Дробные В-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Берштейна для В-производных от четных j-многочленов Шлемильха тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0034Ьи«гэ г

На правах рукописи У

САНИНА ЕЛИЗАВЕТА ЛЬВОВНА

ДРОБНЫЕ В-ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕЙЛЯ .¡-БЕССЕЛЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВО БЕРШТЕЙНА ДЛЯ В-ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ЧЕТНЫХ ^МНОГОЧЛЕНОВ ШЛЕМИЛЬХА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

2 3 опт 2008

003450297

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Репников Валентин Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Костин Владимир Алексеевич;

доктор физико-математических наук, профессор Калитвин Анатолий Семенович

Ведущая организация: Владимирский государственный

гуманитарный университет

Защита состоится 11 ноября 2008 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212-.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

Актуальность работы. Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчисления Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференцирование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисс, Грюнвальд, Летников, И.А. Киприянов, П.И. Лизоркин, С Г Самко, А А. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вейля, выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.

В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя ^ + ^^ р>—1/2. Применяются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j -функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно назваются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, па функциях из пространства Соболева-Киприянова и в функциональных классах Липшица, порожденных обобщенным сдвигом. Исследования этих задач во многом опираются на работы Б.М. Левитана 40-х — 50-х годов прошлого века, посвященных изучению обобщенных сдвигов и .¡-функций Бесселя.

Построение дробных степеней оператора Бесселя, по типу производных Вейля, использует разложении функций по .¡-функциям Бесселя. Особенность последних заключается в том, что они четные. Для разложения произвольных функций в работе применяются функции Бесселя следующего вида АеУ1Р(х)=^(х); = щ^щ 3Р+\{х), ранее

введенные И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым при построении алгебры сингулярных псевдодифференциальных операторов в качестве ядра соответствующего преобразования Фурье-Бесселя Для разложений Фурье-Бесселя и Дини по этим функциям получены аналог теоремы Б.М. Левитана о равномерной сходимости и теоремы о зависимости убывания коэффициентов Фурье от гладкости функций. Введены три типа В-ядер Дирихе, и оказалось, что многочлены по четным .¡-функциям Бесселя представляются в виде оператора обобщенной свертки (свертки, порожденной обобщенным сдвигом) с этими ядрами, при этом были установлены новые свойства обобщенного сдвига в пространстве четных локально интегрируемых функций, в частности свойство ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, в соответствующий весовой класс Лебега. Использование В-ядер Дирихле позволило доказать теорему о совпадении В-производных Маршо и Вейля в пространстве Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

В диссертации введены новые ряды типа обобщенных рядов Шлемильха, в которых функции Струве заменены нечетными у функциями Бесселя 2(р+1) Эр+Лх)- Известно, что среди рядов по функциям Бесселя (Неймана, Каптейна, Фурье-Бесселя, Дини) ряды Шлемильха наиболее напоминают тригонометрические ряды Фурье, поскольку ряды Шлемильха порождены тригонометрическими рядами применением интегралов Шлемильха или Сонина. Для многочлена Шлемильха по четным .¡-функциям Бесселя получена интерполяционная формула для дифференцирования, осуществляемого сингулярным дифференциальным оператором Бесселя типа интерполяционной формулы Рисса, хорошо известной в теории тригонометрических многочленов, причем полученная формула оказалась следствием формулы Рисса для тригонометрических многочленов и не может получиться подобным образом для других многочленов, составленных из функций Бесселя. Как следствие этой формулы получены неравенства Берштейна для В-производной и для В-производной дробного порядка. Последние построены по типу дробных производных Маршо и Вейля. При этом использовались схемы доказательств этого неравенства для дробных производных, развитые в работах Р. Сшп, W. Бечте и П.И. Лизоркина. Определены коэффициенты, с которыми эти неравенства оказываются точными в том смысле, что не могут быть улучшены (те

существуют функции на которых неравенства превращаются в точные равенства).

Рассмотренные в диссертации вопросы актуальны в современном научном знании, поскольку дают новые подходы к некоторым аспектам теории функций Бесселя, к теории рядов Фурье-Бесселя, Дини, Шлемильха и это позволит найти новые приложения в сингулярных задачах дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Введенные В-производные дробного порядка могут быть использованы при исследовании сингулярных граничных задач и во многих проблемах естествознания, где присутствует центральная или осевая симметрии.

Цель работы. Построение разложений произвольной функции по функциям Бесселя, доказательство теорем об абсолютной и равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов Фурье по системе (в соответствующем смысле ортогональных) .¡-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. На основе разложений по функциям Бесселя ввести дробные В-производные Вейля и исследовать связь этой производной с В-производными Маршо и Лиувилля. Ввести ряды Шлемильха по нечетным .¡-функциям Бесселя. Для четной составляющей рядов Шлемильха получить интерполяционную формулу, выражающую действие сингулярного оператора Бесселя на четный .¡-многочлен Шлемильха, и на основе этой формулы получить неравенства Берштейна для В-производных и для дробных В-производных Вейля-Маршо.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а так же методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его научной школой при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе являются новыми.

