Сингулярные псевдодифференциальные операторы Киприянова-Катрахова B-эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Рощупкин Сергей Александрович

СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВ ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА Б-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

-3 ГОЛ 2014

Воронеж — 2014

005550338

Работа выполнена в

Елецком государственном университете им. И.А. Бунина

Научный руководитель: доктор физико-математических паук, профессор Ляхов Лев Николаевич. Официальные оппоненты: Алхутов Юрий Александрович, доктор физико-математических наук, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, кафедра математического анализа, профессор. Ситник Сергей Михайлович, кандидат'

физико-математических наук. Воронежский институт МВД России, кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация:

Югорский государственный университет.

Защита состоится 16 сентября 2014 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета, а также на сайте hU,p://www.science.vsn.r^^/disscгtation.ч/275/disser_RoscJпlpkin_SA.p(lf

Автореферат разослан «/!}■» июня 2014. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор физико-математических наук, профессор

Глик.чих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Псевдодифференцнальные операторы или сингулярные интегродифферепциальпые операторы, впервые появились в работах С.Г. Михлнпа, А.Р. Кальдерона, А. Зигмунда. Р. Сили и др.. как синтез сингулярных интегральных и дифференциальных операторов (сокращенно — СИД операторы). Распространение эллиптической теории на эти операторы и их применение для изучения индекса принадлежит A.C. Дымину (19G1 г.). М.С. Агранович (19G5 г.) исследовал эллиптические СИД операторы на многообразиях, использовал технику СИД операторов для вычислении индекса эллиптических граничных задач. По видимому, A.C. Дымину принадлежит идея создания алгебры СИД операторов. Дж. Кон и Л. Ниренбсрг в работе «Алгебра псевдоднффереициальпых операторов» (1965 г.) подошли к этим операторам с единой точки зрения, используя только технику преобразования Фурье. Именно эта работа и дала современное название теории СИД операторов, построенных на основе интегралов Фурье. Дальнейшее развитие теории нсендодифференциальных операторов (н.д.о.) осуществлено многими математиками, в первую очередь JI. Хермандером. Отмстим также работы советских математиков В.В. Грушииа, Ю.В. Егорова, М.И. Вишика, Л.Р. Во-левича, В.П. Маслова, Б.П. Панеях, Г.И. Эскина, М.А. Шубина и многих других. Интерес к теории и.д.операторов связан с тем, что в ее рамках решение линейного дифференциального уравнения сводится к проблеме деления образа Фурье распределения на полином, что является задачей классического операционного исчисления, поэтому решение практически всех задач линейных дифференциальных уравнений оказываются в рамках применения интегралов Фурье. Но для исследования задач дифференциальных уравнений, содержащих элементы сферической симметрии, преобразование Фурье ограничено тем, что не может учесть эту симметрию. Такую роль могло бы выполнить преобразование, полученное из преобразования Фурье сферическим преобразованием координат. Этим преобразованием является частный случай преобразования Ганкеля, ядром которого является j-функция Бесселя ji=±{t) = отвечающая целому-иолу целому порядку v > -1/2. Пре-

образование, основанное на j-фупкциях Бесселя любого (т.е. не обязательно целого-полуцелого) порядка и > —1/2, введено в 1951 г. Б.М. Левитаном, который назвал его «преобразованием ФурыьГанкеля». Первое применение этого преобразования к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений осуществлено Я.И. Житомирским (1955), который ввел преобразование Фурье-Бесееля, ядро которого состояло из произведений j-функций Бесселя

одного порядка. И.А. Киприянов (1967) применил смешанное преобразование Фурье-Бесселя для описания весовых функциональных классов Соболева и для доказательств соответствующих теорем вложения.

В 70-х годах но инициативе И.А. Киприяпова сделана попытка создания теории сингулярных п.д.операторов (с.п.д.о.) на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя. Как оказалось такие операторы не обладают в полной мере свойствами обычных п.д.операторов. В частности не удалось построить алгебру но модулю операторов истинного порядка — ос. Причина заключалась в том, что н.д.операторы, построены но классической схеме па базе смешанного преобразования Фурье-Бесееля не содержат дифференциальные операторы нечетного порядка (например первую производную). И.А. Киприянов и В.В. Катрахов в этой связи предприняли модернизацию преобразования Фурье-Бесселя, включив в ядро преобразования нечетную ^-функцию Бесселя (равную производной от четной ^'-функции Бесееля). Такой подход позволил воспользоваться теорией операторов преобразования, сведя проблему построения а.'П'ебры с.н.д.операторов к существующей алгебре классических п.д.операторов. Как выяснилось, методика операторов преобразования хорошо срабатывала только для одномерных с.п.д.операторов. Поэтому, существенно сужалась область применения новой теории к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений. В 2012 г. В.В. Катрахов и Л.Н. Ляхов построили алгебру многомерных сингулярных п.д.операторов по классической схеме Копа-Ниреиберга. Эта работа открыла путь для исследования сингулярных дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя, их степени и первую производную от степеней операторов Бесееля (дв-операторы Бесселя).

Применение теории и.д.о. для изучения эллиптических граничных задач для вырождающихся и сингулярных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию Я.Б. Лоиатипского, было проведено в ряде работ, среди которых отметим работы воронежских математиков В.П. Глушко, И.А. Киприяпова, Л.А. Иванова, В.В. Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова и др. Постановка граничных задач для рассмотренных ими уравнений восходит к известной работе М.В. Келдыша и играет важную роль в задачах с осевой симметрией механики сплошной среды, в теории малых изгибаний поверхностей вращения, газовой динамики и т.д. Естественный интерес представляет применение многомерных псевдодифференциальных операторов Кмприяпова-Катрахова для построения современной эллиптической тео-

рии для рассматриваемых сингулярных и вырождающихся уравнений. Поэтому исследуемая тема, несомненно, актуальна.

