Ортогональные и экстремальные полиномы на нескольких отрезках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи ЛУКАШОВ АЛЕКСЕЙ ЛЕОНИДОВИЧ

УДК 517.5

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ

01.01.01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2005

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета им. Н.Г Чернышевского

Официальные оппоненты'

доктор физико-математических наук, профессор АПТЕКАРЕВ Александр Иванович

доктор физико-математических наук БАДКОВ Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор ДАНЧЕНКО Владимир Ильич

Ведущая организация: механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

-уС

Защита состоится ^О^/Уу 2005 года в г> часов на заседании диссертационного совета Д004 006 02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте Математики и Механики Уральского Отделения Российской Академии Наук по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики и Механики УрО РАН.

1С"

Автореферат разослан февраля 2005 года

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 004.006.02 /< I

кандидат физико-математических наук —Н.Ю. Антонов

¿gos^L

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1853 году великий русский математик Пафну-тий Львович Чебышёв представил в Академию Наук мемуар под названием "Теория механизмов, известных под названием параллелограммов" В этом сочинении им была поставлена и решена первая экстремальная задача теории приближений, а её решение - многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, стали широко известны под названием "многочлены Чебышёва".

Популярность этих многочленов лишь возрастает со временем, и причиной этому является поистине неисчерпаемое богатство вновь и вновь открываемых их замечательных свойств Ещё большее разнообразие наблюдается в сфере различных обобщений этих многочленов Авторами первых таких обобщений явились как сам П.Л. Чебышёв, так и его ученики и последователи Е.И. Золотарев, А.Н. Коркин и А.А Марков. В частности. П.Л. Чебышёвым и A.A. Марковым были решены экстремальные задачи о дробях с фиксированным знаменателем, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке, в случаях, когда этот знаменатель представляет собой многочлен или квадратный корень из многочлена Поскольку такие дроби можно рассматривать как полиномы по соответствующим че-бышевским системам функций, дроби Чебышёва-Маркова также можно рассматривать как пример экстремальных полиномов на отрезке.

Вопрос об обобщении этих результатов на множества более тонкой структуры, в частности, на случай нескольких отрезков, оказался весьма сложным Среди математиков, внесших существенный вклад в решение этой задачи, можно указать Н.И. Ахиезера, А Б Богатырева, М.Г. Крейна, В.И. Лебедева, Б.Я. Левина, А.А Нудельмана, Ф. Пехерстор-фера, Р М Робинсона, М Л Содина, П.М. Юдицкого Интерес к этой задаче объясняется еще и многочисленными приложениями, в которых требуется знание ее решения.

Среди многих свойств, которыми обладают многочлены Чебышёва, фигурирует и свойство их ортогональности относительно равновесной меры отрезка. Аналогичным свойством, как обнаружил С.Н. Вернштейн, обладают и числители дробей Чебышёва-Маркова. Эти числители широко использовались С Н. Бернштейном и Г Сегё в построении теории ортогональных многочленов относительно более общих весов, поэтому часто их называют многочленами БернштейнагСегё Аналог указанной связи для экстремальных полиномов на нескольких отрезках был отме-

3

и ■ 'I

1 ! \Я

чен в недавних работах М.Л. Содина, Ф. Пехерсторфера и П.М. Юлипкого При этом мера ортогональности соответствующих многочленов оказалась не новой - впервые такие меры появились в работах Я.Л. Герониму-са, посвященных решению задачи о нахождении мер ортогональности для которых ортогональные многочлены удовлетворяют трехчленным рекуррентным соотношениям с периодическими, начиная с некоторого номера, последовательностями коэффициентов. Обобщениям этой задачи в различных направлениях посвящены глубокие работы А И Аптекаре-ва, Дж. Джеронимо, Р. Джонсона, М.Л. Содина, С.П. Суетина и П.М. Юдицкого, другие аспекты теории ортогональных многочленов на нескольких отрезках затрагивались в работах Н И. Ахиезера, А А. Гончара, Г Видома, В И. Лебедева, Г. Лопеса, Дж Натолла, Ф Пехерсторфера, Е.А. Рахманова, С.Р. Сингха, Ю.Я. Томчуха и других математиков. В связи с этим следует упомянуть, что одним из источников зарождения теории интегрируемых систем явилась работа Н.И Ахиезера, посвященная континуальным аналогам ортогональных многочленов на нескольких отрезках.

