Некоторые вопросы теории ортогональных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК J

СССР /

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЧАТЕМА ГЛЧЕСКИЛ ИНСТИТУТ имени В.А. СТЕК10ВА

На правах рукописи УДК 517.518.36

ШАРАПУДОНОВ ИДРИС ИДРИСОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

( 01.01.01 - математический анализ )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на каЧедре теория "уш<ц&й и .5уш;ц;:окаль-ного анализа 1.:ехз:{[п;о-математ(1ческого "дкуяьтета '/оскоеокого государственного уя и ер с с те га и:,:еии '.".3. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор <*изнко-:лате:.татических наук

Аптека рев А./1.

доктор 'гиз[що-:,гатемат!1ческпх лаук ■.'сколков !'.И.

доктор "изш?о-:.та тематических нау:-; 0,/ет;ш П.Х.

Ведущая организация - /лстлтут мат«матзкл к механики

Уоальокого очдйльния аП ^С'л'

Защита диссертации сост

згоится г.

т ^ час па заседании специализированного Совета Д 002.3G.03 при ордена Ленина и ордена Октябрьское революции •Математическом институте игл. 2. А. Стек дога АЗ' СССР (117333, .".юс::ва, 3-333, ул.Вавилова, 43).

С днссертацнеД ;.га;лю ознакомиться в библиотеке статута.

Авторе Герат разослан " ди" /901г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д 002.38.03_____р

доктор Жизико-математическик

наук А.С.Колесо

ОБЛАЙ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЬ

Актуальность темы. 3 диссертации исследованы асимптотические свойства классических ортогональных многочленов дискретной переменной, даны некоторые их приложения и изучены аппроксимативные свойства сумм Фурье по классическим дискретным ортогональным системам и многочленам Якойи.

Теория ортогональных многочленов дискретном переменной, основы которой были заложены П.Л.Чебышевым, в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Эти приложения непосредственно или опосредованно приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках для ортогональных многочленов. 3 последнее время, например, в прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом, как правило, приходится ревать следующую промежуточную задачу: для заданной функции^ ^(Л) > принадлежащей тому или иному классу и для заданной ортонормиро-ваннои системы ^ требуется оценить отклонение частной суммы 1 *) Ряда ЗуРье Ф/нкции ^ по системе

^| от самой функции. Это очень старая и хорошо известная задача, детально исследованная для многих классических ортонор-мированных систем | ^^ * И тем не менее оставался ( как это ни парадоксально ) ряд классических оргонормированных систем, часто применяющихся на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не исследована. Это - классические ортогональные многочлены дискретной переменной. При этом следует отметить, что именно идея применения ортогональных разложений для обработки дискретной информации привела П.Л.Чебыиева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по классическим

- I -

ортогональным многочленам дискретной переменной оставалась не решеннои явилось отсутствие исследовании по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной.

Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов непрерывной переменной, т.е. многочленов Якоби, Эрмига, lareppa, дискретным аналогом которых являются соответственно ортогональные многочлены Чебывева, Кравчука и Меикснера дискретной переменной, исследовались в работах Дарбу, Стилтьеса, Стек-лова, Бернитеина, Сеге, Эрдейи и других. Следует отметить, что основным инструментом исследования асимптотических свойств многочленов Якоби, Эрмита и Лагерра в их работах явилась теория дифференциальных уравнений второго порядка, которым удовлетворяют эти многочлены. Что же касается классических ортогональных многочленов дискретной переменной, то они удовлетворяют соответствующим разностным уравнениям второго порядка, которые в значительно меньшей степени в сравнении с дифференциальными уравнениями влияют на асимптотическое поведение своих речении. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование асимптотических свойств классических ортогональных многочленов дискретной переменной.

Целью работы являлось исследование асимптотических свойств ортогональных многочленов дискретнои переменной и установление их весовых оценок для последующего использования полученных результатов при исследовании вопросов сходимости частных сумм Фурье по указанным многочленам, а такте в некоторых задачах вычислительной математики, математическом статистики, теории кодирования, регулирования и управления.

Научная новизна работы. Основные результаты и методы их доказательства являются новыми, ti работе

- г -

1) получены асимптотические формулы для классических ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной и, как следствие, установлена неулучшаемая по порядку весовая оценка этих многочленов ;

2) получены асимптотические формулы для многочленов Леякс-

нера;

3) исследованы асимптотические свойства многочленов Кравчука и их нулей;

4) исследованы аппроксимагические свойства сумм Фурье по многочленам Якоби, сумм Фурье-Лагранжа по тригонометрической системе и системе многочленов Чебыиева первого рода, сумм Фурье по ортогональным многочленам Чебьшева дискретной переменней для классов функций, определяемых заданием мажоранты их наилучших приближений многочленами;

5) получены новые приложения ортогональных многочленов дискретной переменной к некоторым вопросам вычислительной математики, математической статистики и теории кодирования.