Цель работы. Целью работы является:

1. Изучение класс»и основных функций и введения пространств функций и распределений наиболее приспособленных для работы с многомерным интегральным преобразованием Фурье-Бесселя- Киприянова-Катрахова (Тв-прсобразовашш).

2. Представления действия линейного сингулярного дифференциального оператора с ¿^-оператором Бесселя и сопряженного ему в весовом скалярном произведении функций в образах прямого и обратного 7"в-иреобразовапий.

3. Ввести класс функций типа весового функционально!« пространства Соболева-Киприяпова Я^(К^) на основе частных ¿^-производных и с помощью .Гя-преобразования. Доказательство теоремы об эквивалентности норм при целых s.

4. Ввести класс многомерных сингулярных псевдодифференциальных (с.п.д.) операторов Киприянова-Катрахова с однородными символами а(х; £), определенными в RiV х {Rjv\{f=0}}, которые представляют собой гладкие, быстро убывающие функции при |.т| —¥ ос при фиксированных |£| = 1 и обладающими непрерывными первыми производными по 0) при фиксированном х.

5. Изучение В-эллиптического -Fg-c. и .д.оператора с символом из Е™ и возможности существования априорной оценки решения £?-эллиптнческого Тц-с.п.д. уравнения в RN и построение квазирегуляризатора этого оператора.

Научная новизна. Следующие результаты работы являются новыми:

1. Введено пространство основных функций S+ представляющее собой подпространство пространства основных функций Шварца, наделенное топологией, порождаемой системой норм

= max sup IxaD3B , sup I DeB (x<V(x))| ,

. 1 м+|з|а.1 7 1 |0|-н/5|а.1 7 1 I

\ 168ft' I6R.V /

к = 0, 1, 2,..., при этом выполнено условие одинаковой четности: + 2£t, ti = 0.1,2, ...; i = 1,...,??., п ^ N. Доказано, что 5' инварпннтпо относительно Рв-преобразовапия. На основе 5+ вводятся пространства функций, исчезающих на сингулярных гиперплоскостях оператора Бесселя (типа пространства Лизоркина) и подклассы функций из представленных в виде сумм четных и первых производных от четных функций по переменным х' = (хи...,хп), п«С N.

2. Введены функциональные классы Соболова-Киприяпова построенные на основе /Зд-дифференцирования, и на основе ^д-иреобрачовании Фурье-Бесселя-Кпнрмяпова-Катрахова. Доказана лквивалеитность норм и этих пространствах. если показатель гладкости функций в — целое число.

3. Рассмотрен класс символов Е™, построенный по аналогии с символами М.С. Аграновича. Для а(.г;£) £ Е™ при д > \ докапаны основные теоремы теории многомерных (смешанного типа) сингулярных псевдодиффе-репциальных операторов Киприянова-Катрахова (^д-с.н.д.операторов): теорема о норме, теорема о сопряженном операторе, теорема о произведении Т^-с.п.д.о. в шкале весовых пространств Соболева-Киприянова Щ.

4. Получены априорные оценки В-эллинтических Т-й-с.н.д. уравнений. Построены квазирегуляризаторы (левый, правый) Я-эллиитичсских Т^-с.и.д. операторов в евклидоюм пространстве и полупространстве.

Методы исследования. В работе; используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Куприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и дает конструкции квазирегуляризатора В-эллинтического ^д-с.п.д.оператора. Доказаны априорные оценки решений ■7-в-с.н.д.уравнений из соответствующих функциональных классов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе в 2014 г., в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2012 — 2013 гг., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Белгород в 2013 г., на Международной конференции «Дифференциальны!! уравнения и смежные проблемы» Республика Башкортостан, г. Стерлитамак в 2013 г., на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики и анализа» в г. Новосибирск в 2012 г., па Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г. и 2014 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [11]. В совместно опубликованных работах [1] — [5] Л.Н. Ляхову

принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатом получены лично актором.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах in перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мипобрпауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глап и списка цитируемой литературы, включающего 4G наименования. Общий объем диссертации 102 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В первой главе содержатся 3 пункта.

В первом пункте первой главы дается определение многомерной) смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесссля-Кинриянова-Катрахова.

Вводятся евклидовы пространства точек х = (х',х") G Клг = Rn х Rjv-n.

х' = (.Ti, ...,*„) £ Rn, а х" = (xn+i,----xN) е Rjv_n или в его части R+ =

= X Rjv-m определенную неравенствами Х\ > 0,____хп > 0. При этом

числа п и N предполагаются фиксированными 1 ^ п ^ N.

Пусть 7 = (71,....7п), мультииндскс, состоящий из фиксированных положительных чисел. Каждому индексу 7¿ ставим в соответствие оператор Бесселя Въ = .+ *7i > 0.

Многомерный смешанный обобщенный сдвиг х = (х',у'), у — {у', у") € Е+ х RN_n определяется в виде суперпозиции одномерных обобщенных и обычных сдвигов. По определению полагаем

ТУ : /(.г) ТУ/(х)= (Щ-! Т,,.) f(x', х"-у")=С(7) } ...//(*' А у'. х"-у") х

о о

X П sin7'-1 A dfl, ... <и%,, X' у' = (л уп) .

д. __п p/Tj + M

Vi = V-П- 2xm cos fii + yf , C(7) = 7Г"? П -ТПГГ ■

í-1 H 2 I

Пусть а' и a" — целочисленные мультииндексы размерности n и N—n соответственно. Через D% = d$rl = . .. d^ .. . обозначим сингулярный дифференциальный оператор порядка |«| = qi + ... + »у, составляющие которого определены следующим образом: dT¡ = ~ , 1 < i < N,

3«, _ Í В^2. ni = 2к. 1 < Í < п,

~ 1 дх,п\Гт, at = 2k + L к = 0,1.2,..., (LL5)

где Бъ сингулярный дифференциальный оператор Бееееля.

