150], W. Busbridge [167], В.И. Массаков-ский [99], Б. Нобл [117]) и др.

Первое приложение метода парных интегральных уравнений с ядром Фурье-Ханкеля к неклассическим контактным задачам дано в работе Н.Н. Лебедева и Я.С. Уфлянда [87] (1958). Здесь осесим-метричная задача о давлении кругового в плане штампа на слой, при отсутствии трения, сведена к парным интегральным уравнениям, которые методом подстановки преобразованы к интегральному уравнению второго рода. Эта же задача решена И.И. Воровичем и Ю.А. Устиновым в работе [49], где парные интегральные уравнения методом регуляризации сведены к интегральному уравнению второго рода.

Парные интегральные уравнения, основанные на интегральном преобразовании Мелера-Фока, эффективно решены методом подстановки в работе В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко [57] , а в работе А.А. Ба-блояна [37] методом преобразующих операторов.

Следует отметить монографию B.JI. Рвачева и B.C. Про-ценко [142], в которой кроме, классических методов, с помощью R—функций разработан новый структурный метод, позволяющий находить приближенные решения контактных задач о давлении штампов с основаниями сложной формы на однородное полупространство и тела конечных размеров практически произвольной геометрии при отсутствии трения.

Переход от одного слоя к существенно многослойным средам, при решении контактных задач формально не вызывает каких-либо принципиальных трудностей, однако численная реализация формальных решений наталкивается на определенный барьер. Математическая безупречность формальных решений, построенных методами интегральных преобразований Фурье-Ханкеля, еще не гарантирует их приемлемости для численной реализации. Это объясняется тем, что формальные решения, построенные без учета условий корректности и требований машиной реализации, оказываются неустойчивыми и, стало быть, неприемлемыми для численной реализации. Поэтому неслучайно, с одной стороны, наличие большего числа работ, имеющих формальный характер, а с другой стороны — отсутствие прогресса в реализации численных решений задач теории упругости для многослойных сред, особенно со смешанными краевыми условиями.

Количество публикаций, в которых бы рассматривались основания с числом слоев два и более, невелико. В 1954 г. Б.И. Коган [74] опубликовал решение осесимметричной задачи о вдавливании штампа в двухслойное основание, состоящее из слоя на полупространстве. В 1961 г. Д.В. Грилицким [56] решена задача о кручении двухслойного основания штампом. Основание состояло из слоя, сцепленного с полупространством. В 1963 году в работе И.М. Вилкова [43] была решена плоская задача о вдавливании плоского штампа в двухслойное основание (слой на полуплоскости). Асимптотическими методами контактные задачи для двухслойного основания рассматривались в работе Г.П. Александровой [33].

Задачи о давлении без трения круговых и полосовых в плане штампов на двухслойную среду в форме однородного полупространства (слоя), покрытого слоем произвольной толщины и, в частности, достаточно тонким при наличии двухсторонних связей как между слоем и полупространством (сцепление или полный контакт), так и между штампом и двухслойным пакетом изучались, с одной стороны, на основе уравнений пространственной теории упругости в случае верхнего слоя произвольной толщины [15, 16, 17, 35, 43, 65-66, 72, 74, 169] и, с другой, на основе теории тонких пластинок Кирхгоффа-Лява в случае верхнего слоя малой толщины [8, 14, 24, 25, 27, 36, 61, 67]. Эти две группы работ представляют существенный интерес, прежде всего, с точки зрения выявленных в них механических эффектов в случае тонкого верхнего слоя.

Весомый вклад в решение смешанных (контактных) задач теории упругости для существенно многослойных оснований внесли С.Л. Вольский, В.И. Ильман, В.Д. Ламзюк, Ю.А. Наумов, Н.В. Пальцун, В.И. Петришин, А.К. Приварников, P.M. Рапопорт,

Ю.А. Шевляков, Н. Bufler (метод послойного решения) [45, 47, 6267, 70, 83, 91, 104, 106-107, 122, 125-127, 135-136, 139, 141, 157-158], а также Б.И. Коган, М.Б. Корсунский, B.C. Никишин, И.А. Родзевич, Г.С.Шапиро, D.M. Burmister (метод единого пакета) [73-76, 78,110116, 167].