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы, касающиеся асимптотики ортогональных многочленов могут быть использованы в дальнейпем для исследования аппроксимативных свойств сумм Фурье по этим многочленам для различных классов функций, а также в других вопросах теории аппроксимации.С другой стороны, методы, разработанные в работе для исследования асимптотических свойств классических ортогональных многочленов дискретной переменной на равномерных сетках, в дальнейшем могут быть использованы для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов других типов ( например, многочленов, ортогональных на неравномерных сетках ), а также других специальных функций, часто встречающихся в теоретической физике. Далее, результаты

работы, полученные в шестой главе, посвященной приложениям, могут послужить основой для создания различных пакетов прикладных программ (ППП) по приближенному вычислению несобственных интегралов, решению разностных уравнении, встречавшихся в регулировании и управлении, сглаживанию наблюдений, сжатию дискретнои информации.

На защиту выносятся

1) асимптотические формулы и весовые оценки для ортогональных многочленов Чебыаева дискретной переменной;

2) асимптотические формулы для многочленов Меикснера;

3) асимптотические формулы для многочленов Кравчука и их нулей;

4) аппроксимативные свойства сумм Фурье по некоторым классическим ортогональным системам для классов функции, определенных заданием мажоранты их наилучших приближении.

Основными результатами диссертации являются теоремы 2.7

(глава 2), 3.2, 3.3 (глаза 4.1 (глава 4).

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались ( в период с 1980 по 1990 год ) в Московском государственном университете на семинарах П. I .Ульянова, Е.С.Кашина и АЛ. Олевского по теории функций; Л Л ./льянсва и »¡.К .Потапова по ортогональным и тригонометрическим рядам; Б.С.Каиина и К.И.Осколко-ва по ортогональным рядам; Е.А.Рахманова, А./1.Аптекарева и В.В.Вавилова по избранным вопросам теории функции; С.А.Степанова и В./. Левенштейна по теории кодирования; Н.С.Бахвалова по вычислительной математике.

Были сделаны доклады в Математическом институте им .В .А.Стек-лова: на семинаре по теории функции комплексной переменно»! ( руководитель семинара - А.А.Гончар; 1984, 1990 гг. ); на семинаре

по теории приближения функций ( руководители семинара - С.Б.Стеч-кин, С.А.Теляковсхии; I9B6, 1990 гг.); на семинаре по теории функций ( руководители семинара - Л.Д.Кудрявцев и С.М.Никольский;

1990 г. ).

Были также сделаны доклады в Институте прикладной математики АН СССР им. М.В .Келдыша на семинарах А.Ф.Никифорова, Б.В.Уварова (198% г.) и Н.Н.Ченцова (1990 г.); в Институте проблем передачи информации на семинаре Р.З.Хасьминского (1990 г.). Кроме того по результатам работы двлалиоь доклады:

- на Саратовской зимней школе по теории функций ( 1962. г. );

- на Международной конференции по теории аппроксимации (Варна, 1964 г. );

- на Всесоюзной школе по теории функций ( Ереван, 1967 г. );

- на Воронежской зимней иколе по теории функций и дифференциальным уравнениям (1991 г.).

□убликации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём. Диссертация состоит из введения, вести глав и списка литературы. Основная часть диссертации ( стр. 3 - 290 ) содержит 288 страниц машинописного текста, список использованном литературы состоит из III наименований.

(XUEPiAHKE РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проведенных исследовании, сформулирована цель работы, приводятся основные теоремы, доказанные в диссертации.

Г л а в а I. Некоторые свойства чисел Стирлинга и их обобщение.

В этой короткой главе, носящей вспомогательный характер,

рассмотрены асимптотические свойства чисел вСльк,?) (о<к^т) определяемых с пом о шью следующего равенства

т

При К-0 SCnvjKjV)-sOnr^x.o^-SOn,^ (о^К^гтО - числа Стерлинга первого рода, хорошо известные в комбинаторной теории. Рассмотрены также некоторые свойства чисел Стирлинга второго рода Q"(r,a) . определяемых следующим образом

и-о

Эти результаты используются в главах 2 и 3 при оценке остатков асимптотических формул для ортогональных многочленов Чебьшева и Меикснера дискретной переменной.

Г л а в а 2. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Чебывева дискретнои переменной.