Надо сказать, что с тех пор, как Г.Сегё вывел асимптотические представления для ортогональных многочленов с помощью исследования систем многочленов, ортогональных на единичной окружности, именно таким образом были получены многие важные результаты об асимптотике многочленов, ортогональных на отрезке (например, известные теоремы Е А Рахманова и В М Бадкова). Заметим также, что даже случай одной дуги вносит существенные трудности. Не останавливаясь на этой ситуации подробно, отметим, что результаты работы Н.И. Ахиезера, открывшей это направление, были опубликованы с доказательствами существенно позже (Л.Б. Голинским). Ситуация существенно меняется для несвязных множеств. Так, в работе Ю.Я. Томчука (доказательства результатов которой так и не появились) отмечалось, что по сравнению со случаем нескольких отрезков для нескольких дуг имеются дополнительные трудности. Отметим, что веса, рассмотренные Ю Я Томчуком, а также более общего вида, исследованные в цикле работ Ф. Пехерсторфера и Р. Штейнбауэра впервые появились в работе Я Л. Геронимуса как решение задачи нахождения весов (точнее, мер ортогональности), ортогональные многочлены относительно которых имеют периодические (начиная с некоторого номера) последовательности круговых параметров ап (т.е. коэффициентов соответствующих рекуррентных соотношений) Изучение поведения последовательностей круговых параметров является

4

актуальным и поныне. Особенно популярной стала теория ортогональных многочленов на окружности после появления многочисленных физических приложений (в качестве примера отметим, что один из известных математических физиков, Б Саймон, подготовил к печати книгу, посвященную этой теории).

Здесь уместно упомянуть об еще одном обобщении ортогональных многочленов, а именно, об ортогональных рациональных функциях Теория таких функций была построена М.М Држрбашяном а позже ей был посвящен обширный цикл работ А.Бултхеела, П Гонсалеса-Веры, О. Ньястада и Э Хендриксена Эта теория может рассматриваться и как часть более общей и интенсивно развивающейся в настоящее время теории ортогональных многочленов с переменными весами, но тем не менее она продолжает привлекать внимание многих исследователей в связи с удобством приложений. Несмотря на обилие работ, число явным образом конструируемых систем ортогональных рациональных функций весьма невелико.

Еще одним замечательным свойством многочленов Чебышёва является их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке. Эта задача, поставленная Д И. Менделеевым, была решена A.A. Марковым. Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений. Этим неравенствам посвящены многочисленные книги и статьи, тем не менее случай неравенств для производных многочленов, рациональных функций и тригонометрических полиномов на несвязных множествах оставался недостаточно исследованным, хотя в теории приближений изучаются вопросы приближения на таких множествах (в работах A.A. Гончара, В.К. Дзядыка, Н А. Лебедева, П.М. Тамразова, В.Х.И. Фукса, H.A. Широкова и др.).

Поскольку тема неравенств для производных полиномов слишком обширна, чтобы дать о ней хоть сколько-нибудь полные сведения, ограничимся лишь сведениями, имеющими непосредственное отношение к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам Еще в 1916 году И.И.Привалов обобщил неравенство Бернштейна на случай, когда вместо полного периода рассматривается некоторое его замкнутое подмножество положительной меры. Даже для случая, когда это подмножество - отрезок, соответствующее неравенство приобрело окончательный (не-улучшаемый) вид лишь в работе В.С Виденского. Позже им же этот

