О логарифмической асимптотике многочленов, ортогональных на вещественной оси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОД

г 1 МССКОЗСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫМ УНИВЕРСИТЕТ

- ь С1П имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УПК 517.5

БУЯРОВ Владимир Семенович

О ЛОГАРЖШЧВСКОЙ АСИМПТОТИКЕ МНОГОЧЛЕНОВ, ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ.

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре теория функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.З.Ломоносова.

Научний руководитель - доктор физико-математических наук

Е.А.Рахманов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А.К.Алтекарэв - кандидат физико-математических наук Б.Н.Сорокин

Ведущая организация - Нижегородский государственный

университет

Защита диссертации состоится " 15 " октября 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Е.053.05.04 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 эта~).

Автореферат разослан " 15 " сентября 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета 5.053.05.04 при ШТ

д.ф.-м.н., профессор Т.П.Лукашенко

I.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Гетоды и результаты, связанные с изучением асимптотическс-го поведения ортогональных многочленов, составляют одно из направлений общей теории ортогональных многочленов. Асимптотические формулы и оценки лекат з основе многих приложений ортогональных многочленов к различным вопросам анализа, теории аппроксимаций, теории вероятностей, математической физики и других разделов математики. Решение открытых проблем в этом направления является актуальной научней задачей,. ванной как дгл разви- . тяя самой теории, так и в связи с прялокэняямя.

Наиболее полно изучены асимптотические свойства классических ортогональных многочленов - многочленов Якоби, Чебыщева -Лагерра я Чебышеза - Зрмита. Развитые для их исследования методы основываются на некоторых специальных свойствах этих многочленов, связанных со спецификой весовых функций (явные формулы, дифференциальные уравнения, производящие функции, интегральные представления и др.).

Основные результаты об асимптотике общих ортогональных многочленов, для случая ортогональности на конечном отрезке вещественной оси, получены в работах Г.Сеге и С.Н.Бернштейна 20-30-ых годов. Созданные в этих работах теоретико-функциональные и аппроксимативные методы получили дальнейшее развитие з последующие годы. Они позволили достаточно полно исследовать асимптотические свойства ортогональных (и более общих экстремальных) многочленов, связанных с компактами в комплексной плоскости.

Общий подход к исследованию асимптотики многочленов, ортогональных на неограниченных промежутках (на всей вещественной

ося пли полуоси) был развит з работах Е.А.Рахманова в начале 80-ых годов. Основные результата были получены в предположении асимптотической четности и зыпгклости бункции -f~ ( kC71 )

k(x)

- весовая функция) и естественном дополнительном предположении о росте на бесконечности.

Сиссертацпя непосредственно примыкает к этим исследованиям. Г.Ты рассматриваем следующий естественный вопрос: в какой мере мок-но отказаться от условий четности и выпуклости и основные результаты диссертации дают достаточно полный ответ на этот вопрос (см. обзор содеряания). Отметим здесь, что отказ от условия выпуклости приводят к необходимости существенно модифицировать подход.

Пелью диссертации является исследование вопросов, связанных с асимптотическим поведением многочленов, ортогональных на вещественной оси:

1) внешняя логарифмическая асимптотика;

2) асимптотика стариего коэффициента.

Стпткттоа и объем диссертации. Диссертация состоят из десяти параграфов. Объем работы 60 машинописных страниц. Библиография содержит 43 наименования.

Общая методика исследования. Анализ задачи базируется на методах теории потенциала и гармонических функций.

Научная новизна. Результаты диссертация являются новыми, основные из них дают качественно новую информацию об асимптотических свойствах ортогональных многочленов. Эти результаты впервые опубликованы в работах автора, список которых содержится в конце автореферата.

3.

Теоретическая л практическая значимость.

Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты и методы тлеют прялокения к различном вопроса:.: тэорпп прибли-э-ния аналитических функций кногочяеааьп (ортогональны-; ряз.~с:~^-ния," лаграняезы интерполяции, весовые наилучппе приближения з различных метриках) и рациональными функциями. Результаты диссертации могут найти применения в задачах математической физики, для решения которых используются ортогональные разложения или метод аппроксимаций Паде.

Аггообацил работы. Результаты диссертации док"ад1залг:сь на семинарах КЕАН под руководством академика А.А.Гончара и МГУ под руководством д.ф.-м.н. А .И. Аптекарева, д.со.-гл.н. Е. А. Рахглан сва, к.ф.-м.н. В.В.Вавилова.

Обзор содержания диссертации

Первый, вводный параграф содержит краткие исторические сведения, общую характеристику рассматриваемых задач и полученных результатов и ряд замечаний об обозначениях и терминологии.

Весом (весовой функцией) на мы называем положитель-

ную почти всюду на ^ функцию к , для которой конечны все степенные моменты сп ^ ^ х.пР /г ~ .

Через = 4 ^4 >о)

обозначаются многочлены ортонормированиие на $ с весом к :

Все веса, которые рассматриваются в диссертации могут быть представлены в виде

, где / локально

интегрируема на ■ .