П.Л .Чебыюев ввел конечную последовательность многочленов lytciai3)^^ (р^пбЛМ} * обр^уиших ортонормированную систему на множестве XI= ^ с весом (/\ = const ")

где - гамма-функция. Для определенности будем считать,

что постоянная А выбрана из условия Xf; J "

~ (^ гад

Ортогональность многочленов Тп понимается в следу-

ющем смысле

^Г О r I О сгфк),

Эти многочлены представляют собой дискретный аналог многочленов

ЯкоСи (V) и в частности удовлетворяют разностным урав-

нениям того же типа, что и дифференциальные уравнения, определяющие многочлены Якоби, с заменой диф4еренциального оператора й на разностный оператор Д^Ы-) = -^СЭ-И) -- -^(.ХЛ . Для фор-

мулировки результатов главы 2 нам потребуотся также следующие обозначения:

1/2

-г-

1П + 1) ^ с Т; с*>«)=Ла : I а с*,*),

где

Ч -

Через V- ('О ' как °бычно, обозначим многочлены Лкоби, нормированные условием ^ ( ,) — ( г J а пусть также

Р^ Ш=\К } i, СГ) =

ортонормированные многочлены пкоби.

д главе 2 исследованы асимптотические свойства многочленов Чебышева Т^'^Си Т^^'^Сх, V) • 0 случае целых ¿,ръО для многочленов /' р^р ^ Л'~1) получен полный

асимптотический ряд по параметру д/ , состоящий из конечного числа слагаемых. Следует отметить, что хорошо известные в квантовой

механике коэффициенты Клебиа-Гордана (ККГ) с точностью до весового множителя совпадают со значениями многочленов в точках /7-<| при целых ^ . ЦЬ • Этот факт, ставиии

известным недавно, вызвал особый интерес к вопросу об асимпготи-

Т^Р) л /

ческих свойствах многочленов \ /э:,Ы) с целыми сх и /3 .

Пусть

V

г! (к+;-г)'

^у?^! и У г а

П(к^-г)!

1. а)

¿Чк-Г

о

а)

(*+] < Г

и ( г1 . р> ~ Целые )

где ^С^д) И б'С'О Ю ~ числа Стерлинга первого и второго рода

соответственно, ЗОт,^,^ ((ИК^И!) ~ числа из равенства

р/о/,/ь) и

(I), (_С) - многочлен Якоби. Имеет место

ТЕОРЕМА 2.1. Если Ы ир> - целые неотрицательные числа,

го для произвольного комплексного £

[ИЦИЛн*

- е -

= Л, Л- ^'-"--¡^ '

Г~Ц К-0 4

где са\:1, Ссх+тп-О.

Из теоремы 2.1 можно вывести различные асимптотические формулы для многочлена (зс,/^)» отличающиеся друг от друга числом слагаемых вида Г+П * л+^+Р ( сохраняемых а их главных частях. В частности, в теореме 2.2 (гл.2) для целых У , при 1. получена оценка остаточного члена Л^ ( О - Л/) асимптотической формулы

п^^-У У > ^>гСи__лгж

Ьпы' С*-)-2- ¿~ ¿— а1г+,1-К-;+Ы*/* } г - Г, </-Г N

явно зависящая от всех параметров ^ ,/\/ # »уЗ • Здесь и

всвду в дальнеиием ( если не оговорено противное) речь идет о получении таких оценок остаточных членов асимптотических формул, из которых непосредственно вытекает неулучпаемые по порядку ( когда оценки для многочленов Чебывева ^^Г^^/у/

при ^ и т®х ияч И""* ограничениях на ппу.О , стре-

мясь одновременно к тому, чтобы эти оценки оставались верны при минимальных ограничениях на рост степени VI в зависимости от л/ .

Одним из основных результатов главы 2 является следующее утверждение, которое в сочетании с нижними оценками дня

' ^[ЬЫ^+Цм] (следствие2,3)показывает, что ограничение П-О^ы^ является своего рода "водоразделом" для асимптотического поведения многочленов а следующем смнсле: если К£0.\/лГ (ООО) , то дяяТа^'^^И^лГ] в случае целых Р>> О справедлива такая же весовая оценка, что и для мкогочле-нов Якоби , причем равномерно относительно Кн-¿г

< <Х\[7Г (см. теорему 2.7); если же /1 /л! ^ то это

не так ( . следствие 2.3).

