Асимптотики решений рекуррентных соотношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Туляков Дмитрий Николаевич

Асимптотики решений рекуррентных соотношений

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

1 7 МАР 2011

Москва - 2010

4840843

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. П. Спиридонов, доктор физико-математических наук И. И. Шарапудинов, доктор физико-математических наук, А. А. Шкаликов.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.

Защита состоится 10 марта 2011 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " 0.9 " (у^гУЬй.АЛ* 2011 года.

Учёный секретарь

Диссертационного совета Д 002.022.01 доктор физико-математических наук

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К рекуррентным соотношениям

/п + а1,п/п-1 Н-----Ь &к,п!п-к = 0, п = к,к + 1, ... , (1)

связывающим между собой элементы последовательности {/п}^0, приводят многие задачи анализа и теории чисел. В частности, индукцией по п легко проверяется, что последовательности числителей {рп}^=1 и знаменателей {<?п}^1 числовой непрерывной дроби

ах

«о +

&1 +

у1 '

связаны между собой соотношениями

Рп = Ьпр„-1 + апрп-2 , Яп = Мп-1 + а„д„_2, п = 1,2,...,

и удовлетворяют следующим начальным условиям: р_х — 1, ро = ао и д-1 = 0, д0 = 1.

Рекуррентные соотношения являются одним из древнейших математических объектов. С ними связаны непрерывные дроби, алгоритм Эв-клида, числа Фибоначчи и другие математические артефакты. Рекурсии, возникающие при разложении некоторых классов аналитических функций в непрерывные дроби, впервые появились в работах Эйлера, а Гаусс разложил в непрерывную дробь отношение гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей и рекуррентных соотношений таких великих математиков, как Якоби, Риман, Стилтьес, Чебышев, Эрмит, Марков, Пуанкаре, Рамануджан, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Понятие рекуррентных соотношений не потеряло своей актуальности и в наше время.

Со второй половины 20-го века наблюдается новый рост интереса к рекуррентным соотношениям в связи с непрерывными дробям и конструкциями рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Эрми-та, а затем Адамара и Паде, и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом процесса обработки данных, определяющих аналитическую функцию. Другим современным приложением рекуррентных соотношений является теория разностных уравнений, особенно в случае, когда разностное уравнение появляется как результат аппроксимации дифференциального уравнения при численном решении последнего.

Теория асимптотик решений рекуррентных соотношений, включающая в себя асимптотическую теорию ортогональных многочленов и их обобщений, тесно связана с вопросами сходимости непрерывных дробей, рациональных аппроксимаций; другая область применения — спектральные задачи разностных операторов, задача рассеяния. Среди многочисленных работ, внёсших за последнее время существенный вклад в развитие асимптотической теории рациональных аппроксимаций, ортогональных многочленов и рекуррентных соотношений, отметим работы А. Аптекарева, В. Буслаева, В. Буярова, А. Гончара, В. Данченко, В. Дзя-дыка, В. Калягина, Е. Никишина, В. Прохорова, Е. Рахманова, В. Сорокина, П. Суетина, С. Суетина, И. Шарапудинова, Б. Беккермана, В. Ван Аше, Р. Варги, Д. Геронимо, П. Дейфта, А. Куэлаарса, Г. Лопеса, Д. Лю-бинского, А. Мартинеса, Дж. Наттолла, Э. Саффа, В. Тотика, Г. Шталя.

Нетрудно проверить, что всякая последовательность {/п}, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1) с постоянными (не зависящими от п) коэффициентами ai, ... ,может быть записана в следующем явном виде

m j=1

где Ai, ... , Àm — корни характеристического многочлена h(z) = zk + a;i+----Ь Oik кратностей ... ,lm соответственно, h +----Ь lm = к.

Из явного вида (2) последовательности {/n}£Lo следует, что если корни характеристического многочлена h(z) различны по модулю, то существует предел lim /„+i//„, и этот предел равен одному из корней харак-

71—»ОО

теристического многочлена. Оказывается, что это утверждение имеет место не только для рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, но и для рекуррентных соотношений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти явный вид последовательности не представляется возможным. Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре - одной из самых тонких в теории рекуррентных соотношений.

Теорема (Пуанкаре1). Пусть последовательность {/n}^i0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (1) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена

h(z) = lim (zk + ai nzfc_1 + • • • + aKn) (3)

П-* оо

1Н. Poincaxe, Sur les equations lineaires aux différentielles et aux differences finies// Amer. J. Math., 1885, v. 7, 203-258.

которого различны по модулю. Тогда либо /„ = О при всех п^по, либо существует предел lim f„+i/ fn, и этот предел равен одному из корней

п—*оо

характеристического многочлена.

Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном для невырожденных рекуррентных соотношений. Напомним, что рекуррентное соотношение (1) называется невырожденным, если ak¡n Ф О ПРИ всех п = k,k + 1, ... . Невырожденность соотношений (1) означает возможность однозначного определения значения /п при известных значениях /п+ь ... , fn+k.

Теорема (Перрон2). Пусть корни характеристического многочлена невырожденного рекуррентного соотношения (1) с предельно постоянными коэффициентами различны по модулю. Тогда для всякого корня А характеристического многочлена найдётся последовательность {/п i удовлетворяющая рекуррентным соотношениям (1) такая, что

lim fn+i/f„ = А.

п—* оо

Существенное продвижение в представлении решений рекуррентных соотношений было получено в цикле работ Биркгофа-Трыжинского3, в которых для любых полиномиальных по "п" коэффициентов разностного уравнения (1) доказывается существование асимптотических по "п" рядов для формальных базисных решений.

Теорема (Биркгоф, Трыжинский, 1932). Любое линейное разностное уравнение k-го порядка

к

J2 ai(z)q{z+i) = 0; (а0 ¿ 0, акф 0) (4)

¿=o

с полиномиальными коэффициентами a¿ имеет ровно к линейно независимых формальных решений следующего общего вида:

оо m р

q{z) = eQ(z)zr J2 z~'p Cs¿1п' z ' QM = VzlnZ + Í2 ViZ*>

s=0 j=0 ¿=1

peN, ßpez, meNu{o}

20. Perron, Uber einen Satz des Herrn Poincare// J. Reine Angew. Math., 1909, v. 136, 17-37.// Uber die Poincaresche lineare Differenrengleichung// J. Reine Angew. Math., 1910, v. 137, 6-64.

3D. G. Birkhoff, W. J. Trjitzinsky, Analytic Theory of Singular Difference Equations// Acta mathematica, 1932, vol. 60, pp. 1-89.// Formal Theory of Irregular Linear Difference Equations// Acta mathematica, 1930, vol. 54, pp. 205-246.

Если плоскость комплексного переменного z разбить на области кривыми Re(Qi(z)) = Re(Qj(z)), i,j = 1, ... ,k, то в каждой такой области, уходящей в бесконечность, существуют к линейно независимых аналитических решений уравнения (4), имеющих найденные асимптотики.

Особый интерес представляет случай, когда коэффициенты рекуррентного соотношения зависят от параметра (обозначим его х):

р-1

Qn+i{x) = Y^aAnix)Qn-j{x) , neN. (5)

¿=о

Именно такие рекуррентные соотношения приводят к ортогональным многочленам и их обобщениям. Асимптотику решений Qn(x) для случаев стремления к бесконечности аргумента соотношения (номера п) и параметра х при различных соотношениях между их ростом называют асимптотиками типа Планшереля-Ротаха. Впервые4 они появились для асимптотического описания многочленов Эрмита Нп при п —> оо и

a) х = (2п + 1)г т, 1 +

b) X = (2п + 1)5 - 2-5 3"! n-s t, teKm с;

c) а: = (2п + 1)з0, +

для фиксированных положительных е, Си комплексного t. Напомним, что многочлены Эрмита можно определить рекуррентными соотношениями

Нп+1(х) = 2хНп{х) - 2пНп_1(х) , #о = 1, Я_1 = 0 п€ N.

Асимптотики многочленов Эрмита были получены Планшерелем и Ро-тахом методом перевала из интегральных представлений для Нп{х), и долгое время оставался открытым вопрос о получении подобных асимптотик для многочленов, не обладающих интегральными представлениями.

Последние две декады (в работах Любинского, Рахманова, Тотика и Дейфта с соавторами) было разработано несколько методик получения и доказательства асимптотических формул типа Планшереля-Ротаха для ортогональных на действительной оси многочленов, используя в качестве входных данных положительные веса ортогональности. В то же время в работах Шталя, Гончара, Рахманова, Аптекарева, С. Суетина,

4М. Plancherel, W. Rotach, Sur les valeures asymptotiques des polynomes d'Hermite// Commentaxii Math. Helvetici, 1929, vol.l, 227-257.

Наттолла, а также Дейфта с соавторами был достигнут определённый прогресс в получении асимптотик многочленов, определяемых неэрмитовыми соотношениями ортогональности. Отметим, что именно неэрмитовы соотношения ортогональности сохраняют наличие рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов при рассмотрении комплексных весов ортогональности, сосредоточенных в комплексной плоскости.

Однако более или менее общие методики, позволяющие получать подобные асимптотики исходя из рекуррентных соотношений вида (5), ещё не так развиты. Первые глубокие результаты в этом направлении получены Геронимо с соавторами5. Также отметим отсутствие общих методов исследования сильных асимптотик для многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.

