Точные неравенства для алгебраических многочленов на отрезке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Симонов Иван Евгеньевич

ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ НА ОТРЕЗКЕ

01.01.01 — веществепный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ДЕК 2014

Екатеринбург 2014 г.

005556774

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Арестов Виталий Владимирович

Официальные оппоненты: Иванов Валерий Иванович, доктор

физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математики и компьютерных наук ФБГОУ ВПО «Тульский государственный университет», г. Тула.

Лукашов Алексей Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и приближений механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского», г. Саратов

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский

государственный университет» (национальный исследовательский университет), г. Челябинск.

Защита состоится «24» декабря 2014 г. в / О на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 на базе ФГВУН «Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН» (620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики и на сайте ИММ УрО РАН http://www.imm.uran.ru/C16/Diss/

Автореферат разослан « ¿У» // 2014 :

Ученый секретарь диссертационного совета

Скарин В.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации изучаются точные неравенства Маркова-Никольского для алгебраических многочленов на отрезке, а именно, неравенства между равномерной нормой ¿-той производной многочлена степени п и интегральной нормой многочлена без веса и с чебышевским весом. В качестве вспомогательной задачи, представляющей и самостоятельный интерес, решается задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве полиномов фиксированного порядка с интегральной нормой, по классу функционалов, коэффициенты которых ограничены заданными неотрицательными числами.

Точные неравенства для полиномов и их производных являются классическим разделом теории функций. Впервые они появились как инструмент исследования возможностей приближения функций алгебраическими и тригонометрическими полиномами в равномерной норме в работах П.Л. Чебышева, братьев A.A. и В.А. Марковых, С.Н. Бернштейна. Развитие теории приближения и широкое применение полиномов в математике стимулировало изучение таких неравенств в других метриках и для других операторов, отличных от оператора дифференцирования. В 20 веке этой тематике посвящено большое число исследований М. и Ф. Риссов, Г. Сеге, С.Б. Стечкина, С.М. Никольского, JI.B. Тайкова, П. Неваи, В.И. Иванова, Б. Боянова, Ф. Пейерстофера, К.И. Рахмана, А. Кроо, A.JI. Лукашова и многих других (см. монографии [1—3] и приведенную там библиографию).

Обозначим через С^(п,£) точную (наименьшую возможную) константу в неравенстве Маркова - Никольского для алгебраических многочленов Р степени не выше п

Здесь и далее || • ||7jCr есть норма в пространстве Lq\— 1,1] с весом Якоби (1 — t2y, ^ 0.

В настоящее время выяснен порядок роста по п при

всех значениях р, q > 0, наиболее общие результаты в этом направлении принадлежат И.К. Даугавету, С.З.Рафальсону [4], В.И.Иванову [5] и C.B. Копягину [6]. Из них в частности вытекает, что

\\P(e)\\4,^c%(n,e)\\p\\p,s.

(1)

В случае q = р абсолютные оценки Сц'д получены Е. Хилле, Г. Сеге, Ю.Д. Тамаркиным (см. [1]).

Точные значения величины С^(п,£) и экстремальные многочлены в неравенстве (1) при q ^ р известны лишь в нескольких случаях. Братья A.A. и В.А. Марковы [7,8] доказали, что при q — р = оо и 5 = а = 0 экстремальным является многочлен Чебы-шева первого рода (при п = 2 этот результат был ранее установлен Д.И. Менделевым). Случай р = q = 2 исследовали Е. Шмидт, Г. Милованович, П.Дорфлер, А.Кроо (см. [1,9]). Для q = оо, р — 2, а — <5 = 0 точную константу нашел Г. Лабель, А. Лупас обобщил результат на 5 ^ —1/2 [1]. П. Ю. Глазырина [10] решила задачу для q € [0, ос], р = 0, <х = 5 = 0. Отметим, что все эти результаты получены разными методами.

Задача об оценке производной порядка £ = п сводится к нахождению многочлена, наименее уклоняющегося от пуля в метрике || ■ ||Р)(5, с фиксированным старшим коэффициентом. Как известно, при р = со это многочлен Чебышева первого рода, при р = 2 — многочлен Лежандра, при />=1,5 = 0 — многочлен Чебышева второго рода. В метриках || ■ ||P)_i/2 таким многочленом является многочлен Чебышева первого рода [3, следствие 2.9.4].

