Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский Государственный Университет им. Н. Г. Чернышевского

на правах рукописи

ВЕРДИЕВА АСИЯТ ВЕРДИЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

на правах рукописи

ВЕРДИЕВА АСИЯТ ВЕРДИЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Дагестанского государственного педагогического университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, .профессор И. И. Шарапудинов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б. И. Голубое кандидат физико-математических наук, доцент А. Л. Лукашов Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук

Защита диссертации состоится «_/$_» _

1998 г. в /Г час. 3 0 мин. на заседании диссертационного совета К 063.74.04 Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского по адресу: 410071, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский государственный университет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Автореферат разослан « 0 £ » 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент пф Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В различных вопросах современной физики, биологии, экономики и в других областях часто возникают задачи, связанные с приближением функций на промежутке, значения которых известны лишь на дискретной сетке. В частности, такие задачи возникают при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих различные процессы в указанных областях. С другой стороны, в последнее время все более актуальными становятся задачи сжатия, хранения и передачи дискретной информации. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретных сетках. При решении этих задач на практике часто используют ряды Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных сетках. Однако вопросы сходимости таких рядов изучены мало, в частности недостаточно исследованы вопросы сходимости рядов Фурье - Мейк-снера.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. Изучаются вопросы сходимости рядов Фурье по многочленам Мейкснера, ортогональным на дискретных сетках. В частности, исследуется функция Лебега сумм Фурье - Мейкснера, а также сходимость средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера к некоторой функции в нулевой точке.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение поведения функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера на полуоси [0; со], исследование сходимости средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера к функции Г(х) в точке х = 0.

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации применяются методы теории функций и функционального анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Получены оценки функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера на полуоси [0; оо]. Найдены некоторые естественные условия на исходную функцию, которые обеспечивают сходимость средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера в точке х = 0к функции ^х).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы могут быть использованы при решении задач сжатия, хранения и передачи дискретной информации, а также при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих различные процессы в химии, биологии и других областях.

АПРОБИРОВАНИЕ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе (1995), на Международной конференции «Функциональные пространства, дифферен-циальные операторы, нелинейный анализ» (Махачкала, 1997), внут-ривузовских научно-теоретических конферен-циях профессорско-преподавательского состава Даггос-университета и Даггоспедуниверситета по итогам научных исследований (1994-1996), на четвертой Северо -Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1997).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 109 страниц машинописного текста, библиография содержит 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

ПЕРВАЯ ГЛАВА носит вспомогательный характер. В ней в основном собраны известные факты, касающиеся алгебраических и асимптотических свойств многочленов Мейкснера.

В ПАРАГРАФЕ 1 содержится перечень обозначений, вводятся понятие линейного пространства]^, понятие

базиса, а также основные сведения о свойствах многочленов Лагерра, дискретным аналогом которых являются многочлены Мейкснера.

В ПАРАГРАФЕ 2 приводится классическая теория многочленов Мейкснера. Пусть q > 0, а - произвольное комплексное число. Тогда функция

p(x) = p(x,a,q) = qx^^±l) (1)

Г(х +1)

является аналитической на всей комплексной плоскости, кроме точек - j- a-1 (j = 0,1,...), в которых она имеет полюса первого порядка, T(t) - гамма-функция. Пусть К -комплексная плоскость, из которой удалили все полюса и нули функции р(х).

Тогда при х е К мы можем рассмотреть функцию

M:(x) = M:(x,q) = J^A"{p(x)xl"]}, (2) р(х)

где kn - постоянная, п = 0,1,..., Ап- конечная разность n-го порядка, x[nl = х(х -1)...(х -п + 1). Функция (2) для

каждого п - 0,1,... определяет многочлены М"(х), называемые многочленами Мейкснера*).

Выберем константу к„ в (2) из условия

Мп"(0) =

V п у

получим Мап (х) = -2-— Л" {/>(х)х[и]} •

п\ р{х)

(3)

Пусть 0<q<l,а>-l. При выполнении этих условий

система многочленов Мейкснера {м"(х^)}п=0 ортогональна на множестве П = {ОД,... с весом р(х), определяемом (1),т. е.

оо

£р(х)М^(х)Мка(х) - Н^* (п,к = 0,1...), (4)

х=0

где

Полагая

Н"'4 -

V п у

п

^п + аЛ

V п /

ЯпГ(а + 1),

из (4) и (5) имеем

оо

(5)

(6)

(7)

х=0

Далее положим

*) Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 2, М.: Наука, 1973, 1974.

<(Х) = шпа(х,Ч) = (8)

= (1 - Ч)а+1Р(Х) = <1 - Я)а+1 <1Х ■ ^

Г(х + 1)

Тогда из (4) следует, что

сс

^М(х)шпа(х)ш«(х) = бЛ (п, к = ОД...). (Ю)

х=0

Это означает, что образует ортонормиро-

ванную систему в пространстве 1 (Д |и), где О = {0,1,...}.