В связи с этим актуальной задачей является построение асимптотических разложений для базисных решений разностных уравнений (5) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях плоскости (п,х). Согласование ("сшивка") решений в пересечении рассматриваемых областей позволяет получить глобальную асимптотическую картину решений уравнений (5) в комплексной плоскости параметра х при выборе соответствующего масштаба, зависящего от п. Тем самым, искомый метод должен быть ориентирован на получение глобальных асимптотик решений (5), используя в качестве входных данных коэффициенты рекурсий, подобно тому, как метод наискорейшего спуска для матричной задачи Римана-Гилъберта6 решает эту задачу для ортогональных многочленов, стартуя с весов ортогональности.

В некоторых ситуациях глобальное асимптотическое описание решения рекуррентных соотношений не обеспечивает точного описания решения в областях (п, х) при маленьких х. Например, речь может идти о локальной асимптотике многочленов JIareppa в окрестности точки х — 0. Сформулируем общую актуальную задачу о локальных асимптотиках такого сорта. Рассматриваются разностные уравнения со спектральным

5J. Geronimo, О. Bruno, W. Van Assche, WKB and turning point theory for second-order difference equations// Janas, Jan (ed.) et al., Spectral methods for operators of mathematical physics. Proceedings of the international conference on operator theory and its applications in mathematical physics, OTAMP, Bedlewo, Poland, 2002. Basel: Birkhauser. Operator Theory: Advances and Applications (2004), 154, 101-138.

6P. Deift and X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation// Ann. of Math. (2) 137 (1993), no. 2, 295-368.// P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R. McLaughlin, S. Venakides, and X. Zhou, Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights// Comm. Pure Appl. Math. 52 (1999), no. 12, 1491-1552.

параметром х

к

Q(n, х) := f(n) х qn+T + qn+i = 0, 0^r<k, n G N, Z. (6)

t=0

Коэффициенты таковы, что при х = 0 уравнение (6) имеет ба-

зис из решений степенного роста (с некоторыми полиномами pj ф 0)

Q(n, 0) = 0 => 3 д„(0)~^пвр,-(1пп), # € С, п-»оо. (7)

з

Задача заключается в получение асимптотик решения (6), (7), равномерных в "масштабированных" окрестностях точки х = 0 спектрального параметра

qn(x) ~ ?, i£fi„CC, п —> оо.

Мотивацию этой задачи можно пояснить следующими качественными соображениями. Известно, что вне спектра решения разностных уравнений имеют экспоненциальный характер роста или убывания. На спектре можно говорить об осцилляционном, ограниченном характере решений. Степенной рост вида (7) характерен для решений разностных уравнений (6) в концевых точек непрерывного спектра. Например, ортогональные многочлены, удовлетворяющие трёхчленному рекуррентному соотношению, имеют такой порядок роста в конце носителя веса ортогональности. То же справедливо и для совместно ортогональных многочленов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям высокого порядка. Первые результаты в этом направлении были получены Аптекаревым7.

Наконец, остановимся на приложениях асимптотической теории рекуррентных соотношений. Диофантовы приближения математических констант — одно из наиболее важных приложений теории рекуррентных соотношений, непрерывных дробей и рациональных аппроксимаций аналитических функций. Многие из доказательств трансцендентности (иррациональности) знаменитых констант основываются на конструкциях аппроксимаций или интерполяций аналитических функций. Особый интерес вызывает задача о построении и изучении асимптотических свойств последовательностей рациональных приближений к постоянной Эйлера

7 А.

И. Аптекарев, Асимптотика ортогональных полиномов в окрестности концевой точки интервала ортогональности// Мат. сб., 1992, т. 183 №5, стр. 43-62.

Постоянная Эйлера 7 — наиболее известная константа, связанная с эйлеровыми суммами (значениями дзета-функции Римана в натуральных точках)

оо к=1 й

Арифметическая природа постоянной 7 и значений ((.э) в нечётных точках до сих пор не поддаётся исследованию (значения в чётных точках были получены ещё Эйлером). Пока единственным конкретным результатом в этом направлении является доказательство Р. Апери в 1978 году иррациональности £(3).

Теорема (Апери8). Пусть числа ип и и„ задаются следующим рекуррентным соотношением

(п + 1)3ы„+1 = (2п + 1)(17п2 + 17п + 5)ип - п3и„_1

с начальными условиями

:= 0, VI := 6,

щ := 1, щ := 5 .

Тогда Уп €= N ип, £2 (здесь Бп обозначает наименьшее общее кратное чисел {1,2, ... , п}), и справедливы асимптотические формулы

\ип\^п = (^2 + 1)4 + о(1),

к-с(зк|1/п = (\/2-1)4 + о(1).

Тем самым, рекуррентное соотношение теоремы Апери не только определяет рациональные приближения ("(3)

но и (в виду того, что Dn" —» е, и е3(\/2 — I)4 и 0.591... < 1) доказывает иррациональность С(3). Надо также отметить, что построение с помощью рекуррентных соотношений рациональных приближений к математическим константам имеет самостоятельный интерес, и известно всего лишь несколько результатов9 в этом направлении.

8R. Apery, Irrationalité de C(2) et ф)// Asterisque, 61, (1979), 11-13.// Uber die Poincaresche lineare Differenrengleichung// J. Reine Angew. Math., 1910, v. 137, 6-64.

9Ю. В. Нестерепко, Некоторые замечания о £(3)//, Матем. заметки, 59 - (6), (1996), 865-880.//Т. Rivoal, W. Zudilin, Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant// , Math. Annalen, 326 - (4), (2003), 705-721. //В. H. Сорокин, Об одном алгоритме быстрого вычисления 7Г4// Препринт Института Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН, №28, 2002.

Цель работы. Целью работы является:

ф исследование решений рекуррентных (по п) соотношений с параметром х и коэффициентами от (п,х) общего вида (см. (5) ) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях пространства (п,х);

ф нахождение глобальных асимптотических разложений конкретных систем многочленов, генерируемых рекуррентными соотношениями с рациональными по (п, х) коэффициентами (включая многочлены, ортогональные относительно дискретного веса);

О нахождение локальных асимптотик решений степенного роста рекуррентных соотношений со спектральным параметром;

<0> исследование асимптотических и арифметических свойств рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера.

Основные методы исследования. В основе проведённого в диссертации исследования лежат методы теории функции, комплексного анализа, специальных функций, обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории динамических систем.

Научная новизна. Все приведённые в диссертации результаты являются новыми. Основные полученные результаты таковы:

1) предложен и обоснован метод получения глобально согласованных разложений базисных решений рекуррентных соотношений с рациональными от номера и полиномиальными от параметра коэффициентами;

2) получены и доказаны формулы сильной асимптотики (типа План-шереля-Ротаха) для многочленов Мейкснера.

3) описан класс рекуррентных соотношений, базисные решения которых имеют степенной рост; для решений этих рекуррентных соотношений доказаны асимптотики, равномерные по спектральному параметру, взятому в соответствующих масштабах;

4) найдена асимптотика базиса решений рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера; доказана целочисленность числителей и знаменателей этих аппроксимаций.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе специалистов по теории непрерывных дробей и аппроксимаций Паде Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Результаты диссертации уже используются другими авторами в их исследованиях. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для аспирантов и студентов университетов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН на семинаре математического Отдела под руководством д.ф.-м.н. А. И. Ап-текарева, в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А. А. Гончара, члена-корреспондента РАН Е. М. Чирки и д.ф.-м.н. А. И. Аптека-рева, в Московском государственном университета им. М. В. Ломоносова на семинаре Избранные вопросы теории функций под руководством профессоров А. И. Аптекарева и В. Н. Сорокина и доцента B.C. Буярова, в Нижегородском Техническом Университете на семинаре под руководством профессора В. А. Калягина, на научном семинаре ИНСА г. Руана (Франция) под руководством профессора А. Дро, а также на следующих международных конференциях:

ф. Международная 6-ая ИНТАС конференция по Рациональным аппроксимациям и конструктивному комплексному анализу, Нижний Новгород - Москва, Россия, август 2005.

ф. Международная конференция "Спектральные задачи и связанные тематики", Москва, Россия, ноябрь 2009.

ф. Международная конференция "Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвящёнпая 105-летию академика С. М. Никольского, Москва, Россия, май 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[10], список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура диссертации. Диссертация изложена на 236 страницах и состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 138 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рассказывается об истории вопроса, приводится обзор классических и современных результатов по теме диссертации, даётся краткое изложение работы.

В первой главе рассматриваются линейные рекуррентные соотношения (5), которые удобно переформулировать в векторном виде

Fn+1 = An(x)Fn, пе N, (8)

где Ап(х) — матрица р х р, элементы которой есть полиномы по х с рациональными по п коэффициентами.

Здесь решается задача построения (в виде асимптотических рядов) базисных решений уравнения (8) в областях плоскости (п, х) и их согласование в переходных зонах.

Построение базиса решений будет состоять из решения двух задач.

1. Задача нахождения диагонализующего преобразования Уп. С помощью перехода к другому базису, зависящему от п, можно перейти к задаче, подобной исходной:

Рп = Упип ип+1 = (у-^АпУп)ип.