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть о!. - целые неотрицательные числа, Тогда имеет место асимптотическая формула

рпс^>, я

в которой для остаточного члена I,, СИ- ¿пС^ при

1 У о

справедливы следующие оценки

(Здесь и далее через

обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.) ЗАМЕЧАНИЕ Г. Поскольку

то при исследовании асимптотических свойств многочленов Чебывева

достаточно ограничиться случаем или 0^1: , как это сделано в теореме 2.3. Кроме того мож-

но ограничиться случаем, когда оЦ/Ь^ , Аналогичное заме-

чание справедливо и для многочленов

В главе 2 отдельно рассмотрен случай ГХ ~ /3=0 С§А), который наиболее часто встречается в приложениях. В этом случае получены более точные оценки остатков соответствуювих асимптотичес-

гтпС&ЮГл!'!, "7 ких формул для многочленов \п ' а также получе-

на асимптотическая формула для их производных.

Перейдем к рассмотрению произвольных действительных и уз . Задача об исследовании асимптотических своиств многочленов Чебы-

шева Тв случае дробных Л и оказалось супест-венно более трудной, чем в случае целых оЬ иуЗ> .

ТЕОРЕЧА г А. Пусть а > О, 0 и * а /V 0?,

Тогда имеет место следуюиая асимптотическая формула

(лМ).1 ,7- Р'

в которой для остаточного члена справедлива оценка =

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть -/г п^Л/-',

- + ^ /¿"^ Тогда имеет место формула

в которой для остаточного члена справедлива оценка С/4- А С</, )

1А Г. ~ а с//-/;^ ),

Замечание 2. Доказательство теоремы 2.5 основывается на сопоставлении обобщенных гипергеомегрических функций

/¿(гп^п+мр+цр+ы-щ 1) ,

через которые выражаются соответственно многочлены Якоби Р и Чебыпева /д. . Если мы откажемся от условия

' содвр™11!6^ся в условии теоремы 2.5, то, незначительно модифицируя доказательство этой теоремы, нетрудно получить следующую оценку

I /¿^ № I - А )лг) ,

- и -

гДв -(¿П £ й\/лГ , ^ - произвольное комплексное число.С другой стороны, если '■{'(Л/) - целочисленная функция такая, что 1 V / , го для того, чтобы равенство (2) служило при

п^^(Н) асимптотической формулой для его левой части требуется выполнение следующего неравенства:

Если мы потребуем, чтобы такая оценка вытекала из предыдущей, то придем к равенству

1*|>2)= С ( и"1 /2 ) >

из которого выводим П =

К такому же выводу мы придем, если принадлежит фиксированному компакту комплексной плоскости. Отсода мы заключаем, что для медленно растущих ( по сравнению с Ы ) степеней П таких, что , где С[(£'<г>У/М 7 . асимптотическая

формула вида (2) с разномерной оценкой остатка при

/-£/- 0(1) мо:.-..т быть выведена из сопоставления гипергеометри-

- . ГУо'з/3-1

ческих рядов, чери.. ..).ие выражаются многочлены пкоби ¿у^

и Чебыиева '

Теоремы 2.4 и 2.5 позволяют судить об асимптотическом поведении многочлена Чебывева ПРИ Н-у ( N )< С^0~6)М-1) и • В то же время, эти теоремы оставляют открытым вопрос об асимптотическом поведении Т^'^С'ГцЛ/) при X^ 8Ы • ^гвег на этот вопрос при содержится в следующем утверждении.

ТЕ0РЕ1А 2.6. Пусть ,

Тогда имеет место формула (2), в которой для остаточного члена N3 при 1<П ^ а (м-справедлива оценка ( А(Ч Р^а))

Однои из основных проблем теории ортогональных многочленов является проблема В.А.Стеклова. Б широком смысле она охватывает вопросы, связанные с получением верхних и нижних оценок для рассматриваемого семейства ортогональных многочленов и доказательством для них весовых оценок. Хорошо известно, что при изучении аппроксимативных свойств с/мм Фурье по ортогональным многочленам их весовые оценки играет реиающуи роль. Кроме того, задача о весовых оценках для ортогональных многочленов возникает при исследовании вопросов устойчивости вычислительных процессов, в которых эти многочлены участвует. работах Стилтьеса, С.Н.Берн-штеяна, Г.Сеге, А.Эрдейи и других были исчерпывающе исследованы весовые оценки для классических ортогональных многочленов Якоби, Эрмита, Лагерра. Что же касается классических ортогональных многочленов дискретнои переменной, то вопрос об их весовых оценках оставался не исследованным.

Б главе 2 установлена следующая

ТВОРЕНА 2.7. Пусть а, 0, >0, - 1 1 1

Тогда имеет место неравенство

п.