Одномерные Б в-преобразован и я Киприянона-Катрахова строятся на основе ядра ],/+1{Ьт). и > -1, где ^Ц), так называемая, функция Бееееля, связанная с функцией Бесселя первого рода равенством

Введем обозначение

= п

Определение 1.1.1 Смешанным прямым и обратным преобразованиями Фурьс.-Бесееля-Кипршнова-Катрахова (^-преобразованиями) функции и назовем соответственно выражения

I (/у ¿с,

ш„

Гв1[и]{х) = С'Ы^бМ(-.т) = С{ 7) I А-(х',ас^"-е']и(0 (О7«.

к„

Г2(1/+1)'

Как обычно, интегралы в этих выражениях понимаются в смысле главных значений. Интересно отметить, что поскольку функция — четная при любом V. то функция 2(^+1) — нечетная и, следовательно, как и ядро классического преобразования Фурье, ядро ^-преобразования состоит из четного и нечетного слагаемых. Несмотря па аналогию с классическим преобразованием Фурье, .^-преобразование дифференциальных операций приспособлено только для четных функций. При этом для любой быстро убывающей, бесконечно дифференцируемой функции р(х',х"), четной по каждой координате вектора х' и для любого целочисленного мультииндекса а = (а', а") = (аь ... , ад-), справедливы формулы

ТВ [<, (О = К)" ^вМК), (1.1.14)

д?:,Ув ы а) = ■ (1.1.15)

Через 5(КлО будем обозначать пространство Шварца, основных функций, а через £>,,,,(Жд-) его подпространство состоящее из функций, четных по каждой из переменных х' = (¡Г]. ... ,.т„). Далее под (ж,)"> понимается функция

_ 2 7+1 2

Ъ > о-

(х')7 = Л (,г' четная по каждому из своих аргументов .... хп. Мно-1-1

( • \1/2 жество (функций для которых конечна, норма Н/Ц^ = / |/(.т)|2 (х')7 йх I

\Кк /

будем обозначать ¿о(К.\-) или (И.у), если Функции / предполагаются четными по каждой координате л.-мерного вектора г'. Рассмотренные выше Т^-нреобразоваиня являются взаимно обратными в 5(Мл") (Катрахов, Ляхов) и и (Ляхов, Райхельгауз).

Прострапегво основных функций, рассмотренных в работе обозначается ¿У,. представляющее собой подпространство пространства основных функций 5с, наделенное топологией, порождаемой системой норм

к = 0, 1, 2,... при этом выполнено условие одинаковой четности:

(1г+рг=2ег. ^ = 0,1,2, ... , 1 = 1,...,п. п^М. (1.2.5)

Теорема 1.2.1 При выполнении условия (1.2.5) Тц-прсобраповапие осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфи.1М пространства т.ч. для любого неотрицательного целого числа к

КТ-яМИ*^ Ы\к1.

Рассмотрим классы функций

Ф^Е+О =.{Ф : V е 5+(к+). д'3ф(0) = о, V /3 е ;?+}.

. Ф-ДКл') = : ч> = ЫФ\ ■ V е ,

Теорема 1.2.2 Класс Ф-у(Ку) состоит и,) тех и только гне.г функций 5ег.(Ку), которые, ортогональны (в смысле, весового скалярного произведения) всем многочленам.:

) (х'Т (1-2.6)

Для четного преобразования Фурье-Бесселя функции Ф, ортогональны (в смысла: весового скалярного произведения) всем многочленам, четным

по каждой из переменных х\,.. ., хп.

Ф)е 1~(х')Ъпф)^^х=О, ^ ^Ф^к;), (1.2.7)

В третьем пункте первой главы рассматриваются линейный сингулярный дифференциальный оператор с с?£-оператором Бесселя

Цх:Ов) = £ аа(х)ОпВ} (1.3.1)

|а|<т.

где Щ = = ... да£п ... - сингулярный дифференци-

альный оператор порядка |а| = а: 4- .. . + ад-, составляющие которого дВу определены в (1.1.5).

Теорема 1.3.1 Пусть функция <р € 5е!,.(Кп)- Действие сингулярного дифференциального оператора Ь{х, Ов)<р(х) о образахТв-преобразования имеет вид

Ь(х.Пв)ф) = Гв[а(х,%)р]{х), (1.3.2)

гдса{хЛ£) = £ «Ф)

Функцию а(х, £) будем называть символом сингулярного дифференциального оператора Ь(х, Г)ц) в образах .Рд-преобра-зования.

Скалярное произведение функции задается весовой линейной формой

(и у)7 = j и(х) 1<(х) (х')у ¿X.

Клг

Оператор Ь"(х:Ов). сопряженный оператору Ь{х\Ов) имеет вид

™ =шчк.. ^. {: ,,

1=1....,п. к=0,1,2. ... .

В образах ^в-нреобразования этот оператор записывается в виде

Во второй главе мы рассматриваем с.п.д.операторы Киприянова-Катрахова (.Т-д-е.п.д.операторы).