5

результат был перенесен на тригонометрические полиномы полуцелого порядка Отметим что недавно интерес к подобным оценкам оживился вновь. Существенно более общее неравенство, обобщающее не только упомянутые результаты, но и неравенства С.Н Беряштейна и А. Шеф-фера для производных целых функций, получено в работе Н И Ахиезера и Б.Я. Левина. Их результат, относящийся к алгебраическим многочленам на нескольких отрезки, был обобщен в недавней работе В. Тотика, причем последний результат также может рассматриваться как частный случай неравенства М. Барана для полиномов от нескольких переменных. Другое обобщение неравенства Ахиезера-Левина (для производных мероморфных функций) получено М.Б. Левиным, различные неравенства для производных многочленов на множествах можно найти также в работах П.Б. Борвейна, А А. Привалова, В. Тотика, Т.Эрдейи и др.

Ясно, что обобщить неравенство Маркова для производных алгебраических многочленов на рациональные функции со свободными полюсами нельзя Поэтому для рациональных функций со свободными полюсами неравенства для производных получают либо в других метриках, либо с исключением множеств малой меры и т д (среди наиболее значимых работ в этом направлении отметим работы А А Гончара, Е.П.Долженко, В.И. Данченко) Другое направление - оценка производных рациональных функций с заданными полюсами. Этому направлению посвящена книга В.Н. Русака, в частности, им получено неравенство для производных рациональных функций, включающее как частный случай неравенство Бернштейна-Сегё. Здесь следует упомянуть также неравенство В.С.Видеяского, непосредственно обобщавшее неравенство Бервштейна. Другие результаты в этом направлении получены П Б Борвейном, В Н Дубининым, Г. Мином, A.A. Пекарским, Т Эрдейи и др.

Еще одним разделом теории приближений, в котором многочлены Чебышёва играют важную роль, является теория интерполирования Интерполирование Лагранжа по нулям многочленов Чебышёва изучалось многими авторами, оценки констант Лебега, т.е. норм соответствующих интерполяционных многочленов, рассматриваемых как операторы в пространстве непрерывных функций на отрезке, были получены в работах таких математиков, как С.Н Бернштейн, В К Дзядык, А.Х Турецкий (более подробно об этом см. в книгах А X. Турецкого, А А Привалова, Й. Сабадоша и П. Вертеши).

Одной из причин, обуславливающих интерес к интерполированию именно по нулям многочленов Чебышёва является то, что соответствую-

6

щие константы Лебега имеют оптимальный рост, т е., так же как и для наименее возможных среди всех систем (матриц) узлов интерполировав ния, они имеют порядок роста O(log п) При этом оптимальные, т.е. имеющие наименьшие возможные константы Лебега, матрицы до сих пор не найдены, причем даже критерии, которым они удовлетворяют (т.н. гипотезы Бернштейна и Эрдеша) были доказаны лишь в 1978 году Т, Килгором, К. де Бором и А. Пинкусом.

Естественным аналогом для интерполирования рациональными функциями с фиксированными полюсами для случая одного отрезка служат интерполяционные процессы по нулям дробей ЧебышевеиМаркова, введенные В.Н Русаком и изученные в работах Е А. Ровбы. А.П. Старовойтова и (без упоминания предыдущих авторов) Г. Мкном. Впрочем, такие процессы можно интерпретировать и как полиномиальное интерполирование с весом, которому посвящено большое количество недавних исследований. При интерполировании аналитических функций естественно также использовать многоточечные аппроксимации Паде (или интерпо-лянты Паде-Ньютона).

Заметим, что обобщение результатов по оценкам констант Лебега по узлам Чебыпгёва с одного отрезка на случай нескольких отрезков представляется более естественным именно для рациональных функций с фиксированным знаменателем, ибо за счет условий, накладываемых на знаменатели, можно гарантировать, что все нули соответствующих функций Чебышёва-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля, будут находиться именно на системе отрезков, что невозможно обеспечить сразу для всех номеров в полиномиальном случае. Кроме того, поскольку существует тесная связь между многочленами Золотарева и многочленами Чебышева на двух отрезках, интерполирование в экстремумах многочленов Золотарева, исследованное в работе М.С. Хенри и Дж. Дж. Светитса, является частным случаем интерполирования по узлам многочленов Чебышева первого и второго рода на нескольких отрезка*.

