Многочлены Чебышева с нулями на дуге окружности и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УДК 517.38+517.51

На правах рукописи

Рыбакова Наталья Николаевна

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА С НУЛЯМИ НА ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

■01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ОКТ

Красноярск-2009

003480303

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Маергойз Лев Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лейнартас Евгений Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Осипов Николай Николаевич

Ведущая организация:

Уральский государственный университет им. A.M. Горького, г. Екатеринбург

Защита состоится 13 ноября 2009 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета & Н.А. Бушуева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи на минимакс и, в частности, описание полиномов, наименее отклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости (полиномов Чебышева), играют важную роль в теории приближений и в смежных с ней разделах математики. Для случая, когда рассматриваются полиномы с нулями на фиксированном компакте К в С, они применяются при изучении свойств трансфинитного диаметра К.

В диссертации рассматривается подобная задача на минимакс в классе полиномов, возникающая при экстраполяции целых функций класса Винера с конечного множества. Показатели многих процессов являются аналитическими функциями из определенных классов, причём входная информация об их поведении задаётся нередко в виде значений показателя в конечном числе узлов. Такая информация может быть точной или приближенной. При этом типичная проблема заключается в нахождении оптимальной оценки наилучшего аналитического продолжения функции с конечного множества в какую-либо точку области ее определения, где измерения не производились. Аналогичный вопрос естественно рассматривать и для некоторого компакта. Тогда возникает задача о равномерной экстраполяции с конечного множества в рассматриваемом классе функций. Более общие проблемы этого плана исследуются в теории оптимального восстановления (раздел теории приближений в терминалогии В.М. Тихомирова [12]), большой вклад в разработку которой принадлежит С.А. Micchelli и Th.J. Rivlin [16], A.A. Melkman [15], В.М. Тихомирову [12], К.Ю. Осипенко [11], Г.Г. Магарил-Ильяеву [6], В.В. Арестову

[1] и др. Задачу оптимальной экстраполяции с конечного множества в фиксированную точку области определения вС"в классах аналитических функций изучали К.Ю. Осипенко, Б.Д. Баянов [3], A.M. Федотов, JI.C. Маергойз [8] и др.

Хорошо известен классический результат П.Л. Чебышева о том, что полином степени п наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [—1; 1], имеет вид

^n(z) = г—-rcos(narccoso;), 2п

причем отрезок [—1; 1] содержит все нули этого полинома. Многочлены Чебышева, заданные на дуге окружности, без ограничения на расположение их нулей в комплексной плоскости С, исследовались Н.И. Ахие-зером и многими другими (см., например, [17]). Как выяснено в диссертации, равномерная оценка экстраполяции функций из класса Винера в любую точку компакта К в С связана с конструкцией многочлена Чебышева с нулями на К.

В связи с вышесказанным актуальным является вопрос о конструкции полиномов Чебышева с нулями на компакте К в С, когда К— фиксированная дуга окружности. Решению этой проблемы и смежным с ней вопросам посвящена диссертация. Основная трудность состоит в том, что множество многочленов с нулями на Г не является линейным пространством. Близкими задачами занимались B.C. Виденский [4], А.Л. Лука-шов [5], C.B. Тышкевич [13]. В частности, C.B. Тышкевич, рассматривая полиномы с нулями на двух и более дугах окружности, получил интегральное представление соответствующего полинома Чебышева, опирающееся на понятие гармонической меры.

Цель работы.

1. Найти конструкцию многочлена Чебышева с нулями на фиксированной дуге окружности.

2. С помощью многочлена Чебышева на компакте получить оценку равномерной оптимальной погрешности аналитического продолжения функций из класса Винера с конечного множества на указанный компакт.

3. Найти оценку оптимальной погрешности аналитического продолжения с конечного множества в заданную точку функций из пространств Винера и Харди.

Методика исследований. В диссертации применяются методы комплексного анализа, функционального анализа, теории функций действительного переменного и теории приближений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории приближений и ряде прикладных задач. Опубликованные результаты главы 2 диссертации послужили отправной точкой для дальнейших исследований В.В. Арестова и A.C. Менделева [2], A.JI. Лукашова и C.B. Тышкевича [14].

Апробация работы. По материалам диссертации делались доклады на:

- всероссийской научной конференции „Алгоритмический и численный анализ некорректных задач", посвященной памяти В.К. Иванова

(Екатеринбург, 1995);

- международной конференции „Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000);

- II и III Всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярск, 2002, 2004);

- Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004);

- международной конференции „Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (Екатеринбург, 2008);

- научных семинарах по теории функций в Уральском государственном университете и отдела теории приближений Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008-2009);

- городском научном семинаре по комплексному анализу в Сибирском федеральном университете (Красноярск, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18]-[26]. Совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Работа изложена на 78 страницах.

Содержание диссертации

Диссертация посвящена выяснению конструкции многочлена Чебы-шева с нулями на дуге окружности и смежным вопросам оптимального восстановления функций класса Винера и Харди.

В первой главе приводятся вспомогательные сведения из теории оптимального восстановления с дискретного множества по точным и приближенным данным, свойства многочленов Чебышева, необходимые в дальнейшем для изложения основных результатов.

Вторая глава диссертации посвящена оптимальной равномерной оценке экстраполяции с конечного множества в каждую точку любого фиксированного компакта и конструкции унитарного многочлена Чебышева Tn[z) степени п с нулевым множеством на дуге окружности

Га={г = е'"еС: ^ а}, (1)

где 0 < а < 7г, наименее отклоняющегося от нуля на Га.

Для изложения результатов главы напомним ряд понятий теории оптимального восстановления.

Пусть V— линейное нормированное пространство функций, определенных в области D С С, V— подмножество V. Для фиксированного х € D определим линейный функционал

Lx : V -> С, Lx(f) = f(x) V/ е V.

