Экстремальные свойства многочленов с ограничением на расположение нулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1. Неравенства Бернштейна и Турана в Н2 для многочленов с нулями в замкнутом множестве.

1.1. Сведение задач о точных константах в неравенствах Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задачам для многочленов с нулями на границе множества.

1.2. Связь неравенств Бернштейна и Турана.

1.3. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов степени п ^

1.4. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов с нулями на окружности: случаи точного вычисления констант

1.5. Неравенство Бернштейна для многочленов с нулями во внешности круга радиуса

2. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Н00 для многочленов с нулями в замкнутом множестве.

2.1. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Нх для многочленов с нулями во внешности единичного круга

2.2. Сведение задачи о точной константе в неравенстве Бернштейна-Джексона из Н2 в Н^ для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задаче для многочленов с нулями на границе множества.

2.3. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Н^ для многочленов с нулями в замкнутом множестве: случаи вычисления точных констант.

Список обозначений

Вр(п, Ь, С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштей-на в Нр для оператора Ь на множестве многочленов Тп(С)

С - расширенная комплексная плоскость <3(Д) = {г е С : \z\ZR} К (К) = {ге£ : Щ 5(Д) = {г Е С : И = Щ

Тп - множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами

Сп - подмножество Тп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |4+1| ^ |4|, к = 0, п —

С®п - подмножество Сп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |//с-1|2 + |^+1|2 ^ 2 к = 1,п — множество многочленов из 7?п, имеющих все п нулей во множестве С.

Вр(п, Ь, С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Берн-штейна в Нр для оператора Ь на множестве многочленов

Тр(п: Ь) С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Турана в Нр для оператора Ь на множестве многочленов РП(С)

Врд(п, Ь,С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Берн-штейна на паре пространств Нч и Нр для оператора Ь на множестве многочленов (С) ээ= : РеГ^Сг)} ае00(п,1,С) = т£{^^: Р е Гп-^С), \г\ =

Обозначим через Vn множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами, не равных тождественно нулю. В тематике, обсуждаемой в данной работе, удобно считать, что любой многочлен из множества Vn имеет ровно п нулей с учетом кратности в расширенной комплексной плоскости; при этом, если точная степень многочлена есть п — га, 1 ^ т ^ п, то полагаем, что точка г = оо является нулем многочлена кратности т. На множестве многочленов Vn, в пространстве Нр на единичном круге, справедливо неравенство Бернштейна

ЦР'||р^п||Р||р, Регп, о^р^оо, (o.i) в котором

P||M = max{|PM| : \z\ = 1} ; -г />2тг \ 1/Р

P\\p=[-^Jo \P(eÜ)\Pdt) , 0<р<оо;

Р||о= Hm II-PL = ехр (— [ In \Р(ей) I dt

Константа п в неравенстве (0.1) точная; неравенство (0.1) обращается в равенство на многочленах вида czn, и в случае 0 < р ^ оо других экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо является классическим неравенством С.Н. Бернштейна [5]; при других р оно доказано А. Зигмундом (1 ^ р < оо) [6], В.В. Арестовым (0 ^ р < 1) [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (0.1) исследовались и для других линейных операторов на множестве Vn. Так, известно, что при р ^ 1 и любом р, 0 ^ р ^ оо, справедливо точное неравенство Харди [15]

P(pz)\\p^pn\\P\\p, PeVn. (0.2)

Композицией Cere многочленов п п

Ь(г) = ^фкг\ P(z)=J2CknPkzk k=Q к=0 называют многочлен п

LP)(z) = Y,CknhVkZk. (0.3) к=0

При фиксированном многочлене L композиция Сеге (0.3) определяет линейный оператор во множестве многочленов Vn', который будем обозначать тем же символом L. В частности, многочлен L(z) = E(z) = = (z + 1)п порождает тождественный оператор ЕР = Р, многочлен L(z) = hp(z) = (pz + l)n - оператор hpP(z) = P(pz), а многочлен L(z) = D(z) = nz(z + l)™"1 порождает оператор дифференцирования DP(z) =zP'{z).

В.В. Арестов [2], [3] показал, что для любых двух многочленов L и Р из Vn справедливо неравенство

LP\\p^ ||L||0||P|U О^р^ос. (0.4)

В случае, когда многочлен L имеет все п нулей в круге \z\ ^ 1 или во множестве \z\ ^ 1, константа ||-£||о в неравенстве (0.4), на множестве многочленов Vn, точная [2]. Отметим, что неравенства (0.1) и (0.2) является частным случаем неравенства (0.4).

