Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Вердиева, Асият Вердиевна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ
1998 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точек»
 
Автореферат диссертации на тему "Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точек"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский Государственный Университет им. Н. Г. Чернышевского

на правах рукописи

ВЕРДИЕВА АСИЯТ ВЕРДИЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

на правах рукописи

ВЕРДИЕВА АСИЯТ ВЕРДИЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Дагестанского государственного педагогического университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, .профессор И. И. Шарапудинов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б. И. Голубое кандидат физико-математических наук, доцент А. Л. Лукашов Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук

Защита диссертации состоится «_/$_» _

1998 г. в /Г час. 3 0 мин. на заседании диссертационного совета К 063.74.04 Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского по адресу: 410071, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский государственный университет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Автореферат разослан « 0 £ » 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент пф Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В различных вопросах современной физики, биологии, экономики и в других областях часто возникают задачи, связанные с приближением функций на промежутке, значения которых известны лишь на дискретной сетке. В частности, такие задачи возникают при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих различные процессы в указанных областях. С другой стороны, в последнее время все более актуальными становятся задачи сжатия, хранения и передачи дискретной информации. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретных сетках. При решении этих задач на практике часто используют ряды Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных сетках. Однако вопросы сходимости таких рядов изучены мало, в частности недостаточно исследованы вопросы сходимости рядов Фурье - Мейк-снера.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. Изучаются вопросы сходимости рядов Фурье по многочленам Мейкснера, ортогональным на дискретных сетках. В частности, исследуется функция Лебега сумм Фурье - Мейкснера, а также сходимость средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера к некоторой функции в нулевой точке.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение поведения функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера на полуоси [0; со], исследование сходимости средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера к функции Г(х) в точке х = 0.

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации применяются методы теории функций и функционального анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Получены оценки функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера на полуоси [0; оо]. Найдены некоторые естественные условия на исходную функцию, которые обеспечивают сходимость средних Чезаро сумм Фурье - Мейкснера в точке х = 0к функции ^х).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы могут быть использованы при решении задач сжатия, хранения и передачи дискретной информации, а также при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих различные процессы в химии, биологии и других областях.

АПРОБИРОВАНИЕ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе (1995), на Международной конференции «Функциональные пространства, дифферен-циальные операторы, нелинейный анализ» (Махачкала, 1997), внут-ривузовских научно-теоретических конферен-циях профессорско-преподавательского состава Даггос-университета и Даггоспедуниверситета по итогам научных исследований (1994-1996), на четвертой Северо -Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1997).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 109 страниц машинописного текста, библиография содержит 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

ПЕРВАЯ ГЛАВА носит вспомогательный характер. В ней в основном собраны известные факты, касающиеся алгебраических и асимптотических свойств многочленов Мейкснера.

В ПАРАГРАФЕ 1 содержится перечень обозначений, вводятся понятие линейного пространства]^, понятие

базиса, а также основные сведения о свойствах многочленов Лагерра, дискретным аналогом которых являются многочлены Мейкснера.

В ПАРАГРАФЕ 2 приводится классическая теория многочленов Мейкснера. Пусть q > 0, а - произвольное комплексное число. Тогда функция

p(x) = p(x,a,q) = qx^^±l) (1)

Г(х +1)

является аналитической на всей комплексной плоскости, кроме точек - j- a-1 (j = 0,1,...), в которых она имеет полюса первого порядка, T(t) - гамма-функция. Пусть К -комплексная плоскость, из которой удалили все полюса и нули функции р(х).

Тогда при х е К мы можем рассмотреть функцию

M:(x) = M:(x,q) = J^A"{p(x)xl"]}, (2) р(х)

где kn - постоянная, п = 0,1,..., Ап- конечная разность n-го порядка, x[nl = х(х -1)...(х -п + 1). Функция (2) для

каждого п - 0,1,... определяет многочлены М"(х), называемые многочленами Мейкснера*).

Выберем константу к„ в (2) из условия

Мп"(0) =

V п у

получим Мап (х) = -2-— Л" {/>(х)х[и]} •

п\ р{х)

(3)

Пусть 0<q<l,а>-l. При выполнении этих условий

система многочленов Мейкснера {м"(х^)}п=0 ортогональна на множестве П = {ОД,... с весом р(х), определяемом (1),т. е.

оо

£р(х)М^(х)Мка(х) - Н^* (п,к = 0,1...), (4)

х=0

где

Полагая

Н"'4 -

V п у

п

^п + аЛ

V п /

ЯпГ(а + 1),

из (4) и (5) имеем

оо

(5)

(6)

(7)

х=0

Далее положим

*) Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 2, М.: Наука, 1973, 1974.

<(Х) = шпа(х,Ч) = (8)

= (1 - Ч)а+1Р(Х) = <1 - Я)а+1 <1Х ■ ^

Г(х + 1)

Тогда из (4) следует, что

сс

^М(х)шпа(х)ш«(х) = бЛ (п, к = ОД...). (Ю)

х=0

Это означает, что образует ортонормиро-

ванную систему в пространстве 1 (Д |и), где О = {0,1,...}.