Рассмотрим задачу восстановления Lx, исходя из имеющейся информации. Например, пусть задано конечное число функционалов

М/) = /Ы, f€V,xkeD,k = l,...,N.

В этом случае W = CN— „информационное пространство", и I : V —> W— „информационный оператор" имеет вид

ЛЯ = (/(*!),•■-./Ы). fzv. (2)

Любое отображение вида А : W —> С называется алгоритмом.

Оптимальной ошибкой восстановления функционала Lx или его неустранимой погрешностью называется число

Щх, V) = inf sup {\f(x) - А о I(f)\ :fev}, (3)

где нижняя грань рассматривается по всем отображениям А : W —> С.

Отображение Ло : И^ —► С называется оптимальным алгоритмом, если нижняя грань в (3) достигается при А = Ад.

В случае линейного пространства V над полем К действительных чисел С.А. Смоляк доказал, что в определении величины Г2(аг, V") в (3) отображение А можно выбрать линейным, если V— выпуклое уравновешенное подмножество пространства V и I: V —> W— информационный оператор вида (2). Обобщил этот результат на случай комплексных линейных нормированных пространств К.Ю. Осипенко. Если, в частности,

V = {feV:\\f\\<R}-

шар в метрике рассматриваемого линейного нормированного пространства V аналитических функций с центром в нуле, то

П(х, V) = inf {е{х, V, а) : a е С^} ,

где

Е(х, V,a) = sup ■

:fev}. (4)

n

(. к=1

Перейдем к определению оптимальной равномерной оценки экстраполяции в классе Винера Здесь - класс целых функций экспоненциального типа < а, принадлежащих Ь2 на вещественной оси. Пусть V = {/ 6 IV2 : ||/|| < 1}, где ||/|| (норма функции /) равна Ь2-норме ее следа на М; ип = ..., гп} С С, г0 ^ 11п. Рассмотрим

Пп(20) = т£{£„(г0;а) : а € С71},

где

п

Еп(га-а) = зир{|/(20) - 5>,-/(;г,-)| : / 6 V).

з=1

Пусть К - компакт в С, причем {¿о} []ип С К. Величину

Пп(К)=Ы{Мп(К-,ип): ипсК},

где Мп(К;1/п) = зир{Г2п(яо) : ^о € К}, назовем равномерной оптимальной ошибкой экстраполяции функций множества V в любую точку компакта К. Близкое понятие для пространства дифференцируемых функций на отрезке было введено А.Г. Марчуком и К.Ю. Осипенко в работе [10].

Пусть а > 0, Па = {г € С : |1тг| < а], класс унитарных

полиномов степени п с нулевым множеством на К С П0. Следствием оценки

<5>

где 7 = тах{|/тог| : г £ 11п и {.го}}, полученной Л.С. Маергойзом в работе [7], и свойств функций из класса Винера является

Теорема 2.1. В предыдущих обозначениях справедливо неравенство

С1п(К)<А-Ы{\\Рп\\к: Рп е Уп(К)}>

где А = А(У, а) > 0.

Выяснение конструкции многочленов Чебышева в общем случае -сложная задача, и в явном виде ее удается найти далеко не всегда. Даже для дуги окружности без ограничения на расположение нулей в комплексной плоскости С описание многочлена Чебышева удается только на языке эллиптических функций (см., например, [17]). Рассмотрим задачу

о нахождении конструкции многочлена Чебышева с нулями на фиксированной дуге окружности.

Пусть $рп(а) - класс унитарных полиномов степени п с нулевым множеством на Га.

След на окружности Б = {г = ег1р : \<р\ < л} произвольного фиксированного элемента Рп класса ф„(а) допускает представление

п

Рп(е'П = П(е* - V е (6)

¿=1

где элементы

гз ~ ет> 3 = ■■■>п' ~а ^ Ч>\ < <Р2 < - < 4>п < а, в совокупности образуют нулевое множество Рп. Обозначим

п

рп&) реК. (7)

¿=1

Определение 2.1. Функцию рп, задаваемую формулой (7), назовем тригонометрическим многочленом порядка п/2, ассоциированным с полиномом Рп £ фп(а). Класс всех таких многочленов обозначим символом р„(а).

Введем в фп(о;) норму:

||Рп||а = тах{|Рп(г)|, г б Га}.

Задача А. Найти величину

а '• Рп 6 Фп

и экстремальную функцию, т. е. элемент Тп £ такой, что Еп{а)

совпадает с ||Тп||а. Этот элемент называют полиномом, наименее отклоняющимся от нуля на Га, или многочленом Чебышева.

Ограничение на расположение нулей на дуге Га многочленов существенно. К примеру, полином Pi{z) = z — cosa (а < |) является наименее отклоняющимся от нуля на Га без требования на расположение его нулей (см. [17]), при этом Pi(z) не принадлежит классу фп(а).

С задачей А тесно связана другая проблема для тригонометрических полиномов. В классе рп(а) (см. определение 2.1) введем норму

||p„iu = max{|pn(<p)|, \<р\ < а}.

Задача В. Найти величину

(а)} (8)

и экстремальную функцию, т. е. элемент tn 6 рп(оО такой, что е„(а) совпадает с ||ín||Q.

Пусть ÍRn(a) подкласс полиномов класса 9рп(а) с вещественными коэффициентами.

Теорема 2.2. Пусть п = 2г или п = 2г+ 1, а^ = 1 — 2(x¿nsina/2)2, Xkn — cos7r(2fc — 1)/2п, к = 1,...,г. Тогда для задачи А существует единственная экстремальная функция в классе ЭТп(а), которая соответственно при п = 2r, п = 2r + 1 имеет вид

г

Tn(z) = sp(z)-.= l[(z2-2a^z + l), Tn(z) = {z-l)SP{z), (9) к=1

причем в равномерной метрике ||Т„||а = 2 sin" а/2. При этом тригонометрический полином, ассоциированный с многочленом Тп имеет вид

СХ í SÍTl^~\

tn(ip) = 2sinn— • eos n • arceos-\ ] , |</з| < a. (10)

2 V sm^J

В случае полуокружности результат анонсирован J1.C. Маергойзом в работе [9].