Функциональные классы Соболева-Кипрнянова вводятся в первом пункте второй главы па основе скалярного произведения

= £ /ВДх) ■<•"' (2.1.4)

laKm n,

которое порождает норму в пространстве //™(f2s):

IIMIk»,n.)= ( £ J \пави(т)\2 (:сГ dx) . (2.1.3)

\ MOn /

Лемма 2.1.1 Пространство II"l(£ls), со скалярным произведением (2.1.4) является гильбертовым относительно нормы (2.1.3). Введем также норму

11/115/. = /и + тяот0^- (2.1.5)

K,v

Теорема 2.1.1 Пространство Н™(Шк) можно определить либо с помощью соотношения (2.1.2), либо посредством равенства

tf™(Rn) = {и : ие S'ev , (1 + и 6 L]{RN) } ,

при этом, норма (2.1.5) эквивалентна норме. (2.1.8), т.е.

C'ilMI//».(R.v) ^ 1П«111я»'(жло < C^MItf;-^)-

В пункте 2.2 мы вводим класс символов Б'чп, состоящий из функций а(х;£), бесконечно дифференцируемых по х, определенных при всех х и £ 0, удовлетворяющих оценке |a(x;£)| ^ С( 1 + |£|2)'"/2 равномерно по х и следующим условиям:

для любого фиксированной) х функция а(х:£) но 1; принадлежит пространству II?(Si(N)), где S\(N) — единичная сфера = 1, q > ^ibi ^ при этом

max ||а(х: ■) II//,'(Sl(.v)) < зо:

•Г Е К л'

па сфере S\(N) функция а(х; £) имеет предел «(£), когда х —¥ оо, такой, что функция

Мх:0 = л(.т:0-«=с(0 (2-2.1)

и ее производная по как функции х принадлежит пространству 5+,(Кдг) равномерно по

Кроме того, выполняется условие "одинаковой четности" по каждой паре переменных (х;.£;), > = 1,....п: функция а(х:£)

или (i) четная и тогда с?£п(;г:£)| = 0. к ^ 1;

или (и) нечетная и тогда 0^а.(х.£)\х п = 0. к > 0.

Теорема 2.2.1 При s > + к, где к целое положительное число, пространство II* непрерывно вложено в пространство С% функций непрерывных вместе, с О^-производными порядка |»| < к.

Определение 2.2.1 Сингулярным пеевдодифференциальным оператором, Киприяпова-Катрахова (далее, наряду с этим названием, используем сокращение — Тв-е.п.д. оператор) А = а(:г: DB) с символом а(а:;£) G Е™ назовем оператор, действующий на функции класса S^V(RN) по фор.,нуле

ЫМИ) = Jа{х:0и(;х){х')\1х, (2.2.2)

R„

п

где под (ж')7 понимается функция (х')1 — П (.xf )7/2 — четная, по каждому

i—i

из своих аргументов х\. ■ ■ ■ , хп.

В рапной степени полезным является Тц-с.п.д,. оператор заданный в виде

Ли(х) = J^1 [а(х: О -FB[M](£)] (х). (2.2.3)

Далее для класса символов а(х:£) и класса отвечающих этим символам операторов А или А будем использовать одно и тоже обозначение — Е™.

В третьем пункте гл.Н мы доказываем теоремы о порядке ^в-с.п.д. операторов в шкале пространств Щ. Приведем следующие результаты

Теорема 2.3.1 Пусть а(т:£) £ Е™, тогда отвечающий этому символу по формуле (2.2.2) или (2.2.Н) сингулярный пеевдодифференциальный оператор А или А имеет порядок, равный т.

Теорема 2.3.2 Пусть а(х\£) £ Е™, и А и А отвечающие этому символу по формуле (2.2.2) и (2.2.3) соответственно Тв-е..п.д. операторы. Тогда оператор А —А имеет порядок то — 1 е шкале II*.

Лемма 2.3.2 Пусть A £ Е™'. Для любой функции и £ II* имеет место неравенство

= |(и, Ли)7| < const ■ ||w||f,7. (2.3.3)

е. константой, независящей от функции и .

В пункте 2.4 мы рассматриваем произведения и коммутаторы с.п.д. операторов Киприяпова-Катрахова.

Теорема 2.4.1 Пусть <ii(.r:0 € Е™\ а2(х:£) £ Еи Аг и А2 - соответствующие этим символам Тв-с.п.д. операторы Киприяпова-Катрахова. Тогда оператор AjA2 — Aj о у12 имеет порядок т.\ +т- — 1 в шкале пространств

Щ{ R+).

Следствие 2.4.1 Пусть «¡(.г;^) € Е™1, а2(х:{) Е Е™2 и Л1 и /Ь — соогп-ветствующи.е этим символам Тв-с.п.д. операторы Киприянооа-Катрахоаа. Тогда их колшупютор [Л1Л2] = Л1Л2 — Л2Л1 имеет порядок т.\ + тп-ч — 1 в шкале пространств II*.

Следствие 2.4.2 Пусть А 6 Е™ и <р(х) — бесконечно дифференцируемая функция, четная по каждой координате, вектора х'. Тогда оператор <рЛ—Л<р имеет порядок, равный т — 1 в Щ.

Следствие 2.4.3 Пусть а(х;£) 6 Е™, р(х) и у!(т) — бесконечно дифференцируемые функции, четные по х', с не пересекающимися носителями. Тогда оператор !> имеет порядок, равный т — 1 в 1Ц.

Следствие 2.4.4 Пусть А £ Е™. Его коммутатор с оператором (1 — Ав)кI2 имеет порядок т + к — 1.

В третьей главе мы строим квазирегуляризаторы 73-эллиитических Тв-с.н.д. операторов.

В пункте 3.1 мы рассматриваем конструкцию квазирегуляризаторов для ■7-в-с.п.д. операторов, которая дается в следующей теореме. Теорема 3.1.1 Тв-с.п.д. оператор II с символом

= КГи + КГГ'а-'О^) (3.1.1)

является (левым и правым) квазирегулярияатором для В-эллиптического в Кдг 7-в-с.п.д. оператора Л с символом а(.т;{) £ Н™.

