Предклассические ортогональные многочлены и ортогональные на полуоси по симметричному весу дробно-рациональные функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Предклассические ортогональные многочлены.

§ 1. Дифференциально-возвратные уравнения для ортогональных многочленов.

§2. Многочлены, ортогональные на полуоси по весу ха Р.

§3. Многочлены, ортогональные на (—оо, +оо)

§ 4. Максимизация некоторых определителей, встречающихся в теории планирования эксперимента.

Глава II. Многочлены и дробно-рациональные функции, ортогональные на полуоси по симметричному весу.

§ 1. Симметричная на полуоси весовая функция.

§2. Многочлены, ортогональные на полуоси по симметричному весу.

§3. Ортогональные на полуоси по симметричному весу дробно-рациональные функции.

§ 4. Ортогональные на полуоси симметричные дробно-рациональные функции.

§ 5. Свойства нулей ортогональных на полуоси симметричных дробно-рациональных функций.

Ортогональные многочлены применяются в теории интерполирования [9, 22, 25] и квадратурных формул [18, 22], при решении задач математической физики и квантовой механики [28, 31], в теории планирования эксперимента [14, 26], в теории антенн, в проекционных методах решения дифференциальных уравнений и в других вопросах.

Начиная с работы Лежандра (1785 г.) о притяжении сфероидов и форме планет и работы К. Гаусса о механических квадратурах (1813 г.), в которых появились первые ортогональные многочлены (многочлены Лежандра), ортогональным многочленам посвящены сотни работ. Такой огромный интерес к теории ортогональных многочленов объясняется простотой и широкими возможностями их применения как в самой математике, так и в других науках.

Теории ортогональных многочленов посвящены монографии [27, 28], обзорные статьи [8, 29] и отдельные главы монографий [18, 22].

Источниками получения ортогональных многочленов являются решение задач квантовой механики [23, 28], непрерывных и дискретных граничных задач [1], решение экстремальных задач, а также непрерывные дроби [12], аппроксимации Паде [3], теория представлений групп

7].

В первой главе статьи [20] приведены результаты о дифференциальных уравнениях четвертого, шестого и восьмого порядков для ортогональных многочленов, определяемых весовыми функциями, которые содержат функцию <5(ж). В [13] показано, что многочлены, ортогональные на (0, +оо) по весу h(x) = хае~х + N5(x), удовлетворяют дифференциальному уравнению оо n Y, 4°° (х)у(к) - ху" - (1 + " - х)у' - пу = 4 где а ^ 0, N ^ О, а коэффициенты (ж) определяются некоторыми рекуррентными соотношениями.

В зависимости от весовой функции ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений или дифференциально-возвратных уравнений.

В настоящей диссертации введены в рассмотрение весовые функции, ортогональные многочлены, родственные с классическими, и системы ортогональных дробно -рациональных функций.

В первой главе мы вводим в рассмотрение две конечные системы многочленов:

1) {Ln(x-,t, а, (3)}™-.о — система многочленов, ортогональных на пох \

1 + — J при а > — 1, /? > 0, £ > 0, 2т ^ [(5 — а — 1];

2) {Hn(x;t,Р)}™= о — система многочленов, ортогональных по всей этих систем обладают свойствами, аналогичными свойствам классических ортогональных многочленов, а также где Ln(x\a) и Нп(х) —соответственно многочлены Чебышева-Лагерра и Чебышева-Эрмита. Поэтому они названы предклассическими ортогональными многочленами.

Для широкого семейства ортогональных многочленов, в том числе и для многочленов Якоби, В. П. Коноплев [15, 16] получил дифференциально -возвратное уравнение. Мы в § 1 показываем, что имеет место дифференциально-возвратное уравнение, решениями которого являются многочлены, рассмотренные В. П. Коноплевым, а также все классические и предклассические многочлены. При этом упрощены условия и доказательство теоремы В. П. Коноплева.

