Некоторые типы квадратурных формул и многочлены Чебышева, ортогональные на дискретных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ЕЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1. Некоторые понятия из теории функций и функционального анализа

§2. Многочлены Чебышева - Хана дискретного переменного

§3. Многочлены Якоби

ЕЛАВА II. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ.

§1. Постановка задачи.

§2. Построение квадратурной формулы

§3. Оценки для весов квадратурной формулы.

§4. Сходимость квадратурного процесса с равноотстоящими узлами.

ЕЛАВА III. О ПРИМЕНЕНИИ ОРТОЕОНАЛЬНЫХ МНОЕОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ДИСКРЕТНОЕО ПЕРЕМЕННОЕО К ПРИБЛИЖЕН

НОМУ ВЫЧИСЛЕНИЮ КОНЕЧНЫХ СУММ

§1. Постановка задачи.

§2. Некоторые вспомогательные результаты

§3. Асимптотические формулы для ортогональных многочленов

Чебышева дискретного переменного.

§4. О нулях многочленов Чебышева

Актуальность темы. В последнее время получила интенсивное развитие теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, вызванная многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. Эти приложения, в свою очередь, приводят к постановкам теоретических задач, связанных со свойствами самих многочленов, ортогональных на дискретных сетках. В частности, представляют интерес свойства этих многочленов, связанные с некоторыми приложениями в вычислительной математике. В настоящей работе исследуются свойства многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, обладающими высокой алгебраической точностью. Потребности в таких формулах часто возникают в том случае, когда требуется интегрировать функцию, обладающую высокой гладкостью, значения которой заданы в узлах равномерной сетки. На основе многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, в настоящей работе (глава II) построены квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса. Получен алгоритм построения таких формул и исследованы вопросы сходимости построенного квадратурного процесса. Другая задача, рассмотренная в главе III настоящей работы, также относится к теории квадратурных формул. В ней исследуется дискретный аналог хорошо известных квадратурных формул типа Гаусса. Построение дискретного аналога квадратур типа Гаусса также основано на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках. В связи с этой задачей возникают вопросы разделения корней многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, и их приближенного вычисления. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об асимптотическом поведении указанных многочленов.

Объект исследования. В работе исследуются многочлены Че-бышева дискретного переменного, ортогональные на равномерных сетках, свойства этих многочленов, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, точных для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени. Рассматривается также дискретный аналог квадратурных формул типа Гаусса, основанных на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках.

Цель работы.

1) Построить квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса.

2) Получить алгоритм для вычисления весов квадратурной формулы с равноотстоящими узлами и положительными весами, точной для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени, а также оценить эти веса.

3) Исследовать вопросы сходимости построенного квадратурного процесса.

4) Построить дискретный аналог квадратурной формулы типа Гаусса, основанный на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, и указать границы, отделяющие каждый из корней этих многочленов от остальных.

Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна. Построены квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, точные для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени, основанные на многочленах Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса. Показано, что при п < Q-Af)2 веса pj построенной квадратурной формулы вида

J f(x)dx = N±1pJf(xJ)^RN(f), (1) о i=° будут положительными при всех достаточно больших N. Изучены асимптотические свойства нулей ортогональных многочленов Чебышева дискретного переменного, которые служат узлами соответствующих дискретных квадратур типа Гаусса.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа. Они могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (19972002 гг.);

- на Воронежской зимней математической школе (1999, 2001 гг.);

- на конференциях профессорско - преподавательского состава Дагестанского государственного педагогического университета (1999, 2000 гг.)

- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2001-2002 гг.);

- на конференции преподавателей и сотрудников Московского государственного открытого университета (2001 г.)

- на Саратовской математической школе (2002 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

6 работах.

Структура и объем работы.

Диссертация посвящена исследованию свойств квадратурных формул, построенных с помощью многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках. На основе указанных многочленов Чебышева построены квадратурные формулы, обобщающие хорошо известные квадратурные формулы Ньютона - Котеса и дискретный аналог квадратурных формул Гаусса.

Рассмотрены вопросы, связанные с оценкой весов квадратурных формул с равноотстоящими узлами, построенных на основе многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке. Полученные оценки применяются, в частности, для доказательства сходимости соответствующего квадратурного процесса для непрерывных функций.

Исследование этих вопросов, в свою очередь, приводит к необходимости рассмотрения некоторых специфических свойств многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, в частности, большую роль играют асимптотические свойства указанных многочленов Чебышева, а также асимптотические свойства интегралов, содержащих эти многочлены. Опираясь на эти свойства многочленов Чебышева, в частности, удалось показать, что (следствие (2.3.2) из главы И) существуют квадратурные формулы вида (1) с равноотстоящими узлами и положительными весами, точные для всех алгебраических многочленов степени

Интересно сопоставить этот результат с известным результатом

С. Н. Бернштейна [9], состоящего в том, что если квадратурная формула типа (1) с положительными весами точна для всех алгебраических многочленов степени п, то п < 4 (N — 1)5.

