Асимптотика решений эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

6 од

6 ДПР 1293 РОССИЙСКАЯ-АКАДЕМИЯ-НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

на правах рукописи

ЛЕПИКОВА Елена Федоровна

АСШТОТШ РЕШЕНИЯ ЭЛМ1ТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕШ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1993

Работа выполнена в отделе прьлпадных задач Института математики и механики Уральского отделения РАН

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор В.Ы.Бабич

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Калякин

доктор физико-математических наук, профессор Н.Х.Розов .

Ведущая организация : Московский государственный университет

Защита диссертации состоится 43« .АьйЛ, 1993г. в_£/час._мин. на заседании специализированного совета Д 002-.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620066, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской,16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан "/И" СоЬ//и<Л<1- 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. М.И.Гусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе рассматриваются два круга

задач, тесно связанных между собой. Задачи первого типа состоят в исследовании поведения решения дифференциальных уравнений с частными производными при больших значениях аргументов. Задачи второго типа относятся к дифференциальным уравнениям с малым параметром при старших производных. Выяснение асимптотики решений этих задач при стремлении малого параметра к нулю играет большею роль в различных областях математики, механики, физики и техники. Асимптотика решений подобных сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений изучалась в работах Н.К.Боголюбова, Н.М.Крылова и Ю.А.Митропольского, В.Вазова, А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой А.А.Дородницына, Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова и многих других математиков.

В теории уравнений с частными производными особенно интенсивное развитие асимптотические методы получили в последние два три десятилетия. Первые достижения по обоснованию и развитию метода пограничного слоя связаны с' именами Н.Левинсона, о.А.олейник, М.М.Вишика, Л.А.Лвстерника.'

Позднее нпшг.ние исследователей привлекли более сложные, так называемые бисингулярные задачи. Строгое математическое обоснование асимптотики решений бисингулярных задач для уравнений с частными производными было проведено в работах М.Ван-Дайка, .5.Френкеля, В.Зкхзуза, В. М. Бабича, М.В.Федорюка, А.М.Ильина, ВЛ'.Мазьи и их учеников. Асимптотика решений многих бисингулярных задач математической физики изучена в работах В.П.Маслова и его учет-асов. Угловые пограничные слои изучались В.Ф.Кутузовым и • его ученикам!?.

Бисингулярных краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными характерны тем, что после перехода к новым, растянутым переменным в малой окрестности особого многообразия естественным образом возникают новые краевые задачи уже без малого параметра, но в неограниченных областях. Ж оказывается

необходимым изучение асимптотики решений при больших значениях независимых переменных. Таким образом приобретают значительную актуальность и задачи первого типа. Детальное выяснение асимптотики решений этих задач на бесконечности дабт возможность применить метод согласования и получить равномерную асимптотику решений уравнений с малым параметром. Но, кроме того, . задачи первого типа несомненно имеют и собственную математическую ценность. В данной диссертации изучаются краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях и задача Кош для параболических уравнений при больших значениях времени.

Поведение на бесконечности решений эллиптических уравнений исследовалось в работах О.А.Олейник, М.С.Аграновича, М.И.Вишика, В.А.Кондратьева, Л.А.Багирова, В.Г.Мазьи, С.А.Назарова/ В.А.Козлова. Однако , объектом исследования в основном являлся случай, когда младший оператор - это либо эллиптический оператор порядка 2ш0 > 0, либо оператор нулевого порядка. В этом случае при г —> со вдали от границ рассматриваемой области решение исходной задачи ведёт себя как решение уравнения, соответствующего младшему оператору, удовлетворяющее части граничных условий, а в окрестности границы к этому решению добавляются функции типа погранслоя

Рассматриваемое в диссертации уравнение, т.е. случай, когда младший оператор - это оператор первого порядка, имеет специфический характер. На бесконечности его решение близко к решению некоторого параболического уравнения. Кроме того, структура асимптотических разложений зависит от взаимного расположения границы рассматриваемой области к характеристик предельного оператора .

Для параболических уравнений метод согласования применяется для изучения асимптотического поведения фундаментального решения (ФР) задачи Коши при больших значениях времени.

Поведению решений. различных задач для линейных параболических уравнений при г —> со посвящено большое число работ. Основным содержанием этих работ является изучение вопросов стабилизации решений задач Коши или краевых задач. Изучалась зависимость поведения решений при больших значениях Г ( скорость стабилизации, равномерность стабилизации ) от рассматриваемых

областей, коэффициентов уравнений и начальных функций. Сюда прежде всего следует отнести работы А.К.Гущина, В.П.Михайлова, Ф.О.Порпера и С.Д.Эйдельмана, а также Т.М.Зеленяка Л.А.Багирова, М.А.Шубина , А.М.Ильина и Р.З.Хасьминского Литература , посвященная исследованию поведения ФР, менее обширна. В работах О.А.Олейник, В.В.Жикова, С.М.Козлова рассмотрены параболические уравнения с периодическими коэффициентами и получен главный член асимптотики ФР при t —» » . Непосредственно к теме исследования относятся работы М.Мюраты. В работе Л.Д.Эскина методами теории вероятности построен главный член ФР задачи Коши для уравнения диффузии с младшим членом.

В работе Д.Р.Яфаева исследовано асимптотическое поведение при t -> к. ФР задачи Кош для параболического уравнения в случае медленного убывания коэффициента при неизвестной функции.

В диссертации при определенных условиях на поведение коэффициентов при |х| -» « методом согласования построены и обоснованы асимптотические представления ФР при t —» « .

Цель работы. Целью диссертации является исследование

.асимптотического поведения решений краевых задач для уравнений с "частными производными в неограниченных областях, а также использование полученных результатов для получения асимптотических . разложений решений краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в областях с коническими точками.