Далее приводится аналог теоремы о „чебышевском альтернансе" для тригонометрических полиномов из класса рп(а).

Теорема 2.3. Пусть а € (0,7г), а 6 рп(а) - экстремальный тригонометрический многочлен задачи В. На отрезке {—а, а] существует п + 1 точек А^, ] = 0,1,..., п, со свойствами

А0 < А1 < ••• < А„, Ао = —а, Ап = а; = (~1)пН Ь,

где ] = 0,1,..., пив обозначениях задачи В величина Ь = е„(а).

В следующей теореме приведено решение задач А и В.

Теорема 2.4. В задачах А и В существуют единственная экстремальная функция, а именно, — полином Тп € ф„(а), структура которого описана в теореме 2.2, и соответственно единственный экстремальный тригонометрический многочлен £„ € рп(а)> ассоциированный сТп.

Третья глава посвящена вопросам наилучшего аналитического продолжения с конечного множества II в заданную точку го £ V для функций из классов Винера и Харди.

Приведены оценки для неустранимой погрешности экстраполяции функций из обобщенного класса Винера И^1, для 1 < р <2. Здесь — класс целых функций экспоненциального типа меньше либо равного с, принадлежащих ИР на вещественной оси.

Пусть V = Е УУР : ||/|| ^ г}, где ||/|| (норма функции /) равна 1Л норме ее следа на К; £/„ = {^ь ...,гп} С С, г0 £ ип. Для функций из в соответствии (3) и (4) введем следующие обозначения

0,(р, го) = Ъ£{ЕпЫ а) • а е С"}, (11)

где

П

Еп{г0-а) = £ир{|/(20) - Е^/С^')| : / 6 V}.

3=1

Следующий результат улучшает оценку (5).

Теорема 3.2. Для неустранимой погрешности экстраполяции Г2„(2,2о) с конечного множества 17п в точку го функций из класса справедливо неравенство

п 1

где а = тах{|/шг| : г £ [/„ и {^о}} Ф О,

Ш = зЬ „ Е " Л « Е ^ГТ)Г- аз)

Затем рассматривается обобщение оценки (5), полученной Л.С. Маер-гойзом.

Теорема 3.1. Для неустранимой погрешности экстраполяции 1 < р < 2 с конечного множества 1/п в точку го функций из класса справедливо неравенство

где а = тах {\1тг\ : г € С/„ и {го}}.

Далее приведено новое доказательство результата К.Ю. Осипенко и М.И. Стесина (см. [11]) о формуле неустранимой погрешности аналитического продолжения с конечного множества в заданную точку функций из класса Харди.

В конце главы 3 приводится пример на вычисление оптимальной ошибки наилучшего аналитического продолжения с конечного множества 11 в точку га £ 11 функций пространства Харди по приближенным

данным. Этот пример опирается на теорему из работы [8], посвященной описанию характеристик экстраполяции с конечного множества по приближенным данным для гильбертовых пространств аналитических функций с воспроизводящим ядром.

В приложении строится конструктивный пример гильбертова пространства, не являющегося пространством с воспроизводящим ядром. Этот результат дополняет исследования JI.C. Маергойза и A.M. Федотова (см. [8]) по оптимальной экстраполяции с конечного множества аналитических функций, принадлежащих гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром (так называют линейные нормированные пространства, в метрике которых каждый дельтаобразный функционал непрерывен).

Основные результаты диссертации следующие:

1. Найдена конструкция многочлена Чебышева с нулями на любой фиксированной дуге окружности.

2. С помощью многочлена Чебышева на компакте получена оценка равномерной оптимальной погрешности аналитического продолжения функций из класса Винера с конечного множества на указанный компакт.

3. Найдена оценка оптимальной погрешности аналитического продолжения с конечного множества функций из класса Винера и Харди в заданную точку.

Автор признателен своему научному руководителю Маергойзу JI.C. за постоянное внимание при выполнении данной работы.

Список литературы

[1] Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи.// Тр. Матем. ин-та РАН им. Стеклова, М.: Наука, 1989, т. 189, С. 3-20.

[2] Арестов В.В., Менделев A.C. О тригонометрических полиномах, наименее уклоняющихся от нуля// Докл. АН, 2009, 425:6, С. 733 - 736.

[3] Баянов Б.Д. Оптимальная скорость интегрирования и е— энтропия одного класса аналитических функций// Матем. заметки, 1973, 14:1, С. 3-10.

[4] Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период// Докл. АН СССР, 1960, 130:1, С. 13-16.

[5] Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках// Изв. РАН Сер. мат., 2004, 68:3, С. 115-138.

[6] Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Едиториал УРСС, 2003.

[7] Маергойз Л.С. Оптимальная ошибка экстраполяции с конечного множества в классе Винера// Сиб. матем. журн., 2000, 41:6, С. 1363-1375.

[8] Маергойз Л.С., Федотов A.M. Оптимальная погрешность аналитического продолжения с конечного множества по неточным дан-

ним в гильбертовых пространствах голоморфных функций// Сиб. матем. журн., 2001, 42:5, С. 1106-1116.

[9] Маергойз JI.C. Полиномы Чебъшева с нулями на заданном компакте и их приложения// Комплексный анализ и его приложения. Тезисы докладов Международной школы-конференции, посвященной памяти профессора И. П. Митюка (11-17 сентября 2005 г.), Изд-во Краснодар, ун-та, Краснодар, 2005, С. 75-76.