Аппроксимировав непрерывно-неоднородный слой произвольной толщины Н с модулем упругости E(z) и коэффициентом Пуассона и пакетом из N слоев толщины 5Щ (г = 1,2,3, —N), и осуществив предельный переход при N —> оо и тахбЩ —> 0 в развернутой системе i функциональных уравнений Б.И. Коган, Ю.А. Наумов, Ю.А. Шевляков, В.Н. Чистяк [73, 102-103, 157] получили систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, разрешающую осесимметричную задачу теории упругости для непрерывно-неоднородного слоя. B.C. Никишиным в работе [108] построены решения трехмерной, осесимметричной и плоской задач теории упругости для непрерывно-неоднородного слоя, сцепленного с упругим (жестким) основанием или покоящемся на жестком основании без трения. Для полупространства с непрерывно-неоднородным верхним слоем (с произвольным законом неоднородности по глубине) контактные задачи рассматривались в работах С.М. Айзиковича и В.М. Александрова [2-4].

Другие методы решения основных задач теории упругости непрерывно-неоднородных сред наиболее полно и систематически освещены в специальном курсе теории упругости В.А. Ломакина [88] и монографии Г.Б. Колчина [77]. Большинство точных решений получены для частных случаев неоднородного полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы), когда модуль упругости зависит от глубины по законам степенной, показательной или экспоненциальной функций [12, 77, 99, 109, 128, 144].

Большой вклад в решение граничных и контактных задач для упругих оснований внесли также Н.Х. Арутюнян, Р.В. Голь-штейн, А.Г. Горшков, А.С. Кравчук, В.Д. Ламзюк, А.В. Манжиров, Ю.А. Наумов, В.Д. Никифоров, B.C. Никишин, Д.В. Тарлаковский, Г.С. Шапиро и др. [35, 51-52, 79-81, 84, 105, 107, 112-116].

Во всех перечисленных выше работах по многослойным основаниям рассматривался, как правило, идеальный контакт между слоями, т. е. предполагалось, что слои либо жестко сцеплены друг с другом, либо лежат гладко друг на друге, при этом не отставая один от другого. S.L. Ри и М.А. Hassain [175] в 1970 г. опубликовали работу в которой допускалась возможность отслаивания верхнего невесомого слоя, прижатого сосредоточенной силой к упругому полупространству. Почти одновременно А.К. Приварников [134] другим способом получил решение аналогичной осесимметричной контактной задачи о неполном контакте гладкого слоя с упругим полупространством.

В начале 80-годов стало актуальным изучение напряженно-деформируемого состояния тел с износостойкими покрытиями. Этот вопрос изучался многими авторами [25, 27, 30-32, 93-94, 163, 172] на различных моделях двухслойного основания.

Следует отметить, что, как показывают теоретические исследования и эксперименты, напряжения возникающие внутри многослойного основания при внедрении в него гладкого штампа экспоненциально убывают по глубине, и становятся пренебрежимо малы по сравнению с контактным давлением на глубине превышающей в два-три раза максимальное расстояние между точками области контакта штампа с основанием. Таким образом, изучение напряженно-деформируемого состояния двух-трех-слойных оснований имеет большой практический интерес.

Основными параметрами, влияющими на характер распределения напряжений в покрытии и основании являются, как правило, отношение упругих характеристик покрытия и основания, а также, отношение толщины покрытия к размеру области контакта. Тем не менее, необходимо отметить, что характер напряженного состояния и разрушения тел с покрытиями существенным образом зависит от степени сцепления покрытия с подложкой [152]. Однако, моделирование на границе раздела слоев условий, отражающих неполное их сцепление, сопряжено с большими математическими трудностями. Подавляющее большинство авторов, рассматривающих двухслойное основание, как правило, рассматривали слой либо свободно лежащий на основании, либо жестко сцепленный с ним.

В работе [92] В.В. Мажаровский и В.Е. Старжинский предложили метод решения плоской контактной задачи для полосы, дискретно соединенной с основанием. Предполагалось, что на границе раздела слоев имеется конечное число разрезов. И.Г. Горячевой и И.В. Фельдштейном [53] был предложен метод задания граничных условий с помощью тензора влияния, учитывающего в асимптотическом смысле наличие дефектов на границе раздела слоев. В работе И.Г. Горячевой и Е.В. Торской [54] рассмотрена задача об осесимме-тричном нагружении двухслойного упругого основания при задании на границе раздела слоя и основания условий, допускающих относительное проскальзывание граничных точек в следствии неполного сцепления слоев. Математически проскальзывание выражается в том, что касательные напряжения на границе раздела слоев пропорциональны разности радиальных перемещений точек слоя и полупространства.

