Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на евклидовой сфере тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. На правах рукописи УДК 517.518.8

Дейкалова Марина Валерьевна

Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на евклидовой сфере

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0034568 Ю

Екатеринбург 2008

003456810

Работа выполнена1 на кафедре математического анализа и теории функций Уральского государственного университета им. А. М. Горького, г. Екатеринбург

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

А. Г. Бабенко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

доктор физико-математических наук

А. Л. Лукашов В. Т. Шевалдин

Ведущая организация:

Тульский государственный университет

Защита диссертации состоится 22 декабря 2008 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО

РАН.

Автореферат разослан

рл ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.02, кандидат

физико-математических наук

Н. Ю. Антонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена нескольким взаимосвязанным экстремальным задачам для алгебраических многочленов на единичной сфере многомерного евклидова пространства.

Актуальность темы. Точные неравенства и другие экстремальные задачи для алгебраических многочленов и тригонометрических полиномов играют важную роль в теории приближения функций, теоремах вложения и других разделах математики. Экстремальные задачи для алгебраических многочленов на (многомерной) евклидовой сфере мало изучены. Они важны, помимо того, для исследования сферических кодов с различными оптимальными свойствами (см. [11]).

В диссертации изучаются несколько экстремальных задач для характеристической функций сферической шапочки единичной сферы Sm_1 евклидова пространства Rm, т > 2, на множестве алгебраических многочленов и задача о наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраических многочленов с нулевым средним значением на сфере.

Такие задачи на множестве Тп тригонометрических полиномов п

fn(t) = qq + У^ (afe cos kt + bk sin kt) k=l

заданного порядка n с вещественными коэффициентами изучали Л. В. Тайков, А. Г. Бабенко и Ю. В. Крякин. В работе [9] 1965 года JI. В. Тайков при исследовании наилучшей константы с(п) в неравенстве типа Джексона-Никольского

\\fn\\c^<c(n)\\fn\\L2„, fn € Тп, (1)

между равномерной и интегральной нормами

ll/nllca, = max{|/n(i)| : te R}, ||/„||ь27Г = - Г \fn(t)\dt

7Г J О

тригонометрического полинома рассмотрел функционал (

Ffn = - [h fn(t)dt, h = , fn е Tn,

тг J-h 2(n +1) ч ^.

3 1

и вычислил норму с(п) этого функционала на подпространстве Тп, п > 1, с нормой пространства Z^, т. е. нашел наименьшую константу с(п) в неравенстве

|F/„|<c(n)||/n|U2x, /п е Тп. (2)

А именно, он доказал, что при любом п > 1 имеет место равенство с(п) = 1/2 и полином

fn(t) = (cos (п + 1 )tj • (cost- cos

является экстремальным в неравенстве (1).

В 1963 г. в докладе на семинаре С. Б. Стечкина в Свердловском отделении математического института им. В. А. Стеклова АН СССР Л. В. Тайков поставил еще одну экстремальную задачу для тригонометрических полиномов, возникшую у него в связи с исследованием некоторых экстремальных задач (в частности, наилучшей константы в неравенстве (1)). Пусть есть множество полиномов fn € Тп, имеющих нулевое среднее значение на периоде:

1 Г

ао = — у fn(t)dt = 0.

Для полинома /п G рассмотрим меру его множества неотрицательности

Ai(/„) = mes {t е [-7Г, тг] : /„(t) > 0}.

Задача Тайкова состоит в вычислении наименьшего значения этой меры

r(n) = inf{/x(/n): /nGT?}. (3)

Задачу (3) решил А. Г. Бабенко в 1983 г.; а именно, он доказал [2,3], что т(п) = ^ и экстремальным является полином

fn (*) = (cos *) (cos Ъ ~ cos ^тт)

(4)

Как пишет А. Г. Бабенко [3], гипотезу об экстремальности полинома (4) в задаче (3) высказывали ранее С. Б. Стечкин и Н.И.Черных.

В диссертации изучаются аналоги задач Л. В. Тайкова (2) и (3) для алгебраических многочленов на единичной сфере §т-1 пространства Кт. При т = 2 эти задачи для алгебраических многочленов (от двух переменных на единичной окружности) эквивалентны задачам (2) и (3) для тригонометрических полиномов. При других значениях т решение соответствующих многомерных задач неизвестно.

В работах А. Г.Бабенко и Ю.В.Крякина [4,5] изучалось, в частности, наилучшее интегральное приближение на периоде характеристической функции интервала (—к, к) тригонометрическими полиномами заданной степени. В диссертации исследуется аналогичная задача о приближении характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, алгебраическими многочленами.