В связи с построением дискретного аналога квадратурных формул Гаусса изучены вопросы разделения нулей многочленов Чебышева Qn{x,N) (0 < п < N — 1), ортогональных на равномерных сетках О = {О, I,., N — 1}. Получены границы, разделяющие нули указанных многочленов Чебышева Qn{x-> N) при п = 0(N^)

Перейдем к более точной формулировке основных результатов диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В ней собраны и отражены основные факты из теории функций и функционального анализа.

Во второй главе рассматривается вопрос о построении квадратурной формулы вида (1), где Xj = ^-j- (j = 0,., N — 1), pj = р^д (j = 0,., N — 1) - произвольные числа, Ддг(/) - остаточный член квадратурной формулы, точной для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени п < N — 1 (например, неограниченно растущей вместе с N) и для которой веса pj = pj-д, будучи вычисленными эффективно, удовлетворяли неравенству \pj\ < (j = О, .,N — 1) равномерно относительно N.

Обозначим через Qn(x) = Qn(x] а, (3, N) (а,(3 > —1) многочлены Чебышева-Хана, образующие ортогональную систему на равномерной сетке {0,1,., N — 1} с весом р(х) = pM,N) = T{X + 1)T{NX) х

T(N)T(a + /? + !) Х Г(7У + а + (5 + 1)Г(а + 1)Г(/? + 1)' пт т.е.

TV-1 X i: p(j)QnU)QmU) -j=0 где Г(z) - гамма-функция Эйлера, то = 1,

V) Г(/?+1)(2п + а + /3+1) ~ Г(а + /3 + 2)Г(а + 1)

Г(гг + а + 1)Г(п + а + (3 + 1) Х Г(п + /?+1)Г(п + 1) '

8пт - символ Кронекера. Для определенности предполагается, что

Qn(o) = 1.

Построена квадратурная формула вида f(x)p(x) dx = N£Pjf + ЯпД(/), (2) о з где р(х) = Np((N - 1 )x-,a,P,N) (а,/? > -1), Pj =Pj(<x\P,N,n) =

N " V Тт-Тр(з) Е KkQkU) / Qk{x] а, /3, а, (3,

JV — i A=0 о точная для всех алгебраических многочленов степени п < N — 1. В частности, при n = TV — 1 мы получаем известную формулу Ньютона -Котеса [20].

Доказано (теорема 2.3.1), что если J>0, 1 < n < iV — 1, п2 < 5(iV — гг), то для ^ = j?j(0, 0, TV, п) имеет место оценка р V. 1 Р-1 c*f(" + 3)"'| I (3)

- JV-1 I N е l2(JV + l)l I- W

В качестве следствия неравенства (3) показано (следствие 2.3.2), что для любого п < (N/3)^ веса pj (j = 0,1, .,7V — 1) квадратурной формулы вида (2) будут положительными при всех достаточно больших N. Тем самым получен утвердительный ответ на вопрос о существовании таких квадратурных формул вида (2) с равноотстоящими узлами Xj = -^-j- (j = 0,.,iV — 1) и положительными весами pj = pj^ (j = 0, .,JV — 1), что для каждого достаточно большого N найдется степень п, удовлетворяющая неравенству c(N — I)1 < п < 4(N — I)5, где с - некоторое фиксированное положительное число (независящее от iV), что квадратурная формула (2) точна для всех алгебраических многочленов степени п. В частности, это справедливо для с = -щ. Однако мы не знаем, можно ли выбрать константу с больше чем С другой стороны, С.Н. Бернштейн показал, что константа с необходимо должна удовлетворять неравенству с < 4. Сопоставляя этот результат С.Н. Бернштейна с результатом, полученным нами во второй главе диссертации, мы заключаем, что константу с можно выбрать из полуинтервала

Другим основным результатом главы II является теорема (2.3.2), в которой доказано, что если а>0, 1 < п < N — 1, n2< aN, то для Pj = Pj(О, 0,7V, п) имеет место оценка

0<j<N-l, N = 2,3,.), где с(а) - положительная постоянная, зависящая только от указанного параметра. Этот результат позволил исследовать вопросы сходимости построенных квадратурных формул.

Рассмотрен вопрос о сходимости построенного квадратурного процесса в случае а = (3 = 0. В этом случае рассматриваемая квадратурная формула принимает следующий вид

1 N—1 j=0 i N—l f(x)dx = Е AN)f (4ю) + R*Af)> о i=°

4) где ^ = ^£[0,1] (j = 0,1,., N — 1), AjN\n) =pj(N,n) =

N-l

N(N - 1) k%

I О n

Y.'KkQkti) j Qk{x\N)dx,

Пусть n = <p(N) - целочисленная функция натурального аргумента, такая, что

0 < tp(N) <N- 1, lim (p(N) = oo. (5)

N-^-oo

Рассмотрены треугольные матрицы узлов и весов квадратурного процесса (4):

Г(Л0 А = А<Р = Af\cp(N))

0<j<N-l, N = 2,3.).