Пусть А(х) — многочлен степени q + 1, В(х) — неотрицательный на (а, Ъ) многочлен степени + 2, a h(x) —неотрицательная на (а, 6) функция, удовлетворяющие условиям

Многочлены t—>+оо lim Ln(x-,t,a,t) = Ln(x-,a), lim Hn(x]t,t) = Hn(x),

- 5 а) существуют степенные моменты ь

К-['К**, ,-М,.,*; а

Л'(яг) А(х) b) c) h(x) В{х)' lim h(x)B(x) = lim h(x)B(x) = 0. x—>a+0 x—ь-b—O

Для ортогональных на (a, b) по весу h(х) многочленов системы {PmMKUo при 2п ^ n имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если h(x) удовлетворяет условиям а)-с), то существует такой многочлен С{х\п) степени г = тах{р, q} и такие коэффициенты ai, «25 • • • 5 «г 5 что ортогональный многочлен Рп(х) удовлетворяет дифференциально-возвратному уравнению г

В{х)К(х) + (А(х) + ВЧх))Р*п(х) - C(x]n)pn(x) = Y,<*kPn-k(x). k=1

Этому уравнению удовлетворяют классические и предклассические ортогональные многочлены при г — 0 и соответствующих А(х) и В(х), определяющих весовую функцию h(x).

При изучении свойств предклассических ортогональных многочленов мы воспользовались следующей теоремой и ее следствием.

Теорема 2. Если h(x) на (a, b) удовлетворяет уравнению Пирсона

Nix) А (ж)

ЛЩ = ~Щх)' А(х) =p0+pix, В(х) = q0 + q1x + q2x2 и предельным соотношениям lim h(x)Bs+1(x) = lim h(x)Bs+1(x) = 0, x—>a+0 x—>b—0 то ортогональный на (a,b) по весу Bs(x)h(x) многочлен U = Qm(x) степени m удовлетворяет дифференциальному уравнению

B(x)U" + (A(x) + (s + 1 )B\x))U' = 7 msU, где 7ms = m((m + 2s + l)g2 + Pi) •

1)

- 6

Следствие. Если {Pn(x)}™=Q —система, ортогональных на (а,Ь) по весу h(x) многочленов, то система {Pis\x)}™=s ортогональна на (а, Ъ) по весу Bs(x)h(x).

Основные результаты § 2, полученные для предклассических многочленов Ln(x\ t,a,(3) (n = 0,1,., га), сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Если а >-1, f > 0, ^ > 0 и 2m < N(a,/3) = [/3 - a - 1], то

1) существует система {Ln(x; t, а, /3)}™0 многочленов, ортогональх \

1 Н—) >

2) многочлен у = Ln(x; а, /3) удовлетворяет дифференциальному уравнению

X \ / X \ 71

1 + у" + (а + 1 + (а - 0 + 2)-J j/ - -(п + а - /3 + - 0;

3) для стандартизованного многочлена Ln(x; £, а, /3) имеет место формула Родрига i-- (1 + f)'£~n (1 + fГ);

4)многочлен Ln(x]t,а,/3) выражается через гипергеометрическую функцию:

Ln (я; а, /3) - (a+l)nF (-n, n - 0 + a + l,a + l;-j) ; nl(n - /3 + a + l)n V t/

5) имеет место интегральное представление h +

J- (Р - w) J о где Ln(x\ а) —многочлен Чебышева-Лагерра;

6) имеет место трехчленное рекуррентное соотношение и формула Кристоффеля-Дарбу.

Следует отметить, что в 1)-4) и 6) можно перейти к пределу при (3 = t —у +оо. В результате получим соответствующие результаты для многочленов Чебышева-Лагерра.

- 7

Систему многочленов, ортогональных на (—оо, +оо) по весу hix) = f 1 + — j , мы рассматриваем в § 3.

Основные результаты сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Если t > 0, (3 > 0 и 2т = N(/3) = [2(3 - 1], то

1) существует система многочленов {Нп{х\ t, /?)}™=0, ортогональных на (—оо, +оо) по весу ( 1 + — 1 ;

2) многочлен у = Hn(x]t,(3) удовлетворяет дифференциальному уравнению х + т) у"+ 2(1" ЙТу' - 1{п ~2/3 + 1)у = 0;

3) для стандартизованного многочлена Hn(x]t,(3) имеет место формула Родрига

2\Р лп / х2\п~13

Hn(x;t,0) = (-1)" + у) + t

4)многочлен Hn (х; t, (3) выражается через гипергеометрическую функцию:

Hn{X]t,(3)= (/3 — n)nF n,n — 2/3 + 1,1 — /3;

5) имеет место интегральное представление i + ts

JS0

Hn(x;tJ) = 2U +у) щ^т / e~^yz^~1Hn{xz)dz, О где Нп (х) — многочлен Чебышева-Эрмита;

6) имеет место трехчленное рекуррентное соотношение и формула Кристоффеля-Дарбу.