Метода исследования. Основным методом исследования является

метод согласования асимптотических разложений 1 , с помощью которого определяются асимптотики решений в разных подобластях. Систематически используется качественная теория уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений. В третьей главе диссертации важную роль играет преобразование Лапласа и связанные с этим методы теории фунций комплексного

и.М.Ильин. Согласование асимптотических разложений решений 'краевых задач ..-Наука, 1989, 336 с.

переменного.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации,

являются новыми. В ней

1.Построены и обоснованы полные асимптотические разложения на бесконечности для решений эллиптических уравнений в тех случаях, когда главной составляющей оператора на бесконечности является дифференциальный оператор первого порядка.

2.Построены и обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру . для решений, сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с коническими точками.

3.Построены и обоснованы полные . асимптотические разложения фундаментальных решений параболических уравнений при больших значениях времени, равномерные относительно пространственных переменных.

Теоретическая и практическая ценность. Исследования,

проведенные в работе, имеют, прежде всего, теоретическое значение. Это связано с тем обстоятельством, что полученные в ней результаты носят законченный характер в том смысле, что построены и обоснованы асимптотики решений с точностью до произвольной степени малого параметра, рассматриваемого в данной задаче. Это может быть числовой параметр (как в главе II), величина, обратная радиусу, либо обратная времени.

С другой стороны, как полученные в работе конкретные результаты, так и разработанные в ней методы, могут быть успешно использованы при качественном анализе и при численном решении прикладных задач. Главный член асимптотики указывает на правильный порядок искомого решения и помогает контролировать численные расчеты. А при достаточно малых значениях параметра один или два члена построенных асимптотических разложений позволяют относительно легко и намного проще, чем при расчетах на ЭВМ, получить и правильные численные значения.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно

докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского, на семинарах А.Ф.Сидорова, в ИММ УрО РАН, В.М.Бабича в ЛОМИ РАН, О.А.Олейник в МГУ, В.П.Михайлова в МИ РАН и на других семинарах,-

на всесоюзных и международных конференциях.

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации,

опубликованы в работах [1-151.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 135 наименований. Объем работы составляет 218 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. В первой главе рассматривается первая краевая задача для уравнения

т = [(-1)" Р^С®,,.»,; + з>у] и = Г(х,у) (0.1)

4 |30 = , о^ 1 ^ п-1 (0.2) дО

в неограниченной области А е к3 с границей з 0 е С®. Здесь Р2пС5,г(; - однородный полином степени 2п с вещественными

коэффициентами, п г 1, Вх = ( 1>1 ,В2 ), В. = а/ах., Ву - а/эу, 1> - нормаль к а О,

з И0 > 0 : Р2п(?,т}) а [¡о (\ц2п + п2п * (0.3)

Предполагается, что область й вне некоторого шара с центром н начале координат совпадает с конусом , удовлетворяющим условию: ни одна из образующих конуса не лежит на оси у. Образующую конуса будем называть особой , если касат&льная плоскость к конусу, проходящая через эту образующую , содержит ось у .

Исследуемые задачи могут быть двух видов в зависимости от того, содержит ли коническая поверхность особые образующие. В свою очередь, особые образующие условно могут быть поделены на два класса. К первому классу отнесем особые образующие, для которых касательная плоскость в окрестности этой образующей лежит внутри конуса П1 (внутреннее касание). Ко второму классу отнесбм

особые образующие, для которых касательная плоскость в окрестности образующей лежит вне конуса ( внешнее касание ).

Опишем теперь исходные данные задачи, т.е. правые части f(x,y) и граничные функции (х,у). Рассматриваются правые части f(x,y) такие, что \f(x,y)\ = 0( r~n ), v N, г -» а

относительно граничных функций предполагается, что они являются полиномами от х ,у. Очевидно, что к такой задаче может быть сведена и задача, для которой правая часть f(x,y) при г -> » быстро стремится к некоторому полиному от х, у. Решение задачи (0.1). (0.2) рассматривается в классе функций, растущих на бесконечности не быстрее некоторой степени г ( функций медленного роста ).

Основная часть исследования проведена для уравнений второго порядка, т.е. для п = 1. Это вызвано с одной стороны тем, что предложенный алгоритм не зависит от порядка уравнения, а с другой стороны - его громоздкостью при п > 1. В §§ 2-5 изучается наиболее сложный случай внутреннего касания. В § б изучается более простой случай внешнего касания, а в § 7 - случай, когда сосбые образующие отсутствуют.

Всюду в диссертации, в том числе и в данной главе, изучение асимптотик решений тех или иных краевых задач проводится по одному и тому же плану. На первом этапе строится формальное асимптотическое решение задачи, называемое в дальнейшем ФАР, т.е. некоторый асимптотический ряд, формально удовлетворяющий рассматриваемому уравнению и краевым условиям. Существование этого ряда позволяет свести исследуемую задачу к задаче с быстро убывающими исходными данными: правой частью, граничными функциями. В зависимости от ситуации для решения этой задачи получаются либо соответствующие оценки, и тогда построенное ФАР является асимптотическим разложением исследуемого решения, либо более простое, чем для исходной задачи, асимптотическое представление, которое в сумме с ФАР даёт асимптотическое разложение исследуемого решения. Зачастую, именно первый этап исследования оказывается наиболее сложным и его реализация требует определенной изобретательности.

Перейдем к изложению результатов данной главы. Рассмотрим случай внутреннего касания. Будем без ограничения общности

считать, что конус , с которым вне некоторого шара совпадает рассматриваемая область О , является дополнением к конусу

Я2 = { х,у: у25 х^х2 82(ц>), о, х32 О

где а = х2 х^ - полярный угол, € Ю,я/2),

а) > О, g(0) - в(п/2) - 1. Особыми образующими являются полуоси

Х^,Х2, X^ О, Г2г О.