При 0 ^ р, q ^ оо обозначим через Bpq(n, L) точную (наименьшую) константу в неравенстве

LP\\p^Bpq{n,L)\\P\\q, PeVn. (0.5)

С помощью неравенства (0.4) нетрудно сделать вывод, что если р ^ q и все п нулей многочлена L принадлежат кругу \z\ ^ 1 или все п нулей многочлена L лежат во множестве \z\ ^ 1, то имеет место равенство Bpq(n,L) = ||L||0. При р > q точные константы в неравенстве (0.5) изучены мало, даже в случае тождественного оператора (смотри например [1], [17]). Достаточно простым является случай р = оо, q = 2 [16] в этой ситуации для любого оператора, определяемого формулой (0.3), имеет место равенство

Воо2(п,Ь)= (¿Ы2У, jfc=0 ' неравенство (0.5) с этой константой обращается в равенство на многочленах вида cJ2k=o^k(zC)k' Kl = 1- В формулу (0.3) многочлены L и Р входят симметрично, поэтому наряду с (0.4) имеет место неравенство ||ЬР||р ^ ||L||p||P||o, Р € Vn; на многочленах c(z + C)n, ICI = 1) последнее неравенство обращается в равенство. Следовательно для любого оператора, определяемого формулой (0.3), и значений параметров q — 0, р G [0, +оо] наилучшая константа в неравенстве (0.5) имеет значение

Вр0(п,Ь) = \\L\\p.

Работа посвящена точным неравенствам для многочленов, имеющих нули в замкнутом множестве. Пусть G - замкнутое подмножество расширенной комплексной плоскости и Vn(G) - множество многочленов из Vn, имеющих все п нулей во множестве G.

Обозначим через Bpq(n, L,G) точную (наименьшую) константу неравенства

ЬР||р < Bpq(n, L, G) ||Р||9, Р G Vn(G), (0.6) для оператора L на многочленах, имеющих нули во множестве G. Ясно, что для точной константы неравенства (0.6) справедливо равенство

Bpq(n,L,G) = supjlîp^ : PEVn(G)Y

В случае р = q для константы будем использовать обозначение Вр(п, L, G), а неравенство называть неравенством Бернштейна в Нр (для оператора L, на многочленах, имеющих нули во множестве G).

В случае р = оо, д = 2 назовем неравенство (0.6) неравенством Берн-штейна-Джексона из Н2 в Ню (для оператора Ь, на многочленах с нулями во множестве С).

Обозначим через Тр(п, Ь, С) точную (наибольшую) константу неравенства Турана в Нр для оператора Ь на многочленах, имеющих нули во множестве С

Для точной константы неравенства (0.7) справедливо равенство

Точное неравенство для многочленов с ограничением на расположение нулей впервые было рассмотрено П.Тураном [22], а именно, он доказал, что на множестве Тп(К), многочленов с нулями в замкнутом единичном круге справедливо точное неравенство ЦР'Цоо ^ § 11^Цоо-Изучение точных неравенств Бернштейна на множестве многочленов с ограничением на расположение их нулей началось с гипотезы П. Эрдеша [18], о том, что в неравенстве (0.1) при р = сю на множестве многочленов, не имеющих нулей в открытом единичном круге, т.е. в неравенстве для оператора дифференцирования, в случае когда С есть внешность С (Я) = {г : \г\ ^ Я} открытого круга радиуса Я (расширенной комплексной плоскости), при р — оо для Я = 1, точная константа равна п/2. Эта гипотеза была доказана П. Лаксом [18]. При Я — = 1 (т.е. на множестве 7-^(0(1)) ) точная константа в неравенстве (0.8) найдена для любых 0 ^ р ^ оо : П. Лаксом [18] (р — 2,оо), Н. Де'Брюйном [11] (1 ^ р < оо), К. Рахманом и Г. Шмейсером [21] (О ^ р < 1). Аналогичные результаты для неравенства (0.2) получили Н. Анкени, Т. Ривлин [8], Р. Боас, К. Рахман [9] (1 ^ р ^ оо),

ЬР\\р^Тр(п,Ь,С) \\Р\\р, РеГп(С).