Переход к пределу в Hn(x;t,{3), а также в 1)-4) и 6) из теоремы 3 при (3 = t —> +00 приводит к многочленам Нп{х) Чебышева-Эрмита и соответствующим их свойствам.

- 8

71 — 1

Пусть fj(x) непрерывна на Е = (а,Ь) или [а, Ь], а а>(ж) непрерывна и неотрицательна на i?. Необходимость оптимизации квадрата определителя матрицы м(о= V^iifAxi) i,j=о где Жг G Е, £ — (xo,xi,. ,xn-i), возникает в теории планирования эксперимента. Точка £о — (ао? «1, • ■ ■, an-i) > для которой max(detM(£))2 = (detM(£0))2, называется оптимальным планом эксперимента.

Пользуясь свойствами а)-с) весовой функции h(x), в §4 мы показываем, что нули классических многочленов являются оптимальными планами эксперимента. Более того, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Если h(x),A(x) и В(х) удовлетворяют условиям а)-с), то точки хо, xi,., xn-i из (a, 6), которые максимизируют функцию . п-1 \2 det fh(xi)Bs+l(xi)x п-1 ' i,j=Oy

2) являются нулями многочлена f(x) степени п, удовлетворяющего дифференциальному уравнению

B(x)f"(x) + (А(х) + (8 + 1)В'(®)) /'(*) = 7n.(s)/(s), где 7ns (ж) — многочлен степени г = max {р, .

Следствие. Если А{х) = ро + pix, В{х) = qo + + (fca?2 л выполнены условия а)-с), то многочлен f(x), нули которого максимизируют функцию (2), удовлетворяет дифференциальному уравнению

B(x)f"(x) + (А(х) + (s + 1 )В'(х)) f'(x) = 7nsf(x), (3) где 7ns = n((n + 2s + l)q2 +pi).

Уравнение (3) совпадает с уравнением (1) для ортогонального на (а,Ь) по весу Bs(x)h(x) многочлена степени п. Это означает, что нули классических и предклассических ортогональных многочленов и их производных образуют оптимальные планы.

- 9

Во второй главе мы рассматриваем свойства трех ортогональных на полуоси по симметричному весу — систем функций. х

В первом параграфе вводим новую функцию оо

7(®)= J e-t-h^dt, о как решение разностного уравнения ху(х) = у(х + 1) — j(x — 1), к которому сводится решение одной геометрической задачи. Свойства симметричной весовой функции h(x) = -е~х~* , же(0,+оо) х и функции 7(ж) нашли свое отражение в свойствах всех трех систем, которые рассмотрены в §§ 2-5.

Во втором параграфе, пользуясь тем, что симметричная весовая функция, многочлены А{х) — 1 — х — х2, В(х) = х2 и интервал (0,+оо) удовлетворяют условиям теоремы 1 гл. I, для ортонормированных на полуоси по симметричному весу многочленов Рп(х) и Pni(x), мы получили дифференциально-возвратное уравнение х2Р^(х) + (1 + х- х2)Р'п{х) - (п2 -пх + тп)Рп(х) = aPn-i(x), коэффициенты тп и а могут быть найдены, сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в обеих его частях.

В третьем параграфе мы вводим в рассмотрение систему ж), Аг (ж), В г (х),., Ап (х) ,Вп(х),. (4) ортонормированных на (0,-Ьоо) по симметричному весу — дробно

СО

-рациональных функций п п

Ап(х)= ]Г акхк,Вп(х) = hxk. к=—тг+1 к=—п

- 10

Для системы дробно-рациональных функций

Р0{х), Pi (ж), Qx(®),., Рп{х), Qn(x),., (5) где п п

Рп(х) = РкХк, Рпф 0; Qn(x)= £ 9-тат^О, к=—га+1 к——п справедлива следующая лемма, которая неоднократно применяется при изучении свойств системы (4).

Лемма. Любую дробно -рациональную функцию п т

Ф) = £о + + Чтф 0,

5 = 1 8 = 1 единственным образом можно выразить через функции системы (5), то есть г ф) = с0 + ^ckPk(x) + dkQk(x), k=1 где г = max{m,п} и dr = 0 при г = n, п ф m.

Под старшим коэффициентом дробно -рациональной функции та ckxk мы понимаем сш ф 0 или сп ф 0 соответственно при m ^ п k= — m или m < п.