При I = 0 неравенство (1) называется неравенством разных метрик или неравенством Никольского и является аналогом неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов, установленного С.М.Никольским [11]. В этом случае для q = оо, р € [1,оо), а = 0, 5 > О В.В. Арестов и М.В. Дейкалова [12] доказали, что экстремальным в (1) является многочлен, наименее уклоняющийся от нуля в метрике Lp с весом Якоби ip(t) = (1 — t)(l — t2)s.

Отдельный интерес представляет задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве тригонометрических полиномов фиксированного порядка с интегральной нормой по классу функционалов, коэффициенты которых (точнее, значения на гармониках) ограничены заданными неотрицательными числами. При решении этой задачи в диссертации используется результат Я.Л. Геронимуса [13], сводящий поиск нормы функционала к нахождению наибольшего нуля определителя некоторой матрицы, построенной по коэффициентам функционала. Близкие результаты получены также Н.И. Ахиезером и М.Г. Крейпом [14, статья I, глава 3]. Я.Л. Геронимус и независимо Г.М. Голузин рассматривали апалогич-

ные задачи на классе аналитических функций в круге. В частности, Г.М. Голузин [15] решил задачу о наибольшем значении нормы линейного функционала на множестве аналитических функций с ограниченным средним модулем в единичном круге, по классу функционалов коэффициенты которых (точнее, значения на мономах zn) ограничены заданными неотрицательными числами. Несмотря на естественную связь тригонометрических полиномов и целых функций метод Голузина на случай тригонометрических полиномов не переносится.

В силу сказанного тема исследований является актуальной.

Цель работы. Получение точных неравенства типа Маркова-Никольского между равномерной нормой ¿-той производной алгебраического многочлена степени п и интегральной нормой многочлена без веса и с чебышевским весом. Решение задачи о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве тригонометрических полиномов и алгебраических многочленов фиксированного порядка с интегральной нормой по классу функционалов, коэффициенты которых ограничены заданными неотрицательными числами.

Методы исследования. В работе применяются методы вещественного и комплексного анализа, теории неотрицательных матриц.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении экстремальных свойств полиномов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были представлены на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (2011, 2013, 2014); международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В. К. Иванова (Екатеринбург, 2011); 42-45-й всероссийских молодежных школах-конференциях «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011-2014); международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2012); международной конференции «Constructive theory of functions» (Созополь,

Болгария, 2013); 17-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2014). Автор выступал с докладами по теме диссертации на научном семинаре под руководством профессора В. В. Арестова в Уральском федеральном университете (2011-2014).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в двух журналах из списка ВАК [16,17] и в тезисах конференций [18—24].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 63 страницы. Библиографический список содержит 58 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении даны базовые определения и обозначения, необходимые для изложения результатов диссертации. Описана история исследования неравенств типа Маркова—Никольского. Приведен обзор наиболее содержательных результатов, полученных в данной предметной области.

Обзор результатов главы 1.

Решается задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве тригонометрических полиномов и алгебраических многочленов фиксированного порядка с интегральной нормой по классу функционалов, коэффициенты которых ограничены заданными неотрицательными числами.

Пусть заданы натуральное число ш, неотрицательное целое число в, в < т. Зафиксируем набор из т + 1 неотрицательного числа

а* = (0,..., 0, а*т_е, ..., а*т), а*к > 0, к^т-в, а*к = 0, к<т-8,

и рассмотрим связанный с ним класс

А = Ат(а*) = {а = (0,..., 0, ат_5,ат) : |ак| < а%, к = 0,..., т}

упорядоченных наборов из то +1 вещественного числа. Найден максимум норм функционалов

т

Ф {С,а) =^акак,

к-О

по классу А на пространстве Тт тригонометрических полиномов

т

G{6) = ^ (ак cos кв + рк sin кв)

к=О

порядка т с интегральной нормой. Обозначим

N s+i(L,a*)

о ••• о /

где числа ц%1_3{Ь),... определяются из разложе-

ния

tg {¿ (f+£ a*2fc)}=+

z + ... + ^m(L)zm + ■

Теорема 1. Для любого набора а = (а0, ■ ■ ■ ,ат), ак 6 К, со сеой-ством

< ак, к = т — в,..., то, ■и любого полипома С? ё \ {0} справедливо неравенство

где Ь* - наибольший корень уравнения с!е1;(]Чя+1(Ь) — Е.,+а) = 0.