0.7)

Р'\\р^Вр(п,Я)\\Р\\р: РеГп(0(Я))

0.8)

К. Рахман и Г. Шмейсер [21] (0 ^ р < 1). В более общем случае : в неравенстве (0.6) при 0 ^ р = д ^ оо на множестве РП(С(1)) в предположении, что многочлен Ь, определяющий оператор по формуле (0.3), имеет все п нулей в круге ^ 1, точная константа найдена В.В. Арестовым [7]

Bp(n,L,G( 1)) zn + 1||р в этом случае, неравенство (0.6) обращается в равенство на многочленах c(zn+C), |С| = 1. M. Малик [19] нашел точную константу в (0.8) для оператора дифференцирования при р = оо на множестве многочленов Vn{G(R)) для всех R ^ 1

7Ъ

Boo{n}R) = в этом случае, неравенство (0.8) обращается в равенство на многочленах c(z + R()n, |С| = 1.

Неравенство (0.7) полностью исследовано для оператора дифференцирования D при р = оо на множестве многочленов Vn(K(R)), имеющих все п нулей в круге K(R) радиуса R. П. Туран [22] (R = 1), М.Малик [19] (R < 1) и Н.Говил [13] (R > 1) доказали, что для точной константы в неравенстве

ЦР'Цоо ^ Гоо(п, D, K(R)) ЦРЦоо, Р £ Vn(K(R)), справедливо равенство

Т (г, П K(KW - / + 1} и экстремальными многочленами являются многочлены c(z -f RQn и c(z + RnQ, |С| = 1 соответственно при R ^ 1 и R ^ 1; при R = 1 экстремальными являются все многочлены с п нулями на единичной окружности. В работе В.М. Бадкова [4] доказано, что неравенство Ту-рана (R = 1) справедливо поточечно.

Представляет интерес вопрос о расположении нулей экстремальных многочленов в неравенствах на множестве многочленов с нулями в замкнутом подмножестве С расширенной комплексной плоскости. Подобная задача (в виде гипотезы о принадлежности нулей границе множества С) обсуждалась ранее Б. Бояновым [10].

В первой главе исследуются неравенства (0.6), (0.7) Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множестве при р = 2, то есть неравенства

ЬР\\2 ^ В2(п, Ь, С)\\Р\\2, Р £ Гп(С), (0.9)

ЬР\\2 ^ Т2(п, I, С)\\Р\\2, Р е Гп(С). (0.10)

В § 1 показано, что при некоторых ограничениях на линейный оператор Ь и множество С любой экстремальный многочлен в неравенствах (0.9), (0.10) имеет все свои нули на границе множества С. Обозначим через эе2 = эе2(п, Ь, С) величину

Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкнутого подмножества С с С выполнены следующие условия:

1) имеет место вложение 6г с (7(1) = {г £ С : \г\ ^ 1};

2) справедливо неравенство ге2(п, Ь, С) ^ 1. (0.11)

Тогда существует экстремальный многочлен неравенства (0.9), имеющий все п нулей на границе множества С; при этом, если неравенство (0.11) строгое, то любой экстремальный многочлен неравенства (0.9) имеет все п нулей на границе множества С.

Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкнутого подмножества С с С выполнены следующие условия:

1) имеет место вложение

С с К(ге2(п, Ь, С)) = {г £ С : ^ ае2(п, £,£)};

2) справедливо неравенство (0.11).

Тогда существует экстремальный многочлен неравенства (0.10), имеющий все п нулей на границе множества С; при этом, если неравенство (0.11) строгое, то любой экстремальный многочлен неравенства (0.10) имеет все п нулей на границе множества С.

Приведем достаточное условие, при выполнении которого справедливо неравенство (0.11). Обозначим через Сп множество многочленов вида о Сп1к%к-, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам ^ 1> к = 1,п — 1. Для любого оператора определяемого многочленом Ь из Сп по формуле (0.3) и для произвольного множества С имеет место неравенство (0.11).

В § 2 установлена взаимосвязь между неравенствами Бернштей-на (0.9) и Турана (0.10). По оператору Ь вида (0.3) построим оператор Ь по следующему правилу. Пусть (3 = тах{|^|2 : 0 ^ к ^ п}; довольно очевидно, что ¡3 = 1/,С) есть квадрат наилучшей константы в неравенстве Бернштейна (0.9) на всем множестве многочленов Рп, или, тоже самое, для случая С = С. Выберем коэффициенты А&, 0 ^ к ^ п, оператора Ь, так, чтобы Л| = ¡3 — \1п-к\2, 0 ^ к ^ п. Определим во множестве многочленов Рп оператор Ь по формуле п