Задача (0.1),(0.2) принимает вид

т = [-Р^К^у) + ] и = ' (0-4)

и 1вО = - " <°-5>

где Р2(%,Г1) - полином второй степени, удовлетворяющий условию (0.3), ц'- фиксированное число, р= \х\, функция Ф0Гь>; е С (0,11/2), 1> 5 е К1, 1>, 2 О (1=1,2) и

1> к/2

Ф(а) = ы 2_ ск ш ПРИ а

к=0

"а Г^ - к/2

Ф(а) = (п/2-а) (п/2~а ) при а -> п/2. (0.6)

к=0

Решение задачи (0.4), (0.5) ищется в классе функций медленного роста, стремящихся при у - « чк нулю сверхстепенным образом равномерно внутри какого-нибудь кругового конуса, ось которого совпадает с отрицательной полуосью у.

В области П существует несколько различных подобластей, в которых асимптотика имеет разный характер. В каждой из этих областей строится свое ФАР, которое должно быть согласовано с ФАР в смежных областях. При этом используется метод согласования асимптотических разложений.

Сначала рассмотрим область у '< О. Вдоль лучей, параллельных

оси у и не пересекающихся с конусом пз, (т.е. для х е к2\ А,

где л - первый квадрант ( л = I х : х1,х2 > О ) ; ФАР равно нулю.

1 при х € А, у -> - со ФАР представляет собой сушу обычных

функций погранслоя, т.е. экспоненциально убывающих при у -» - »

решений обыкновенных дифференциальных уравнений. "Быстрая"

переменная X ( или переменная пограничного слоя ) - это расстояние

от точки конуса О до его границы а а , измеренное вдоль оси

1/2

у : -X = - Су + Н(х) ), X 5 О, где Н(х) = (х^) е(а) ( у = - Н(х ) - уравнение нижней части границы конуса).

Итак, ФАР в окрестности нижней части границы при г, —> <», х3 -* ю, у —> - ю имеет вид

00

П1 в )_ (0.7)

1=0

Для определения функций получается система рекуррентных

соотношений вида:

п0 юк(х,Х) = С г^,!^,...,^ ) при X £ О,

и>0(х,0) = р^ Ф0(а), шк(х,0) = 0 при к г 1, (0.8) 2

где п0 = -с(х) + г>4 , с(х) = Р2 ( ъх н, 1), правые части Гк(х,Х) зависят от производных "предыдущих" функций ю.(х,Х), О £ I * к-1.

Однако, коэффициент о(х) оператора по и начальная

функция и>о(х,0) ( см. (0.6) ) негладкие, и начиная с некоторого

к, правые части системы (0.8),а следовательно и функции ш (хл) будут иметь особенности на полуосях х , х , и порядок этих особенностей растёт с ростом номера к. То есть ФАР (0.7) становится непригодным в окрестностях полуосей Х1>Х2 ( х1 ,х2 > 0 ). Около этих полуосей решение имеет другую структуру. Поведение функций т^х.Х) при и ~> 0 и при ш —> я/2 подробно изучается во втором параграфе.

В § 3 формулируются и доказываются вспомогательные предложения, которые используются в следующих параграфах' для

построения ФАР, т.е. по сути деда описывается аппарат построения различных ФАР, возникающих в рассматриваемой задаче.

Вводятся некоторые специальные классы функций следующим образом. Пусть г с к1", х &К1, п - целое неотрицательное. Функции определим как решения задач:

„ = Г - ®2 + ® 1 = 0

ОЛ.п [_ т у ] Л. Л

при у > 0 ,

при г > 0 , при г < 0 ,.

где функции п(2,у) - медленного роста и гладкие всюду при у г О кроме, мозкет быть, начала координт. При А. г о функция ~ это ПР00"10 свертка фундаментального решения оператора 10 с начальной функцией. Для функции п(г,у) в этом случае легко получить представление

п

7х>п(г,у) - ^ «¿9) 1п'у , (0.9)

1=0

где 9 = 2 у-1/3. При л. < 0 уравнение и начальное условие не определяют п однозначно ввиду возможных особенностей в начале координат. В этом случае дабтся конструктивное описание этих функций. Они определяются как некоторые производные по г от функций V л(2,у), где а а 0 . По построению функции п(г,у) для'любых Л имеют вид (0.9).

Определение. Линейную оболочку функций вида 5 7^ п обозначим через 5П , где й - полином. По

определению множество т шшариантно относительно умножения на целые неотрицательные степени 2,у и относительно дифференцирования по г,у. Кроме того, каждый элемент множества м является суммой слагаемых вида (0.9). Число X будем называть порядком функции вида (0.9). Подмножество элементов класса и, имеющих фиксированный порядок X, будем обозначать через к (X).

Пусть теперь х е к , у > 0. Определим класс к функций и(х,у) следующим образом. В качестве "образующих" возьмем

ч,

Г

функции Хр1Ч1П(х,у) - решения уравнения

я I.

хр,ч,п = 0 при у>0 (0.10)

удовлетворяющие начальным условием

Р I Ч > л

при X е Л при г г л ,

го.и;

где А - первый квадрант, р с к1, q = (д1Гда) е к2, п = (п1,п2,п3), тг4- целые неотрицательные числа,

у

„«.«/^ = 111 Ч 1п Ч 1п"эр -

"2 „5

= 2:1 р° По), 5 = р - п«; € Сю( 0,£ )П с [ 0,5 3,

с,, ы

1»/2

кко

\ а г 5 - а

/ "к V 2 и ;

к = 0

и —» О

и -» П/2 .

При отрицательных д1 и 6 начальные функции п(х) имеют особенности и, вообще говоря, решения задач (0.10),(0.11) не могут быть получены в виде свертки начальных функций с фундаментальным решением С(х,з,у) оператора я . Поэтому при построении решений задач (0.10),(0.11) будет использован тот же прием, что и для рассмотренных выше одномерных задач.

При д1 а О, дг * о, р г о определим функцию Хр п(х,у) как свёртку начальной функции У (х) с обычным

1 р I ч»п

фундаментальным решением С(х,з.у) оператора я . В этом случае

для функции Jx,y) легко получить представление вида

N

xP.cllJx-y) = и*уз YL 1п1у' (0-12)

1=0

где 5 = ( 9if92), = x¡ y'i/3.