Более того, число 1 является наибольшим собственным числом матрицы N^+1 (.£*), превосходит модули других собственных чисел имеет алгебраическую кратность 1, ему соответ-

ствует собственный вектор Ь = (Но,Лх,..., /г5)т с положительными координатами.

Неравенство (2) обращается в равенство в том и только в том случае, когда для некоторых £ € {—1,1} и и € {0,1} выполняются равенства

ак = (~1Ука1, к = т-в,...,тп,

и соответственно

С{в) = шСГ ((9 + итг), где и ф О,

з а т

СГ(0) = X] ^ СО!3((то - з - к)в) соз(А;0).

.7=0 &=0 А;=шах{0,т-2я}

77ри этом все нули полипома С* (в) вещественны и коэффициенты полинома положительны: а^ > 0, к = тах{0, т — 2в},..., т.

При условии 0 ^ 5 < (2т — 1)/3 найден максимум норм функционалов

Ф (С, а) = Ф((?, га) = ¿0*0*.

к=1

по классу А на пространстве Тт с интегральной нормой. Обозначим

( ат ат-1 •• • а* т— Л

А* = А 3+1(а*) = ат-1 ат-2 ' 0

\«т-» 0 0 /

Теорема 2. Пусть

2т-1

О3 .

Тогда для любого набора а = (ао,..., ат), ак € К, со свойством

& = т — в,..., то, и любого полинома б €Е 7Тп \ {0} справедливо неравенство

|Ф(С,га)|

ЦС|и2„

^ (3)

где Л* = 41/* - наибольшее собственное число матрицы А*.

Более того, Л* превосходит модули всех других собственных чисел А*, имеет алгебраическую кратность 1, ему соответствует собственный вектор /г = (/го, Нг,..., Ьа)Т с положительными координатами.

Неравенство (2) обращается в равенство в том и только в том случае, когда для некоторых е € {—1,1} и и 6 {0,1} выполняются равенства

ак — е(—к = т — 5,... ,т, и соответственно

=и><3*(0 + г/ ТГ), ифЪ,

3 8 ТП

=Е Е м* -з- т8ш{кв).

3—0 к=0 к=О

При этом все нули полинома б* (в) вещественны и старшие в -Ь 1 коэффициентов полинома положительны: >0, к = т — в,..., т.

Получены аналогичные теоремы для функционалов, заданных на пространстве алгебраических многочленов.

Теоремы 1 и 2, а также их следствия, играют существенную роль при исследовании неравенств типа Маркова—Никольского в главе 2.

Обзор результатов главы 2.

В главе 2 исследуются неравенства Маркова—Никольского на множестве Т>п алгебраических многочленов степени п с вещественными коэффициентами относительно норм

\\Р\\оо = |Р(*)|, ||Р||, = £ \Р(Ь)\Ч?) /Ч , ?6 (0, оо).

Через Тп(г) = соз(п агссоэ г) и £/„(£) = Бт((п + 1) агссоэ Ь)/%/1 — £2, í 6 [—1,1], обозначим многочлены Чебьипева первого и второго рода соответственно.

В разделе 1° изучается неравенство

||РЮ||оо ^С'™

-1/2(п> -РбР„. (4)

Рассмотрим функционал

*(Р) = ¿7*2^(1),

к=О

где тк суть коэффициенты разложения многочлена Р по многочленам Чебышева первого рода:

к=О

Теорема 3. Пусть заданы натуральное число п и неотрицатель-

4е'

ное целое число I < п. Обозначим = Тке\ 1), к = £,... ,п,

V (Ь)

( Цп{Ь) Цп-1(Ь)

О

V мШ

О

/

где числа ц(Ь) = (¡ц(Ь),..., цп(Ь)) определяются из разложения

* I

+ ^ икгк

к=1

= +/хг+1 (¿У+1+■ • •+!^{Ь)яп+■ -

Тогда

1. точная константа в неравенстве (4) равна наибольшему корню Ь* уравнения с!е1;(У(£) — Еп_^+1) = О,

/~гОО,1 _

°0,-1/2 ~ Ь '

т. е. норме функционала (5).