Теорема 3.2.1 Пусть А 6 Е™ и пусть на единичной сфере Бх = {£ : — 1} символ Ее а(;г;£) ограничен с низу некоторой константой с. Тогда для любого е > 0 существует константа с' = с'(г) такая, что для. всех функций и € ¿'¡.„(Ед,)

Пе(Аи,и)1 + с'|Н|1_,л. > (с - ь-)|М|?0 . (3.2.1)

Теорема 3.3.1 Пусть А 6: Е™. Предположим, что = Со ф 0.

Тогда для любой окрестности Г? точки х° и для любых вещественных чисел в.1 < т и е > 0 найдется бесконечно дифференцируемая функция иЕ(х) вида

«*(*) = А4'°) е!;г"'А£"0> ?(*), = Г)- К°| = 1- (3.3.10)

где А = А£ — достаточно большое положительное число, а у> четная по каждой на перел1енных х\.....х„, п ^ N. фуункция с носителем, содержащимся в П, такая, что для нее выполнены неравенства

^ «Я-. (3.3.11)

||И"=-|1яг"' ~ с«1М1я»| ^ г 1М1я;' (з-з-12)

в которых

1м„. = max (J[ {1+\№'(Т?" \mf) (^rfi , 1Ы1я-) •

Теорема 3.4.1 Пусть А € 2™. Предположим, что

max |a(j-,£)| = А' (3.4.1)

К < оо. Тогда имеет место равенство

А" = inf ||Л + Т\\„п, (3.4.2)

где справа || • ||s,7 — норма операторов в шкале Щ и нижняя грань берется по всем операторам порядка т — 1.

Теорема 3.4.2 Пусть А € HJ1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I. Символ оператора А тождественно равен нулю.

II. А = 0.

III. Для некоторого I < т оператор А имеет порядок. I.

Теорема 3.5.1 Пусть А -- Тв-с.п.д. оператор в K;v е. символом а(.r;£) е Е™. Для того, чтобы оператор А был B-эллиптическим в K/v, необходимо и достаточно, чтобы, для всех и Е 1Ц(R.v) выполнялось неравенство

||и||,.7<с(||Ли||,_тл + ||и||,_1;7) (3.5.1)

с константой с, не зависящей от функции и.

Теорема 3.5.2 Следующие утверждения эквивалентны

1. А — Тв-с..п.д.о. В-эллиптического типа с символом а(х:£) 6 —

2. Существует ква.гпрегуляризатор оператора А.

Я. Для функции и 6 II'(Rn) имеет .место априорная оценка

|М|5Л ^ с(||Аи||5_тл + 1111в— 1 ,->)-

Теорема 3.5.3 Пусть Л - В-эллиптический рц-с.п.д. оператор с символом а(х; £) € Е™. Тогда, если и е Я'(Кдг) является решением уравнения Аи = /. где f £ tff-m+a(RjV); то и 6 //*+"(R.v).

Публикации автора по теме диссертации

1. R.oschupkin S.A. A Priori Estimates for Solutions of Singular D-Elliptic Pseudodifferential Equations with Besse! с)д-Operators / Л.Н. Ляхов, С.A. Рощупкин //' Jornal of Mathematical Sciences. Volume 196, Number 4 January 28, 2014. - C. 503 - 571.

2. Ротцупкин С.А. Полное преобразование Фурье-Бесселя некоторых основных функциональных классов / Л.Н. Ляхов, С.А. Рощупкин // Научные ведомости Белгородского государственного университета, 11 (154) 2013, выпуск 31. Математика Физика. — С. 85 — 92.

3. Рощупкин С.А. Об априорной оценке решений сингулярных В-эллиптических нсевдодифферешщальных уравнений с дц оператором Бесселя / Л.Н. Ляхов, С.А. Рощупкин /У Проблемы математического анализа. Т.74. — 2013. — С. 109 — 116.

4. Рощупкин С.А. Априорная оценка решений одного класса В-эллиптических уравнений / Л.Н. Ляхов, С.А. Рощупкин /У Междупарод-пая конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Тезисы докладов. -- Суздаль: Математический институт имени В.А. Стеклова РАН, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. — 2012. - С. 109 - 110.

5. Рощупкин С.А. Сингулярные псеьдодифферснциальные операторы Фурье-Бесселя в весовых классах Соболева-Киприянова в II* / Л.Н. Ляхов , С.А. Рощупкин // Обратные и некорректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. научи, коне})., Новосибирск, 5 12 августа 2012 г. Новосибирск. — 2012. — С. 391.

6. Рощупкин С.А. Представление сингулярных линейных Dß-онераторов в образах полного преобразования Фурье-Бесселя / С.А. Рощупкин // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: материалы восьмой школы молодых ученых Липецкой области. - Липецк: Л ГПУ. - 2012. - С. 127 - 139.

7. Ротцупкин С.А. Об одном неравенстве для свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом функций вида |1 + [;r|2|fc . С.А. Рощупкин // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавание. Школа

(У

молодых ученых Липецкой области. — Липецк: ЛИГУ. Выпуск 1(4). — 2013. - С. 18 — 22.

8. Ротцупкин С.А. Классы основных функций для полного преобразования Фурьс-Бееееля / С.А. Рощупкин // Дифференциальные урашюпия и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 2G — 31 мая 2013 г.). - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". - 2013. - С. 1G2 - 1G3.

9. Рощуикин С.А. О сингулярных ^в-исевдоднфференциальных операторах в полупространстве/ С.А. Ротцупкин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: сб. материалов Международной научной конференции (Республика Башкортостан, Стерлитамак, 2G — 30 июня 2013 г.). - Стерлитамак: УФА РИЦ БашГУ. - 2013. Т.1. — С. 86 — 90.