Помимо известных классических свойств (рекуррентные соотношения, формула Кристоффеля-Дарбу, разностное уравнение и т. д.) нами описаны некоторые новые модификации формулы Кристоффеля-Дарбу, а также получено следующее соотношение для многочленов Мейк-снера:

и

1<

у=0

В ПАРАГРАФЕ 3 представлена асимптотическая теория многочленов Мейкснера.

Пусть теперь N > 0,5 = = {0,5,25...}. Введем в

рассмотрение многочлены

М^(х)-Мдах,е-5), (И)

т«ы(х) = г<(Нх,е-5) (а > -1). (12)

Из (4), (9), (10), (11) и (12) следует, что система {м£м(х)}п=0 и система {тп,гДх)}п=0 соответственно орто-

тональна и ортонормирована на равномерной сетке с весом

у(х) = а, е'й ) = (1 - )а+1е

-<5 \а+1 -х Г(Ых + а + \)

точнее

Г (Их +1)

]Гу(х)М«н(х)М^(х) = ь^б*.

хбсг5

где

г

Ьа г, а,е

п^ = V

п + а

е"п8Г(а + 1)

V

п

(13)

(14)

(15)

(16)

Кроме того согласно (8), (12) и (16) имеет место

В настоящем параграфе рассмотрены вопросы о том, насколько «быстро» может расти степень п многочлена

Мейкснера М"м(х) в зависимости от роста величины N (величина, обратная шагу сетки Пб) так, чтобы при этом асимптотическое поведение М„к(х) не очень отличалось от асимптотического поведения многочленов Лагерра (х) в случае целых а. Нами получены весовые оценки для величин

е 2х2

ш

лД (Х)

, при

= |упа+1,к(х)-Упа_1;К(х)|, при п<ал/^,а>0.

Основной результат указанного параграфа представлен таблицей оценок.

Таблица 1.

х е Упак(х) <с(а,а)... ) < с(а,а)...

а1 а а Х2П2 ^ «-1 х2п2

а2 1 1 Х~4П~4 _3 1 п 4Х4

а3 1 гГ4|х-ап| Л 1 П 4(ап ~"Х)4

а4 1 п 3 2 П~3

а5 ехр 2 Г - п(х - ап)2ап~2 1 (х-ап)4ехр 2 1] -П(х-ап)2ап 2

1 1 п4(х-ап)4 3 п4

е-ух е-тх

где с(а, а) - постоянная, зависящая только от а и а, постоянные г) и у удовлетворяют условиям 2 1

О < г] < — ,0 <у < —,ап = 4п + 2а+ 2, п > 1,а > О - целое,

=

0:

1

а3=(^-;ап-2а*], (17а)

I I

а4 =(ап ~2а^;ап + 2а^],

1 3

а5 =(ап +2аЗ;-ап],

«6 =

3

V

2а"">,

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ исследуется поведение функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера при х е [0; со) .

ПАРАГРАФ 1 указанной главы посвящен определению функции Лебега Я" м(х) сумм Фурье по многочленам

Мейкснера т"м(х) для функций, заданных на полуоси [0;»).

Обозначим через С[0;оо) пространство непрерывных функций Г = 1Е(х), заданных на [0; оо), для которых определена норма

Н = 8ирфа(х)|Дх)|, (18)

х>0

х а

ф«(*)= 6 2х2;х>0' 1 ;х = 0.

V '

Если £еС[0;оо), то мы можем рассмотреть сужение этой функции на множество - {0,3,23...} с сохранением обозначения Г = ^х).

Пусть N =|,S^N(x) = S;iN(f,x) - суммы Фурье -о

Мейкснера функции f по многочленам Мейкснера m^N(x), определяемым (17), т. е.

= (19)

к=О

где

(20)

tefls ;

- коэффициенты Фурье - Мейкснера.

Пусть Сп множество алгебраических многочленов

степени п. Для произвольного PneQt в силу ортонормиро-ванности системы многочленов Мейкснера имеем SnaN(Pn,x)SPn(x).

Обозначим через En(f) наилучшее приближение функции f е C[0;to) алгебраическими многочленами Рп(х) степени п, т. е.

= inf{||/

Для произвольного Pneqn имеет место

SnaN(f,x) - f (х) = S£N (f - Ра,х) + [P„ (x) - f (x)]. Отсюда из (19), и (20) находим

Va(x)|Sna>N(f,x)-f(x)| < En(f)[l + rn>N(x)], (21)

где

II

к=0

фа(х).

(22)

Величина Х„ К(х) представляет собой функцию Лебега для сумм Фурье - Мейкснера, функция фа(х) определена (18).

В ПАРАГРАФЕ 2 рассматривается функция Лебега в точке х = 0. "Нами доказано, что при целом а > -1,0 < 5 < 1,п < а-\/м, а > 0 имеет место оценка

а+1

ГП1К(0)<с(а,а)п^, где с(а,а)~ некоторая константа, зависящая только от а и а.