Наша цель — подобрать подходящие матрицы Уп (зависящие от х), для которых новая матрица перехода Уп+\АпУп близка к диагональной.

(У-^АпУп) - Вп := Ш^[Уп'+\АпУп}.

Здесь Б1а§[Б] обозначает диагональную часть матрицы В. Подходящие матрицы Уп, кроме условия близости новой матрицы перехода У~±1АпУГ1 к диагональной, должны обладать следующими свойствами:

11К11, 1/|йе1(У„)| = 0(па), а ем.

Степенной рост позволит оперировать с разложениями Уп и У~1 по степеням п.

2. Задача построения базиса решений (8) при условии, что подходящие Уп существуют и найдены.

Обе перечисленные задачи решаются с помощью некоторых итерационных процедур над степенными разложениями. При этом процедура решения задачи 2 имеет универсальный характер (её обоснование составляет содержание Теоремы 1 главы 1), а решение задачи 1 существенно зависит от динамики изменения собственных значений А* матрицы А как функций от п,х.

Будем называть областями хорошей диагонализуемости связные компоненты в пространстве (п, х), в которых выполнено условие

Н:={(п,х): тах|^| + |Л'.1 <С, (9)

«я |лг — ля

для некоторого фиксированного С> 1. Связные компоненты, в которых неравенство (9) нарушается, будем называть переходными зонами Ес.

В свою очередь, решение задачи 1 в области хорошей диагонализуемости Е имеет также универсальный характер, что сформулировано и доказано в достаточно общих Теоремах 2 и 3 для этого случая.

Таким образом, в зонах хорошей диагонализуемости (9) теоремы 1 и 2 дают для базисных решений рекуррентных соотношений (5) разложения

в формальные ряды, мажорируемые асимптотическими рядами вида

s

П^х, п) = п) (l п) + o(lp(x, n)tps(x, n))), j = l,...,p,

771=1

(10)

которые можно обрывать с оценкой остаточного члена -фш = О (<ptps) ■

Также теоремы дают описание процедуры нахождения членов ряда (10) и их оценки, причём из теоремы 3 следует, насколько частные суммы ряда (10) близки к соответствующему базисному решению (ip зависит от выбора области в пространстве (п,х)).

В то же время построение диагонализующего преобразования в переходных зонах Ес носит специальный характер.. Здесь разностная задача по переменной п трансформируется (см. Теорему 4) в дифференциальную задачу по новой переменной z := z(n,x), связанной с масштабом переходной зоны. Дальнейший анализ зависит от типа получаемой дифференциальной задачи. В главе 1 мы рассматриваем более детально лишь случаи, когда р = 2 и дифференциальная задача сводится к уравнению Айри. В этом случае рекуррентное соотношение (5) в переходных зонах имеет два базисных решения вида

G(z,x)Ai(h(z,x)) и G(z,x)Bi(h(z,x)), (11)

где Ai и Bi — функции Айри, а процедура Теоремы 4 и свойства уравнения Айри позволяют найти явный вид членов рядов

оо оо

G(z,x) = Go(z,x)(l + Y^7m(z,x)J, h(z,x) = ^2r}m(z,x), (12)

т=1 т—0

которые в том же смысле, что и в (10), мажорируются асимптотическими рядами. Но в этих случаях ср и ip имеют более простой вид: \z\ri\х\Г2 (п, Г2 для tp и для ip зависят только от задачи).

Наконец, основная задача требует согласования решений, построенных в различных областях пространства (п, х). Это оказывается возможным благодаря тому, что формальные ряды (10), представляющие базисные решения в Е, имеют смысл и в более широкой области: если в (9) заменить С на \х\а для некоторого а > 0. Тем самым, в подобластях переходных зон Ес, граничащих с Н, справедливы оба представления базисных решений, поэтому существует функция, не зависящая от п, но зависящие от х (ввиду однородности (8) по F)

оо

К(х) = £ кт(х), (13)

т=0

умножение на которую одного из решений не только выравнивает рост обоих решений, но и обеспечивает равенство последующих членов их асимптотических рядов. Успешное нахождение такой функции (в примерах применения рассматриваемого метода) является дополнительным контролем правильности найденных разложений решений (8) в различных областях (п,х).

Затем в первой главе описанный выше метод применяется к рекуррентным соотношениям некоторых классических ортогональных многочленов. Рассмотрены многочлены Эрмита (Теорема 5) и Мейкснера. Асимптотика многочленов Мейкснера является одним из основных результатов диссертации.

Многочлены Мейкснера {Яп{х)} ортогональны относительно дискретной меры

п=О

с параметрами а и /3, удовлетворяющими /3>0: 0 < сг < 1. Переобозначим параметры и сделаем замену переменной

с:=1/<7, Ь:=/3- 1, ж:=(--1 )х-0 . (14)

а

В новых обозначениях имеем следующие рекуррентные соотношения для многочленов Мейкснера

{<2п)-{ 1 0 ){яп-1)' [я-г) - [о) '

В диссертации применением описанного выше общего метода найдены асимптотики многочленов Мейкснера. Конкретно:

1) Получены в явном виде несколько членов асимптотического разложения (10) базисных решений П^гг, п) и Пп) в области Н - (9). Общий член имеет оценку

I .{..и | |Ш. | |*+'

,(1)/ \ (Щ Р 2 Д 2 ч

щ {х,п) = О тах ( ,-ггп--змт)

I | ¿±1 | [ *+1

4\х,п) = 0( тах(|Я|-* 'Я''|й±1,, ,'«±1)) 4 \п—пцх)| 2 гг2(х)| 2 /

Оценка остаточного члена такая же, как у первого отброшенного члена. Здесь П1(х), пг(х) обозначают корни многочлена (х— (с+1)п)2—4сп(п+Ь) и имеют асимптотику +0(1).

2) Система (15) имеет две переходных зоны. В них найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений 61 (г,х),Нх(г,х) и С?г(.г, х), /12(2, х) (см. (12)) для базисных решений (11). Оценки имеют вид

Здесь |г|+ = тах(|г|, 1), и снова оценка остаточного члена такая же, как у первого отброшенного члена.

3) Затем, найдено разложение функции К0(х) — нормировочного множителя решения П^ж, п), обеспечивающего согласование его роста и роста полиномиального решения (15) с соответствующими старшими коэффициентами .

4) Наконец, найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений Кх{х) и К2(х) для функций (см. (13)), сшивающих решения (10) и (11) в переходных зонах.

В результате, в этих терминах для многочленов Мейкснера получаются следующие асимптотические разложения.

Теорема 6. Для многочленов Мейкснера (определяемых (15),) справедливы следующие асимптотические разложения при фиксированном £>0 и (К 1т(а;) < :

\ N I |1+£

а) при п < -г—=—гг^ — |ж|з+£

(Ус+ !)

д„_1(х) = /ВДП^п); (16)

b) при п — . +гх1з , \г\<\х\1 £

(ус + 1)

= С1{г,х)А1(Ь1{г,х))]

c) при +<п < Ы^г? -

<2п-Лх) = Ко(х) (П 1(х,п) + гП2(х,тг)); (17)

<1) при п = Х + гх* , И < |ж|Н

(Vе- !)

= К0(х) С2(г,х) (-+--) I

е) при п > Х + |:г|з+£ {л/с - 1У

(¿п-г(х) = К0(х) (^(г-^фи^п) +Ш2(х,п)У (18)

Замечание. Теорема б демонстрирует, как при фиксированном х меняются представления многочленов Мейкснера с ростом и от а) - (16) к е) - (18), причём соседние представления согласованы в переходных зонах. Отметим, что при увеличении 1т(:г) > 0 в формуле (17) член Щ будет доминировать над Пг, в результате чего формула (17) превратится в формулу (16). То же самое произойдёт с формулой (18), в которой также К2 будет доминировать над К 2- Также отметим специальный вид формулы (18) при 1т(ж) = 0. В этом случае из полученного явного вида для К2 и К 2 следует

Кг . . ,, 1 2х + (Ь+1)(с+1)ч1 — = ехр{-гтг(Ь - 1--—-)} ,

поэтому при

х — к(с.— 1) — Ь—с, /сем, А:> 0, (19)

коэффициент при доминирующем члене Щ зануляется, и многочлены (для любых п) становятся малыми в окрестностях этих точек, что отражает тот факт, что в этой зоне нули ортогональных многочленов притягиваются к точкам х - (19), в которых сосредоточены массы меры ортогональности. (При обращении преобразования (14) точки (19) переходят в натуральные.)

Во второй главе диссертации исследуются асимптотики решений степенного роста рекуррентных (по п) соотношений (6) со спектральным параметром х. Сначала, при х = 0, характеризуется класс разностных уравнений таких, что существует базис их решений со степенным ростом (при п —> оо). А именно: описываются асимптотические свойства коэффициентов разностных уравнений, гарантирующих существование таких базисов.

Теорема 1. Рекуррентное соотношение вида к

Х>(п)<7п+( = а*^1' ао(п) Ф 0, (20)

¿=о

коэффициенты которого удовлетворяют асимптотическим условиям

л» := С*)^") = (-пУ'Чъ+°<е<1> (21) 1=0

имеет решения со степенным поведением на бесконечности. А именно: для каждого комплексного а, являющегося корнем многочлена Е(а) :

к

а : Е(а) := ^ (-а)^ = О,

i=О

существует последовательность которая удовлетворяет соотношению (20) и имеет асимптотику

па при п—+оо.