2. число 1 является наибольшим собственным числом превосходит модули всех других собственных чисел V(£*), имеет алгебраическую кратность 1, и ему соответствует собственный вектор Н = (До, /11,..., Нп-1) с положительными координатами;

3. экстремальными в неравенстве (4) являются многочлены ыР* (£), шР4(-4),ыбЕ\{0}, где

п-1п-(

^(^ЕЕ^^-н до,

¿=0 ?с=0

при этом все нули многочлена Р* принадлежат отрезку [—1,1]

»Ю

_ р*№

(1)-

В разделе 2° получены аналогичные результаты при некоторых дополнительных ограничениях в неравенстве относительно равномерной нормы и интегральной нормы (без веса). Для (п — 1)/3 ^ £ < п изучается неравенство

Н^Ноо^С^'Чп.ОИх. РСРп.

Рассмотрим функционал

Ф(р) = Х>с/^(1),

(6)

(7)

к=0

где суть коэффициенты разложения многочлена Р по многочленам Чебышева второго рода. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть заданы натуральные числа п и £, (п — 1)/3 ^ £ < п. Обозначим ии = ?7^(1), к = £,... ,п,

и =

/ ип ип-1 ип-1 «п-2

\ щ

о

иЛ о

О/

Л* - наибольшее собственное число матрицы и. Тогда

1. точная константа в неравенстве (6) равна С^'^п,^) = А*, т. е. норме функционала (7).

2. А* превосходит модули всех других собственных чисел матрицы и, имеет алгебраическую кратность 1, и ему соответствует собственный вектор к = (Но, ..., с положительными координатами;

3. экстремальными в неравенстве (6) являются многочлены шР*^),

ие!\{0}, где

Р*(£) = а(3*(агссоэ¿)/л/1 — £2, а бК\{0},

п—1п—1

с*(в) = яп((п + 1 - 3 - к)в),

j=0 к-О

при этом все пули многочлена Р* принадлежат отрезку [—1,1] и

= Р*(е)( 1).

В разделе 3° найдены точные константы и экстремальные многочлены в неравенстве Маркова-Никольского для производной порядка (п — 1) алгебраического многочлена степени п относительно ¿(¡-метрики, д > 0, и интегральных норм без веса и с чебышевским весом на отрезке [—1,1].

Рассмотрим неравенства

И^И^едИь РеТп,

||Р("_1)||, ^ Сч{п)\\Р\\х_г/2, РеРп. Справедлива следующая теорема. Теорема 5. Пусть д £ [0, оо], п > 2. Тогда

2 "п!

(8) (9)

Сд(п) = 2 Сд(п) = <

2пп\

(1+9)1/«'

2"п!

п

1 + с2 2п~1{п-1)\ . у'п2 + 1 — п

9 = 0,

д е (0,2п2 - 1],

д € (2п2 - 1, оо), д — оо.

(10)

С точностью до мультипликативной константы экстремальными в неравенстве (8) при д € [0,2п2 — 1] являются многочлены Че-бышева второго рода ип(Ь), при д £ (2тг2 — 1,оо] - многочлены Золотарёва

Экстремальными в неравенстве (9) при д 6 [0,2п2 — 1] являются многочлены Чебышева первого рода Тп(£), при д (Е (2гг.2 — 1,оо] -многочлены

= г„(4) ±2с.тп-1{г) + с2тп_2(г).

При д £ (2тг2 — 1, оо) число с* есть единственный на интервале (0,1) корень уравнения

(д +1) ((п + с)9 - (п - с)9) (1 + с2) - 2дс ((п + с)'+1 + (п - с)9+1) = О, при 9 = 00 число с* = \/п2 + 1 — п.

Основные результаты диссертации

В диссертации основными являются следующие результаты.

1. Решена задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве четных тригонометрических полиномов фиксированного порядка с интегральной нормой, по классу функционалов, коэффициенты которых ограниченны заданными положительными числами. Аналогичная задача при некоторых дополнительных ограничениях решена для функционалов па пространстве нечетных тригонометрических полиномов.

2. В задаче о точной константе в неравенстве Маркова-Никольского для производной порядка £ алгебраического многочлена степени п относительно равномерной нормы и интегральной нормы с че-бышеским весом па отрезке [—1,1] получены следующие результаты. Доказано, что точная константа равна норме линейного функционала, ставящего в соответствие многочлену значение его £-ой производной па конце отрезка. Норма этого функционала и экстремальные многочлены выписаны в терминах наибольшего собственного числа и соответствующего ему собственного вектора матрицы, построенной по значениям £-тых производных многочленов Чебышева первого рода на конце отрезка.