Среди других свойств многочленов Чебышева отметим найденное в недавней работе Р.Х. Янеса, В. ван Ассхе и Х.С. Дехезы: для них, а также для многочленов Чебышева второго рода можно в явном виде лодсчмгагь информационные энтропии, что находит применения в различных вопросах математической физики (см. также другие работы этих авторов, а также А И Аптекарева, B.C. БуЯрова, В Н Сорокина)

Многочлены Чебышёва принадлежат также к классу классических ортогональных многочленов, характеризуемых рядом замечательных

7

свойств. Среди этих свойств упомянем ортогональность производных и тот факт, что классические ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Последнее свойство явилось источником большого количества работ, посвященных различным обобщениям классических ортогональных многочленов' многочленам Стилтьеса. полуклассическим ортогональным многочленам, полиномиальным решениям разностных уравнений и т.п

Еще одно из свойств многочленов Чебышёва - их появление в разложении единицы

Щх) - (X* - 1 )и^(х) = 1, (1)

аналогичном уравнению Пелля из теории чисел Это уравнение называют также уравнением Абеля или Абеля-Пелля Обобщение последнего разложения содержится в теореме Маркова-Л юкача о представлении положительного на отрезке многочлена, которое является одним из средств решения проблемы моментов Хаусдорфа. Распространение указанного представления на случай нескольких отрезков содержит серьезные трудности. и поэтому сведение вопроса о разрешимости проблемы моментов к вопросу о положительной определенности как можно меньшего числа квадратичных форм являлось нетривиальной задачей Здесь оказалась весьма существенной разница между усеченной и полной проблемами, а также между проблемой моментов на компактном и некомпактном множествах Окончательное решение данной задачи было найдено в работе К Берга и П X. Мазерика.

Наконец, упомянем об еще одной задаче, впервые поставленной и решенной Е И. Золотаревым Речь идет о построении рациональных функций со свободными полюсами, ограниченных единицей на [—к, к\ и имеющих максимальный минимум на (—оо, —1/&] и [1 /к, +оо). Решение этой задачи и ее обобщения (задачи об оптимальном электрическом фильтре) использует эллиптические функции и находит применения во многих вопросах теории приближений, электротехнике, вычислительной математике. Полное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре в явном виде не получено до сих пор Чтобы проиллюстрировать характер трудностей, возникающих здесь, упомянем о том, что для построения дробей ЧебышевагМаркова на нескольких отрезках используется теорема Абеля о том, когда гиперэллиптический интеграл берется

8

в элементарных функциях, а для задачи об оптимальном электрическом фильтре аналогичным образом потребуется знание ответа на вопрос о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в эллиптических функциях Последний вопрос впервые ставился К Вейергатрассом, среди математиков, которые работали над этой проблемой, можно упомянуть С Ковалевскую, но ответа той же степени общности, что и теорема Абеля, нет по сей день.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнялась в рамках госбюджетных тем Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского "Теория приближений" (руководимой автором) ^ гос. регистрации 01970002334(1996-2000 гг.), 01.200 201.960 (2001-2005 гг.)) и "Решение фундаментальных задач комплексного анализа, спектральной теории функций, теории упругости, дискретной математики, математической психологии и разработка оптимизационных алгоритмов" (руководитель - профессор А.П. Хромов) гос. регистрации 01.20.0302963 (2001-2005 гг.), тема являлась продолжением темы с N гос регистрации 01.200002986 (1996-2000 гг.)). Часть результатов получена в ходе работ по грантам Конкурсного центра Министерства Образования РФ 2-12-14-53 (1992-1993 гг.), ЕО0-1.О-192 (2001-2002 гг.) РФФИ 99-01-01120 (1999-2001 гг.), 04-01-00060 (2004-2006 гг.), в которых автор был руководителем, и по Программе "Университеты России" УР.04.01.040 Министерства Образования РФ, гранту РФФИ по поддержке ведущих научных школ 00-15-96123, гранту Президента РФ НШ-1295.2003 1, грантам Австрийского научного Фонда про-