[10] Марчук А.Г., Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек// Матем. заметки, 1975, 17: 3, С. 359-368.

[11] Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О задачах восстановления в пространствах Харди и Бергмана// Матем. заметки, 1991, 49:4, С. 95104.

[12] Тихомиров В.М. Теория приближений. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 14. Анализ-2-М.: ВИНИТИ, Итоги науки и техники, 1987, С. 103-270.

[13] Тышкевич C.B. О чебышевких полиномах на дугах окружности// Матем. заметки, 2007, 81:6, С. 851-853.

[14] Lukashov A.L., Tishkevich S.V. Extremal Polynomials on Arcs of the Circle with Zeros on These Arcs. Izvestiya NAN Armenii. Mathematika, 2009, № 3, P. 19-29.

[15] Melkman A.A., Micchelli C.A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data// Siam. J. Numer. Anal. 1979. V. 16, № 1. P. 87-105.

[16] Micchelli С.A., Rivlin T.J. Optimal Estimation in Approximation Theory. IBM Yorktown Heights. New York. Plenum press. New York and London, 1976.

[17] Thiran J. P. and Détaillé С. Chebyshev Polynomials on Circular Arcs in the Complex Plane// Progress in Approximation Theory, Academic Press, Boston, MA, 1991, P. 771-786.

Работы автора по теме диссертации

[18] Fedotov A.M. and Rybakova N.N. Optimal interpolation of Analitical Functions- Scentific Siberia, Ser. A, Vol 11, Numerical and Data Analysis, AMSE-Press, 1994, P. 63-69.

[19] Рыбакова H.H. Об ограниченной аналитической интерполяции в круге с помощью функции Бляшке// Комплексный анализ и математическая физика: Межвуз. сб. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 1998. С. 182-189.

[20] Маергойз JT.C., Рыбакова Н.Н. О существовании разрывных дельта-функций в гильбертовых пространствах аналитических функций/ / Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды международной конференции/ Институт вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 2000. С. 148-151.

[21] Рыбакова Н.Н. Оптимальная погрешность в задаче аналитического продолжения функций из класса Харди// Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. трудов. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2000. С. 109-113.

[22] Маергойз Л.С., Рыбакова H.H. Многочлены Чебышева с нулевым множеством на дуге окружности и смежные вопросы, Препринт 312М, Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН, Красноярск, 2008, С. 1-16.

[23] Маергойз Л.С., Рыбакова H.H. Многочлены Чебышева с нулевым множеством на дуге окружности// Докл. АН, 2009, 426:1, С. 26-28.

Тезисы докладов конференций

[24] Рыбакова H.H., Федотов A.M. Аналитическое продолжение в единичном круге// Алгоритмический и численный анализ некорректных задач, тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (27 февраля - 3 марта 1995 г.), изд-во Уральского ун-та, Екатеринбург, 1995, С. 106.

[25] Маергойз Л.С., Рыбакова H.H. Равномерная оптимальная погрешность экстраполяции с конечного множества в классе Винера/ / Современные методы теории краевых задач, материалы Воронежской весенней математической школы „Понтрягинские чтения - XV". Воронеж, ВГУ, 2004, С. 139.

[26] Маергойз Л.С., Рыбакова H.H. Многочлены Чебышева с нулевым множеством на дуге окружности// Алгоритмический анализ неустойчивых задач, тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. К. Иванова (1-6 сентября 2008 г.), Изд-во Уральского ун-та, Екатеринбург, 2008, С. 73-74.

Подписано в печать 05.10.2009. Формат 60 х 841/16. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 110 экз. Заказ № 675.

Отпечатано в ИПК СФУ. 660041, Красноярск, пр. Свободный, 82.

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Свойства многочленов Чебышева.

§2. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного множества по точным данным

§3. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного множества по приближенным данным.

§4. Сведения по функциональному анализу.

Глава 2. Многочлены Чебышева с нулями на дуге окружности

§ 1. Об одном приложении полинома

Чебышева с нулями на компакте в С.

§ 2. Постановка задачи.

§ 3. Случай полиномов с вещественными коэффициентами

§ 4. Необходимые свойства экстремальных функций в задачах А и В.

§ 5. Основная теорема

§6. Альтернативное доказательство теоремы 2.3 при а < |

§ 7. Комментарии к главе

Глава 3. Характеристики наилучшего аналитического продолжения с дискретного множества в заданную точку в пространствах Харди и Винера

§ 1. Оценка оптимальной погрешности экстраполяции с конечного множества в классе Винера.

§2. Оптимальная погрешность в задаче аналитического продолжения функций из класса Харди с конечного множества

§3. Задача оптимальной экстраполяции по приближенным данным в классе Харди.

Задачи на минимакс и, в частности, описание полиномов, наименее отклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости (полиномов Чебышева), играют важную роль в теории приближений и в смежных с ней разделах математики (см., например, [13], [18], [28]). Для случая, когда рассматриваются полиномы с нулями на фиксированном компакте К в С, они применяются при изучении свойств трансфинитного диаметра К [8].

В диссертации рассматривается подобная задача на минимакс в классе полиномов. Она возникает при экстраполяции целых функций класса Винера с конечного множества (т.е. множества, состоящего из конечного числа точек). Показатели многих процессов являются аналитическими функциями из определенных классов, причём входная информация об их поведении задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов. Такая информация может быть точной или приближенной. При этом типичная проблема заключается в нахождении оптимальной оценки наилучшего аналитического продолжения функции с конечного множества в какую-либо точку области ее определения, где измерения не производились. Аналогичный вопрос естественно рассматривать и для некоторого компакта. Тогда возникает задача о равномерной экстраполяции с конечного множества в рассматриваемом классе функций. Более общие проблемы этого плана исследуются в теории оптимального восстановления (раздел теории приближений), большой вклад в разработку которых принадлежит С.A. Micchelli и Th.J. Rivlin [51], A.A. Melkman [50], B.M. Тихомирову [35], К.Ю. Осипенко [29], Г.Г. Магарил-Ильяеву [21], В.В. Арестову [1] и др. Задачу оптимальной экстраполяции с конечного множества в фиксированную точку области определения в С" в классах аналитических функций изучали К.Ю. Осипенко [52], Б.Д. Баянов [5], A.M. Федотов, JI.C. Маергойз [24] и др.