1. Для рядов по четным и нечетным .¡-функциям Бесселя получена теорема о равномерной сходимости (типа теоремы Б.М. Левитана), теоремы о порядке убывания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя и Дини в зависимости от гладкости функции. Введены обобщенные ряды Шлемильха по нечетным .¡-функциям Бесселя.

2 Введены дробные В-иптегралы и В-производные Маршо и Вейля

порядка а € (0,2), причем порядку а = 1 дробной В-производной отвечает оператор у/—В, исследована связь В-производных Маршо с В-производными Лиувилля (последние известны и ранее, исследовались в работах И.А. Киприянова, В.В Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова, С.С. Платонова). Получена теорема о совпадении этого вида дробных производных на ¿-бесселевых многочленах.

3. Введены пространства Липшица и Степанова, порожденные обобщенным сдвигом, получена теорема об ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова в пространство 1) Для функций, представленных многочленами и рядами по четным функциям Бесселя введены В-производные Вейля, доказана теорема о совпадении действия В-производных Вейля и В-производных Маршо в классе функций Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

4. Получены представления В-ядер Дирихле для рядов Фурье-Бесселя и Дини по .¡-функциям Бесселя. Получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по .¡-функциям Бесселя.

5. Для многочленов по четным .¡-функциям Бесселя получен аналог интерполяционной формулы Рисса для В-производной целого порядка.

6. Для многочленов по четным ¿-функциям Бесселя получен аналог неравенства Берштейна для В-производных целого порядка и В-производных Вейля-Маршо произвольного порядка а > 0 и обобщения этого неравенства в весовых функциональных классах Лебега и Степанова.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивные решения содержательной математической задачи. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными и математическом анализе.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Репникова В. Д., в Воронежской зимней математической школе, Воронежской весенней математической школе „Современные методы в теории краевых задач", Воронеж,2005; на международной научной конференции по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, Воронеж 2005; на международной конференции „дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2006; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и

смежные вопросы "посвященной памяти Г.И. Петровского, Москва, 2007; на международной конференции "Дифференциальные операторы. Общая топология Проблемы математического образования "Москва, 2007; на герценовских чтениях „Некоторые актуальные проблемы математики и математического образования", Санкт-Петербург, 2008.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1]-[15]. В работах [11], [13], [15] постановка задачи принадлежит В.Д. Репникову, а доказательства основных результатов-диссертанту. В работе [9] JI Н. Ляхову принадлежит идея применения оператора Пуассона в роли оператора преобразования, все же результаты, включая формулу Рисса для четного многочлена Шлемильха, принадлежат автору. Из совместных работ [1], [14] в диссертацию вошли только результаты полученные автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 19 пунктов, и цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 118 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель работы, описана ее структура, изложены основные научные результаты.

Первая глава работы посвящена построению разложений произвольной функции по j-функция Бесселя, доказательству теорем о равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов ряда по системе ортогональных j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. Вводятся три системы четных и нечетных j-функций Бесселя, определяемые способом задания чисел А^:

i) jp(^k) = 0, {Ар,„(ж)}, га = 1,2,...;

w) jP+l(Afc) = 0, {1, Лр>п(ж)}, га = 1,2, ... ;

in) \j'p(Xk)+Hjp(Xk)=0, {Лр>п(х)}, га = 1,2, ... и доказываются теоремы об ортогональности этих систем и основные свойства рядов по этим системам функций. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини получены теоремы о равномерной сходимости, типа хорошо известной теоремы Левитана. Из трех полученных результатов

(соответственно для четных, нечетных и произвольных функций) приведем общую теорему.

Теорема 127 Пусть |р| < 1/2, функция f(x) е С2(—1,1) и удовлетворяет условиям /(±1) = /'(ü) = 0. Тогда ряды Фурье-Бесселя или Дини для /(ж) сходятся абсолютно и равномерно на [—1,1]. Для р > —1/2 эти ряды сходятся абсолютно и равномерно вне любой окрестности начала координат.

Определение 1.3.1. Функцию f, определенную на [—1,1], будем называть В-гладкой порядка m = 1,2,3, ... на этом отрезке, если все функции (Bm f)(x), т, = 0,1,2,3, ... непрерывны на [—1,1].

Определение 1.3.2. Будем говорить, что функция / принадлежит пространству Киприянова Wi2p+i, если / е L2p+1(-1,1) и Bf € L\v+1{-1,1).

Теорема 1.3.1. Пусть 2р+1 > 0 и четная функция / G Wf™p+1 удовлетворяет условию /(1)=/'(1)=... =/(2т-1'(1)=0. Тогда коэффициенты ряда Фурье-Бесселя или Дини этой функции удовлетворяют асимптотическому равенству Сп = О •

Теорема 1.3.2. Пусть р > —1/2 и нечетная функция f(x) £ С2т+1([—1,1]) удовлетворяет следующим условиям

1) /(0) = /'(0) = /"(0) = ... = /<2т> (0) = 0; 2) /(1) = /'(1) = Г (1) = •.. = (1) = 0.

Тогда коэффициенты ряда Фурье-Бесселя или Дини этой функции удовлетворяют асимптотическому равенству Сп = О (лГ2т+1/2) , Ага —> оо.

