Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

НУРМАГОМЕДОВ АЛИМ АЛАУТДИНОВИЧ

Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАТОВ 2010

606104

004606104

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шарапудинов Идрис Идрисович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лукашов Алексей Леонидович,

кандидат физико-математических наук, доцент Колпакова Энель Васильевна.

Ведущая организация: Московский государственный институт

электронной техники (технический университет).

Защита диссертации состоится "24" июня 2010 г. в 17 час 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский госудаственный университет, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного универсистета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан "^3 " ^¿ЪЛ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета^ кандидат физико-математических наук,

доцент: ^ В.В. Корпев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач.

Система многочленов, ортогональных на дискретных системах точек впервые введена и подробно исследована в целом ряде работ П.Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики.1 В работах A.A. Маркова2, Шарлье, М.Ф. Кравчука, Мейкнера и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки и веса.

Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек связано с работами Хана, Вебера, Аскейа, Никифорова А.Ф., Уварова В.Б., Суслова С.К.3 и других математиков и физиков. Были получены многочисленные их приложения в генетике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений путем разложений функций, участвующих в этих уравнениях, в ряды по ортогональным многочленам и т.д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ Шарапудинова И.И. 4

Соответственно, представляет интерес также задача исследования разности между разлагаемой функцией и частичных сумм Фурье соответствующего разложения в ряд по ортогональным многочленам в зависимости от последовательности наилучших приближений этой

1 Чебышев, П.Л. Об интерполировании величин равностоящих (1875) / П.Л. Чебышев // Поли, собр. соч. - М.: Изд. АН СССР. - 1947. - Т. 2. - С. 314-334.

1Марков, A.A. О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей / A.A. Марков. - СПб., 1884.

3Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов, В.Б. Уваров. - М.: Наука, 1985.

4Шарапудииов, И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения / И.И. Шарапудинов. - Махачкала: ДГПУ, 1997.

функции алгебраическими многочленами. Эти вопросы являются предметом исследования последних двух глав диссертации.

Объект исследования. В работе исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных дискретных системах точек отрезка [—1,1] и аппроксимативные свойства частичных сумм Фурье по этим многочленам.

Цель работы. Исследовать:

1. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1.1].

2. Аппроксимативные свойства частичных сумм х) ряда Фурье функции / £ С[—1,1] по этим многочленам.

Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, методы теории приближений, а также методы теории ортогональных многочленов.

Научная новизна. Установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании п вместе с ¿V, асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на произвольных сетках отрезка [—1,1] близко к асимптотическому поведению многочленов Якоби (в

частности, при а = /3 = 0 — поведению многочленов Лежандра).

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа; они могут так же быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2004 2010гг); на семинаре, проводимом при лаборатории "Теории функций и приближений" ЮМИ Владикавказского научного центра РАН (2007—2010гг); на семинаре, проводимом при лаборатории "Отдела математики и информатики" Дагестанского научного центра РАН (2007—2010гг); на VI международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, 2008г); на

15-й международной конференции Саратовской зимней математической школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" (201 Ог) п др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, в том числе в 2 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК [4], [10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем работы 113 страниц компьютерного набора.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов работы.

Первая глава посвящена общим понятиям, необходимым для наших исследований. И, кроме того, приводятся некоторые результаты профессора И.И. Шарапудинова по теме исследования.

В § 1.1 приведены определения ортонормированной системы функций и коэффициентов Фурье по этой системе, определенных на дискретном множестве П точек действительной прямой R.

В § 1.2 дается определение системы многочленов, образующих ортонормированную систему на Г2 с весом р(х).

В § 1.3 дается определение ' системы многочленов, образующих ортонормированную систему на (а, 6).

А в § 1.4 приведены основные свойства многочленов Якоби

В § 1.5 приводятся некоторые результаты профессора Шарапудинова И.И., посвященные исследованию асимптотических свойств многочленов, ортогональных на равномерных сетках.

Вторая глава посвящена исследованию асимптотических свойств многочленов, ортогональных на произвольных сетках отрезка [—1,1] и оценке приближения функции f £ С[—1,1] частичными суммами п ого порядка ряда Фурье по этим многочленам.

