Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов в плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004615052

На правах рукописи

ПАРФЕНЕНКОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В ПЛОСКОСТИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-? при7ПЮ

Екатеринбург - 2010

004615052

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Арестов,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В. С. Балаганский,

кандидат физико-математических наук Р. Р. Акопян

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н. Г. Чернышевского

Защита состоится "./¿7" декабря 2010 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620990, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан £ " НШсГ/Л 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.02 доктор физико -математических наук

Антонов Н. Ю.

Общая характеристика работы

В диссертационной работе изучаются две взаимосвязанные экстремальные задачи для алгебраических многочленов: о наилучшем в смысле равномерной нормы продолжении с единичной окружности на концентрическую окружность в плоскости R2 и о неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях в комплексной плоскости.

Актуальность темы

Точные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности (единичном круге) и родственные задачи для тригонометрических полиномов являются классическим разделом теории функций. Впервые подобные неравенства широко изучались С.Н. Бернштейном, М. Риссом, Г. Сеге, А. Зигмундом и др. К настоящему времени данной тематике посвящено большое количество работ, в том числе работы С.Н. Бернштейна, Г. Сеге, А. Зигмунда, С.Б. Стечкина, Л.В. Тайкова, В.В. Арестова.

В частности, J1.B. Тайков исследовал неравенство между равномерными нормами тригонометрического полинома и его сопряженного на концентрических окружностях. Задача о неравенстве между равномерными нормами алгебраического многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях является естественным продолжением данных исследований.

Построенная в диссертации интерполяционная формула для оператора вида Бернштейна обобщает некоторые интерполяционные формулы, построенные ранее для исследования точных неравенств для полиномов. Кроме того, позволяет интерпретировать необходимые и достаточные условия С.Н. Бернштейна в терминах коэффициентов интерполяционной формулы.

Задача о наилучшем продолжении алгебраического многочлена с единичной окружности является интересным и естественным распространением данной тематики. Очевидно, что норму алгебраического многочлена Рп(х, у) двух переменных на окружности радиуса г ф 1 невозможно оценить через его норму на единичной окружности; достаточно в каче-

I

стве примера рассмотреть многочлены Рп(х, у) = А(х2 + у2 — 1), где А - сколь угодно большое число. Эти многочлены на окружности единичного радиуса равна нулю, а норма ||Рп||с(гг) = \А(г2 —1)| на окружности радиуса г ф 1 неограниченно возрастает при росте А. Поэтому представляет интерес проблема наилучшего (в смысле нормы), продолжения.

В силу сказанного, тема исследования данной диссертации является актуальной.

Цель работы:

— изучение величины наилучшего продолжения алгебраического мно-

гочлена двух вещественных переменных с единичной окружности плоскости на концентрические окружности большего и меньшего радиусов;

— изучение точной константы в неравенстве между равномерными нор-

мами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости;

— построение интерполяционной формулы для линейных операторов

вида Бернштейна на пространстве тригонометрических многочленов заданной степени.

Методика исследований

Исследование величины наилучшего продолжения проходит в три этапа: построение общего вида продолжения, построение оценки снизу и построение оценки сверху. Общий вид продолжения строится при помощи теоремы Гильберта о корнях. Для оценки снизу достаточно построить конкретный алгебраический многочлен и оценить его наилучшее продолжение (точнее, в данном случае, показать, что его нельзя продолжить лучше в смысле нормы). Для оценки сверху для каждого многочлена строится конкретное продолжение и производится оценка нормы продолжения через норму многочлена.

Для изучения точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических

окружностях значение алгебраического многочлена на окружности большего радиуса представляется как оператор от его вещественной части на единичной окружности. Далее для оператора применяется результат С.Н. Бернштейна [6].

Для построения интерполяционной формулы используется метод "приближения хвостами" для интегрального оператора типа свертки от тригометрических полиномов: к ядру изучаемого оператора добавляются специальным образом подобранные гармоники порядка старше чем порядок полинома (см., например, [21, 16]).

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

— вычислены величины наилучшего продолжения алгебраического мно-

гочлена от двух вещественных переменных с единичной окружности плоскости на окружности большего и меньшего радиусов;

— изучено точное неравенство между равномерными нормами много-

члена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости; найдены необходимые и достаточные условия для выполнения точного неравенства с константой гп между равномерными нормами многочлена порядка п и его вещественной части на концентрических окружностях единичного радиуса и радиуса г > 1;

— получена интерполяционная формула для линейных операторов вида

Бернштейна.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения точных неравенств для алгебраических многочленов от нескольких переменных и тригонометрических полиномов.