Для отрицательных q5,p функция XpqTi(x,y) строится в виде некоторых не столь тривиальных, как в одномерном случае, линейных комбинаций производных по и по х2 от функций Xpqn(x,y) с неотрицательными р, д. . По построении функции X <х,у) для любых p,q,,q, имеют вид (0.12).

pqn 1 * 1 А я

Определение. Линейную оболочку функций вид^

S (x1,x2,y,Dl ,й2,Ъ ) Xp£in(x,y) обозначим через п . По определению

множество и инвариантно относительно умножения на целые неотрицательные степени х^,х2,у и относительно дифференцирования по xi,x3,y. Кроме того, каждый элемент множества п является суммой слагаемых вида (0.12). Число р будем называть порядком функции вида (0.12). Подмножество функций из в , имеющих фиксированный порядок а, будем обозначать через п(а).

Построенные классы обладают различными свойствами, позволяющими использовать их для построения асимптотик тех или иных задач. Основным результатом § 3 является

Лелю 3.6. Для любой функции и(х,у) е и (а) существует функция ü(x,y) е к («+2) такая, что

Я и = v при у > 0, и(х,0) - О при у е эл. Эта лемма является ключевой и служит инструментом при исследовании асимптотики решения задачи (0.1),(0.2) в наиболее интересной части области п , а именно, при у > О.и

В § 4 проводится построение ФАР в окрестностях особых образующих. Так как полуоси xí ,х2 равноправны, достаточно рассмотреть одну из них, например, полуось хг, г5 > 0.

Итак, рассматривается окрестность полуоси х1 такая, что xi -* а, , хгх1'1 —> О ( а —> 0 ). В этой окрестности вводятся другие переменные: по переменной у производится сжатие, а по переменной и - растяжение. Замена переменных имеет еид: р = \х\, л = у \х\~2/3, с = м «>(«) т2/3,

и = arctg х2х~г, р(а) = 2"1 и"1 sin2u g2(u).

('Введение функции (р(и) несущественно и носит технический

характер;.

В операторе ¡г при такой замене имеются два самых главных

члена - Рг(0,В2,0) и D , т.е. главной частью оператора £

у а

становится параболический оператор L0 = - + х^ . Граница конуса в Q, в окрестности полуоси xi переходит в параболоид

г)2- а область Q-в область с £ ч2-

Для выяснения вида ФАР в рассматриваемой окрестности в соответствии с методом согласования воспользуемся имеющейся информацией о поведении уже построенного ФАР (0.7) при ' и -> 0. Заменим каждый член id (x,t) ФАР (0.7) его асимптотикой при а —> О и перейдём в этой асимптотике от переменных x^,x2,t к перемет™ р,С-п- В результате этой операции ФАР (0.7) примет вид

1) г^-

i?1 = р Z_ p'jy3 Vc,aJ' ' (0-13)

j=o

где через Х}(^,а) обозначен некоторый асимптотический ряд при о -> - со , i> = н - 20/3.

В соответствии с соотношением (С.13) ФАР задачи (0.4),(0.5) при р —> и, а —> О будем строить в виде

д>

ия-= Р° р-"/3 wk(C.4). (0.14)

k = 0

Для определения коэффициентов ик(С»п) получим рекуррентную систему параболических уравнений в области с s п2 '■

10 = I- + я>л J г>к = (0.15)

Перейдя в'Граничном условии (0.5) от переменных х^,х.Л,у к переменным р,сполучим граничные условия для решений vk(C.'?). °ни имеют вид

уыСп,ч)-окп . со. 16)

Но функции и^С.г}) определяются соотношения;® (0.15),(0.16) неоднозначно. Для правильной постановки краевых задач (0.15),(0.16) необходимо дополнительно указать асимптотику решений ик(С,г/) при г; -» - со . Из условий согласования ФАР (0.7) с новым ФАР (0.14) следует, что эти дополнительные условия должны' иметь вид

У„(С.П) - ХьГС.и при с2 + Г}2 -* ч-» - «в, (0.17) где Х^^.г)) - асимптотический ряд, определенный соотношением (0.13).

Основными теоремами четвёртого параграфа являются теорема 4.2 о существоании решений ии(!Г,г)) задач (0.15)-(0.17) и теорема 4.5 об асимптотике этих решений при п -» + » . Асимптотика построена в классе функций и , введенном в § 3.

В § 5 проводится построение ФАР при у > 0. Эта часть исследования является наиболее сложной и представляет по существу основное содержание данной главы. ФАР_ задачи (0.4),(0.5) при г —> оо, у > 0 имеет вид

со

У3 = )__ \(х,у) (018)

к = 0

где функции ик(х,у) с я(/1-к). Для построения коэффициентов и^(х,у) - элементов классов и (а), введенных в § 4, используется алгоритм, предложенный в лемме 3.6.

В теореме 5.1 доказывается, что построенный ряд (0.18) действительно является ФАР задачи (0.4),(0.5) при г -» со, у > О , т.е. невязки, получающиеся при подстановке частичной суммы этого ряда в уравнение и граничные условия, достаточно быстро стремятся к нулю при V —> со, у > 0. Однако, построенное ФАР не является, в отличие от ФАР (0.7), правильной асимптотикой решения задачи (0.4),(0.5), поскольку даже для финитной правой части и граничной функции решение и(х,у) задачи (0.4),(0.5) при у -* + с? разлагается-в асимптотический ряд вида

г^- г— к, к к к к

¿_аъХ1 V ^ »2 С<Х>У) (°-19)

]'0 к

где С(х,у) - ФР параболического оператора я,

+ й2 з - - пё = - J. Построение ФАР во всей области о закончено.