Пусть С[— 1,1] — пространство непрерывных функций /(i), заданных на отрезке [—1,1] с нормой

||/||=max{|/(í)|: -1 < í < 1},

а, ¡3 — целые неотрицательные числа, Q = {tj}jL0 — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек

отрезка [—1,1] : —1 = ¿о < <1 < ... < < ¿лг = 1. Через

= = о, 1,..., N — 1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему с весом

Pa/(tj)

(1 - ij)a(l + tjf, если а > 0, (3 > 0; 1, если а — Р = 0;

(1 - tj)a, если а > 0, (3 = 0;

(1+tjY, если а = 0,/3 > 0,

на сетке в следующем смысле (0 < n,ra < JV — 1):

(СЮ - =

j=о

где Aij =tj+i-tj, j =0,1,...,N - 1. Далее, через

5n — max Ai,-,

0<j</V—1 J

S^'nU) — S'n fs(f> t) обозначим частичную сумму функции / 6 С[—1,1] порядка п ряда Фурье по многочленам {C'ivWjj

L

к=0

где

N-1

i=0

а через L"fN{t) — функцию Лебега сумм t) :

j=0

к~0

Atj.

§ 2.1 посвящен постановке задачи.

В § 2.2 доказываются некоторые вспомогательные утверждения. А именно:

Лемма 2.2.1. Пусть функция /(¿) непрерывно дифференцируема на

[а,6], а = ¿о < ¿1 < • • • < ¿лг = Ь, = — у — 0,1,... , N - 1. Тогда имеет место следующее равенство:

° N-1

тл^/мАь+ып,-

* --—л

в котором для остаточного члена гл'(/) имеет место оценка

о

Г*(Я|<йг I \1'(х)\йх.

Лемма 2.2.2. Пусть а,(3 > -1, - : -1 + п~2 <

Ь < 1-л."2}, Г2 - тах{ Ь) : -1 + п~г < ^ < 1 -п~2}. Тогда

для ортонормированного многочлена Якоби = {К^} ^2^'13^) имеет место следующая формула

£ (1 - ^П1 + Д^ = 1 .

в которой

1гп,/у1 < с(а,¡3)5ип\п[п + 1).

Следствие 2.2.1. Для ортонормированного многочлена Лежандра Рп(1) = имеет место следующая формула

N-1 ¿--О

в которой

< сЗ^пЫ (п + 1).

Лемма 2.2.3. Пусть а,(3 целые неотрицательные числа и а¡¡¿мп2 < 1/4. Тогда для ортонормированного многочлена <?„ л-(£) имеет место следующая формула 1

|(1 - *г (1 + о" (С>))2 л = 1+Ац*, -1

е которой

<

4ае1(5дг п2

1 — 4ае1(5^п2'

г(?е 321 — наименьшая константа в неравенстве типа В.А. Маркова для оценки производных алгебраических многочленов в метрике пространства Ь^—!, 1].

Лемма 2.2.4. Пусть а, /3 — целые неотрицательные числа, кп — старший коэффициент многочлена а Ап — старший

коэффициент ортонормированного многочлена Якоби Р^Ц). Тогда

_1_ К 1

1 + с(а,/3)5цп 1п (га + 1) ~ А„ - (1 - 4эц8цп2уР'

В § 2.3 приводятся основные результаты главы 2: асимптотические формулы и весовые оценки для многочленов <7„ #(£)> ортогональных на произвольных сетках отрезка [—1,1].

Теорема 2.3.1. Пусть а и (3 — целые неотрицательные числа, Ь > О, 0 < а < {(1 — 6)/(4сВ\)}1/'2. Тогда имеет место асимптотическая формула

в которой для остаточного члена при 1 <

справедлива оценка

<

<>) |< с(а,(3,а,Ь)б)(2п^

п

-/М

Теорема 2.3.2. Пусть а и Р — целые неотрицательные числа, Ь > 0, 0 < а < {(1 - Ь)/(4ве1)}1/2, 1 < п < аб-1 < 4 < 1. Тогда существует постоянная с(а,0,а,Ь) > 0 такая, что

!С>)1 <

< с

:(<*,/?, а, Ь) (¿^п^ +1)

-а-1/2

П

-0-1/2

В качестве следствий вышеприведенных теорем 2.3.1 и 2.3.2 при а = /3 = 0 отметим следующие утверждения.

Следствие 2.3.1. Пусть Ь > О, О < а < {(1 - Ь)/(4ае1)}1/2 и 1 < п <

а&^2. Тогда имеет место асимптотическая формула

япМЪ = = £»(*) +

для остаточного члена которой справедлива оценка

«ЧлгЮ 1< с{а,Ъ)51'2п

у/1-Р

1-1/2

+ •

Следствие 2.3.2. Пусть Ь > О, О < а < {(1 - Ь)/(4гЕ1)}1/2, 1 < п < а5д,5. Тогда существует постоянная с(а, 6) > О такая, что

|д„,л(*)| < с(о, 6) (б)рп3'2 +1) л/гг? +1

-1/2

(-1 <Л < 1).