Пусть - множество всех непрерывных, монотонно воз-

растающих функций ¿С*) / л удовлетворяющих ус ло-

вят: —а» ^ ¿О при -X. —<*> соответствен-

но :: о . Через будем обозначать фун-ции

, которые удовлетворяет условии

Наконец, - множество функций из о^. , удовлетворяющих дополнительному условию: для всех -х. & и

Л ^ /са(2)/с¿(сс)/

з е(А)—при Л

Через „А^ = , будем обозначать

отрезок /^б^Л и - функция Грина

внепности с полюсом в бесконечности. Фе-

обозначают множества функций ) , допускающих пред-

ставление

л 00

Наиболее общий класс весовых функций рассматриваемых диссертации монно представить в виде

• *)~Ч'/х-) /г/—*«« /

Отметим, что условие ^ сл^ накладывает ограничения только на асимптотическое поведение веса при я: —<*«> :

класс определяется скоростью роста при 21—* .

Одним из основных результатов диссертаций является следующая

Теорема Г. а) Пусть — ^,'сI) £ ф{ и -

многочлены, ортонормпрованнке с весом тогда имеют место асимптотические формулы

//дайГ/

/А{:/ - длина отрезка А^^) я —<=>

равномерно внутри (С-\ &

б) Если ^ ., то предыдущие соотношения верны

для многочленов ^ ^) , где /?

Еоказательство теоремы приводится з § 8. Эта теорема позволяет сделать некоторые выводы качественного характера о влияния несимметричности весовой функции на асимптотическое поведение

В самом деле, из второй формулы следует, что поведение &

~ /<£/- п)/+ ъСС*)

опое^еляется средним атз^ометнчрс^п.т ' с- '_•

л.

другиш словами кпОО "не замечает" несимметричности веса ^ я ведёт себя как , где ^.

Напротив, рост

определяется средним геометрическим )/ и эффект несимметричности Ь здесь проявляется в полной мере.

Класс функций достаточно широк. В § 4 мы доказываем,

что все выпуклые дважды непрерывные дифференцируемые на функции принадлежат . В § 10 мы показываем, что,

ее ли к тому же, —> ^ при г: —^ , то

£ (^<£>1 и как следствие из теоремы I получаем следующую

6.

Теорема 2. Пусть выпуклая на функция

II А/&/-<*=> при —» и £ ("х.) .

Тогда для соответствующих ортонормированиях многочленов справедливы следующие асимптотические формулы:

где _* о равномерно внутри <С\$? и и

определяются из системы уравнений

^ /

Л С __ /

-7Г

/ / /Ш*

Отмети:.!, что аналогичная теорема для четных, выпуклых функций доказана Е. А. Рахмановым"^.

Класс содержит также невыпуклые функции. В диссертации рассматриваются веса вида

Е.А.Рахманов. Докторская диссертация. МИАЫ, 1983. '

где

X. > с

/ /- /я. А

^ /V , х < с

В § 10 мы показываем, что & & и з качестзе следст-

зпя из теоремы I получаем следующую

Теорема 3. Пля соответствующих весу I ортонормированиях многочленов справедливы формулы

/2. Л/ .¿г

■птто ^ — К ^) _ , ,

ГД9 ' о , * — з»

равномерно внутри I Л? / £> = , ^ )

константы длд которых получены явные формулы.

Е.А.Рахманов-^ доказал теорему аналогичную теореме 3 в случае /I, Л, /I > 1 . При Л последовательность

^ Е.А.Рахманов. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси. Математический сборник, т.119 (151), с. 163-203.

ортонормирозанных многочленов разномерно ограничены внутри С- , что соответствует неопределенности проблемы моментов.

Б несимметричном случае Л, мо~ет быть меньше единицы, по формулы остаются справедливыми при < / ^ ^ ;

тем самым несимметричность веса качественно меняет характер роста ортонормированных многочленов.

Основную роль при доказательстве приведенных выше результатов играет исследование семейства разновесных мер у^р на

, соответствующих функции (внешнему полю) Р Это понятие введено Е.А.Рахмановым и мотет.быть определено' следующим образом: семейство мэр ¿{/^

называется равновесным зо "внешнем поле" , ее л;:

Г а,-л—Л /,)

Носитель равновесной меры играет основную роль в наших исследованиях: зако знать для каких "внешних полз:;" носители семейства разновесных мер являются отрезками. 3 § 4 мы доказьзаем,

что класс таких внешних полей (по сущестзу)созпадает с классом ф° ■

С мерами 2'связивается последовательность многочленов У7^) рХ? ' нотоРых вещественны и

разномерно распределены относительно семейства равновесных мер. Зта конструкция ленлт в оснозе доказательства основных результатов диссертации.

о

«s •

Литература

т.2, IÎ54.

2, Зеге Г. Ортогональные многочлены. ".'., -Зизматгиз, I9S2.

3. Зуетин U.K. Классические ортогональные многочлены, :,:., Наука, 197Э.

Работы автора по теме диссертации

1. Еуяров B.C. Логарифмическая аситягготика многочленов, ортогональных на зецестзенной осп. ЕАН CCGF, 1391, SI3, 4, с. 731-734.

2. Буяроз 3.3. О логарифмической асимптотике многочленов, ортогональных на с несимметричным весом. "атзматиче-скпе заметки, 5û, 2, С.28-Е6.