Цель работы. Исследовать (1) норму функционала, являющегося интегралом по сферической шапочке заданного углового радиуса на множестве алгебраических многочленов порядка п на единичной сфере с нормой пространства функций, суммируемых на сфере; (2) наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве измеримых, существенно ограниченных на сфере функций подпространством, ортогональным пространству многочленов; (3) наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, самим пространством многочленов; (4) задачу Тайкова о наименьшем значении меры множества неотрицательности многочлена степени п на единичной сфере евклидова пространства размерности т с нулевым средним значением на сфере.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, функционального анализа и теории приближения функций. Многомерные задачи главы 1 на сфере с помощью некоторой процедуры усреднения сводятся к одномерным задачам для алгебраических многочленов на отрезке.

При исследовании соответствующих одномерных задач используются результаты и идеи работ Л. В. Тайкова [9, 10], А.Г.Вабенко и Ю.В.Крякина [4,5], Д.В.Горбачева {7].

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.

1. Изучена задача о норме функционала, являющегося интегралом по сферической шапочке С (h) заданного углового радиуса arccos/i, — 1 < h < 1, на множестве алгебраических многочленов порядка « на единичной сфере m-мерного евклидова пространства с нормой пространства суммируемых функций на сфере и двойственная задача о наилучшем приближении характеристической функции сферической шапочки в пространстве измеримых, существенно ограниченных на сфере функций подпространством, ортогональным пространству многочленов. Найдено точное решение обеих задач для значения параметра h, являющегося наибольшим корнем многочлена одного переменного порядка n + 1с единичным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве функций, суммируемых на интервале (—1,1) с соответствующим ультрасферическим весом.

2. Найдено наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, самим пространством многочленов для значения радиуса шапочки, являющегося произвольным (необязательно наибольшим) корнем указанного многочлена одного переменного, наименее уклоняющегося от нуля.

3. В задаче о наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраического многочлена степени п на единичной сфере евклидова пространства размерности m с нулевым средним значением получены двусторонние оценки; эти оценки дают для значения задачи правильный порядок по п.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближения и теории функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих математических конференциях и научных семинарах: научный семинар под руководством профессора Wang Kunyang в Пекинском Нормальном университете (Пекин,

Китай, 2003 г.); Международная научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004, 2008 гг.); Международный семинар по экстремальным задачам в анализе Фурье в институте математики им. А. Реньи (Будапешт, Венгрия, 2005 г.); Международная летняя научная Школа С. Б. Стечкина по теории функций (Алексин, 2007 г.; Миасс, 2008 г.); 14-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2008 г.); научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в Институте математики и механики УрО РАН; научный семинар под руководством профессора В. В. Арестова в Уральском госуниверситете им. А. М. Горького.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12,13] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [14-18].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации - 61 страница. Список литературы содержит 30 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть Мт есть евклидово пространство размерности ш > 2 со скалярным произведением ху = х\у\ + ... + хтут, х ~ (XI,..., хт), у = (уь..., ут), и нормой |ж| = у/хх. В пространстве Мт рассмотрим единичную сферу §т-1 = {х € К"1 : \х\ = 1} с центром в начале координат. С помощью числа/г, —\<к< 1, определим множество С (К) = С(/г, ет) = {х = (#1,..., хт) 6 Б"1-1 : хт > й}, являющееся сферической шапочкой с центром в «северном полюсе» ет = (0,..., 0,1) сферы углового (сферического) радиуса в = атасов к.

Сделаем несколько замечаний относительно рассматриваемых в диссертации интегралов по следующим множествам: шар Вт(г) = {ж € Кт : \х\ < г} радиуса г с центром в начале координат пространства Мт, сфера 5т-1(г) = {х € Кт : |х| = г} радиуса г пространства или, более общо, шар В*(г) и сфера в*-1 (г) некоторого линейного подпространства размерности к,

2 < fc < m, в частности, единичный шар Bm = Bm(l), и единичная сфера Sm_1 = §т-1(1). На каждом из этих множеств И рассматривается классическая мера Лебега (соответствующей размерности). Для измеримого подмножества Е С И через |2?| условимся обозначать (соответствующую) меру множества Е. Пусть L(E) есть пространство функций, измеримых и суммируемых на Е\ для функции / 6 L(E) ее интеграл (Лебега) по множеству Е будет записываться в виде I f(x)dx. Впрочем, ни-

JE

же в большинстве случаев интегралы можно понимать в римановском смысле (относительно соответствующей меры Жорда-на). Предполагается, что пространство L(E) наделено нормой

!I/IIl(£) = / \}{x)\dx. На множестве В мы будем рассматри-JE

вать еще пространство Loa(E) измеримых существенно ограниченных функций с нормой ||/||¿о«,(s) = esssup{|/(x)| : х € Е}.