Если а — кратный корень, то существует решение с асимптотикой

па 1п5~1 п

для каждого натурального в от 1 до кратности а. Всего получается к различных асимптотик, и набор решений с такими асимптотиками образует базис решений соотношения (20).

Отметим, что многочлен Е{а) является аналогом характеристического многочлена (3) в приводимых выше теоремах Пуанкаре и Перрона (т.е. многочлена с коэффициентами-пределами коэффициентов разностного уравнения (20)). При этом вклад в асимптотику решения общего положения вносят корни Е{1) с максимальной действительной частью

к к-1

Е{Ь) = £= ПН+^О 5 КеКК при ¿<7. (22)

г=0 г=0

Порядок корней {о^}-^1 зафиксирован по возрастанию их действительной части.

Основным результатом главы 2 является теорема о локальной асимптотике решений степенного роста при введении в разностное уравнение спектрального параметра. Справедлива

Теорема 2. Пусть рекуррентное соотношение вида (20), (21) модифицирование с помощью параметра х, линейно возмущающего г-й коэффициент, 0 ^г<к: к

/(п)ядп+г +£0^)^ = 0, /(п) = пА(С+0(тг-£1)), Сф 0, (23)

г=0

при этом (ввиду теоремы 1)

9п|х=0 ^У^р^Ып) + о(пь), з

где Рц - корни многочлена Е{£) (22) кратности ц с (одинаковыми) действительными частями Ие(/3,) — 6, - многочлены, с!е§(з^) ^ ^ — 1, а параметр А в (23) подчинён условию

Ь+\+к>В, В = Я.е(ак-1). (24)

Тогда для х=гп~х~к с равномерными по г £ К <Ш С оценками верно равенство

ц-1

Чп = ЧУ.пЬ £ ш{1)Ып + о{пь)

з <=0

где yji — решения уравнения

к-1

= (25)

удовлетворяющие краевым условиям

Неравенство (24) обеспечивает единственность выбора уц.

Дифференциальное уравнение (25) относится к гииергеометрическо-му типу и имеет частные решения, пред ставимые через обобщённую гипергеометрическую функцию р_Рд:

РРд([а-1, Ор]; [Ьи • • ■, Ьч], х) := ^

(ах)„■••(ар)п

»»! (ЬОп • • • (Ья)„ '

Далее во второй главе, применением общей теоремы 2 к конкретным системам ортогональных и совместно ортогональных многочленов, получаются новые результаты. Первый пример имеет очень интересное поведение меры ортогональности на стыке непрерывной и дискретной составляющей.

Теорема 3. Пусть система многочленов {<3п} определена рекуррентными соотношениями (п € К; Ъ, э 6 М)

п2+ Й2

<Э0(а:) = 1; <21(х) = х-Ъ; Яп+х(х) = х(3п(х) ~ ■

Тогда

1) Многочлены {£?„} ортогональны относительно меры \(х), состоящей из непрерывной компоненты ги(х) <1:г на (—1; 1)

/ ч 1_5 3Ь(тГз)_

Щх) 7Г (вЧЬ2) [сЬ(тгв) - соб(25 агсЛ х - 2 агсЛ §)] ' [ }

а вне (—1; 1) мера А имеет счётное число масс: в точке Xк расположена масса Мк для всех к&Ъ, где

, {-пк 1 ,, 1

Хк = сЙ1--1- - arctg - , Мк —-;-;-.

V- 5 Ь' (Й2+Ь2) бЬ2 (— +- аг^

\ я я о/

2) Справедлива следующая асимптотическая формула в окрестности концевой точки 1 (равномерно по г£К(ёС):

Обратим внимание на поведение веса ортогональности (26) в концевых точках своего носителя. Например, при х —> +1

/ ч __

щх> ~ с2 - соз(з1п(1 - х) + С3) '

То есть точка х — +1 является предельной точкой как дискретных масс меры ортогональности, так и осцилляций непрерывной части меры (зажатых между горизонтальными прямыми у = СС^±1 )•

Второй пример касается локальной асимптотики совместно ортогональных многочленов, введённых В. А. Калягиным10. Пусть многочлены {-Рп}о°, с!е§[Рп] = 2п, совместно ортогональны относительно веса

ги(х) := ЫР(1 + х)~*{1-хУ2, (27)

на каждом из отрезков Д2 := [—1; 0] и Д2 := [0; 1]

Рп : [ Рп{х) х" и>{х) с1х = 0, и = 0,... ,п, г = 1,2. (28)

Интересной спецификой этих многочленов является то, что плотность меры распределения их нулей имеет сингулярность вида |1/а;'2/3^| в начале координат. Такое, необычное, распределение нулей вызывало вопрос о локальной асимптотике многочленов {Рп} в окрестности точки х = 0. Справедлива

10В. А. Калягин, Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности,// Мат. сб., 1979, т. 110 (152) Л'«4, стр. 609-627

Теорема 4. Пусть система многочленов {Рп} определена соотношениями ортогональности (28) с весовыми функциями (27). Тогда справедливы следующие асимптотические формулы в окрестности начала координат (равномерно по г£К<ШС):

Третья глава диссертации посвящена приложениям к теории дио-фантовых приближений. В ней исследуются рекуррентные соотношения, генерирующие рациональные аппроксимации постоянной Эйлера 7

оо

7 := —J\nxe~xdx ,

о

арифметическая структура которой до сих пор не выяснена.

Пусть /„ — последовательность форм относительно константы 7, которые генерируются по формулам

/п := Рп ~ 1Чп

ОО

:= 1<Эп{х)\пхе-х(1х , р„,дп£<0. (29)

где Оп(х) — многочлен, задаваемый обобщённой формулой Родрига

Применением метода перевала доказано11, что

^ - 7 = (2тг) е-2^ (1 + 0(п-1/2) ) .

Чп

Первая теорема главы 3 описывает рекуррентные соотношения для этих аппроксимаций постоянной Эйлера.

Теорема 1. Рациональные коэффициенты рп, дп форм (29) удовлетворяют рекуррентному соотношению

(16п-15)дп+1 = (128п3+40?г2—82п—45)д„—

-п2(256п3-2407г2+64п-7)д„_1 + п2(п-1)2(16гг+1)д„_2 ^

11 А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Асимптотика •у-форм, генерируемых совместно ортогональными многочленами, // Совр. пробл. матем., 2007, 9, стр. 55-62

с начальными условиями

Ро = 0, pi = 2, р2 = 31, q0 = 1,0! = 3, д2 = 50.

Далее в главе 3 решается задача нахождения асимптотического разложения для базисных решений разностного уравнения (30).

Теорема 2. Существует базис из трёх решений раз-

ностного уравнения (30) со следующими асимптотиками:

^(п) _ (АпУё^ L 97 2207 13308187

+ 0(п-2)) ,

п\ \е ) \Jn\ 96\/2n 36864n 53084160n\/2n g2(n) = /4п\"е^ L 97 2207 13308187 t 2Л

п\ \ е J V 96\/2п 36864n 53084160n\/2^ ^ ') ' g3(") = ( е у 1 / 77 9745 7543057 , >

п\ \16 п)пу/п\ 96п 18432П2 26542080п3

Основным результатом главы 3 является доказательство целочисленно-сти рп, дп — коэффициентов 7-форм (29)-(30). Это делается с помощью нахождения новых рекурсий со старшим коэффициентом единица.

Теорема 3. Пусть последовательность чисел рп и qn определена сисгтшлой рекуррентных соотношений

<?4п-1 = + <?4п-2 ,

Qin = Щ4п-4 — + Зд4„_2 , п = 1 2 3

gin+l = n<?4n_ 1 + (п+1)?4п , ' '>>■■•>

Qin+2 = ЩАп-2 + (2п+1)2(?4„ - «д4п+1 ,

с начальными условиями

ро = 0, Pi = 1, Р2 = 1, <7о = 1, gi = 1, <?2 = 1 ■

Тогда для рп и qn из (29)-(30) справедливо рп = f>4n , In = <?4n •

В заключение третьей главы рассматриваются трёхмерные решётки L целочисленных векторов {5} решений диофантовой системы сравнений

/ (х,р(п)) ее 0 mod Д,

х £ L : < , (31)

\ {xjfn)) = 0 mod Dn

где координаты векторовр(п) := (рп, pn-U рп-2), q{n) := (gn, дп_ь qn_2) , являются числителями и знаменателями рациональных аппроксимаций

для 7, генерируемыми (29)-(30). Также в (31) Dn есть некоторая фиксированная последовательность натуральных чисел, п 6 N, а (•, •) — скалярное произведение в R3. В третьей главе найдено явное выражение для определителя решётки (31), что позволило получить условные результаты об арифметической природе постоянной Эйлера.

Работы автора по теме диссертации

1. Д. Н. Туляков, Асимптотика типа Планшереля-Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами, Матем. сб., 2010, 201:9, 111-158.

2. Д. Н. Туляков, Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущенные спектральным параметром, Матем. сб., 2009, 200:5, 129-158.

3. Д. Н. Туляков, Система рекуррентных соотношений для рациональных аппроксимаций постоянной Эйлера, Матем. заметки, 2009, 85:5, 782-787.

