Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УДК 636.234.1.082.13.033/034 (571.5)

На правах рукописи

и< есьг с оп —л

АДУ ШИНОВ Дмитрий Семенович

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПЛЕМЕННЫХ, ПРОДУКТИВНЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ ГОЛШТИНИЗИРОВАННОГО ЧЕРНО-ПЕСТРОГО СКОТА ВОСТОЧНОЙ СИБИРИ

06.02.04 - «Частная зоотехния, технология производства продуктов животноводства»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора сельскохозяйственных наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в ФГОУ ВПО Иркутской государственной сельскохозяйственной академии

Научный консультант - доктор сельскохозяйственных наук, профессор, член-корреспондент РАСХН Солошенко Владимир Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор сельскохозяйственных наук, профессор Жёлтиков Александр Исаевич, доктор сельскохозяйственных наук, профессор Ли Станислав Сергеевич,

доктор сельскохозяйственных наук, старший научный сотрудник Скосырский Сергей Сергеевич

Ведущая организация - ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Защита состоится 29 сентября 2006 г., в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 006.057.01 при Сибирском научно-исследовательском и проектно-технологическом институте животноводства (СибНИПТИЖ, п. Краснообск-1, а/я 470, Новосибирский район, Новосибирская область, РФ, 630501)

С диссертацией можно ознакомиться в ЦНСХБ СО РАСХН

Автореферат разослан « августа 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, ^

доктор сельскохозяйственных наук, профессор //иУЬ^ Климеиок И.И.

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное состояние молочного скотоводства страны вызывает необходимость ускорения процессов интенсификации отрасли. В этой связи особое значение приобретает совершенствование продуктивных качеств скота тех пород, которые в наибольшей степени соответствуют требованиям интенсивных технологий. В первую очередь, это относится к скоту отечественной черно-пестрой породы, характеризующемуся более высоким уровнем продуктивности, пластичностью и численностью поголовья, чем животные многих других генотипов.

Усилиями зоотехников и селекционеров в лучших хозяйствах России созданы стада животных черно-пестрой породы, удовлетворяющих требованиям эксплуатации в условиях интенсивной технологии производства современных ферм и комплексов. Вместе с тем, численность имеющегося высокопродуктивного поголовья явно недостаточна для решения проблемы продовольствия в стране. Для скота группы черно-пестрых пород характерны наиболее высокие среднегодовые темпы роста генетического потенциала молочной продуктивности, составляющие в племзаводах 26,9 кг по удою и 1,12 кг по молочному жиру, однако на современном этапе развития отрасли требуется гораздо более ускоренное генетическое совершенствование скота и реализация продуктивного потенциала.

По мнению ряда специалистов страны, успех селекционно-генетического преобразования молочного скота во многом будет определяться эффективностью использования генофонда голштиков, лидирующих среди многих специализированных пород скота молочного направления продуктивности как по уровню удоев, так и по пригодности к промышленным' технологиям.

Результаты голштинизации черно-пестрого скота во многих хозяйствах России свидетельствуют о существенном преимуществе кроссбредных животных, в сравнении со сверстницами улучшаемой породы, по основным признакам молочной продуктивности. Практика показывает, что использование голыгтинизированного скота родственных пород наиболее целесообразно в хороших условиях кормления и содержания. При невозможности обеспечить уровень кормления скота, позволяющий получать от коровы за лактацию не менее 4000 кг молока, эффективность голштинизации снижается.

В настоящее время перед отраслью молочного скотоводства ставится задача обеспечить весь прирост валового надоя молока за счет интенсификации производства. Коренное техническое перевооружение отрасли животноводства на интенсивный путь развития потребовали от селекционеров ускоренного качественного совершенствования существующих, а также создания на их базе новых пород, типов и линий, более продуктивных и соответствующих требованиям промышленных технологий.

Голштинская порода в настоящее время имеет самый высокий в мире генетический потенциал молочной продуктивности, форму вымени и скорость отдачи молока, удовлетворяющие современные требования машинного доения. Племенные ресурсы голштинской породы включены в селекционные программы многих стран с высокоразвитым молочным скотоводством.

В нашей стране голштинская порода в качестве улучшающей широко используется при совершенствовании черно-пестрого, палево-пестрого и холмогорского скота. В связи с многообразием агроклиматических условий России стоит задача в определении наиболее эффективных сочетаний местных популяций сибирского улучшенного скота с голштинской породой.

Цель и задачи исследований. Целью диссертациониой работы являлось научное обоснование методов совершенствования племенных, продуктивных и технологических качеств черно-пестрого скота на основе чистопородного разведения и межпородного скрещивания с выявлением генетической характеристики скота и определением возможности использования полученных данных в селекции в условиях Восточной Сибири. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• изучить особенности весового и линейного роста чистопородных и помесных животных разной кровности по улучшающей породе;

• охарактеризовать морфологические и функциональные свойства вымени коров разных генотипов;

• оценить воспроизводительные функции коров и продолжительность их хозяйственного использования;

• установить уровень влияния голштинской породы на формирование молочной продуктивности и качественные показатели молока помесных животных;

• выявить особенности роста и развития молодняка черно-пестрой породы и их помесей; .

• определить дифференциацию изучаемых групп животных по показателям крови;

• дать научное и практическое обоснование желательного типа животных восточносибирской популяции черно-пестрого скота. Исследования проведены в соответствии с тематическим планом научно-исследовательской работы Иркутской государственной сельскохозяйственной академии по теме: «Выведение нового типа черно-пестрого скота в зоне Прибайкалья путем скрещивания черно-пестрых коров с голштинскими быками» (номер госрегистрации 0120.050390).

Научная новизна исследований. Научная новизна работы состоит в том, что впервые в зоне Восточной Сибири на большом поголовье проведено комплексное изучение фенотипических особенностей помесного потомства

разных генотипов (кровностей) между черно-пестрой и голштинской породами.

Установлены закономерности изменения продуктивных, воспроизводительных, экстерьерных особенностей черно-пестрого скота в зависимости от кровности по улучшающей породе. Определены селекционно-генетические параметры (изменчивость, наследуемость, повторяемость, взаимосвязь) основных селекционных признаков используемых в скотоводстве, показаны параметры желательного типа коров в зависимости от происхождения, отвечающих требованиям селекции по типу телосложения, продолжительности хозяйственного использования и молочной продуктивности.

Практическая значимость. Результаты исследований имеют большое теоретическое и практическое значение для сельскохозяйственных предприятий, занимающихся производством молока. Они использованы и внедрены при разработке «Программы выведения нового типа черно-пестрого молочного скота в зоне Предбайкалья путем скрещивания черно-пестрых коров с голштинскими быками» (2002 г.), «Программы совершенствования племенных и продуктивных качеств крупного рогатого скота черно-пестрой породы в Иркутской обл. на период до 2010 г.» (2002 г.), а также перспективных планов селекционной работы для ведущих племенных заводов и репродукторов черно-пестрого скота.

Положения, выносимые на защиту:

• влияние уровня кровности по голштинской породе на показатели экстерьера, молочной продуктивности, функциональных свойств вымени и воспроизводительных качеств животных;

• состояние иммунной системы телок различного генотипа;

• мясная продуктивность голштинизированных животных;

• селекционно-генетические параметры основных признаков и обоснование желательного типа животных восточносибирской популяции черно-пестрого скота.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы доложены и обсуждены на 15 научных конференциях (Москва, п. Дубровицы, Московской области, Иркутск, Красноярск, Уфа, Барнаул, Новосибирск), годичных собраниях Сибирского отделения РАСХН 2004,2005 гг., НТС Главного управления сельского хозяйства Администрации Иркутской области и на заседании Ученого совета зооветеринарного факультета Иркутской ГСХА. По теме диссертации опубликовано 57 научных работ, в том числе в центральных журналах - 7, методических пособий - 8, в сборниках научных трудов -38, в других изданиях —4.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 314 страницах машинописного текста, включает 85 таблиц, 2 рисунка, библиографический список содержит 374 источника, в том числе 140 на иностранных языках.

2 МАТЕРИАЛ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Исследования проведены в период с 1977 г. по 2005 г. на животных черно-пестрой породы и их помесей с голштинским скотом в хозяйствах Иркутского, Ангарского, Усольского, Черемховского, Куйтунского и Усть-Илимского районов Иркутской области. Основные положения диссертационной работы основаны на результатах, полученных автором в ведущих животноводческих хозяйствах Иркутской области: племенных заводах ЗАО «Железнодорожник», СХ ОАО «Белореченское», СПК колхоз «Годовщина Октября», племенном репродукторе ЗАО Агрофирма «Ангара», опытно-производственном хозяйстве «Иркутское», учебном хозяйстве «Оекское» Иркутской ГСХА и 20 лучших хозяйствах области путем постановки специальных опытов и на основании обобщения данных зоотехнического учета. Все хозяйства являются оригинаторами при выведении восточносибирского типа черно-пестрого скота и характеризуются хорошо организованным первичным зоотехническим и племенным учетом.

Создание нового типа черно-пестрого скота с использованием высокопродуктивных быков голштинской и нерно-пестрой пород проводилось с линиями: Монтвик Чифтейна 95679, Вис Бэк Айдиала 1013415, Реф-лекшн Соверинга 198998, Розейф Ситейшна 267150 и Аннас Адема 30587.

На основании записей индивидуальных карточек (2-мол.) коров создан компьютерный банк данных на персональном компьютере в программе Microsoft Excel. В банк занесены животные, лактировавшие и выбывшие из стада в период с 1985 г. по 2004 г. включительно, за исключением коров с незаконченной лактацией (менее 240 суток) и недостоверного происхождения. Уровень кормления в эти годы обеспечивал в среднем по хозяйствам получение 4000-5000 кг молока на корову в год.

С целью сравнительного изучения животные были распределены по группам кровности (с Уг,3Л, Уа и Уа долями крови) по голштинской породе с последующим разведением «в себе». В базовых хозяйствах проводилось трехкратное использование чистопородных голштинских быков на коровах и телках черно-пестрой породы и помесях первого и второго поколения (черпо-пестрая х голштинская) до получения генотипа 'Л ч/п + Уа Г, 'Л ч/п + 7« Г с последующим разведением «в себе» (ч/п - черно-пестрая порода, Г - голштинская порода). Лучших быков данного генотипа, оцененных по качеству потомства, использовали на черно-пестрых полукровных и У* -кровных коровах (рисунок 1).

В товарных стадах маток черно-пестрой породы случали с высокоценными полукровными быками. В дальнейшем потомство У* ч/п + 'Л Г осеменяли чистопородными голштинскими производителями, а полученных животных генотипа Уг ч/п + % Г разводили «в себе». При этом главным являлась не доля крови, а же-

лательный тип скота. За двадцатилетний период использования в стадах Иркутской области голштинских производителей накопилось множество промежуточных генотипов, вследствие чего принятый в зоотехнии термин «доля кровности» носит второстепенный, вспомогательный характер. Поэтому при формировании групп животных по кровности все промежуточные генотипы распределялись приближенно к основным. Все исследования проводили по общепринятым в зоотехнии методикам.

Изучение весового роста подопытных животных проведено путем взвешивания в определенные возрастные периоды с вычислением абсолютного и отао-сительного прироста живой массы. По промерам и линейному описанию типа телосложения изучали экстерьер животных (методические рекомендации МСХ РФ, 1996 г.). Для более полной характеристики телосложения животных и степени развития отдельных статей тела высчитывали индексы телосложения. Для оценки типичности изучаемых животных использовали индекс Н.И. Колесника (1960 г.) и коэффициент производственной типичности (КПТ) по Б. Ничику (1987 г.).

Пригодность коров разных генотипов к машинному доению (форма и развитие вымени, промеры и его спадаемость; форма, величина и расположение сосков; интенсивность молокоотдачи и индекс вымени) и мор-фофункциональные свойства вымени оценивали по методике ВАСХНИЛ (1985 г.). Равномерность развития долей вымени определяли при трехкратном доении с помощью доильного аппарата ДАЧ-1М.

Воспроизводительную способность коров изучали по критериям, определяющим плодовитость: живая масса и возраст при первом отеле, жизнеспособность приплода, продолжительность сервис- и межотельного периодов, коэффициент воспроизводительной способности (КВС) и коэффициент плодовитости (Дохи И., 1961 г.).

Продуктивное долголетие и интенсивность использования коров изучены по материалам первичного зоотехнического учета с определением длительности жизни, числа лактаций, периода продуктивного использования и пожизненной продуктивности.

Качественные показатели молока подопытных коров изучали по содержанию жира, белка, сухих веществ, лактозы и COMO на основании общепринятых методик: содержание жира- стандартным кислотным методом (И.В. Охрименко, A.B. Охрименко, 2001); диаметр жировых шариков и hx количество по методике Н.В. Барабанщикова (Н.В. Барабанщиков, 1990); общее количество белков - методом Кьельдаля; казеин и сывороточные белки в молоке - рефрактометрическим методом (ГОСТ 25179 - 90), кальций комплекснометрическим методом (И.В. Охрименко, A.B. Охрименко, 2001); фосфор - калориметрическим методом Дениже — Малюгина в модификации для молока H.H. Кулагиной (В.И. Верещагина, Е Д. Мешерякова, 1959); содержание сухого вещества в молоке и сухого

С'слскш101шр\смыс ирн'шаки

С

От ичн'гация желательного типа коровн экономическая эффективность раждеиия

Рисунок 1 - Схема исследования

обезжиренного молочного остатка (COMO) получены расчетным путем по формуле Флейшмана, упрощенной Фаррингтоном и Ууле (И.В. Охрименко, A.B. Охрименко, 2001). Плотность молока определялась ареометром при t=20 "С.

Степень реализации наследственного потенциала быков в зависимости от места рождения, линейной принадлежности, породы, кровности и продуктивности их матерей оценивали по материалам зоотехнического учета в племенных хозяйствах Иркутской области. Создана и обработана электронная база данных, включающая информацию по 5101 первотелкам, лактировав-ших с 1987 г. по 2002 г. - дочерей 195 быков.

Гематологические, иммунобиохимические и показатели неспецифического иммунитета изучали у телок 3-месячного возраста. Количество лейкоцитов, эритроцитов, лейкограмма, фагоцитарная активность нейтрофилов и содержание общего белка определяли по общепринятым методикам (И.П. Кондрахин, 1985), концентрация гемоглобина - гемоглобинцианидным методом, уровень иммуноглобулинов классов G, М и А в сыворотке крови — методом иммунодиффузии по Манчини (1965) с использованием моноспецифических антисывороток в имму-ногенетической лаборатории СибНИПТИЖ.

Изучение мясных качеств, роста внутренних органов молодняка путем контрольных убоев при рождении (9 голов), в 12-месячном возрасте (9 голов), в 15 - (9 голов), и в 18-месячном возрасте (9 голов) по методике ВИЖ и ВНИИМП (1977). Всего было забито 36 голов. При убое учитывали упитанность животных, живую массу до и после 24-часовой голодной выдержки, массу и убойный выход парной, охлажденной туши и внутреннего жира (почечного, кишечного, желудочного), массу шкуры, внутренних органов, головы, конечностей и субпродуктов I и II категории.

Тушки новорожденных телят продольно не распиливались, а туши 12, 15, 18-месячных животных после убоя распиливались по середине позвоночного столба на две равные половины (полутуши). После 24 часового охлаждения в холодильной камере при температуре + 4 "С левые полутуши в соответствии с анатомическим делением скелета, расчленяли на пять частей: шейную, плечелопаточную, спиннореберную, поясничную, тазобедренную. Правые полутуши подвергали сортовой разрубке с определением I, II и III сортов мяса. Каждую часть взвешивали и производили обвалку с разделением на мякоть (мышцы+жир), кости и сухожилия.

Качественная оценка мяса и внутреннего жира молодняка при рождении, в возрасте 12,15,18 месяцев:

а) химический состав мяса и внутреннего жира. Мякотную часть туши и жира дважды пропускали через мясорубку и отбирали средние пробы от каждого животного. Пробы мяса и жира помещали в стеклянные банки с притертыми пробками и сразу исследовали на содержание воды, протеина, жира и золы по общепринятой методике (Е.М. Журавлев, 1963). Определение количества влаги проводили методом высушивания при температуре 105 °С, жира - путем экстрагирования в аппарате Сокслета, золы — методом сухого озоления при температуре 550 °С;

б) калорийность мяса - расчетным методом, приняв, что калорийность I грамма жира равна 9,3 ккал, а белка 4,1 ккал.

в) интенсивность окраски мяса - по модификации Хорсни на ФЭК-М и выражали в единицах оптической плотности х 1000;

При изучении цвета мяса в нем использовались пробы длиннейшей мышцы спины, взятые между 9-12 реберными позвонками левых полутуш после 24-часового охлаждения при +4 "С. Пробы отбирали от каждого животного.

Статистическая обработка полученных материалов проведена биометрическим методом (H.A. Плохинский, 1969).

3 СОБСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

3.1 Экстерьер, живая масса и молочная продуктивность коров разного происхождения

Анализ полученных результатов показал, что животные I (ч/п) группы характеризовались меньшими по сравнению с животными других групп ростом. По высоте в холке, спине и крестце они уступали животным всех изучаемых генотипов. По косой длине туловища чистопородные коровы уступали аналогам из других групп (таблица 1). Голова у них типичная, крепкая, грудь глубокая, широкая, хорошо развитая. По глубине груди они уступали животным III (У* Г) группы и имели, практически равный результат с II ('А Г) группой. По ширине груди достоверно превосходили помесных животных II (1Л Г) и III (% Г) групп на 3,9-5,4%. По ширине в маклоках выявлено превосходство (на 2,3-3,8%) над животными II ('Л Г) и III (3Л Г) групп. По ширине в тазобедренном сочленении установлено преимущество над II ('Л Г) и III (3А Г) группами на 0,2-1,3%. По ширийе в седалищных буграх не отмечено существенных различий с животными II ('/г Г) группы, с животными III (Уч Г) группы выявлена отрицательная разность. Спина у животных выровненная, крепкая. По обхвату груди и обхвату пясти различия по сравнению с животными других групп несущественны, кроме первотелок III (% Г) группы. Превосходство с ними по этим промерам составило 1,3 и 2,6% соответственно. Конечности крепкие, имеют правильную постановку, копытца полные, сомкнутые, встречаются расставленные.

Таблица 1 - Промеры коров — первотелок различного происхождения, см

Промер Группа

I (ч/п), п=60 II (Уг Г), п=72 III (Ул Г), п=70

Высота в холке 127,9±1,32 131,0±1,20 132,2±1,41

Высота в спине 130,0±1,23 132,5+1,10 133,3±1,30

Высота в крестце . 132,0±1,30 13б,1±1,11 137,3±1,34

Косая длина туловища 152,3+1,72 158,1±1,52 160,5+2,03

Глубина груди 68,3+0,58 68,5±0,54 69,0±0,62

Ширина груди 40,7+0,49 39,1±0,41+ 39,0±0,54+

Ширина в маклоках 52,8±0,67 51,6+0,45 51,3+0,61

Ширина в тазобедренном сочленении 46,6±0,50 46,5±0,40 46,0+0,54

Ширина в седалищных буграх 32,8+0,73 32,9+0,65 33,2±0,98

Обхват груди 192,6+1,60 191,3±1,21 190,0+1,60

Обхват пясти 19,0+0,30 18,7±0,23 18,5±0,38

Примечание. Здесь и далее в таблицах разность по сравнению с I группой достоверна при: * - Р >0,999; 0 - Р >0,99,; + - Р >0,95.

Индексы телосложения (таблица 2) свидетельствуют о том, что первотелки I (ч/п) группы отличаются большей сбитостью, характеризуются компактным телосложением, на относительно не высоких, крепких ногах с умерено развитой мускулатурой. Имеют высокий индекс шилозадости.

Таблица 2 - Индексы телосложения коров - первотелок

Индекс Группа

I (ч/п) II ('Л Г) III (У, Г)

Длинноногости 46,5 47,7 47,8

Растянутости 119,1 120,6 121,4

Грудной 59,5 57,0 56,5

Перерослости 103,2 103,8 . 103,8

Шилозадости 62,1 63,7 64,7

Сбитости 126,4 120,9 118,4

Костистости 14,8 14,2 13,9

Тазо-грудной 77,0 75,7 76,0

Животные II (Уг Г) группы характеризовались средним, по сравнению с животными других групп ростом. Уступая животным III (У< Г) группы по высоте в холке, высоте в спине и крестце, они превосходили первотелок I (ч/п) группы на 2,0-2,7%. Спина ровная, средней ширины, голова пропорциональная, легкая, удлиненная в лицевой части. Шея длинная, грудь умеренной крепости и ширины, средней глубины, немного угловатая. Туловище удлиненное. По косой длине туловища они достоверно превосходили животных I (ч/п) группы на 3,3-3,8% и уступали первотелкам III (% Г) группы. По глубине груди установлено превосходство над животными I (ч/п) группы на 1,9 % , уступая животным III (% Г) группы. По ширине груди они уступали животным I (ч/п) группы, с первотелками III (У, Г) группы разность не существенная (0,1 см). По ширине в маклоках и ширине в тазобедренном сочленении установлено не существенное превосходство над животными III (У* Г) группы, по сравнению с животными I (ч/п) группы выявлена отрицательная недостоверная разность. По ширине в седалищных буграх разность не существенна. По обхвату груди и обхвату пясти не установлено достоверной разности. Первотелки имеют объемистое брюхо, крепкие ноги, правильно поставленные, мускулатура развита средне, кожа тонкая, эластичная.

Животные II ('Л Г) группы имеют высокие индексы длинноногости и растянутости, меньше грудной, тазогрудной и костистости.

Первотелки III (Ул Г) группы характеризовались высоким по сравнению с животными остальных групп ростом. Они достоверно превосходили по вы-

соте в холке (на 2,4-2,48%), высоте в спине (на 1,9-2,0%), высоте в крестце (на 2,6-2,7%) животных I (ч/п) группы, имея несущественное превосходство по этим промерам над животными II ('Л Г) группы. Голова у них небольшая, легкая, прямая, с тонкими складками кожи. Шея и спина ровные, грудь глубокая, но менее широкая, туловище удлиненное. По косой длине туловища они превосходят животных I (ч/п) группы на 3,0-5,4% и животных II ('А Г) группы на 1,35-1,52 % при недостоверной разности. По ширине в седалищных буграх установлена не существенная разность с животными I (ч/п) и II ('Л Г) групп.,По обхвату груди и обхвату пясти уступали животным всех групп. Ноги крепкие, прямой и длинный зад, объемистое брюхо, мускулатура развита удовлетворительно, волосяной покров тонкий, короткий.

Помесные первотелки второго поколения отличаются высокими индексами длинноногости и растянутости, при меньшем значении индексов сбито-сти, грудного, тазо-грудного, костистости.

Таким образом, как показали исследования, животные разных генотипов отличались по типу телосложения. Все помесные первотелки превосходили чистопородных черно-пестрых сверстниц по высотным промерам, а также косой длине туловища.

Животные I (ч/п) группы по сравнению с потомками голштинских быков имели большие широтные промеры за исключением ширины в седалищных буграх.

Потомки голштинских быков характеризовались большей длинно-ногостью и растянутостью туловища, шилозадостью. Чистопородные черно-пестрые первотелки отличались большей сбитостью, имели более компактное телосложение, у них больше грудной и тазо-грудной индексы.