Обозначим через ^Рп,т множество алгебраических многочленов

■Рп(З') = ^ ] саха,

|а| = ai + • • • + am < n, а = (ai,... ,Qm) £ "Щ

Xa~X°1X22—xrn"i I = (li,...,%) 6Em,

порядка (не выше) n от m (вещественных) переменных с вещественными коэффициентами са.

Обзор результатов главы 1. В пространстве "Рп,т определим линейный функционал F = F(h), —l<h<l, формулой

F{h)Pn = / Pn{x)dx, Рп 6 Vn,m. (5)

JC{h)

Нас интересует норма i\m{h) функционала (5) на пространстве Vn,m с нормой пространства L(Sm_1), т.е. величина

Ь'п.т, (h) = sup{\F(h)Pn\ '• Рп £ 'Pn,mt l|fn|k(S»-i) < П. (6) являющаяся наименьшей константой в неравенстве

Рп ^ "Рп,т• (7)

Л. В. Тайков получил решение задачи (2) (а также ряд других результатов) с привлечением двойственной задачи [9,10]. В диссертации для исследования наилучшей константы в неравенстве (7) применен аналогичный подход.

Сформулируем двойственную задачу. Функционал (5) определяется характеристической функцией

Ш ) \ О, М

сферической шапочки С(/г), а именно

Рп £ 'Рп,т-

Пусть Тп,т есть подпространство функций из Ьоо (Б™-1), ортогональных пространству многочленов Р„1т, т.е. множество всех функций <р е Ь00(§тп-1), обладающих свойством

<р{х)Рп(х)йх = 0,

Рп € "Рп,т•

/

А"

(9)

/§т-1

Рассмотрим наилучшее приближение

= ^п,т(Хь) = "(Х^Рп.т) = = - уЦьсоСВ—1) : Ч> € Рп,т}

в ¿оо(Зт-1) функции хь подпространством

Пусть qn+l — дп+1^т есть алгебраический многочлен порядка п + 1 (со старшим коэффициентом, равным 1), наименее уклоняющийся от нуля в пространстве Ь^ (—1,1) функций, суммируемых на интервале (—1,1) с ультрасферическим весом

№) = ф1°Щ = (1-1?)*, а = а(т) = ~^. (10)

Известно, что все нули многочлена qn+l простые и лежат на (—1,1); пусть ¿(п, т) - наибольший из них. Функция

является алгебраическим многочленом порядка щ как показано в диссертации, этот многочлен (при соответствующей нормировке) будет экстремальным в нескольких задачах.

9

Функцию Ф : §т_1 —► К называют зональной, если найдется функция <р : [—1,1] —> М и точка у € §т_1 такие, что Ф(х) = <р(ху), х = (х1,...,хт) € 8Ш-1. В частности, если у = ет — (0,...,0,1), то Ф(ж) = <р(.хт)] в этом случае каждую из функций Ф и <р будем называть зональной функцией (одного) переменного хт.

Одним из основных в диссертации является следующее утверждение.

Теорема 1. При всех т > 3, п > 0 для значения Н = £(п, т) справедливы следующие утверждения:

1) имеют место равенства

"п,т&(п,т)) = шп>т(г(п,т)) =

2) многочлен дп,т > определенный равенством (11), и функция <рп,т = (1/2)з1цпдп+1, как зональные функции одного переменного £ = хт, х = (х1,..., хт) € §т-1, являются экстремальными соответственно в задачах (7) и (9).

Наряду с (9) в первой главе диссертации рассматривается наилучшее приближение

еп,т(Ь) = еПгт(Хн) = - = РП € Гп,т} (12)

в пространстве £<(§т-1) характеристической функции (8) шапочки С(к) подпространством ТПут алгебраических многочленов. Положим

где константа А выбрана из условия 5„>т(1) == 1.

Теорема 2. При всех т > 3, тг > 0 для значения к = £(п, т) справедливы следующие утверждения:

1) имеет место равенство е„)Ш(Л) = |С(Л)|;

2) при любом А, 0 < А < 1, многочлен А<?*т, определенный равенством (13), как зональный многочлен одного переменного £ = хт, х = (ж1,..., хт) е 8т-1, является экстремальным в задаче (12).