4. Д. Н. Туляков, О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений, Совр. пробл. матем., 2007, 9, 45-53.

5. Д. Н. Туляков, Об одном свойстве условно сходящихся рядов, Матем. заметки, 2007, 81:2, 317-320.

6. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Об определителе целочисленной решетки генерируемой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера, Труды ММО, 70, 2009, 329-345.

7. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Четырёхчленные рекуррентные соотношения для 'у-форм, Совр. пробл. матем., 2007, 9, 37-43.

8. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, Глобальный режим распределения собственных значений случайных матриц с ангармоническим потенциалом и внешним источником, ТМФ, 2009, 159:1, 34-57.

9. A. I. Aptekarev, V. A. Kalyagin, V. G. Lysov and D. N. Tulyakov, Equilibrium of vector potentials and uniformization of the algebraic curves of genus 0, Journ. of Computational and Appl. Math., 233 (2009), 602-616.

10. A. I. Aptekarev, A. Draux, D. N. Tulyakov, Discrete spectra of certain corecursive Pollaczek polynomials and its applications, Function Theory and Computational Methods, 2002, 2(2), 519-537.

11. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, Случайные матрицы с внешним источником и асимптотика совместно ортогональных многочленов, Матем. сб., 2011, 202:2, 3-56.

12. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Асимптотические режимы в зоне насыщения для C-D ядер ансамбля ортогональных многочленов Мейк-снера, Успехи матем. наук, 2011, 66:1, 181-182.

Введение

0.1 Общая характеристика работы.

0.2 Обзор содержания диссертации.

1 Асимптотика типа Планшереля—Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами

1.1 Введение.

1.2 Описание метода и результаты.

1.2.1 Постановка задачи и структура метода решения.

1.2.2 Построение решений с помощью Уп

1.2.3 Базис и общее решение

1.2.4 Нахождение Уп в областях 5.

1.2.5 Переходная зона Ес (случай р=2).

1.2.6 Примеры

1.3 Обоснование результатов.

1.3.1 Доказательство теоремы 1.2.1 и предложения 1.2.

1.3.2 Доказательство теоремы 1.2.

1.3.3 Доказательство теоремы 1.2.

1.3.4 Доказательство Теоремы 1.2.

1.4 Примеры (получение асимптотик).

1.4.1 Получение асимптотики многочленов Эрмита

1.4.2 Получение асимптотики многочленов Мейкснера.

2 Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущённые спектральным параметром

2.1 Введение.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Обозначения и соглашения.

2.1.3 Рекуррентные соотношения с базисами степенного роста

2.1.4 Асимптотика спектральных возмущений

2.1.5 Примеры применения теоремы 2.1.2.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.1.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.2.

2.4 Локальные асимптотики ортогональных и совместно ортогональных многочленов.

2.4.1 Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности предельной точки масс меры и осцилляций веса.

2.4.2 Совместно ортогональные многочлены Якоби.

2.4.3 Совместно ортогональные многочлены Лагерра.

3 Рекуррентные соотношения для рациональных аппроксимаций постоянной Эйлера

3.1 Введение.

3.2 Связь 7-форм с рекуррентными соотношениями для Qn{ 1)

3.2.1 Получение четырёхчленного рекуррентного соотношения для форм.

3.2.2 Доказательство теоремы 3.1.1.

3.3 О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений.

3.3.1 Доказательство теоремы 3.3.1.

3.3.2 Доказательство лемм

3.4 Система рекуррентных соотношений для рациональных ап-проксимациий постоянной Эйлера.

3.4.1 Системы рекурсий для многочленов, задаваемых формулой Родрига.

3.4.2 Доказательство теорем 3.4.1 и 3.4.

3.5 Определитель целочисленной решётки, порождённой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера.

3.5.1 Минимальные векторы Ь и иррациональность 7.

3.5.2 Доказательство теоремы 3.5.1.

3.5.3 Оценки векторов решётки Ь и форм Рп.

0.1. Общая характеристика работы

К рекуррентным соотношениям п + «1,п/п-Н-----ь ак,п/п-к = о, п = к,к + 1,. , (0.1) связывающим между собой элементы последовательности {/п}^=о: приводят многие задачи анализа и теории чисел. В частности, индукцией по п легко проверяется, что последовательности числителей {^п}^ и знаменателей {вп}£=1 числовой непрерывной дроби а1 а0 + связаны между собой соотношениями

Рп = КРп-1 + ЯпРп-2 , Я.П = Мп-1 + адп2 , 71=1,2,. и удовлетворяют начальным условиям р-\ = 1, ро = ^о и <7-1 = 0, до = 1

Рекуррентные соотношения являются одним из древнейших математических объектов. С ними связаны непрерывные дроби, алгоритм Эвклида, числа Фибоначи и другие математические артефакты. Рекурсии, возникающие при разложении некоторых классов аналитических функций в непрерывные дроби, впервые появились в работах Эйлера, а Гаусс разложил в непрерывную дробь отношение гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей и рекуррентных соотношений таких великих математиков, как Риман, Стилтьес, Чебышев, Эрмит, Якоби, Марков, Рама-нуджан, Пуанкаре, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Понятие рекуррентных соотношений не потеряло своей актуальности и в наше время.

Со второй половины 20-го века наблюдается новый рост интереса к рекуррентным соотношениям в связи с непрерывными дробям и конструкциями рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Эрмита, а затем Адамара и Паде, и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом процесса обработки данных, определяющих аналитическую функцию. Другим современным приложением рекуррентных соотношений является теория разностных уравнений, особенно в случае, когда разностное уравнение появляется как результат аппроксимации дифференциального уравнения при численном решении последнего.

Теория асимптотик решений рекуррентных соотношений, включающая в себя асимптотическую теорию ортогональных многочленов и их обобщений, тесно связана с вопросами сходимости непрерывных дробей, рациональных аппроксимаций; другая область применения — спектральные задачи разностных операторов, задача рассеяния. Среди многочисленных работ, внесших за последнее время существенный вклад в развитие асимптотической теории рациональнах аппроксимаций, ортогональных многочленов и рекуррентных соотношенрШ, отметим работы А.Аптекарева, В.Буслаева, В.Буярова, А.Гончара, В.Дзядыка, В.Калягина, Е.Никишина, В.Прохорова, Е.Рахманова, В.Сорокина, П.Суетина, С.Суетина, И.Ша-рапудинова, Б.Беккермана, В. Ван Аше, М.Варги, Д.Геронимо, П.Дейфта,

A.Куэларса, Г.Лопеса, Д.Любинского, А.Мартинеса, Дж.Наттола,' Е.Саффа,

B.Тотика, Г.Шталя.

Нетрудно проверить, что всякая последовательность {/п}, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (0.1) с постоянными (не зависящими от п) коэффициентами а%,., а^ может быть записана в следующем явном виде т + > П> п0-к (0.2)

3=1 где Аь ., Аш - корни характеристического многочлена = хк + + - + ак кратностей Ь,. ,1т соответственно, ¿14— * 1"т — к.

Из явного вида (0.2) последовательности {/п}^0 следует, что если корни характеристического многочлена к(г) различны по модулю, то существует предел Нш^оо /п+1//п, и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена. Оказывается, что это утверждение имеет место не только для рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, но и для рекуррентных соотношений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти явный вид последовательности не представляется возможным. Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре одной из самых тонких в теории рекуррентных соотношений.

Теорема (Пуанкаре см. /110/). Пусть последовательность {/п}^=о удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.1) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена h(z) = lim (zk + а^-1 + • • • + akin) (0.3) n->oo 4 ' которого различны по модулю. Тогда либо fn = 0 при всех п > щ, либо существует предел limn^oo fn+i/ fn, и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена.

Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном для невырожденных рекуррентных соотношений. Напомним, что рекуррентное соотношение (0.1) называется невырожденным, если ф 0 при всех п = k,k + 1,Невырожденность соотношений (0.1) означает возможность однозначного определения значения /п при известных значениях /п+ъ • • • ? fn+k

Теорема (Перрон см. /108/, /109/). Пусть корни характеристического многочлена невырожденного рекуррентного соотношения (0.1) с предельно постоянными коэффициентами различны по модулю. Тогда для всякого корня А характеристического многочлена найдется последовательность {fn}%Lo> удовлетворяющая рекуррентным соотношениям (0.1) такая, что lim^oo /п+i/ fn — А.

Существенное продвижение в представлении решений рекуррентных соотношений было получено в цикле работ Биркгофа-Трыжинского (см. /59/, см. /60/, /61/) , в которых для любых полиномиальных по "п" коэффициентов разностного уравнения (0.1) доказывается существование асимптотических по "п" рядов для формальных базисных решений.

Теорема (Биркгоф, Трыжинский, 1932). Любое линейное разностное уравнение к-го порядка к аг0)90+г) = 0; (ао ф 0, акф 0) (0.4) г=0 с полиномиальными коэффициентами а{ имеет ровно к линейно независимых формальных решений следующего общего вида: оо то р ^ Ь-7 г , (¿(г) = цх 1п г + ^ ;

5=0 .7=0 г=1 рбМ, т€Ш{0}

Бели плоскость комплексного переменного г разбить на области кривыми = ^(фД^)), = 1, . ,п, то в каждой такой области, уходящей в бесконечность, существуют п линейно независимых аналитических решений уравнения (0.4), имеющих найденную асимптотику.