в котором для при произвольных действи-

тельных о1 , справедливы следующие оценки

I) с);

III) hn(_t) * Ac¿) fírtía^'/J^i где A^'P'üi, АггАг^'Р'"'?)' A(.k)~

^сли кроме того Oíd, уЗ - целые, то

iv) ^ Аъ(с*, ptCL) (^иЫо, 1±П£С1А11/2).

Заметим, что из последнего утверждения теоремы 2.7 с учетом того, что j-y-^'l3^^) = . для целых oL,p>>- О

равномерно относительно A oí -V ' / ^ вытекает следующая оценка

tiß тазе 1.

- t i i-О * 1

(Здесь и далее означает, что ^дл*"

С другой стороны, имеет место

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть íf~ ^f(N) - целочисленная

пункция такая, что VÑ"- ^Сл')<л'-!, ff/V) - Sc/V) . ТОГДа ПРИ \ПГ < 11 < 'V^/'/.1; А'~ ¿3, "3,

/V -1

На примере многочленов rTr!°'''(x) \ ' в главе 2 показано ( следствие 2.3 ), что оценка, аналогичная (3), справедлива и для ортонормированкых многочленов ЧеОышева л/) •

Наконец, в случае Гл/</1¿ Л'-1 ) < О имеет

место

_ in _

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть 0< < 1.

Тогда суяествуют констант * > 1} /¡-/¡^р^^о

такие, что

Г л а в а 3. Асимптотические свойства многочленов Меикснера Многочлены Меикснера Шп(Х) - тп\-Х-} /Ь,с) образуют ортогональную систему на множестве П+"• / с весом ( распределение Паскаля )

|>сх">- Г(.х+ри-с^/Спх+пгсрЬ (р<е< и Р> >с?) •

Если считать, что )Пп((, то

■ * Г(]Ъ)

Х671 +

Многочлены Мелкснера находят приложения в различных задачах спектральной теории оценивания, идентификации параметров систем, приближенного вычисления интегралов и в других задачах. Характер большинства из этих приложений таков, что они приводят к вопросу об асимптотических свойствах многочленов Меикснера. В главе 3 диссертации исследованы асимптотические свойства многочленов Меикснера щ и £ Ы>0, к /V )

( Заметим, что многочлены С п-ои,.,,"") образуют орто-

нормириванную систему на множестве | - ... /

с весом ^(//д:« с.^ ) • Введем необходимые обозначения. Пусть а^Ю- гп1П°<к-1,

^ С у 9 (4)

Чк^ --его,,.*)/3- 0

где б- числа Стирлинга второго рода,^)?, у) - числа ) ' 4 из равенства (I), ¿.т ^ э:) - многочлен Лагерра, нормированный ,Ы) , / />1 ) условием ^ ^ ~ ' К"

Из теоремы 3.1, доказанной в главе 3 диссертации вытекает

( равенство (19) из § 2. главы 3 ) следующее равенство - яа"

туральное)

„п1ь/2 ГГСп^ъ) V/2 с]^'1

Заметим, что функция Fp^-^-) (см. (б) ) является суммой слагаемых вида ^с^/л!^^^'^'^ , а функция ^(Р^ - суммой конечного ( зависяиего от р, и ¿ ) числа слагаемых вида Ф^ц^^У+ * f причем функции -f. ¿a.) и ^ ('дг) не зависят от параметра л/ . Поэтому можно ожидать, что если а и /ч/ находятся в определенной зависимости П~П( л/) , то равенство (7) является асимптотическои формулой по параметру /\/ ( при д1->оо ) для его левой части с остаточным членом, равным Rja,^• самым возникает задача об оценке остатка СэО • Поскольку, как хорошо известно, асимптотические свойства многочленов Jareppa i_m (--О существенно зависят от положения точки сс на полуоси LC-,00) , то в силу (4) и (5) естественно ожидать, что поведение остатка Rp^^gt^) на различных частях полуоси Со,ос) окажется также различным. 3 главе 3 ¡ Rp п оце~ нивается несколькими способами в зависимости от расположения точки X на [о, ос) . При этом заметим, что как и при исследовании асимптотических свойств многочленов Чебыиева, ставилась задача установить такие оценки для JRf^p > чтобы они совместно с (7) могли бы служить основой для получения неулуч-ваемых по порядку весовых оценок для многочленов Меякснера Jli^C^-Мп^) при определенных ограничениях на параметры ГУ . Такие оценки для I Rñ г установлены в теоремах 3.2 и 3.3 ( гл. 3 ). Отдельно рассмотрен случай р>~ \ .Б этом случае в главе 3 установлена ( теорема ЗА ) следупиая асимптотическая формула

мгм= С fa ¿¿к» ¿h

в которой для остаточного члена уцс)— Уп(Э(,С,^) справедлива оценка (/-1= АС?, 'О ") Зп3__

с ^ м

при условии, что 0< С * П>С1

'V £ л А7 ¡. У) ~ у

о главе 3 рассмотрены также асимптотические свойства многочленов Чеикснера >Л1п с) в случае дробного /з (теоремы 3 .Ь и 3.6 ). Кроме того доказано, что система функции Леикс-нера натурального аргумента I~¡" (■!>

А С *) )

образуют базис соответствующего пространства ¿^ .