Для Я € (—1,1) на отрезке [—1,1] определим функцию

Обозначим через 0 < V < п, нули многочлена

<?п+ъ занумерованные в порядке возрастания. Пусть теперь 1 < к < п — 1. Для значений /г = Ь{к, т) будем обозначать функцию С/1 через Ск,т', это есть «ступенька» с разрывом в точке ¿(/с, тп). Пусть д\т- алгебраический многочлен порядка п — 1, который интерполирует функцию Ск,т в точках т), 0 < и < п, V ф к.

Теорема 3. Пусть т > 3, п > 2, I < к < п — 1. Тогда для значенья к = т) справедливы следующие утверждения:

1) имеют место формулы

2) многочлен т (порядка п — 1) как зональный многочлен одного переменного Ь = хт, х = (жь... ,хт) 6 §т-1, является экстремальным в задаче (12).

Опишем кратко распределение материала первой главы по параграфам. В § 1 обсуждается задача, более общая чем задача (5)-(7), и двойственная ей задача типа (9). В §2 задачи, несколько более общие, чем (5)-(7) и (9) с помощью некоторой процедуры усреднения сводятся к соответствующим одномерным задачам. Основной целью § 3 является изучение задачи (12); для этого вначале исследуется соответствующая одномерная задача на отрезке. В §4 выписано решение задачи (5)-(7), двойственной ей задачи (9) и соответствующих одномерных задач для значения радиуса шапочки, равного наибольшему корню Ь(п,т) многочлена дп+1!т.

*е[М];

4 е [-1,Л).

I signgrг+l(a;то)dx = с(а)

I Jh

1

Обзор результатов главы 2. Пусть есть подпространство многочленов Рп € Т^т, удовлетворяющих условию

[ Рп(х)сЬ = 0, (14)

,/§т-1

т.е. имеющих нулевое среднее значение на сфере §т_1. Для многочлена Р € рассмотрим множество его неотрицательных значений

Е+(Р) = {хе8т~1 : Р(х) > 0} на сфере и ((т—1)-мерную поверхностную, классическую) меру

этого множества. Нас интересует наименьшее значение

т(п,т) = М{М(Р): РеЯ®т> (15)

меры множества неотрицательности алгебраических многочленов с нулевым средним значением на многомерной сфере.

Будем рассматривать также аналогичную (15) задачу на множестве 2п,т зональных многочленов из "Рп,т- Рассмотрим подмножество т = 2п>т П "Р„)ТП зональных многочленов с нулевым средним значением на сфере. Задача состоит в нахождении величины

*(п, т) = ЫЫР) ■ Р 6 2п,тЬ (16)

очевидно,

т(п, тп) < г(п, тп). (17)

При тп = 2 величина т(п, 2) совпадает с т(п); таким образом, т(п, 2) = т(п) = 27г/(п+1). Решение задачи (15) при других значениях тп неизвестно.

Точное значение г(п,тп) (для всех п) известно лишь при 7тг = 2 и тп — 3. При тп = 2 величины г(п, 2) и т(п, 2) совпадают, поскольку экстремальный полином (4) в задаче (3) является четным. Решение задачи (16) при т = 3 может быть получено с помощью результата В. В. Арестова и В.Ю. Раевской [1] для алгебраических многочленов на отрезке.

12

Основным результатом главы 2 является следующее утверждение.

Теорема 4. При т > 3 существуют положительные константы Ат и Вт такие, что при всех п > 1 выполняются неравенства

^<г(п,т)<*(п,т)< (18)

Эта теорема дает правильный порядок поведения величин т(п, т) и г(п, т) по п при п —► +оо для фиксированного т.

В § 1 главы 2 получена информативная оценка сверху для величины (16), а как следствие, и (15); в частности, выписано конкретное значение величины Вт. Это делается с помощью конкретного многочлена, конструкция которого восходит к С. Н. Бернштейну [6|. В § 2 получена конструктивная оценка снизу; в этих рассуждениях используется известный результат С. Б. Стечкина [8] типа теоремы сравнения для тригонометрических полиномов.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Александру Григорьевичу Бабенко за постановку задач и заинтересованное отношение к исследованиям.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Арестов, В. В. Одна экстремальная задача для алгебраических многочленов с нулевым средним значением на отрезке / В. В. Арестов, В. Ю. Раевская // Матем. заметки. -1997. - Т. 62, №3. - С. 332-342.