Хорошо известен классический результат П.Л. Чебышева о том, что полином степени п наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [—1; 1], имеет вид 1

Тп(х) = -—г cos(narccosx),

2 п 1 причем отрезок [—1; 1] содержит все нули этого полинома.

Многочлены Чебышева, заданные на дуге окружности, без ограничения на расположение их нулей в комплексной плоскости С, исследовались Н.И. Ахиезером и многими другими (см., например, [53]). Как выяснено в диссертации, равномерная оценка экстраполяции функций из класса Винера в любую точку компакта К в С связана с конструкцией многочлена Чебышева с нулями на К.

В связи с вышесказанным возникает естественный вопрос о конструкции полиномов Чебышева с нулями на компакте, когда компакт Г— фиксированная дуга окружности. Решение этой проблемы рассмотрено в диссертации. Основная трудность состоит в том, что множество многочленов с нулями на Г не является линейным пространством. Близкими задачами занимались B.C. Виденский [7] (1960), А.Л. Лукашов [20] (2004), С.В. Тышкевич [37] (2007) и другие.

В работе [7] B.C. Виденский получил экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период. Пусть — ш <6<си, 0 < си < 1г, tn(0) = cos 2narccos^—^r, ип(в) = sin 2narccos~ sin(a;/2)' nv y sin(w/2) тригонометрические полиномы.

Теорема. [B.C. Виденский] Если тригонометрический полипом sn{0) порядка п удовлетворяет неравенству |sn(0)¡ < 1, то для 0 £ (—и;ш) верны неравенства

14(0)1 < К(0) + iu'n{9)\ = пcos(#/2)(sin2{lo ¡2) - sm2(e/2)y^2, (0.1) а при п > (Stg2(tü/2) + l)1'2/2

К№1 < 14И1 (0.2)

В (0.1) равенство достигается только для полиномов sn(6) =

7| = 1, в 2п точках, являющихся нулями tn(6) на [—а в (0.2) для тех оюе полиномов, но только в тачках в —

В работе A.JI. Лукашова (см. [20]) описано решение задачи о рациональной тригонометрической функции с фиксированным знаменателем, наименее уклоняющейся от нуля на нескольких отрезках, принадлежащих периоду.

Рассматриваются рациональные тригонометрические функции вида . A cos Nip В sin Nip + ai cos(iV — l)ip + . + btm sín(N — [N])ip

-7Ш-'

0.3)

N— полуцелое, N € N/2, А, В e R (Л2 + В2 ф 0) - фиксированные числа, 21 {(f)— фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а < 2N, положительный на заданной конечной системе отрезков е = [<р1, <£2] и . U [уы-ь У21], ь <(р\ < V2 < . . .< (р21 < b + 27Г. (0.4)

Ставится задача о нахождении функции вида (0.3), наименее уклоняющейся от нуля на нескольких отрезках (0.4). Получено интегральное представление соответствующей функции, опирающееся на понятие гармонической меры.

Рассматривая полиномы с нулями на двух и более дугах окружности, C.B. Тышкевич (см. [37]) получил интегральное представление соответствующего полинома Чебышева, опирающееся на понятие гармонической меры.

На множестве

TE = {zeC: г = у>е Е}, где Е = [(/>1, ip2] и . и [ip2i-i,<P2i], 0 < (fil < (Р2 < . < (p2i < 2тт, I > 2, рассматриваются многочлены и

Zj е ТЕ, j = 1,. ,п.

3=1

Множество таких многочленов обозначим Vßn(E).

Функция u(z, G,C\Tß) называется гармонической мерой множества G С Те в точке z € С \ ТЕ относительно области С \ Г^, если

1) uj(z, G,C\Te) гармоническая и ограниченная в С \ Г^;

2) üj(z, G,C\Te) = 1 при zgG и сj(z, G,C\Te) = 0 при z £TE\G. Теорема. [C.B. Тышкевич] Если гармонические меры дуг

Теь, Ek = [<fi2k-iз? к = 1,.,/,— рациональные числа, cj(z,x)— плотность гармонической меры, определяем,ая равенством о z, х) = Те n {ei<p : 0 < <fi < х}, € \ ТЕ, то минимум в экстремальной задаче max\Pn(z)\ = min тах|Рп(г:)| zerE pn(z)e»ßn(E) z€rE составляют многочлены

К О) = A^cos ( ~ / (^(00,0+27(0,4))^) ,

V ¿ JEn[0,<p] J где £ e {—1; 1}, A„ = const.

Целью диссертации является:

1. Найти конструкцию многочлена Чебышева с нулями на фиксированной дуге окружности.

2. С помощью многочлена Чебышева на компакте получить оценку равномерной оптимальной погрешности аналитического продолжения функций из класса Винера с конечного множества на указанный компакт.

3. Найти оценку оптимальной погрешности аналитического продолжения с конечного множества в заданную точку функций из пространств Винера и Харди.

Диссертация посвящена выяснению конструкции многочлена Чебышева с нулями на дуге окружности и смежным вопросам оптимального восстановления функций класса Винера и Харди.

В первой главе приводятся вспомогательные сведения из теории оптимального восстановления с дискретного множества по точным и приближенным данным, свойства многочленов Чебышева, необходимые в дальнейшем для изложения основных результатов.