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральной печати в работах [22], [23], а также в трудах международной конференции [24].

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций (2007);

Международная конференция "Алгоритмический анализ некорректных задач посвященная 100-летию В.К. Иванова (2008). на научных семинарах:

под руководством член-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2008,2009,2010);

под руководством профессора В.В. Арестова в Уральском государственном университете им. A.M. Горького(2007,2008,2009).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [24, 25].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав и параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 52 страницы. Библиография содержит 25 наименований.

Краткая история вопроса

В настоящее время имеется большое число результатов, относящихся к точным неравенствам для алгебраических многочленов на комплексной плоскости и родственным проблемам для тригонометрических полиномов на периоде. Обзоры по неравенствам, имеющим непосредственное отношение к интересам автора, а также ряд новых результатов, можно найти в работах [2, 3, 4]. Приведем некоторые из результатов, имеющих

прямое отношение к исследования автора. Обозначим через ТП(С) пространство (комплекснозначных) тригонометрических полиномов

п

ад = J2 Ске'кх> Ск е с<

к=-п

степени не выше п, а через T„(R) С ХП(С) подпространство веществен-нозначных тригонометрических полиномов

п

Т„(х) = ао + cosкх + ¿>¿sinкх), а¡¡, Ьк 6 К. fc=i

Пусть Vn есть пространство алгебраических многочленов

п

Pn{z) =^2Ckzh> ск€С,

fc=О

комплексного переменного z степени не выше п > Ос комплексными коэффициентами. Многочлен Рп € Vn на единичной окружности представляется в виде

Pn{eit) = Tn{t)+iTn(t),

где Тп е Tn(R), а Тп € Т„(Н) — сопряженный к Тп тригонометрический полином; эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством Vn алгебраических многочленов и множеством T„(R) вещественнозначных тригонометрических полиномов.

При любом вещественном г > 1 и натуральном п имеет место точное неравенство (см., например, [12, Отд.3, теорема 269], [17, гл.4, §4.6])

||P«||c(rr) < ГП||РВ||С(Г1).

Во множестве Х„(С) имеет место известное (точное) неравенство С.Н. Бернштейна

Ю\срм < п\\Тп\\с[0М, Тп е Т„(С). (1)

С.Н. Бернштейн в 1912 году доказал [5, п. 10, с. 25-26] данное неравенство для вещественнозначных тригонометрических полиномов с неточной константой 2п; вскоре Э.Ландау обосновал его (с наилучшей) с

константой п . В 1914 г. М. Рисс [20] выписал известную интерполяционную формулу для производной тригонометрического полинома, которая дает неравенство (1) уже для комплекснозначных тригонометрических полиномов.

В дальнейшем эти неравенства обобщались в разных направлениях. В 1928 г. Г. Сеге [21] получил результат, усиливающий неравенство Берн-штейна (1) (для вещественнозначных тригонометрических полиномов), а именно, он доказал (точное) неравенство

И^Нс^^пПйеРпПср-о, Рп^Гп- (2)

Из данного результата следует хорошо известное неравенство

1№<Г0 < *||с<Г1). РпЬ'Рп.

Затем в 1935 году С.Н. Бернштейн [6] усилил этот результат, непосредственно сам результат работы сформулирован во второй главе настоящей диссертации.

А. Зигмунд [10] с помощью интерполяционной формулы М. Рисса доказал следующее утверждение. Если функция <р на [0, оо) выпуклая (вниз) и неубывающая, то

/ / <р(п\тпт^, тп е ТП(С);

Уо Jo

в частности, при ¡р(и) = ир, р > 1, это дает неравенство Бернштейна в

ЬР(р>1):

\\т'п\и, < п\\тп\\1р, тп € Т„(С).

В 1975 году В.И. Иванов [11], Э.А. Сторженко, В.Г. Кротов, П. Освальд [15] доказали, что при каждом р 6 (0,1) существует константа с(р) такая, что при любом п > 0 для любого тригонометрического полинома Т„ € 1П(С) справедливо неравенство

\\TM\l,, < с(р)п\\Тп\\ьр. (3)

В 1979 году В.В. Арестов [1, 2] доказал, что при всех р £ [0,1) в неравенстве (3) константа с(р) равна единицы, а следовательно, для всех р > 0 справедливо

РЖ < п||Гп||£р, Тп € ТП(С).