Имеет место следующая теорема существования и единственности ортонормированной системы дробно -рациональных функций.

Теорема 1. Существует единственная ортонормированная на (0, -j-oo) по симметричному весу система дробно-рациональных функх ций {Aq {х) , Ап (ж), Вп (ж) с положительными старшими коэффициентами.

Пусть Н™ — множество дробно -рациональных функций вида п

У^ ckxk, а Н^ — множество функций из Н^ со старшим коэффициk=—m ентом, равным единице.

Для системы (4) имеет место критерий ортогональности.

- 11

Теорема 2. Для того, чтобы функции системы (4) были ортогональны на (0,+оо) по симметричному весу h(x) = — е~х~* , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия X оо оо

J h(x)An(x)(p(x)dx = 0, J h(x)Bn(x)^(x)dx = 0 о о для любых функций (р{х) и ф(х) соответственно из H™Z\ и .

Теорема 3. Минимум интеграла оо

J = / —е х *\Qmn{x)\2dx на множестве функций Н^ достигается тогда и только тогда, когда 1 1

Qmn(x) = —An(x), m < n; Qmn(x) = —Bm(x), m ^ n; n Tm причем этот минимум равен fi~2 или т~2 соответственно, где /in и тто — старшие коэффициенты ортонормированных функций Ап(х) и Вт(х).

Рекуррентные соотношения и формулы Кристоффеля-Дарбу системы (4), ради удобства и упрощения доказательств, выражены через вектор-функции системы {Рп(ж)}^0, гДе

Ро(х) =

А0(х) 0 Рп(х) =

Лп(х) Вп(х)

Получены следующие рекуррентные соотношения xPn(x) = XnPn+i(x) + anPn(x) + \'nPn-i(x), Pn(x) Pn + 1 dnPn x

6) (7) где коэффициентами являются следующие матрицы оо +оо

Xn = J h(x)xPn(x)Pn±i(xydx, an = J h{x)xPn{x)Pn{x)'dx,

- 12 оо оо

Cn = J h(x)^Pn(x)Pn+i(x)'dx, dn= J h(x)^Pn(x)Pn(x)'dx о о штрих означает транспонирование).

С помощью рекуррентных соотношений (6) доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Имеет место формула Кристоффеля-Дарбу х - t)Kn(x,t) = Pn(tyХпрп+1(х) - Рп(х)'XnPn+i(t), где те те

Kn(x,t) = ^Рк(*УРк(х) = A0(t)A0(x) + + Bk(t)Bk(x). k=0 k=1

Аналогичная формула получена с помощью соотношений (7): х t

Kn{x,t) = Pn{t)'cnPn+1{x) - Pn{x)'cnPn+1(t).

Каждое из соотношений (6) и (7) распадается на два при переходе от функций Рп (х) к Ап (х) и Вп (ж). Они использованы при доказательстве теорем о нулях функций системы (4).

Теорема 5. Дробно-рациональные функции Ап(х) и Вп{х) на (0, +оо) имеют соответственно 2п — 1 и 2п различных нулей.

Теорема 6. Дробно-рациональные функции An+i(x) и Bn+i(x) не могут иметь общих нулей.

Теорема Т. При любом натуральном п ортогональные дробно- рациональные функции Вп(х) и Ап+\(х) не имеют общих нулей.

В § 4 мы строим новую систему ортогональных на (0, +оо) по симметричному весу функций

С0(х), С\ (ж), Si{x), .1Cn(x),Sn(x)1.

8) и доказываем ряд свойств этой системы.

- 13

Обозначим через Мп и Nn множества функций ip(x) и ф(х) из , обладающих соответственно свойствами ip (— | = (fix) и ф (— J = xj \xj

-ф(х).

Функции Сп (х) и Sn (х) образуем с помощью Ап (ж) следующим образом

Сп{х) = + An , Sn{x) = Т)п (лп(а;) - Ап ^^ , где £„ и г]п определяются из условий нормировки.

Легко заметить, что Сп(х) и Sn(x) можно представить в виде

Сп(х) = i (рп{х) +Рп , Sn(x) = i [Qn(x)-Qn Q)) , где Рп(х) и Qn(x) — алгебраические многочлены, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты функции Ап(х).

Перечислим свойства системы симметричных дробно -рациональных функций {С0(х),Сп(

1) Сп(х) g мп, sn{x)eNn.