Внутри каждой группы животные характеризовались более выровненными размерами тела, на что указывают коэффициенты изменчивости основных промеров, которые варьировали в пределах от 5,0 до 9,1%.

Дополнительно для оценки типичности изучаемых животных использовали индекс Н. Н. Колесника (1960) и коэффициент производственной типичности (КПТ) по Б. Ничику (1987). Наименьшее значение индекса Н. Н. Колесника имели животные I (ч/п) группы, у животных остальных групп он был выше и самый высокий у помесей второго поколения (86,3).

Среди чистопородных черно-пестрых животных имеется большое количество особей относящихся к молочно-мясному (35,5%), мясомолочному (4,5%) и молочному типу 60%. По градации Б. Ничика среди потомков голштинских быков было 85,7 % животных молочного типа и 14,3% молочно-мясного. Самым высоким КПТ отличались животные III (У* Г) группы (3,72).

Живая масса исследуемых животных при первом осеменении варьировала от 379 до 383 кг. Различия между группами составили от 1,0 до 4,0 кг при недостоверной разности. Столь не высокая разность между

группами объясняется большим субъективизмом данного признака, потому что на случку отбираются телки живой массой свыше 360 кг независимо от их возраста. Изменчивость живой массы при первом осеменении по всем группам варьировала от 12,3 до 13,4 %.

Средние показатели живой массы коров изучаемых групп после первого отела варьировали от 500 до 512 кг. Высокую живую массу имели помеси второго поколения (% Г). Они превосходили чистопородных черно-пестрых первотелок на 12 кг и животных первого поколения ('/2 Г) на 5,0 кг при недостоверной разности. Полукровные животные по голштинской породе превосходили чистопородных черно-пестрых первотелок на 7,0 кг при недостоверной разности, уступая животным III (3Л Г) группы.

Показатель удоя молока на 100 кг живой массы или коэффициент молочности, указывающий на сопряженность показателей продуктивности и живой массы, по данным наших исследований, был выше у первотелок, имеющих 75% крови голштинской породы (916 кг). Связь между живой массой и удоем у первотелок всех трех групп колебалась от 0,109 до 0,207. Эта связь в более высокой степени была выражена у первотелок III QA Г) группы (г = 0,207). Коэффициент регрессии удоя по живой массе у них бьи равен 2,41. При возрастании живой массы на 1 кг удой увеличивается в среднем на 2,41 кг. Минимальное значение корреляции между живой массой и величиной удоя было у чистопородных черно-пестрых и полукровных по голштинской породе животных (г =0,109 и г = 0,107 соответственно).

Между основными промерами и живой массой первотелок выявлена тесная взаимосвязь. Более высокая взаимосвязь установлена между живой массой и обхватом'груди (г = 0,40 - 0,47), косой длиной туловища и живой массой (г = 0,39 - 0,42), высотой в холке и живой массой (г = 0,27 - 0,47). Разность в живой массе между изучаемыми группами сохранилась и у полновозрастных животных. Полукровные и % - кровные потомки по голштинской породе отличались более высокой интенсивностью роста и развития, чем чистопородные черно-пестрые сверстницы. С возрастом живая масса коров внутри групп выравнивается, это прослеживается по снижению коэффициента изменчивости, так у коров второй лактации он варьировал от 11,2 до13,0 %, третьей лактации от 9,7 до 12,2 %. С возрастом коэффициент молочности у животных I (ч/п) и III (3Л Г) групп уменьшается, тогда, как у полукровных животных по голштинской породе этот коэффициент увеличивается.

Рассчитанный коэффициент наследуемости живой массы по группам варьировал от 0,17 до 0,38. Наивысшим (h2 = 0,38) он был у животных Уд-кровных по голштинам. У животных I (ч/п) и II (72Г) групп hz был равен -0,30 и 0,35 соответственно.

Наиболее высоким удоем (4490 кг) характеризовались первотелки кровные по голштинской породе, превосходившие I (ч/п) группу соответственно на 473 кг и II ('ЛГ) группу на 210 кг при недостоверной разности.

Высокий удой (5010 кг) у животных III группы был и за вторую лактацию. Их превосходство над сверстницами I (ч/п) и II (УгГ) групп увеличилось и составило 534 и 250 кг соответственно. За третью лактацию также наблюдался рост молочной продуктивности у них, при удое 5980 кг превосходство над животными других групп сохранилось. Так, по сравнению со сверстницами I (ч/п) и II ('ЛГ) групп превышение составило 1032 и 130 кг соответственно. Полукровные первотелки по голштинской породе при удое 4760 кг за вторую лактацию достоверно превосходили первотелок I (ч/п) группы на 284 кг, уступая первотелкам III QA Г) группы.

За третью лактацию, при удое 5850 кг полукровные первотелки по голштинской породе значительно увеличили свое превосходство над чистопородными черно-пестрыми животными, при недостоверной разности превышение составило 902 кг, уступая животным кровным по голштинской породе. Чистопородные черно-пестрые животные уступали по величине удоя потомству голштинских быков по всем трем лактациям. У полукровных животных по голштинской породе жирномолочность была 3,603,67%. У животных % — кровных по голштинской породе высокий удой сочетался со средним содержанием жира в молоке. Они имели меньшую жирномолочность по сравнению с животными всех групп. Чистопородные черно-пестрые коровы имели жирномолочность: по первой — 3,67 %, по второй 3,64 и по третьей лактации - 3,60 %. В целом за три лактации потомство голштинских быков превосходило своих черно-пестрых сверстниц по выходу молочного жира.

• За время проведения научного эксперимента, среди обследуемого поголовья было выделено 79 коров с высокой молочной продуктивностью (удой от 6000 до 8500 кг, молочный жир от 217 до 306 кг). По отношению к поголовью первотелок наибольшее количество высокопродуктивных животных было в III (Vt Г) группе 20 % и во II ('А Г) - 15,0%, в I (ч/п) группе было 10,8%. Необходимо отметить, что среди чистопородных животных не было выявлено коров с высоким удоем за первую лактацию, тогда как среди помесей их было от 25 до 40 %. Наибольшее количество высокопродуктивных животных за первые две лактации выявлено в III (У\ Г) группе - 71,5 %, во II QA Г) - 50 % и в группе чистопородных сверстниц за вторую лактацию высокопродуктивных животных было 28,6 %. Это свидетельствует о значительных генетических возможностях помесного потомства полученного от голштинских производителей, которые показывают высокую молочную продуктивность (при правильном раздое) уже в первые лактации. Это создает условия для более быстрого отбора животных и ускорения их селекции.

При скрещивании фенотипическая изменчивость признаков, которые в большей степени зависят от наследуемых факторов (удой, общее количество молочного жира, живая масса) у помесей не увеличивается, а напротив, уменьшается и стабилизируется. Это является положительным моментом, так как в условиях промышленной технологии желательны более однород-

ные животные с меньшей изменчивостью основных хозяйственно-полезных признаков.

При проведении межпородного скрещивания важно знать не только изменчивость признаков у помесей, но и их наследуемость, величина которой указывает на эффективность отбора. Животные разного происхождения отличались по степени обусловленности удоя по первой лактации от наследственной изменчивости матери. Высокий коэффициент наследуемости удоя (равный 0,42) был у первотелок I (ч/п) и II (14 Г) групп.

Коэффициент наследуемости жирности молока в наших исследованиях был выше по сравнению с показателем удоя животных I (ч/п) и II ('Л Г) групп, что свидетельствует о большей консолидации этого признака.

В практике для определения препотентности производителей довольно широко используется метод, предложенный С. А. Рузским (1972), основанный на определении связи между показателями дочерей-матерей. В том случае если отцовская наследственность оказывает более сильное влияние, чем материнская, корреляция дочери-матери или отсутствует, или имеет отрицательное значение. Так, коэффициент корреляции между показателями продуктивности дочерей III ('/4 Г) группы и их матерей был сравнительно низким - 0,195 - удоя и 0,105 - жирномолочности, у этих животных и коэффициенты наследуемости г = 0,32 - удоя и г = 0,20 - жирномолочности, были ниже, чем у животных других генотипов. Это связано, прежде всего, с тем, что отцовская наследственность оказывает более сильное влияние, чем материнская.

3.2 Морфологические и функциональные свойства вымени первотелок

Оценка качества вымени первотелок разного происхождения показала, что форма вымени у помесных коров значительно лучше, чем у черно-пестрых. Среди первотелок сибирского отродья черно-пестрой породы 60,5% имели чашевидную форму вымени, число коров с ваннообразной формой вымени составило 13,0%, с округлой формой - 26,5% (таблица 3).

Таблица 3 - Удой первотелок разного происхождения в зависимости от формы вымени

Группа Количество животных, гол. Форма вымени

ваннообразная чашевидная округлая

% удой, кг % удой, кг % удой, кг

I (ч/п) 60 13,0 4428 60,5 4208 26,5 3378

1Г (% Г) 72 27,2 4580 57,3 4478 15,5 3527

III CU Г) 70 34,5 4780 57,0 4542 8,5 3695

Полукровные первотёлки по голиггинской породе преимущественно имели чашевидное (57,3 %) и ваннобразное (27,2 %) вымя. Наибольшее число животных с ваннообразной формой вымени было среди первотелок III (%Г) группы — 34,5 %. В этой группе было наименьшее количество животных с округлой формой вымени - 8,5 %. Многими авторами отмечается высокая взаимосвязь между формой вымени и удоем. По нашим данным, первотелки всех групп с ваннообразной формой вымени превосходили сверстниц с чашеобразной формой на 102-220 кг, с округлым выменем на 1013 - 1053 кг. Удои первотелок с округлой формой вымени были ниже удоев сверстниц с чашевидной формой на 830 - 951 кг.

Чистопородные черно-пестрые первотелки имели размеры вымени меньше, чем их сверстницы - потомки голштинских быков. Так, по длине вымени разность составила 5,0 — 6,4 см, ширине вымени 2,1 - 3,6, обхвату вымени у основания 5,6 - 8,4, глубине передних четвертей 3,3 - 3,9 см, глубине задних четвертей 1,3 - 2,1 см. По расстоянию от дна вымени до земли разность с животными II ('ЛГ) и III (3ЛГ) группами составила соответственно 3,8 и 4,0 см. У чистопородных черно-пестрых первотелок соски имели утолщенную форму и немного короче по сравнению с животными других групп. По диаметру сосков превышение составило 0,1 - 0,2 см. По расположению сосков черно-пестрые первотелки отличаются их сближенностью, особенно задних. Расстояние между сосками достоверно меньше, чем у помесных животных.

Полукровные по голштинской породе первотелки достоверно превосходили чистопородных черно-пестрых сверстниц по длине вымени на 5,0 см, ширине - 2,1, обхвату вымени — 5,6, глубине передних четвертей 3,3, глубине задних четвертей — 1,3 см. При этом, уступали по этим параметрам животным III (3ЛГ) группы. Соски у полукровных по голштинской породе первотелок достаточной длины и толщины. Расположение сосков широкое, удобное для подключения доильного аппарата.

Первотелки Ух - кровные по голштинской породе имели наиболее высокие показатели основных параметров вымени. Так, они превосходили по длине, ширине, обхвату вымени, глубине передних и задних четвертей и расстоянию от дна вымени до земли животных I (ч/п) группы на 6,4; 3,6; 8,4 и 3,9; 2,1; 4,0 см и II ('Л Г) группы на 1,4; 1,5; 2,8 и 0,6; 0,8; 0,2 см соответственно. Соски у них цилиндрической и конической формы, достаточной длины и ширины, направлены в основном вниз, расстояние между сосками большое, сближенности сосков не наблюдалось.

Самый высокий индекс спада вымени отмечался у животных второго поколения (3Л Г) - 29,2%, что выше показателей сверстниц I (ч/п) и II ("Л Г) групп на 4,6 и 1,6% соответственно. Высокой и почти равной спадаемостью вымени после доения отличались полукровные по голштинам первотелки, индекс спада их был равен 27,6 %, превысив показатель сверстниц I (ч/п) группы на 3,0 % (таблица 4).

С возрастом качество вымени коров изменяется, и индекс спада уменьшается, процент изменения у всех генотипов различный, так, у, чистопородных черно-пестрых коров разность по сравнению с первой лактацией составила: во вторую - 2,0 и третью лактацию - 5,8 %, у полукровных по голштинам - 1,7 и 4,7, у животных второго поколения - 1,5 и 4,5 %.

Наряду с улучшением морфологических признаков вымени у помесных животных повышаются показатели, характеризующие функциональные свойства вымени.Наиболее высокую интенсивность молоковыведения имели первотелки III (У* Г) группы (1,70 кг/мин.). Превосходство по этому показателю над сверстницами I (ч/п) и II ('ЛГ) групп составило соответственно 0,62 и 0,12 кг/мин. (таблица 5).

Таблица 4 — Условная величина и индекс спада вымени у коров первого отела разного происхождения

Группа Количество животных Условная величина вымени М±т, см Индекс спада вымени, %

до доения после доения

I (ч/п) 60 2951±42,5 2226±37,0 24,6

II ('Л Г) 72 3371±38,7 2443+32,2 27,6

III (У, Г) 70 3535+60,9 2505±43,6 29,2

Полукровные первотелки по голштинской породе имели выше показатель интенсивности молоковыведения по сравнению с черно-пестрыми сверстницами на 0,5 кг/мин.

Таблица 5 - Интенсивность молоковыведения и индекс вымени у первотелок разного происхождения

Группа Количество животных, гол. Суточный удой, кг Интенсивность молоковыведения, кг/мин. Индекс вымени, %

м±ш М±ш Cv, % М±т Cv

I (ч/п) 60 17,5±0,б 1,08+0,04 26,9 40,3±0,62 12,4

II ('Л Г) 72 _ 20,8+0,5 1,58+0,04* 24,2 44,3±0,55 10,2

III (3ЛГ) 70 22,3±0,6 1,70+0,06* 22,3 45,0+0,65 10,5

Низкая интенсивность молоковыведения отмечена у чистопородных черно-пестрых первотелок, она составила 1,08 кг/мин., разность достоверная с показателями первотелок всех групп. В этой группе животных отмечается высокая вариабельность этого показателя (26,9 %). У животных II ('Л Г) и III ('Л Г) групп она составила 24,2 и 22,3 % соответственно.

В целом следует отметить высокую изменчивость интенсивности мо-локовыведения у животных всех групп, это служит основанием для эффективного отбора коров по свойствам молокоотдачи.

Лучшее развитие вымени отмечено у У* — кровных животных, индекс вымени, т.е. отношение удоя из передних четвертей к общему объему у них был равен 45,0% превысив по этому признаку черно-пестрых сверстниц на 4,7 %, полукровок по голштинской породе на 0,7 %. У животных II ('АГ) группы также равномерно развито вымя, индекс вымени равен 44,3%, что выше их черно-пестрых сверстниц, на 4,0%.

При машинном доении коров важно, чтобы четверти вымени были равномерно развиты, и как можно минимальной была разница во времени при выдаивании, т.е. «холостое» доение. Взаимосвязь интенсивности молоковы-ведения с удоем за лактацию во всех подопытных группах была продолжительной (г = 0,18 - 0,33).

Взаимосвязь равномерности развития передних и задних долей вымени с интенсивностью молоковыведения была незначительной. От индекса вымени не зависел ни суточный удой, ни удой за лактацию. Поэтому для повышения эффективности машинного доения, сохранения здорового вымени за счет более одновременного выдаивания передних и задних четвертей вымени и уменьшения вредных последствий «холостого» доения менее продуктивных передних долей этот показатель является одним из ведущих при селекции молочного скота на пригодность к машинному доению.

Многие авторы отмечают, что тугодойкие и очень быстро отдающие молоко коровы, а также имеющие большую разность в удоях четвертей вымени чаще болеют маститом. Нами получены подтверждающие это результаты. Наименьшее количество заболевших животных (8,7 - 13,8%) маститом имели удой по отдельным четвертям от 20 до 30%, с удоем не менее 15% и более 35% переболевают 65,1 и 49,0% животных соответственно.

Следовательно, селекция по морфо-функциональным свойствам вымени коров позволяет улучшить как технологические качества, так и устойчивость к заболеванию при одновременном повышении продуктивности.

Таким образом, скрещивание черно-пестрых коров с быками голштинской породы является эффективным средством совершенствования стада по молочной продуктивности, оказывает положительное влияние на технологические свойства вымени у помесей, скорость молокоотдачи и способствует более равномерному развитию четвертей вымени.

Два научно-хозяйственных опыта проведены по изучению роста, развития и молочной продуктивности голштинизированных помесей первого и второго поколений по сравнению с чистопородными черно-пестрыми сверстницами. У подопытных животных изучали живую массу и экстерьер, молочную продуктивность, морфологические свойства вымени, пригодность к машинному доению и оплату корма продукцией.

По большинству изучаемых показателей установлены различия между помесными первотелками и их черно-пестрыми сверстницами. Так, помеси 'А- и 3/4-кровные по голштинской породе рождаются более крупными, чем черно-пестрые, однако тяжелых отелов не наблюдалось. Помеси лучше развивались и к 18-месячному возрасту превосходили телок черно-пестрой породы по живой массе. Они более растянуты и высокорослы.

Приведенные материалы по использованию быков голштинской породы подтвердили данные опытов о более высокой молочной продуктивности помесных коров, по сравнению с черно-пестрыми.

3.3 Характеристика коров разных генотипов по содержанию, изменчивости и взаимосвязи компонентов молока

Научно-хозяйственный опыт по оценке коров разных генотипов по содержанию компонентов молока, изучению изменчивости и взаимосвязи химического состава молока в ходе лактации проведен на базе учхоза «Оек-ское» Иркутской ГСХА.

Для проведения научно-хозяйственного опыта было сформировано три группы по 20 голов: I группа - чистопородные черно-пестрые первотелки; II группа - первотелки с /4-кровностью по голштинской и '/г-кровностью по черно-пестрой породе; III группа - первотелки с 3А- кровностью по голштинской и '/¿-кровностью по черно-пестрой породе. Отбор животных осуществляли по принципу аналогов, с учетом возраста, времени отела, происхождения.

В результате проведенных исследований представляется возможным дать характеристику коровам разных генотипов по удою и содержанию основных компонентов в молоке. Лучшими по удою и выходу молочного жира оказались помеси У* - кровности. По содержанию жира в молоке помеси 14 -кровности на 0,02 % превосходят помесей У* - кровности и на 0,01 % чистопородных черно-пестрых коров.

Содержание сухих веществ и COMO в молоке выше у чистопородных черно-пестрых коров. Но по абсолютному выходу этих компонентов молока чистопородные черно-пестрые коровы уступают помесным животным.

Наиболее высокое процентное содержание лактозы выявлено в молоке чистопородных черно-пестрых коров, самое низкое в молоке помесей 3А -кровности.

Процентное содержание белка в молоке ниже у коров V* - кровности. Коровы чистопородные черно-пестрые и 'А - кровности имели практически одинаковые показатели — на 0,04 — 0,05 % выше, чем у коров % - кровности. Наиболее высокое содержание казеина в молоке у коров чистопородных черно-пестрых, самое низкое - у коров У, - кровности. Содержание альбумина и глобулина в молоке выше у коров Уг - кровности. У чистопородных черно-пестрых коров процентное содержание этих компонентов молока оказалось минимальным.

Таким образом, при более высоком удое коровы 'Л - кровности имеют хорошее содержание основных его компонентов (жира, белка). У чистопородных черно-пестрых коров самое высокое содержание в молоке сухого вещества, COMO, лактозы и казеина. Но так как удои ниже, то по валовому содержанию этих компонентов они уступают помесным коровам.

Уровень удоя не остается постоянным, а изменяется в процессе лактационного периода. Наибольший удой у коров всех групп был на втором месяце лактации, затем постепенно снижался в разных группах неодинаково.

Самое низкое содержание жира в молоке было на первом месяце лактации с постепенным увеличением по ходу лактации. Эта тенденция сохранялась в период максимальных удоев. У коров 1Л - кровности самый высокий процент жира за лактацию (3,69 ± 0,09), но колебания по месяцам лактации довольно значительны, о чем свидетельствует ошибка средней.

Наибольшее количество молочного жира было получено у коров всех групп на втором месяце лактации, то есть в период максимальных удоев, самое низкое - в конце лактации. Степень снижения в разных группах неодинакова. Более равномерное снижение этого показателя у коров 'Л - кровности.

Содержание сухих веществ молока по месяцам лактации изменяется аналогично изменению содержания жира в молоке. Наименьшее содержание в молоке коров У> - кровности отмечено на первом месяце лактации. Накопление сухого вещества в молоке к концу лактационного периода шло более равномерно. В течение лактации колебания коэффициента вариации у коров разных генотипов по содержанию сухих веществ составили от 3,19 до 6,04 %. Абсолютное же его количество у всех изучаемых генотипов коров максимальной величины достигало на втором месяце лактации, а минимальной - на последнем месяце. Характер колебаний абсолютного количества сухих веществ молока соответствует изменениям удоев коров разного генотипа. Самая высокая интенсивность снижения количества сухого вещества молока к концу лактации получена по группе чистопородных черно-пестрых коров, у которой количество этого компонента на последнем месяце снизилось в 4,08 раза по сравнению со вторым месяцем лактации. У помесных коров Vz - и % - кровности снижение между отмеченными месяцами лактации было менее интенсивным.

Динамика изменений сухого обезжиренного молочного остатка (СО-МО) в молоке идентична изменениям сухого вещества, хотя колебания по месяцам лактации менее значительны по всем изучаемым группам коров. Так, коэффициент вариации по содержанию сухого вещества колебался от 4,25 % (чистопородные черно-пестрые коровы) до 4,51 % (помеси У< - кровности). По содержанию COMO этот показатель находился в пределах от 1,89 % (помеси 'Л - кровности) до 2,52 % (помеси 3Л - кровности).

Содержание молочного сахара по ходу лактации изменяется аналогично динамике удоев. Так, максимальная концентрация данного компонента в молоке у всех изучаемых групп коров обнаружена на втором месяце лакта-

ции (период наивысшего удоя), после чего процент лактозы в молоке снижается постепенно в ходе лактационного периода. Интенсивность снижения молочного сахара у коров разных генотипов неодинаковая. Наиболее резкое падение содержания молочного сахара от начала лактации к ее концу наблюдалось в молоке помесей У* - кровности. В остальных группах коров снижение было менее интенсивным.

Минимальное содержание белка с наибольшими колебаниями по месяцам лактации отмечено в молоке коров Ул - кровности. На шестом месяце лактационного периода у всех коров процент белка был близок к среднему за лактацию. Изменения абсолютного количества белка в молоке у коров разных генотипов в течение лактационного периода имеют противоположный характер колебаниям его процентного содержания. Максимальное количество молочного белка от коров 'Л - кровности получено на втором месяце лактации (в этот период процент белка в молоке был минимальным), а от коров чистопородных черно-пестрых и % - кровности — на третьем. С течением лактации отмечено постепенное снижение его количества и минимальная величина этого компонента у всех коров на последнем месяце лактации. Динамика абсолютного количества белка по месяцам лактационного периода соответствует колебаниям удоя по каждой изучаемой группе.