8

С. Frappier, Q.I Rahman и St. Ruscheweyh [18] получили ряд неравенств указанного типа, содержащих один или нескольких коэффициентов многочлена. В.Н.Дубинин [8], N.K.Govil [19] уточняли приведенные выше неравенства для многочленов с ограничениями на расположение корней.

В 1993 году JI.B. Тайков [16] получил для тригонометрических полиномов результат, который в терминах алгебраических многочленов означает, что при

(г2 - 1 )г" - 2г > 0 (4)

имеет место следующее точное неравенство

||1шРп||с(Гг) < r"||RePn||c(ri), Рп е VI (5)

Основное содержание работы

Первая глава работы содержит результаты, относящиеся к вычислению величины наилучшего продолжения алгебраического многочлена с единичной окружности.

Пусть Р„ есть множество алгебраических многочленов от двух вещественных переменных (х, у) G R2 степени не выше п > 0 по совокупности переменных с вещественными коэффициентами. Обозначим через Г г окружность радиуса г > Ос центром в начале координат плоскости. Через С(Гг) будем обозначать пространство веществен-нозначных непрерывных функций на окружности Гг с равномерной нормой ||/||с(гг) — тах(Х|У)£гг \}{х,у)\- Символом обозначим множество многочленов Рп £ Р„, равномерная норма которых на единичной окружности не превосходит единицы т. е. положим

<Р„ = {Д.€РП: \\PnWcw < !}•

Зафиксируем произвольный многочлен Рп £ Р„ и рассмотрим ассоциированный с ним класс

Ö„(P„) = {Q„e Р„: Qn(x,y) = Рп(х,у) при х2 + у2 = 1}

алгебраических многочленов Qn € Рп, совпадающих с многочленом Рп на единичной окружности. Обозначим

вп(г) = sup inf |Ш1с(гг) = sup inf II Qn ||с(Гг) . (6) р„6фпС?г,е£1„(Рп) Mccr^l0"60"^

9

Величину вп(г) будем называть величиной наилучшего равномерного продолжения множества многочленов на окружность радиуса г.

Обозначим через Нп множество гармонических многочленов (от двух переменных) степени не выше п. Наряду с величиной вп(г) рассмотрим величину

0„(r) = sup || Нп(Рп) ))c(rrh (7)

ЦР„1|С(Г1)<1

где Нп{Рп) - гармонический многочлен, продолжающий Рп с единичной окружности в плоскость. Назовем данную величину величиной равномерного гармонического продолжения множества на окружность Гг.

Характер величины вп{г) при г > 1 и 0 < г < 1 существенно разный. При г > 1 величина наилучшего равномерного продолжения совпадает с величиной наилучшего равномерного гармонического продолжения и равна г™, т.е. справедлива теорема.

Теорема. При любых п > 0 и г > 1 имеет место двойное равенство

Ш = Ш = гп.

При этом многочлен

Р:(х,у)= J2 И)kC2nkx2kyn~2k = Rezn, z = x + iy,

0<fc<n/2

является экстремальным для задач (6) и (7), т. е. для этого многочлена соответствующее наилучшее продолжение на окружность Гг имеет максимально возможную равномерную норму, равную гп.

Кроме того, доказано, что оператор гармонического продолжения многочлена является оператором наилучшего на классе продолжения многочленов с единичной окружности на окружность радиуса г > 1. Нетрудно видеть, что для случая 0 < г < 1 гармоническое продолжение не является наилучшим. Справедлива следующая теорема.

Теорема. При любых п>1 и 0 < г < 1 имеет место равенство

вп(г)=ГП-\ 10

При этом многочлен

Р?{х,у) = PTU(x,y) = J2 (-l)kCn-iX2kyn~2k~l =

0<к<(п-1)/2

= Rezn-1, z = x + iy, ( порядка п — 1 ) является экстремальным для задачи (6).

Во второй главе изучается неравенство между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости и строится интерполяционная формула для линейных операторов вида Бернштейна во множестве тригонометрических полиномов.