-(-оо +оо

2) / -е~х~* Cn(x)Cm(x)dx = 5nm, / -е~х~* Sn(x)Sm(x)dx = 5nm, J х J x oo /

-e ж *Cn(x)Sm(x)dx = 0. X

3) Функции Cn(x) и Sn(x) имеют более простые представления через моменты весовой функции, чем функции Ап(х) и Вп(х).

4) Следует отметить, что функции систем {Сп(х), Рк(х)}™к=0 {Sn(x),Qk(x)}^k=1 обладают свойством биортогональности, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Каждая из систем функций

Сп(х), Pk(x)}™k=Q, {5n(х), Qk(х)}~fc=1 является биортогональной и нормированной на (0, +оо) по симметричному весу

14

5) Теорема 9. Любые три соседние функции систем {Сп(ж)}^=0 и {<5гг(я0}^1 связаны следующими рекуррентными соотношениями Ck{x) = akCk+i(x) + akCk(x) + ak-iCk-i(x), Sk(x) = bkCk+i(x) + (3kSk(x) + bk-iCk-i{x), где ak bk 2 oo / h(x)x

Ck{x)Ck+i(x) Sk(x)Sk+i(x) dx,

Pk 2 oo

J h{x)x

Sl{x)\ dx.

6) Теорема 10. Для функций систем {Сп(:с)}^0 и {5гг(ж)}^1 имеют место формулы Кристоффеля-Дарбу х

1 1 \ п ~ - t ~ 7 E^W^W = (Cn+i(x)Cn(t) - Cn+1(t)Cn(x)) , 00 с / . k=о

1 1\ п + - - 1 - 7 Е & (*№(*) = ъп (Sn+1(x)Sn(t) - Sn+i(t)Sn(x)). х k=i

7) По аналогии с квазиортогональными многочленами, сыгравшими важную роль в решении проблемы моментов, введем квазиортогональные дробно -рациональные функции

Cn+i{x]r) = Cn+i(x) - тСп(х), 5n+i(^;r) = Sn+i(x) ~rSn(x).

Тогда формулы, приведенные в предыдущем пункте, можно представить в виде 1 1\ п x + --t--)J2Ck{x)Ck(t)=an (Сп+1(х-т)Сп(€) - Cn+1{t-r)Cn{x)), Х ' k=О X

1 1\ П - -1 - - = bn №»+1(®;г)5„(*) - Sn+1(t-,r)Sn(x)). х k=1

8) Нового типа рекурентные соотношения дает следующая теорема.

- 15

Теорема 11. Для функций систем {Сп(ж)}^=0 и {5'гг(ж)}^=1 справедливы следующие рекуррентные соотношения xS'n{x) =pPCn(x) +pi:l1Cn-1(x), xC'n{x) = q^Sn(x) + fi^n-lW, где п)

Рк п)

L4k оо у Мф

S'n(x)Ck(x) C'n{x)sk(x) dx, к = n — l,n.

Интегрированием по частям от этих формул для коэффициентов можно перейти к формулам без производных.

Пользуясь этими соотношениями, мы получим две формулы типа Кристоффеля-Дарбу:

Ck(x)Ck(t) = (xS'n+1(x)Cn{t) - tS'n+1(t)Cn(x)), l--П fc=0 n

Pn+1 Ьг

J2Sk(x)Sk(t) = -A- (xC'n+1(x)Sn(t)-tC'n+1(t)Sn(x))

V ж tJ k=i Qn+1

9) Функции одной из систем {Cn(x)}^L0 и {5'тг(ж)}^=1 связаны рекуррентными соотношениями с функциями другой системы.

Теорема 12. Для функций систем {Cn{x)}^L0 и справедливы следующие рекуррентные соотношения

- Sn{x) = XnCn+i(x) + gnCn(x) + /in-iCn-i(a;),

- Cn(x) = nnSn+i(x) + gnSn{x) + \niSn-i(x), где

00 +oo

An = 2 J h(x)xSn(x)Cn+i(x)dx, /in = 2 J h(x)xSn+i(x)Cn(x)dx, oo gn=2 J h(x)xSn(x)Cn(x)dx.

- 16

Рекуррентные формулы и формулы Кристоффеля-Дарбу, приведенные выше, использованы в § 5 при изучении следующих свойств нулей ортогональных и квазиортогональных симметричных дробно- рациональных функций.