Помимо известных классических свойств (рекуррентные соотношения, формула Кристоффеля-Дарбу, разностное уравнение и т. д.) нами описаны некоторые новые модификации формулы Кристоффеля-Дарбу, а также получено следующее соотношение для многочленов Мейк-снера:

и

1<

у=0

В ПАРАГРАФЕ 3 представлена асимптотическая теория многочленов Мейкснера.

Пусть теперь N > 0,5 = = {0,5,25...}. Введем в

рассмотрение многочлены

М^(х)-Мдах,е-5), (И)

т«ы(х) = г<(Нх,е-5) (а > -1). (12)

Из (4), (9), (10), (11) и (12) следует, что система {м£м(х)}п=0 и система {тп,гДх)}п=0 соответственно орто-

тональна и ортонормирована на равномерной сетке с весом

у(х) = а, е'й ) = (1 - )а+1е

-<5 \а+1 -х Г(Ых + а + \)

точнее

Г (Их +1)

]Гу(х)М«н(х)М^(х) = ь^б*.

хбсг5

где

г

Ьа г, а,е

п^ = V

п + а

е"п8Г(а + 1)

V

п

(13)

(14)

(15)

(16)

Кроме того согласно (8), (12) и (16) имеет место

В настоящем параграфе рассмотрены вопросы о том, насколько «быстро» может расти степень п многочлена

Мейкснера М"м(х) в зависимости от роста величины N (величина, обратная шагу сетки Пб) так, чтобы при этом асимптотическое поведение М„к(х) не очень отличалось от асимптотического поведения многочленов Лагерра (х) в случае целых а. Нами получены весовые оценки для величин

е 2х2

ш

лД (Х)

, при

= |упа+1,к(х)-Упа_1;К(х)|, при п<ал/^,а>0.

Основной результат указанного параграфа представлен таблицей оценок.

Таблица 1.

х е Упак(х) <с(а,а)... ) < с(а,а)...

а1 а а Х2П2 ^ «-1 х2п2

а2 1 1 Х~4П~4 _3 1 п 4Х4

а3 1 гГ4|х-ап| Л 1 П 4(ап ~"Х)4

а4 1 п 3 2 П~3

а5 ехр 2 Г - п(х - ап)2ап~2 1 (х-ап)4ехр 2 1] -П(х-ап)2ап 2

1 1 п4(х-ап)4 3 п4

е-ух е-тх

где с(а, а) - постоянная, зависящая только от а и а, постоянные г) и у удовлетворяют условиям 2 1

О < г] < — ,0 <у < —,ап = 4п + 2а+ 2, п > 1,а > О - целое,

=

0:

1

а3=(^-;ап-2а*], (17а)

I I

а4 =(ап ~2а^;ап + 2а^],

1 3

а5 =(ап +2аЗ;-ап],

«6 =

3

V

2а"">,

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ исследуется поведение функции Лебега сумм Фурье - Мейкснера при х е [0; со) .

ПАРАГРАФ 1 указанной главы посвящен определению функции Лебега Я" м(х) сумм Фурье по многочленам

Мейкснера т"м(х) для функций, заданных на полуоси [0;»).

Обозначим через С[0;оо) пространство непрерывных функций Г = 1Е(х), заданных на [0; оо), для которых определена норма

Н = 8ирфа(х)|Дх)|, (18)

х>0

х а

ф«(*)= 6 2х2;х>0' 1 ;х = 0.

V '

Если £еС[0;оо), то мы можем рассмотреть сужение этой функции на множество - {0,3,23...} с сохранением обозначения Г = ^х).

Пусть N =|,S^N(x) = S;iN(f,x) - суммы Фурье -о

Мейкснера функции f по многочленам Мейкснера m^N(x), определяемым (17), т. е.

= (19)

к=О

где

(20)

tefls ;

- коэффициенты Фурье - Мейкснера.

Пусть Сп множество алгебраических многочленов

степени п. Для произвольного PneQt в силу ортонормиро-ванности системы многочленов Мейкснера имеем SnaN(Pn,x)SPn(x).

Обозначим через En(f) наилучшее приближение функции f е C[0;to) алгебраическими многочленами Рп(х) степени п, т. е.

= inf{||/

Для произвольного Pneqn имеет место

SnaN(f,x) - f (х) = S£N (f - Ра,х) + [P„ (x) - f (x)]. Отсюда из (19), и (20) находим

Va(x)|Sna>N(f,x)-f(x)| < En(f)[l + rn>N(x)], (21)

где

II

к=0

фа(х).

(22)

Величина Х„ К(х) представляет собой функцию Лебега для сумм Фурье - Мейкснера, функция фа(х) определена (18).

В ПАРАГРАФЕ 2 рассматривается функция Лебега в точке х = 0. "Нами доказано, что при целом а > -1,0 < 5 < 1,п < а-\/м, а > 0 имеет место оценка

а+1

ГП1К(0)<с(а,а)п^, где с(а,а)~ некоторая константа, зависящая только от а и а.