В пространстве Vn алгебраических многочленов комплексного переменного степени не выше п > Ос комплексными коэффициентами выделим класс

К = {Р„ е Vn : Рп(0) € Щ

многочленов с вещественным свободным коэффициентом. Обозначим через Гг окружность радиуса г > 0 с центром в начале координат комплексной плоскости. Во второй главе изучается при г > 1, п £ N наилучшая (наименьшая возможная) константа fi(r, п) в неравенстве

||Я„||с(гг) < A£(r,n)||ReP„||C(ri,, Рп е V*. (8)

Доказана теорема Теорема. Пусть г > 1, п е N. Неравенство

liP„||c(rr)<rn||RePn||c(ri), PneV:, выполняется тогда и только тогда, когда

г11*2 - r" + (1 - г2) cos(n</?) + 2 г sin (тир) sin(í^) >0, (ре Ш.

Кроме того, доказана теорема

Теорема. Пусть г > 1, п 6 N, а 6 [0,2яг]. Неравенство

(|cosa Repare")-sina 1тРп(ге")||с([0>]) < r^RePnHc^). Рп & К

имеет место тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

• при п = 4т : (г2 - 1)(г" — cosa) - 2r sin a cos > 0;

• при п = 4т + 1 : (г2 - l)(r" - cos а) - 2r sina cos (g + > 0;

• при n = 4m + 2: (г2 - l)(rn + cosa) - 2rsinacos (s) > 0 и (г2 - 1 )(rn - cosa) - 2r sin a eos ({*-*)> 0;

• при n = 4m + 3 : (r2 - l)(r" - cosa) - 2r sinacos - > 0, где

'a, a G Í0, f 1 ; 1тг-a, a G 7r] ;

a — ч ■ -J-.-I

a - 7Г, a G 7Г, yJ ;

k 2тг-а, a G [f.27r] •

Пусть = 7Jj(K) есть пространство тригонометрических полиномов

f(t) = ао + ai cos t + ¿i sin t + ... + a„ cos nt 4- bn sin nt (9)

степени не выше n > 0 с вещественными коэффициентами. По двум наборам вещественных чисел

Л„ = {А,}"=о> Л° > °> Мп = о- Mo = Un = 0

и вещественному числу а 6 R построим в пространстве Тп линейный оператор Fa = -Ра,л„,мп1 который тригонометрическому полиному / вида (9) сопоставляет тригонометрический полином

п

Faf{t) = £ /, a) + ¡in-vBvit, /, a)), (10)

где

Av(t, f, a) = a„ cos(z4 + a) + sin(^f + a),

B„(t, f, a) = b„ cos(ut + a) — aus'm(ut + a).

Операторы (10) изучал С. H. Бернштейн [6, ст. 62] и (средствами теории приближения) получил необходимые и достаточные условия для того чтобы имело место (точное) неравенство

\Ш\\С[0М < ^о||/||с[о,2тг], / G г„. 12

Этот результат С. Н Бернштейна используется при обосновании двух предшествующих теорем.

Будем называть операторы Fa операторами вида Бернштейна. В данной работе для этих операторов получена интерполяционная формаула. Наборам вещественных чисел Лп и Мп сопоставим тригонометрический полином

п-1

Ф„(</?) = Ф„(Л„, М„, (р) = Ло + Лп eos тир + 2 |Л'cos JV ~ Mj sin jip].

j=i

Теорема. При любых п G N, а € М для оператора Fa вида (10) справедливо представление

1 2п-1

= ^ £ (t + w), f е Тп, (И)

к=0

где сетка íp¡. определена следующим образом:

а Ы 4>k — —I—• п п

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Виталию Владимировичу Арестову за постоянную поддержку и интерес к моим исследованиям.

Литература

|1| Арестов В. В. О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических многочленов // Докл. АН СССР. 1979. Т 246. № 6. С. 1289-1292.

[2] Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т 45. № 1. С. 3-22.

[3| Арестов В. В. Об одном неравенстве Сеге для алгебраических многочленов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.2. С. 27-33.

[4] Арестов В. В. Неравенства Бернштейна и Сеге для тригонометрических полиномов // Известия Уральского государственного университета. 2008. № 58. вып. 11. С. 43-58.

[5] Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 580 с.

[6| Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 2. М.: Изд-во. АН СССР, 1954. 627 с.

[71 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. СПб.: Лань, 2004. 624 с.

[8] Дубинин В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. вып. 5. С. 16-43.

[9] Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2т. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с. {10] Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2т. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.

[11] Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Т. 18, JV* 4. С. 489-498.

[12] Полна Г., Сеге Г. Задачи теоремы из анализа: в 2т. Т.1. М.: ГИТТЛ, 1956. 396 с.

[13] Рыжаков И. Ю. Об одной задаче С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 2. С. 282-285.

[14] Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

¡15] Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Матем. сб. 1975. Т. 98, № 140. С. 395-415.