У коров разных генотипов между удоем и содержанием жира, удоем и содержанием белка в молоке получена корреляционная связь в пределах от -0,121 (помеси Vi - кровности) до - 0,602 (чистопородные черно-пестрые коровы) и от — 0,068 (помеси У> - кровности) до - 0,418 (чистопородные черно-пестрые коровы) соответственно, но эта взаимосвязь недостоверна у всех групп коров разного генотипа. Положительная взаимосвязь у коров всех групп выявлена между процентом жира и белка в молоке в пределах от 0,216 (помеси У4 - кровности) до 0,518 (помеси 'Л - кровности). Между содержанием жира и COMO в молоке коров сравниваемых генотипов отмечена положительная взаимосвязь в пределах от 0,200 (помеси У* - кровности) до 0,602 (чистопородные черно-пестрые коровы). Наиболее высокая положительная корреляционная зависимость у всех изучаемых групп коров обнаружена между содержанием жира и сухих веществ молока.

Полученные коэффициенты корреляции подтверждают положение об изменчивости корреляционных связей, которые могут меняться под действием отбора и подбора, поэтому необходимо принимать во внимание принадлежность животных к разным генотипам, так как связи между компонентами молока коров различны.

3.4 Воспроизводительная способность коров

В наших исследованиях воспроизводительная способность коров черно-пестрой породы в связи с уровнем голштинизации изучена в двух научно-хозяйственных опытах. В первом опыте было сформировано 3 группы животных: I группа - коровы первотелки с Уг долей крови по голштинской по-

роде, II группа - с 3Л долями голштинской крови, III группа - с 7/8 долями голштинской крови.

Анализ результатов по удою за первую лактацию от каждой коровы показал, что у первотелок с % долями кровности по голштинам было получено больше молока, чем от полукровок и сверстниц с \ долями крови по голштинской породе соответственно на 355 кг (8,6%) и на 274 кг (6,5%).

По удою за вторую лактацию коровы II группы превосходили полукровных сверстниц на 10,6%, а животных с 7/s долями кровности - на 8,0% (таблица 6). У первотелок с V» долями голштинской крови (II группа) сервис-период превышал аналогичный показатель сверстниц I и III групп соответственно на 25 и 16 дней. За вторую лактацию продолжительность периода от отела до плодотворного осеменения у животных I и II групп снизился по сравнению с первой лактацией соответственно на 6 и 12 дней, а у помесей III группы повысился на 11 дней.

За первую лактацию период плодоношения у коров с % долями кровности (II группа) продолжительней по сравнению с помесями I и III групп соответственно на 5 и 2 дня. За вторую лактацию прослеживалась аналогичная тенденция, однако достоверной разности не установлено. В этот период наблюдалось незначительное увеличение продолжительности плодоношения по сравнению с первой лактацией на 2-3 дня.

Таблица 6 - Воспроизводительная способность и удой за лактацию коров в связи с кровностью по голштинской породе

Количество Удой за лактацию, кг Продолжительность, дн.

Группа животных, сервис- плодоноше-

гол. периода ния

Первая лактация

I 59 4127±153,5 90±8,3 276±2,0

II 62 4482±123,2* 115+12,4* 281±1,0

III 61 4208± 107,4° 99±11,0+ 279±1,0

Вторая лактация

I 56 4532+114,2 84±6,5 279±1,0

II 59 5012±145,7* 103±9,Г 283±2,0

III 59 4642+104,3+ 110±12,2* 280±1,0

Интервал между нормальными отелами (МОП) является одним из важнейших факторов, определяющих экономическую эффективность молочного стада. Идеально межотельный период должен быть равен одному календарному году, так как он включает в себя в основном два признака плодовитости - сервис-период и продолжительность стельности. В общей структуре изменчивости на долю продолжительности стельности приходится около 2-4%, а остальное на сервис-период.

В наших исследованиях межотельный период оценен по продолжительности и среднесуточному удою. Анализ результатов показал, что у полукровок (I группа) период от отела до отела меньше, чем у помесей с кровно-стыо по голштинам ЪА и % (II и III группа) соответственно на 22 и 29 дней. Среднесуточный удой за межотельный период у животных II группы выше, чем в I и III группах соответственно на 0,9 и 1,2 кг. Коэффициент вариации продолжительности МОП повышался с увеличением доли кровности от 8,6 до 14,1%. Продолжительность сухостойного периода у животных опытных групп различалась на 1-3 дня с вариацией признака от 6,7 до 7,7%. Рассмотренные выше показатели воспроизводительной способности в значительной степени зависят от эффективности осеменения коров.

В первые 30 дней после отела первотелок с 3Л долями кровности по голштинской породе (И группа) в охоту пришло больше, чем животных I и III групп соответственно на 1,9 и 5,9%. Во второй лактации полукровные животные (I группа) превосходили по аналогичному показателю коров II и III групп соответственно на 2,5 и 5,7%. Большая часть животных во всех подопытных группах пришла в охоту после отела в период от 31 до 60 дней (33,9-58,8%). Полукровных первотелок (I группа) в этот период пришло в охоту на 24,9% больше, чем коров с % долями кровности по голштинам (II группа) и на 4,8% больше, чем сверстниц с 7, долями голштинской крови (III группа).

В период 61-90 дней от отела до первого осеменения первотелок с 'А долей голштинской крови (I группа) осеменнлось меньше животных соответственно на 5,8 и 9,0%, чем сверстниц с % и '/8 долями кровности по голштинской породе. Количество животных, осеменившихся первый раз после отела в период свыше 91 дня и более, значительно уменьшилось во вторую лактацию по сравнению с первой. Данный показатель помесей I, II и III групп снизился соответственно на 1,3%, 22,3 и 8,3%.

Средний срок от отела до первого осеменения у полукровных помесей (I группа) во вторую лактацию меньше соответственно на 6 и 4 дня по сравнению со сверстницами II и III групп. Аналогичная тенденция прослеживается и по оплодотворяемости коров от первого осеменения. Так, в первую лактацию у полукровок она была выше на 17,2 и 8,6%, чем у коров II и 1П групп. Примерно такое же различие сохранялось и во второй лактации. Разность у животных I группы по сравнению с данным показателем коров II и III групп составляла 9,6-12,9%.

Полукровные помеси первого поколения имели меньший индекс осеменения (на 0,1-0,8), чем сверстницы II и III групп. Коэффициент воспроизводительной способности (КВС) первотелок I группы составил 1,01 и был выше, чем у помесей с У* и '/»долями голштинской крови.

От помесей первого поколения, полученных при поглотительном скрещивании коров черно-пестрой породы восточносибирского типа с гол-штинскими быками, выход телят на 100 коров был выше, чем от сверстниц второго и третьего поколений.

Таким образом, с увеличением доли крови по голштинской породе с 'Л до '/8 у коров черно-пестрой породы восточносибирского отродья наблюдалась тенденция снижения их воспроизводительной способности. Между кровностью и сервис-периодом у помесных коров установлена достоверная положительная корреляционная связь (г = +0,28).

В результате наших исследований во втором научно-хозяйственном опыте при изучении воспроизводительных качеств коров разной кровности по голштинской породе установлено, что наименьший возраст первого отела (906 дн.) имели животные полукровные по голштинской породе, а наибольший (939 дн.) первотелки с удельной долей голштинской крови - 75% и более. По сравнению со средними показателями отел у первых проходил на 19 дней раньше, а последних на 14 дней позднее. Различия по этому показателю между коровами других групп незначительны и статистически недостоверны. Более однородны по времени отела были животные кровностью до 25%, а более изменчивы первотелки с долей крови голштинских быков - 75% и более.

Одним из важных показателей, характеризующих воспроизводительную способность животных, является продолжительность сервис-периода, которому отдается предпочтение как признаку, характеризующему физиологическое состояние коровы. Продолжительность сервис-периода зависит от таких факторов как полноценность кормления, инволюция матки после отела, состояния яичников, своевременного выявления охоты и др. Возможность коровы стать вовремя стельной зависит от ее способности к проявлению признаков охоты и оплодотворения.

В многочисленных исследованиях установлено, что продолжительность сервис-периода у помесных коров по сравнению с чистопородными черно-пестрыми животными на 5-39 дней больше и с повышением кровности по голштинской породе увеличивается.

В наших опытах средняя продолжительность сервис-периода колебалась от 104 дней у полукровных коров до 139 дней у их сверстниц с долей крови по голштинской породе 75% и более. По сравнению со средними показателями достоверно короче сервис-период имели животные кровностью 50% (-12 дней) и 37,5% (-9 дней), а продолжительнее, соответственно кровностью 75% и более (+23 дня). У животных всех генотипов отмечена достаточно высокая изменчивость этого показателя.

Аналогичная тенденция, сложившаяся в группах животных по сервис-периоду прослеживается и по продолжительности межотельного периода (МОП). Так, с повышением кровности от 25 до 50% межотельный период уменьшался на 12 дней, а затем по мере возрастания доли голштинских генов в генотипе коров увеличивался, достигая максимума (391 день) у высококровных животных (75% и более). У коров этой группы продолжительность межотельного периода по сравнению со средними показателями была на 19 дней длиннее, а по сравнению с полукровными - на 34 дня. Коэффициент изменчивости признака у коров с долей крови по голштинской породе 50%

был самым низким, что свидетельствует о высокой его генетической обусловленности.

В наших исследованиях относительно лучшей воспроизводительной способностью отличались помесные по голштинской породе коровы кровно-стью от 37,5 до 50,0% (КВС = 1,01 - 1,02), а с насыщением доли голштинских генов до 75% и более воспроизводительная способность снижалась. Так, у животных этой группы КВС снизился по сравнению с аналогичным показателем помесных коров с долей крови 50% по голштинской породе на 8,8%, а со средними показателями - на 5,1%.

Одним из методов оценок плодовитости коров, которая объединяет возраст первого отела животного с межотельным периодом, является индекс плодовитости И. Дохи (1961), который определяется по формуле. Исходя из нее, при индексе 48 и выше плодовитость считается хорошей, при 41-47 -средней и менее 40 - низкой. Полученные нами данные свидетельствуют о том, что индекс плодовитости (ИП) с насыщением доли голштинских генов в генотипе коров увеличивался до кровности 50% и составлял 46, а затем снижался до 43 у высококровных помесей (75% и более). В ряде исследований показано, что при высоком возрасте первого отела и межотельного периода индекс Дохи имеет низкое значение.

Анализ причин мертворожденных телят (включая аборты) в группах голштинизированных коров показал, что их количество, помимо других факторов, увеличивается с повышением кровности по голштинской породе. Так, при кровности до 25% количество мертворожденных телят составляет 4,7%, а при 75% и более данный показатель возрастает до 9,8%.

Исходя из вышеизложенного следует, что среди голштинизированных коров восточносибирского региона лучшие показатели воспроизводительной способности имели животные с долей крови по голштинской породе 50%. С повышением удельной доли голштинских генов в генотипе коров до 75% и более по сравнению со средними показателями они значительно ухудшаются.

3.5 Продолжительность хозяйственного использования животных разных генотипов

Учитывая важность данной проблемы, нами проанализирована продолжительность хозяйственного использования помесных коров в базовых хозяйствах Иркутской области по данным первичного зоотехнического учета выбывших животных, которые были распределены на 5 групп с разной кров-ностью по голштинской породе. В качестве критерия учтены продолжительность жизни и продуктивного использования, пожизненный удой, а также на 1 день лактации и жизни. В период проведения эксперимента изучена интенсивность выбраковки коров с учетом генотипа и выявлением предыдущей продуктивности, в том числе и пожизненной.

Анализ результатов показал, что наибольшая продолжительность жизни в группах голштинизированных коров характерна для животных с

50% долей крови по улучшающей породе (таблица 7). Дальнейшее повышение кровности по голштинской породе до 75% и более сокращало (на 289 дн.) длительность жизни. Более высокие сроки хозяйственного использования характерны для животных с высокой продолжительностью жизни. Установлена четкая зависимость продолжительности хозяйственного использования с увеличением кровности по улучшающей породе. Более продолжительным лактационным периодом отличались полукровные коровы, которые превосходили средние показатели на 0,9 лактаций, а животных с удельной долей голштинской крови 75% и более - на 1,2 лактаций.

Сравнительно короткой продолжительностью лактации отличались помесные коровы кровностью 37,5 и 50%, удлиненной - высококровные помеси с долей крови 75% и более. Превосходство у них по этому показателю над полукровными животными составило 43 дня, а по сравнению со средними показателями по группам - на 28 дней.

Аналогичная закономерность сохранилась в группах голштинизиро-ванных коров и по продолжительности продуктивного использования. Так, у полукровных животных данный показатель был на 22,7 и 28,7% выше по сравнению с помесными аналогами с долей крови по голштинской породе соответственно 62,5 и 75% и более. Период продуктивного использования полукровных помесей по сравнению со средними показателями по группам был на 24,7% выше.

Таблица 7 - Характер использования коров разного генотипа

Кровность по голштинской породе, %

Показатель до 25 37,5 50 62,5 75 и более в среднем по всему поголовью

Количество жи-

вотных, гол. 194 298 597 504 486 2079

Длительность 2007± 2154± 2310± 2064± 2021± 2111±

жизни, дн. 59,3 54,6 46,3 42,0 39,4 27,4

Продолжительность использо- 2,7± 2,9± 3,9± 3,0± 2,7± 3,<Н=

вания, лактации 0,12 0,11 0,15 0,09 0,10 0,05

Средняя продолжительность 358± 353± 351± 372± 394± 366±

лактации, дн. 9,6 6,4 2,9 3,7 3,7 4,8

Период продуктивного исполь- 967± 1024± 1369± 1116± 1064± 1098±

зования, дн. 46,2 37,4 29,8 17,7 27,4 21,4

Анализ данных пожизненной продуктивности и продолжительности хозяйственного использования коров показал, что с повышением кровности

по голштинской породе средний удой за всю жизнь у помесных животных увеличивался, достигая максимума (19440 кг) у полукровных коров.

Пожизненный удой у высококровных коров (62,5, 75% и более) по сравнению с полукровными был ниже на 4932-6034 кг, а со средними значениями по всему поголовью - на 122-1224 кг.

Уровень пожизненной продуктивности коров в значительной мере зависит от длительности периода их хозяйственного использования, в связи с чем данный показатель не является единственным критерием, определяющим эффективность разведения той или иной группы животных. Наиболее объективным показателем эффективности использования коров является средняя продуктивность на один день определенного периода или всей продолжительности жизни.

В наших исследованиях установлено, что с увеличением кровности по улучшающей породе до 50% наблюдается повышение удоя молока на 1 день жизни (на 27,0%) и на 1 день лактации (на 12,7%) по сравнению с высококровными (75% и более) животными.

Анализ вышеизложенного позволяет заключить, что у помести животных с повышением доли кровности по голштинской породе, снижается жизнеспособность, сокращается период их хозяйственного использования и уменьшается количество получаемой от коров молочной продукции. При формировании восточносибирской популяции черно-пестрого скота в существующих в настоящее время условиях кормления и содержания наиболее эффективным является использование животных промежуточных генотипов кровностью по голштинской породе в пределах 37,5-62,5%. Однако, наилучшие результаты по всем показателям получены у полукровных животных.

3.6 Качественный состав молока голштинизированных коров

В многочисленных исследованиях установлено, что качественный состав молока обуславливается генетическими особенностями животных как специфический признак породы. Использование разных пород при скрещивании позволяет получать помесных животных, сочетающих желательные качества молока. В то же время, проявление этой сочетаемости зависит от ряда факторов: уровня кормления коров, наследственности быков улучшающих пород и др.

Определение желательного генотипа по качественным показателям молока голштинизированных коров восточносибирской популяции черно-пестрой породы показал, что у помесных животных с повышением кровности по улучшающей породе состав молока изменяется незначительно. Так, у помесей с долей крови по голштинской породе 50% в первую лактацию содержание жира и белка было выше на 0,07-0,09% и 0,03-0,11% соответственно по сравнению с аналогами с кровностью до 25 и 37,5%. Во вторую лактацию разность составила соответственно по жиру 0,28-0,29%, по белку - 0,25-

0,29%. Аналогичная тенденция прослеживается и по другим компонентам молока.

В наших исследованиях установлено значительное влияние сезона года на суточный удой и состав молока. Так, в летний период по сравнению с зимне-стойловым суточный удой у животных всех подопытных групп был на 5,8-8,9% выше. Однако в молоке летнего периода существенно снижалось содержание жира (на 0,3-0,4%), белка (на 0,3-0,5%) и сухого вещества (на 0,8-0,9%). Летний период года оказал влияние и на среднее содержание основных компонентов молока в период всей лактации. С увеличением кровно-сти первотелок по голштинской породе в течение всей лактации сохранялась выявленная в зимне-стойловый период тенденция увеличения содержания в молоке жира, белка и сухого вещества.

Анализ химического состава молока, полученного от коров опытных групп после второго отела, показал, что по месяцам лактации он изменялся с одинаковой закономерностью. Так, в начале лактации у помесей с долей крови 50% по голштинской породе, количество основных компонентов в молоке было на 0,4-0,9% выше по сравнению с их содержанием в середине лактации. Перед запуском наблюдалось увеличение содержания в молоке жира, белка и сухого вещества по сравнению с аналогичными показателями в начале и середине лактации. В зависимости от кровности животных не было выявлено изменений в химическом составе молока. Имеющаяся незначительная разность между группами была недостоверной. Следует, однако, отметить, что вследствие более высокого удоя полукровных коров, абсолютный выход мо-. лочного жира, белка и других компонентов за период лактации были значительно выше по сравнению со сверстницами, как с низкой, так и высокой кровностью по голштинской породе.

Изучение жирнокислотного и аминокислотного состава молока показало, что с повышением кровности по голштинской породе наблюдается тенденция уменьшения ненасыщенных жирных кислот и незаменимых аминокислот, что снижает биологическую ценность молочного жира и белка

В целом среди коров изученных генотипов по абсолютной величине основных компонентов молока за лактацию лучшие показатели имели сред-некровные помеси, что определяет перспективность их разведения в популяции восточносибирского типа черно-пестрого скота.

3.7 Роль быков-улучшателей в повышении генетического потенциала

стада

В комплексе мероприятий по повышению генетического потенциала животных наиболее важную роль играют быки-улучшатели. Выявление их и интенсивное использование в селекционном процессе является краеугольным камнем крупномасштабной селекции. Нами была поставлена задача по выявлению быков-улучшателей в Иркутском племпред-

приятии, продукция которого широко используется в хозяйствах области.

Данные оценки используемых быков в стадах ОПХ «Иркутское» свидетельствуют, что среди чистопородных голштинских производителей лучшее потомство получено от быка Доллар. При удое дочерей 4461 кг молока этот бык оказался улучшателем (+614 кг). Удои дочерей быков Севера, Кавказа и Тигра достоверно выше удоя их сверстниц на 316-524 кг. Потомство быка Малахита превысило удои сверстниц, но при недостоверной разности.

Аналогичная закономерность установлена при оценке быков с кров-ностью по голштинам Высокой продуктивностью дочерей (4402 и 4390 кг молока) характеризовались быки Строгий и Коршун. Прибавка по удою в сравнении с одногенотипными сверстницами составила соответственно 498 и 480 кг молока при высокой степени достоверности.

Иные результаты получены при оценке полукровных быков по гол-штинской породе. Из шести оцененных животных дочери быков Тигра, Дымка и Трона превосходили по удою сверстниц, но при недостоверной разнице, а быки Алмаз, Призрак и Абажур оказались ухудшателями по удою.

Наиболее низкую молочную продуктивность показали дочери быка Цуката (7/а кровности по голштинской породе) — 3496 кг молока, что ниже удоя сверстниц на 423 кг. При этом Цукат одновременно оказался улучшателем по процентному содержанию жира в молоке (+0,1%).

• Из всех оцененных быков-производителей лишь Цукат и Призрак были достоверными улучшателями по процентному содержанию жира в молоке.

По содержанию молочного жира дочери быков Доллара, Севера, Строгого, Коршуна, Кавказа и Тигра оказались улучшателями на 11,521,6 кг по сравнению со сверстницами при высокой степени достоверности.

Дочери быков-производителей Алмаз, Призрак, Абажур и Цукат по этому признаку уступали сверстницам на 4,4-17,0 кг при недостоверной разности. Быки-производители Дождь, Малахит, Дымок и Трон оказались нейтральными, т.к. превышение содержания молочного жира составило от 3,0 до 15,3 кг, что статистически недостоверно.

Из всех оцененных быков наибольшую живую массу за 1 лактацию имели дочери быков Севера - 483 кг, Дождя - 489 кг и Малахита — 481 кг. Статистически достоверное превышение над сверстницами составило 31-39 кг.

Ухудшателями по этому признаку оказались быки Цукат (-26 кг), Призрак (-17 кг) и Доллар (-7 кг). Остальные оцениваемые быки характеризовались как нейтральные, т.е. разность по живой массе их дочерей и сверстниц была недостоверной.

Таким образом, из 14 оцененных по комплексу признаков быков-производителей улучшателями по удою и содержанию молочного жира были

б быков, по процентному содержанию молочного жира - 2, по живой массе -3 быка-производителя.

По результатам комплексной оценки установлено, что наибольшее положительное влияние на продуктивные качества стада оказали чистопородные голштинские быки-производители и быки с % кровности по голштин-ской породе.

3.8 Использование быков голштинской породы при совершенствовании черно-пестрого скота в Иркутской области

Многообразие экологических условий Иркутской области диктует необходимость иметь скот, адаптированный к местным условиям, сочетающий высокую молочность и мясность. В наибольшей степени такие качества сочетаются у животных черно-пестрой породы, удельный вес которых в массиве крупного рогатого скота в Иркутской области составляет более 60%.

По уровню молочной продуктивности черно-пестрый скот уступает другим специализированным молочным породам и имеет ряд технологических недостатков (слабые конечности, мягкий копытный рог, нежелательные формы вымени и сосков, низкая интенсивность молокоотдачи и самозапус-каемостъ).

Совершенствование отечественной черно-пестрой породы в Иркутской области началось с 1978 г., в качестве улучшающей стали использовать гол-цггинов - одну из лучших молочных пород мирового генофонда. При скрещивании черно-пестрых коров и голштинских быков на первом этапе использовали производителей американской селекции, при выявлении которых' основное внимание обращали на улучшение формата и вымени, повышения удоя. В дальнейшем в селекцию были вовлечены голштины канадского и германского происхождения, как более жирномолочные с высокой живой массой.

При скрещивании черно-пестрой породы с голштинами предусматривалось: обеспечить у потомства сочетаемость крупной живой массы с высокой молочной продуктивностью, при этом улучшить морфофункциональные свойства вымени и сохранить приспособленность к суровым природно-климатическим условиям Сибири. Уже на первом этапе скрещивания голштинских быков с черно-пестрыми коровами в хозяйствах с достаточно прочной кормовой базой была получена высокая эффективность использования улучшающей породы.

За последние 25 лет в Иркутской области проведена крупномасштабная работа по использованию голштинской породы при совершенствовании черно-пестрого скота. Решение селекционных задач, направленных на выведении нового типа черно-пестрой породы, и разработка приемов эффективного ее совершенствования обусловили актуальность исследований.

Объектом исследований стали помеси, полученные от скрещивания маточного поголовья черно-пестрой породы с голштинскими быками-производителями, и животные черно-пестрой породы.

В условиях Иркутской области телочки нового типа черно-пестрого скота интенсивно росли и развивались, обеспечивая среднесуточный прирост 660-670 г, достигая к 18-месячному возрасту живой массы 395-405 кг, что позволяло использовать их для воспроизводства с 18-месячного возраста. Живая масса первотелок составляла 500-550 кг, а полновозрастных коров — 650700 кг. Бычки-кастраты до 18-месячного возраста обеспечивали 770-780 г среднесуточного прироста, достигая живой массы 460-470 кг.