Главам. Асимптотические свойства многочленов Кравчука. Многочлены Кравчука К^^)- А^^ЛлО образуют ортогональную систему на множестве - N с весом ( биномиальное распределение )

Если считать, что старший коэффициент многочлена Ип(:с) равен 1 / Р. [ » то (с * Р, я? < А/*)

эсеЦ*

Интерес к этим многочленам а последнее время возрс в связи с тем, что они находят приложения в теории кодирования. В главе 4 исследуются асимптотические свойства многочленов Кравчука при п = ус

~ / '/2 ПолоЖИМ /7/=> + (Я^ро)

' т ; ах'" ( ^ ~ многочлен Эрмита.

Основной результат главы 4 состоит в следующем.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть 0<р< I , А ^ и пс^ - две положительные постоянные. Тогда равномерно относительно

имеет место равенство £N->00)

Из этой теоремы выводятся весовые оценки ( теорема 4 .2 ) и следствия огь'.:.. 1ыю поведения нулей многочленов

/V /V А/

Пусть ЗС1/Ы ЫУ ОСп ы - нули многочлена Кравчука ^г- нули многочлена Эрмита , расположенные в убывающем порядке: Я^-Х^ >-. < • В главе 4, в частности доказано

СШСЯШЕ 4.2. Пусть ^т , Чы~>°, ^00

1 ^ л ^ Л

Тогда равномерно относительно 15II <^ , 1 :

для наименьшего нуля многочлена Кравчука имеет место равенство

Г л а в а 5. Аппроксимативные свойства сумм ^урье по некоторым ортогональным системам

В главе 5 рассмотрены аппроксимативные свойства сумм Фурье

по некоторым классическим ортогональным системам непрерывной и дискретном переменной. ¿3 частности, используя весовые оценки, полученные в главе 2, исследуются аппроксимативные свойства сумм Фурье по ортогональным многочленам Чебыиева дискретной переменной.

У, ^

Пусть С о л. - пространство - периодических непрерывных

•V - _—

Функций ) с нормой -та.с1^(х1{) ь^С^У-

наилучшее приближение функции ^ тригонометрическими полиномами порядка Ч , ~ частная сумма ряда Фурье по рядк а ч , Й„(р- ¡<п-г ' = /Ь) - ( Ь -г Л

¿я - ¿«ЙпШ'ж ' ^"сЪТ * ' I

- норма оператора в '-2У • ■Явбег установил, что имеет

место неравенство

(6)

причём ¿,7 ^ Р,1(/'-+1) 0>-ч',2,...) . С.А.Теляковский и К .И .Осколков показали, что неравенство (8), будучи точным для многих классов функций, определенных медленно убывающей мажорантой наилучших приближений, становится грубым, если наилучшие приближения убывают быстро. Отсюда возникла задача о нахождении оценки, более точно учитывающей своиства последовател ьности ^ЕЦс^)^ • Подобная задача для сумм Феиера была поставлена и решена С.Б. Стечкиным, для сумм Фурье - К.И.Осколковым, а для сумм Валле-Пуссена - С.Б.Стечкиным и в.Даменом. Пусть /г - класс последовательностей ¿-{¿п} таких, что Г,, . Для через Сп^-СЕ) обозначим класс функции ' Ш1Я кото~

К.И.Осколков доказал, чго

Аналогичная задача возникает для сумм Фурье по другим ортогональным системам, а главе 5 эта задача решена для сумм Фурье по многочленам Якоби, для тригонометрических и алгебраических полиномов наименьшего средне-каадратического отклонения соответственно на равномерной сетке и на системе узлов Чебыше-ва, в частности, для соответствующих интерполяционных полиномов, для дискретных тригонометрических сумм Фурье и для сумм

-г

Фурье по ортогональным многочленам Чебыиева |п схуы)

(^о <>? л/-О дискретной переменной.