Аналогичные результаты при некоторых дополнительных ограничениях получены для неравенства относительно равномерной нормы и интегральной нормы (без веса).

3. Найдены точные константы и экстремальные многочлены в неравенстве Маркова- Никольского для производной порядка (п — 1)

алгебраического многочлена степени п относительно Lq-метрики, q ^ 0, и интегральных норм без веса и с чебышевским весом на отрезке [—1,1].

Список литературы

[1] MiLOVANOVic G. v., MlTRlNOVic D.S., Rassias Th.m. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific. 1994. 821 p.

[2] Rahman Q.I., Schmeisser G. Les inégalitiés de Markoff et de Bernstein. Montréal: Les Presses de L'Université de Montréal. 1983. 173 p.

[3] Корнейчук H. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. К: Наукова думка. 1992. 304 с.

[4] Даугавет И. К., Рафальсон С. 3. Некоторые неравенства типа Маркова-Никольского для алгебраических многочленов // Вестник Ленинградского университета. 1972. Вып. 1. С. 15-25.

[5] Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических многочленов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Т. 18, вып. 4. С. 489-498.

[6] Конягин C.B. Оценки производных от многочленов // ДАН СССР. 1978. Т. 243, вып. 5. С. 1116-1118.

[7] Марков А. А. Об одном вопросе Д. И.Менделеева // Зап. Имп. акад. наук. СПб. 1889. Т. 62. С. 1-24.

[8] Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб.: Tim. Импер. Акад. наук. 1892. 110 с.

[9] KroÖ A. On the exact constant in the L2 Markov inequality // J. Approx. Theory. 2008. Vol. 151, no. 2. P. 208-211.

[10] ГлАЗЫРИНА П. Ю. Точное неравенство Маркова-Никольского для алгебраических многочленов в пространствах Lq, Lq на отрезке // Матем. заметки. 2008. Т. 84, вып. 1. С. 3-22.

[11] Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 38. С. 244-278.

[12] Арестов В. В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Труды ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 34-47.

[13] ГЕРОНИМУС Я. J1. Об одной экстремальной задаче Чебьпнева // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2, вып. 4. С. 445-456.

[14] ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГОНТИ. 1938. 257 с.

[15] Голузин Г. М. Оценки для аналитических функций с ограниченным средним модулем // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1946. Т. 18. С. 1-87.

Работы автора по теме диссертации

Публикации автора по теме диссертации, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК

[16] Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Lp, L\ на отрезке // Труды ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 282-290.

[17] Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Loo, L\ на отрезке // Матем. заметки. 2013. Т. 93, вып. 4. С. 604-613.

Другие публикации

[18] SiMONOV I.E. A sharp Markov-Nikolski type inequality in the spaces Loo and Li with Chebyshev weight // Abstract of the talks, International Conf. "Constructive theory of functions", Sofia Univ., 2013. P. 40-41.

[19] Симонов И. E. Точное неравенство Маркова-Никольского в пространствах L^, L\ на отрезке // Алгоритмический анализ

неустойчивых задач: тез. докл. Международ, конф., посвящен, памяти В. К. Иванова, Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С. 72-73.

[20] Симонов И. Е. Об одной задаче Геронимуса для тригонометрических полиномов // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 75-77.

[21] Симонов И. Е. Об одном результате Геронимуса для норм линейных функционалов на множестве тригонометрических полиномов // Тезисы докладов 17-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2014. С. 250-252.

[22] Симонов И. Е. Неравенство Маркова—Никольского для алгебраических многочленов в пространствах L\ с ультрасферическим весом // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2013. С. 292-295.

[23] Симонов И. Е. Точная константа в неравенстве Маркова-Никольского для пары пространств Loo, L\ на отрезке // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 261-263.

[24] Симонов И. Е. О точном неравенстве типа братьев Марковых // Современные проблемы математики: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, Екатеринбург, 30 января - 6 февраля 2011 г. Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2011. С. 145-147.

Подписано в печать 10.10.2014 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,92 Тираж 100 экз. Заказ № 1694

Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева,4