Вводятся новые ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя по типу классических обобщенных рядов Шлемильха, где за четную составляющую берется j-функция Бесселя, а за нечетную - нечетная составляющая ядра Киприянова-Катрахова. Введем обозначение

х

Aod,P(x) = 2(p+l)jp+1^'

Теорема 1.4.1. Пусть / нечетная функция, заданная на отрезке [—7г, 7г], имеет непрерывную производную в окрестности нуля и функция g — решение уравнения Шлемильха

f(x) Г (г/) Г . . . 2М ,

—— = ^ -—т— / g{x cos a) sin1 > а аа.

х (v +1/2) J0 ;

Тогда справедливо следующее представление функции / рядом Шлемилъха по нечетным ¿-функциям Бесселя /(ж) = ^ где А0^(х) = § ¿„(я), " € (-1/2,1/2),

^ Л7Г гк/1

Ьп = . -г / / вес2"*1 а х

Г (а - 7-я- Л

х — | ал2"*1 а аа

Г(«/)^Г (А - «/)

^ ¿а е~тх ¿ж.

Дж эта)

Ьт = ,3-г- / / /(ж зт ©)(вт в)2" (сов в)2"сЮ вт тх ¿х.

)Г (з — Jo ¿о

х вт а

Теорема 1.4.2. Если нечетная функция / представлена равномерно сходящимся на отрезке [0,7г] рядом (неполным) Шлемилъха

оо

/(ж) = Ът АоЛ,и (тх)

т—1

по нечетным у функциям Бесселя А04^(тх) = ^^(тж), то его коэффициенты определяются по формуле

/>7Г /17Г/2

Ряды Шлемилъха (как и классические обобщенные) могут представлять так называемые "нуль-ряды". Для нечетных .¡-функций Бесселя эти ряды имеют вид

х 1 (—1)т о— + -7= У2 —— Лой>7(та;) =

2г/7г д/7г т

у т=1

Во второй главе изучается свойства обобщенного сдвига в пространствах локально интегрируемых функций и доказывается лемма об обобщенной свертке с .¡-бесселевым многочленом. Строятся дробные В-производные и В-интегралы Лиувилля, Маршо, Вейля и исследуется связь между ними.

К основным свойствам обобщенного сдвига следует отнести его самосопряженность, ограниченность в соответствующем скалярном произведении и в соответствующей норме. В классах локально интегрируемых с весом функций эти свойства не выполняются. Поэтому вводятся „левые"обобщенные свертки

(/ * д)Р = ¡\тх№) д(у) у2р+1(1у.

¿0

Лемма 2.1.1. Левая свертка с ]-бесселевым многочленом Ап(х) = ао + ак Р > ~| (который может представлять собой

конечный отрезок ряда Дини, Фурье-Бесселя или Шлемильха), будет, снова ¡-бесселевый многочлен того же порядка и вида.

Через Ьр(—а,а) будем обозначать множество четных функций /, для

которых (а:2) 5 /(ж) € £д(—а,а). Норму определим равенством

\\f\\bpq(-a,a) =

' Г i/i

J О

qx2p+1dx

1/9

Определение 2.1.1.. Пусть <? > 1, 2р + 1 > 0. Множество четных локально интегрируемых с весом х2р+1 функций с конечной нормой

УК

2(р+1)

sup

í

/ T»\f(x) |

Чу2р+1,

1 /1

будем обозначать Sfq и называть функциональным пространством Степанова, порожденного обобщенным сдвигом.

Лемма 2.1.2. Если /€££(-1,1), то ^(-í.d<||/¡bfc_i,i)-По аналогии с классическими дробными производными введем дробные В-производные, но вместо преобразования Фурье используется интегральное преобразование Ганкеля Н. Дробные В-производные Лиувилля в образах этого преобразования имеют вид

(-Bfu{x) = Я-1^ Яи(0]. Дробной В-производной Маршо порядка ¡3 = а/2 называется

= 2аГ(а) Мо у Г Г- ф) - (Т»Ц)(х)

V j v^r(^) Г(р+1) Уо 2/

Через Set, обозначим подпространство Л. Шварца, состоящее из четных функций бесконечно дифференцируемых и достаточно быстро убывающих на бесконечности.

Теорема 2 3 1 Пусть u€Sev Дробная В-производная Маршо порядка ¡3 от функции и в образах преобразования Ганкеля имеет следующее представление В@и(х) = Н~1 [£,аН[и]\ (£) и совпадает с В-производной Лиувилля.

Дробные В-производные Вейля порядка /3 вводятся следующим образом

оо

{B?f) (®) = ((-Bff)(x) =Y,Xk h^k х), а = 2/3.

о

Теорема 2.4.1. Пусть тп{х) = Efc=oafc jpi^kx) Тогда при ¡3 € (0,1) действия операторов В^ и В° совпадают:

(В$тп) (х) = (^т„) (ж).

Вводятся три типа ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде сверточного оператора, порожденного обобщенным сдвигом.

i) Dp,n(x) = ELi ^Щ) hi^kx),

ii) Dp,„(ж) = 2{p + 1) + ELi Мхкх),

111) Dp,n(x) = Efc=l jjj(Afc)(A*-p2+(p+#)2) jpi^kx).