Пусть СС-1} 13 _ пространство непрерывных на [_'13 функций с нормой

П^НИсс-и-Г-?10 • >

I

0(| (.-)--I Оц а~,х) - частная сумма порядка п ряда Фурье по многочленам Якоби,

г-^С^О- Ъп , - наилучшее приближение функ-

ции 1 алгебраическими многочленами степени П ,

, - класс непрерывных функции, определенных на

¡}1 /7 и таких, чго ^ . Лмеет мес-

то следующая

ТЕОРЕЧА 5.1. Пусть $ £ С(£) ,

/V С(е>

Тогда'

Теорема 5.1 показывает, что влияние констант Лебега сумм Фурье-Якоби на порядок схо-

димости (Ъп к нуле не ослабевает вместе со скоростью

стремления к нулю последовательности ¿вЬ . Однако она оставляет открытым аналогичный вопрос для II Яп ' : существует ли для заданной последовательности £гс Е функция

и константа А>0 такие, что "^/з//^ >, £п для бесконечного множества номеров П. ? В

главе 5 доказано ( теорема 5.2 ), что существуют функции £ со сколь угодно быстро убывающими наилучшими приближениями Е„С-?) , для которых тем не менее п-с)

для бесконечного числа номеров П .

Пусть .

- тригонометрический полином наименьшего квадратического отклонения в системе точек , т.е реализует минимум суммы /V-/ Л у

к~о

среди всех тригонометрических полиномов порядка И , в частности, - интерполяционный полином, совпадаю-

щий с ^сЬ в точках , где- целая часть

числа # . Другими словами, ¿_п х) - сумма Фурье

порядка П. по тригонометрической системе

N/2-1

а/ ,

' С // - четно ),

или

¿✓х I 'У/Л1

[• ( л/ - нечетно )

гриваеной Положим (,£<£Е)

рассматриваемой как ортогональная система на множестве

Тогда имеет место

ТЮРЬМА 5.3. Равномерно относительно 0<п< N/ справедливы следующие оценки

А се) ^

Аналогичный результат также получен для алгебраических многочленов наименьшего средне-квадратического отклонения в системе узлов Чебышеаа ( теорема 5.4 ).

В теореме 5.3 суммы Фурье - ^ рассмотрены как

линейные операторы, действующие в пространстве . Но с точки зрения теории ортогональных систем естественно рассмотреть

1_п , как линейные операторы, действующие в конечномерных пространствах 25чг » где С-ЫуЧ'мГ ~ нормированное пространство ЧЖ - периодических функций , заданных на дискрет-

ной системе точек

где - натуральное число, ци - любое вещественное число, а котором норма для определяется следующим образом:

) = ^ } • Пусть -наи-

лучшее приближение функции271 тригонометрическими по-

линомами порядка 7П • В главе 5 рассмотрена задача об оценке уклонения функции о' полинома через

(теоремы 5.5 и 5.6). Аналогичная задача решена также для сумм Фурье по ортогональным многочленам Чебыше-ва дискретной переменной ( теорема 5.8).

Г л а в а б. Некоторые приложения классических ортогональных многочленов дискретной переменной.

В заключительной шестой главе диссертации рассмотрены приложения ортогональных многочленов дискретной переменной к некоторым вопросам приближенного вычисления интегралов, оценивания неизвестных распределений вероятности дискретных случайных величин по независимым наблюдениям, сглаживания наблюдении, теории кодирования, а также к решению разностных уравнений. В частности, рассмотрена задача о построении квадратурной формулы вида

<*> оо

А^-Ы^(ъ< ,Д

О ¿-0 '

Известно, что важным свойством квадратурной формулы является её точность для алгебраических многочленов достаточно высокой степени и положительность весов X . В главе 6 показано, что для

6

построения подобных квадратурных формуя могут быть использованы многочлены Мейкснера. Получены ( § 6.1 ) рекуррентные соотношения для вычисления весов таких квадратурных формул. С другой стороны, на практике многочлены Мейкснера применяются для вычисле-

ния приближенных значений коэффициентов Фурье-Лагерра. В главе 6, используя асимптотические формулы, установленные в главе 3, получены оценки для остатков, используемых для этих целей квадратурных формул (§6.2 ).

Далее, в главе 6 рассмотрена задача об оценивании неизвестного распределения вероятности дискретной случайной величины проекционными методами, предложенными впервые Н.Н.Ченцовым. Исполь-эуя асимптотические свойства многочленов Чебыиева 1п < п,м) установленные в главе 2, исследованы ( § 6.3 ) свойства проекционных оценок, построенных на основе этих многочленов.