В § 2.4 решена задача об оценке отклонения частичной суммы ряда Фурье функции / по системе от саыой функции / при

Ь € [— 1, 1] и п, N —* оо. А именно, доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.4.1. Яустъ / £ С[-1,1], Ь > О, 0 < а < {(1—6)/(4£е1)>1''2, п — 0(8дг1''5). Тогда справедливо неравенство (—1 < < < 1)

где

¿=0

ь=о

Теорема 2.4.2. Пусть / € С[-1,1], 6 > 0,0 < а < {(1 -

Ь)/(4ае1)}1/'2,п = Тогда равномерно относительно — 1 < Ь < 1

справедлива оценка

/(г)-£„,*(/, г) I<с(а,Ь)Еп(1)п

1/2

Теорема 2.4.3. Пусть / € С[—1,1], а, ¡3 — целые положительные числа, А = тах{а,(3}, п = 0(<5^1/(2А+4)), Ь > О, 0 < а < {(1 -Ь)/(4а81)}1^2. Тогда справедливо неравенство (—1 < t < 1)

Z£,e jV

j=0

Теорема 2.4.4. Пусть f б G[~ 1,1], a, /3 — целые положительные числа, А = max {a,/?}, n = 0(S^1/{2>+4)), Ь > 0, 0 < а < {(1 -b)/(4aei)}1/2. Тогда равномерно относительно — 1 < t < 1 справедлива оценка

! № - S$(/,t) |< c(a,p,a,b)En(f)nX+i/2.

Третья глава также посвящена исследованию асимптотических свойств многочленов, ортогональных на произвольных сетках отрезка [—1,1] и оценке приближения функции / € С[—1,1] частичными суммами п — ого порядка ряда Фурье по этим многочленам.

Пусть а, Р — целые неотрицательные числа, П = {tj}jl0 — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1] : —1 = to < ij <"... < t^-i < tv = 1- Рассмотрим также еще одну сетку = {zj}^,1, где

Через

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Qn в следующем смысле (Q < п,т < N — I):

= D1 - ^п1+=«и,

где Atj = tj-+i - tj, j = 0,1,..., N - 1.

§ 3.1 посвящен постановке задачи.

В § 3.2 доказываются некоторые вспомогательные утверждения. А именно: ■

Лемма 3.2.1. Пусть функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [а,6], а = to < ti < ••* < tw-i < tff = b, Atj =

= tj+i — tj,Xj — (tj+i + tj)/2, j = 0,1.....iV- 1. Тогда имеет место

следующее равенство:

Е

4=0

Ca-WCN^)

Atj.

лг-1

/ Лх) ¿в = + »•«(/),

¿=0

в котором для остаточного члена имеет место оценка

ь

м/)| < ^ I \m\dt.

Лемма 3.2.2. Пусть а,/3> —1,

х\ = тЦг^ : —1 + п"2 < ху< 1 — п~2}

х*2 — тах{а;; : —1 + п-2 < х^ < 1 — п-2}.

Тогдя <?лл ортонорлшрованного многочлена Якоби Р°^(х) = {Л"'/3}"1/2Р„а'/3(2;) имеет место следующая формула

(1 - + ^(Р^-))^ = 1 + »•„,*,

б которой

Следствие 3.2.1. Для ортонормированного многочлена Лежандра Рп(х) = у з;) имеет место следующая формула

N-1

Р„2(^)А^ = 1 + г^,

¿=о

в которой

(?п,лг| < с^п3.

Лемма 3.2.3. Пусть а,/? — целые неотрицательные числа и < 1/2. 7Ъг<?а Лгл ортонормированного многочлош имеет место следующая формула 1

1(1- х)а{ 1+х)Р(р^(х))2дх = 1 + -1

в которой

<

1 -.2яе2<%п4'

Лемма 3.2.4. Пусть к„ старший коэффициент многочлена Рп'м(х)> ~ старший коэффициент многочлена Якоби =

0(п~2). Тогда имеет место неравенство

1 + с(а,/3)<5>3 ~ А„ - (1 - 2ае252.7г4)1/2-

В § 3.3 приводятся основные результаты главы 3: асимптотические формулы и весовые оценки для многочленов, ортогональных на проивольных сетках отрезка [—1,1].