По экстерьерно-конституциональным особенностям и типу телосложения черно-пестро-голштинские помеси достаточно крепкого телосложения, хорошо приспособлены к среде обитания с высокой жизнеспособностью, соответствуют требованиям молочного направления продуктивности.

Полновозрастные коровы имеют практически одинаковые с черно-пестрыми промеры высоты в крестце, ширине в маклоках и седалищных буграх и превосходят по высоте в холке и обхвату груди.

Голштинизированный скот превосходит исходную черно-пеструю породу по удою за 1 лактацию - на 663 кг (19,7%), за 2 лактацию на 813 кг (21,6%), за 3 лактацию на 972 кг (23,3%), по количеству молочного жира соответственно на 25,4 кг, 30,3 кг и 35,7 кг.

Самыми высокопродуктивными и жизнеспособными были голштинизированный скот, отелившийся в первый раз в 25-месячном возрасте. У них пожизненный валовой удой составил 12619 кг и превысил удой коров, отелившихся в возрасте 31 мес. И старше на 24,3%, жизнеспособность на 39,9%.

Наиболее высокопродуктивными были коровы-первотелки, имеющие живую массу при первом отеле 501-530 кг. У них пожизненный удой составил 14807 кг и превысил удой коров-первотелок с живой массой 440-470 кг на 37,3%, жизнеспособность на 25%. Соответственно превышение по коровам-первотелкам с живой массой 561 кг и более составило по удою - на 56,9%, жизнеспособности - на 45,5%.

Наиболее высокую пожизненную молочную продуктивность имели коровы-первотелки с удоем за первую лактацию 3,6-4,0 тыс. кг. Эти данные превышали показатели коров 1 группы по удою на 63,2%, жизнеспособности на 28,1%, коров 5 группы соответственно на 30,8% и 40,3%.

Наиболее продуктивными были коровы-первотелки с продолжительностью сервис-периода до 60 дней. У них пожизненный удой превышал удой коров V группы на 42,7%, жизнеспособность - на 41,3%.

По морфологическим признакам вымя голштинизированных первотелок объемистые, чашеобразной формы у 87,1%, округлое у 12,9% с равномерно развитыми четвертями, плотно прикрепленное к брюху, большой степенью выраженности горизонтального обхвата, длины, ширины, глубины и развитой железистой тканью.

По форме, расстановке и размерам сосков голштинизированные коровы выгодно отличаются от черно-пестрых. По функциональным свойствам вымя голштинизированных коров соответствует требованиям технологии машинного доения, интенсивность молокоотдачи составила 1,82 кг/мин., а индекс вымени - 42,9%.

3.9 Состояние иммунной системы у телок в зависимости от кровности по улучшающей породе

Объективное представление об адаптационных способностях организма, его устойчивости к воздействиям неблагоприятных факторов дают иммунобиологические показатели. Поэтому целью наших исследований являлось изучение иммунного статуса телок черно-пестрой породы разной кровности по голштинской породе, оценка их адаптационной способности, определение наиболее оптимального генотипа животных для конкретных хозяйственных условий Восточной Сибири.

Для проведения исследований в учебном хозяйстве Иркутской ГСХА «Оекское» были сформированы 3 группы телок черно-пестрой породы по 15 гол. В каждой в 3-месячном возрасте. В I группу входили телки с удельной долей голштинской наследственности до 37,5%, во II группу — от 37,5 до 62,5%, в III группу - более 62,5%. Условия кормления и содержания животных всех подопытных групп были одинаковыми, В крови, взятой из яремной вены (утром до кормления), изучались гематологические, иммунобиохимические показатели, а также неспецифического иммунитета.

Анализ полученных результатов показал, что гематологические показатели животных находились в пределах физиологических норм и достоверно между группами не различались. Количество эритроцитов колебалось в пределах 6,15-6,26 х 10 2/л, лейкоцитов - 6,27-6,28 х 109/л, гемоглобина — 113116 г/л, общего белка - 6,25-6,57 г%. Показатели лейкограммы существенно не различались между группами телок и находились в пределах нормы (%): эозинофилы - 0,75-1,12, палочкоядерные нейтрофилы - 1,49-2,57, сегментоя-дерные нейтрофилы - 27,28-29,87, лимфоциты - 68,89-70,11, моноциты -1,59-2,48.

В наших исследованиях значительные различия между подопытными группами выявлены в содержании в сыворотке крови иммуноглобулинов классов G и М. Так, в сыворотке крови телок I группы содержалось наибольшее количество иммуноглобулинов класса G - в среднем 16,91 мг/мл, что соответственно на 15,5 и 30,2% выше по сравнению с аналогичным показателем животных II и III групп. Эти различия, по-видимому, связаны с генетическим аспектом. Поскольку дефицит иммуноглобулинов G-класса обычно является первичным (генетически обусловленным) и встречается у большинства видов животных, в том числе и у крупного рогатого скота.

В наших опытах прослеживается тенденция снижения уровня иммуноглобулинов в-класса с повышением доли генов' по голштинской породе. Этот факт дает основание предположить, что у представителей данной породы имеется иммунодефицит О, который передается по наследству.

Наибольшая концентрация иммуноглобулинов М-класса выявлена в сыворотке крови телок II группы с кровностью 37,5-62,5% по голштинам. Среднее значение данного показателя составило 2,90 мг/мл, что выше на 1,0 и 21,3% по сравнению с этим показателем у животных I и III групп соответственно.

Различия в содержании иммуноглобулинов класса М в сыворотке крови животных подопытных групп, по-видимому, связаны с неоднозначной реакцией организма телок разной кровности на условия кормления и содержания. Поэтому животные с кровностью до 37,5% и 37,5-62,5% по голштинской породе более адаптированы к местным условиям, чем их сверстницы с кровностью более 62,5%.

Содержание иммуноглобулинов класса А в сыворотке телок опытных групп находилось в пределах 2,1-2,3 мг/мл и достоверно между ними не различалось.

В опытных группах значительные различия наблюдались и в показателях неспецифического иммунитета. Так, среднее значение показателя фагоцитарного числа у телок I группы составляло 63,31%, что на 13,74 и 10,06% выше по сравнению с животными II и III групп соответственно. Фагоцитарный индекс у телок I группы был 1,19, что также выше значений аналогичного показателя животных II и III групп.

Таким образом, благодаря высокой активности фагоцитирующих клеток (нейтрофилов) телки с кровностью до 37,5% по голштинской породе более устойчивы к воздействию микробных агентов. По-видимому, это связано с высокой адаптационной способностью организма животных данной группы по сравнению с телками II и III групп. Помимо этого, важную роль в активации фагоцитирующих клеток играет взаимодействие Рс-рецепторов фагоцитов с комплексом 1§С и СЗЬ компонента комплемента. Следовательно, снижение фагоцитарной активности нейтрофилов крови телок II и III групп, по-видимому, связано с пониженным уровнем иммуноглобулинов класса в.

3.10 Мясная продуктивность помесей от скрещивания черно-пестрых коров с быками голштинской породы

Накопленный в нашей стране и за рубежом опыт свидетельствует о том, что голштинские быки улучшают молочную продуктивность коров, а также форму и технологические свойства вымени. Однако данные о мясной продуктивности помесей разноречивы. Поэтому в наших исследованиях входило сравнительное изучение мясных качеств чистопородных черно-пестрых бычков и голштинизированных помесей. С этой целью в совхозе «Голумет-ский» Черемховского района Иркутской области провели научно-

хозяйственный опыт на бычках-кастратах. По методу групп-аналогов по генотипу, возрасту и живой массе сформировали три группы по 60 гол. В каждой. В I группу включили животных чистопородной черно-пестрой породы, во II - помесей I поколения ('А голштинская х 'А черно-пестрая), в III группу — помесей II поколения (У, голштинская х 'А черно-пестрая).

Анализ полученных результатов показал, что живая масса помесных телят 'А и %-кровности при рождении была одинаковой по сравнению с черно-пестрыми, но в дальнейшем при интенсивном уровне кормления помеси значительно превзошли их по живой массе (таблица 8). В 3-месячном возрасте голштинские помеси 'Л-кровности превосходили черно-пестрых бычков-кастратов на 1,3 кг, в 6 месяцев на 6,8 кг, в 9 месяцев на 16,2 кг, помеси 3А~ 'кровности соответственно на 1,1 кг, 5,8 кг и 8,6 кг.

Таблица § — Породная и возрастная динамика живой массы бычков-кастратов

Возраст, мес. п М±ш лимит 6 С

Черно-пестрые

При рождении 60 28,6 ±0,71 26-32 1,26 4,40

3 57 97,9 ±4,32 71 - 123 12,75 13,025

6 57 163,6 ±6,48 142-208 1S.92 11,56

9 57 231,1 ±6,72 198-270 14,04 6,07

12 54 309,7 ± 7,48 273-336 14,63 4,72

15 51 388,3 ±9,18 350-429 25,63 6,60

18 48 442,1 ± 18,9 398-489 36,47 8,25

Голштин х черно-пестрые помеси '/¡-кровности

При рождении 60 28,9 ±0,82 • 26-32 2,55 8,82

3 57 99,2 ±2,42 85-110 7,76 7,82

6 57 170,4 ±4,82 150-189 13,75 8,07

9 57 247,3 ±4,70 230-279 13,08 5,29

12 54 332,9 ±6,78 304 - 360 17,46 5,24

15 51 419,8 ±8,39 390-458 18,76 4,47

18 48 486,2 ± 15,32 452-514 26,60 5,47

Голштин х черно-пестрые помеси 3Л-кровиости

При рождении 60 28,9 ± 0,78 26-34 2,42 8,37

3 57 99,0 ±2,52 84-111 15,43 15,58

6 57 169,4 ±4,73 148-179 21,82 12,88

9 57 239,7 ±4,76 210-268 22,61 9,43

12 54 321,8 ±6,89 300-359 23,45 7,28

15 51 411,3 ±7,79 386-448 24,76 6,02

18 48 474,8 ± 16,21 440 - 502 38,60 8,13

Более интенсивное увеличение живой массы голштинских помесей сохранилось и в дальнейшем. В 12-месячном возрасте помеси '/-¡-кровности имели живую массу 332,9 кг или на 23,2 кг (7,5 %), в 15 месяцев-419,8 кг или на 31,5 кг (8,1 %), в 18 месяцев-486,2 кг или на 44,1 кг (9,9 %) выше, чем черно-пестрый молодняк.

Голштинские помеси 3Л- кровности также превосходят черно-пестрых по живой массе в возрасте 12 месяцев на 12,1 кг (3,9 %), в 15 месяцев — на 23,0 кг (5,9 %), в 18 месяцев - на 32,7 кг (7,4 %).

Среднесуточные приросты у бычков-кастратов по возрастным периодам изменялись неодинаково (таблица 9).

Таблица 9 - Возрастные изменения среднесуточных приростов у бычков-кастратов

Возрастные периоды, мес. Голштинские помеси Черно-пестрые

14-кровности %-кровности

Среднесуточный прирост, г в %к I группе Среднесуточный прирост, г в%к1 группе Среднесуточный прирост, г

От рождения до 3 781,1 101,4 778,8 101,1 770,0

4-6 791,1 108,4 782,2 107,2. 730,0

7-9 854,4 113,9 781,1 104,1 750,0

10-12 951,1 108,9 912,2 104,5 873,3

13-15 965,5 110,6 994,4 113,9 873,3

16-18 737,8 123,4 705,5 118 597,6

От рождения до 6 786,1 104,8 780,5 104,1 750,0

7-12 902,8 111,2 846,7 104,3 811,7

13-18 851,7 115,8 850 115,6 735,5

От рождения до 9 808,8 107,8 780,7 104,1 750,0

до 12 844,4 108,1 813,6 104,2 780,8

до 15 868,7 108,7 849,8 106,3 799,3

до 18 846,8 110,6 ' 825,7 107,8 765,7

Так, помеси '/г-кровности от рождения до 6-месячного возраста превосходили черно-пестрых бычков-кастратов по среднесуточному приросту на 4,81 %, от 6 до 12 месяцев - на 11,22 %, от 12 до 18 месяцев - на 15,79 %, помеси У* -кровности соответственно на 4,06, 4,31 и 15,57%. За 18-месячный

период выращивания среднесуточный прирост по группе помесей 'Л-кровности составил 846,8 г или больше на 81,1 г (10,59 %), у помесей кровности 825,7 г или выше на 60 г (7,83 %), чем у черно-пестрых бычков-кастратов.

В наших исследованиях наблюдается общая закономерность изменения относительной скорости роста, где с увеличением возраста животных происходит уменьшение величины относительного прироста. За 18-месячный период выращивания помеси 'Л-кровности имели самый высокий показатель относительной скорости роста, за ними следуют помеси %-кровпости и самый низкий показатель был у черно-пестрого молодняка. Установлено, что с 13 до 18-месячного возраста помеси Уг и %-кровности имели практически одинаковый относительный прирост, но по абсолютному показателю первые превосходят вторых. Более высокий относительный рост у голштинских помесей, особенно у Уг- кровности, по сравнению с черно-пестрым молодняком указывает на их повышенную скороспелость. К 18-месячному возрасту живая масса помесей 'Л-кровности увеличивается по сравнению с живой массой при рождении в 16,82 раза, у %-кровности в 16,34 раза, тогда как у черно-пестрых в 15,45 раза.

Таким образом, голштинские помеси в первые 1,5 года жизни обладают более высокой энергией роста, повышенной хозяйственно-биологической скороспелостью по сравнению с черно-пестрым молодняком. Эта скороспелость при высоком уровне кормления на протяжении всего периода роста проявилась в увеличении живой массы, лучшем развитии мускулатуры.

Показатели промеров опытных бычков-кастратов показали, что голштинские телята уже при рождении имеют выраженный молочный тип телосложения — большой рост. В последующие возрастные периоды (6, 12, 18 месяцев) помеси характеризуются более высокими показателями линейных промеров. Помеси й-кровности в 12 и 18-месячном возрасте превосходят черно-пестрый молодняк по всем промерам, особенно по высоте в холке, глубине груди, обхвату туловища и тазобедренной части на 1,6-3,2 %, что указывает на лучшее развитие мясных форм, такая же закономерность наблюдается и по помесям 3Л-кровности.

С возрастом животных относительный рост промеров замедляется, но при этом наблюдается неравномерное возрастное снижение скорости роста по породным группам. У помесей Уг и %-кровности от рождения до 12-мссячного возраста относительный рост промеров (косая длина зада, глубина груди) выше, чем у черно-пестрого молодняка. С 13 до 18-месячного возраста относительная скорость роста обхвата груди, ширины груди, в маклоках и тазобедренных сочленениях, полуобхват зада была наибольшая у помесей Уг-кровности, затем у помесей %-кровности. По косой длине туловища и зада, высоте в крестце, ширине в седалищных буграх и обхвату пясти они уступают черно-пестрым быкам-кастратам. По относительной скорости роста глубины груди различий между помесями '/i-кровности и черно-пестрыми жи-

вотными не наблюдалось. Помеси %-кровности по этому промеру имели высокий относительный рост. По высотным промерам в период развития от рождения до 18 месяцев относительный прирост выше у помесей.

Данные широтных промеров свидетельствуют, что развитие грудной и тазобедренной частей туловища бычков-кастратов всех групп, как наиболее ценных в мясном отношении, увеличиваются со значительно большей скоростью, чем высотные промеры и обхват пясти. Промеры длины туловища увеличиваются с промежуточной скоростью. У бычков-кастратов всех групп индексы длинноногости, перерослости, узкотелости с возрастом уменьшаются, а растянутости, грудной, сбитости и массивности увеличиваются вследствие неравномерного линейного роста периферического и осевого отделов скелета.

Голштинские помеси и черно-пестрые бычки-кастраты имели достаточно крупный рост и удовлетворительные мясные формы, отличались выраженной высоконогостью, более узкотелым туловищем и достаточно развитой мускулатурой грудной и тазобедренной частей.

Наблюдаемые изменения в весовом росте внутренних органов у помесного и черно-пестрого молодняка свидетельствуют о разнохарактерности их биологической природы. Более высокая абсолютная масса и коэффициент роста внутренних органов у голштинских помесей является проявлением повышенной их скороспелости и биологической зрелости.

При исследовании возрастных изменений морфологического состава туш голштинских помесей установлено, что вследствие лучшей их обмускуленности они характеризуются лучшим соотношением в них мяса, сухожилий и костей. Мышечная ткань, как наиболее ценная и съедобная часть туши, у них лучше развита, что положительно характеризует их мясные качества и служит одним из признаков большей скороспелости и способности более интенсивно наращивать общую массу тела. По пригодности к убою голштинские помеси достигают биологической и хозяйственной зрелости в более раннем возрасте, чем черно-пестрый молодняк. Следовательно, скрещивание значительно улучшает мясную продуктивность помесного потомства.

3.11 Экономическая эффективность разведения черно-пестрых коров

На экономические показатели производства молока значительное влияние оказала разность в уровне молочной продуктивности голштинизиро-ванных коров (таблица ] 0). Так, от коров II группы (кровность 37,5-62,5%) за весь период хозяйственного использования получено наибольшее количество молока на 1 голову базисной жирности - 19470 кг, что выше по сравнению с животными I (кровность до 37,5% по улучшающей породе) и III групп (кровность более 62,5%) на 4075 и 3568 кг молока соответственно. Общие затраты на производство молока от каждой коровы во И группе в среднем составили 135,9 тыс. руб., что выше, чем в I и III группах соответственно на 27,4 и 21,2 тыс. руб. Однако прибыль, полученная от реализации продукции

подопытными группами животных, значительно различается. Так, у средне-кровных животных данный показатель был в 1,8-2,3 раза выше по сравнению с низкокровными (I группа) и высококровными (111 группа) аналогами, а уровень рентабельности на 8,7-11,3% выше.

Таблица 10 — Экономическая эффективность разведения помесных коров (в расчете на 1 гол.) .

Группа по кровности (%) Разность (±)

I II III II II

Показатель ДО 37,5 37,5-62,5 ■ более 62,5 к I к III

Количество животных, гол. 492 1101 486 - ■ -

Длительность жизни, дн. 2081 2187 2021 +106 + 166

Количество отелов 2,8 3,5 2,7 +0,7 +0,8

Пожизненный удой, кг 12899 16974 13406 +4075 +3568

Среднее содержание жира в молоке, % 3,73 3,90 3,88 +0,17 +0,02

Количество молочного жира, кг 481,1 661,9 520,2 +180, 8 +141,7

Произведено молока базисной жирности, кг 14151 19470 15299 +5319 +4171

Затраты на производство молока, тыс.руб. 108,5 135,9 114,7 +27,4 • +21,2

Выручка от реализации молока, тыс.руб. 123,8 170,4 133,9 +46,6 +36,5

Прибыль от реализации молока, тыс.руб 15,3 34,5 19,2 +19,2 +15,3

Уровень рентабельности, % 14,1 25,4 16,7 +11,3 +8,7

Таким образом, среди изученных генотипов голштинизированных коров более экономичными для производства молока в хозяйствах Восточной Сибири являются черно-пестрые помеси кровностью 37,5-62,5% по голштин-ской породе.

ВЫВОДЫ

L При совершенствовании черно-пестрого скота Восточной Сибири использование генофонда голштинской породы оказало улучшающее влияние на развитие основных хозяйственно полезных признаков.

2. В сложившихся условиях кормления и содержания крупного рогатого скота племенных хозяйствах региона более высокой интенсивностью роста по сравнению с чистопородными сверстницами характеризовались помес-.

, ные телки. Они превосходили чистопородных черно-пестрых телок по высотным промерам и косой длине туловища. Потомки голштинских быков характеризовались большей длинноногостью и растянутостью туловища.

3. С повышением кровности животные приобретают ярко выраженный молочный тип, свойственный улучшающей породе. Так, среди чистопородных черно-пестрых животных имелось большое количество особей, относящихся к молочно-мясному (35,5%), мясо-молочному (4,5%) и молочному (60%) типу. Среди потомков голштинских быков 85,7% животных относилось к молочному типу и 14,3% - к молочно-мясному. Самым высоким (3,72) коэффициентом производственной типичности отличались животные с 75% долей крови по голштинской породе.

4. Чистопородные черно-пестрые животные уступали по величине удоя потомству голштинских быков по всем трем лактациям. У полукровных по голштинской породе животных жирномолочность составляла 3,6-3,7%. У животных %-кровных по голштинской породе высокий удой сочетался со средним содержанием жира в молоке. Они имели меньшую жирномолочность по сравнению с животными других групп.

5. Оценка качества вымени первотелок разного происхождения показала, что форма вымени у помесных коров значительно лучше, чем у чистопородных черно-пестрых сверстниц. Среди первотелок сибирского отродья черно-пестрой породы 60,5% имели чашевидную форму вымени, число коров с ваннообразной формой вымени составило 13,0%, с округлой формой -23,5%. Полукровные по голштинской породе первотелки преимущественно имели чашевидное (57,3%) и ваннообразное (27,2%) вымя. Наибольшее число животных с ваннообразной формой вымени отмечено у первотелок ЪА-кровных по улучшающей породе - 34,5%. В этой группе было наименьшее количество животных с округлой формой вымени — 8,5%.

6. Чистопородные черно-пестрые животные имели размеры вымени меньше, чем их сверстницы - потомки голштинских быков. Так, по длине вымени разность составила 5,0-6,4 см, ширине вымени — 2,1-3,6 см, обхвату вымени у основания - 5,6-8,4 см, глубине передних четвертей - 3,3-3,9 см, глубине задних четвертей — 1,3-2,1 см. По расстоянию от дна вымени до земли разность с животными II QA Г) и III (% Г) групп составила соответственно 3,8 и 4,0 см.

7. Наряду с улучшением морфологических признаков вымени у помесных животных повышаются показатели, характеризующие функциональные

свойства вымени. Наиболее высокую интенсивность молоковыведения имели первотелки III (% Г) группы (1,70 кг/мин.). Превосходство по этому показателю над сверстницами I группы у помесных животных составляло 0,50-0,62 кг/мин. Взаимосвязь равномерности развития передних и задних долей вымени с интенсивностью молоковыведения была незначительной. От индекса вымени не зависел ни суточный удой, ни удой за лактацию.

8. По воспроизводительной способности лучшие показатели имеют животные кровностью 50%, а с повышением удельной доли голштинских генов в генотипе коров до 75% и более они значительно ухудшаются. За первую лактацию период плодоношения у коров с У> долями кровности продолжительнее по сравнению с помесями 1Л и Уг кровных по улучшающей породе соответственно на 5 и 2 дня. За вторую лактацию прослеживалась аналогичная тенденция, однако достоверной разности не установлено. В этот период наблюдалось незначительное увеличение продолжительности плодоношения по сравнению с первой лактацией на 2-3 дня.

9. У первотелок с % долями голштинской крови (II группа) сервис-период превышал аналогичный показатель сверстниц с 'Л (I группа) и '/, (III группа) долями голштинской крови на 25 и 16 дней соответственно. За вторую лактацию продолжительность от отела до плодотворного осеменения у животных I и II групп снизился по сравнению с первой лактацией соответственно на 6 и 12 Дней, а у помесей III группы повысился на 11 дней.