В 2001 г. В.М. Александровым и автором диссертации [17-18] были предложены две упрощенные модели трехслойных оснований с тонким средним слоем, которые можно также рассматривать как модели двухслойных оснований с неидеальной механической связью между слоями. Неидеальность математически выражалась тем, что вместо условий совпадения напряжений и перемещений на плоскости контакта слоев ставились на этой плоскости некоторые дифференциальные условия связи между напряжениями и перемещениями. Для описания неидеальной связи были взяты уточненные уравнения равновесия осесимметричного деформирования тонких прослоек [1] которые были, с целью получения обозримых результатов, оставляя главное, максимально упрощены. Осесимметричная контактная задача для такого основания решалась методом ортогональных многочленов и методом коллакации Мультопа—Каландия.

Позднее, в 2001 г. В.М. Александров и автор диссертации опубликовали работу [21], в которой была предложена более сложная модель двухслойного основания с неидеальной механической связью между слоями. В дифференциальных условиях связи между напряжениями и перемещениями учитывались члены более высокого порядка по сравнению с условиями принятыми в работах [17-18]. Позднее [19] была решена задача о вдавливании двух штампов в форме эллиптических параболоидов в описанное выше основание. Задача решалась асимптотическими методами.

Данная диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе диссертации излагаются основные методы решения контактных задач для многослойных оснований, а именно: новый вариант метода ортогональных многочленов и модификация метода коллакации Мультопа-Каландия для осесимметричных задач, а также асимптотический метод для пространственных задач. Проводится анализ параметров, при которых эти методы могут быть реализованы.

Во второй главе диссертации приведены две упрощенные модели трехслойного основания и дана постановка осесимметричных контактных задач для этих оснований, а также дан вывод соответствующих этим задачам интегральных уравнений. Физико-механические свойства верхнего слоя и подстилающего полупространства такого основания описываются уравнениями теории упругости (уравнениями Ламе), а тонкого среднего слоя — уточненными уравнениями равновесия тонких прослоек [1], которые были упрощены, с целью получения обозримых результатов. Рассмотрены случаи, когда средний слой является более жестким по отношению к верхнему слою и полупространству, или более мягким.

В третей главе диссертации решаются поставленные в предыдущей главе задачи методом ортогональных многочленов и методом коллакации Мультоппа—Каландия. Произведен расчет контактного давления под штампом и компонент тензора напряжений внутри основания, а также проведен анализ результатов в зависимости от параметров задачи.

В четвертой главе диссертации рассматривается задача о внедрении одного и двух штампов в форме эллиптических параболоидов в трехслойное основание. Проведен анализ взаимного расположения областей контакта при вдавливании в упругое основание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов. Асимптотическим методом решена задача о вдавливании двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием.

Диссертация завершается заключением и списком литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результатами и выводы по данной работе:

1. Развиты численно-аналитические методы решения осесимме-тричных контактных задач для многослойных упругих оснований: модифицированый метод ортогональных многочленов, модифицированный метод коллакации Мультопа-Каландия.

2. Предложены две новые модели упругих оснований с двухслойным покрытием. НДС верхнего слоя покрытия описывается уравнениями классической теории упругости, а НДС более тонкого среднего слоя покрытия описывается на основе уточненных уравнений равновесия тонких прослоек. Рассмотрены случаи относительно жесткого и относительно мягкого среднего слоя. Даны постановки контактных задач для предложенных моделей. Дан вывод интегральных уравнений для соответствующих осесимметричных и пространственных контактных задач.

3. Решена осесимметричная контактная задача для упругого основания с двухслойным покрытием. Получена связь между вдавливающей силой, осадкой штампа, радиусом области контакта и радиусом кривизны штампа в его вершине. Изучено влияние тонкого среднего слоя на распределение контактного давления, а также на распределение интенсивностей напряжений внутри основания для случаев относительно жесткого и относительно мягкого среднего слоя.

4. На основании проведенных в диссертации исследований можно сделать вывод о том, что условия контакта верхнего слоя с подстилающим полупространством существенным образом влияют на распределение контактного давления под штампом и на распределение полей напряжений внутри слоя, когда верхний слой относительно тонкий. В случае же относительно толстого верхнего слоя (Л > 2) это влияние мало и в реальных расчетах можно пользоваться решением Герца. Многочисленные численные примеры показывают высокую эффективность метода ортогональных многочленов и метода коллакации для осесимметричных контактных задач.