На втором этапе исследования .доказывается, что построенные ФАР являются асимптотическими разложениями решения в соответствующих областях. Справедлива

Теорема 5.2. При т3 = |х|2 + у2 -» », для решения задачи (О.4),(0.5) справедливы следующие асимптотические разложения:

1) для любого 5 с (0,1/3) в области

{ у а -Н(х), ха > х^ >о, х1 >х® | решение разлагается в ряд (0.7),

2) для того же 6 в области | Л « О, |х21 « х® | п 0 решение разлагается в асимптотический ряд (0.14), аналогичное представление справедливо и в окрестности другой полуоси | у £ о, 1х4I а х® | о а ,

3) в остальных точках 0 при у и 0 решение стремится к нулю сверхстепенным образом,

4) для любого 51 с (0,1/2) в области

, 1/2 6.x

| у г о, |х21 + у в а^Ч п о для решения справедливо

асимптотическое разложение (0.14) . Аналогичное разложение

г 1/2

справедливо в области { у а 0, |х1| + у а хъ* п 0 ,

5) в остальных точках П при угО асимптотическое разложение решения представляет собой сумму ряда (0.18) и ряда (0.19).в

В заключение приведем несколько членов асимптотического разложения решения для одной из простейших задач рассмотренного вида. Итак, пусть конус в2 - это круговой конус

°2 ={ Х'У: У2 5 х1г2' Г1 > °}> оператор & = В3+ Оу ] + Ву ,а граничное условие имеет вид : и(х,у) - у при (х,у) е э о2.

1/2 1/2

Для любого 5 € (0,1) в области у > г2 , < 5га 5 г1 5 5 х2 справедливо равенство Х-У) * ^/2,0\,г,0(*Я>У) +

С1 7г,0(х%'У> В(ха.У) + О, ?1>0Гта,у; 8(х1гу) -72 71,1(Х1'У) 8(ха.У) ~Т2 8(хг.у) + 0 (у'1/3 1щ ),

е

со

^/г.о^'У-1 = ] бСг-з.У^ э1/2 на,

= ^ { вГ2-з,у; сг-а; 1ш оа,

71,о(2'У) = I 3 (38,

о со

= | в(г-в,у) з 1пз да.

о

2/яу

абсолютная постоянная. Значительно проще исследуется асимптотика в случае эшнего касания Б), и мы нэ будем на этом останавливаться.

Опишем теперь кратко вид асимптотики решения задачи .4),(О.5) в случае,'когда особые образующие вообще отсутствуют, эму посвящен 8 Т.' Рассмотрим область 0 , совпадающую вне начала

□

□

координат сконусом О0 = | х,у:у a pg(a), где р =lxl, g(aj> О,

g(ii) е С~ 10,2п].

Для ошсания асимптотики введем, как это было сделано вше, класс специальных фунедий. Пусть р с ¡R1, п - целое неотрицательное. Аналогично тому, как это было сделано в § 3, построй решения YpJt(x,y) однородных уравнений

■' *Yr>»*{ -w )* By} Урп • о т У > О,

удовлетворяюще начальным условиям

Y^Jx.O) = рр 9(a) 1ппр при р * О,

где функции Ф(и) € С" Ю,2п]. Через ь (xi,x2,y) обозначим множество линейных комбинаций функций вида S(x,y,Dx) Ypn(x,y). Любая функция и е s (xi,xa,y) представляется в виде линейных комбинаций функций вида (о.12):

н

V - yp/z YiHi(9> ^у.

1=0

где 9 » ( в х{ yi/a, N = п . Число р называется

порядком функции v(x,у), и фиксировав некоторое р, выделим подмножество ь (xltx3,y,p).

. ФАР задачи (0.4),(0.5) в рассматриваемом случае имеет.вид

со

V(x,y) = У~ ик(х,у),

Чао

где функции ujx,y) е ь (х1,хя,у,ц-к )• В теорема 6.3 доказывается, что асимптотическим представлением решения при г —» оо , (х,у) е Q0 является сумма ряда 0(х,у) и ряда (0.19).

Задачи, исследованные в первой главе , имеют самостоятельное значение, но особый интерес они приобретают в связи с изучением асимптотики при е —> О решений эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в областях с коническими точками. Изучению таких задач посвящена вторая глава диссертации, которая содержит пять параграфов.

Рассматривается первая краевая задача дом уравнения

£е11 - г Л и 1 = /(X) , X 6 РЭ,

(0.20)

[е м -- равномерно эллиптический оператор второго порядки, -юратор первого порядка, с - малый положительный параметр. )едполагается, что граница' области содержит конические точки, а >ле характеристик оператора х в некоторой окрестности ¡нической точки диффеоморфно полю параллельных прямых. Задачи ¡я уравнений с малым параметром в областях с коническими точками осматривались многими авторами и список таких работ приводится в ¡ссертации. Прежде всего, сюда относятся работы В.Г.Мазьи и его еников. Но в этих работах исследуются случаи, когда предельный щратор £0 является либо эллиптическим операторм, либо оператором левого порядка.

Не ограничивая общности рассмотрений, будем считать, что ¡авнение (0.20) имеет вид

¡гЕи = - с д и + а(х) Ц- - /(х), (0.21)

;е д = + 1>1 + 1>1 , а(х) е (Г (к3), а(х) > о, /(х) е С00 (я3),

"I ад = 0, (0.22)

область О в некоторой окрестности начала коорданат совпадает конусом о . Решение задачи ((0.21).(0.22) будем обозначать рез и (х) .

В §§1-3 проводится построение асимптотики решения и (х) и г --> о в случае, когда конус 0 является дополнением к

нусу й2 =■ | х : х\ <. ххх\ я2Ги.), 0, х* 0 \. В § 4'

сводится построение асимптотики в случае, когда конус = П0 = | х : х3 а р g(u>J | , р = т , ё(а) > 0.

Опишем процедуру построения для второго случая. Построение оведем в некоторой фиксированной окрестности 1>5 начала ординат: = { г : х В, р « ха £ 5 }, б > О.