10. Наибольшая продолжительность жизни в "группах голштинизиро-ванных коров характерна для животных с 50% долей крови по улучшающей породе. Дальнейшее повышение кровности по голштинской породе до 75% и более сокращает длительность жизни. Установлена четкая зависимость продолжительности хозяйственного использования с увеличением кровности по улучшающей породе. Более продолжительным лактационным периодом отличались полукровные коровы, которые превосходили средние показатели на 0,9 лактаций, а животных с удельной долей голштинской крови 75% и более - на 1,2 лактации.

11. Сравнительно короткой продолжительностью лактации отличались помесные коровы кровностью 37,5 и 50,0%, удлиненной - высококровные помеси с долей крови 75% и более. Превосходство у них по этому показателю над полукровными животными составило 43 дня, а по сравнению со средними показателями по группам - на 28 дней.

12. С увеличением кровности по улучшающей породе до 50% наблюдается повышение удоя молока на 1 день жизни (на 27,0%) и на 1 день лактации (на 12,7%) по сравнению с высококровными (75% и более) животными. Пожизненный удой у высококровных коров (62,5, 75% и более) по сравнению с полукровными был ниже на 4932-6034 кг молока, а со средними значениями по всему поголовью - на 122-1224 кг.

13. Наиболее эффективными для разведения в условиях Восточной Сибири являются быки-производители Доллар, Север, Строгий, Коршун, Кавказ

и Тигр линий Вис Айдиала, Рефлекшн Соверинга и Монтвик Чифтейна, которые являются улучшателями по удою и содержанию молочного жира.

14. Репродуктивные свойства племенных животных во многом зависят от происхождения и продуктивности их матерей. При существующих условиях кормления и содержания черно-пестрых телок с повышением кровности по голштинской породе снижается их естественная резистентность и повышается вероятность заболевания инфекционными болезнями. Телки кровно-стью по улучшающей породе до 62,5% более адаптированы к местным восточносибирским условиям.

15. В сложившихся агроклиматических и кормовых условиях Восточной Сибири у бычков-кастратов с повышением кровности свыше 50% снижаются качественные характеристики мясной продуктивности. Полукровный по голштинской породе молодняк по живой массе превосходил почти во все периоды выращивания чистопородных черно-пестрых и высококровных (75% и более) голштинизированных сверстников на 3,5-8,1%. По массе туши голштинизированные помеси превосходили чистопородных аналогов на 8,210,6%. Аналогичная закономерность наблюдалась по убойной массе и убойному выходу.

16. У помесных животных с повышением доли кровности по голштинской породе снижается жизнеспособность, сокращается период их хозяйственного использования, уменьшается количество получаемой от коров молочной продукции, снижаются качественные характеристики мясной продуктивности и экономическая целесообразность. При формировании восточносибирской популяции черно-пестрого скота в существующих в настоящее время условиях кормления и содержания наиболее эффективным является использование животных промежуточных генотипов кровностью по голштинской породе в пределах 37,5-62,5%.

ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВУ

Племенной службе Восточно-Сибирского региона рекомендуем:

1. В сложившихся агроклиматических условиях в хозяйствах при уровне кормления, обеспечивающем средний удой на корову в год 4500-5000 кг молока, для дальнейшей консолидации местной популяции черно-пестрого скота по экстерьеру, племенным и продуктивным качествам наиболее целесообразно разведение животных с удельной долей голштинской крови в пределах 37,5-62,5%, отвечающих параметрам желательного типа.

2. В племенных репродукторах черно-пестрого скота для формирования генеалогической структуры стада в качестве генетического материала использовать из ведущих племенных заводов России отечественных голштинизированных производителей.

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Адушинов Д.С. Молочная продуктивность и взаимосвязь удоя коров с промерами вымени и скорости молокоотдачи в зависимости от возраста и живой массы при первом отеле / Д.С. Адушинов, Г.В. Черных // Тр. / Иркут. СХИ; Разведение, кормление и содержание сельскохозяйственных животных на промышленных комплексах Восточной Сибири.-1981. - С. 30-34.

2. Бояркин Л.И. Экстерьерно-конституциональные типы коров черно-пестрой породы и их взаимосвязь с молочной продуктивностью / Л.И. Бояркин, Б.Н. Андриевский, Д.С. Адушинов // Тр. / Иркут. СХИ «Разведение, кормление и содержание сельскохозяйственных животных на промышленных комплексах Восточной Сибири».- 1981.- С. 34-39.

3. Адушинов Д.С. Влияние возраста при первом отеле коров на их молочную продуктивность в ОПХ «Иркутское» 1 Д.С. Адушинов, А.И. Кузнецов // Тез. докл. науч.-технич. конф.- Научное обеспечение АПК Иркутской области в условиях перестройки HTTL - 1988.- С. 43-44.

4. Адушинов Д.С. Продолжительность хозяйственного использования черно-пестро-джерсейских помесных коров в условиях Иркутской области / Д.С, Адушинов, А.И. Кузнецов // Тр. / Совершенствование экономического механизма хозяйствования в сельскохозяйственных предприятиях Иркутской области и Забайкалья.-Иркутск, 1990,-С. 50-52.

5. Адушинов Д.С. Возрастная изменчивость роста мышечной ткани, костяка туши и ее анатомических частей у помесей голштинской породы / Д.С. Адушинов, Е.М. Устимов, Г.Ф. Татаринова // Вестник ИГСХА.- 1999.-Вып.15.-С. 41-42.

6. Адушинов Д.С. Морфофункциональные свойства вымени и молочная продуктивность черно-пестрого скота и их помесей с голштинской и джер-сейской породами / Д.С. Адушинов // Вестник ИГСХА.- 1999.-Вып.15.- С. 4041 (единоличное авторство).

7. Адушинов Д.С. Морфологические и функциональные свойства вымени коров в совхозе «Пурсей» Братского района / Д.С. Адушинов, A.B. Перцев // Тр. / Иркут. ГСХА.-1999.-С. 135-136.

8. Адушинов Д.С. Мясные качества голштинских помесей бычков-кастратов в ОПХ «Буретское» Иркутской области / Д.С. Адушинов // Тр. / Всероссийской науч.-практ. конф. с международным участием; В 3 ч. Ч. 3. Красноярск: КГТУ.-1999.- С. 124 (единоличное авторство).

9. Адушинов Д.С. Результаты скрещивания черно-пестрого скота с гол-штинским в ОПХ «Иркутское» / Д.С. Адушинов, А.И. Кузнецов // Вестник ИГСХА.-1999.- Вып. 14,- С 42-43.

10. Устимов Е.М. Естественная резистентность коров-первотелок черно-пестрого скота и их помесей с голштинской и джерсейской породами разных типов телосложения в ОПХ « Иркутское» / Е.М. Устимов, Д.С. Адушинов, Г.Ф. Татаринова//Тр. / Иркут. ГСХА.- 1999.- С. 134-135.

11. Устимов Е.М. Мясные качества голштинских помесей бычков-кастратов в совхозе «Голуметский» Черемховского района / Е.М. Устимов, Д.С. Адушинов, Г.Ф. Татаринова // Тр. / Иркут. ГСХА,- 1999.- С. 133-134.

12. Устимов Е.М. Мясная продуктивность помесей голштинской породы в Иркутской области / Е.М. Устимов, Д.С. Адушинов // Вестник ИГС-ХА.- 1999.- Вып. 14.- С. 40-41.

13. Устимов Е.М. Интенсивность окраски мяса черно-пестрого скота и герефордских помесей Иркутской области / Е.М. Устимов, Д.С. Адушинов // Вестник ИГСХА.-1999.- Вып. 18,- С. 18-19.

14. Продуктивность черно-пестрых х голштинских помесей при различной интенсивности выращивания / Д.С. Адушинов и [др.] // Вестник Иркут. ГСХА. - Иркутск, 2000. - Вып. 19. - С. 27-29.

15. Адушинов Д.С. Результаты скрещивания черно-пестрых коров с голштивами в условиях Иркутской области / Д.С. Адушинов, Е.М. Устимов // Материалы региональной науч.-практ. конф. - Актуальные проблемы АПК.-Ч.2.-2001.-С. 4-5.

16. Адушинов Д.С. Методические указания и вспомогательные таблицы по бонитировке крупного рогатого скота черно-пестрой породы Сибири и Урала. / Д.С. Адушинов, А.И. Кузнецов. - Иркутск, 2002.-19с.

17. Адушинов Д.С. Мясная продуктивность черно-пестро-голштинского молодняка/ Д.С. Адушинов, Е.М, Устимов//Зоотехния.-2002.-№4.-С. 21-22.

18. Адушинов Д.С. Мясная продуктивность молодняка / Д.С. Адушинов, Е.М. Устимов // Материалы региональной науч.-практ. конф.- Актуальные проблемы АПК.-4.5. - 2002.-С. 6-7.

19. Молочная продуктивность и качественный состав молока коров разных генотипов / Д.С. Адушинов и [др.] // Материалы регион. Науч.-практ. конф,- Актуальные проблемы АПК.- 4.5. — 2002,- С. 4-5.

20. Программа выведения нового типа черно-пестрого молочного скота в зоне Предбайкалья путем скрещивания черно-пестрых коров с гол-штинскими быками / Г.В. Черных и [др.] // Иркутск.- 2002,- 20 с.

21. Адушинов Д.С. Использование коров черно-пестрой породы и ее помесей с голштинами в условиях промышленной технологии / Д.С. Адушинов // Материалы II международной науч.-практич. конф. Ч.1.- Дубровицы, 2003,- С. 118-119 (единоличное авторство).

22. Адушинов Д.С. Создание нового типа черно-пестрого скота в Иркутской области / Д.С. Адушинов, А.Г. Мухамадеева // Зоотехния,- 2003-№2,-С. 8.

23. Адушинов Д. Создание черно-пестрого скота молочного типа / Д. Адушинов, А. Мухамадеева // Молочное и мясное скотоводство.-2003.-№ 2.-С. 25-26.

24. Воспроизводительные качества голштинских помесных коров / В. Шабанов и [др.] // Материалы науч. конф. / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2003,- С. 43-44.

25. Изменения удоя и состава молока у коров черно-пестрой породы разных генотипов / А. Мухамадсева и [др.] И Материалы науч. конф. / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2003.- С. 42-43.

26. Мальцева Е. Продолжительность хозяйственного использования коров в Иркутской области IЕ. Мальцева, С. Мальцев, Д.С. Адушинов // Материалы науч. конф. / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2003. - С. 40-41.

27. Тихонов Р. Совершенствование молочного типа черно-пестрой породы - резерв повышения удоев стада / Р. Тихонов, И. Горкавчук, Д.С. Адушинов // Материалы науч. конф. - 2003.- С. 39-40.

28. Характеристика коров разных генотипов ОПХ «Иркутское» по белковомолочности и ее изменчивости / Кузечев А. и [др.] // Материалы науч. конф. / Иркут. гос. с.-х. акад.- Иркутск, 2003. - С.38-39.

29. Шемякин Р. Результаты голштинизации скота в Иркутской области / Р. Шемякин, А. Мухамадеева, Д.С. Адушинов // Материалы науч. конф. / Иркут. гос. с.-х. акад.- Иркутск, 2003.- С. 41-42.

30. Адушинов Д.С. Мясные качества черно-пестро-голштинских помесей / Д.С. Адушинов, Е.М. Устимов II Главный зоотехник,- 2004.- № 5.- С. 53-34.

31. Адушинов Д.С. Перспективы развития молочного скотоводства в Иркутской области / Д.С. Адушинов, И.И. Лобыцин, А.И. Лобыцин // Проблемы и пути интенсификации племенной работы в отраслях животноводства: Материалы международной науч.-практ. конф. — Уфа, 2004.- С. 36-40.

32. Адушинов Д.С. Совершенствование черно-пестрого скота в Иркутской области / Д.С. Адушинов // Материалы науч.-практ. конф., посвящ. 70-летию образования ИрГСХА, 3-6 февр. 2004 г. Зооветеринарный факультет / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 16-18 (единоличное авторство).

33. Адушинов Д.С. Термоустойчивость молока коров голштинизиро-ванного скота в зависимости от сезона года в Иркутской области / Д.С. Адушинов, A.B. Оборовская, С.И. Мальцев // Материалы науч.-практ. конф. посвящ. 70-летию образования ИрГСХА 3-6 февр. 2004 г. Зооветеринарный факультет / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 134.

34. Адушинов Д.С. Эффективность использования маточного поголовья и анализ причин выбраковки коров в сельхозпредприятиях Иркутской области / Д.С. Адушинов, А.И. Лобыцин, И.И. Лобыцин // Материалы науч.-практ. конф. посвящ. 70-летию образования ИрГСХА 3-6 февр. 2004 г. Зооветеринарный факультет / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 10-15.

35. Влияние различных способов содержания на воспроизводительные способности первотелок в племзаводе ЗАО «Железнодорожник» / Н. Су-вориков и [др.] // Материалы науч. конф., посвяш. 70-летию образования ИрГСХА, 15-16 апр. 2004 г. Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 52.

36. О некоторых особенностях роста и развития молодняка голшти-низированного скота / М. Герасимов и [др.] Н Материалы науч. конф., по-

свящ. 70-летию образования ИрГСХА, 15-16 апр. 2004 г. Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 51.

37. Продолжительность хозяйственного использования коров / Н, Лазарев и [др.] // Материалы науч. конф., посвящ. 70-летию образования ИрГСХА, 15-16 апр. 2004 г. Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 50.

38. Роль быков улучшателей в повышении генетического потенциала стада /Д.С. Адушинов [и др.] // Материалы науч.-практ. конф., посвящ. 70-летию образования ИрГСХА, 3-6 февр. 2004 г. Зооветеринарный факультет / Иркут. гос. с.-х. акад. - Иркутск, 2004.-С. 5-9.

39. Совершенствование черно-пестрого скота в племзаводе ЗАО «Железнодорожник» Иркутской области / Д.С. Адушинов и [и др]. - Иркутск, 2004. - 98 с. (монография).

40. Адушинов Д. Выше кровность - больше молока. И не только... / Д. Адушинов // Животноводство России.-2005.-№ 11.-С. 33-35 (единоличное авторство).

41. Адушинов Д. Хозяйственно полезные признаки голштинизиро-ванного скота / Д, Адушинов // Животноводство России.-2005.-Лг2 12.-С. 3132 (единоличное авторство).

42. Адушинов Д.С. Селекционная программа создания скота молочного типа / Д.С. Адушинов, А.Н. Кузечев, С.С. Миннебаева // Вестник Новосибирского государственного аграрного университета. Вьш.2. Прил. 1.: Актуальные проблемы животноводства Сибири: наука, производство и образование: Материалы межрегиональной науч.-практ. конф. аграрных вузов Сибири (23-26 ноября 2004).- Новосибирск, 2005.- С. 81-82.

43. Каталог быков-производителей черно-пестрых пород, использовавшихся на племпредприятиях Иркутской области в 1970-2005 гг. / И.И. Ло-быцин и [др.] // Вып. 6. - Иркутск, 2005. - 397 с.

44. Адушинов Д.С. Эффективность голштинизации черно-пестрого скота в Восточной Сибири / Д.С. Адушинов // Зоотехния.- 2006.- № 2.- С. 5-8 (единоличное авторство).

45. Адушинов Д. Эффективность голштинизации черно-пестрого скота в Восточной Сибири / Д. Адушинов // Молочное и мясное скотоводст-во.-2006.-№ З.-С. 17-19 (единоличное авторство).

Подписано к печати 19.05.06. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ № 1548

Лицензия ЛР № 070444 от 11.03. 98 г. Отпечатано на ризографе ИрГСХА 664038, Иркутский район, пос. Молодежный

Обозначения.

Введение

Глава 1. Экстремальные задачи теории приближений.

§ 1.1. Константа Джексона в Lp на сфере.

§ 1.2. Константа Джексона в Lp на КРОСП.

§ 1.3. Неравенство Джексона в пространстве lp(Z.

§ 1.4. Константа Джексона в Lч на гиперболоиде.

§ 1.5. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье.

Глава 2. Задачи для целых функций экспоненциального сферического типа.

§2.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты.

§ 2.2. Экстремальные задачи типа Черныха-Логана.

§ 2.3. Многомерная задача Турана.

§ 2.4. Интегральная задача Дельсарта.

1 § 2.5. Экстремальные задачи на полуоси с весом £2а+1.

Глава 3. Экстремальные задачи для функций с малым носителем

§ 3.1. Экстремальная задача Турана для периодических функций.

§ 3.2. Экстремальная задача Конягина для периодических функций

§ 3.3. Интегральная задача Конягина и оценки (С, Ь)-констант Никольского

Глава 4. Некоторые приложения экстремальных задач.

§4.1. Оценки экстремальных расположений точек на торе и в пространстве.

§4.2. Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов.

В диссертационной работе рассматриваются экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения в дискретной математике и теории чисел. Особое внимание уделяется решению многомерных задач, общая теория которых по сравнению с одномерным случаем пока недостаточно разработана. Исследуются задачи для тригонометрических и алгебраических многочленов, целых функций экспоненциального типа и функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам и интегральными преобразованиями. При этом в большинстве задач условия на допустимые функции ставятся как на принимаемые ими значения, так и на значения их преобразования (коэффициенты) Фурье.

Актуальность темы. Экстремальные задачи и их приложения интересовали математиков на протяжении многих веков. Важный шаг в развитии экстремальных задач был сделан П.Л. Чебышевым, заложившим в 50-е годы XIX века основы раздела конструктивной теории функций — теории приближений. Развитием теории приближении, как для практических приложений, так и теоретических основ, занимались многие математики. Стоит отметить работы ближайших учеников Чебышева и его последователей Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина, А. А. Маркова. Принципиальную роль в становлении теории приближения функций сыграла теорема Вейерштрасса (1885), согласно которой для любой непрерывной на отрезке функции последовательность ее наилучших приближений многочленами порядка п сходится к нулю при п —> оо. Теорема Вейерштрасса неконструктивна в том плане, что не содержит оценки скорости приближения. Возникла потребность получения таких оценок. Важные результаты в этом направлении были получены в начале и середине ХХ-го века Д. Джексоном, Ш. Ж. Балле Пуссеном, С. Н. Бернштейном, Ж. Фаваром, А. Н. Колмогоровым, f С. Б. Стечкиным, С. М. Никольским.

Одной из центральных экстремальных задач теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона. Неравенствами Джексона принято называть неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции оценивается с помощью ее модуля непрерывности. Первое такое неравенство между наилучшим приближением непрерывной 27г-периодической функции тригонометрическими многочленами и ее равномерным модулем непрерывности, введенным А. Лебегом, было доказано Д. Джексоном в 1911 г. Первые неравенства Джексона с точными константами были получены Н.П. Корнейчуком для пространства С(-7Г, тг] в 1962 г. и Н. И. Чер-ныхом для пространства 7г,7г] в 1967 г. Точные константы в неравенствах Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В 1979 г. Н. И. Черных нашел минимальное значение аргумента в модуле непрерывности, при котором точная константа в неравенстве Джексона в пространстве 7г, 7г] выходит на свой глобальный минимум. Нахождение таких аргументов, называемых оптимальными аргументами или точками Черныха, становится важной экстремальной задачей.

После результатов Н. П. Корнейчука и Н. И. Черныха появился интерес к получению точных неравенств Джексона и в других пространствах Lp. В 1992 г. Н.И. Черных доказал точное неравенство Джексона в пространстве Ьр(—7г, 7г] при 1 ^ р < 2. До сих пор остается нерешенной проблемой получение аналогичного результата при р > 2.

Результаты Черныха переносились на пространства Lp (1 ^ р ^ 2) на многомерном торе, сфере, евклидовом пространстве и других многообразиях В. А. Юдиным, В. И. Ивановым, О. И. Смирновым, А. В. Московским, В. В. Арестовым, А. Г. Бабенко, В. Ю. Поповым и другими авторами.

В основе решения многих экстремальных задач теории приближения лежат экстремальные задачи для тригонометрических и алгебраических многочленов, целых функций экспоненциального типа и функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам и интегральными преобразованиями. При этом в большинстве случаев условия на допустимые функции ставятся как на принимаемые ими значения, так и на значения их преобразования (коэффициенты) Фурье. Оказалось, что многие из этих задач параллельно рассматривались и решались » в других областях математики. Здесь в первую очередь выделим задачи дискретной математики и метрической геометрии об оценке характеристик экстремальных расположений точек в пространстве, в частности, задачи об оценке мощности кодов, дизайнов, упаковок и покрытий. Отметим результаты Ф. Дельсарта, Д. Геталса, Дж. Зейделя, К. Данк-ла, А. Одлыжко, Н. Слоэна, В.М. Сидельникова, В. И. Левенштей-на, Г. А. Кабатянского, Г. Фазекаша, В. А. Юдина, Н.Н. Андреева, А. Г. Бабенко, В. В. Арестова, В. И. Иванова, О. Р. Мусина, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar и других авторов. Ими рассматривались экстремальные задачи гармонического анализа для положительно определенных функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам с ограничениями на значения функций (как правило это неположительность или неотрицательность на промежутке). Такие задачи стали называть задачами Дельсарта, поставившего подобную задачу для оценки мощности кодов на ассоциативных симметричных полиномиальных схемах отношений. Конструкции экстремальных функций в этих задачах часто оказывались известными и использовались в других областях. Такими являются функции, построенные Н. И. Черныхом и В. А. Юдиным для задач о константах Джексона в Z,2(Tn), и которые оказываются экстремальными в задачах об оценке характеристик решеток в Rn. На этом примере прослеживается связь экстремальных задач теории функций и теории приближения с их приложениями. Интересной с точки зрения переплетения идей является задача об оценке плотности упаковки Дп евклидова пространства шарами — одна из центральных проблем математики, известная для п = 3 как задача Кеплера, и в постановке для решеток являющаяся нерешенной частью 18-й проблемы Гильберта. Важность проблемы оценки величины Дп обусловлена ее многочисленными приложениями в метрической геометрии, в задачах цифровой передачи информации, теории кодирования и т. д. В 1978 г. В. И. Левенштейном и Г. А. Кабатянским с помощью решения некоторой экстремальной задачи Дельсарта для сферы и неравенства Яглома была получена оценка Дп ^ 2~0'5990-" (п+0(1)) (п —> оо), наилучшая до сих пор.

Можно отметить и другие области математики, где возникает потребность в решении экстремальных задач. Например, много экстремальных задач, родственных отмеченным выше, было рассмотре-> но П. Тураном, С. Б. Стечкиным, А. Ю. Поповым, С. В. Конягиным,

И.Е. Шпарлинским, H.L. Montgomery и другими математиками в связи с приложениями в аналитической теории чисел.

Цель работы. Вычислить точные константы Джексона для наилучших приближений в пространствах LP(M) при 1 ^ р ^ 2 для компактных и локально компактных однородных метрических пространств М, а также на полуоси с весом, развив известные подходы. Четко выделить экстремальные задачи, лежащие в основе доказательства точных неравенств Джексона.

Решить многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа и приложить их к задачам тео-» рии функций, теории приближений, дискретной математики и аналитической теории чисел. Развить технику, связанную с использованием квадратурных формул на полуоси с весом, точных для целых функций экспоненциального типа. Установить связь поставленных задач с экстремальными задачами Дельсарта.

Исследовать серию одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем и получить новые оценки в задачах о константах Никольского. Решить экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.