ЬРп)(г) = У£Скп\кскгк. к=0

Множеству С сопоставим множество О* = {1/z \ г £ С} с С. Отображение 2 —> 1/г является непрерывным отображением расширенной комплексной плоскости на себя; поэтому (в предположении замкнутости множества С) множество С* будет замкнутым. Теорема. Для любого замкнутого множества 6г имеют место равенства

Г|(п, Ь,С) = Р- В22(п} 2, С*), ВЦщ Ь,С)=Р- Т|(гс, (Г), где (3 = тах{|/д;|2 : 0 ^ к ^ п}. При этом если Р есть экстремальный многочлен неравенства Турана или Бернштейна для оператора Ь на множестве (7*, то многочлен Р*(г) = гпР будет экстремальным в неравенстве, соответственно, Бернштейна или Турана для оператора Ь на множестве С.

В § 3 найдены точные константы неравенств (0.9) и (0.10) для многочленов степени случае, когда множество С является окружностью 5(Д) = {г в С : \г\ = Я}, Я, > 0.

Теорема. При п = 1,2,3,4 для любого оператора Ь задаваемого фор мулой (0.3) и любого Я > 0 справедливы равенства в которых в зависимости от значения п параметр m — т(п) и многочлены Qj — Qj,n, 1 ^ j ^ m-, определяются следующим образом. Если п = 1, то m = 1 и Qi(z) — z — (Я. Если п = 2, то m = 2 и Qi(z) = z2 - СЯ2, Q2(z) = (z- (Я)2. Если п = 3, то m = 2 и Qx(z) = = z3 — (Я3, Q2(z) = (z — (Я)3. Наконец, если п = 4, то m = 4 и многочлены Qj, 1 ^ j 4, определяются формулами z4 — (-^ ~~ — (Я2)2, (z — (R)3(z + ("Д), (z — (Я)4- Во всех случаях ( есть произвольное комплексное число со свойством = 1.

В § 4 определено необходимое и достаточное условие экстремальности в неравенствах (0.9) и (0.10) многочленов вида c(zn + (Яп), = 1 и достаточные условия экстремальности многочленов вида c(z — ÇR)n, |С| = 1 в случае, когда множество G есть окружность S (Я).

Теорема. При любом п > 1 для произвольного оператора L вида (0.3) и параметра Я > 0 справедливы такие утверждения. 1. Неравенство (0.9) обращается в равенство на многочленах вида c(zn + (Яп), |С| = 1, тогда и только тогда, когда при 1 ^ j ^ и, v = = [|] выполняются следующие неравенства

1 + Я2п) (Я2%ч\2 + R2{n-])\lj\2)-{\ln\2 + R2n\kI2) (R2j + R2{n~j)) ^ 0 e этом случае имеет место равенство

2. Если число R > 0 для каждого j = 1, и удовлетворяет неравенству П ч.

- (л* + д2(«-л) ( ¿2 Vn-k\2R2k (скпу2 ) > О, к=О ' к=О то неравенство (0.9) на многочленах вида c(z — (R)n, |С| = 1, обращается в равенство, а следовательно, имеет место равенство

В2{щЬ,Ь{Щ) ----.

Zk=o(cn) R2k

3. Неравенство (0.10) обращается в равенство на многочленах вида c(zn + (Rn)i |С| = 1, тогда и только тогда, когда для любого j = 1, v выполняются неравенства

1 + R2n){R2j\ln4\2 + R2in-J)\lj\2) - (|У2 + R2n\l0\2)(R2j + R2^) ^ 0;

6 этой ситуации справедливо равенство

I ln\2 + \k\2R2n

Tj(n,L,S{R))

1 + R2n

4. Если число R > 0 для любого j = удовлетворяет неравенству п \

Е (сп)2R2k) (^2-%-;|2 + R2{n-j)\lj\2) k=0 '

П ч

Y,\k-k?R2kK)2 ko k=0 ' то неравенство (0.10) обращается в равенство на многочленах вида c(z — C-P)n, ICI — 1) и> как следствие, справедливо равенство

ELoI

Ti(n,L,S{R))

EL)

Пусть С есть подмножество С,п многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |^1|2 + |^+1|2 ^ 2 \1к\2, к = 1,п — 1.

Для многочленов I/ £ в диссертации выписаны достаточные условия, имеющие более простую форму и обеспечивающие выполнение предположений теоремы.

В § 5 найдена точная константа в неравенстве Бернштейна (0.9) в случае, когда множество О есть С{Я) внешность открытого круга радиуса й ^ 1 и оператор задается по формуле (0.3) многочленом с нулями в замкнутом единичном круге и равным нулю в точке г = 0.