Теорема 3.3.1. Пусть а и /3 — целые неотрицательные числа, Ь > О, 0 < а < {(1 — 6)/(2аг2)}1/'4- Тогда имеет место асимптотическая формула

в которой для остаточного члена х) при 1 < п < аб справедлива оценка

у/1-х + -

п

у/Г+х + -

-0-1

Теорема 3.3.2. Пусть а и /3 — целые неотрицательные числа, Ь > 0, 0 < а < {(1 - Ь)/(2аг2)}1/4, 1 < п < аб^, -1 < х < 1. Тогда существует постоянная с(а, /?, а, Ь) > 0 такая, что

1р$(*) 1<

<с(а,/?,а,Ь)(бкп5/2+1)

11 -а-1/2 у/\ + X + -

VI - X + -

п П.

-(3-1/2

В качестве следствий вышеприведенных теорем 2.3.1 и 2.3.2 при а = /3 = 0, отметим следующие утверждения.

Следствие 3.3.1. Пусть Ь > 0, 0 < а < и! < п<

Тогда имеет место асимптотическая формула

Рп^(г) - Рп°м(х) = рп(х) +

аб

-1/2

^N '

в которой для остаточного члена ьп^(х) справедлива оценка

-1/2

ип,лг(х) |< с(а,Ь)дкп5/2

у/1 - + -

Следствие 3.3.2. Пусть Ь > О, О < а < , 1 < п < а6кК

Тогда существует постоянная с(а, Ь) > 0 такая, что

< с(а, Ь) + 1) \jl~x* + I

-1/2

(-1 < г < 1).

В § 3.4 решена задача об оценке отклонения частичной суммы ряда Фурье функции / по системе {Рк'м(х)}к=о от самой функции / при х € [—1, 1] и n,N —» оо. А именно, доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.4.1. Пусть / € С[-1,1], Ь > 0, 0 < а < - п =

0(5¿у2/7)- Тогда справедливо неравенство (—1 < х < 1)

ЬпМх) ^ с(а,Ь)п1/2,

где

.N-1

ЬпАх) = Ьйп%(х) =

;=0

к=О

АЦ.

Теорема 3.4.2. Пусть / € С[-1,1], Ъ > 0, 0 < а < п =

0(6„2/7). Гог^а равномерно относительно —1 < х < 1 справедлива оценка

| /(х) - |< с(а,Ь)ВД)л1/2-

Теорема 3.4.3. Пусть а.[3 целые положительные числа, А = = тах{а,/3}, п = 0(5~1/(Х+3>), Ь > 0, 0 < а < {(1 - Ъ)/(2к2)}1/\ / £ С[— 1,1]. Тогда справедливо неравенство (—1 < х < 1)

Ьа^(х)<с(а,!3,а,Ь)пх+1'2.

где

N-1

¿=0

к—О

А^

Теорема 3.4.4. Пусть f £ С[—1,1], а, ß целые положительные числа, А = max {а,/?}, п = 0(<^1/(л+3)), 6 > 0, 0 < а < {(1 -i>)/(2as2Тогда равномерно относительно —1<х<1 справедлива оценка

I /(«) ~ S$(f,x) |< c(a,ß,a,b)En(f)nMi2.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Нурмагомедов, A.A. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных (не только равномерных) сетках / A.A. Нурмагомедов // Высшее профессиональное образование в Республике Дагестан: проблемы, тенденции, перспективы. - 2006. - Выпуск 2. - С. 64—71.

2. Нурмагомедов, A.A. Асимптотические свойства многочленов p"(t), ортогональных на произвольных (не только равномерных) сетках / A.A. Нурмагомедов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы. Изд-во Саратовского ун-та. 2008. С. 132 133.

3. Нурмагомедов, A.A. Оценка функции Лебега по многочленам, ортогональных на произвольных сетках / A.A. Нурмагомедов // Современные проблемы математики и смежные вопросы. Материалы Международной конференции "Мухтаровские чтения". Махачкала. -2008. - С. 160-163.

4. Нурмагомедов, A.A. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках / A.A. Нурмагомедов // Известия Саратовского университета. Новая серия. - 2008. - Т. 8, вып. 1. Серия Математика. Механика. Информатика. - С. 28—31.