Получены формулы

ИШп-оо 1о(ТьОр,п)(х) i2p+1 <Й=±, О < ж < 1,

limn —►со ¡¿(TW^nXx) t^1 dt=\, 0 < * < 1,

являющиеся аналогом формул Ватсона для функций Бесселя первого рода.

Теорема 2.7.1 (Аналог теоремы Римана-Лебега). Пусть [а, 6] € (0,1), ж $ [а, Ъ], 0 < х < 1 и ¡Ьа |/(t)| fP+1'2 dt < оо. Тогда

f f(t) (TxDPin)(t) t2p+1 dt = o(l), An -> oo. J a

Доказаны утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

Теорема 2.8.1 Пусть / интегрируемая с весом х2р+1 по отрезку [0,1] функция. Положим ао = Jq f(t) t2p+1 dt, =

[дар /о М ЗрМ i2p+1 dt, k = 1,2, ... , где 2p + 1 > 0. Пусть x € (a, b), 0<а<6<1 и функция f имеет на [а, 6] ограниченное полное изменение Тогда ряд 2(р + 1)ао + EbLi йк 3p{^kx) сходится и его сумма равна \ (f(x + 0) + f(x - 0)).

Следствие 2.8.1 Пусть для функции f выполнены все требования теоремы 2.8.1 и, кроме того, эта функция непрерывна на [а,Ь]. Тогда ряд

2(р + 1)ао + ак Зр(^кх) сходится равномерно на [а, Ь} и его сумма равна /(х).

Следствие 2 8 2 Пусть / периодическая четная функция на [—1,1] и пусть / € 1,1). Если функция д(х) — удовлетворяет, всем

условиям теоремы 2.8.1, то ряд

оо

2(р + 1) аох^2 + хр+1'2 ¿„(А*®), к=1

где ао=/ов(<) *2р+1 <й, /о Л>(А*4) *2р+1 < Л = 1,2, ... ,

сходится и его сумма равна ^ (д(х + 0) + д(х — 0)).

В случае если функция д(х) непрерывна на [0,1], ряд сходится равномерно на [0,1] и его сумма равна /(ж)

Определение 2.9.1. Пусть f четная функция, определенная па [—а, а]. Если для любых точек х и х±к, принадлежащих отрезку [—а, а], обобщенное приращение функции / удовлетворяет неравенству

Ш-{Т^){х)\<А\Щ\

где 0 < А < 2 (число Л, как и в классическом случае, будем называть показателем Липшица), а А — некоторая постоянная , то / называется функцией, удовлетворяющей условию Липшица порядка X, порожденного обобщенным сдвигом. Класс функций

ЯрЛ([-а,а]) = {/(х): |/(а:) - (ГЛ/)(®)| < А|Л|А, [ж - Л,ж + Л] € [-а,«]},

где А — постоянная, А — показатель Липшица, будем называть (р,Х)-классом Липшица. Нижняя грань постоянной А называется обобщенной постоянной Липшица.

Получена теорема о непрерывности функций, удовлетворяющих обобщенному условию Липшица.

Теорема 2.9.1. Функция / € Н£([—а,а\) не только непрерывна по отношению к сдвигу Ту, но и просто непрерывна.

Теорема 2.10.1. Пусть функция /(ж) £ Нр > 0 < Л < 2, представлена рядом Фурье-Бесселя или Дини

оо

/(ж) = 2(р + 1)а0 + Зр{\кх)

к=1

и В'3 - дробная В-производная Маршо, а - дробная В-произеодная Вейля. При /3 е (0,1) и /3 < А выполняется равенство (Ва/) (х) = (В«/) (г).

Третья глава посвящена доказательству неравенства Берштейна для дифференциального оператора Бесселя от четной составляющей многочлена Шлемильха в классе непрерывных функций, а так же доказательству неравенства Берштейна-Зигмунда на функциях, принадлежащих весовым пространствам Лебега.

Теорема 3.1.1 Для В-производной умногочлена Шлемильха порядка п имеет место следующая интерполяционная формула

В (¿иов) = ^ ЕГ=1 ^ Е™=1 щ {Тп(х + вк + 0т))'

в которой Тп — тригонометрический многочлен порядка п, сопровождающий многочлен Шлемильха, ©,; = 7г, г = 1,2,... ,2п.

Как следствие этой формулы получено неравенство Берштейна для В-дифференцирования

Теорема 3.2.1.Пусть Бп — четный ¿-многочлен Шлемильха порядка п и Тп(х) — его сопровождающий тригонометрический многочлен (т.е. Зп(х) = ПрТп(х)) и пусть на отрезке [0,7г] выполняется неравенство |2п(ж)| < М Тогда 15«(ж)| < М и для произвольного натурального числа к: \Вк8п(х)\ < п2кМ, х € [0,тг].

С помощью утверждений о действии обобщенного сдвига получена форма неравенства Берштейна в весовых пространствах Лебега, рассмотренных в предыдущей главе.

Теорема 3 3 1 (Аналог неравенства Берштейна-Зигмунда) Пусть В — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя В = + ^. Для многочлена Шлемильха Бп (ж) порядка п и произвольного натурального числа к справедлива оценка

^(ЯК^кс-^п2* Нб'пНь?^),

где р > 1 < д < оо.

Обозначим В" = В@, I) = \/—В. С помощью неравенства Берштейна-Зигмунда доказано неравенство Берштейна для дробных В-производных ¿-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций.