5. Асимптотическим методом решена задача о вдавливании одного и двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием. Изучено влияние тонкого среднего слоя на распределение контактного давления под штампами, осадку штампов а также на углы поворота штампов относительно осей координат вследствие их взаимодействия.

1. Авилкин В.И., Александров В.М. Коваленко Е.В. Об использовании уточненных уравнений тонких покрытий в теории осесим-метричных контактных задач для составных оснований // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. б. С. 1010-1018.

2. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 1. С. 148-158.

3. Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 2. С. 73-82.

4. Айзикович С.М., Александров В.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для полупространства и полуплоскости неоднородных по глубине // Изв. АН АрмССР. Механика. 1986. Т. 39. № 3. С. 13-27.

5. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978. 464 с.

6. Александров В.М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 6. С. 1117-1131.

7. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений //Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 1. С. 55-58.

8. Александров В.М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 1. С. 61-73.

9. Александров В.М. К решению одного типа двумерных интегральных уравнений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 579-581.

10. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 672-683.

11. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах со смешанными граничными условиями // ПММ. 1968. Т. 57. Вып. 2. С. 102-108.

12. Александров В.М. Об одном методе сведения парных интегральных уравнений и парных рядов — уравнений к бесконечным алгебраическим системам // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 2. С. 324-332.

13. Александров В.М. Контактная задача для упругой полосы с тонким усиливающим покрытием // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2002. № 4 С. 52-57.

14. Александров В.М., Айзикович С.М. Распределение напряжений под ленточным фундаментом на неоднородном основании //Исследования по теории сооружений. М., 1987. № 25. С. 82-92.

15. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 2. С. 323-333.

16. Александров В.М., Гришин С.А., Коваленко Е.В. Контактное взаимодействие толстой плиты с упругим слоем большой толщины // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 5. С. 64-69.

17. Александров В.М., Клиндухов В.В. Контактная задача для двухслойного основания с неидеальной механической связью между слоями // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 84-92.

18. Александров В.М., Клиндухов В.В. Вдавливание двух параболических штампов в двухслойное основание с неидеальной механической связью между слоями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. Спец. выпуск. С. 19-22.

19. Александров В.М., Клиндухов В.В. Новый вариант метода ортогональных многочленов для осесимметричных контактных задач //Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 4 С. 66-68.

20. Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2000. Т. 2. С. 13-16.

21. Александров В.М., Коваленко Е.В. Метод ортогональных функций в смешанных задачах механики сплошных сред //Прикладная механика. 1977. Т. 13. № 12. С. 89-95.

22. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

23. Александров В.М., Коваленко Е.В., Марченко С.М. О двух контактных задачах теории упругости для слоя с покрытием вин-клеровского типа//Прикладная механика. 1983. Т. 19. №10. С. 4754.

24. Александров В.М., Коваленко Е.В., Мхитарян С.М. Исследование ограниченных решений в задаче о взаимодействии полуплоскости с упругими накладками //Изв. АН АрмССР. Механика. 1978. Т. 31. № 1. С. 3-15.

25. Александров В.М., Кучеров В.А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости / / ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 4. С. 643-652.

26. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с упругими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

27. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998. 288 с.

28. Александров В.М., Сметанин Б.И. Об одном эффективном методе решения классических смешанных задач теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 1. С. 80-87.

29. Александров В.М., Шматкова А. А. Вдавливание параболического штампа в упругий слой и двух параболических штампов в упругое полупространство//Изв. РАН. МТТ. 1999. №4. С. 56-63.

30. Александров В.М., Чебаков М.И. Смешанные задачи механики сплошных сред, связанные с интегральными преобразованиями Ханкеля и Мелера-Фока // ПММ. 1977. Т 39 Вып. 2. С. 324 -332.

31. Александров В.М., Kalker J.J., Пожарский Д.А. Пространственная контактная задача для двухслойного упругого основания с заранее неизвестной областью контакта//Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4. С. 51-55.

32. Александрова Г.П. Контактные задачи изгиба плит, лежащих на упругом основании //Изв. АН СССР. МТТ. 1973. Т. 1. С. 97-106.

33. Альперин И.Г. Задача о бесконечно длинной балке на упругой полуплоскости // ПММ. 1938. Т. 2. Вып. 3. С. 287-315.

34. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1990; Изд-во НАН РА, 1999. 320 с.

35. Арутюнян Н.Х., Мхитарян С.М. Контактная задача о вдавливании штампа в упругую полуплоскость с тонким усиливающим покрытием // ПММ. 1975, Т. 39. Вып. 5. С. 857-875.