Особый интерес представляет случай, когда коэффициенты рекуррентного соотношения зависят от параметра (обозначим его х): р- 1

Эп+1(зр = У^аз(п,х)С}пЧ(х) , (0.5) о

Именно такие рекуррентные соотношения приводят к ортогональным многочленам и их обобщениям. Асимптотику решений С2п(х) для случаев стремления к бесконечности аргумента соотношения (номера п) и параметра х при различных соотношениях между их ростом называют асимптотиками типа Планшереля-Ротаха. Впервые (см. /107/), они появились для асимптотического описания многочленов Эрмита Нп при п —> оо и a) х = (2п+1)^т, 1 + b) х = (2п + 1)з - 2-5 3~з п-ъ г, г Е К <Ш С ; c) х = (2п+1)*0, -1 + 5^0^1-е. для фиксированных положительных е, си и комплексного I. Напомним, что многочлены Эрмита можно определить рекуррентными соотношениями

Нп+1(х) = 2хНп{х) - 2пНп-.1(х) , Н0 = 1, Я1=0 пеМ.

Асимптотики многочленов Эрмита были получены Планшерелем и Ротахом методом перевала из интегральных представлений для Нп(х), и долгое время оставался открытым вопрос о получении подобных асимптотик для многочленов, не обладающих интегральными представлениями.

Последние две декады (в работах Любинского, Рахманова, Тотика и Дейфта с соавторами) было разработано несколько методик получения и доказательства асимптотических формул типа Планшереля-Ротаха для ортогональных на действительной оси многочленов, используя в качестве входных данных положительные веса ортогональности. В то же время, в работах Шталя, Гончара, Рахманова, Аптекарева, С.Суетина, Наттола, а также Дейфта с соавторами был достигнут определенный прогресс в получении асимптотик многочленов, определяемых неэрмитовыми соотношениями ортогональности. Отметим, что именно неэрмитовы соотношения ортогональности сохраняют наличие рекуррентных, соотношения для ортогональных многочленов при рассмотрении комплексных весов ортогональности, сосредоточенных в комплексной плоскости.

• Однако, более или менее общие методики, позволяющие получать подобные асимптотики исходя из рекуррентных соотношений вида (0.5), ещё не так развиты. Первые глубокие результаты в этом направлении получены Геронимо с соавторами (м. /85/).Также отметим, отсутствие общих методов исследования сильных асимптотик для многочленов ортогональных относительно дискретных весов.

В связи с этим актуальной задачей является построение асимптотических разложений для базисных решений разностных уравнений (0.5) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях плоскости (п, х). Согласование ("сшивка") решений в пересечении рассматриваемых областей позволяет получить глобальную асимптотическую картину решений уравнений (0.5) в комплексной плоскости параметра х, при выборе соответствующего масштаба, зависящего от п. Тем самым, искомый метод должен быть ориентирован на получение глобальных асимптотик решений (0.5), используя в качестве входных данных коэффициенты рекурсий, подобно тому, как метод наискорейшего спуска для матричной задачи Римана-Гильберта (м. /74/, /75/) решает эту задачу для ортогональных многочленов, стартуя с весов ортогональности.

В некоторых ситуациях глобальное асимптотическое описание решения рекуррентных соотношений не обеспечивает точного описания решения в областях (п, х) при маленьких х. Например, речь может идти о локальной асимптотике многочленов Лагерра в окрестности точки х = 0. Сформулируем общую актуальную задачу о локальных асимптотиках такого сорта. Рассматриваются разностные уравнения со спектральным параметром х к

Q(n, х) = f(n)x qn+r + qn+i = 0, 0n G N, Z. (0.6) 0

Коэффициенты таковы, что при х — 0 уравнение (0.6) имеет решение степенного роста (с некоторыми полиномами pj 0)

Q(n,0) = 0 3 fy G С, nоо. (0.7) з

Задача заключается в получение асимптотик решения (0.6), (0.7), равномерных в "масштабированных" окрестностях т. х = 0 спектрального параметра

Яп{х) ~ ?, х Siîft С С, поо.

Мотивацию этой задачи можно пояснить следующими качественными соображениями. Известно, что вне спектра решения разностных уравнений имеют экспоненциальный характер роста или убывания. На спектре можно говорить об осцилляционном, ограниченном характере решений. Степенной рост вида (0.7) характерен для решений разностных уравнений (0.6) в концевых точек непрерывного спектра. Например, ортогональные многочлены, удовлетворяющие трех-членному рекуррентному соотношению, имеют такой порядок роста в конце носителя веса ортогональности. Тоже справедливо и для совместно ортогональных многочленов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям высокого порядка. Первые результаты в этом направлении были получены Аптекаревым (м. /4/).

Наконец, остановимся на приложениях асимптотической теории рекуррентных соотношений. Диофантовы приближения математических констант - одно из наиболее важных приложений теории рекуррентных соотношений, непрерывных дробей и рациональных аппроксимаций аналитических функций. Многие из доказательств трансцендентности (иррациональности) знаменитых констант основываются на конструкциях аппроксимаций или интерполяций аналитических функций. Особый интерес вызывает задача о построении и изучении асимптотических свойств последовательностей рациональных приближений к постоянной Эйлера

Постоянная Эйлера 7 наиболее известная константа, связанная с эйлеровыми суммами (значениями дзета функции Римана в натуральных точках)

Арифметическая природа постоянной 7 и значений в нечетных точках до сих пор не поддается исследованию (значения ("(5) в четных точках были получены еще Эйлером). Пока единственным конкретным результатом в этом направлении является доказательство Р. Апери в 1978 году иррациональности С(3).

Теорема (Апери /49/). Пусть числа ип и уп задаются следующим рекуррентным соотношением п 4- 1)3ип+1 = (2п + 1)(17п2 + 17п + 5)^ - п^и^ с начальными условиями г>0:=0, := в, щ := 1, щ := Ъ.

Тогда ип, £ Уп 6 N (здесь обозначает наименьшее общее кратное чисел {1,2, .,п}), и справедливы асимптотические формулы ип\1'п = {^2 + 1)А + о(1), г>п-С(3)гд1/п = (^-1)4 + о(1).

Тем самым, рекуррентное соотношение теоремы Апери не только определяет рациональные приближения £(3)

- С(з), ип но и (в виду того, что ВпП —>• е, и е3(л/2 — I)4 « 0.591. < 1) доказывает иррациональность С(3)- Надо также отметить, что построение с помощью рекуррентных соотношений рациональных приближений к математическим константам имеет самостоятельный интерес и известно всего лишь несколько результатов(м. /33/, /112/, /40/) в этом направлении.

Целью работы является:

О исследование решений рекуррентных (по п) соотношений с параметром х и коэффициентами от (п, х) общего вида (см. (0.5)) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях пространства (п, х)\

0 нахождение глобальных асимптотических разложений конкретных систем многочленов, генерируемых рекуррентными соотношениями с рациональными по (п, х) коэффициентами (включая многочлены ортогональные относительно дискретного веса);

О нахождение локальных асимптотик решений степенного роста рекуррентных соотношений со спектральным параметром;

О исследование асимптотических и арифметических свойств рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера.

В основе проведенного в диссертации исследования лежат методы теории функции, комплексного анализа, специальных функций, обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории динамических систем.

Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные полученные результаты таковы:

1) предложен и обоснован метод получения глобально согласованных разложений базисных решений рекуррентных соотношений с рациональными от номера и полиномиальными от параметра коэффициентами;

2) получены и доказаны формулы сильной асмптотики (типа Планше-реля - Ротаха) для многочленов Мейкснера.

3) описан класс рекуррентных соотношений, базисные решения которых имеют степенной рост; для решений этих рекуррентных соотношений доказаны асимптотики, равномерные по спектральному параметру, взятому в соответствующих масштабах;

4) найдена асимптотика базиса решений рекуррентных соотношений генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера; доказана це-лочисленность числителей и знаменателей этих аппроксимаций.

Диссертация изложена на 236 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 138 наименований.

1. М. Абрамович, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, М. Наука, 1979.

2. А. И. Аптекарев, Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Toda, Матем. сб. 125, (2), (1984), 231-258.

3. А. И. Аптекарев, Асимптотика полиномов совместной ортогональности в случае Андэюелеско, Матем. сб. 136(125), 1(5), (1988), 56-84.

4. А. И. Аптекарев, Асимптотика ортогональных полиномов в окрестности концевой точки интервала ортогональности, Матем. сб. 183,5., (1992), 42-62.

5. А. И. Аптекарев, Сильная асимптотика многочленов совместной ортогональности для систем Никишина, Матем. сб. 190, (5), (1999), 3-44.

6. А. И. Аптекарев, Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций, Матем. сб. 193, (1), (2002), 3-72.

7. А. И. Аптекарев, Г. Лопес Лагомасино, И. А. Роча, Асимптотика отношения многочленов Эрмита-Паде для системы Никишина, Матем. сб. 196, (8), (2005), 4-20.

8. А. И. Аптекарев и Р. Ф. Хабибулин, Асимптотические ряды для многочленов, ортогональных относительно комплексного переменного веса, Труды ММО 68, (2006), 3-43.