Теорема 3.4.1. Для ]-бесселевого многочлена Шлемильха

справедлива ои,енка

||(D«Sn)Or)||c < М(а,р) па ||5п(®)||о,

с константой М(а,р) ограниченной для всех а = 2 Pup, удовлетворяющих условиям: ае(0,2), 2р+1>0 и вычисляемой по формуле

М(а,р) = 1} " а{2р + 1)} Г (1 '' + 2)

Г(р+2)Г(^) Г (

Теорема 3.4.2. Пусть В13 — В-производная Вейля и Sn(x) — четный j-многочлен Шлемильха

п

Sn(x) = у + ak jp(Xkx). k=1

Тогда

\\(B^Sn)(x)\\c < M(a,p) na ||Sn(*)l|c,

с константой M(a,p) ограниченной для всех а > О, а = 2/3 и р > — и вычисляемой по формуле

М(П - (4(р+1)-«(2р+1))Г(1 + 3*»)Г(а+§)

И доказано неравенство Берштейна для дробных В-производных, действующих из пространства SPt4 в пространство Щ.

Теорема 3.5.1. Для В-производной дробного порядка a G (0,2) четного j-бесселевого многочлена Шлемильха Sn(x) = +

Sk=i ak jp{kx), справедлива оценка

||(D«Sn)(a;)||L? < М(а,р)па (3.5.1)

с константой М(а,р) ограниченной для всех а, р, а € [0,2], 2р+ 1 > 0 и 1 < q < оо и равной

_ (4(р+1)-а(2р+1))Г(1+^)Г(а+1)

[,Р> Г(р+2)Г(а|1)Г(4=а)

Публикации автора по теме диссертации

1. Санина Е.Л. Преобразование Фурье-Бесселя нечетных функций и обобщенная свертка, порожденная этим преобразованием / С.Л. Ляхова, Е Л Санина // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции. - Воронеж, 2005. - С. 78-79.

2. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-производных бесселевых многочленов / Е.Л. Санина // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ": тез. докл. - Москва, 2005. - С. 198.

3. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-произвождных ]р-бесселевых многочленов Шлемельха / Е.Л. Санина // Вестник Липецкого государственного пед. ун-та. - Т. 1. - Вып. 1. - Липецк, 2006. - С. 50-54.

4. Санина Е.Л. Распространение теоремы Левитана о равномерной сходимости бесселевых рядов на функции, представленные рядами по четным-нечетным ^-функциями Бесселя при малых значениях индекса / Е.Л. Санина // Вестник Елецкого гос. ун-та им. И.А,Бунина. - Вып. 5.

- Елец, 2005 - С. 76-83.

5. Санина Е.Л. О рядах Шлемельха по нечетным ^р-функциям Бесселя / Е.Л. Санина // Вестник физ.-мат. фак-та Елецкого гос. ун-та им. И А.Бунина - Вып. 1 - Елец, 2006 -С 63-69

6. Санина Е.Л. Теоремы сложения, обобщенный сдвиг и представление Пуассона для четных-нечетных .¡-функций Бесселя / Е.Л. Санина // Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика". - № 1 (5). - Воронеж, 2007. - С. 140-148.

7. Санина Е.Л. О некоторых свойствах обобщенного сдвига в классе четных периодических функций / Е.Л. Санина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. - Вып. 2. - Воронеж, 2007. - С. 88-92.

8. Санина Е.Л. О рядах Шлемельха по нечетным .¡-функциям Бесселя / Е.Л. Санина // Математические модели и операторные уравнения. - Т. 4 - Воронеж, 2007 - С 116-124

9. Санина Е.Л. Многочлены Шлемильха. Интерполяционная формула Рисса для В-производной и неравенство Берштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // ДАН, 2007.

- Т. 417. - №5. - С.592-596.

10. Санина Е.Л. Об одном операторе обобщенного сдвига, порожденного общим преобразованием Фурье-Бесселя / Е.Л. Санина

// Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г.Петровского: тез. докл. -Москва, 2007 - С 274-275

11. Санина Е.Л. Одна модель применения дробного интегродифференцирования для определения потоков в сингулярных дифференциальных уравнениях / В.Д. Репников, Е.Л. Санина //Черноземный альманах 'научных исследований. Серия: "Прикладная математика и информатика". - Я2 2 (6). - Воронеж, 2007. - С. 70-73.

12. Санина Е Л Интерполяционная формула и неравенство Берштейна для B-производной многочлена Шлемильха / Е.Л. Санина // Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Прикладная математика и информатика". - № 2 (6). - Воронеж, 2007. - С. 124-134.

13. Санина Е.Л. Обобщенное пространство Липшеца и Гельдера / В.Д. Репников, Е.Л. Санина // Тезисы докладов международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования". МФТИ - Москва, 2008.- С. 176-178.

14. Санина Е.Л. Об эквивалентности норм Степанова, порожденных обобщенным сдвигом / A.B. Костин, Е.Л. Санина.//Тезисы докладов международной конференции "Функциональные пространства Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования". МФТИ - Москва, 2008. - С. 179-181.