10. Рощупкин С.А. О многомерных псевдодифференциальных операторах Киприяпова-Катрахова / С.А. Рощупкин /7 Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ 2014". Воронеж, 2G — 31 января 2014 г. Научная книга, 2014. — С. 266 — 272.

11. Рощупкин С.А. О весовых классах Соболева-Киприянова Н™, построенных на основе сингулярного De-оиератора Бесселя / С.А. Рощупкин // Вестник ПММ Воронежского государственного университета. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2014. - С. 168 176.

Работы |1], |2| опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 18.06.14. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 чк"1. Заказ 23.

Отпечатано с готогюго оригинал-макета в МУП «Типография» г. Ельца 399770, Елец. Липецкая облагть, ул. Свердлова, 11.

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА В -ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Рощупкин Сергей Александрович

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов Л.Н.

Воронеж — 2014

Оглавление

Введение 4

1 Полное преобразование Фурье-Бесселя и многомерные

п.д.операторы Киприянова-Катрахова 22

1.1 Основные положения анализа Фурье-Бесселя....... 22

1.1.1 Многомерный смешанный обобщенный сдвиг и его свойства ........................ 23

1.1.2 у -Функции Бесселя.................. 26

1.1.3 Многомерное смешанное преобразование Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова........... 27

1.1.4 Ив -оператор Бесселя и его символ в образах Тв -преобразования.................... 29

1.2 Основные пространства функций.............. 33

1.3 Символ линейного сингулярного дифференциального

оператора Ь(х,Ов) с дв -оператором Бесселя...... 40

1.3.1 Символ Ь(х,Ов)................... 41

1.3.2 Оператор £*(:г;Дв), сопряженный оператору Ь{х\Ов) и его символ................ 42

2 Многомерные сингулярные псевдодифференциальные

операторы Киприянова-Катрахова 50

2.1 Весовые классы функций Соболева-Киприянова Н™ , порожденные Тв -преобразованием.............. 50

2.2 Тв -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова с символами из Е™............................ 54

2.2.1 Класс символов Е™ ................. 54

2.2.2 Класс сингулярных псевдодифференциальных операторов Е™ .................... 56

2.3 Порядок Тв -сингулярного псевдодифференциального оператора в шкале пространств Н^ ............ 58

2.4 Произведения и коммутаторы с.п. д. операторов

Киприянова-Катрахова ................... 66

2.4.1 Произведение Тв -с.п.д. операторов и Тв -с.п.д.

оператор с символом, равным произведению символов сомножителей ................. 67

3 Квазирегуляризаторы В-эллиптических Тв -с.п.д. операторов. Априорная оценка 76

3.1 В -эллиптические Тв -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова и квазирегуляризаторы..........................77

3.2 Неравенство типа неравенства Гординга....................79

3.3 Некоторые неравенства. Вариант теоремы Гохберга о норме многомерного с.п.д. оператора Киприянова-Катрахова 81

3.4 Теорема о норме Тв -с.п.д.оператора........................91

3.5 Априорная оценка..............................................94

Литература 97

Введение

Актуальность темы диссертации. Псевдодифференциальные операторы или сингулярные интегродифференциальные операторы, впервые появились в работах С.Г. Михлина, А.Р. Кальдерона, А. Зигмунда, Р. Сили и др., как синтез сингулярных интегральных и дифференциальных операторов (сокращенно — СИД-операторы). Распространение эллиптической теории на эти операторы и их применение для изучения индекса принадлежит A.C. Дынину (1961 г.). М.С. Агранович (1965 г.) исследовал эллиптические СИД-операторы на многообразиях, использовал технику СИД-операторов для вычислении индекса эллиптических граничных задач. По видимому, A.C. Дынину принадлежит идея создания алгебры СИД-операторов. Дж. Кон и JI. Ниренберг в работе «Алгебра псевдодифференциальных операторов» (1965 г.) подошли к этим операторам с единой точки зрения, используя только технику преобразования Фурье. Именно эта работа и дала современное название теории СИД-операторов, построенных на основе интегралов Фурье. Дальнейшее развитие теории псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) осуществлено многими математиками, в первую очередь JI. Хермандером. Отметим также работы советских математиков В.В. Грушина, Ю.В. Егорова, М.И. Вишика, JI.P. Волевича, В.П. Маслова,

Б.П. Панеях, Г.И. Эскина, М.А. Шубина и многих других. Интерес к теории п.д.операторов связан с тем, что в ее рамках решение линейного дифференциального уравнения сводится к проблеме деления образа Фурье распределения на полином, что является задачей классического операционного исчисления, поэтому решение практически всех задач линейных дифференциальных уравнений оказываются в рамках применения интегралов Фурье. Но для исследования задач дифференциальных уравнений, содержащих элементы сферической симметрии, преобразование Фурье ограничено тем, что не может учесть эту симметрию. Такую роль могло бы выполнить преобразование, полученное из преобразования Фурье сферическим преобразованием координат. Этим преобразованием является частный случай преобразования Ганкеля, ядром которого является ] -функция Бесселя j2=±{t) = С (и) ^^ , отвечающая целому-полуцелому порядку и > —1/2. Преобразование, основанное на у -функциях Бесселя любого (т.е. не обязательно целого-полуцелого) порядка и > —1/2, введено в 1951 г. Б.М. Левитаном, который назвал его «преобразованием Фурье-Ганкеля». Первое применение этого преобразования к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений осуществлено Я.И. Житомирским (1955), который ввел преобразование Фурье-Бесселя, ядро которого состояло из произведений у -функций Бесселя одного порядка. И. А. Киприянов (1967) применил смешанное преобразование Фурье-Бесселя для описания весовых функциональных классов Соболева и для доказательств соответствующих теорем вложения.