5. Нурмагомедов, A.A. Асимптотика многочленов ортогональных на произвольных сетках / A.A. Нурмагомедов // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Сб. докл. VI Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". - 2008. - Т. 2. - С. 200-212.

6. Нурмагомедов, A.A. О многочленах ортогональных на произвольных сетках / A.A. Нурмагомедов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - 2009. - С. 123—124.

7. Нурмагомедов, A.A. Об асимптотике многочленов ортогональных на произвольных сетках / A.A. Нурмагомедов //

Тез. докл. Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы девятой международной Казанской летней научной школы—конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"Казань. 2009. Т. 38. С. 203 204.

8. Нурмагомедов, A.A. Асимптотика многочленов, ортогональных на произвольных (не только равномерных) сетках / A.A. Нурмагомедов // Информационные и телекоммуникационные системы: информационные технологии в научных и образовательных процессах. Материалы V региональной научно-технической конференции. - 2009. - С. 233—244.

9. Нурмагомедов, A.A. О полиномах в случае целых а и ß / A.A. Нурмагомедов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 15-й Саратовской зимней математической школы. - 2010. - С. 129-130.

10. Нурмагомедов, A.A. Асимптотические свойства многочленов pfiJ{x), ортогональных на произвольных сетках в случае целых а и ß / A.A. Нурмагомедов // Известия Саратовского университета. Новая серия. - 2010. - Т. 10, вып. 2. Серия Математика. Механика. Информатика. - С. 10—19.

Подписано в печать 17.05.2010 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсет 1. Печать ризографная. Гарнитура Тайме. Усл.п.л. 1,0. Заказ № 062-10 Тир. 100 экз. Отпеч. в тип. ИП Тагиева Р.Х. г. Махачкала, ул. Батырая, 149. 8 928 048 10 45

"ср а р мат"

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

§ 1.1. Пространство р).

§ 1.2. Ортогональность на сетке.

§ 1.3. Об ортогональных многочленах.

§ 1.4. Некоторые свойства многочленов Якоби.

§ 1.5. Асимптотические свойства многочленов Т^,/3(х, N).

ГЛАВА 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ £'£(*), ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 2.3. Асимптотические свойства многочленов q^N^P).

§ 2.4. Оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам (£).

ГЛАВА 3. МНОГОЧЛЕНЫ j%pN{x\ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЕТКАХ'В СЛУЧАЕ ЦЕЛЫХ а и

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Вспомогательные результаты.

§ 3.3. Асимптотика многочленов в случае целых а и /3.

§ 3.4. Сходимость сумм Фурье по многочленам

Актуальность темы

В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений и т.д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов.

К примеру, в прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = f(t) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {срп} требуется оценить отклонение частичной суммы Sn(f) — Sn(f,t) ряда Фурье функции / по системе {</?п} от самой функции /.

Приведенная задача стара, хорошо известна и детально изучена для многих классических ортонормированных систем. Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Это — классические многочлены, ортогональные на сетках. Именно идея применения ортогональных разложений для обработки дискретной информации привела П.Л. Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов.

Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по классическим ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь, следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова.

Пусть Q = {xq, xi,., Xj,.} — сетка — дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной прямой R : Жо < Х\ < Хч < ., М =| Q | —мощность множества Г2, р = р(х) — вес — положительная функция, заданная на множестве Q, и удовлетворяющая условию l2(Cl,p) — пространство функций / = f(x), заданных на для которых pjf2(xj) < °°>

XjEQ где pj = p(xj).

Предположим, что хп G I2для любого п из = {0, 1, 2,.}. Тогда к системе функций {жп} (0 < п < М) применим процесс ортогонализации Грама—Шмидта. В результате получаем систему многочленов рп(х) =рп(х]П,р)}, 0 < n < М, (1) обладающую следующими свойствами:

1) deg рп(х) = п;

2) HXienVn{xj)Vm{xj)Pj = Snm, (5птп — символ Кронеккера). Система многочленов (1), обладающая свойствами 1) и 2) называется ортонормированной с весом р(х) на дискретной системе точек Г2, а сами многочлены рп(х) (0 < п < М) — ортонормированными с весом р{х) на О. Многочлены Тп(х) = спрп(х) (0 < п < М), отличающиеся от рп(х) постоянным множителем сп ф 0, называются ортогональными с весом р{х) на дискретной системе точек Г2. Аналогичная система многочленов для конечного М впервые была введена и подробно исследована в целом ряде работ П.Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. Особое внимание им было уделено случаю

Г (а; + /3 + 1)T(N — х + а) r(x + l)r(N -х) р(х) где с — постоянная, Т(х) — гамма—функция Эйлера: оо

ГО) = J е-Нх-г dt.