15. Санина Е.Л. О применении обобщенных разностей для построения функциональных пространств / В.Д. Репников, Е.Л. Санина // Российский ГПУ имени А.И.Герцена "Некоторые актуальные проблемы современной математики и матетматического образования". Герценовские чтения 2008 - №61 - Санкт-Петербург, 2008. - С. 158-160.

Работа [9] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Подписано в печать 02.10.08. Формат 60x84 1/16. Усл. псч. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 1813

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3. ' -

Введение

1 Ряды по четным-нечетным j функциям Бесселя

1.1 Ортогональность системы четных-нечетных j-функций Бесселя.

1.2 Ряды Фурье-Бесселя и Дини.

1.3 Гладкость, В-гладкость функции и порядок убывания коэффициентов.

1.4 Ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя.

2 Дробные В-производные Маршо-Вейля j-бесселевых разложений

2.1 Основные свойства обобщенного сдвига в классе четных локально интегрируемых с весом функций.

2.2 Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо.

2.3 Преобразование Ганкеля дробной В-производной Маршо.

2.4 Дробные В-производные Вейля.

2.5 В-интегрирование дробного порядка.

2.6 В-интегрирование Вейля дробного порядка.

2.7 В-ядро Дирихле.

2.8 О равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

2.9 Функциональные классы Липшица, порожденные обобщенным сдвигом.

2.10 Теорема о совпадении В-производных Маршо и

Вейля на функциях из Hb.

3 Неравенство Бернштейна для В-производных четных j-многочленов Шлемильха

3.1 Интерполяционная формула для В-производной четного j-многочлена Шлемильха.

3.2 Неравенство Бернштейна для В-производной j-многочлена Шлемильха.

3.3 Неравенство Бернштейна-Зигмунда в классе

ФУНКЦИЙ ( —7Г, 7г).

3.4 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных j-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций.

3.5 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо j-бесселевых многочленов Шлемильха в пространстве Щ.

Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками. К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференци-рование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисс, Грюнвальд, Летников, И.А. Киприянов, П.И. Лизоркин, С.Г. Самко, А.А. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вейля выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.

В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя + р>—1/2. Применяются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j-функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно называются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, на функциях из пространства Соболева

Киприянова и в функциональных классах Липшица, порожденных обобщенным сдвигом. Исследования этих задач во многом опираются на работы Б.М. Левитана 40-х — 50-х годов прошлого века, посвященных изучению обобщенных сдвигов и j-функций Бесселя.

Построение дробных степеней оператора Бесселя, по типу производных Вейля, использует разложении функций по j-функциям Бесселя. Особенность последних заключается в том, что они четные. Для разложения произвольных функций в работе применяются функции Бесселя следующего вида AeV)P(x)=jp(x); Aod>p = 2(p+i) 1(®)> ранее введенные И.А. Куприяновым и В.В. Катраховым при построении алгебры сингулярных псевдодифференциальных операторов в качестве ядра соответствующего преобразования Фурье-Бесселя. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини по этим функциям получены аналог теоремы Б.М. Левитана о равномерной сходимости и теоремы о зависимости убывания коэффициентов Фурье от гладкости функций. Введены три типа В-ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде оператора обобщенной свертки (свертки, порожденной обобщенным сдвигом) с этими ядрами, при этом были установлены новые свойства обобщенного сдвига в пространстве четных локально интегрируемых функций, в частности свойство ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, в соответствующий весовой класс Лебега. Использование В-ядер Дирихле позволило доказать теорему о совпадении В-производных Маршо и Вейля в пространстве Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

В диссертации введены новые ряды типа обобщенных рядов Шлемильха, в которых функции Струве заменены нечетными j-функциями Бесселя 2(р+1) i(x)- Известно, что среди рядов по функциям Бесселя (Неймана, Каптейна, Фурье-Бесселя, Дини) ряды Шлемильха наиболее напоминают тригонометрические ряды Фурье, поскольку ряды Шлемильха порождены тригонометрическими рядами применением интегралов Шлемильха или Сонина. Для многочлена Шлемильха по четным j-функциям Бесселя получена интерполяционная формула для дифференцирования, осуществляемого сингулярным дифференциальным оператором Бесселя типа интерполяционной формулы Рисса, хорошо известной в теории тригонометрических многочленов, причем полученная формула оказалась следствием формулы Рисса для тригонометрических многочленов и не может получиться подобным образом для других многочленов, составленных из функций Бесселя. Как следствие этой формулы получены неравенства Бернштейна для В-производной и для В-производной дробного порядка. Последние построены по типу дробных производных Маршо и Вейля. При этом использовались схемы доказательств этого неравенства для дробных производных, развитые в работах P. Civin, W. Sewe и П.И. Лизоркина. Определены коэффициенты, с которыми эти неравенства оказываются точными в том смысле, что существуют функции, на которых достигаются равенства.

Рассмотренные в диссертации вопросы актуальны в современном научном знании, поскольку дают новые подходы к некоторым аспектам теории функций Бесселя, к теории рядов Фурье-Бесселя, Ди-ни, Шлемильха и это позволит найти новые приложения в сингулярных задачах дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Введенные В-производные дробного порядка могут быть использованы при исследовании сингулярных граничных задач и во многих проблемах естествознания, где присутствует центральная или осевая симметрии.