36. Баблоян А.А. Решение некоторых парных интегральных уравнений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1016-1023.

37. Беленький М.Я. Смешанная задача теории упругости для бесконечной полосы // ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 3. С. 1291-1296.

38. Бирман С.Е. К плоской задачи о телах, составленных из частей с различными упругими постоянными // ДАН СССР. 1953. Т. 18. № 5. С. 791-794.

39. Булавко А.Г. Напряжения и деформации многослойных упругоизотропных систем при осесимметричной нагрузке // Труды СоюздорНИИ. Вып. 6. М.: Транспорт, 1961. С. 79-124.

40. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упруго подкрепленной цилиндрической полостью //Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 12. С. 17-22.

41. Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. О решении граничных задач теории упругости для слоистых тел произвольной формы //IV Всесоюзн. съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Киев: Наукова думка, 1976. С. 86.

42. Вилков И.М. Плоская контактная задача для двухслойного основания при действии симметричной нагрузки на жесткий штамп // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. Вып. 4. С. 172-174.

43. Вольский С.Л. Некоторые краевые задачи для упругих слоистых сред/Автореф. дисс. .канд. физ.-мат. наук. Днепропетровск. (Днепропетровский инж.-строит. ин-т). 1978. 16 с.

44. Вольский С.Л., Ильман В.М., Приварников А.К. Плоская контактная задача для многослойного основания при наличии трения и сцепления // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск, 1974. С. 41-57.

45. Вольский С.Л., Приварников А.К. К расчету слоистых плит // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск, 1974. С. 58-66.

46. Вольский С.Л., Приварников А.К. Плоская деформация многослойной плиты / / Устойчивость и прочность элементов конструкций. Вып. 2. 1975. Днепропетровск. С. 105-123.

47. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

48. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 445-455.

49. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.: Гостехиздат, 1980. 303 с.

50. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные динамические контактные задачи //Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. С. 350-416.

51. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352 с.

52. Горячева И.Г., Фельдштейн И.В. Анализ влияния системы дефектов на напряженное состояние упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 1996. Т. 5. С. 55-61.

53. Горячева И.Г., Торская Е.В. Напряженное состояние 2-слойного упругого основания при неполном сцеплении слоев // Трение и износ. 1998. № 3. С. 289-296.

54. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

55. Грилицкий Д.В. Кручение двухслойной упругой среды //Прикладная механика. 1961. Т. 7. № 1. С. 89-95.

56. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Об одной смешанной граничной задаче теплопроводности для полупространства //Инж.-физ. журн. 1963. Т. 5. № 10. С. 67-71.

57. Губенко B.C. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругий слой и упругое полупространство //Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машиностроение. 1960. 3. С. 60-64.

58. Губенко B.C. Давление серии круговых кольцевых штампов на упругое полупространство //Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машиностроение. 1960. № 4. С. 145-146.

59. Довнорович В.И. Пространственные контактные задачи теории упругости. Минск: Изд-во БГУ, 1959. 108 с.

60. Ефимов А.В., Малый В.И., Толкачева Н.М. Контактная задача для упругого тела с тонким покрытием // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 1. С. 166-171.

61. Ильман В.М., Ламзюк В.Д. Периодические смешанные задачи теории упругости для слоистых сред //IV Всесоюзн. конф. по теории упругости. Тезисы докладов. Ереван. 1979. С. 398.

62. Ильман В.М., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. О характере взаимодействия штампа с упругим многослойным основанием //Изв. АН СССР. МТТ. 1975. Т. 5. С. 134-138.

63. Ильман В.М., Приварников А.К. Плоская периодическая контактная задача для многослойного упругого основания // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск. 1971. С. 36-57.

64. Ильман В.М., Приварников А.К. Плоская задача о действии системы штампов на упругое многослойное основание // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск. 1971. С. 19-36.

65. Ильман В.М., Приварников А.К. Действие системы штампов на упругое многослойное основание //Прикладная механика. 1971. Т. 7. № 6. С. 25-30.

66. Ильман В.М., Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Плоская контактная задача о действии двух штампов на многослойное основание // Теоретична i прикладна мехашка. Респ. мЬквщ. те-матичний науково—техничний зб!рник. Вип. 2. Харыав. 1971. С. 6-12.

67. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 304 с.

68. Канторович JI.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 696 с.

69. Киселев М.Я. О действии кольцевого штампа на многослойное основание // Гидроаэромеханика и теория упругости. Вып. 19. Днепропетровск, 1971. С. 70-76.

70. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании //Инженерный сборник. 1952. Т. 12. С. 95-135.

71. Коваленко Е.В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 1. С. 119-127.

72. Коган Б.И. Осесимметричная задача теории упругости для многослойного основания //Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1958. № 6. С. 111-113.

73. Коган Б.И. Давление жесткого штампа на двухслойное основание. // Тр. Харьковского автодорожного института. Вып. 17. Харьков: Из-во ХГУ, 1954. С. 43-48.

74. Коган Б.И. Осесимметричная задача теории упругости для многослойного полупространства //Изв. АН СССР. ОТН. 1958. Т. 6. С. 111-113.

75. Коган Б.И., Акопян P.P. Осесимметричная задача теории упругости для трансверсально-изотропных сред // Гидроаэромеханика и теория упругости. Вып. 22. Днепропетровск, 1977. С. 75-85.

76. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев.: Штиинца, 1977. 120 с.

77. Корсунский М.Б. Практические методы определения напряженно-деформированного состояния конструкций дорожных одежд // Тр. Всесоюз. Дор. НИИ. Вып. 6. М. 1966. С. 5-78.

78. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства и квазинеравенства в механике. М.: Изд-во Московской государственной академии приборостроения и информатики, 1997. 340 с.

79. Кравчук А. С. Метод вариационных неравенств в контактных задачах //Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. С. 93115.

80. Кравчук А. С. Контактные задачи с односторонними связями и учетом сил трения //Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. С. 491-498.

81. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований. Вып. 2. Днепропетровск, 1978. 58 с.

82. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Осесимметричная деформация упругого многослойного основания со сквозным цилиндрическим отверстием // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск, 1979. С. 143-149.

83. Лебедев Н.Н., Уфлянд Я.С. Осесимметричная контактная задача для упругого слоя // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 3. С. 320-326.

84. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 368 с.

85. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 492 с.

86. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 940 с.

87. Львовский Б.В., Петришин В.И. Кручение многослойного пакета между штампами // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск, 1974. С. 78-84.

88. Мажаровский В.В., Старжинский В.Е. Прикладная механика слоистых тел из композитов. Минск.: Наука и техника, 1982. 272 с.

89. Макушин А.П. Напряженно-деформируемое состояние упругого слоя при внедрении в него сферического индентора. Сообщение 1 //Трение и износ. 1990. № 3. С. 423-434.

90. Макушин А.П. Напряженно-деформируемое состояние упругого слоя при внедрении в него сферического индентора. Сообщение 2 //Трение и износ. 1990. № 4. С. 602-608.

91. Механика контактных взаимодействий /Под ред. И.И. Егоровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. 672 с.

92. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.: Гостехиздат, 1949. 380 с.

93. Моссаковский В.И. К вопросу об оценке перемещений в пространственных контактных задачах // ПММ. 1951. Т 15. Вып. 5. С. 635-636.

94. Моссаковский В.И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий // ПММ. 1954. Т. 18. Вып. 2. С. 187-196.

95. Моссаковский В.И. Давление круглого штампа на упругое полупространство, модуль упругости которого является степенной функцией глубины // ПММ. 1958. Т. 22. № 1. С. 123-125.

96. Мусхелишвили В.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

97. Мусхелишвили В.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

98. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А., Чистяк В.И. К решению основных задач теории упругости для слоя с произвольной неоднородностью по толщине //Прикладная механика. 1970. Т. 6. Вып. 7. С. 25-31.

99. Наумов Ю. А. Пространственная деформация неоднородного по толщине упругого слоя // Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск, 1974. С. 3-22.

100. Наумов Ю.А. Изгиб балочных и круглых плит на многослойном основании. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Днепропетровск: ДГУ, 1967. 15 с.

101. Наумов Ю.А., Никифоров В.Д. Об отставании упругого слоя //Прикладная механика. 1971. Т. 7. № 11. С. 33-40.

102. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А. К расчету балочных плит на многослойном основании // Гидромеханика. Респ. межвед. науч. техн. сб. Вып. 1. Харьков: Из-во ХГУб 1965. С. 90-97.

103. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А. К изгибу круглых плит на многослойном основании // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. № 1. С. 154-162.

104. Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред//Сообщения по прикладной математике. Вып. 4. М.: ВЦ АН СССР, 1976. 60 с.

105. Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / / Сообщения по прикладной математике. Вып. 3. М.: ВЦ АН СССР, 1976. 101 с.