[16| Тайков Л. В. Равномерная оценка величины сопряженного полинома на плоскости // Мат. заметки. 1993. Т. 54, вып. 6. С. 142-145.

[17] Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 19G1. 508 с.

[18| Frappier С., Rahman Q. I. and Ruscheweyh St. New inequalities for polinomials // Trans.Amer.Math.Soc. 288(1985). pp. 69-99.

[19| Govil N. K. On Growth of Polynomials // J of Inequal. and Appl. 2002. Vol. 7(5). pp. 623-631

[20] Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome // Deutch Mat. Ver. 1914. H. 23 S. 354-368.

[21| Szegö G. Uber einen Satz des Hern Serge Bernstein // Schrift. Königsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. J. 5, H. 4. S. 59-70.

Публикации автора по теме диссертации

В ведущих рецензируемых научных журналах:

[22] Парфепенков А. В. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15. У- 1. С. 184-194.

[23] Парфененков A.B. Оценка алгебраического многочлена в плоскости через значение его вещественной части на единичной окружности // Известия вузов. Математика. 2010. № 3. С. 92-96.

В трудах и тезисах конференций:

[24| Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраического многочлена двух переменных с единичной окружности // Тр. Междунар. лети. мат. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С. 110-114.

¡25] Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности на окружность большего радиуса // тезисы докладов Международной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач "посвященной 100 летию В.К. Иванова. Екатеринбург, Издательство УрГУ, 2008.

Подписано в печать 27.10.2010. Формат 60x84 1/16 Гарнитура «Times». Усл. печ. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ № 984

Отпечатано в типографии ИПЦ «Издательство УрГУ» 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Обозначения

Введение

Глава 1. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Структура класса £1п(Рп)

§ 1.3. Оценка снизу для случая г >

§ 1.4. Оценка сверху для случая г > 1.

§ 1.5. Оценка снизу для случая 0<г<1.

§ 1.6. Оценка сверху для случая 0<г<

Глава 2. Точное неравенство между равномерными нормами алгебраического многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Неравенства для тригонометрических полиномов.

§ 2.3. Неравенства для алгебраических многочленов.

§ 2.4. Интерполяционная формула

Общая характеристика работы

В диссертационной работе изучаются две взаимосвязанные экстремальные задачи для алгебраических многочленов: о наилучшем в смысле равномерной нормы продолжении многочлена с единичной окружности на концентрическую окружность в плоскости К2 и о неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости.

Актуальность темы

Точные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности и родственные задачи для тригонометрических полиномов являются классическим разделом теории функций. Впервые подобные неравенства широко изучались С.Н. Бернштейном, М. Риссом, Г. Сеге, А. Зигмундом и др. К настоящему времени данной тематике посвящено большое количество работ, в том числе работы С.Н. Бернштейна, Г. Сеге, А. Зигмунда, С.Б. Стечкина, JI.B. Тайкова, В.В. Арестова.

В частности, JI.B. Тайков исследовал неравенство между равномерными нормами тригонометрического многочлена и его сопряженного на концентрических окружностях. Задача о точном неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях является естественным продолжением данных исследований.

Построенная в диссертации интерполяционная формула для оператора вида Бернштейна обобщает некоторые интерполяционные формулы, построенные ранее для исследования неравенств. Кроме того, необходимые и достаточные условия С.Н. Бернштейна интерпретируются в терминах коэффициентов интерполяционной формулы.

Задача о наилучшем продолжении алгебраического многочлена с единичной окружности является интересным и естественным распространением данной тематики. Очевидно, что норму алгебраического многочлена Рп(х,у) двух переменных на окружности радиуса г ф 1 невозможно оценить через его норму на единичной окружности. Достаточно в качестве примера рассмотреть многочлены Рп(х,у) = А(х2+у2 — 1), где А - сколь угодно большое число. На окружности единичного радиуса эти многочлены равны нулю, а значит и ||Рп||с(Г1) = 0 ; норма же на окружности радиуса Л > 1 равна ||-Рп||с(Гл) — \А(Я2 ~~ 1)1 • Поэтому естественной представляется задача наилучшего (в смысле нормы) продолжения многочленов.

В силу сказанного, тема исследования данной диссертации является актуальной.

Цель работы: изучение величины наилучшего продолжения алгебраического многочлена двух вещественных перменных с единичной окружности плоскости на концентрические окружности большего и меньшего радиусов; изучение точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости; построение интерполяционной формулы для линейных операторов вида

Бернштейна на пространстве тригонометрических многочленов заданной степени.