9. А. И. Аптекарев (редактор), Рациональные аппроксимации константы Эйлера и рекуррентные соотношения, Совр. пробл. матем., 2007:9.

10. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов Асимптотика 7-форм, генерируемых совместно ортогональными многочленами, Современные проблемы математики, 2007, вып. 9, ред. А. И. Аптекарев, МИР АН, 55-62

11. Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею, Физматгиз, М. 1961,

12. Н.И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимаций, М.-Л., ОГИЗ-ТТЛ, 1947.

13. А. И. Боголюбский, Рекуррентные соотношения с рациональными коэффициентами для некоторых совместно ортогональных многочленов, задаваемых формулой Родрига, Современные проблемы математики, 2007, вып. 9, ред. А. И. Аптекарев, МИРАН, 27-35.

14. Ж. Бустаманте, Г. Лопес Лагомасино, НегтИе-РасЬё аппроксилшции для никишинских систем аналитических функций, Мат. Сб., 138 (1992), № 11, 117-138.

15. Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, М., ГИФМЛ, 1963.

16. А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей,2-е изд. ГИФМЛ М. 1959,

17. A.A. Гончар, Рациональные аппроксимации аналитических функций, Труды международного конгресса математиков. Беркли, 1986,1987, 739-748.

18. А. А. Гончар, О задачах Е. И. Золотарёва, связанных с рациональными функциями, Матем. сб. 78 120, (4) (1969), 640-654.

19. А. А. Гончар, О скорости рациональной аппроксимации аналитических функций, Труды МИАН. 116 (1984), 52-60.

20. A.A. Гончар, О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций, Матем. сб. 105(147), 2, (1978), 147-163.

21. А. А. Гончар, Скорость рациональной аппроксимации и свойство однозначности аналитических функций в окрестности изолированной особой точки, Матем. сб. 94(136), 2, (1974), 266-282.

22. A.A. Гончар, Г. Лопес, О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде, Матем. сб. 105(147), 4, (1978), 512-524.

23. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов, Матем. сб. 125(167), 1, (1984),117-127.

24. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа, Труды МИАН, 157, 1981, 31-48.

25. A.A. Гончар, E.А. Рахманов, О задаче равновесия для векторных потенциалов, УМН, 40, 4, 1985, 155-156.

26. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций, Матем. сб. 134, 3, (1987),306-352.

27. A.A. Гончар, Е.А. Рахманов, В.Н. Сорокин Аппроксимации Эрмита-Паде для систем функций марковского типа, Матем. сб. 188, 5, (1997),33-58.

28. А. Р. Итс, А. В. Китаев, А. С. Фокас, Изомонодромный подход в теории двумерной квантовой гравитации, УМН., 1990, vol. 45, 6, 135-136.

29. В. А. Калягин, Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности, Матем. сб. 1979, Vol. 110(152), 4(12), 609-627.

30. В. А. Калягин, Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральный анализ несимметричных операторов, Матем. сб. 1994, Vol. 185, (6), 79-100.

31. H. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, М., Наука, 1966.

32. В. Г. Лысов, Сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита-Паде для системы стильтьесовских функций с весом Лагерра, Матем. сб. 196, (12), (2005), 99-122.

33. Ю. В. Нестеренко, Некоторые замечания о С(3), Матем. заметки, 59 -(6), (1996), 865-880.

34. Е. М. Никишин, Асимптотика линейных форм для совместных аппроксимаций Паде, Изв. вузов. Сер. матем., 1986, 2, 33-41.

35. Е. М. Никишин, В.Н Сорокин. Рациональные аппроксимации и ортогональность, М., Наука, 1988.

36. Е. А. Рахманов, Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси, Матем. сб. 119(161), 2, (1982),163-203.

37. Г. Сегё, Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962.

38. В.Н. Сорокин, Обобщённые многочлены Полачека, Матем. сб. 200, (4), (2009), 113-130.

39. В. Н. Сорокин, Обобщение классических ортогональных многочленов и сходимость совместных аппроксимаций Паде, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, Изд-во Моск. ун-та, М. 1986, Vol. 11, 125-165

40. В.Н. Сорокин, Об одном алгоритме быстрого вычисления 7г4, Препринт Ин-та Прикладной Математики им. М. В. Келдыша РАН, №28, 2002.

41. В. П. Спиридонов, Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций, УМН, 63:3(381) (2008), 3-72

42. С. П. Суетин, О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций, Матем. сб., 191, (9), (2000), 81-114.

43. С. П. Суетин, О сильной асимптотике многочленов, ортогональных относительно комплексного веса, Матем. сб. 200, (1), (2009), 81-96.

44. Д. В. Христофоров, Рекуррентные соотношения для аппроксимаций Эрмита-Паде одной системы из четырёх функций марковского и сти-лтьесовского типа, Современные проблемы математики, 2007, вып. 9, ред. А. И. Аптекарев, МИР АН, 11-26.

45. И. И. Шарапудинов, Об асимптотике и весовых оценках полиномов Мейкснера, ортогональных на сетке {0,5,25, :}, Матем. заметки, 62:4 (1997), 603-616.

46. А. А. Шкаликов, Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений, Функц. анализ и его прил, 41:2 (2007), 93-110.

47. Г. Шталь, Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации \х\ на -1,1., Матем. сб. 183, 8, (1993),85-118.

48. A. Angelesco, Sur deux extensions des fractions continues algébriques, C.R. Acad. Sei. Paris 168 (1919), 262-265.

49. R. Apery, Irrationalité de C(2) et C(3), Asterisque, 61, (1979), 11-13.

50. A. I. Aptekarev, Multiple orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 99 (1998), no. 1-1, 423-448.

51. A. I. Aptekarev, P. M. Bleher, and A. B. J. Kuijlaars, Large n limit of Gaussian random matrices with external source, Part II, Comm. Math. Phys. 259 (2005), 367-389.

52. A.I. Aptekarev, A. Branquinho, W. Van Assche, Multiple orthogonal polynomials for classical weights, Trans. Amer. Math. Soc. 2003, Vol. 355, (10), 3887-3914.

53. A. I. Aptekarev and H. Stahl, Asymptotics of Hermite-Pade polynomials, in 'Progress in Approximation Theory' ( A. Gonchar, E. B. Saff, eds.), SpringerVerlag, Berlin, 1992, pp. 127-167.

54. A. I. Aptekarev and W. Van Assche, Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weight, J. Approx. Theory 129 (2004), №. 2, 129-166.

55. A. I. Aptekarev, V. Kalyagin, G. Lopez Lagomasino and I. A. Rocha On the limit behaviour of recurrence coefficients for multiple orthogonal polynomials, Journal Approximation Theory, 139, 2006, 346-370.

56. J. Baik, P. Deift, K. T-R. McLaughlin, P. Miller, and X. Zhou, Optimal tail estimates for directed last passage site percolation with geometric random variables, Adv. Theor. Math. Phys. 5 (2001), no. 6, 1207-1250.

57. R. T. Baumel, J. L. Gammel, and J. Nuttall, Asymptotic form of Hermite-Pade polynomials, IMA J. Appl. Math. 27 (1981), no. 3, 335-357.

58. S. N. Bernstein, Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini. I, II, J. Math. Pures Appl. (9) 9 (1930), 127-177; 10 (1931), 219-286.

59. D. G. Birkhoff, General Theory of Linear Difference Equations, Trans. Amer. Math. Soc. 1911, Vol. 12, (2), 243-284.

60. D.G. Birkhoff, W.J. Trjitzinsky, Analytic theory of singular difference equations, Acta Math. 1933, Vol. 60, (1), 1-89.

61. D.G. Birkhoff, Formal theory of irregular linear difference equations, Acta Math. 1930, Vol. 54, (1), 205-246.

62. P. Bleher and A. Its, Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann-Hilbert problem, and universality in the matrix model, Ann. Math. 150 (1999), 185-266.

63. P. Bleher and A. Its, Double scaling limit in the random, matrix model: the Riemann-Hilbert approach, Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), 433-516.

64. P. M. Bleher and A. B. J. Kuijlaars, Large n limit of Gaussian random matrices with external source, Part /, Comm. Math. Phys. 252 (2004), 4376.

65. P. M. Bleher and A. B. J. Kuijlaars, Large n limit of Gaussian random matrices with external source, Part III. Double scaling limit, Comm. Math. Phys. 270 (2007), 481-517.

66. P. B. Borwein, Quadratic Hermite-Pade approximation to the exponential function, Constr. Approx. 2 (1986), 291-302.

67. M. de Bruin, Some aspects of simultaneous rational approximation, in "Numerical Analysis and Mathematical Modelling", Banach Center Publications 24, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1990, pp. 51-84.

68. T. Claeys and A. B. J. Kuijlaars, Universality of the double scaling limit in random matrix models, Comm. Pure Appl. Math. 59 (2006), 1573-1603.

69. T. Claeys and A. B. J. Kuijlaars, Universality in unitary random matrix ensembles when the soft edge meets the hard edge, preprint arXiv:math-ph/0701003.

70. T. Claeys, A. B. J. Kuijlaars and M. Vanlessen, Multi-critical unitary random matrix ensembles and the general Painleve II equation, preprint arXiv:math-ph/0508062, Annals of Mathematics (to appear).