Вторая глава диссертации посвящена оптимальной равномерной оценке экстраполяции с конечного множества в каждую точку любого фиксированного компакта и конструкции унитарного многочлена Чебышева Tn(z) степени п с нулевым множеством на дуге окружности

Гa = {z = e^eC: М < а}, (0.5) где 0 < а < 7Г, наименее отклоняющегося от нуля на Га.

Рассмотрим класс целых функций экспоненциального типа меньше либо равного а, принадлежащих Ь2 на вещественной оси. Пусть V = {/ е 1¥2 : ||/|| < 1}, где ||/|| (норма функции /) равна I? -норме ее следа на Е; 11п = {21,гп} сС,го^ ип. Величина

Пп(г0) = 1г£{Еп(г0;а) : а <Е Сп}, где п

ЕпЫ\ а) = зир{|/(го) -J2ajf(zj)\ : / е

- это оптимальная погрешность аналитического продолжения. Пусть К

- компакт в €, причем С К. Под оптимальной равномерной ошибкой экстраполяции функций множества V в любую точку компакта К понимается значение

Пп(К) = Ы{Мп{К> ип) : ип С К}, где Мп(К; 11п) — 8ир{Пга(^о) ^о £ К}. Близкое понятие для пространства дифференцируемых функций на отрезке было введено А.Г. Марчу-ком иК.Ю. Осипенко в работе [27].

Пусть а > О, Пя = {г € С : |1т2;| < а} фп(К) — класс унитарных полиномов степени п с нулевым множеством на К С П0. Следствием оценки где 7 = тах{|/ш2;| : г £ 1/п и -{/о}}, полученной Л.С. Маергойзом в работе [23], и свойств функций из класса Винера является

Теорема 2.1. В предыдущих обозначениях справедливо неравенство

Пп(К) < А ■ Ы{\\Рп\\к : е гдеА = А(У,а) >0.

Выяснение конструкции многочленов Чебышева в общем случае -сложная задача, и в явном виде ее удается найти далеко не всегда. Даже для дуги окружности без ограничения на расположение нулей в комплексной плоскости С описание многочлена Чебышева удается только на языке эллиптических функций (см., например, [53]). Рассмотрим задачу о нахождении конструкции многочлена Чебышева с нулями на фиксированной дуге окружности.

Пусть - класс унитарных полиномов степени п с нулевым множеством на Га. След на окружности £ = {г — е1<р : \ц>\ < 7г} произвольного фиксированного элемента Рп класса фп(а<) допускает представление п р £ К, (0.7) 1 где элементы ег(р\ э = 1,., 71, -а < < (¿2 < ■■■ < Фп < ос, в совокупности образуют нулевое множество Рп. Обозначим п

Рп{ч>) := П 2 81п V € К, - (0.8)

7=1 это тригонометрический многочлен порядка п/2, ассоциированным с полиномом Рп 6 Класс всех таких многочленов обозначим символом

Введем в фп(а) норму:

РП||Л = тах{|Р„(;г)|, г 6 Га}.

Задача А. Найти величину

Еп(а) = иИ:{||Рга||а : Рп е $„(<*)} 10 и экстремальную функцию, т. е. элемент Тп Е такой, что

Еп(а) = ||Тп||а. Этот элемент называют полиномом, наименее отклоняющимся от нуля на Га, или многочленом Чебышева.

Ограничение на расположение нулей на дуге Га многочленов существенно. К примеру, полином

Р\ (г) — г — сова , когда а < |, является наименее отклоняющимся от нуля на Га без требования на расположение его нулей (см. [53]), при этом нулей на дуге Га он не имеет, т.е. не принадлежит классу фп(а:) (следовательно, в классе ф^ск) многочлен Чебышева имеет другую конструкцию).

Решение задачи А эквивалентно решению аналогичной проблемы в классе ргг(а) тригонометрических многочленов, ассоциированных с элементами класса фп(а). При этом в рп{<х) вводится норма р„||а = тах{Ь„(у?)|, И < а}.

Задача В. Найти величину еп{а) = т£{||р„||а : рп € р„(а)} (0.9) и экстремальную функцию, т. е. элемент £п Е рп(ск) такой, что (¡^гг||а

Пусть а) подкласс полиномов класса ф?г(а) с вещественными коэффициентами .

Теорема 2.2. Пусть п = 2г илип — 2г + 1, а^ = 1-2(^ге8та/2)2, хкп = соз7г(2к ~ 1)/2п, к = 1,.,г. Тогда для задачи А существует единственная экстремальная функция в классе 9г/г(ск); которая соответственно при п = 2г, п = 2г 4-1 имеет вид (0.10) к—1 причем в равномерной метрике ||Tn||a = 2sinria'/2. При этом тригонометрический полином, ассоциированный с многочленом Тп имеет, вид N па ( sin£\ , , tn(ip) = 2sm — • cos yn ■ arccos~^^J > M ^ a- (0.11)

В случае полуокружности результат анонсирован Л.С. Маергойзом [25] (2005 г.).

Отметим, что для четных тригонометрических многочленов вида

77 — 1 cos nt + ^Г^ a,k cos kt k=0

C.H. Бернштейном [6] получена оценка снизу п—1 2П max I cos nt + > au cos kt I > (sin —) , —a<t<oi 1 V 2 / k=0 если 0 < а < 7г.

Далее приводится аналог теоремы о „чебышевском альтернансе". Теорема 2.3. Пусть а € (0,7г), a tn € ~ экстремальный тригонометрический многочлен задачи В. На отрезке [—а, а] существует п + 1 точек Aj = 0,1,., п, со свойствами

А0 < Ai < • • • < А„, Ао = -а, \п = а; tn(Xj) — (-1 )n+JL, где j = 0,1,., пив обозначениях задачи В величина L = еп(а).