Методика исследований

Исследование величины наилучшего продолжения проходит в три этапа: построение общего вида продолжения, построение оценки снизу и построение оценки сверху. Общий вид продолжения строится при помощи теоремы Гильберта о корнях. Для оценки снизу достаточно построить конкретный алгебраический многочлен и оценить его наилучшее продолжение (точнее, в данном случае, показать, что его нельзя продолжить лучше в смысле нормы). Для оценки сверху для каждого многочлена строится конкретное продолжение и производится оценка нормы продолжения через норму многочлена.

Для изучения точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях значение алгебраического многочлена на окружности большего радиуса представляется как оператор от его вещественной части на единичной окружности. Далее для оператора применяется результат С.Н. Берн-штейна [6].

Для построения интерполяционной формулы используется метод "приближения хвостами" для интегрального оператора от тригометрических полиномов: к ядру изучаемого оператора свертки добавляются специальным образом подобранные гармоники порядка старше чем порядок полинома (см., например, [21, 16]).

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: вычислены величины наилучшего продолжения алгебраического многочлена с единичной окружности на окружности большего и меньшего 7 радиусов; изучено точное неравенство между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости; найдены необходимые и достаточные условия для выполнения точного неравенства между равномерными нормами многочлена порядка п и его вещественной части на концентрических окружностях единичного радиуса и радиуса г > 1 с константой гп; получена интерполяционная формула для линейных операторов вида

Берпштейна.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения точных неравенств для многочленов на окружностях и задач наилучшего продолжения многочленов многих переменных.

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральной печати в работах [22], [23], а также в трудах международной конференции [24].

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций (2007);

Международная конференция "Алгоритмический анализ некорректных задач посвященная 100-летию В.К. Иванова (2008). на научных семинарах: под руководством член-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2008, 2009, 2010); под руководством профессора В.В. Арестова в Уральском государственном университете им. A.M. Горького (2007, 2008, 2009, 2010).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [24, 25].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав и параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 52 страницы. Библиография содержит 25 наименований.

1. В. О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических многочленов // Докл. АН СССР. 1979. Т 246. № 6. С. 1289-1292.

2. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т 45. № 1. С. 3-22.

3. Арестов В. В. Об одном неравенстве Сеге для алгебраических многочленов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.2. С. 27-33.

4. Арестов В. В. Неравенства Бернштейна и Сеге для тригонометрических полиномов // Известия Уральского государственного университета. 2008. № 58. вып. 11. С. 43-58.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений: в 4т. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 580 с.

6. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений: в 4т. Т. 2. М.: Изд-во. АН СССР, 1954. 627 с.

7. Ван дер Варден Б. JI. Алгебра. СПб.: Лань, 2004. 624 с.

8. Дубинин В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. вып. 5. С. 16-43.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.

11. Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 489-498.

12. Полиа Г., Сеге Г. Задачи теоремы из анализа: в 2 т. T.l. М.: ГИТТЛ, 1956. 396 с.

13. Рыжаков И. Ю. Об одной задаче С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 2. С. 282-285.

14. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

15. Сторженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Матем. сб. 1975. Т. 98, № 140. С. 395415.

16. Тайков Л. В. Равномерная оценка величины сопряженного полинома на плоскости // Мат. заметки. 1993. Т. 54, вып. 6. С. 142-145.17. "Уолш Дж. JT. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961. 508 с.

17. Frappier С., Rahman Q. I. and Ruscheweyh St. New inequalities for polinomials // Trans.Amer.Math.Soc. 288(1985). pp. 69-99.

18. Govil N. K. On Growth of Polynomials // J of Inequal. and Appl. 2002. Vol. 7(5). pp. 623-631

19. Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome // Deutch Mat. Ver. 1914. H. 23 S. 354-368.

20. Szegö G. Uber einen Satz des Hern Serge Bernstein // Schrift. Königsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. J. 5, H. 4. S. 59-70.Публикации автора по теме диссертацииВ ведущих рецензируемых научных журналах:

21. Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15. № 1. С. 184-194.

22. Парфененков А. В. Оценка алгебраического многочлена в плоскости через значение его вещественной части на единичной окружности // Известия вузов. Математика. 2010. № 3. С. 92-96.В трудах и тезисах конференций:

23. Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраического многочлена двух переменных с единичной окружности // Тр. Междунар. летн. мат. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С. 110-114.