106. Никишин B.C., Китороаге Т.В. Плоские контактные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1990. 67 с.

107. Никишин B.C., Китороаге Т.В. Плоские контактные задачи теории упругости с односторонними связями для многослойных сред. М.: ВЦ РАН, 1994. 43 с.

108. Никишин B.C. Шапиро Г.С. О контактных задачах для упругих многослойных сред // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Том 1. Тбилиси: МЕНЦИЕРЕБА, 1973. С. 192-205.

109. Никишин B.C. Шапиро Г.С. Задачи о неполном контакте кольцевого или кругового штампа с упругой слоистой средой //Изв. АН СССР. МТТ. 1976. Т. 5. С. 27-38.

110. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1980. 260 с.

111. Никишин B.C. Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Наука, 1973. 131 с.

112. Никишин B.C. Шапиро Г.С. О контактных задачах для слоистых сред и цилиндра при наличии односторонних связей / / Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докл. Всесоюзн. науч. конф. Часть 1. Ростов-на-Дону, 1977. С. 37-38.

113. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.:ИЛ, 1962. 280 с.

114. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

115. Новокшенов В.Ю. Уравнения в свертках на конечном отрезке и факторизация матриц // Матем. заметки. 1980. Т. 27. Вып. 6. С. 935-946.

116. Пальцев Б.В. Уравнение свертки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих степенную асимптотику на бесконечности //Изв. АН СССР. Сер. Метем. 1980. Т. 44. № 2. С. 322-394.

117. Пальцев Б.В. Обобщение метода Винера-Хопфа для уравнений свертки на конечном интервале с символами, имеющими степенную асимптотику на бесконечности //Матем. сборник. 1980. Т. 113. № 3(11). С. 355-399.

118. Пальцун Н.В., Приварников А.К. Распространение трещины в слоистой среде // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 3. С. 181-184.

119. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

120. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

121. Петришин В.И. К кручению многослойного основания //Прикладная механика. 1965. Т. 1. № 6. С. 127-129.

122. Петришин В.И., Приварников А.К. Основные контактные задачи теории упругости для многослойных оснований //Прикладная механика. 1965. Т. 1. № 4. С. 50-66.

123. Петришин В.И., Приварников А.К., Шевляков Ю.А. К решению задач для многослойных оснований //Изв. АН СССР. Механика. 1965. Т. 2. С. 138-143.

124. Плевако В.П. К теории упругости неоднородных сред // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 5. С. 853-860.

125. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

126. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 518-531.

127. Попов Г.Я., Ростовцев Н.А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966. С. 235-252.

128. Приварников А.К. Упругие многослойные основания. Ав-тореф. дисс. .докт. физ.-мат. наук. Днепропетровск, 1973. 32 с.

129. Приварников А.К. Пространственная деформация многослойного основания // Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск, 1973. С. 27-45.

130. Приварников А.К. О контакте слоя с упругим полупространством //Изв. АН СССР. МТТ. 1972. Т. 4. С. 163-167.

131. Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Контактная задача для многослойного основания //Прикладная механика. 1962. Т. 8. № 5. С. 508-515.

132. Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Решение некоторых основных граничных задач теории упругости для многослойных оснований // Аннотации докладов II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М, 1964. С. 175.

133. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. // М.: Наука, 1983. 752 с.

134. Развитие теории контактных задач в СССР /Под редакцией чл.—корр. АН СССР JI.A. Галина/. М.: Наука, 1976. 494 с.

135. Рапопорт P.M. Равновесие слоистого упругого полупространства при действии поверхностных сил (трехмерная задача) // Изв. ВНИИГ, 1966. Т. 80. С. 62-75.

136. Рапопорт P.M. К вопросу построения решения трехмерной задачи теории упругости для многослойного полупространства в перемещениях. // Изв. ВНИИГ, 1966. Т. 81. С. 149-154.

137. Рапопорт P.M. К вопросу о построении решения осесимме-тричной и плоской задач теории упругости для многослойной среды // Изв. ВНИИГ, 1963. Т. 73. С. 193-204.

138. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 235 с.

139. Родзевич И.А. О расчете многослойного упругого основания //Ученые записки МГУ. Вып. 193. М.: Изд-во МГУ, 1961. С. 56-67.

140. Ростовцев Н.А. К теории упругости неоднородной среды // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 601-609.

141. Ростовцев Н.А. Комплекные функции напряжений в осе-симметричной контактной задачи теории упругости // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 5. С. 611-614.