Почти всюду в области 05 решение и (х) аппроксимируется

стандартным рядом, называемым внешним разложением:

00

V = £к ujx). (0.?3)

!с=0

Коэффициенты этого ряда - это решения задач

= а(х) Dauk = /к Ги0,...,иь_^ при х3 > р g(a) ;

uk | aJ) = 0. (0.24)

Функции ujx) при к * 1 имеют особенности на оси х3 , т.е. н? характеристике предельного оператора аа , проходящей черен вершину конуса.

В окрестности оси х3 от переменных xi,х3 перейдем i переменным Çj = xt е"1/2, Ç2 = х3 е~1У2, и построим другое ФАР :

со

У = )_ £k'2 VC.Z3J. (0.25)

k=0

Для определения коэффициентов ряда (0.25) получим систему рекуррентных уравнений

"k =îk — > ^ хэ > °> (0.26)

и начальные условия вида

VJÇ.O) = QJa). (0.27)

г^э «j = Z^2 + Щ - а(0,0,хэ) QJa) -полином степени к,

о = ICI •

Начальные функции vk(Ç,0) негладкие в начале координат поэтому правые части уравнений (0.26) при к г 1 становятс: сйнгулярными в начале координат, т.е. ФАР (0.25) непригодно : окрестности начала координат. Кроме того, решения задач (0.26) (0.27) при к ь 1 неединственны. Единственные решения можно буде1 выделить только в процессе согласования ФАР (0.25) с новым ФАР описывающим асимптотику решения ц£ в окрестности вершины конуса

зтати, в процессе согласования асимптотики выяснится, что ФАР в крестности оси х2 имеет более сложный вид, чем ФАР (0.25).

В окрестности вершины конуса введем переменные = ?! = и будем строить ФАР в виде

со

41). (0.28)

зэффициенты являются решениями рекуррентных задач

, = ( О* * ♦ - 2^) Шк = При г О gftt^.

= О, ( Г = \\ + 1\, а(0,0,0) = 1 ). (0.29)

ш согласования ФАР (0.28) с ФАР (0.25) необходимо исследовать ¡имптотику коэффициентов %(£) при + оо , г 1} £(<й). ДЛЯ ;ой цели воспользуемся результатами предыдущей главы, [раведлива

Теорем ¿П. Функции имеют следущее асимптотическое

юдставление: при £ -» + <о

00

%П) = (0.30)

}=О

;е «^(Ч; е ъ Г?, 2Й-Л, классы функций 5> введены в

б первой главы.п

Вернемся теперь к построению ФАР в окрестности оси хэ. меним какдый коэффициент его асимптотическим

едставлением (0.30) и перейдем в получившемся соотношении к ременным С4, С2> хэ- Воспользовавшись видом (0.12) нкций и^Ш, получим :

со со

V = ^ 1п]е ек/3

е - асимптотические ряды при х3 -* 0.

Из этого равенства, становится очевидным, что асимптотическое злокение решения и£(х) при е —» 0 в окрестности характеристики,

проходящей через вершину конуса, следует строить не в виде (0.25) а в более сложном виде

(О со

V = lnJe ek/a vkj(Z,x3). (0.31)

J=0 *=j

Кроме того, это равенство дает и дополнительные условия, позволяющие построить решения vk](Z>x3) единственным образом. Эти дополнительные условия имеют вид

vuj(C.xa) = ги}(^,х3) при х3-* + 0. * (0.32)

Теорема £2. Существуют функции ) - решения систем

(0.26), удовлетворяющие начальным условиям (0.27) и условия (0.32). Существуют функции vici(K'xa) U > 0) - решена однородной системы (0.26), экспоненциально убывающие при г3—> для фиксированных С2 и удовлетворяющие условиям (0.32).н

ФАР задачи (0.21),(0.22) построены всюду в области Dg и согласованы в смежных подобластях. Справедлива

Теорела 5,8. В области Dfi п {я • l^l + \х3\ < е^, х3 < c^j

имеет место оценка |u£ - ffnl si спа , в областа

D5 п {z ■ |st| + \х21 < х3 - оценка |u£ - V2n\ * М £BOi.

в области Dg п { х l^t I + l^aI > - оценю

lu£ - Uj si ena. Здесь через Un, Wn обознйчень

соответствующие частичные суммы рядов (0.23), (0.31), (0.28), ц -некоторое фиксированное число из интервала {1/2,1),

положительная постоянная а зависит лишь от р , а постоянна? И не зависит от с .в

В заключение приведем несколько членов асимптотического

s,

разложения решения и£(х) в окрестности оси х3 при х3>е ( 5t< 1 ) для случая а(х) = f(x) = 1 :

1/2 з/а f SÎ4 1 ЗУ.} JX) = X3 + t1/a VtafXa)+ £ + £ | X3 -î- - 4--i V

8ГЭ ЭХ3

£2ШЕ

eïP (" -jr ) + -5; { -7= ] [ A + 111 +

2x3 v 2г3 V 4X3

.2 л 2 P î p . rt f. . P

+ £ (1.1. JL ) - -a [1.2 .JL 1 1 - 2 7 } + о (e--2).

да v 2(x )1/a Эа ^з

.2 2

le «jfç.z; = - Ctc2J1/2 exp (- — ] « ( Л , 1 . _ ].

1 K 4z J K 2 4z J

- вырожденная гипергеометрическая функция, 7 = - Г'(1), - постоянная.

Аналогичным образом, только более громоздко из-за наличия шыпего числа подобластей, в которых необходимо строить (гласованные ФАР, строятся асимптотики решения и£(х) при е -» О конусе о. для случая внутрешего касания.

Третья глава посвяшена изучению асимптотического поведения и t -» » фундаментального решения (<РР) G(x,a,t) задачи Коши [я параболических уравнений вида

211 t " „П-к Г 1 + (-1)п + ) f-U 3-- ajx) S.-й = о, (0.33)

эх2п fer L 5xn-k J

;е х е к1, г > 0.