[2] Бабенко, А. Г. Точная константа в одном неравенстве слабого типа для полиномов / А. Г. Бабенко // Тез. докл. Меж-дунар. конф. по теории приближения функций (СССР, Киев, 30 мая - 6 июня 1983 г.). Киев : Ин-т матем. Акад. Наук УССР, 1983. - С. 11.

[3] Бабенко, А. Г. Об одной экстремальной задаче для полиномов / А. Г. Бабенко // Матем. заметки. - 1984. - Т. 35, №3. - С. 349-356.

[4] Бабенко, А. Г. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике / А. Г. Бабенко, Ю.В.Крякин // Изв. ТулГУ. Сер. Ма-тем. Мех. Информ. - 2006. - Т. 12, № 1. - С. 27-56.

[5] Бабенко, А. Г. Интегральное приближение характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами / А.Г.Бабенко, Ю.В.Крякин // Тр. ин-та матем. мех. - 2008. - Т. 14, №3. - С. 19-37.

[6] Бернштейн, С. Н. О формулах квадратур Котеса и Че-бьппева / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: В 4т. Т. 2. - М. : Наука, 1954. - С. 200-204.

[7] Горбачев, Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения / Горбачев Д. В. - Тула : Изд-во «Гриф и К», 2005.

[8] Стечкин, С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // Избр. тр. Математика. - М. : Наука ; Физматлит, 1998. - С. 15-18 (Докл. АН СССР. - 1948. - Т. 60, №9. - С. 1511-1514).

|9] Тайков, JI. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов / Л. В. Тайков // Успехи матем. наук. - 1965. - Т. 20, №3. - С. 205-211.

[10] Тайков, JI. В. О наилучшем приближении ядер Дирихле / Л. В. Тайков // Матем. заметки. - 1993. - Т. 53, №6. -С.116-121.

[И] Юдин, В. А. Покрытия сферы и экстремальные свойства ортогональных многочленов / В.А.Юдин // Дискретная математика. - 1995. - Т. 7, №3. - С. 81-88.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[12] Дейкалова, М. В. Об одной экстремальной задаче для алгебраических многочленов с нулевым средним значением на многомерной сфере / М. В. Дейкалова // Известия Урал. гос. ун-та. Серия Математика и механика. - 2006. -Т. 44, №9. - С. 42-54.

[13] Дейкалова, М. В. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере / М. В. Дейкалова // Матем. заметки. - 2008. - Т. 84, вып. 4. - С. 532-551.

[14] Дейкалова, М. В. Задача Тайкова для алгебраических многочленов на многомерной сфере / М. В. Дейкалова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач : тез. докл. всерос. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 г. - Екатеринбург : Изд-во Урал ун-та, 2004. - С. 42-43.

[15] Дейкалова, М.В. Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере / М. В. Дейкалова // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы : Материалы Восьмой междунар. Казанской летней науч. школы-конференции, Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 35. - Казань : Изд-во Ка-занск. матем. об-ва, 2007. - С. 96-98.

[16] Deikalova, M.V. Some extremal problems for algebraic polynomials on multidimensional Euclidean sphere / M. V. Deikalova // Second Workshop on Extremal Problems in Fourier Analysis (Renyi Institute, Budapest, 18-24 September, 2007). - Budapest : Alfred Renyi Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences, 2007. - P. 6-8.

[17] Дейкалова, М.В. Несколько экстремальных задач для алгебраических многочленов на сфере / М. В. Дейкалова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 14-й Сарат. зимней школы. - Саратов : Изд-во Саратов, ун-та, 2008. - С. 64-66.

[18] Дейкалова, М. В. Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на сфере / М. В. Дейкалова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач : тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 1-6 сент. 2008 г. - Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2008. - С. 59.

/

Подписано в печать 14.11.08 Формат 60 х 84 1/16. Бумага типографская. Усл. печ. л. 1

Тираж 100 экз. Заказ № Печать офсетная

Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51. Типолаборатория УрГУ

Список обозначений

Введение

Глава 1. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере

§ 0. Введение.

§1. Общие соображения. Двойственная задача.

§ 2. Редукция к одномерным задачам.

§ 3. Аппроксимационная задача.

§ 4. Норма функционала Тайкова и двойственная задача.

Глава 2. О наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраических многочленов с нулевым средним значением на сфере

§ 0. Введение.

§ 1. Оценка сверху

§ 2. Оценка снизу.