Теорема 2.4. В задачах А и В существуют единственная экстремальная функция, а именно, — полином Тп G структура которого описана в теореме 2.2, и соответственно единственный экстремальный тригонометрический многочлен tn € ассоциированный сТп.

Опубликованные результаты главы 2 диссертации послужили отправной точкой для дальнейших исследований В.В. Арестова и A.C. Менде-лева [2], А.Л. Лукашова и С.В. Тышкевича [48].

Третья глава посвящена вопросам наилучшего аналитического продолжения с конечного множества II в заданную точку го £11 для функций из классов Винера и Харди.

Приведены оценки для неустранимой погрешности экстраполяции функций из обобщенного класса Винера И7"^, где 1 < р < 2. Здесь И7^ — класс целых функций экспоненциального типа меньше либо равного сг, принадлежащих // на вещественной оси.

Пусть V = \ ||/|| < г}, где ||/|| (норма функции /) равна

I7 —норме ее следа на М; ип = {г\,., гп} С С, го ф 17п. Для функций из ЦТ? введем следующие обозначения для неустранимой погрешности экстраполяции с конечного множества 11п в точку го

Пп(р, г0) = ш£{Еп(хо; а) : а е С"}, (0.12) где п

Еп{г0; а) = эирЦ/^о) - ^ : / € V"}.

Следующий результат улучшает оценку (0.6), полученную Л.С. Ма-ергойзом (см. [23]).

Теорема 3.2. Для неустранимой погрешности экстраполяции Г2га(2, го) с конечного множества 17п в точку го функций из класса И7^ справедливо неравенство

0-13) где а = тах{\1тг\ : г е ип и {^о}} ф 0, к=0 4 ' к=1 4 ' Затем рассматривается обобщение оценки, полученной Л.С. Маергойзом (см. (0.6)).

Теорема 3.1. Для неустранимой погрешности экстраполягщи о), 1 < р < 2 с конечного множества ип в точку хо функций из класса справедливо неравенство а п

0,5) где а — тах{\1тг\ : г е ип и {^о}}.

Далее приведено новое доказательство следующего результата К.Ю. Осипенко и М.И. Стесина [29] о неустранимой погрешности аналитического продолжения функций из класса Харди.

Пусть И = {г Е С : Ноф)— пространство Харди аналитических функций в круге В норма в определяется формулой

1 Г2п о

Шк(П) = зир — / |ДДе*)|Г^,

0<Л<1 27Г J0 и = им = {гъ.,гм} С й Рассмотрим множество

Н2(0,г) = £ Н2(П) : \\Д\нт <г} .

Теорема [К.Ю. Осипенко и М.И. Стесин]. Для неустранимой погрешности экстраполяции (см. (1.8)) с конечного множества IIдг в точку го £ D\ функций из Н2{0,г) справедливо равенство о ы- Г\В*Ы\ ~ |г|2)1/2' где

Вф) = п тЕ N п=1

В конце главы 3 приводится пример на вычисление оптимальной ошибки наилучшего аналитического продолжения с конечного множества и в точку го ф и функций пространства Харди по приближенным данным. Этот пример опирается на теорему из работы [24], посвященной описанию характеристик экстраполяции с конечного множества по приближенным данным для гильбертовых пространств аналитических функций с воспроизводящим ядром.

В приложении строится конструктивный пример гильбертова пространства, не являющегося пространством с воспроизводящим ядром. Этот результат дополняет исследования JI.C. Маергойза и A.M. Федотова [24] по гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром (так называют линейные нормированные пространства, в метрике которых каждый дельтаобразный функционал непрерывен). Остановимся на кратком содержании приложения.

Пусть G— область п-мерного комплексного пространства Сп, когда п > 1; Е — линейное пространство аналитических функций в области G, топология в котором вводится таким образом, что выполняется следующее условие:

1) для каждой точки a G G отображение

Аа:Е-> С, Aa(f) = /(a), feE (0.16)

- непрерывный линейный функционал.

Теорема 4.1. Пусть Е— пространство аналитических функций в области G, которое обладает свойством 1) и удовлетворяет следующим условиям:

2) Е— бесконечномерное пространство;

3) Е является банаховым пространством или счетно-нормировапным пространством Фреше;

4) для каждой точки а 6 G существует функция fa G Е, для которой fa(a) ф 0.

Тогда для каждой точки а £ G на Е можно ввести норму ¡| • ||0, превращающую Е в сепарабельное гильбертово пространство, в котором линейный функционал Аа вида (0.16) разрывен относительно нормы || • ¡|а. Если пространство Е содероюит, постоянные в облает,и С функции, то на Е можно ввести норму, не зависящую от тючки а € С.

Автор признателен своему научному руководителю Маергойзу Л.С. за постоянное внимание при выполнении да,нной работы.

Основные результаты приложения отражены в [56].

Заключение.

В заключение добавим, что основные результаты диссертации следующие:

1. Найдена конструкция многочлена Чебышева с нулями на любой фиксированной дуге окружности.

2. С помощью многочлена Чебышева на компакте получена оценка равномерной оптимальной погрешности аналитического продолжения функций из класса Винера с конечного множества на указанный компакт.

3. Найдена оценка оптимальной погрешности аналитического продолжения с конечного множества в заданную точку функций из классов Винера и Харди.

1. Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи.// Тр. Матем. ин-та, РАН им. Стеклова, М.: Наука, 1989, Т. 189, С. 3-20.

2. Арестов В.В., Менделев A.C. О тригонометрических полиномах, наименее уклоняющихся от нуля// Докл. АН, 2009, 425:6, С. 733 736.

3. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядер.//Сб. пер. Математика.-М.:ИЛ, 1963, Т. 7, № 2. С. 67-130.

4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965.

5. Баянов Б.Д. Оптимальная скорость интегрирования и е— энтропия одного класса аналитических функций// Матем. заметки, 1973, 14:1, С. 3-10.