Методика исследований. Применяются современные методы теории функций действительного и комплексного переменного, функционального анализа, в частности, теории пространств Lp со смешанной нормой, теории приближений, теории экстремальных задач, абстрактного гармонического анализа и теории представления классических групп, теории задачи Штурма-Лиувилля и операторов обобщенного сдвига.

Для доказательства точных неравенств Джексона в пространствах Lp при 1 ^ р < 2 используются положительная определенность зональных сферических функций и положительные ядра типа Бомана-Коровкина по таким функциям, имеющие экстремальные характер. Поиск оптимальных аргументов в неравенствах Джексона опирается на решение экстремальных задач дельсартовского типа.

При решении экстремальных задач для целых функций многих > переменных экспоненциального сферического типа используются метод усреднения и квадратурные формулы гауссовского и марковского типов на полуоси со степенным весом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Вычислены точные константы Джексона в пространствах Lp при 1 < р < 2 на компактных римановых симметрических многообразиях ранга 1, в пространстве L2 на многомерном гиперболоиде и полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Для степенного веса и пространства Мп найдены оптимальные аргументы в точном неравенстве Джексона.

Решены экстремальные задачи Черныха-Логана, Турана, Дельсарта для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа.

Для отдельных значений параметров решены экстремальные задачи Турана, Конягина для функций одной переменной с малым носителем. Улучшены оценки (С, Ь^-констант Никольского.

Доказана неулучшаемость некоторых известных оценок характеристик кодов, дизайнов, упаковок и покрытий в однородных пространствах, полученных при решении экстремальных задач. Решена в одном случае экстремальная задача Монтгомери, связанная с множествами ван дер Корпута в теории чисел.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развита схема получения точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 < р < 2 на однородных пространствах, не являющихся абелевыми группами. Разработана методика решения экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального типа. Установлена взаимосвязь экстремальных задач из разных областей математики.

Полученные результаты могут быть использованы при решении новых экстремальных задач в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 статьях в центральной печати [21, 25, 27-29, 31, 33, 36, 109, 115], в 8 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика», входящем в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий [19, 20, 22, 23, 26, 30, 34, 35], в двух статьях в трудах международных конференций [24, 32] и трех электронных препринтах, размещенных на цитируемом ресурсе Интернет [110-112].

В совместной работе [31] В. И. Иванову принадлежит утверждение б теоремы 3. В работе [115] автору принадлежат результаты относительно задачи Монтгомери. В работе [33] А. С. Маношиной частично принадлежат лемма 2 и случай р = 3 в теореме 3. В работе [36] С. А. Странковскому принадлежат одномерные результаты. В работе [34] М. С. Пискоржу в доказательстве теоремы принадлежит оценка снизу. В работе [35] О. С. Столяровой осуществлены компьютерные вычисления.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (1997, 2005); школа-конференция «Алгебра и анализ», посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань (1997); 9-я Саратовская зимняя математическая школа, Саратов (1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ», Тула (1998); XII Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Нижний Новгород (1999); Международная школа С. Б. Стечки-на по теории функций, Миасс Челябинской обл., (1998, 1999, 2001, 2004); Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула (2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005); Международная конференция «Теория приближений функций и операторов», Екатеринбург (2000); Международная конференции «Колмогоров и современная математика», Москва, (2003); Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», Москва (2004); Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С. М. Никольского, Москва (2005);

Тезисы докладов, указанных конференций, опубликованы.

Также результаты диссертации докладывались на научных семинарах: под руководством академика РАН П.Л. Ульянова и члена-корреспондента РАН Б. С. Кашина в МГУ им. М.В. Ломоносова; под руководством профессора С. В. Конягина в МГУ им. М. В. Ломоносова; > под руководством профессора В. М. Сидельникова в МГУ им. М. В. Ломоносова; под руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН; под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в ИММ УрО РАН; под руководством профессора В. И. Иванова в ТулГУ.

Основное содержание работы. Глава 1 посвящена экстремальным задачам теории приближений, а конкретно вычислению точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 ^ р ^ 2. В гл. 2 решаются многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа. Глава 3 посвящена решению одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем (задачи Турана и Конягина). В гл. 4 приводятся приложения в дискретной математике и теории чисел экстремальных задач, изученных в предыдущих главах. Также в ней рассматриваются другие экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются экстремальные задачи теории приближений, связанные с вычислением констант Джексона (наилучших констант в неравенствах типа Джексона) в пространствах Lp при 1 ^ р ^ 2. В § 1.1 изучается случай пространства Ьр при 1 ^ р < 2 на многомерной евклидовой сфере 5n1 = {х € Rn: \х\ = 1}. Сформулируем основной результат.

Пусть Eji(f, Sn~l)p (Re N) — величина наилучшего приближения функции / е Lp(Sn~l) сферическими многочленами порядка R— 1, и> (5, /, Sn~l)p — интегральный модуль непрерывности функции /, который для 0 < S ^ 7г определяется равенством uj(5,f,Sn~%= sup ( [ \f(y)-f(x)\pdJa(y)d<j(x))/P. (1) 0<а<<5 \ J , „ J /

Здесь Га(ж) — окружность на сфере с центром в точке х G Sn~l и угловым радиусом а е (0,7г), о и — нормированные инвариантные меры на 5П-1 и Га(ж) соответственно. В случае п = 2 определение (1) сводится к стандартному определению интегрального модуля непрерывности на окружности S\

Константа Джексона определяется из решения экстремальной задачи в пространстве Lp(Sn~l)

D(5,R,Sn~%= sup eLpCS"-1) u{o,f,S )p

Она является наилучшей (наименьшей из возможных) константой в неравенстве Джексона

ErU, Sn~% < D{S, R, Sn~l)pu;(S, f, Sn~l)p.

Пусть rn(R) — первый положительный нуль косинус-многочлена Гегенбауэра С^2-1 (cos г) степени R, для которого 72 (i?) =

Z it rn(R) ~ g(n~3)/2 (Я —> оо), где да — первый положительный нуль R функции Бесселя Ja.

Теорема 1.1.1. При 1 ^ р < 2

D(2rn(R), 2R - l,Sn~l)p = 2-^', р' = -iL-.

При п = 2 теорема получена Н. И. Черныхом [82]. В основе доказательства теоремы лежит схема, предложенная Н.И. Черныхом и опирающаяся на один результат С. В. Конягина о связи модулей непрерывности в Lp(Т) при 1 ^ р < 2 и Т). Эта схема была затем развита В. И. Ивановым [39] и применена им для компактных абелевых групп, в частности, для многомерного тора. Вначале при 1 ^ р ^ 2 устанавливаются неравенства 1/Р 2~{/v'

1/(ж) - f(y)\pK(xy) da(x) da{y) gn-1 Sn~1 i/p Sn- 1 gn

-f(v)\pV(xy)do(x)<kr(v)j - (2) где A f(x) = K(xy) f{y) da{y) — линейный интегральный оператор

Sn- 1 сферической свертки, оо оо

К(ху) = £ К1Р1Ы > 0, V(xy) = £ ViPi{xy),

1=О 1=0

Pi — многочлены Гегенбауэра, нормированные условием РД1),

К0 =

K{xy)da(y) = VQ= 1, 0, Ki^Vi {I € Z+).

5n-i

Чтобы в (2) выделить приближение конечного порядка и модуль непрерывности необходимо подобрать неотрицательный сферический зональный многочлен К (ядро) и зональную функцию с малым носителем V (вес), коэффициенты которой накрываются коэффициентами ядра К. При этом, поскольку начиная с некоторого момента все коэффициенты К нулевые, то коэффициенты веса, по крайней мере с этого момента, должны быть неположительными.

В качестве веса V(xy) = (t = ху) используется функция v(t) vo с малым носителем, построенная А. Г. Бабенко [8] при доказательстве точного неравенства Джексона в L2{Sn~l).

Для нее suppv(f) С [cos2rn(R), 1] и vi ^ О (I ^ R). Дополнительно устанавливается, что vi < diPi(tR)v0 (I = 0,1 ,.,R), где di = ЦР/Иг"2. d0= tR = cosTn(R). k(t)

В качестве ядра используется многочлен К(ху) = где

Он имеет порядок 2R - 2 и обобщает известные положительные ядра

Бомана-Коровкина.

Многочлен к обладает важным экстремальным свойством: среди всех неотрицательных многочленов степени 2R — 2 у него наибольшее отношение первого коэффициента Фурье в разложении по многочленам к\

Гегенбауэра к нулевому коэффициенту, равное — = d\P\(tn) = d\tR.

К задаче нахождения максимума первого коэффициента приводится экстремальная задача о наибольшем первом моменте неотрицательного алгебраического многочлена, рассмотренная в более общей постановке для веса Лежандра (п = 3) еще П. Л. Чебышевым, а позднее Г. Сеге [69, с. 194]. Для веса Чебышева (п = 2) она сводится к известной экстремальной задаче Л. Фейера [105] (см. также [126, с. 154]) о максимуме первого коэффициента неотрицательного четного тригонометрического многочлена с единичным средним значением: найти экстремального при s = 2q — 2 привел тригонометрический многочлен, i=0 '

3)

Фейер установил, что этот максимум равен cos и и в качестве

COS ox равный с точностью до постоянной -. ,,п . . После замены cosx — cos(7r/(2g)) / cos х на t, q на R и умножения на а я из него получается многочлен (3) для случая п = 2.

Cere, Egervary и Szasz [126, с. 154] обобщили результат Фейера, найдя наилучшую (наименьшую) среди возможных мажоранту коэффициентов Фурье неотрицательного четного тригонометрического многочлена порядка ^ s с единичным средним значением: t\k)^ cos + 2 (к= 1,2,.,s).

В духе последнего результата справедливо утверждение, которое является ключевым в оценке сверху константы Джексона.

Лемма 1.1.4. Для I = 0, 1,. ,R- 1 k ^ diPi(tR)ko.

Отметим, что многочлен к и его варианты возникают во многих экстремальных задачах, имеющих приложения не только в теории приближений, но и в других областях математики. Например, в дискретной математике в проблемах, связанных с оценкой характеристик кодов и дизайнов (задачи Дельсарта).

Оценка снизу константы Джексона D(S, R, Sn~l)p ^ 2-1/р для произвольных S и R сводится к оценке снизу константы Джексона в Lp(Т) (1 ^ р < 2), которая была получена В. И. Бердышевым [12].

Теорема 1.1.1 и схема ее доказательства допускает естественное обобщение на другие непрерывные и дискретные компактные двухточечно однородные пространства. В § 1.2 приводятся соответствующие результаты для произвольных компактных римановых симметрических пространств ранга 1 (КРОСП), к которым относится сфера.

КРОСП является одно из следующих пространств М = Мп (п — = dimМ ^ 2):

1) сфера Sn (71 = 2,3,.);

2) вещественное проективное пространство РП(М) (п = 2,3,.);

3) комплексное проективное пространство РП(С) (п = 2,4,

4) кватернионное проективное пространство Pn(H) (п = 4,8,.);

5) проективное пространство Кэли Р16(Са).

Пусть Sr(x) — сфера в пространстве М с центром в точке х е М и радиусом г Е (О, L), d — инвариантная метрика на М, L — диаметр М

L = я- для сферы Sn), /i и сгг — инвариантные нормированные меры на М и £г.

Пространство ^(М) раскладывается в ортогональную сумму оо

1=0 где V/ — инвариантные подпространства в Ь2{М), на которых действуют неприводимые представления класса 1 группы движений пространства М. Проектор Pri \ 1,2{М) —у Vi имеет вид

Prlf(x) = dl J <p(d(x,y))f(y)dfi(y) (l€Z+), м где di = dim V/, cpi G Vi — зональные сферические функции, выражаест . ( , P^(cos(nr/L)) мые через многочлены Якоби: ipi(r) = ———-——.

Pi (О

Параметры а и /3 (параметры КРОСП) принимают значения:

1) а = (3 = п/2- 1 для Sn;

2) а = п/2- 1, (5= -1/2 для РП(Е);

3) а = п/2- 1, (3 = 0 для РП(С);

4) а = п/2 — 1, /? = 1 для РП(Н); Ь) а = 7, Р = 3 для Р16(Са). s

Пусть Hs = ^(BVJ — подпространство гармоник порядка s в Z+. z=o

Для i? G N и 5 е (О, L) величина наилучшего приближения и модуль непрерывности функции / 6 LP(M) определяются равенствами

ER(f,M)p= inf ||/-%, heHR-1 u(SJ,M)T= sup ( [ |Ду)-/иОГ<Ыг/)Ф(^ ■ (4)

Модуль непрерывности (4) имеет теоретико-групповое истолкование. Пространство М можно отождествить с фактор-пространством G/K, где G = Iq(M) — собственная группа движений (изометрий) пространства М, а К — стационарная подгруппа произвольной фиксированной точки аеМ. Пары (G,K) для Sn, Pn(R), Pn(C), Pn(H), P16(Ca) принимают соответственно значения

SO(n+l),SO(n))f (SO(n + 1), 0(n)), [SU{n+\),U{n)), (Sp(\7),Sp(U>)xSp(\)).

Функции /, заданные на М, можно считать сужениями функций /, заданных на группе G, если положить f(g) = f(ga) (д е G). На группе G модуль непрерывности определяется естественным образом g)p = sup II/М - /(W)IU Ы = d(e,g), g\№ где d(g\,g2) = ЦрГ^Н = sup d(g\x,g2x) — инвариантная метрика на G, х£М l/P

If{9)\pdg) , dg — инвариантная нормированная мера 4 g '

Xaapa.

Оказывается, что о;(8, f, М)р — uj(5, f,G)p, что является простым следствием формулы интегрирования на G f{g)dg= f(x)dn(x).

G М

Из теоретико-групповой интерпретации модуля непрерывности (4) и двухточечной однородности пространства М следует его полуаддитивность.

Пусть Tafi{R) — первый положительный нуль косинус-многочлена Якоби P^(cosr), ra<p(R) ~ ^ (R оо).

Теорема 1.2.1. Если R б N, 1 < р < 2, то

D(2T°AR)L1 2R-\,M) = 2~l/p'.

В пространстве L2(M) точное неравенство Джексона получено А. Г. Бабенко [9].

Ключевым моментом при оценке сверху является обобщение леммы 1.1.4. Пусть {Piit)}™0 — система ортогональных многочленов на отрезке [—1,1] по положительной мере da{t), нормированных условием 1

Pk(t)Pi(t)da(t)=5j± {k,lez+)t do=L

Для многочленов

Якоби P?'0{t) мера 1 d(ja,(3{t) = ca,p(\-t)a{\ + tYdt, ^(\-t)a(l + tfdt. (5)

-1

Из соотношения ортогональности или рекуррентного соотношения для ортогональных многочленов следует, что i+j

Pi(t)Pj(t)= Y, dkcijkPk(t). k—\i—j\

Предполагается, что здесь все коэффициенты Cijk — неотрицательны. Это условие, называемое условием Крейна, не верно для произвольных семейств ортогональных многочленов. Важно, что оно выполняется для многочленов Якоби с параметрами а ^ ^ -1/2. Это было давно известно для многочленов Гегенбауэра (а = (3). Для а > (3 ^ —1/2 это утверждение было установлено в 1970 г. Г. Гаспером [107]. Пусть для 5 £ N s1 \2 2 2s~2 u(t)=lY/diPi(ts)Pi(t)) = = £>« kPk(t).

M=0 ' S k—0

Теорема 1.2.2. Для I = 0, 1,. ,s - 1

Щ > Pi(ts)uQ.

В § 1.3 устанавливается неравенство Джексона в пространстве 1Р при 1 ^ р < 2 на дискретном пространстве Хэмминга. Пространство Хэмминга Zg (используется также обозначение F") — это конечная абелева группа Z™ = {х = (хо,., хп-\): Х{ = 0,., q — 1} с операцией покоординатного сложения по mod б/, метрикой d(x,y) = \х - у\, где \х\ = ]Г 1 — вес Хэмминга (|я| = 0,1,., п), инвариантным нормироxij^O ванным интегралом 1 я и системой характеров f{x) d^x) = -ъ Y, f(x) exp^^^j, VX = vqXQ + . + vn-ixn-i (i/,a;€ZJ).

Пусть £д(/, Z")p = min||/-t||p — величина наилучшего приближения функции / £ lp{%q) многочленами t(x)= Y, Ч")хЛх) (R=l2,.,n) порядка R — 1 (£n+i(/,ZJ)p = 0)f u{6, /, Ц)р = max\\f(x + h)-f{x)\\p 1,2.n) модуль непрерывности функции / (cj(0, /,Z")P = 0),

D(6, R,Zq)p — sup S константа Джексона; (s G N) — наименьший нуль многочлена Кравчука

Теорема 1.3.1. Если s, R е N, 2s - n, R - 1 < ^ < Я, то для 1 ^ р < 2

Доказательство теоремы следует схеме, разработанной для случая непрерывных пространств. Используется дискретный аналог теоремы 1.2.2, справедливый для многочленов Кравчука, удовлетворяющих условию Крейна. Теорема 1.3.1 обобщалась В. И. Ивановым и

A. А. Тюрюкановым [45].

В § 1.4 и § 1.5 доказываются точные неравенства Джексона в пространствах Z/2 на многомерном гиперболоиде Яп1 и на полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Эти результаты добавляют новые случаи в схему, развитую для некомпактных пространств И. И. Ибрагимовым и В. Г. Насибовым [38] (ось К), А. Г. Бабенко [10] и А. В. Московским [59] (пространство Мп и полуось с весом tx),

B.Ю. Поповым [66, 67] (пространство Кп, гиперболоид Я2 и полуось Е+ с весом sh t), Е. Е. Бердышевой [14] (Rn) и другими авторами.

Пусть Hn~l = {х е Mn: [х,х] = 1, хп > 0} — верхняя пола двуполостного гиперболоида, х,у] = -xiyi - . -хп-\уп-\ +хпуп (х,у £ Rn),

Sg(x) = {у е Hn~l: [х,у] = ch0} — сфера в Нп~1 с инвариантной нормированной мерой V\ — пространство сужений на Нп~х однородных функций v(x) степени —(п - 2)/2 + гХ (А ^ 0), для которых д2 д2 д2

Dv = 0, где □ = —г + • • • Н--о---2 ~ волнов°й оператор. k дх{ дхп-\ дхп

Также как и для сферы определяется величина наилучшего приближения функции / € Ь2(Нп~1) и ее модуль непрерывности

ER(f, Hn~l)2 = inf|||/ - д\\2 -.ge\®Vx ф(Л)| (R > 0), о J г \1/2 u(S,f,Hn~l)2= sup \f(y)-f(x)\2dae(y)dx) (6 > 0).

0<6^<5\ , J, v J

Hn~lSe(x)

Здесь

Г((п-2)/2 + гЛ) 2

Г(гА) dX da(X) = ' . ,—rrTo-. du(X) x A™-2 dX (Aoo) j 2п-2тг(п-1)/2Г((П-1)/2) m ; V У мера Планшереля, которая участвует в интегральном преобразовании Мелера-Фока.

Пусть а = (п — 3)/2, 6a(R) — первый положительный нуль функции Лежандра Pl?/2+iR(chO), 01/2(Я) = 0a(R) ~ ^ (Я-> оо).

Теорема 1.4.1. Ясли п^ 2, R> 0, то для любой функции f в е L2(Hn~l) справедливо точное неравенство Джексона

ER(f,Hn~l)2 < J-u{2ea(R),f,Hn-l)2.

При п = 2 эта теорема вытекает из точного неравенства Джексона в L2(К) [66], а при п = 3 она установлена В. Ю. Поповым [67].

В работах [10, 59] экстремальная задача о точном неравенстве Джексона в пространстве L2(Rn) сводится к одномерной задаче для функций, задаваемых на полуоси R+ с весом tx (А = п — 1). Аналогично задача о точном неравенстве в Ь2(Нп~х) сводится к задаче для функций на полуоси с гиперболическим весом shA t (А = п - 2). В § 1.5 изучается более общий случай наилучшего приближения в Ь2 на полуоси с весом w(t) частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Степенной и гиперболический веса входят в него.

Рассматривается задача Штурма-Лиувилля на полуоси w{t)u'{t))' + (v2 + v2)w{t)u{t) = 0, u'(0) = 0 {t е wecl{R+), w(t)> 0 (t>0).

Здесь и £ С, щ £ М+ и предполагается, что при v G Ш+ получается весь спектр задачи.

Пусть (pu(t) — собственные функции задачи (6), для которых tpv{0) = 1; LPiW(R+) — пространство измеримых функций /: R+ —» С у /р с конечной нормой \\f\\PlW = \f(t)\p w(t) dt) (p ^ 1). Предпола

R+ ' гается, что для собственных функций выполнено условие

ЫОК<^(0)=1 {t,veR+). (7)

Оно верно, например, для неубывающего веса w. Если f(u) = f(t)<pv(t) w(t) dt = (f(t),<pv{t))w 4 преобразование Фурье функции / G L2iW(№.+), то / G L2,£/£T(M+) и m =} /им*) ^м = (7м. vS))d* (8) r+ сходимость понимается в среднем), где а — спектральная мера (или функция) задачи (6). Сходимость в формуле обращения (8) будет ч ^-ч равномерной, если /, / G С(К+). / G L i>u,(R+)> / € Li)da(R+).

Пусть Eji(f, M+)2,u; — наилучшее приближение функции / G G L2,^(M+) частичными интегралами Фурье h порядка R > 0, для которых supp h С [0, R]. Оно достигается на частичном интеграле Фурье оо функции / и £&(/,!+)2,w = j 17(^)12 da(v). r

Определение модуля непрерывности функции / опирается на линейный оператор обобщенного сдвига Ts, который действует на собственные функции по формуле

Tsipv{t) = ipv(8)ipv(t) (s, te R+). (9)

Это равенство называется формулой умножения. Для произвольной функции / G L2tW(R+)

Tsf{t)= | 7(1/Ы«Ы*)^Нr+

Из (7) следует, что его норма равна 1. Построением общей теории I операторов обобщенного сдвига занимался Б. М. Левитан [55]. Многие авторы в своих исследованиях использовали подобные операторы. В задачах теории приближений, в частности, они применялись в работах [4, 8-10, 59, 66, 67].

Особый интерес представляет случай (рассматривается только он), когда оператор обобщенного сдвига допускает представление t+s

Tsf{t)= j f(x)dT.,t(x) (s,teR+) t-s\ с неотрицательной мерой dTSit(x). Тогда область определения оператора расширяется на все локально интегрируемые функции /: R+ С, для которых Jxe £ LiiW(R+) (Е — произвольный конечный интервал из М+), а формула умножения (9) становится верной для всех и е С.

Если задача регулярна в нуле (ги(0) >0), то мера drXtV получается из решения некоторой задачи Гурса [55]. При этом достаточным условием ее неотрицательности в предположении w е С2(М+) будет /2 условие невозрастания функции q = ----г [55]. В сингулярном zw 4WZ случае общий метод построения меры drSit, по-видимому, неизвестен. Но во многих прикладных задачах собственные функции выражаются через хорошо изученные специальные функции. Тогда мера drs<t берется из формулы умножения для этих функций. Если она неотрицательна, то задача (6) включается в общую схему.

Рассмотрим два определения модуля непрерывности. Первое соответствует рассмотренным выше случаям сферы и гиперболоида w(6,f,R+h,w= sup I

0 <d^5\ t+d ./2 \f(x)-f(t)\2d4t(x)w(t)dt) . + \t-d\

Второе определение рассматривалось в работах [10, 59] ад/Д+k^ sup ||(/- Tdy/2f\\2tW.