Теорема. Пусть оператор задается по формуле (0.3) многочленом Ь, имеющим все п нулей в замкнутом круге с центром в начале координат радиуса единица и справедливо равенство Ь{0) = 0. Тогда для точной константы в неравенстве (0.9) при С = С(Я), 0 ^ Я ^ 1 справедливо равенство

В2{щЬ,С(В))

11г.

VI + в?п

На многочленах с(гп + (В!1), = 1, неравенство (0.9), в этом случае, обращается в равенство.

Во второй главе, в основном, исследуется точная константа в неравенстве (0.6) Бернштейна - Джексона при р = оо, д = 2, то есть исследуется неравенство

ЬР||оо < Д>о2(п,£,С)||Р||2, Р е Гп{С).

0.12)

В §1 вычислена константа Д^(п, Ь, С) в случае, когда множество О есть внешность С(1) открытого единичного круга, для любого оператора, определяемого формулой (0.3) с многочленом Ь, имеющим нули в замкнутом единичном круге ^ 1.

ТеоремаДлл произвольного оператора, определяемого по формуле (0.3) многочленом Ь, имеющим все п нулей в замкнутом единичном круге \г\ ^ 1, в случае, когда множество С есть внешность С(1) открытого единичного круга, справедливо равенство

1 71 1 п \ В^щ Ц С(1)) - ( - £ |Щ2 + -|]Г 1к1п.к\ ) к=0 к=0 '

1/2 к=0 14

Неравенство (0.12) с этой константой обращается в равенство лишь на многочленах п / п \

CY1 (h, + e~i4>ln-k) (az)k, \a\ = l, ф = arg ( ^ lklnk J. k=0 k=О

В §2 определены достаточные условия на линейный оператор Ь и множество С, при выполнении которых экстремальные многочлены неравенства (0.12) имеют все нули на границе множества С?. Для оператора Ь и множества С определим величину

ЬгР{г)\ эеоо(п, L, G) = inf

LP(z)\ Р е V„-i{G), \z\ = 1

Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкну-того подмножества С с С выполнены следующие условия:

1) имеет место вложение С с (2(1) = {г £ С : ^ 1};

2) справедливо неравенство

Э9оо(™, L, G) ^ 1.

0.13)

Тогда любой экстремальный многочлен неравенства (0.12) имеет все п нулей на границе множества G.

Для оператора дифференцирования показано, что если R(G) = = min{|z| : z 6 G} ^ 2n — 1, то справедливо неравенство (0.13).

В § 3 найдена наилучшая константа в неравенстве (0.12) для оператора дифференцирования и тождественного оператора при больших значениях величины R(G) = min{|z| : z Е G}. При п ^ 2 определим многочлены Q — Qn формулами

Qn(R) = ( ¿ К)2 R2k) {R + Rn~l) (1 + n(R + Rn~l) + Rn) -^ fc=0 '

- n(l + Ä)2n (ß2 + i?2n"2) , n > 2, Р4 — 2Р3 — 2Р + 1. Пусть - наибольший (положительный нуль многочлена При п = 1 положим = 1. Получены двусторонние оценки величины При любом п ^ 4 для величины имеют место оценки п < Rn < 2п, а при п — 2; 3 для величины Rn справедливы оценки 2 < Rn < 2п.

Теорема. Если при п ^ 1 величина R = R(G) удовлетворяет условию R ^ Rn, mo длл оператора дифференцирования L = D точная константа в неравенстве (2.0.1) имеет следующее значение n , „ ^ nil + R)11-1 B^in, D, (?) =-^--ггг, и неравенство (0.12) обращается в равенство лишь на многочленах c(z — z0)n, где zq — произвольная точка множества G со свойством

Ы = R.

В § 4 исследована точная константа неравенства (0.6) в случае р £ £ [0, оо], q = 0, когда G есть замкнутое подмножество С, обладающее одним из свойств.

I) Множество G имеет хотя бы одну общую точку с единичной окружностью.

II) Множество G вложено в единичный круг.

III) Множество G вложено в дополнение единичного круга. Обозначим через ("о ближайшую к единичной окружности точку множества G.

Теорема. Пусть замкнутое подмножество G расширенной комплексной плоскости удовлетворяет одному из условий (I), (II) или (III). Тогда для любого р £ [0; +оо] и любого оператора L, определяемого формулой (0.3), справедливо равенство в („ТП- 11^г + д>"11"

На многочленах вида c(z — (о)п неравенство (0.6) с этой константой обращается в равенство.