6. Бернштейн С.Н. Несколько замечаний о многочленах наименьшего уклонения с целыми коэффициентам,и. Сочинения, Т. 1, 1930.

7. Виденский В. С. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период// Докл. АН СССР, 1960, 130:1, С. 13-16.

8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Наука, М., 1966. 628 с.

9. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. ГИТТЛ, М., 1954.

10. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.:Иностр.лит.,19бЗ. 311 с.

11. Дей М.М. Нормированные линейные пространства.-М.: ИИЛ, 1961.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. II. М.: Мир, 1965.

13. Иванов В. К. Задача о минимаксе системы линейных функций// Матем. сб., 1951, 28:3, С. 685-706.

14. Ибрагимов И.И. Экстремальные свойства целых функций конечной степени. Изд-во АН Азербайд.ССР, Баку, 1962. 315 с.

15. Ибрагимов И.И. Методы, интерполяции, функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

17. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр- М.: Мир,1984.

18. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.

19. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

20. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках// Изв. РАН Сер. мат., 2004, 68:3, С. 115-138.

21. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Едиториал УРСС, 2003.

22. Маергойз Л.С. Экстремальгте свойства целых функций класса Винера и их приложения// Докл. Академии наук, 1997, 356:2, С. 161165.

23. Маергойз Л. С. Оптимальная ошибка экстраполяции с конечного множества в классе Винера// Сиб. матем. журн., 2000, 41:6, С. 1363-1375.

24. Маергойз Л. С., Федотов А. М. Оптимальная погрешность аналитического продолжения с конечного множества по неточным данным в гильбертовых пространствах голоморфных функций// Сиб. матем. журн., 2001, 42:5, С. 1106-1116.

25. Марчук А.Г. Оптимальные по точности методы решения линейных задач восстановления. Новосибирск, 1976. 30 с. (Препринт (ВЦ СО АН СССР, № 10)).

26. Марчук А.Г., Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек// Матем. заметки, 1975, 17: 3, С. 359-368.

27. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

28. Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О задачах восстановления в пространствах Харди и Бергмана// Матем. заметки, 1991, 49:4, С. 95104.

29. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. шк., 1999. 336 с.

30. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. Наука, М.-Л., 1964.

31. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс., 1965.

32. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. 328 с.

33. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Гос. изд-во физико-математической литературы. Москва, 1960.

34. Тихомиров В.М. Теория приближений. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 14. Анализ-2.-М.: ВИНИТИ, Итоги науки и техники, 1987, С. 103-270.

35. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Мет,оды решения некорректных задач- 2-е изд.- М.:Наука, 1979. 288 с.

36. Тышкевич С. В. О чебышевких полиномах на дугах окружности// Матем. заметки, 2007, 81:6, С. 851-853.

37. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961.

38. Федотов A.M. Численные алгоритмы аналитического продолжения с дискретных множеств и алгоритмическое доказательство теорем единственности// Докл. АН СССР, 1991, 318:2, С. 285 288.

39. Федотов A.M. Теоретическое обоснование вычислительных алгоритмов для задач аналитического продолжения// Сиб. матем. журнал, 1992, 33:3, С. 175-185.

40. Хавинсон С.Я. Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области//Успехи мат. наук, 1963, 18:2(110), С. 25 — 98.

41. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике-М.: Наука, 1971. 408 с.

42. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1, М.: Наука, 1985.

43. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова, думка, 1992.

44. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

45. Bukhgeim A.L. Extension of solutions of elliptic equations from discrete sets // J. Ill-posed and Inverse Problems, 1993, V. 1, № 1, P. 17-32.

46. Fisher S.D., Micchelli C.A. The n-width of sets' of analytic functions. Duke Math. J. 47, P. 789-801.

47. Lukashov A.L., Tishkevich S.V. Extremal Polynomials on Arcs of the Circle with Zeros on These Arcs. Izvestiya NAN Armenii. Mathematika, 2009, № 3, P. 19-29.

48. Maergoiz L.S. An Analog of the Paley- Wiener Theorem for Entire of the Space 1 < p < 2, and some Applications// Computational Methods Function Theory. V. 6, № 2, P. 459-469;

49. Melkman A.A., Micchelli C.A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from, inaccurate data// Siam. J. Numer. Anal. 1979. V. 16, № 1, P. 87-105.

50. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Optimal Estimation in Approximation Theory. IBM Yorktown Heights. New York. Plenum press. New York and London, 1976.

51. Osipenko K.Yu. Best approximation of analytic functions from, their values at a finite number of pointsj/ Mat. Zametki 19, 1976, P. 29-40.

52. Thiran J. P. and Detaille C. Chebyshev Polynomials on Circular Arcs in the Complex Plane)j Progress in Approximation Theory, Academic Press, Boston, MA, 1991, P. 771-786.

53. Работы автора по теме диссертации

54. Fedotov A.M. and Rybakova N.N. Optimal interpolation of Analitical Functions.- Scentific Siberia, Ser. A, Vol 11, Numerical and Data Analysis, AMSE-Press, 1994, P. 63-69.

55. Рыбакова H.H. Об ограниченной аналитической интерполяции в круге с помощъю функции Бляшке// Комплексный анализ и математическая физика: Межвуз. сб. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 1998, С. 182-189.

56. Рыбакова Н.Н. Оптимальная погрешность в задаче аналитического продолжения функций из класса Харди// Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. трудов. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2000, С. 109-113.

57. Маергойз JI. С., Рыбакова Н. Н. Многочлены Чебышева с пулевым множеством на дуге окружности и смежные вопросы, Препринт312М, Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН, Красноярск, 2008, С. 1-16.

58. Маергойз Л. С., Рыбакова Н. Н. Многочлены Чебышева с нулевым мноэюеством на дуге окружности// Докл. АН, 2009, 426:1, С. 26-28.