0 <d^5

Лемма 1.5.2. Справедливо равенство o;(Jf /, R+)2.w = V2 /, R+)2.«i

Константа Джексона определяется стандартно: sup

Ее нахождение связано с решением одной экстремальной задачи для функций. Положим

00

A(S,R,w) = sup inf ipu{d)p{v) da(u), pGF(R,d<j)°<d^5 ^ где oo

F(R, da) = I p: [Я,+оо) R+ p(u) da{u) = 1 >.

R J S

Пусть 5 > 0, G(S,w) — множество функций g(u) = (pu(t) d^(t), где о

7 — действительная неубывающая функция ограниченной вариации, s непрерывная в нуле, d^{t) = 1. о

Лемма 1.5.3. Для 5, R > О

2D2(S,R,R+h,w =

1 - А {5, R,w)'

A(5,R,w) = inf sup g(u) — sup g*{v), g* 6 G(S,w). g€G(5,w) v^R

Эти утверждения для рядов были установлены А. Г. Бабенко [6], В. В. Арестовым и В.Ю. Поповым [4], а затем на случай Rn были обобщены Е.Е. Бердышевой [14]. Лемма 1.5.3 связывает обсуждаемые задачи теории приближения с экстремальными задачами для функций, которые находят приложения и в других областях математики.

Пусть t(u) — первый положительный нуль собственной функции сpv(t). В § 1.5 установлены соотношения

К A{8,R,w)< 1, A{2t{R),R,w) = 0 {5,R> 0), которые позволяют сформулировать следующий результат. Теорема 1.5.1. Для 8, R > О

D{8,R,R+)2tW > 2-1//2, D{2t{R),R,R+)2,w = 2"1/2.

Эта теорема охватывает многие важные случаи (везде а ^ —1/2):

7Г

1) w(t) = 1, (pv(t) = cosut, t(v) = —;

2) w(t) = (t + a)2a+1 (a > 0), собственные функции ipu(t) выражаются через функции Бесселя Ja и Ya;

3)w(t) = t2a+l, tpu(t)=jaH, где m 2aT(a + 1 )Ja(t) A (—l)fcr(g + l)(t/2)2k ттЛ t2 \

Г ЫГ(к + а+1) "АД1 qj к—0 fc=l нормированная функция Бесселя (ja(0) = 1), t(v) =

4) «;(*) = sh2a+11, tpv(t) = 2ar(Q+1)fff/2+^(ch° - нормированная oil L функция Лежандра (^(0) = 1), t(v) = ва(и).

Минимальное значение аргумента 5* = S(R,w), для которого константа D(5*,R,R+)2,ги — 2-1/2 называется оптимальным аргументом или точкой Черныха для константы Джексона. Из теоремы 1.5.1 следует, что

6(R,w)^2t(R). (10)

Из результатов Н. И. Черныха для тора Т [81, 96], перенесенных

7Г

Е. Е. Бердышевой на ось R [13], следует, что 5(R, 1) = 2t(R) = Этот R результат обобщается на произвольный степенной вес. Теорема 1.5.2. Для R>Q,a^ -1/2 К

2а

Оценка сверху 5{R, t2a+l) < была получена в работах [10, 59] и вытекает из (10). В основе доказательства оценки снизу лежит поиск при фиксированном R > 0 минимального 5 > 0, для которого A(5,R,t2a+l) = 0. Для решения этой задачи используется квадратурная формула на полуоси с узлами в нулях функции Бесселя, положительными весами и точная для целых функций экспоненциального типа. Техника решения экстремальных задач, опирающаяся на подобные квадратурные формулы, развивается в гл. 2.

Из теоремы 1.5.2 находится оптимальный аргумент 8(R,Rn) для константы Джексона в пространстве ^(R")

D(6,R,W"h= sup ШЮ1 l,2(Rn) v ' J' >2 в случае приближения целыми функциями экспоненциального сферического типа. Если п 6 N, а = п/2 - 1, R > 0, то

D{6,R,Rn) 2 = D(6,R,n+h,t*°+i, 5(R,Rn) = 5{R,t2a+l) =

Последнее равенство использует один общий результат Е. Е. Бердыше-вой из работы [14], который будет приведен при изложении результатов гл. 2.

В гл. 2 решаются многомерные экстремальные задачи для целых функций тг-переменных экспоненциального сферического типа, имеющие приложения в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел и других разделах математики. Характерной особенностью рассматриваемых задач является то, что допустимые функции в них после операции усреднения по сферам с центром в нуле остаются допустимыми, а исследуемый функционал для усредненной функции не изменяется (с точностью до умножения на постоянную). Это позволяет сводить исследуемые задачи к задачам для радиальных функций, т.е. в итоге к одномерным задачам, которые выписываются в § 2.5. Различные задачи для целых функций экспоненциального типа обстоятельно рассматривались С. М. Никольским [62] и многими другими авторами.

В §2.1 вводятся необходимые обозначения и приводятся вспомогательные результаты. Пусть Еа — множество целых функций экспоненциального типа ^ а, Е(а) = E2lxa, Eq — подмножество четных действительных функций из Еа, Е0(сг) = Е%п<т.

Одним из многомерных вариантов класса Еа является класс Еп,1г (п е N, R > 0) целых функций /: Сп —> С экспоненциального сферического типа < R, для которых |/(z)| = 0(e^R+£^zI) (z E С, e > 0).

Множество действительных функций из Еп'2пг П Ьр(Ш.п) обозначается Ер (г).

При р = 1 по классической многомерной теореме Пэли-Винера [73] класс Е™(г) совпадает с классом непрерывных действительных функций / е Ь\(ШП), преобразование Фурье

Ы = \ f(x)e(-xy)dx (e(t) = e2nit) которых непрерывно и имеет носитель в евклидовом шаре Б™ радиуса г > 0 с центром в нуле: supp / С В™. При этом f(*)= \ f(y)e(xy)dy (х G Мп). в?

Также, приводится известная связь преобразования Фурье радиальных функций f(x) = /о(|я|) с преобразованием Ганкеля: f0{s) = ш{а) | f0{t)ja(2irst) t2a+l dt, f(y) = f0(\y\),

R+ где j (a) =

27ra+ 1 n

Г(а-И)' wn-i=mes5n = w(n/2-1), a=--\.

Пусть функция / £ Li(Mn). Ее усреднением по сферам называется функция ой = Sf(t) = 1 wn-1 da(t)sn-1

Если / € -Б"(г), то функция /о(£) обладает свойствами о 6 Eo(r) ni1(t2«+,(R+), 7o(e) - 5/(s), /о(0) = /(0), /о(0) - w(a) | /0(i)i2a+1 dt = /(0) = | /(*) dx.

В §2.1 приводится одно полезное утверждение, варианты которого установлены Н.И. Ахиезером [54], на которое, в частности, опирается доказательство единственности экстремальных функций.

Лемма 2.1.2. Пусть а ^ -1/2, т > 0, /0 G Е$Т П Llt2a+i m = гп\ + . + rrik G Z+, Шг = 0,1,2,

O(0 = £gf>. <ыо=П( г=1 1 jtf 2

Qai

Тогда go — четный многочлен степени 2(m — 1), в частности, g0 = 0, т = 0, и go = const, если m = 1.

Решение экстремальных задач опирается на лемму 2.1.2 и применение квадратурных формул гауссовского и марковского типов на полуоси по нулям функций Бесселя и положительными весами, точных для целых функций экспоненциального типа.

Если а > -1, г > 0, то для любой функции /о €Е Eqt C\Lx t2<н оо оо , о(0) f (j.\j.2a+l J± ST^ lak r (Qak\ 7afc f (Qa+l.k\ к+ fc=l k=0 2 qll , 2^V2) , 7a+U

Л* Wafc) a + 1 Яа+1,к

ID

Здесь оба ряда сходятся абсолютно. Формулы (11) точны в том смысле, что существуют функции /о 6 ElT+£ П Ll t2a+i (R+) (г > 0), для которых они неверны.

Формула гауссовского типа была доказана С. Frappier и P. Oliver [106] в предположении, что |/0(£)| = 0{\t\~5) (|*| -> оо, 5 > 2а + 2) и G. R. Grozev и Q. I. Rahman [113] в общем случае. Формулы марковского типа получены R. В. Ghanem и С. Frappier [108]. Эти результаты в связи с решением экстремальных задач для целых функций экспоненциального сферического типа были переоткрыты автором [24], а также в случае формулы марковского типа, независимо, Н. Cohn [97].

В § 2.2 рассматриваются экстремальные задачи типа Черныха-JIo-гана для произвольных и положительно определенных целых функций экспоненциального сферического типа из класса Е?(г), имеющие приложения в теории приближений (задача о точке Черныха в константе Джексона для Ь2(Шп)) и дискретной математике (оценки радиусов упаковки и покрытия решеток и связь между кодами и дизайнами на многомерном торе).

Пусть Fn(r) — класс функций / в Е?(г), для которых /(0) = 1 и /(0) = 0, F™(r) С Fn(r) — подмножество положительно определенных функций.

Введем две величины

А(/) = sup{|z|:zer\ f(x)> 0}, А+(/) = А(-/).

Величина А(/) (А+(/)) есть радиус наименьшего шара с центром в нуле, вне которого функция / неположительная (неотрицательная).

Положим

A±(F) = inf{A±(/):/eF}.

Рассмотрим следующие экстремальные задачи. Найти величины

Au(r) = А (*»), А +п(г) = АИ(г)), (12) л+я(г) = л+(ед). (is)

В одномерном случае эти задачи были поставлены и решены Б. Jlo-ганом [124, 125]:А+(г) = 1 А+(г) = |:.

Равенство А^ (г) = для целого г € N также вытекает из более ранних работ Н. И. Черныха [81, 96], в которых доказано точное неравенство Джексона в Ьг(Т) с оптимальным аргументом. В этих работах по сути решен более сложный дискретный вариант задачи А^(г), в котором функциям разрешается принимать положительные значения между целыми точками. Экстремальной функцией оказалась функция

COS (ттгх) Преобразование фурье (с точностью до постоянной) из-1 — (2 гх) вестной весовой функции Черныха sin(7r|y|/r) (\у\ ^ г). Рассуждения Черныха легко переносятся на непрерывный случай, являясь при этом оригинальными и отличными от рассуждений Логана. В диссертационной работе для решения многомерных задач развивается подход, близкий к подходу Логана.

Равенства Ait3(r) = A*3(r) = ^ можно вывести из результатов автора [19] и А. В. Московского [59]. Они получены методом Черныха.

Задачи (12), (13) имеет смысл ставить для целых функций экспоненциального 271\0*-типа, носитель преобразования Фурье которых содержится в центрально-симметричном теле D С Kn (D* — поляра множества D). Для функций сферического типа тело D = D* — евклидов шар.

В случае куба D = [-г,г]п (г > 0) точное решение задач (12), ть равное -у-, получено Е. Е. Бердышевой [14]. Из результатов этой работы также следует, что для точки Черныха в пространстве L2(Mn) выполняется равенство я,н") = л;я(£).

Постановка задачи (13) возникла из работы [87].

Теорема 2.2.1. Для г >0

Л,.„(г) = Л+„(г) =

Единственной экстремальной функцией является функция

У1а(г\х\) е F+(r), yla(t) = ^ G ^0(1).

1 - (nt/qai)

Теорема 2.2.1 вновь дает результат 5(R, Rn) = R

Теорема 2.2.2. Для г >0

Л2+>) =

Единственной экстремальной функцией является функция

У2.М) € F#r), у2,м = fff , е Д>(1).

1 - (ттЬ/Qai) )(1 - {-Kt/qa2) )

Принадлежность функций у\,а, т/2,с* классу F+(r) установлена в работах [10, 59, 83, 87]. Необходимые свойства функции у\<а выводятся из общих результатов § 1.5 по вычислению константы Джексона в пространстве L2,W{R+) в случае w(t) = t2a+l. Ключевое свойство положительной определенности вытекает из того факта, что функция у\<а также как и функция Черныха для У\~\/2 является преобразованием Ганкеля некоторой неотрицательной весовой функции.

В § 2.3 рассматривается многомерная экстремальная задача П. Турана, в которой требуется найти максимальный нулевой коэффициент Фурье (среднее значение) периодической функции с единичным значением в нуле, носителем в евклидовом шаре и неотрицательными коэффициентами Фурье. Исследование асимптотического поведения этой величины, когда носитель стягивается в точку, приводит к экстремальной задаче для целых функций экспоненциального сферического типа.

Пусть D С [-1,1]п — центрально-симметричное тело, 0 < h ^ 1/2, hD — гомотет D, Kn(hD) — класс непрерывных функций f(x) = Y^ f{v)e2niux: Tn R, fGZn для которых f(u) ^ 0, /(0) = 1, supp / С hD.

Рассматривается экстремальная задача нахождения величины

An{hD) = sup /(0). feKn(hD)

П. Тураном в связи с приложениями к теории чисел была поставлена задача оценки величины A(h) = A\([—h,h}). Одномерная задача Турана рассматривается в гл. 3.

Многомерные варианты периодической задачи Турана исследовались только при h 0. Первые результаты для многомерного куба и плоского ромба были получены Н.Н. Андреевым. Асимптотически экстремальными функциями оказались периодизации сверток характеристических функций

Х2-'р *X2-'p)(ft~'aO vo\{2~lD) главный член асимптотики имел вид vol(2~lD)hn, а остаточный член оценивался как 0(hn+l).

Особый интерес представляет случай единичного евклидова шара

7ГП/2

D = Вп, для которого Vn = vol Вп = + 1)' Теорема 2.3.1. Для шара D = Вп

Ап{НВП) = Гт^ЩТ)+ 0{НП+2) {к~*0)

Асимптотически экстремальной функцией является периодиза

Х2*X2~lnn)(h~lx) ция свертки к ^ "—, м--. vo\{2~lBn)

Во всех известных случаях главный член асимптотики An(hD) равен vol(2~lD)hn. Нахождение этого члена сводится к решению многомерной экстремальной задачи для целых функций экспоненциального 27г£)*-типа.

Пусть Gn(D) — класс непрерывных четных функций g: Мп -» К, для которых supp д С D, д ^ 0, д(0) = 1. Найти величину

Mn{D)= sup р(0). g£Gn(D)

Эквивалентная постановка заключается в нахождении величины Ч

Mn(D) = sup/(0), в которой sup берется по всем положительно определенным функциям с носителем в D и единичным значением в нуле. В случая шара D = Вп функции д е Е™(1). Исторически первым случаем нахождения величины Mn(D) стало вычисление в 1945 г. R.P. Boas и М. Кас [95] величины М\{[-\, 1]) .

Лемма 2.3.1. Для произвольных п и D

An{hD) = Mn(D)hn + 0{hn+2) (h 0).

Асимптотически экстремальной функцией является периодизация функции go{h~lx).

Теорема 2.3.2. Для шара Вп

Мп(Вп) = vol(2~'B") = ут^^+Т)'

Единственной экстремальной функцией является функция

Яв-(У) = = vol(2"1B")^/2(x|!/|).

Из этой теоремы и леммы 2.3.1 получается теорема 2.3.1. После этих результатов появился интерес к решению задачи Mn(D) для произвольных тел D. Здесь следует отметить работы В. В. Аресто-ва и Е. Е. Бердышевой [90], М. Kolountzakis и S. G. I^vesz [117], в которых рассматриваются случаи тел D, заполняющих пространство

В основе доказательства теоремы 2.3.2 лежит применение квадратурной формулы (11) марковского типа и тот замечательный факт, что для а = п/2 — 1 и г = 27г

Т2а+2 = =

7а0 Г2(П/2 + 1)

В § 2.4 рассматривается интегральная задача Дельсарта, связанная с оценкой максимальной плотности Дп упаковки евклидова пространства Еп одинаковыми шарами.

Пусть Кп(г) — класс положительно определенных функций / С С Е[(г), для которых f(x) < 0 (|ж| ^ 2), /(0) > 0. Например, функция

Уп(х) = уп/2-М)еКп(гп), где 2 Яп/2 „ (А - с трЧа+1 "2тГ' Mt)~ l-(t/2)2 е 0 '

Для полуцелого а эта функция была предложена в работе [84]. Там же было установлено, что

Гп>0, suppУп = Б™ , Ш= , г" У„(0) тгп/2Г(П/2 + 1)

Пусть

An(r)= inf М An = lim An(r). feKn{r) /(0)

Задача An называется интегральной задачей Дельсарта, а задача Ап{г) — ее вариантом для целых функций экспоненциального сферического типа.

Теорема 2.4.1. Для п G N, г > 0

Дп < VnAn(r). и л, V( \ УпУп{0) {qn/2f4)п п

Для функции YJx) отношение ——— = ,—. Поэтому W Уп(0) Г (n/2 + 1)

М ; Г (n/2 + 1)

Отсюда и из теоремы 2.4.1 получается известная универсальная оценка Левенштейна [52]

Д (Яп/2/ 4)"

Г (n/2 + 1)

Теорема 2.4.2. Для п 6 N

А (г ) (,?"/г/4Г

Эта теорема независимо в 2001 г. была получена Н. Cohn [97].

В § 2.5 выписаны экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа на полуоси со степенным весом, на которые опиралось решение многомерных задач. Приведем некоторые из них.

Пусть а ^ -1/2, а > 0, Е^а(а) — множество функций / 6 Е0(а) П OLi t2o+i(R+), для которых преобразование Ганкеля f(s) ^ 0 (s G R+) и /(0) > 0. Класс Ej~a(cr) совпадает с классом действительных четных функций / е C(R+) nLl t2a+i(M+), для которых supp/ С [0, сг], / ^ 0.

Найти величины

Л,(Д+») = inf {Л > 0: /(£) < 0 А), /(0) = 0, / G £+»},

Л2(Я0+») = inf {Л > 0: f(t) >0 (tz А), /(0) = 0, / G £0+»},

Mi(£0+») = sup{/(0): /(0 > 0 (* е R+), /(0) = 1, / € £0+»},

М2(Е+а(а)) = sup {/(0): /(*) < 0 2), /(0) = 1, / G £7+ И).

14)

Справедливы утверждения

Ai (Л0») = ё> fW= АЫ) 1 1-(тг at/qaly tt2(t)= у

7,47 (1 - {irot/qa 1) )(1 - (:nct/qa2) ) Г(а + 2) ' а+1 / /9ч2а+2 Г(а + 2)

Величина M2(^qq(<j)), в отличие от остальных, не является однородной функцией относительно сг. Поэтому ее нахождение является более сложной задачей и решение получено в частном случае, когда

2тг '

М (F+ (п \\ - Ъош(а) тга+1Г(а + 2) , , jl+l(naat) М2(Е0аЫ) - - (9а+|/4)2а+2. /«,№

Все экстремальные функции являются единственными. Приведем связь задач (14) с рассмотренными ранее многомерными экстремальными задачами (а = п/2 — 1, п € N):

Af„W = Ai (E+a(r)), А+П(г) = Л2(Д+(г)),

Mn(Bn) = Mi{E+ (I)), An(rn) =

ОоЛ^- м2(Е+а(аа)У

В гл. 3 изучаются некоторые одномерные экстремальные задачи для функций с малым носителем, имеющие приложения в теории функций, теории приближений, теории чисел, цифровой обработке сигналов.

В §3.1 рассматривается экстремальная задача Турана о наибольшем среднем значении 1-периодической четной функции с неотрицательными коэффициентами Фурье, фиксированным значением в нуле и носителем на отрезке [~h,h] с Т (0 < h ^ 1/2).

Пусть

A(h) = supao, 32 где sup берется по всем непрерывным положительно определенным на торе Т функциям с носителем supp/ С \-h,h\. Многомерный вариант этой задачи рассматривался в § 2.3.

Задача нахождения величины A(h) была поставлена в 1970 г. П. Тураном. С. Б. Стечкин [74] вычислил величину A(\/q) = l/q для <7 = 2,3,. и получил асимптотику A(h) = h + 0(h2) (h 0). А. Ю. Попов показал, что для A(h) > к{Нф l/q), и предположил, что при h —> 0 справедлива более сильная асимптотика A(h) = h + 0(hz). В § 2.3 эта гипотеза доказана.

Задача Турана тесно связана с экстремальной задачей Дельсарта на торе, при постановке которой условие f(x) = 0 (h ^ |х| < 1/2) заменяется более слабым условием f(x) ^ 0 (h ^ |х| ^ 1/2). Варианты задач Дельсарта уже приводились. Самим Ф. Дельсартом [37] она впервые была поставлена для многочленов, связанных с ассоциативными симметричными полиномиальными схемами отношений, для оценки мощности кодов в них. Различные варианты задачи Дельсарта для многочленов, рядов и интегралов использовались многими авторами при оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки в однородных пространствах. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Данкл, А. Одлыж-ко, Н. Слоэн, В.М. Сидельников, В. И. Левенштейн, Г. А. Кабатянский, Г. Фазекаш, В. А. Юдин, Н.Н. Андреев, А. Г. Бабенко, В. В. Арестов, В. И. Иванов, О. Р. Мусин, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar.

В развитие результатов С. Б. Стечкина представляет интерес вычислить величину A(h) для произвольных рациональных чисел h вида pjq, где p/q — несократимая дробь. Приведем полученные результаты.

Сначала сформулируем две конечномерные экстремальные задачи линейного программирования.

Задача 1. Найти величину S\(p, q) = maxso, при условиях

00 f(x) = cos (2жпх), ап > 0, /(0) = 1, п=О s о (г = 0, .,q- 1), ^sr=l. r=О

Задача 1 — это дискретный вариант задачи Турана.

Задача 2. Найти величину S2{p, <?) = - шахо;(0) при условиях q ь р-1 a(r)= l+2j]6fccos(—) (г = 0.g- 1). к—1

Задача 2 — это дискретный вариант задачи Фейера о наибольшем значении в нуле неотрицательного тригонометрического многочлена с единичным средним значением.

Следующая теорема осуществляет редукцию бесконечномерной экстремальной задачи Турана к любой из этих двух конечномерных задач.

Теорема 3.1.1. Пусть р, q 6 N, НОR{p,q) = 1, р ^ q/2. Тогда

A(p/q) = Sl(p,q) = S2(p,q).

Экстремальной функцией <pp,q{x) является кусочно-линейная функция с вершинами в точках k/q,bl) (k = 0,.,p), где bQ = 1, b* = 0 и b*k (k = 1,. ,p— 1) — координаты экстремального вектора в задаче 2.

В 2001 г. В. И. Иванов высказал гипотезы о виде экстремального многочлена и квадратурной формулы в задаче 2. На пути проверки этих гипотез величина A(h) была вычислена для h = п р ,. q q q 2р + 1

Например, для случая h = 2/q

А{2/ .+COS Ш ( 57 ). g cos (тг/д)

Отсюда следует, что

A{h) = h+^h3 + 0{h5) {h = 2/q->0).

В частности, в асимптотике A(h) = Д + 0(h3) заменить символ О на о нельзя.

В 2004 г. В. И. Ивановым и Ю. Д. Рудомазиной [40] задача 2 была решена для всех р и q и тем самым было получено решение задачи

Турана для всех рациональных h. Недавно В. И. Иванов анонсировал решение задачи Турана и для всех иррациональных h.