В ПАРАГРАФЕ 3 определены оценки функции Лебега на множествах а, = (0;—],= 2,...,б), определении

ных (17а). Для получения этих оценок мы использовали модификацию формулы Кристоффеля -Дарбу для сумм Фурье-Мейкснера, которая имеет вид

УХк (х)У£н (1) = упУ'п,к (А + _

• -гапУ-к(х)

X — I

где у„ и Хц не зависят от х и удовлетворяют условиям

О < Т11 < гп < ц2

0<у„4,

у„%(х) и

ИЗ

а также весовые оценки величин

Таб. 1, играющих основную роль в исследовании.

Итак, основной результат этого параграфа мы можем сформулировать следующим образом. Пусть а>-1- целое, 0<5<1,М=—,п< ал/г?, а > 0, тогда функция Лебега 5

для сумм Фурье-Мейкснера А."^ (х) на множестве [0; со) имеет следующие оценки:

Таблица 2.

X €

х- 0 а+1 П~

а? а а+1 Х2П 2

а2 1 1 /7.4Х 4

а3 (ап ~ Х) 4

а4 1 П6

а5 I п4(а„ -х)~4 ехр 2 Г -г|(х -ап)2апг

аб е"Ьх

где an = 4n + 2а + 2, n > 1, с(а, a) - постоянная, зависящая от а и a, b, г| - постоянные, удовлетворяющие условиям-

b > 0,0 < т| < —.

3

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена исследованию аппроксимативных свойств средних Чезаро для ряда Фурье-Мейкснера.

ПАРАГРАФ 1 посвящен постановке задачи.

Через l9(i2s,v) мы обозначим пространство функций f= f(x), заданных на П5 и таких, что ]Tf2(x)v(x) < 00 .

хеП5

Пусть f е 1 v). Тогда мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера этой функции по формуле (20). Суммы Фурье-Мейкснера будут иметь вид (19).

Будем рассматривать функции f = f(x), заданные на [0; оо). Сужение функции f(x) на множество П5 мы также обозначим через f(x), которую будем считать элементом пространства l2(Os,v). Соответствующие суммы Фурье-Мейкснера S*N(f,x) будем рассматривать при х е [0; оо). Если функция f = f(x) определена на [0; оо) и в указанном смысле принадлежит пространству (fis,v), то.

мы можем рассмотреть задачу о приближенном восстановлении этой функции на всей полуоси [0; оо) по ее значениям в узлах сетки С15 с помощью сумм Фурье-Мейкснера S*N(f,x). Другими словами, будем приближенно заменять функцию f(x) на [0;оо) суммой

Фурье-Мейкснера S£N(f,x). Возникает вопрос о сходимости средних Чезаро S„ N(f,x) к f(x) при п —> со.

ПАРАГРАФ 2 посвящен исследованию аппроксимативных свойств в точке х = 0 средних Чезаро для ряда Фурье-Мейкснера

00

f-^Mf^x), (23)

1=0

которые имеют вид

= —J^AlJM'^ix), (24)

П i=0

где f; являются коэффициентами Фурье-Мейкснера,

fv + k^

а5 =

V v У

Нами найдены некоторые естественные условия на исходную функцию, которые обеспечивают сходимость средних Чезаро сумм Фурье-Мейкснера в точке х - 0. Основной результат настоящего параграфа содержится в следующей теореме. -

ТЕОРЕМА. Пусть функция Г (х) непрерывна на полуоси [0;оо), 0 < а -целое, 0<6<1,Н=—,п< ал/Й, а > 0.

5

Тогда, если к > а - целое и существует интеграл

-— а-к--

] е 2х 2)Г(х)|с1х,

то ряд (23) по многочленам Мейкснера функции 1Г(х) (С, к) суммируем к сумме f (0), т. е.

Нта^(Гг0) = т. (25)

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Бердяева А. В. О сходимости средних Чезаро рядов Фурье-Мейкснера. // Всесоюзная школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики»: Тез. докл. - Воронеж, 1995, - С.61-62.

2. Вердиева А. В. Об оценке функций Лебега рядов Фурье-Мейкснера в точке х = 0. // Международная конференция по теории приближения функций: Тез. докл. - Калуга, 1996, - С.53-55.

3. Вердиева А. В. Об оценке функций Лебега рядов Фурье-Мейкснера на промежутке [0;оо). // 4 Северо-кавказская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. - Махачкала, 1997, - С.28.

4. Вердиева А. В. О функции Лебега рядов Фурье-Мейкснера. // Функционально -дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. трудов

/ Даггосуниверситет. - Махачкала, 1997, - С.43-46.

5. Вердиева А. В. О сходимости средних Чезаро сумм, Фурье-Мейкснера. // Наука и социальный прогресс Дагестана: Межвуз. сб. науч. трудов / Махачкала, 1997, - С.97-100.

Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная №1. Гарнитура Тайме. Тир. 100 экз. Отпечатано в тип. "Промстройинвест". г.Махачкала, уд.Батырая, 11.