1. Арестов В. В. О неравенствах разных метрик для тригонометрических полиномов // Математические заметки. 1980. Т. 27, вып. 4. С. 539-547.

2. Арестов В.В. Интегральные неравенства для тригонометрических полиномов и их производных // Известия АН СССР. 1982. Т. 45. С. 3-22.

3. Арестов В.В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Математические заметки. 1990. Т. 48, вып. 4. С. 7-18.

4. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса // Труды МИ-АН. 1992. Т. 198. С. 41-88.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т. 1. С. 13-41. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. — М.: Мир, 1965.

7. Arestov V. V. On integral inequalities for algebraic polynomials with restriction on zeros // Analysis Matematica. 1991. V. 17, N 1. P. 11-30.

8. Ankeny N.C., Rivlin T.J. On a theorem of S. Bernstein // Pacific J. Matematica. 1955. V. 5. P. 849-852.

9. Boas R.P., Rahman Q.I. Lp inequalities for polynomials and entire function // Arch. Rational Mech. Anal. 1962. V. 11. P. 34-39.

10. Bojanov Б., Problem BB1, p.243 In: Proceeding of International Conference "Open Problem in Approximation Theory", Voneshta voda,Bulgaria, June 18-24, 1993 (ed. B. Bojanov). — SCT Publishing, Singapore, 1994.

11. De Bruyn N.G. Inequalities concerning polynomials in the complex domain // Nederl. Akad. Watensh. Proc. 1947. V. 50. P. 1265-1272.

12. De Bruyn N.G., Springer T.A. On the zeros of composition-polynomials // Nederl. Akad. Watensh. Proc. 1947. P. 895-903. (= Indag Math. 1947. V. 9. P. 406-414).

13. Govil N.K. On the derivative of a polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 41, N 2. P. 543-546.

14. Govil N.K., Rahman Q.I., Schmeisser G. On the Derivative of a Polynomial, // Illinois J. of Mathematics. 1979. V. 23, N 2. P. 319 329.

15. Hardy G.H. The main value of the modulus of an analytic functions // Proc. London Math. Soc. 1915. V. 14. P. 269-277.

16. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. V. 39. P. 889-906.

17. Kozko A.I. On Jakson-Nikolskii inequalities for trigonometric polynomials in spaces with asymmetrical norms // East J. on Approx. 1996. V. 2, N 2. P. 177-186.

18. Lax P.D. Proof of the conjecture of P.Erdôs on the derivative of polynomials // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. P. 509-513.

19. Malik M.A. On the derivative of polynomials // J. London. Math. Soc. 1969. V. 1, N 2. P. 57-60.

20. Poly a (?., Szego G. Задачи и теорему из анализа. — M.: Наука, 1978.

21. Rahman Q.I., Schmeisser G. Inequalities for polynomials // J. Approx. Theory. 1988. V. 53. P. 26-33.

22. Turan P. Ueber die Ableitung von Polynomen // Compositio Math. 1939. V. 7. P. 89-95.Список работ автора

23. Akopyan R.R. Bernstein inequality in Н2 for algebraic polynomials with restriction on the zeros // East J. on Approx. 1997. V. 3, N 3. P. 333-349.

24. Akopyan R.R. Turun's inequality in H2 for algebraic polynomials with restrictions to their zeros // East J. on Approx. 2000. V. 6, N 1. P. 103124.

25. Akopyan R.R. Bernstein-Jackson's inequality for algebraic polynomials with restrictions on their zeros // East J. on Approx. 2001. V. 7, N 3. P. 351-370.

26. Акопян P.P. Неравенства Бернштейна в H2 для алгебраических полиномов с ограничением на расположение нулей // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-ой Саратовской зимней школы. — Изд-во СГУ, 1997. С. 5-6.

27. Акопян P.P. Неравенство Турана в пространстве Н2 для алгебраических полиномов с ограничением на расположение их нулей // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Издательство УрГУ, 1998. С. 15-16.

28. Акопян P.P. Неравенства Бернштейна и Турана для алгебраических полиномов с ограничением на расположение нулей // Известия ТулГУ. Серия математики, механики и информатики. 1998. Т. 4, N 3. С. 21-25.

29. Акоплн P.P. Неравенство Бернштейна-Джексона для алгебраических полиномов с ограничением на расположение их нулей // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Изд-во УрГУ, 2001. С. 6-7.