Получаемые в этом случае ортогональные многочлены (Чебышева) обозначим через N), 0 < п < N — 1. Для определенности будем считать п + а п j

П.Л. Чебышев показал, что многочлены N), имеют следующее представление:

N) = ДП П - } ' (2) где s(x) = sN(x,a) = s{N + а - х), Af(x) = f(x + 1) - f(x), An = = A(An1). Очевидно, (2) является разностным аналогом хорошо известной формулы Родрига для многочленов Якоби

Пп 1 нп п\2п к(х) dx где к(х) = (1 — :с)а(1 + ж)'3, сг(х) — 1 — х2. В этом смысле многочлены Чебышева Тп{х) = N), являются дискретными аналогами многочленов Якоби. Из формулы (2) вытекает разностное уравнение s(x) = А2Тп(х - 1) + 7(х)АТп(х) + ЛТп(х) = 0, (3)

7(ж) = {/3 + 1 )(N - 1) - (а + /3 + 2)х, А = п(п + а + 0 + 1)) для Тп(х) = N), представляющее собой дискретный аналог дифференциального уравнения т(х)у"{х) + ф)у'(х) + Хпу(х) = 0 {ф) = /3-а-(а + (3 + 2)ж), для многочленов Якоби у(х) =

В работах А.А. Маркова, Шарлье, М.Ф. Кравчука, Мейкснера, Хана и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки О и веса р{х). В частности, подробно исследовались разностные свойства дискретных аналогов классических многочленов Эрмита и Лагерра — многочленов соответственно Кравчука и Мейкснера.

Многочлены М.Ф. Кравчука К?(х) определяются сеткой и весом р{х)= {^)<f{l-q)N-x (0 < g < 1) биномиальным распределением), а многочлены Мейкснера М£(х) = М%(х, q) — сеткой

Q = Z+ = { 0,1,2,.} и весом р{х) = р(х; а, д) = + "^(l- q)a+1 (0 < q < 1). (4)

Кроме того, в работе Шарлье [49] была рассмотрена система многочленов S%(x) (п = 0,1,.), ортогональных с весом р(х) = г^Т1) (а>0) распределением Пуассона) на множестве О = Z+, для которых отсутствует непрерывный аналог среди классических ортогональных многочленов.

Каждая из указанных трех систем многочленов — Кравчука, Мейкснера и Шарлье — может быть получена из разностного аналога вида (2) формулы Родрига при соответствующем выборе веса р(х) и многочлена в(ж). Все они удовлетворяют также соответствующим разностным уравнениям вида (3). Эти свойства характеризуют [50] рассмотренные четыре классические системы многочленов Чебышева, Шарлье, Кравчука и Мейкснера в том смысле, что всякая система {Рп(^)} ортогональных многочленов, удовлетворяющая одному из них, линейной заменой переменной приводится к одной из указанных классических систем.

Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, связано с работами Хана, Вебера и Эрдейи, Карлина и Мак—Грегора, Дельсарта, Аскейа и Вильсона,

Никифорова А.Ф., Уварова В.Б., Суслова С.К. и многих других математиков и физиков. Были получены многочисленные приложения многочленов, ортогональных на дискретных системах точек к генетике, теории кодирования, комбинаторной теории, квантовой механике, математической статистике, к практике обработки сигналов спектральными методами.

Известны различные связи указанных многочленов с другими специальными функциями. В частности, еще в работах П.Л. Чебышева отмечалось, что при N —> оо для фиксированного п имеет место равномерная относительно х из произвольного фиксированного компакта комплексной плоскости асимптотическая формула: Т

Л. /V а,/3 п

N-1 l+x),N п

5) vn'N(x) ~^ О ПРИ А7" —> оо и фиксированном п). Аналогичная связь имеется между многочленами Мейкснера М%(х) и Лагерра L"(x):

К (Nx, с = Щх) + <„(:,:),

6) где v%N(x) —> 0 при N —> оо (п фиксировано). Наконец, многочлены Кравчука К^{х) связаны с многочленами Эрмита соотношением

Кр

2пп\у/2 где q = 1 — р, v^N(x) —> 0 при N —> оо.

Для многочленов Шарлье S°(x) нет аналогов среди непрерывных классических ортогональных многочленов, и мы не можем указать асимптотическую формулу, содержащую в главной части непрерывные классические ортогональные многочлены. Однако имеется следующая связь с многочленами Лагерра: (-1 r^Lf

Uj а).