Целью работы является построение разложений произвольной функции по j-функциям Бесселя, доказательство теорем об абсолютной и равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов Фурье по системе (в соответствующем смысле ортогональных) j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. На основе разложений по j-функциям Бесселя ввести дробные В-производные

Вейля и исследовать связь этой производной с В-производными Марию и Лиувилля. Ввести ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя. Для четной составляющей рядов Шлемильха получить интерполяционную формулу, выражающую действие сингулярного оператора Бесселя на четный j-многочлен Шлемильха, и на основе этой формулы получить неравенства Бернштейна для В-производных и для дробных В-производных Вейля-Маршо.

В работе используются методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его научной школой при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Следующие результаты, полученные в работе являются новыми.

1. Для рядов по четным и нечетным j-функциям Бесселя получены теорема о равномерной сходимости (типа теоремы Б.М. Левитана), теоремы о порядке убывания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя и Дини в зависимости от гладкости функции. Введены обобщенные ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя.

2. Введены дробные В-интегралы и В-производные Маршо и Вейля порядка а € (0,2), причем порядку а — 1 дробной В-производной отвечает оператор у—В, исследована связь В-производных Маршо с В-производными Лиувилля (последние известны и ранее, исследовались в работах И.А. Киприянова, В.В Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова, С.С. Платонова). Получена теорема о совпадении этого вида дробных производных на j-бесселевых многочленах.

3. Введены пространства Липшица и Степанова, порожденные обобщенным сдвигом, получена теорема об ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова в пространство LJ(0,1). Для функций, представленных многочленами и рядами по четным j-функциям Бесселя введены В-производные Вейля, доказана теорема о совпадении действия В-производных Вейля и Впроизводных Маршо в классе функций Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

4. Получены представления В-ядер Дирихле для рядов Фурье-Бесселя и Дини по j-функциям Бесселя. Получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

5. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог интерполяционной формулы Рисса для В-производной целого порядка.

6. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог неравенства Бернштейна для В-производных целого порядка и В-производных Вейля-Маршо произвольного порядка а > 0 и обобщения этого неравенства в весовых функциональных классах Лебега и Степанова.

Работа носит теоретический характер и дает конструктивные решения содержательной математической задачи. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными и математическом анализе.

Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Репникова В.Д., в Воронежской зимней математической школе, Воронежской весенней математической школе „Современные методы в теории краевых задач", Воронеж,2005; на международной научной конференции по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, Воронеж 2005; на международной конференции „Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2006; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти Г.И. Петровского, Москва, 2007; на международной конференции "Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования "Москва, 2007; на герценовских чтениях „Некоторые актуальные проблемы математики и математического образования", Санкт-Петербург, 2008.

Основные результаты опубликованы в работах автора [32]-[46]. В работах [42], [44], [46] постановка задачи принадлежит В.Д. Репнико-ву, а доказательства основных результатов-диссертанту. В работе [40] JI.H. Ляхову принадлежит идея применения оператора Пуассона в роли оператора преобразования, все же результаты, включая формулу Рисса для четного многочлена Шлемильха, принадлежат автору. Из совместных работ [32], [45] в диссертацию вошли только результаты полученные автором лично.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 19 пунктов, и цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 118 стр.

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсении - М.: Наука, 1974. - 432 с.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн М.: Наука, 1974. - Т. 2 - 295 с.

3. Ватсон Г.Н.Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон Часть первая. - М.: ИЛ, 1947. - 780 с.

4. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Грандштейн, И.М. Рыжик М: ГИФМЛ. 1965.- 1100 с.

5. Житомерский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных пргоизводных с дифференциальным операторами типа Бесселя // Математический сборник, 1955. Т. 36, N2. - С. 299310.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 1. - М.: Мир. 1965.- 615 с.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 2. М.: Мир. 1965.- 538 с.

8. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения весовых классов функций / И.А. Киприянов // Тр. МИАН. 1967. Т. 8,9.- С.130-213.

9. Киприянов И. А. Сингулярные краевые эллиптические задачи / И.А. Киприянов М.: Наука,1997. -199 с.

10. Киприянов И.А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов / И.А. Киприянов, В.В. Катра-хов // Мат. сборник, 1977. Т. 104, № 1. - С.49-68.

11. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига. II / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // СМЖ. 1970. Т. 11, № 5. - С.1060-1083.

12. Киприянов И.А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. V, № 8.- С.1470-1483.

13. Киприянов И.А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений / И.А. Кипрянов, В.И. Кононенко / / Дифференц.уравнения.— 1967.— Т.З, N1 — С.114-129.

14. Киприянов И.А. Об одном классе псевдодифференциаль ных операторов / И.А. Киприянов, JI.H. Ляхов // ДАН. 1974. Т.218, № 2. - С. 278-280.

15. Киприянова Н.И. Интерполяционная формула Р. Сайвина, связанная с обобщенным сдвигом / Н.И. Киприянова // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — VI " , тезисы докладов. Воронеж, 1995. - С.42.

16. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б.Г. Коренев М.: Наука, 1971. - 287 с.

17. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики /Н.С. Кошляков, Э.В. Глинер, М.М. Смирнов М.: Высшая школа, 1976. - 712 с.