Большая часть главы относится к . тому случаю, когда эффициенты ак(х) стремятся к нулю при х -* ± Основной зультат главы - построение и обоснование асимптотического зложения ФР С(х,аД) при { —> » с точностью до любой епени Г"1 равномерно относительно х,э с к1.

Глава состоит из девяти параграфов. В Ш 2-1 проведеь подробное исследование для задачи

+ (-1)* -~г- + <*(2) £? = О, X е К1, Г > О, 1 8Х

6(х,а,о) = б(х-а). (0.34:

Некоторые обобщения рассмотренных задач изучаются в §§ 8,9.

Перейдем к изложению основных результатов главы. Итак, пус! а(х) —> о, :г-> ± со , более точно, при я-» ± <» имеет место

асимптотическое разложение:

®_

а(х) = а*п х'2т> + \_ а* т * , (0.35,

где ^ > 2п, И] | «о при /-»+«>. Кроме того, предполагаете выполненным условие

А) Уравнение Ъ^и = (~1)п + а(х) и + \ и = О I

имеет нетривиальных' решений из Ъ3 ( и1) п] действительных X > 0. Из условия А), вытекает, что главный коэффициент а*п I может быть большим по модулю отрицательным числом:

<4 - - С (°-36-

где рп = ^ - постоянная Кнезера.

2п

Полные и подробные построения проведены для уравнек второго порядка, поскольку, с одной стороны, алгоритм построек не зависит от порядка уравнения и для п = 1 достаточно нагляде] а с другой стороны, уравнения второго порядка наиболее час1 встречаются в приложениях. Для уравнений высокого поряд представляется целесообразным ограничиться кратким описана процедуры и формулировкой основных теорем.

. Будем также считать, что все степени и* . в представлен (0.35) целые. Для п = 1 задача принимает вид:

- + а(х)й = О, X е К1, г > О ,.

(0.37)

С,(Х,3,0) = 8(х-з), х,9 сК1,

эффициент а(х) е с^ук1; и при х -> ± ® разлагается в идиотический ряд вида

со

(х) = а2 х"2 + ^_ а* х-3, х -* ± а , а2 г - (0.38)

Случай более медленного убывания коэффициента а("х; при -» ± а для задачи (0.37,) рассмотрен в работе Д.Р.Яфаева 1

Прежде, чем сформулировать основные результаты, рассмотрим ационарное уравнение

+ а(х)и = 0 (0.39)

зовбм его уравнением первого типа, если оно имеет такие нейяо независимые решения И^х), и2(:г), что

\(Х)\ =• о[\и2(Х)\] при г -> - со

2ГхЛ = о(|У)и'л] при х * »

уравнениями второго типа, если оно имеет такие линейно зависимые решения 1г1(к),[/2(х), что

\и1(х)\ = о[\из(х)\] при х

ведение при х —> ± оо решений стационарного уравнения (0.39; с эффициентом а(х), удовлетворяющим условию (0.35), тесно язано'с поведением решений уравнения Эйлера

;.Р.Яфаев. Сверхстепенное убывание по времени решений уравнения едингера // Докл.АН СССР.-1984-Т.258,М4, С.850-853.

äzv аг

ах x

которое, в свою очередь, зависит от свойств корней определявдег уравнения

^(а) = -а(а-1) + а* = О .

Легко видеть, что при а2 г его корни действительны, различи щи а2 > и существует двукратный корень цри а2 = Обозначим юс через , а2 и будем считать, что а~ s а~

a| s ig , (Корни нетрудно выписать явно: а^ = | - | + 1 Т—т

а~ = -г, + /аг ~ i • хотя в доказательстве это никак используется.) '

Обозначим a27 = f a~ -а~ J/2, aj = (а2 - и\)/2, (а^ а 0)

а* = min { «2~, а2| } .Сформулируем результаты, касавдиеся лиш наиболее интересной области изменения х , з : г> =

г l/2-Ct ч

| х,з: |х| + [з| < С t a е (0,1/2), 0 > О . Главные чле

асимптотики будем приводить при i < а . Через N буде обозначать достаточно большое натуральное число.

Теорела 6.1. Пусть стационарное уравнение относится к уравнениям первого типа и корни определягшда уравнений а; = С

= о различны с а2 > ; . Тогда для ФР G(x,9,t) при i -» » в области 2>а справедливо асимптотическое представление вида:

G(X,s,t) =)_t In t ¥kprX,B) + 0 ( t ö»), (0.40)

где А = (k^k^), D(k) = k^' + + k3, k{ * с

й1+ й2 а Р = Р№)> р > О при а* * т ( т -цело положительное), р а 1 при а* = т, i)(k) < N-1, 5 = б(а) > О .

Главный член асимптотического представления (0.40) имеет ве * '

v(x,a,t)= i"1_ot t(x,a) при а* * ш,

*

v(x,a,t)= t-I~a int ч(х,э) при о * = m ,

да Щх.а) = Y^ cup UJX) ur>(9)'. I i i, p s 2 . k.P

Теорема 6.2. Пусть стационарное уравнение относится к равнениям первого типа и определяющее уравнение л'( а) = О меет кратный корень а" ( = - | Тогда для ФР

'(x,a,t) при t —> « в области »а справедливо асимптотическое редставление вида:

г— "t><1,) р -Яы

(x,a,t) = Tk (t) t in t \p(x,a) + 0 ( t m ),

P 1

де й = fäj.ä^ftg;, ftj а 0, s i> (k2,k3) = ft2a2j + й3 < im, = р(Ю ä о, IJt) - некоторые функции такие, что

• тJt) = 0 ( t "'in "2t ) при t о», де <7j а 0, g2 > 0, qi - gjfszJ —> с® при m со,

= 5faJ > 0 .в

Главным членом асимптотического разложения в данном случае

й 7

вляется функция v(x,a,t)= — 4(x,a),

dt

це через V(t) обозначен интеграл Рамануджана

7fi; Г .