В главе 6 рассмотрен вопрос о приложении следствия 4.2 к одной задаче из теории кодирования. В работах В.И.Левенштейна

было показано, что задача об оценке сверху в зависимости от мощ-

г V

ности кода кодового расстояния в пространстве Хэмминга Ьт может быть сведена к задаче об асимптотических свойствах наименьшего нуля многочлена Кравчука КргС:х-/Р>лО • С помощью этого результата и е.- ,.■■. 4.2 в главе 6 (предложение 6.6) получена оценка кодового расстояния в пространстве Хэмминга.

Наконец, в главе 6 рассмотрены ( §§ 6.6 и 6.7 ) некоторые вопросы, возникавви'о г:гл практическом использовании многочленов и функций Яейкснера а задачах регулирования, управления, сглаживания наблюдений. В частности, используя базисность системы функций Меикснера в пространстве •¿'о > Дан0 строгое обоснование ме-года решения разностного уравнения, записанного в виде дискретной свертки, основанного на разлоадании встречавшихся в уравнении дискретных функций в ¡.¡., *урье по оргонормированным функциям Меикснера (>'~ О, I,*.«) <

б заклвчении считаю своим долгом отметить, что с января 1989 г. в течении двух лег находился на стажировке при кафедре теории функций и функционального анализа Московского государственного университета. Постановки некоторых задач, рассмотренных в диссертации, принадлежат Б.С.Кашину.

Я глубоко благодарен I1.J.Ульянову и Б.С.Кагану за постоянное внимание, ценные советы и обсуждение результатов.

ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шарапудинов И.И. Функция Лебега частных сумм ряда Фурье по полиномам Хана // Функц. анализ, теория функций и их приложения. Махачкала: Изд-во Даг. гос. ун-та, 1962. с. 132-144.

2. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв. вузов. Математика.1963. * 5. с.85-88.

3. Шарапудинов И.й. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближении. Тр. Саратовской зимней школы (24 ян-варя-5 февраля 1982г.) Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. ч.2. с.150-154.

4. Sharapudinov I.I.Он the best approximation and polynomials of the least quadratic deviationZ/Analyais mathematica,1983. V.9.p.223-234-

5. Шарапудинов И.И. О наилучием приближении и суммах Фурье-Якоби// Матем. заметки. 1983. т.34. V 5. с. 651-661.

6. Sharapudinov I.I.On the Hahn polynomials application for the optimal tabulation of functions

//Конструктивная теория функция. Тр. 4ездунар. конф. по конструктивной теории функций. (27 иая-2июня, 19£4г.). София, 1964. с.762-767.

7. Шарапудинов И,И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв. вузов. Математика. 1965. I 5.с.78-80.

8. Шарапудиноз Л.И. " прнг.е :з'!,м многочленов Мелксне^-а к приближенному вычислению интегралов // Язв. вузов. Математика, 1986. »2. с.80-82.

9. Шарапудинов И.И. 0 наилучшем приближен,ш дискретных функций и дискретных суммах Фурье // Тезисы докл. Всесоюзн. школы по теории функций ( 12-22 октября 1967 г.). Ереван, 1987. с.105.

Ю.Sharapudinov I.I.An Asymptotic formula Having no Remainder Terra for the Orthogonal Hahn Polynomials of Discrete Variable // Mathematica Bolkanica,Hew Seris. 1988. V. 2. Разе. 4. p. 3H-318.

11. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства полиномов Кравчука// ¡Чатем, заметки. 1988. т.44. )f 2. с.бК-693.

12. Шарапудинов И.Л. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем. сборник. 1989. т. 180. № 9. с. 1259-1277.

13. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства ортогональных многочленов Меикснера// Латема. заметки. 1990. т.47. dun. 3, с.135-137.

14. Шарапудинов й.И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная Математика. 1990. г.2, К 2 с.33-44.

15. Шарапудинов И.И. К асимптотическому поведение ортогональных многочленов Чебывева дискретной переменной // Матем. заметки, 1990, г. 46, Вы п. 6, с.150-152.

16. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебы-вева-Хана // Матем. сборник. 1991. т. 182 * 3

17. Шарапудинои И.И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебывева дискретного переменного. М., 190). Дел. в ВИН ЛГИ » 3137-80. 44с.

18. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства многочленов Иеикс-нера и некоторые их приложения М., 1983. Деп. в ВИНИТИ > 143383. 29с.

19. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана. И., 1983. Деп. в ВИНИТИ * 3508-62 . 74 с.

В печать 03.04.91 Изд.й 24п Формат 60x84/16 Тираж 10П экз. Уч. -изд. л. х,17 Печ. л.1,75

Размножено в ЦНИИНТИКПК

Заказ К отпечатано в НОРМ на 30 листа! в экземпляра*