18. Курант Р. Методы матиматической физики / Р. Курант, Д. Гильберт М.- Л.: ГИТТЛ, 1951. - Т.1. - 475 с.

19. Лебедев М.Н. Специальные функции и их приложения / М.Н. Лебедев М.- Л.: ГИФМЛ. 1963. - 359 с.

20. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Левитан // УМН, 1951, Т. 6, №2.- С. 102-143.

21. Левитан Б.М. Введение в спектральную теорию /Б.М. Левитан, И.С. Саргсян М.: Наука. 1970. - 671 с.

22. Лизоркин П.И. Оценка тригонометрических интегралов и неравенство Берштейна для дробных производных / П.И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 296, № 1. - С. 109-126.

23. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л.Н. Ляхов // ДАН,1990. Т. 315, №2. - С. 291-296.

24. Математическая энциклопедия. Т. 3 М.: Советская энциклопедия, 1982. - С.1183.

25. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон М.: Наука, 1974. - 480 с.

26. Никольский С.М. Курс математического анализа. T.l / CiM. Никольский М.: Наука, 1973. - 431 с.

27. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский М.: Наука, 1977 - 436 с.

28. Платонов С.С. Аналоги неравенств Берштейна и Никольского для одного класса целых функций экспоненциального типа / С.С. Платонов // ДАН, 2004. Т.398, № 2. - С. 168-171.

29. Розет Т.А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике / Т.А. Розет М. Советское радио. -1956. - 164 с.

30. Репников В.Д. Некоторые уточнения теоремы о стабилизации решений уравнений теплопроводности / В.Д. Репников // Дифферент уравнения, 1998 Т.34, № 6 - С.812-815.

31. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, И.О. Маричев- Минск, Наука и техника, 1987. 688 с.

32. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-производных jp-бесселевых многочленов / Е.Л. Санина // Функциональные пространства, теория приближенийж, нелинейный анализ. Международная конференция Москва, 2005. - С. 198.

33. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-произвождных jp-бесселевых многочленов Шлемельха / Е.Л. Санина // Вестник Липецкого государственного пед. ун-та. Т. 1. - Вып. 1. - Липецк, 2006. - С. 50-54.

34. Санина Е.Л. О рядах Шлемельха по нечетным функциям Бесселя / Е.Л. Санина // Вестник физ.-мат. фак-та Елецкого гос. ун-та им. И.А.Бунина.- Вып. 1.- Елец, 2006 -С. 63-69.

35. Санина Е.Л. Теоремы сложения, обобщенный сдвиг и представление Пуассона для четных-нечетных j-функций Бесселя / Е.Л. Санина // Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика". - № 1 (5). - Воронеж, 2007.- С. 140-148.

36. Санина E.JI. О некоторых свойствах обобщенного сдвига в классе четных периодических / E.JI. Санина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. - Воронеж, 2007. - С. 88-92.

37. Санина E.JI. О рядах Шлемельха по нечетным j-функциям Бесселя / E.JT. Санина // Математические модели и операторные уравнения. Т. 4. - Воронеж, 2007. - С. 116-124.

38. Санина E.JI. Многочлены Шлемильха. Интерполяционная формула Рисса для В-производной и неравенство Берштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо / JI.H. Ляхов, Е.Л. Санина // ДАН, 2007. Т. 417. - №5. - С. 592-596.

39. Санина Е.Л. Интерполяционная формула и неравенство Берштейна для В-производной многочлена Шлемильха / Е.Л. Санина //Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Прикладная математика и информатика". - Воронеж, 2007. - № 2 (6). - С. 124-134.

40. Толстов Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов М.: Наука. 1980. - 381 с.

41. Трибель X. Теория интерполяции. Фкнкциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель М.: Мир, 1980. - 664 с.

42. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш М.: Наука 1968. - 344 с.

43. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals / P. Civin // Duke Math. J. 1941. - Vol. 8, № 4 - P. 656-665.

44. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals. Preliminara report. / P. Civin // Bull. Amer. Math. Soc. 1940. - P. 410.

45. Delzarte Par J. Sur une extention de la formule de Teylor. / Dezarte // Journ.de Math. 1938. - Т. XVII. - P. 213-231.

46. Fourier J. La Theorie Analytique de la Chaleury: Chez firmin didot pere et fils / J. Fourier Paris, 1822. - 466 p.

47. Hankel H. Die Fourier'schen Reihen und Integrale fur Cylinderfunktionen / H. Hankel // Math. Ann., VIII 1875. -P. 471-494.

48. Zygmund A. A remark on conjugate series / A. Zygmund // PLMS, 34 1932. - P. 392-400.

49. Sevell W.E. Generalized derivatives and approximationby polinomias / W.E. Sevell // Trans. Amer. Soc. 1937. - Vol. 14, № 1 - P.84-123.

50. Schlafli, Ibid., X (1876). P. 137-142.

51. Weyl H. Btmtrkungen zum begriff des Differential quotienten gebrochener Ordnung / H. Weyl / / Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 1917 - Bd 62, № 1-2.- P.296-302.

52. Young W.H. On series of Bessel functions / W.H. Young // Proc. London Math. Soc. (2), XVIII. 1920. - P. 163-200.