В § 3.2 рассматривается более сложный вариант задачи Турана. Положим

B{h) = supao. где sup берется по всем четным непрерывным функциям со f(x) = Y/an cos (2imx), n=о для которых

00 an| = l, supp / С [—h, h]. n=0

Класс функций в этой задаче шире класса функций в задаче Турана, поэтому A(h) ^ B(h). Во всех известных случаях кроме тривиального h = 1/2 неравенство строгое.

Экстремальная задача B{h) была поставлена С. В. Конягиным в связи с приложениями к аналитической теории чисел. При этом подчеркивалась важность вычисления величины B{h) для отдельных значений h, в том числе близких к 1/2. Например, большой интерес представляло вычисление величины В( 1/4). Она была найдена в работе [2]: -6(1/4) = -——— >1/4, экстремальная функция тгВ^^ cos (2пх)

2* 7Г/1

М < 1/4).

Кроме того, в [2] установлено, что B(h) = Lh + 0(h2) (h 0), где 1,079 < L < 1,179 и константа L находится из решения экстремальной т

L = sup р IIvIIl^r) для непрерывных четных действительных функций tp с носителем supp</? С [—1,1]. Эта задача, называемая интегральной задачей Коня-гина, исследуется в § 3.3.

Основные результаты § 3.2 заключаются в вычислении величины B{h) для h= 1/2, 1/3, 1/5, 2/5. В наиболее сложном случае h = 1/5 величина .5(1/5) = 2 + (3 /5) ctg > экстремальная функция кВ(\/Б) sin (27г(1/5 — |ж|)) < f)

2sin2(7r/5) VM ^ ' ''

В § 3.3 изучается интегральная задача Конягина. Устанавливается ее связь с экстремальными задачами о наилучших константах Никольского в неравенствах между С- и Ь\-нормами для тригонометрических многочленов и целых функций экспоненциального типа. Приведены новые оценки констант в рассматриваемых задачах. Пусть с„(Т) = sup S221-. t ||4|l,(t) где sup берется по всем действительным тригонометрическим многочленам t порядка ^ п — 1 (n е N),

С,(К) = sup Mm II/IImr) где sup берется по всем действительным целым функциям / экспоненциального типа <27гсг (<т > 0). Очевидно, что cCT(R) = crc(R), где c(R) = ci(R).

Константы сп(Т) и c(R) называются {C,L\)-константами Никольского. Константа сп(Т) равна наилучшему приближению в С(Т) ядра Дирихле порядка п — 1 ограниченными измеримыми функциями, ортогональными тригонометрическим многочленам порядка 1, ci(T) = 1,c2(T) = £ max 1 +sinar = 2,12532.

2 о^ж<7г/2 cos х + х sin x

С. Б. Стечкин доказал, что сп(Т) = с(Т)п + о(п) с независящей от п константой с(Т) > 0. Уточнение этого равенства и двусторонние оценки константы с(Т) были получены JI. В. Тайковым [76]. Он доказал оценки

9 4 а п + 0(1) ^ cn(T) ^ — п + 0(1),

О- ' " 1 " V 7 ^ w7(.\— / ^

017г 7г из которых следует, что

2 = 1,07995. <с(Т)< —= 1,16625.

О • ж , ^ . « ~ ^ . . . ^

017г 7г

Si£ — интегральный синус, G — константа Каталана). Оценка снизу была получена на многочленах Рогозинского, а оценка сверху — с помощью интерполяционной формулы М. Рисса для производной тригонометрического многочлена.

Сформулируем основные результаты § 3.3.

Теорема 3.3.1. Справедливо равенство Ь.

Теорема 3.3.2. Для п е N n- 1 )L ^ сп(Т) ^ пЬ.

В работе [91] было установлено, что sup £n±ilS = с2(Т) = * = 2,12532., п£ n 71 zi> где £ — единственный корень уравнения cos t = t. Из этого результата вытекает неравенство cn(T) ^ (п — 1)с2(Т) (п = 2,3,.), которое при п ^ 3 слабее правого неравенства в формулировке теоремы 3.3.2.

Из теоремы 3.3.2 следует, что L = с(Т) = c(R).

Теорема 3.3.3. Справедливы оценки

1,08185. ^ L < 1,09769.

Для оценки снизу использовалось семейство функций тп m ИГШ-Й pm{x,{zi]^x) -^- cos (2-kqix) (|s| < 1),

П Й-9?) j=0,jjti где m G Z+, qi = i/2 +1/4, zj < z2 < . < zm — числа, для которых \zi ~ Qi\ < 1/4. При m = 0 получается функция <ро(х) = 4л-cos (-кх/2) (|ж| ^ 1), которая приводит к нижней оценке в работе [2] и нижней оценке Тайкова.

Для функций ipm вычислялось отношение p(z\,., zm) = . llMb^R)

После этого последовательно для m = 1,2,., 10 решалась гладкая конечномерная задача pm = maxp(z\,. ,zm) для допустимых Z{. В частности, было показано, что рю ^ 1,08185.

Значения ipm(v/n) использовались в качестве коэффициентов Фурье t(u) тригонометрических многочленов, улучшающих оценку Тайкова, а преобразование Фурье фт — в качестве целых функций экспоненциального типа 27г в оценке с(М).

Для оценки сверху решался упрощенный вариант двойственной к задаче L экстремальной задачи, рассмотренной в работе [2]. Найти величину

М* = inf

Sm7tZ(\ + 6(z)) + a(z)

7tz

C(R+) где inf берется по всем четным действительным функциям a, b е С(Т) с абсолютно сходящимися рядами Фурье и условиями а(0) = 6(0) =

Л, 6(1) = 0. Доказано, что

L^M* ^ 1,09769.

Перейдем к описанию результатов гл. 4.

В § 4.1 изучаются оценки экстремальных расположений точек на торе и в евклидовом пространстве. В п. 4.1.1 рассматривается задача о связи радиуса упаковки и покрытия решетки L С Мп и двойственной к ней решетки L*. Числа I ,2?Ъп М' R(L)= sup Ы \х ~ 1\ называются соответственно радиусом упаковки и радиусом покрытия решетки L. В дискретной математике и ее приложениях актуальной является задача об оценке величины p(L*)R(L). В работе [85] была получена оценка p(L*)R(L)< gi (а = п/2-1), из которой следует, что p(L*)R(L) < ^ (1 + 0(п~2/3)) (п оо). Эта оценка оказалась лучше долгое время существовавшей границы p(L*)R(L) ^ 5п3/2. Отметим, что существуют невырожденные решетки Ln С для которых произведение p(L*n)R(Ln) оценивается снизу через п по порядку.

Теорема 4.1.1. Справедлива оценка

R(L) ^ Ai,n(2p(L*)), где Ai,n(r) — величина из задачи (12).

Из теоремы 4.1.1 и теоремы 2.2.1 следует, что

В п. 4.1.2 рассматривается задача об оптимальности оценок характеристик кодов и дизайнов на торе Тп, полученных в работе [87]. Конечное множество W С Тп называется d-кодом, если d = d(W) = min {||ж - у\\: х,у eW, хф у}, где ||ж|| — расстояние от х 6 Мп до ближайшей точки из Zn, ||ж - у|| — метрика на Тп.

Если кубатурная формула t{x) dx = Y К*)

Jn X(zW точна для любого тригонометрического многочлена t(x) = y, %y)<?*ivx порядка R и число R = R(W) > О — наибольшее из возможных, то множество W называется шаровым Д-дизайном.

Аналогично коды и дизайны определяются на других однородных пространствах.

В работе [87] приводится оценка d(W)R(W) ^ q-f [W С Tn, R(W) > 2да2/(тг^)). (15)

Опираясь на доказательство этой оценки получаем следующий результат. Для произвольного множества W С Тп d(W) < Л+П(Д(W)), где Л^"п(г) — величина из задачи (13). Из теоремы 2.2.2 вытекает оценка (15).

В § 4.2 рассматриваются экстремальные задачи, связанные с оценками характеристик кодов и дизайнов на FDNDF-полиномиальных по классификации В. И. Левенштейна [123] компактных метрических пространствах (в частности, они включают в себя сферу, общие КРОСП, пространства Хэмминга F™ и другие дискретные пространства).

В п. 4.2.1 решается родственная задаче А£п(г) экстремальная задача для алгебраических многочленов, поставленная в работе [86].

Пусть вновь {Pi}fl0 — система ортогональных на отрезке [-1,1] по мере da(t) многочленов, Pt( 1) = 1, 1 > t\(Pi) > t2{Pi) > . > ti(Pt) > > -1 — нули многочлена Pi, {Qi}^ — система ортогональных по мере (1 + i)da(t) многочленов, Qz(l) = 1. S

Для s 6 N рассмотрим алгебраический многочлен h(t) = ^ hkPk{t) к=1 степени (к неотрицательными коэффициентами Фурье hk ^ 0, нулевым по мере сг средним значением (ho = 0) и неотрицательный при — 1 < t < А, Аб (-1,1).

Спрашивается, сколь велико может быть число Л? Эта величина обозначается Bs(a). В работе [86] установлена оценка B2q(a) ^

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) B2q+l{a)^t2(Qq+l)

2) если система многочленов {Р/} удовлетворяет условию Крейна, то многочлен 2 и (Л Рд+\{ч t - U(pq+l))(t - t2(Pq+l)Y предложенный в работе [86], является допустимым в задаче B2q(a) * B2q{a) = t2{Pq+ly,

3) если а) система многочленов {Qi} удовлетворяет условию Крейна или б) система многочленов {Pi} удовлетворяет условию Крейна и Pi(-t) = (-1 )lPi{t), то многочлен h = (l+t)Q2q+l(t) t-U(Qq+l))(t-t2(Qq+l)) является допустимым в задаче B2q+\(cr) и B2q+i{cr) = t2{Qq+\).

Утверждение 2 верно для многочленов Якоби (Qi = pj*,l3+l) при а ^ (5 ^ -1/2, утверждение 3 — при а ^ /3 + 1 > 0 (случай а) или а = (5 ^ -1/2 (случай б).

Для многочленов Гегенбауэра Р^'а имеем полное решение задачи Bs(a). Утверждения 2, 3 также справедливы для дискретных многочленов Кравчука K™'q.

В п. 4.2.2 приводятся приложения задачи Bs(a). В работе [87] показано, что любой cos-Bs+i((j)-koa С на сфере Sп~х является s-дизайном, s е Z+. В этом случае мере da соответствуют многочлены Гегенбауэра Р?'а (а = (п - 3)/2). Поэтому, если d2q(Sn~l) = cos t2(P$), d2q+l(Sn~l) = cos t2(P^+l), то любой ds+\(Sn~l)-Koj\ С С Sn~l является s-дизайном.

Аналогичные результаты справедливы для FDNDF-полиномиаль-ных компактных метрических пространств. В частности, для пространства Хэмминга F™. Если d2q(W?) = \t2(K^)l d2q+l( F?) = ЫК--Щ] а;] — наименьшее целое число ^ х), то любой с/5+](Е^)-код С С F™ Г является s-дизайном. В некоторых случаях эта оценка достигается.

РОССИЙрКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

Например, для кодов Адамара в F^ (п = 41, I € N), являющихся (п/2)-кодами и 3-дизайнами.

В п. 4.2.3, используя результаты § 2.4, устанавливается оценка снизу мощности s-дизайна на КРОСП

Щ.,М)*А1,,а.П = —(16) а, (3 — параметры КРОСП). Эта оценка обобщает известную нижнюю границу В. А. Юдина [88] для сферических дизайнов

N{s,Sn) > A{s,a,a) (а = п/2-1). (17)

Оценка (16) сравнивается с оценкой В. И. Левенштейна

N{s,M)>L{s,a,(3) = +1)/2] Д [з/2] f[(s+ 1)/2]+/?\

V К*+0/2] J которая в свою очередь обобщает классическую нижнюю границу Дельсарта-Геталса-Зейделя для сферических дизайнов

N{s,Sn)> L{s,a,a).

При фиксированном п

A(s,a,(3) Г2(п/2+1) , , L(s,a,fl) (дп/2/4)п [S ^

Для п > 1 отношение (18) ведет себя как тт(А/е)п > 1. Таким образом, при фиксированном п и s —> оо оценка A(s,a,(3) лучше оценки L(s,a,/3) на экспоненциально растущий от размерности множитель. Оценка N(s, М) следует из неравенства jo где оо f(t) = Y/fkPk'4t)eC[-1,1], S> О, Д< О (fe^s+1). к—О

Задача нахождения для таких функций / максимума отношения

J о называется экстремальной задачей Дельсарта.

Оценки Дельсарта-Геталса-Зейделя {а = {3) и Левенштейна были получены в варианте для многочленов, когда Д = 0 (к ^ s + 1). Оценка

17) получена уже на функции с малым носителем на [—1,1]. Оценка (16) также получается на функции, которая обобщает конструкцию функции в оценке (17). Ее конструкция близка к конструкции экстремальной функции уа в интегральной задаче Дельсарта из § 2.4 и использует свойства обобщенной свертки, определяемой с помощью оператора обобщенного сдвига для многочленов Якоби.

В § 4.3 приводится связь одномерной задачи Турана A(h) с экстремальной задачей Монтгомери [127], которая заключается в нахождении для К С N величины

5{К) = inf to, где inf берется по всем неотрицательным четным тригонометрическим многочленам t(x) = tQ -f ^ tk cos (27Гkx) кек произвольной степени со спектром в К, для которых f(0) = 1. Эта задача связана с множествами ван дер Корпута, которые в свою очередь важны в вопросах теории чисел о равномерном распределении последовательностей на торе Т.

В [127], в частности, приведено решение задачи 5(К) для множеств

К={ 2,3}, K°q = {\,.,q-\} (q = 2,3,.), Kq = qZ+ + K°q.

Эти результаты допускают обобщение. Пусть р, q имеют тот же смысл, что и в задаче Турана A(p/q),

K°Ptq = {p,.,q-p}, Km = qZ+ + K°Piq.

Теорема 4.3.1. Справедливы равенства A(p/q) = 5(КМ) = 5(K°p<q).

Доказательство неравенства S(Kpq) < A(p/q) использует результаты В. И. Иванова и Ю. Д. Рудомазиной, полученные при решении задачи Турана A(p/q). Экстремальный многочлен представляется в виде р-1

EFq-i(x + rk/q) + Fq-\{x - Tk/q) ak g ' fc=0 где Fq-1 — многочлен Фейера порядка q - 1, a^ > 0, — некоторые i> целые числа. fix)

1. Андреев Н.Н. Экстремальные задачи для периодических функций с малым носителем // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1997. № 1. С. 29-32.

2. Андреев Н.Н., Конягин С.В., Попов А.Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №3. С. 323-332; Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 479-479.

3. Арестов В.В., Бабенко А.Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44-73.

4. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере Ь2 // Изв. вузов. Сер. Математика. 1995. Т. 399, №8. С. 13-20.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.

6. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39, №5. С. 651-664.

7. Бабенко А. Г. Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке // Матем. заметки. 1988. Т. 43, №3. С. 460-472.

8. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №3. С.333-355.

9. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для ^-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 68, № 6. С. 27-52.

10. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 182-198.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

12. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Ьр // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 13-16.

13. Berdysheva Е.Е. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V. 3, №4. P. 393-402.

14. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, №3. С.336-350.

15. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1966.

17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1966.

18. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М: Наука, 1991.

19. Горбачев Д. В. Точные константы Джексона на группе SU(2) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 14-27.

20. Горбачев Д. В. Неравенство Джексона в пространстве /P(Z") И Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, №3. С. 44-50.

21. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lv на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 50-62.

22. Горбачев Д. В. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1999. Т. 5, вып. 1. С. 38-50.

23. Горбачев Д. В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствах // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 3. С. 33-37.

24. Горбачев Д. В. Две экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Труды Межд. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999. С. 77-93.

25. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, №2. С. 179-187.

26. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Шп шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 71-78.

27. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, №3. С. 346-352.

28. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, №5. С. 773-778.

29. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между Си L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, №1. С. 132-134.

30. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами на сфере // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 50-53.

31. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, №5. С. 688-700.

32. Горбачев Д. В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в Ь2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 54-58.

33. Горбачев Д. В., Столярова О. А. Новые нижние оценки наилучшей константы в неравенстве между С- и L-нормами для тригонометрических полиномов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 54-61.

34. Горбачев Д. В., Странковский С. А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 2006. Т. 80 (в печати).

35. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования. — М.: Мир, 1976.

36. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, №5. С. 1013-1016.

37. Иванов В. И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, №2. С. 15-40.

38. Иванов В.И., Рудомазина Ю.Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941-945.

39. Иванов В.И., Смирнов О.И. О теореме Джексона в пространстве /2(^2) И Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 390-405.

40. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ. 1995.

41. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона в пространствах Ь2 на метрических компактах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 93-118.

42. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона в пространстве /2(^2) // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 183-210.

43. Иванов В.И., Тюрюканов А.А. Константы Джексона в пространствах 1Р на конечных множествах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 108-136.

44. Кабатянский Г.А., Левенштейн В.И. О границах для упаковок на сфере и в пространстве // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3-25.

45. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.

46. Коне ей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990; Conway J. Н., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups, third edition. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

47. Корнейчук H. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, №3. С. 514-515.

48. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. — М.: Наука, 1976.

49. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Физматгиз, 1959.

50. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. 1979. Т. 245. С. 1299-1303.

51. Левенштейн В. И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 43-110.

52. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956.

53. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. — М.: Наука, 1973.

54. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. — М.: Наука, 1970.

55. Маношина А.С. Решение экстремальной проблемы Турана при помощи задачи линейного программирования // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 2000. Т. 6, вып. 3. С. 113-116.

56. Маркушевич A.M. Теория аналитических функций. Т. 2. — М.: Наука,1968.

57. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Mn) и Lp,a(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44-70.

58. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lv(Kn), LPi\(R+) 1 ^ р < 2 // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 97-101.

59. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука,1969.

60. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.

61. Петрова И. В. Некоторые вопросы теории Ь2-приближений на гиперболоиде // ДАН СССР. 1990. Т. 310, № 2. С. 298.

62. Платонов С. С. Приближение на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Матем. сб. 1997. Т. 188, №5. С. 113-130.

63. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.

64. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. № 6. С. 65-73.

65. Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на гиперболоиде // Труды ИММ УрО РАН. 1997. Т. 5. С. 254-266.

66. Роджерс К. Укладки и покрытия. — М.: Мир, 1968.

67. Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.

68. Сидельников В.М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, №3. С. 17-30.

69. Смирнов О. И. Константы Джексона в пространстве l2(Z2) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 191-219.

70. Справочник по специальным функциям // Под. ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

71. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.

72. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // В кн. «Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика». — М.: Наука, 1998. С. 244-245.

73. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979.

74. Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов// УМН. 1965. Т. 20, №3. С. 205-211.

75. Тайков Л.В. О наилучшем приближении ядер Дирихле // Матем. заметки. 1993. Т. 53, №6. С. 116-121.

76. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964.

77. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.: Мир, 1975.

78. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. — М.: Мир, 1975.

79. Черных И. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИ АН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

80. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,27т) с точной константой // Труды МИАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

81. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона в // Матем. заметки. 1981. Т. 29, №2. С. 309-315.

82. Юдин В. А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т. 1, №2. С. 155-158.

83. Юдин В. А. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Матем. сб. 1996. Т. 187, № 11. С. 1721-1736.

84. Юдин В. А. Код и дизайн // Дискр. матем. 1997, вып. 2. С. 3-11.

85. Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 453-463.

86. Юдин В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61, №3. С. 213-223.

87. Arestov V. V., Babenko A.G. Continuity of the best constant in the Jackson inequality in L2 with respect to argument of modulus of continuity // Approx. Theory: A vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13-23.

88. Benedeck A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J. 1961. V. 28. P. 301-324.

89. Blichfeldt H.F. The minimum value of quadratic forms and the closest packing of spheres // Math. Ann. 1929. V. 101. P. 605-608.

90. Blichfeldt H.F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables // Math. Z. 1934. V. 39. P. 1-15.

91. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. V. 12. P. 189-206.

92. Chernykh N.I., Arestov V. V. On the ./^-approximation of periodic functions by trigonometric polinomials // Approximation and functions spaces. Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.

93. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V. 6. P. 329-353; 2001. arXiv: math.MG / 0110010.

94. Cohn H., Elkies N. New upper bounds on sphere packings I // Ann. Math. 2003. V. 157. P. 689-714; 2001. arXiv: math.MG / 0110009.

95. Cohn H., Kumar A. Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices // 2004. arXiv: math.MG / 0403263.

96. Cohn H., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // 2004. arXiv: math.MG / 0408174.

97. Cohn #., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 10. P. 58-67.

98. Delsarte Ph. Bounds for unrestricted codes by linear programming // Philips Res. Rep. 1972. V. 2. P. 272-289.

99. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and design // Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.

100. Elkies N.D. Lattices, linear codes, and invariants, parth I // Notices of the AMS. 2000. V. 47, № 10. P. 1238-1245.

101. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. Math. 1916. V. 146. P. 53-82.

102. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involving zeros of bessel functions // Math, of Сотр. 1993. V. 60, № 201. P. 303-316.

103. Gasper G. Linearization of the product of Jacobi polynomials. I // Canad. J. Math. 1970. V. 2, № 1. P. 171-175.

104. Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Th. 1998. V. 92. P. 267-279.

105. Gorbachev D. V. Integral problem of Konyagin and (C, L)-constants of Nikol-skii I/ Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P.S117-S138.

106. Gorbachev D. V. Improvement Taykov's lower bound in an inequation between C- and L-norms for trigonometric polynomials // 2002. arXiv: math.CA/0211 291.

107. Gorbachev D. V., Manoshina Л.5. Turan Extremum Problem for Periodic Function with Small Support // 2002. arXiv: math.CA/0211 291.

108. Gorbachev D. V., Manoshina A.S. Relation between Turan extremum problem and van der Corput sets I I 2003. arXiv: math.CA/0312320.

109. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Сотр. 1995. V. 64. P. 715-725.

110. Hales T. Sphere packing IV // 1998. arXiv: math.MG / 9811076.

111. Ivanov V.I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu.D. Some Extremal Problems for Periodic Functions with Conditions on Their Values and Fourier Coefficients // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P.S139-S159.

112. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Sum-men gegebener Ordnung: Diss. Gottingen, 1911.

113. Kolountzakis M., Revesz S. G. Turan's extremal problem for positive definite functions on groups // arXiv: math.CA/0312218 vl 10 Dec 2003.

114. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

115. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25, № 2. P. 236-246.

116. Koornwinder T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5, № 1. P. 125-137.

117. Levenshtein V.I. Designs as maximum codes in polynomial metric spaces. Acta Appl. Math. 1992. V. 29. P. 1-82.

118. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs Ц In Handbook of Coding Theory, V. S. Pless and W. С. Huffman Eds. — Amsterdam: Elsevier, 1998.

119. Levenshtein V.I. On designs in compact metric spaces and a universal bound on their size // Discrete Math. 1998. V. 192. P. 251-271.

120. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.

121. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, №2. P. 253-257.

122. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.1.. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, №2. P. 253-257.

123. Milovanovic G.V., Mitrinovic D.S., Rassias Th.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong: World Scientific Publ. Co., 1994.

124. Montgomery H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.

125. Potapov M.K. The operators of generalized translation in the approximation theory // Proc. of the II Math. Conf. in Pristina. Pristina, 1997. P. 27-36.

126. Zong C. Sphere Packings. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999. applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

127. Gautschiy W. Orthogonal Polynomials and Quadrature // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1999. V. 9. P. 65-76.