142. Ростовцев Н.А. Комплекные потенциалы задачах о штампе, круглом в плане // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 1. С. 77-82.

143. Савин Т.Н. Механика деформируемых тел. Киев.: Науко-ва думка, 1979. 312 с.

144. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. M.-JL: Гостехиздат, 1951. 496 с.

145. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев.: Наукова думка, 1968. 888 с.

146. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Ч. 1. М.: Иниздат., 1960. 278 с.

147. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

148. Трибология. Исследования и приложения: Опыт США и стран СНГ. Под редакцией В.А. Белого, К. Лудень, Н.К. Мышки-на. М.: Машиностроение, Нью-Йорк: Аллертон пресс, 1993.

149. Уфлянд Я.С. Решение некоторых смешанных задач кручения упругих тел с помощью конечного преобразования типа Миле-ра-Фока. //Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1. С. 53-61.

150. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.

151. Уфлянд Я.С. Метод парных интегральных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 219 с.

152. Шапиро Г.С. Напряженное состояние бесконечной цилиндрической оболочки и неограниченной плоской плиты // ДАН СССР. 1942. Т. 37. № 9. С. 288-290.

153. Шевляков Ю. А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев.: Вища школа, 1977. 215 с.

154. Шевляков Ю.А., Приварников А.К. К расчету слоистых оснований //Прикладная механика. 1962. Т. 8. № 2. С. 113-119.

155. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями // Труды Сейсмол. ин-та АН СССР. 1938. Вып. 88. 32 с.

156. Шерман Д.И. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных внешних силах // ДАН СССР. 1940. Т. 28. Вып. 1 С. 25-28.

157. Штаерман И.Я. Контактные задачи теории упругости. М.-JL: Гостехиздат, 1949. 211 с.

158. Alexandrov V. М. Asymptotic Methods in Contact Mechanics // Math. Comput. Modelling, 1998. Vol. 28. No. 4-8. P. 29-36.

159. Alexandrov V. M.,Pozharskii D.A. Three-Dimensional Contact Problems. Kluwer academic. Dordrecht-Boston-London, 2001. 412 p.

160. Bufler H. Der Spannungszustand in einer geschiteten Scheibe // Z. angew. Math, und Mech. 1961. V. 41. No. 4. S. 158 180.

161. Bufler H. Der Spannungszustand in einem geschichteten Korper bei axialsymmetricher Belastung // Ingr.- Arch. 1961. V. 30. No. 6. S. 417 430.

162. Bufler H. Elastiches Merschichtsystem unter asymmetricher Belastung // Z. angew. Math, und Mech. 1974. V. 54. No. 2. S. 103118.

163. Burmisster D.M. The general theory of stresses and diplacement in laered systems // Journ. Appl. Phys. 1945. V. 16. No. 2. P. 89-96. No. 3. P. 126-127. No. 5. P. 296-302.

164. Carleman T. Sur la resolution de certaines equation integrales // Arkiv for mat., astron. och fys. 1922. Bd. 22. № 26.

165. Chen W.T., Ehgel P.A. Impact and contact stress analysis in multilayrer media // Int. J. Solids and Struct. 1972. Vol. 8. No 11. P. 518 525.

166. Cooke J.C. Solution of Tranter's dual integral equations problem // Journ. Mech. ann Appl. Math. 1956. Vol. 9. pt. 1.

167. Klindukhov V.V. Axisymmetrical contact problem for the layer of finite thickness supported by the ring. // Contact mechanics of Coated Bodies. Euromech Colloquium 434. Moscow, 2002. P. 39.

168. Kuo C.H., Keer L.M. Contact stress analysis of layered transversely isotropic half-space // Trans, of the ASME. J. of TYibology. 1992. Vol. 114. P. 253-262.

169. Noble B. Certain dual integral equations // Journ. Math. Phys., 1958. Vol. 37. pt. 2.

170. Noble B. The solution of Bessel function dual integral equations by a multiplying-factor method // Proc. Cambridge, Philos. Soc. 1963. Vol. 59. pt. 2.

171. Pu S.L. Hussain M.A. Note on unbonded contact between plates and elastic half-space // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1970. Vol. 3. P. 859-861.

172. Tranter C.J. Dual trigonometrical series // Proc. Clasgow Math. Soc. 1959. 4. №2.

173. Tranter C.J. Some triple integral equations // Proc. Clasgow Math. Assoc. 1960. 4. №4.