В 70-х годах по инициативе И.А. Киприянова сделана попытка создания теории сингулярных п.д.операторов (с.п.д.о.) на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя. Как оказалось такие операторы не обладают в полной мере свойствами обычных п.д.операторов. В част-

ности не удалось построить алгебру по модулю операторов истинного порядка —оо . Причина заключалась в том, что п.д.операторы, построены по классической схеме на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя не содержат дифференциальные операторы нечетного порядка (например первую производную). И.А. Киприянов и В.В. Катрахов в этой связи предприняли модернизацию преобразования Фурье-Бесселя, включив в ядро преобразования нечетную э -функцию Бесселя (равную производной от четной ] -функции Бесселя). Такой подход позволил воспользоваться теорией операторов преобразования, сведя проблему построения алгебры с.п.д.операторов к существующей алгебре классических п.д.операторов. Как выяснилось, методика операторов преобразования хорошо срабатывала только для одномерных с.п.д.операторов. Поэтому, существенно сужалась область применения новой теории к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений. В 2012 г. В.В. Катрахов и Л.Н. Ляхов построили алгебру многомерных сингулярных п.д.операторов по классической схеме Кона-Ниренберга. Эта работа открыла путь для исследования сингулярных дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя, их степени и первую производную от степеней операторов Бесселя ( дв -операторы Бесселя).

Применение теории п.д.о. для изучения эллиптических граничных задач для вырождающихся и сингулярных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию Я.Б. Лопатинского, было проведено в ряде работ, среди которых отметим работы воронежских математиков В.П. Глушко, И.А. Киприянова, Л.А. Иванова, В.В. Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова и др. Постановка граничных задач для рассмотренных ими уравнений восходит к известной работе М.В. Келдыша и играет важную роль в задачах с осевой симметрией механики сплошной среды, в теории малых изгибаний поверхностей вращения,

газовой динамики и т.д. Естественный интерес представляет применение многомерных псевдодифференциальных операторов Киприянова-Катрахова для построения современной эллиптической теории для рассматриваемых сингулярных и вырождающихся уравнений. Поэтому исследуемая тема, несомненно, актуальна.

Цель работы. Целью работы является:

1. Изучение классов основных функций и введения пространств функций и распределений наиболее приспособленных для работы с многомерным интегральным преобразованием Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (Тв -преобразования).

2. Представления действия линейного сингулярного дифференциального оператора с дв -оператором Бесселя и сопряженного ему в весовом скалярном произведении функций в образах прямого и обратного Тв -преобразований.

3. Ввести класс функций типа весового функционального пространства Соболева-Киприянова Я^(М^) на основе частных дв -производных и с помощью Тв -преобразования. Доказательство теоремы об эквивалентности норм при целых я .

4. Ввести класс многомерных сингулярных псевдодифференциальных (с.п.д.) операторов Киприянова-Катрахова с однородными символами а(:с;£), определенными в Мдг х {Мдг\{£=0}} > которые представляют собой гладкие функции, быстро убывающие при |ж| —» оо при фиксированных |£| = 1 и обладающими непрерывными первыми производными по ^ (ф 0) ПРИ фиксированном х .

5. Изучение В -эллиптического Тв -с.п.д.оператора с символом из Е™ и возможности существования априорной оценки решения В-эллиптического Тв -с.п.д. уравнения в Кдг и построение квазирегуля-ризатора этого оператора.

Научная новизна. Следующие результаты работы являются новыми.

1. Введено пространство основных функций представляющее собой подпространство пространства основных функций Шварца, наделенное топологией, порождаемой системой норм

/ \

яир

Н+|/зКк,

хаО%<р{х), зир ГГв{хаф))

|а| + |/3

\ хб®лГ ' хеКдГ ' /

к = 0,1,2,..., при этом выполнено условие одинаковой четности: о,1 + = 0,1,2, ... , г = 1,..., п, п < N . Доказано, что

инвариантно относительно Тв -преобразования. На основе вводятся пространства функций, исчезающих на сингулярных гиперплоскостях оператора Бесселя (типа пространства Лизоркина) и подклассы функций из , представленных в виде сумм четных и первых производных от четных функций по переменным х' = (а?1,..., хп) , п < N .

2. Введены функциональные классы Соболева-Киприянова построенные на основе Ив -дифференцирования, и на основе Тв -преобразования Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова. Доказана эквивалентность норм в этих пространствах, если показатель гладкости функций й — целое число.

3. Рассмотрен класс символов Е™ , построенный по аналогии с символами М.С. Аграновича. Для а(я;£) Е Е™ при > + 1 доказаны основные теоремы теории многомерных (смешанного типа) сингулярных псевдодифференциальных операторов Киприянова-Катрахова ( Тв -с.п.д.операторов): теорема о норме, теорема о сопряженном операторе, теорема о произведении Тв -с.п.д.о. в шкале весовых пространств Соболева-Киприянова Н® .

4. Получены априорные оценки Б-эллиптических Тв -с.п.д. уравнений. Построены квазирегуляризаторы (левый, правый) Б-эллиптических Тв -с.п.д. операторов в евклидовом пространстве и полупространстве.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и дает конструкции квазирегуляризатора В-эллиптического Тв -с.п.д.оператора. Доказаны априорные оценки решений Тв -с.п.д.уравнений из соответствующих функциональных классов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе в 2014 г., в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2012 — 2013 гг., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Белгород в 2013 г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» Республика Башкортостан, г. Стерлитамак в 2013 г., на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики и анализа» в г. Новосибирск в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г. и 2014 г..

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [11]. В совместно опубликованных работах [1] - [5] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены лично автором.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрна-уки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 46 наименования. Общий объем диссертации 102 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В первой главе содержатся 3 пункта.