Точнее, N-я строка матрицы X состоит из узлов Xj (j = 0,1, .N — 1) формулы (4), а N-я строка матрицы А состоит из весов pj — Pj(N, <p(N)) формулы (4). Доказано (теорема 2.4.2), что если а > 0, п = <-p{N) -целочисленная функция, удовлетворяющая условиям (5) и такая, что <p(N) < ал/N (N = 2,3.), то квадратурный процесс (4), определяемый матрицей узлов X и матрицей весов А, сходится (т.е. lim (/) ~ 0) для каждой непрерывной функции /(ж), заданной на [0,1].

Теорема 2.4.3 той же главы уточняет скорость сходимости данного квадратурного процесса. А именно доказано, что где с\(а) - положительное число, зависящее от параметра а, а En(f) -многочлен наилучшего приближения функции f(x) на [0,1] алгебраическими многочленами степени п.

Предметом исследования главы III стали вопросы, связанные с применением ортогональных многочленов Чебышева дискретного переменного к приближенному вычислению конечных сумм вида

1 N-1 др £ sm. к=о

Обозначим через Qn(x) = Qn(x, N) (п = 0,1,., N - 1) конечную последовательность многочленов Чебышева, нормированных условием Qn(0) = 1, образующих ортогональную систему в следующем смысле l^-i , ч , [0, (пфт) к=0 { пп, V где

-кп = TTn{N) = (2п + 1)

N-lUN + rf 1 п ) \ п

Эти многочлены являются частным случаем многочленов Чебышева -Хана Qn(x; a,/?, N) при а = (5 — 0.

Положим Pnfl(z) — yJbnQn{{N — 1 )z). В главе III указаны границы, отделяющие корни многочлена Pn^{z). Этот результат основан на установленной в работе Шарапудинова И.И. [53] асимптотической формуле xE^E (о < n < iv — i), r—n i V 0 <kj<n, iV J r<k+j где r(z) - гамма-функция Эйлера, s(n,k) - числа Стирлинга первого рода, с (г, /г) - числа Стирлинга второго рода, которая выражает многочлены Чебышева через многочлены Якоби Р^\х) с переменными верхними индексами а и (3.

Ввиду важности для данной работы этой формулы, а также методов и вспомогательных утверждений, использованных при ее выводе, в главе III дано полное доказательство этой формулы (леммы 3.2.1-3.2.7, теорема 3.3.1).

Оценки корней многочлена Рп,и{х) в рассматриваемой задаче важны потому, что в квадратурной формуле типа Гаусса

1 ЛГ-1 п

T7E/(^) = EA,/fe) + ^(/), (6)

JV к=О 3=1 где Zj — Zj(n,N) (1 < j < п) - корни многочлена Pn^{z) степени п, ортонормального в смысле скалярного произведения

1 N-1

- £ F(kh)G(kh) к=О двух функций F(z) ж G{z) ко всем многочленам Pm{z) степени т < п, коэффициенты Кристоффеля A j выражаются формулой д. hn,N 1

J kn-i,N Рп-гАъЖ^&У где кп- старший коэффициент многочлена РП1м(х).

Суть рассматриваемой задачи, очевидно, состоит в том, чтобы при больших значениях N вычислить сумму в левой части равенства (6) с

1. Абрамовиц М.,Стиган И. Справочник по специальным функциям.//- М.: Наука, 1979.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Бадков В.М., Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби, СМЖ, т. 9, N 6 (1968).

4. Бахвалов Н.С., Численные методы, 1,М.,"Наука", 1975.

5. Бахвалов Н. С.,Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: Наука, 1987.

6. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М.,Носков Ю.В. О практическом вычислении значений ортогональных многочленов непрерывного и дискретного аргумента // Препринт Отдела выч.мат. АН СССР. Вып. 158. М.: 1987.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ТТ.1,2. М.: Наука, 1973, 1974.

8. Бернштейн С.Н., Собрание сочинений,Т. 2, Изд. АН СССР, 1954.

9. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке//Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР. 1954. С. 7-106.

10. Бернштейн С.Н. Sur une classe de formules d'interpolation// Изв. AH СССР. OMEH. 1931. N 9. C.1151-1161.

11. Васильев Ф.77.,Методы решения экстремальных задач, М., "Наука", 1981.

12. Волков Е.А. Численные методы. М.: 1987.

13. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

14. Геронимуе Я.Л. Теория ортогональных многочленов. М.: Гостехиз-дат, 1950.

15. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

16. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Гостех-издат, 1950.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. ТТ. 1,2. М.: Мир, 1965.

18. Касумов Н.М. Дискретный аналог полиномов Лежандра // Изв.АН Аз. ССР. Сер.физ.- техн. и мат.наук. 1980. Вып. 2. С. 9-25.

19. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды.- М.: Наука, 1984.

20. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов М.: Наука, 1967.

21. Кулибеков И.А. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами и многочлены Чебышева Хана // Тез. докл. Воронежской зимней математической школы " Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, ВГУ, 1999. С.115.

22. Кулибеков Н.А. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами и ортогональные многочлены дискретного переменного// Сб. докл. преподавателей и сотрудников гуманитарно технического института МГОУ. Москва, 2001. С. 64.-££.

23. Кулибеков Н.А. Сходимость квадратурного процесса с равноотстоящими узлами // Тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: Изд-во СГУ, 2002.27