Диссертация посвящена нескольким взаимосвязанным экстремальным задачам для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Арестов, В. В. Одна экстремальная задача для алгебраических многочленов с нулевым средним значением на отрезке /B. В. Арестов, В. Ю. Раевская // Матем. заметки. 1997. - Т. 62, №3. - С. 332-342.

2. Бабенко, А. Г. Точная константа в одном неравенстве слабого типа для полиномов / А. Г. Бабенко / / Тез. докл. Между нар. конф. по теории приближения функций (СССР, Киев. 30 мая б июня 1983 г.). Киев : Ин-т матем. Акад. Наук УССР, 1983. - С. 11.

3. Бабенко, А. Г. Об одной экстремальной задаче для полиномов / А. Г. Бабенко // Матем. заметки. 1984. - Т. 35, № 3. - С. 349-356.

4. Бабенко, А. Г. Экстремальные свойства полиномов и точные оценки среднеквадратичных приближений : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 03.06.87 : утв. 04.11.87 / Бабенко Александр Григорьевич. Свердловск, 1987.

5. Бабенко, А. Г. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике / А. Г. Бабенко, Ю. В. Крякни // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Информ. 2006. -Т. 12, №1. - С. 27-56.

6. Бабенко, А. Г. Интегральное приближение характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами / А. Г. Бабенко, Ю. В. Крякип // Тр. ин-та матем. мех. 2008. - Т. 14, №3. С. 19-37.

7. Бернштейн, С. Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке / С. Н. Бернштейн // Собр. соч. : В 4т. Т. 2. М. : Наука, 1954.C. 7-107.

8. Бернштейн, С. Н. О формулах квадратур Котеса и Чебышева / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: В 4т. Т. 2. М. : Наука, 1954. -С.200-204.

9. Виленкин, Н. Я. Специальные функции и теория представлений Н. Я. Виленкин. М. : Наука, 1991.

10. Горбачев, Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения / Горбачев Д. В. Тула : Изд-во «Гриф и К», 2005.

11. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н.Данфорд, Дж. Т. Шварц. М. : УРСС, 2004.

12. Даугавет, И. К. Введение в теорию приближения функций / И. К. Даугавет. Л. : Изд-во ЛГУ, 1977.

13. Корнейчук, Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н.П.Корнейчук. М. : ГИФМЛ, 1976.

14. Коркин, А.Н. Сочинения. Т. 1. / А. Н.Коркин. С.-Пб. : Физ.-мат. факультет Императорского С.-Петербургского ун-та, 1911.

15. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere. М. : ГИФМЛ, 1962.

16. Стечкин, С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштей-на / С. Б. Стечкин // Избр. тр. Математика. М. : Наука ; Физ-матлит, 1998. - С. 15-18 (Докл. АН СССР. - 1948. - Т. 60, №9. -С. 1511-1514).

17. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. М. : Наука ; Физматлит, 1979.

18. Тайков, Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов / Л. В. Тайков // Успехи матем. наук. 1965. -Т. 20, №3. - С. 205-211.

19. Тайков, JI. В. О наилучшем приближении ядер Дирихле / Л. В. Тайков // Матем. заметки. 1993. - Т. 53, №6. - С. 116-121.

20. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : В Зт. Т. 3. / Г. М. Фихтенгольц. СПб. : Изд-во «Лань», 1997.

21. Юдин, В. А. Покрытия сферы и экстремальные свойства ортогональных многочленов / В. А. Юдин // Дискретная математика. -1995. Т. 7, №3. - С. 81-88.

22. Chambers, LI. G. An upper bound for the first zero of Bessel functions / LI. G. Chambers // Mathematics of Computation. 1982. Vol. 38, № 158. P. 589-591.

23. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Grundlehren Math. Wiss. Vol. 333. / R.A.DcVore, G. G. Lorentz. -Berlin : Springer-Verlag, 1993.Список работ автора

24. Дейкалова, М. В. Об одной экстремальной задаче для алгебраических многочленов с нулевым средним значением на многомерной сфере / М. В. Дейкалова // Известия Урал. гос. ун-та. Серия Математика и механика. 2006. - Т. 44, № 9. - С. 42-54.

25. Дейкалова, М. В. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере / М. В. Дейкалова // Матем. заметки. 2008. - Т. 84, вып. 4. -С.532-551.

26. Дейкалова, M. В. Несколько экстремальных задач для алгебра' ических многочленов на сфере / М. В. Дейкалова // Современныепроблемы теории функций и их приложения : тез. докл. 14-й Сарат. зимней школы. Саратов : Изд-во Саратов, ун-та, 2008. - С. 64-66.