В ПАРАГРАФЕ 3 определены оценки функции Лебега на множествах а, = (0;—],= 2,...,б), определении

ных (17а). Для получения этих оценок мы использовали модификацию формулы Кристоффеля -Дарбу для сумм Фурье-Мейкснера, которая имеет вид

УХк (х)У£н (1) = упУ'п,к (А + _

• -гапУ-к(х)

X — I

где у„ и Хц не зависят от х и удовлетворяют условиям

О < Т11 < гп < ц2

0<у„4,

у„%(х) и

ИЗ

а также весовые оценки величин

Таб. 1, играющих основную роль в исследовании.

Итак, основной результат этого параграфа мы можем сформулировать следующим образом. Пусть а>-1- целое, 0<5<1,М=—,п< ал/г?, а > 0, тогда функция Лебега 5

для сумм Фурье-Мейкснера А."^ (х) на множестве [0; со) имеет следующие оценки:

Таблица 2.

X €

х- 0 а+1 П~

а? а а+1 Х2П 2

а2 1 1 /7.4Х 4

а3 (ап ~ Х) 4

а4 1 П6

а5 I п4(а„ -х)~4 ехр 2 Г -г|(х -ап)2апг

аб е"Ьх

где an = 4n + 2а + 2, n > 1, с(а, a) - постоянная, зависящая от а и a, b, г| - постоянные, удовлетворяющие условиям-

b > 0,0 < т| < —.

3

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена исследованию аппроксимативных свойств средних Чезаро для ряда Фурье-Мейкснера.

ПАРАГРАФ 1 посвящен постановке задачи.

Через l9(i2s,v) мы обозначим пространство функций f= f(x), заданных на П5 и таких, что ]Tf2(x)v(x) < 00 .

хеП5

Пусть f е 1 v). Тогда мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера этой функции по формуле (20). Суммы Фурье-Мейкснера будут иметь вид (19).

Будем рассматривать функции f = f(x), заданные на [0; оо). Сужение функции f(x) на множество П5 мы также обозначим через f(x), которую будем считать элементом пространства l2(Os,v). Соответствующие суммы Фурье-Мейкснера S*N(f,x) будем рассматривать при х е [0; оо). Если функция f = f(x) определена на [0; оо) и в указанном смысле принадлежит пространству (fis,v), то.

мы можем рассмотреть задачу о приближенном восстановлении этой функции на всей полуоси [0; оо) по ее значениям в узлах сетки С15 с помощью сумм Фурье-Мейкснера S*N(f,x). Другими словами, будем приближенно заменять функцию f(x) на [0;оо) суммой

Фурье-Мейкснера S£N(f,x). Возникает вопрос о сходимости средних Чезаро S„ N(f,x) к f(x) при п —> со.

ПАРАГРАФ 2 посвящен исследованию аппроксимативных свойств в точке х = 0 средних Чезаро для ряда Фурье-Мейкснера

00

f-^Mf^x), (23)

1=0

которые имеют вид

= —J^AlJM'^ix), (24)

П i=0

где f; являются коэффициентами Фурье-Мейкснера,

fv + k^

а5 =

V v У

Нами найдены некоторые естественные условия на исходную функцию, которые обеспечивают сходимость средних Чезаро сумм Фурье-Мейкснера в точке х - 0. Основной результат настоящего параграфа содержится в следующей теореме. -

ТЕОРЕМА. Пусть функция Г (х) непрерывна на полуоси [0;оо), 0 < а -целое, 0<6<1,Н=—,п< ал/Й, а > 0.

5

Тогда, если к > а - целое и существует интеграл

-— а-к--

] е 2х 2)Г(х)|с1х,

то ряд (23) по многочленам Мейкснера функции 1Г(х) (С, к) суммируем к сумме f (0), т. е.

Нта^(Гг0) = т. (25)

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Бердяева А. В. О сходимости средних Чезаро рядов Фурье-Мейкснера. // Всесоюзная школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики»: Тез. докл. - Воронеж, 1995, - С.61-62.

2. Вердиева А. В. Об оценке функций Лебега рядов Фурье-Мейкснера в точке х = 0. // Международная конференция по теории приближения функций: Тез. докл. - Калуга, 1996, - С.53-55.

3. Вердиева А. В. Об оценке функций Лебега рядов Фурье-Мейкснера на промежутке [0;оо). // 4 Северо-кавказская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. - Махачкала, 1997, - С.28.

4. Вердиева А. В. О функции Лебега рядов Фурье-Мейкснера. // Функционально -дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. трудов

/ Даггосуниверситет. - Махачкала, 1997, - С.43-46.

5. Вердиева А. В. О сходимости средних Чезаро сумм, Фурье-Мейкснера. // Наука и социальный прогресс Дагестана: Межвуз. сб. науч. трудов / Махачкала, 1997, - С.97-100.

Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная №1. Гарнитура Тайме. Тир. 100 экз. Отпечатано в тип. "Промстройинвест". г.Махачкала, уд.Батырая, 11.