8)

Асимптотические формулы (5) — (7) показывают, что при фиксированном п асимптотические поведения модифицированных многочленов Чебышева Т^ (1 + х), N] , Мейкснера

M%(Nx,e-VN) и Кравчука 2 K%(Np + ^/Шщх) близки к асимптотическим поведениям соответственно многочленов Якоби, JIareppa и Эрмита.

Однако отсюда нельзя извлечь никакой информации об асимптотических свойствах Т^{х), M®N(x) и K^N(x) в том случае, когда степень п растет (вместе с параметром N). Этот вопрос часто возникает в связи с приложениями указанных многочленов, но до недавнего времени он оставался в стороне. Целенаправленное его изучение было проведено в работах Шарапудинова И.И. [28]—[48]. Задача состояла в том, чтобы получить такие оценки для остаточных членов v%N(x) и v^N{x) асимптотических формул (5) — (7), из которых и известных весовых для классических многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита вытекали бы неулучшаемые по порядку при п —> оо весовые оценки для многочленов T^(x),M^N(x) и K^N(x) стремясь одновременно к тому, чтобы эти оценки оставались верны при минимальных ограничениях на рост степени п в зависимости от N. Поставленную задачу удалось решить окончательно для многочленов Чебышева Т^{х) в случае, когда а и (3 целые числа, и для многочленов Мейкснера M%N(x) — при произвольном а. Для многочленов Чебышева Т^{х) с целыми а и /? возникло ограничение п = 0(y/~N), являющееся своего рода "водоразделом"для их асимптотического поведения в следующем смысле: если п < aVN (а > 0), то для Т^(х) справедлива такая же весовая оценка, что и для многочленов Якоби причем, равномерно относительно 0 < п < ал/iV (N —> оо); 2 если же ^ —> оо, то такой оценки нет.

Аналогичное утверждение для многочленов Мейкснера M®N(x) имеет место при п = O(VN). В главе 5 монографии [45] приведены некоторые результаты об асимптотических свойствах многочленов Кравчука K^ N(x). Эти результаты не носят окончательного характера и нуждаются в существенном улучшении как в смысле ослабления ограничения на рост степени п по отношению к росту параметра N, так и в смысле получения более точной оценки остаточного члена v^N(x) асимптотической формулы (7).

В настоящей же работе (в главах 2 и 3), по аналогии с работами Шарапудинова И.И. исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных (не только равномерных) сетках. Другая задача, рассмотренная в этих же главах, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на [—1,1] суммами Фурье по многочленам, ортогональных на дискретных системах точек. Здесь, в свою очередь, возникает вопрос об оценке функции Лебега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных дискретных системах точек, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частных сумм Фурье по этим многочленам.

Цель работы.

1. Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [—1,1].

2. Исследовать аппроксимативные свойства частичных сумм t) ряда Фурье функции / е С[—1,1] по этим многочленам.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

1. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. - М.: Наука, 1979.

2. Агаханов, С.А. Функция Лебега сумм Фурье—Якоби / С.А. Агаханов, Г.И. Натансон // Вестник Ленингр. ун-та. — 1968. Вып. 1.- С. 11-13.

3. Бадков, В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье— Якоби / В.М. Бадков // Сиб. Мат. Ж. 1968. - Т. 9, вып. 6. - С. 12631283.

4. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987.

5. Бернштейн, С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке/ С.Н. Бернштейн // Поли. собр. соч. 1954.- Т. 2. М.: Изд. АН СССР. - С. 7-106.

6. Волков,Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1987.

7. Даугавет, И. К. Некоторые неравенства типа Маркова-Никольского для алгебраических многочленов / И.К. Даугавет, С.З. Рафальсон // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. - №1. - С. 15—25.

8. Даугавет, И. К. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов / И.К. Даугавет, С.З. Рафальсон // Вестн. Ленингр. унта. 1974, вып. 4. - С. 18-24.

9. Касумов, Н.М. Дискретный аналог полиномов Лежандра / Н.М. Касумов // Изв. АН Аз. ССР. сер. физ.-техн. и мат. наук. 1980. - Вып. 2. - С. 2-25.

10. Кашин, Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. -М.: Наука, 1984.

11. Конягин, С.В. О неравенстве В.А. Маркова для многочленов в метрике L / С.В. Конягин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. - Т. 145.- С. 117—125.

12. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов / В.И. Крылов. М.: Наука, 1967.

13. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. М.: Гостехиздат,1949.

14. Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов, В.Б. Уваров.М.: Наука, 1985.

15. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский. -М.: Наука, 1979.

16. Нурмагомедов, А.А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2008. - Т. 8, вып. 1. Серия Математика. Механика. Информатика. - С. 28—31.

17. Нурмагомедов, А.А. О многочленах Pn^it), ортогональных па произвольных сетках / А.А. Нурмагомедов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы.- 2009. С. 123—124.

18. Нурмагомедов, А.А. О полиномах в случае целых а и /3 / А.А. Нурмагомедов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 15-й Саратовской зимней математической школы. 2010. - С. 129-130.

19. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

20. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин. М.: Наука, 1979.

21. Шарапудинов, И.И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного / И.И. Шарапудинов // -М.: Деп. В ВИНИТИ, 1980. Вып. 3137-80. - С. 1—44.

22. Шарапудинов, И.И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана / И.И. Шарапудинов // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. 1982. - С. 132—144.

23. Шарапудинов, И. И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек / И.И. Шарапудинов // Изв. Вузов. Математика. 1983. - Вып. 5. - С. 85—88.

24. Шарапудинов, И.И. Весовые оценки многочленов Хана / И.И. Шарапудинов // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы. 1982.

25. Шарапудинов, И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана / И.И. Шарапудинов // Изв. вузов Математика. -1985. Вып. 5. - С. 78-80.

26. Шарапудинов, И.И. О применении многочленов Мейкснера к приближенному вычислению интегралов / И.И. Шарапудинов // Изв. вузов. Математика. 1986. - Вып. 2. - С. 80—82.

27. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства полиномов Кравчука / И.И. Шарапудинов // Матем. заметки. 1988. - Т. 44, вып. 2. - С. 682-693.

28. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной / И.И. Шарапудинов// Матем. сборник. 1989. - Т. 180, вып. 9. - С. 1259-1277.

29. Шарапудинов, И. И. Некоторые свойства ортогональных многочленов Мейкснера / И.И. Шарапудинов // Матем. заметки.- 1990. Т. 47, вып. 3. - С. 135-137.

30. Шарапудинов, И. И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье / И.И. Шарапудинов // Дискретная математика. 1990.- Т. 2, вып. 2. С. 33-44.

31. Шарапудинов, И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной / И.И. Шарапудинов // Матем. заметки. 1990. - Т. 48, вып. 6. - С. 150-152.

32. Шарапудинов, И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана / И.И. Шарапудинов // Матем.сборник. -1991. Т. 183, вып. 3. - С. 408-420.

33. Шарапудинов, И.И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем. Докторская диссертация. -М.: МИАН им. В.А. Стеклова, 1991.

34. Шарапудинов, И. И. Об асимптотике многочленов Чебышева, ортогональных на конечной системе точек / И.И. Шарапудинов // Вестник МГУ. 1992. - Вып. 1. Серия 1. - С. 29-35.

35. Шарапудинов, И. И. О сходимости метода наименьших квадратов / И.И. Шарапудинов j J Матем. заметки. 1993. - Т. 53, вып. 3. - С. 131-143.

36. Шарапудинов, И. И. Об ограниченности в средних Балле—Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева / И.И. Шарапудинов // Матем. сборник. 1996. - Т. 187, вып. 1. - С. 143-160.

37. Шарапудинов, И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения / И.И. Шарапудинов. Махачкала: ДГПУ, 1997.

38. Шарапудинов, И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. / И.И. Шарапудинов. Махачкала: ДНЦ, 2004. - 276 с.

39. Sharapudinov, I.I. Asimptotic Formula Having no Remainder Term for orthogonal Hahn polynomials of discrete variable / I.I. Sharapudinov // Mathematicf Bolkanica. New Seris. 1988. - V. 2, fasc. 4. - P. 314-318.

40. Sharapudinov, I.I. On the approximation of discrete function by Fourier—Hahn sums / I.I. Sharapudinov // Analysis Mathematica. 1991.- V. 17. P. 35-46.

41. Charlier, С. V. Arkiv for math, astron. o. fysik / С.V. Charlier // 1905/06.2. №20.

42. Weber, M. On the finite difference analogue of Rodrigues formyla / M. Weber, A. Erdeleyi // Amer. Math. Month. 1975. -V. 59. - P. 163-168.