J 5[Jl2+ln2£]

о

жно проверить, что 7(t) - 0 ( In i ) при t -» » , недовательно, для главного члена асимптотики имеет место ^отношение lQ(t) = 0 ( t-1 ln~2i ), t -* » .

Теopeja 6.3. Пусть стационарное уравнение относится к эавнениям второго типа и a* = min ( «2~, а2| ) <1. Тогда для ФР tj при t —> « в области »a справедливо асимптотическое зедставление вида:

г- -l+«*"t>(lc) р .

x,a,t) = 2_ t Ш i \р(х,а) + 0 ( t~5v ),

{& Й = ,йа,1гз;, 1>Гй; = fcjöJ f Йаа3| + Й3, Ä, г о,

р = p(Ä> О , Û(k) < N-1, 8 = S(a) > 0 .m

Главным членом асимптотики является функция *

v(x,a,t) = t~ а *fi,a;.-

Теоремы, аналогичные сформулированным выше, доказаны и да случаев, когда стационарное уравнение относитоя ко второму тип] и а* > 1, а* = 1. Кроме того, рассмотрены и другие областа изменения переменных х , a .

В § Т сфомулированы и доказаны основные теоремы для уравнения высокого порядка. При п > 1 определяющее уравнение имеет вид

^(а) = (-1)* а (а-1) ... (и-2п+1) + аз* = О, и в отличие от случая п = 1 , среди его корней при некоторых, допустимых неравенством (0.36), значениях а*п ( а*п г - р2 , могут быть комплексные корни. Это приводит к тому, что i асимптотике ФР G(x,a,i) при t —> » появляются осциллирующи( по t члены. Ограничимся тем, что приведем главный члй асимптотического разложения в одной из таких ситуаций, Перенумеруем корни определяющего уравнения ^(а) - 0 в порядю возрастания действительных частей:

Re or s. Re «с ¿...s Re а_± , s йе а_±.

1 + 2 2П-1 2п

Пусть а~п > - ßn , a поведение фундаментальной системы решений (ФСР) стационарного уравнения аналогично поведению ФСР в случае уравнений первого типа. Тогда главный ч. асимптотики ФР G(x,s,t) при t » имеет вид:

v(x,s,i) = t'1'0 [ ч*(х,з) созГИ+1пt) + ь*(х,в) stnfn+lnt,) ] +

+ [ f~(x,s) ooa(n'lnt) + Ф~(х,8) ain(n'mt) ],

± ± ± ±

где ^ = Re = m .

Метод исследования асимптотики ФР при i —> » состоит в следующем. От функции G(x,a,t) перейдем к ее преобразованию Лапласа g(x,a,X). При выполнении условия А) функция g(x,a,X) аналитична в области Rex > 0. Точка л = 0 является особой точко! этой функции и поведение функции g(x,a,x) при X -> ( определяет поведение ФР G(x,a,t) при t -» » . В облает] Rex > О функция g(x,a,X) является решением задачи:

£

" —¿Г * 8(Х-3),

л о^чп

йСх.а ,К) -»о при ц-з| со .

5ирается некоторая подходящая ФСР ^(глД уравнения

и = 0, с помощью которой строится ФР в(х,з,К). Далее годом согласования асимптотических разложений строятся ФАР дач для функций и^(х,\) при х -» 0. С помощью этих ФАР и того представления функции в(х,з,к) строится асимптотическое ¡локение для этой функции при А, —> О, справедливость которого ?ем обосновывается. Обращая преобразование Лапласа, приходим к мптотическому представлению для ФР й(х,а,Х) при Г —> <» .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения малым параметром в области с кусочно гладкой границей [рименение метода согласования асимптотических разложений к 1ввым задачам для дифференциальных. уравнений.-фдловск, 1979.- С.40-57.

Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с шм параметром в случае кусочно гладких граничных данных [ифференциальные уравнения с малым параметром.- Свердловск,' ¡0.- С.44-65.

Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения 18лым параметром в окрестности конической точки границы //Метод ■ласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными ¡мущениями.- Уфа, 1980.- С.82-95.

Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения юкого порядка с малым параметром //Методы малого параметра и применение.- Минск, 1982.- С.38.

Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с ш параметром в области с конической точкой //Дифференц. шения.- 1983.- Т.19, И 2. -С.305-318.

Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения юкого порядка с малым параметром в области с угловыми точками

29

//Дифференциальные уравнения с малым параметром,- Свердлов 1984.- С.50-60.

7. Леликова Е.Ф. О поведении параболического оператора при t -//Тезисы докл. XI Всесоюз. шк. по теории операторов /СО АН ССС Челябинск, 1986.- С.17.

8. Леликова Е.Ф. Асимптотика фундаментального решения парабо ческого уравнения при t -» » //Матем.сб.- 1987.- Т.132, к С.322-344.

9. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения пара лического уравнения с медленно убывающим коэффициентом при t -//Успехи мат.наун.- 1987.- Т.43, вып. 4.- С 133.

Ю. Леликова Е.Ф. Асимптотика фундаментального решения парабс ческого уравнения при больших значениях времени //Тез. дс Всесоюз. науч. совещ. "Методы малого параметра".- Нальчик, 19£

11. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения паре лического уравнения при t —> » //Асимптотические свойства реше дифференциальных уравнений.- Уфа, 1988.- С.46-65.

12. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения парг лического уравнения в критическом случае //Матем. сб.- 19í Т.180. № 8.-С.1119-1130.

13. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения парг лического уравнения в критическом случав //Докл.АН СССР.-19? Т.312, 1* З.-С.532-535.

14. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения пар! лического уравнения в критическом случае //Успехи мат. на; 1990.-Т.45, вып.4.-С.120-121.

15. Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения пар) лического уравнения //Тез. докл. Всес. конфери "Асимптотические метода теории сингулярно возмущенных уравнен некорректно поставленных задач".-Бишкек, 1991.-С.87.

С.49.