В первом пункте первой главы дается определение многомерного смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова.

Вводятся евклидовы пространства точек х — (х', х") е Мдг = Еп х Едг-п) х' = (#1,..., хп) £ Еп, а х" = (жп+1,... ,хм) £ Л£дг-тг или в его части = х Мдг-п? определенную неравенствами х\ > 0,..., хп > 0 . При этом числа п и N предполагаются фиксированными, 1 < п < N .

Пусть 7 = (71,..., 7П) , мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел. Каждому индексу 7г ставим в соответствие оператор Бесселя Ву. = + Ъ > 0.

Многомерный смешанный обобщенный сдвиг х = (х',у'),

У = у") £ х ^лг-п определяется в виде суперпозиции одномерных обобщенных и обычных сдвигов. По определению полагаем

та : /(*) ТУЦх) =

(Ч 7Г 7Г

1[ТХ1)/(х',х"-у")=С(>у) Л., f f{x'

г=1 J JQ {

А У' , х" - у") X

X J^sin^ 1 ^d^-.-dPn, i=1

/ / ( Pi Pn \

x ->y = (jri -V 2/1,... ,жп -4 2/nJ ,

/- n p Î2i±l)

Хг ^ Уг = y x\ - 2жг?/г COS A + yf , C(7) = ТГ-* Д Г / jU '

i=l V 2 )

Пусть a' и a" — целочисленные мультииндек-сы размерности п и N — п соответственно. Через D% = = ... д^ ... обозначим сингулярный

дифференциальный оператор порядка |а| = ai + ... + адг , составляющие которого определены следующим образом: дХг = -Д- , 1 ^ г ^ iV,

В^^2, с*г = 2к, 1 ^ г ^ п,

=< / (1.1.5)

дХгВС~1)/2, ai = 2/г + 1, £ = 0,1,2,...,

где .В7г — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя.

Одномерные ^ -преобразования Киприянова-Катрахова строятся на основе ядра ^(¿г)—г 2(^+1) .7^+1 > — ГДе > так называемая, -функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода Ju равенством = 2 ¿и^)-

Введем обозначение

3 = 1

¿V1 (з^) Т г зъ+1 (ж7е?) 2 2

Определение 1.1.1 Смешанным прямым и обратным преобразованиями Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова (Тв -преобразованиями) функции и назовем соответственно выражения

ТвШ)=Щ)= I А+(х',е)е~г{х"'Пи(х) (х')^х,

Т^Ы(х) = = С(7) I А-(х',Ое{{х"' €"Ч0 (О7 #,

Кп

гы = (27г)1~та

^ 22(^+1) Г2(г/ + 1)' Как обычно, интегралы в этих выражениях понимаются в смысле главных значений. Интересно отметить, что поскольку функция — четная при любом и, то функция 2(^+1) ~ нечет-

ная и, следовательно, как и ядро классического преобразования Фурье, ядро Тв -преобразования состоит из четного и нечетного слагаемых. Несмотря на аналогию с классическим преобразованием Фурье, Тв -преобразование дифференциальных операций приспособлено только для четных функций. При этом для любой быстро убывающей, бесконечно дифференцируемой функции <р(х' ,х") , четной по каждой координате вектора х' и для любого целочисленного мультииндекса а — (а', а") = (с*!, ... , скдг) , справедливы формулы

Тв

<р (О = (г£)а (1-1.14)

д%,Тв Ы (О = Тв[{гх)а1р№ ■ (1.1.15)

Через ¿>(Млг) будем обозначать пространство Шварца основных функций, а через 5ег,(Едг) его подпространство состоящее из функций, четных по каждой из переменных х' — (#1, ... , жп) . Далее под

п

{х')1 понимается функция {х')1 = П ~~ четная по каждо-

му из своих аргументов х\, ... , хп . Множество функций для кото-

( \1/2

рых конечна норма ||/||ь7 = / 1/(ж)|2 (х')7 с1х \ будем обозначать

\Клг /

1/2 (Мдг) или Щ ег,(Млг) , если функции / предполагаются четными по

каждой координате п -мерного вектора х' . Рассмотренные выше Тв -преобразования являются взаимно обратными в ¿"(МдО (Катрахов, Ляхов) и в 1/2(М.лг) (Ляхов, Райхельгауз).

Пространство основных функций, рассмотренных в работе обозначается представляющее собой подпространство пространства основных функций , наделенное топологией, порождаемой системой норм

/ \

И* {хаф))

1(^)1* = тах эир п0в ф) вир

7 н-нж*.

7

хёш'м )

(1.2.4)

к = 0,1, 2,... , при этом выполнено условие одинаковой четности:

с*г + &=24, ¿¿ = 0,1,2,..., г = 1 ,...,п, п ^ N. (1.2.5)

Теорема 1.2.1 При выполнении условия (1.2.5) Тв -преобразование осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфизм пространства <9+, , т.е. для любого неотрицательного целого числа к

КЪШк^Шъ.

Рассмотрим классы функций

ф7(м+) = {Ф : Фе 5+ (к+), д>3ф(о) = о, V е £+},

Ф7(М+) = {у, : <р = , <ф Е Ф7(К£)} •

Теорема 1.2.2 Класс Ф7(М^) состоит из тех и только тех функций (р(х)€.Зеу(Шх) , которые ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам:

ф)еЗеу(Ш+), ! хтф){х'у (1х'(1х"=о, <^еФ7(М+),

(1.2.6)

Для четного преобразования Фурье-Бесселя функции <р 6 Ф7 ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам, четным по каждой из переменных х\,..., хп .

(р{:г)е5ег)(М+), 1{х')2тф)х^х=0, </?ЕФ7(М+), (1.2.7)

В третьем пунк