71. T. Claeys and M. Vanlessen, Universality of a double scaling limit near singular edge points in random matrix models, Comm. Math. Phys. 273 (2007), 499-532.

72. E. Daems, A. B. J. Kuijlaars, and W. Veys, Asymptotics of non-intersecting Brownian motions and «4x4 Riemann-Hilbert problem, preprint arXiv:math/0701923.

73. P. Deift, Orthogonal Polynomials and Random Matrices: a RiemannHilbert approach, Courant Lecture Notes in Mathematics, Vol. 3, New York; Amer. Math. Soc., Providence RI, 1999.

74. P. Deift and X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory RiemannHilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2) 137 (1993), №. 2, 295-368.

75. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R. McLaughlin, S. Venakides, and X. Zhou, Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights, Comm. Pure Appl. Math. 52 (1999), №. 12, 1491-1552.

76. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R. McLaughlin, S. Venakides, and X. Zhou, Asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights, Internat. Math. Res. Notices 1997:16 (1997), 759-782.

77. M. Duits and A. B. J. Kuijlaars, Painlevé I asymptotics for orthogonal polynomials with respect to a varying quartic weight, Nonlinearity 19 (2006), 2211-2245.

78. V. Kaliaguinea, A. Ronveaux, On an system of "classical" polynomials of simultaneous orthogonality, J. Comput. Appl. Math. 1996, Vol. 67, (2), 207217

79. S. Kamvissis, K. T-R. McLaughlin, and P. D. Miller, Semiclassical soliton ensembles for the focusing nonlinear Schrödinger equation, Annals of Mathematics Studies, Vol. 154, Princeton Univ. Press, Princeton NJ, 2003.

80. T. Kriecherbauer and K. T-R. McLaughlin, Strong asymptotics of polynomials orthogonal with respect to Freud weights, Internat. Math. Res. Notices 1999:6 (1999), 299-333.

81. A. B. J. Kuijlaars, K. T-R. McLaughlin, W. Van Assche, and M. Vanlessen, The Riemann-Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on -1,1., Adv. Math. 188 (2004), no. 2, 337-398.

82. A. B. J. Kuijlaars, H. Stahl, W. Van Assche, and F. Wielonsky, Asymptotique des approximants de Hermite-Padé quadratiques de la fonction exponentielle et problèmes de Riemann-Hilbert, C.R. Math. Acad. Sei. Paris 336 (2003), 893-896.

83. A. B. J. Kuijlaars, H. Stahl, W. Van Assche, and F. Wielonsky, Type II Hermite-Pade approximation to the exponential function, J. Comput. Appl. Math, (to appear)

84. A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche, and F. Wielonsky, Quadratic Hermite-Pade approximation to the exponential function: a Riemann-Hilbert approach, Constr. Approx. 21 (2005), 351-412.

85. A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, and L. Lovasz, Factoring polynomials with rational coefficients, Mathematische Annalen, 1982, 261, 515-534.

86. G. Lopez, Szego's theorem for polynomials orthogonal with respect to varying measures, Berlin, Springer-Verlag, 1988. (Lecture Notes in Math. V. 1329.)

87. D.S. Lubinsky Strong asymptotics for extremal errors and polynomials associated with Erdos-type weights, Longman Scientific and Technical, Harlow, UK, 1989. (Pitman Res. Notes Math. Ser. V. 202.)

88. V. Lysov, F. Wielonsky, Strong asymptotics for multiple Laguerre polynomials, Constructive approximation 28, (2008), 61-111.

89. K. Mahler, Perfect systems, Compositio Math. 19 (1968), 95-166.

90. A. A. Markov, Deux demonstrations de la convergence de certaines fractions continues, Acta Math. 19 (1895), 93-104.

91. J. Nuttall, The convergence of Fade approximants to functions with branch points, in 'Pade and rational Approximation' (E. B. Saff, R. S. Varga, eds.), Academic Press, New York, 1977, pp. 101-109.

92. J. Nuttall, Sets of minimum capacity, Padé approximants and the bubble problem, in 'Bifurcation Phenomena in Mathematical Physics and Related Topics' (C. Bardos, D. Bessis, eds.), Reidel, Dordrecht, 1980, pp. 185-201.

93. J. Nuttall, Hermite-Padé approximants to functions meromorphic on a Riemann surface, J. Approx. Theory 32 (1981), no. 3, 233-240.

94. J. Nuttall, Asymptotics of-diagonal Hermite-Padé polynomials, J. Approx. Theory 42 (1984), no. 4, 299-386.

95. J. Nuttall and S. R. Singh, Orthogonal polynomials and Padé approximants associated with a system of arcs, J. Approx. Theory 21 (1977), no. 1, 1-42.

96. M. Plancherel, W. Rotach, Sur les valeures asymptotiques des polynomes d'Hermite, Commentarii Math. Helvetici, 1929, Vol. 1, 227-257.

97. O. Perron, Über einen Satz des Herrn Poincaré, J. Reine Angew. Math. 1909, Vol. 136, 17-37.

98. O. Perron, Über die Poincarésche lineare Differenrengleichung, J. Reine Angew. Math. 1910, Vol. 137, 6-64.

99. H. Poincaré, Sur les Equations Linéaires aux Différentielles Ordinaires et aux Différences Finies, Amer. J. Math. 1885, Vol. 7,(3), 203-258.

100. T. Rivoal, W. Zudilin, Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant, Math. Annalen, 326 (4), (2003), 705-721.

101. T. Rivoal, Rational approximations for values of derivatives of the gamma function, (http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ rivoal/articles.html)

102. E. B. Saff and V. Totik, Logarithmic Potentials with External Fields, Springer-Verlag, New-York, 1997.

103. C. L. Siegel, Topics in Complex Function Theory, Interscience, New York, Vol. I, 1969; Vol. II, 1971.

104. H. Stahl, The structure of extremal domains associated with an analytic function, Complex Variables Theory Appl. 4 (1985), no. 4, 339-354.

105. H. Stahl, Orthogonal polynomials with complex-valued weight function. I, II, Constr. Approx. 2 (1986), no. 3, 225-240; 241-251.

106. H. Stahl, Simultaneous rational approximants, in 'Computational Methods and Function Theory 1994 (Penang)', World Scientific, Singapore, 1995, pp. 325-349.

107. H. Stahl, Asymptotics for quadratic Hermite-Pade polynomials associated with the exponential function, Electronic Trans. Num. Anal. 14 (2002), 193220.

108. H. Stahl, Quadratic Hermite-Pade polynomials associated with the exponential function, J. Approx. Theory 125 (2003), 238-294.

109. H. Stahl, Asymptotic distributions of zeros of quadratic Hermite-Pade polynomials associated with the exponential function, Constr. Approx. 23, no. 2 (2006), 121-164.

110. V. Totik Weighted approximation with varying weights, Berlin, SpringerVerlag, 1994. (Lecture Notes in Math. V. 1569.)

111. W. Van Assche, Pade and Hermite-Pade approximation and orthogonality, Surveys in Approximation Theory 2 (2006), 61-91.

112. F. Wielonsky, Asymptotics of diagonal Hermite-Pade approximants to e~, J. Approx. Theory 90 (1997), 283-298.

113. Д. H. Туляков, О локальной асимптотике отношения ортогональных полиномов в окрестности крайней точки носителя меры ортогональности, Матем. сб. 2001, Vol. 192, (2), 139-160.

114. Д. Н. Туляков, Базисы степенного роста разностных уравнений со спектральным параметром, Матем. сб. 200, (5), (2009), 129-158.

115. Д. Н. Туляков, Асимптотика типа Планшереля-Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами, Матем. сб. 201, (9), (2010), 111-158.

116. Д. Н. Туляков, Система рекуррентных соотношений для рациональных аппроксимациий постоянной Эйлера, Матем. Заметки, 2009, 85, (5), 782-787.

117. Д. Н. Туляков, О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений, Современные проблемы математики, 2007, вып. 9, ред. А. И. Аптекарев, МИРАН, 45-53.

118. Д. Н. Туляков, Об одном свойстве условно сходящихся рядов , Матем. заметки, 2007, 81:2, 317-320.

119. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Четырёхчленные рекуррентные соотношения для 'у-форм, Современные проблемы математики, 2007, вып. 9, ред. А. И. Аптекарев, МИРАН, 37-43.

120. А. И. Аптекарев, Д. Н. Туляков, Об определителе целочисленной решётки, генерируемой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера, Труды ММО, 70, 2009, 329-345.

121. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, Глобальный режим распределения собственных значений случайных матриц с ангармоническим потенциалом и внешним источником, ТМФ, 2009, 159:1, 34-57.

122. A.I. Aptekarev, V.A. Kalyagin, V.G. Lysov and D.N. Tulyakov, Equilibrium of vector potentials and uniformization of the algebraic curves of genus 0, J. Сотр. and Appl. Math., 233 (2009), 602-616.

123. A.I. Aptekarev, A. Draux, D.N. Tulyakov, Discrete spectra of certain corecursive Pollaczek polynomials and its applications, Function Theory and Computational Methods, 2002, 2(2), 519-537

124. А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, Случайные матрицы с внешним источником и асимптотика совместно ортогональных многочленов, Матем. сб., 2011, 202:2, 3-56.