1. Для всех функций Sn(x) точки ±1 являются нулями.

2. Если xq является нулем одной из функций Сп(х), Sn(x), Сп+\{х\ т),

5n+i(ar;r), то — является нулем той же функции. х0

3. Дробно-рациональные функции Сп+\{х\т) и Сп(х) не имеют общих нулей, а функции 5^+1 (ж; т) и Sn(x) не имеют общих нулей, отличных от ±1.

4. Функции Сп+\(х) и Сп(х) не имеют общих нулей, а функции Sn+i(x) и Sn(x) не имеют общих нулей, отличных от 1 и —1.

5. Сп(х) и Sn(x) (п = 1,2,.) на интервале ортогональности имеют соответственно 2п и 2п — 1 различных нулей.

6. Между двумя соседними нулями функции Cn+i(x) находится один нуль функции Сп (ж), а между двумя соседними нулями функции 5п+1 (ж) находится один нуль функции Sn (х).

7. При изучении распределения нулей функции Сп+\(х; т) мы воспользовались неравенствами а < (3 < 0, где

Сп+1

-1) О Сга+1

1) с„(-1) ' Р С„( 1) и свойством: в зависимости от того в каком из интервалов (—оо, (3) или [/3, +оо) находится параметр г, число нулей функции Cn+i(x; т) равно соответственно 2п или 2п + 2.

8) Возможны следующие способы распределения нулей функции Cn+i (ж; г относительно нулей функций Сп^\{х) и Сп(х).

1) При т > (3 все нули функции Сп+\(х; т) лежат на (0, +оо). Пусть Zi (г = 1, п + 1), yi (г = 1, n), xi {i = 1, n + 1) — нули соответственно функций Сп+\(х] т), Сп(х), Cn+i(ж), принадлежащие интервалу (0,1). Тогда возможны три случая: а) при г > О

Z! < хг < у! < z2 <•■•< уп < zn+1 < хп+1 < 1;

17 б) при (3 < т < О Zi < У1 < х2 < • • • < Уп < хп+1 < zn+1 < 1; в) при т = О имеем равенства Zk = Хк и следующий порядок перемежаемости нулей:

2) При т < а нули распределяются следующим образом: < -1 < z0 < 0 < xi < zi < ух < • ■ • < хп < zn < уп < 1, zo где Zk (к = 0,п) нули функции Сп+г(х]т) такие, что \zk\ < 13) При а < т < (3 функция Cn+i(x-,r) на (—оо,0) не имеет нулей, а на (0,1) имеет п нулей. Порядок расположения нулей следующий Zl < У1 < • • ' < хп < Zn < Уп < %п+1 < 14) При т = а функция Сп+\(х\ т) имеет двукратный нуль х = — 1 и п различных нулей на (0,1). Распределены они аналогично случаю 3).

5) При т = (3 функция Cn+i(x;r) на (0,1) имеет п различных нулей zi, 22, • • •, zn и один двукратный нуль zn+\ = 1, порядок их расположения относительно нулей функции Cn+i(x) и Сп(х) следующий fn(x) g Мп, формула Кристоффеля-Дарбу для функций системы {Sk{x)}^=1 преобразована в формулу для функций системы {(/9n(x)}^L0 . Тем самым порядок распределения нулей функции Sn+i(x]r) относительно нулей функции 5n+i(a?) и Sn(x) получается таким же путем, как для функций Сп+\(х\т), Сп+1(я?), Сп(х).

При т > (3 функция Cn+i(x; т) имеет на (0,1) различные нули zq , z\,., zn , которые удовлетворяют соотношениям zi < У1 < Z2 < • • ■ < Уп < zn+1 < 1.

31 < Zi < yi < Х2 < • • • < Уп < Хп+1 < zn+lп = 0,1,.), где п п y^Ck(zi)Ck{zj) = Sij ^ C%(zi).

19

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. -М.: Мир, 1968.

2. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. -М.: Физматгиз, 1961.

3. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. -М.: Мир, 1986.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. -М.: Наука, 1973.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1974.

6. Bochner S. Uber. Sturm-Liouvillesche polinom-sisteme // Math. Zeitschr -V. 29. -1929. -p. 730-736.

7. Виленкин H. Я. Специальные функции и теория представления групп. -М.: Наука, 1965.

8. Геронимус Я. Л. Дополнение к книге Г. Сегё Ортогональные многочлены.

9. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. -М-Л.: Гостехиздат, 1934.

10. Darboux G. Memoire sur 1'approximation des fonctions de tres grands nombres // Jorn. de Math. (3), 4(1878), 5-56; 377-416.

11. Jackson D. Formal properties of orthogonal polynomials in two variables // Duke Math. Journ. -V. 2. -1936. -p. 423-434.

12. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. -М.: Мир, 1985.

13. Everitt W. N., Littlejohn L. L., Wellmon R. The symmetric form of the Koekoeks' Laguere type differential equation //J. Comput and Appl. Math. -57, № 1-2. -1995, -p. 115-121.

14. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. -М.: Наука, 1976.

15. Коноплёв В. П. Дифференциально-возвратные уравнения систем ортгональных многочленов в общем случае весовых функций с особенностями алгебраического вида // Волжск, мат. сб., 2, 1964, 70-73.- 94

16. Коноплёв В. П. Характеристические свойства систем ортогональных многочленов // Уч. зап. Саратовск. пед. ин-та. Некоторые вопросы математ. анализа, 46, 1968, 18-26.

17. Christoffel Е. В. Ueber die Gaussische Quadratur und Veralgemeinerung dersellen // Journ. ftir Math. 55, 1858, 61-82.

18. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. -М.: Наука, 1967.

19. Кузнецов Д. С. Специальные функции. -М.: Высшая школа, 1965.

20. Littlejohn L. L. Orthogonal polynomial solutions to ordinary and partial differential equations. Orthogonal polynomials and their application (Sego via, 1986). Lectures Notes in Math., vol. 1329, Springer, Berlin, New Jork, 1988, pp. 98-124.

21. Марков А. А. О корнях некоторых уравнений. I, II. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля. -M.-JL: Гостехиздат, 1948, 34-50.

22. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. -M.-JL: Гостехиздат, 1949.

23. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1978.

24. Никишин Е. М., Сорокин В. Н. Рациональные аппроксимация и ортогональность. -М.: Наука, 1988.

25. Привалов А. А. Теория интерполирования функций. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990, кн. 1, 2.

26. Пытьев Ю. П. Методы анализа и интерпретации экспермента. -М.: Изд-во МГУ, 1990.

27. Сегё Г. Ортогональные многочлены. -М.: Физматгиз, 1962.

28. Суетин П. К. Классические ортгональные многочлены. -2-е изд. -М.: Наука, 1979.

29. Суетин П. К. Проблема В. А. Стеклова в теории ортогональных многочленов. В сб. "Математический анализ, т. 15" (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР). -М., 1977, 5-82.

30. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. -М.: Наука, 1988.- 95

31. Суетин П. К. Классические ортональные многочлены в математической физике / / Интегральные преобразования и специальные функции. -1, № 3, 1998, с. 13-16.

32. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. Пер. с англ. -М.: Мир, 1984.

33. Хаиров А. Р. Ортогональные системы функций и обобщенная формула Кристоффеля-Дарбу (диссертация). -М.: Математический институт АН СССР им. В. А. Стеклова, 1991.

34. Хаиров Р. А. Об одной последовательности многочленов // Функционально -дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский научно-тематический сборник. Вып. 2. -Махачкала, ИПЦ ДГУ, 1994, с. 117-120.

35. Хаиров Р. А. Предклассическиеортогональные многочлены //Научно техническая конференция профессорско- преподавательского научного и инженерно-технического состава. -М.: МТУСИ. 1996,

36. Хаиров Р. А. Системы функций ортогональных на полуоси с симметричным весом / / Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. Вып. 4. -Махачкала, ИПЦ ДГУ, 1999, с. 75-80.

37. Хаиров Р. А. О нулях двух ортогональных систем рациональных функций // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. Вып. 4. -Махачкала, ИПЦ ДГУ, 1999, с. 80-85.

38. Хаиров Р. А. О двух конечных системах многочленов, родственных с классическими / / Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. -Воронеж. ВГУ, 2001, с. 272-273.

39. Хаиров Р. А. Максимизация некоторых определителей, встречающихся в теории планирования эксперимента / / Пятая Казанская летняя школа конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы".-Казань, 2001, с. 232-233.- 96

40. Хаиров Р. А. Ортогональные системы дробно-рациональных функ ций с симметричным весом на полуоси / / Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. -Тверь, Тверской госуниверситет, 2000, с. 115-122.