екты Р12985-ТЕС, Р16390-!Ч04, в которых автор был исполнителем

Цель работы

1. Дать полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на этой системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из многочлена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков;

2 Получить представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов;

3. Найти представления ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

4. Найти представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности относительно мер из подкласса класса Геронимуса;

5. Исследовать асимптотическое поведение коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках относительно мер класса Геронимуса;

6 Исследовать асимптотическое поведение круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

7. Найти оценки производных полиномов по специальным системам алгебраических, рациональных, тригонометрических и алгебраически-тригонометрических функций на нескольких отрезках;

8- Найти точные по порядку оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Че-бышёва-Маркова на нескольких отрезках;

9. Дать частичное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре;

10. Найти обобщения некоторых свойств классических ортогональных многочленов на системы многочленов, ортогональных на нескольких промежутках

Методы исследовании. При решении поставленных задач применяются методы теории функций комплексного переменного, теории приближений и теории ортогональных полиномов.

Научна* новизна. Все основные результаты работы являются новыми. обобщая известные ранее либо путем использования других средств и методов, либо путем рассмотрения более общих классов Например, описание решения задачи Чебышева-Маркова получено путем распространения методов Н И Ахиезера на более широкий класс рациональных функций, неравенства для производных получены путем сочетания идей, использованных для доказательства различных частных случаев таких неравенств, известных ранее При исследовании асимптотического поведения коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений разработан новый метод доказательства непостоянства весьма сложно устроен-

10

ных функций, основанный на использовании автоморфности по входящему в них постоянному параметру В ряде результатов (при исследовании круговых параметров, при получении оценок производных, при нахождении критерия разрешимости проблемы моментов) используется также метод вариации фиксированных полюсов, ранее не употреблявшийся

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзных школе и конференции по теории функций (Днепропетровск. 1990; Одесса, 1991); на 5-й и 6-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов,1990,1992); на конференции по конструктивной теории функций, посвященной 70-летию проф. б С. Виденского (Санкт-Петербург,1992); на 25 Голландском математическом съезде (Амстердам,1993); на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, посвященной памяти профессора A.A. Привалова (Саратов, 1994); на Международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений и нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика С.М. Никольского (Москва,1995); па 8-й,9-й, 10-й и 12-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов,1996.1998,2000.2004); на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула,1998); на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж,1999,2005); на Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти В.К. Дзядыка (Киев,1999); на школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань,1999); на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения C.B. Стечкина (Екатеринбург, 2000); на 8 и 9 Белорусских Математических конференциях (Минск,2000; Гродно, 2004); ва Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов,2000); на 2-й Международной конференции "Гармонический анализ и приближения" (Ереван,2001); на 11-й Саратовской зимней юколе " Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д Е Меньшова (Саратов,2002); на Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов-Энгельс. 2002); на семинарах под руководством члена-корреспондента РАН П Л Ульянова в МГУ, в 1996 и 2003 гг ; на семинаре под руководством академика РАН А А Гончара и проф. А.И. Аптекарева

11

в МИР АН, в 1996, 1998, 2001 гг.; на семинаре по геометрии в Гронин-генском университете (Нидерланды) под руководством проф. М. ван дер Пута в 1992 г.; на семинарах математических факультетов Амстердамского университета (в 1993 г.) и Университета им. И. Кеплера (Линц, Австрия) в 1998 г ; на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН Ю.И. Субботина и проф. Н.И. Черныха в Институте Математики и Механики УрО РАН в г. Екатеринбурге в 2002 и 2004 гг.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций под руководством проф. Г.И. Натансона, B.C. Виденского в 2002 г.; на семинаре по теории дифференциальных уравнений под руководством проф В В. Жикова во Владимирском педагогическом университете в 2004 г.; неоднократно на семинарах и научно-практических конференциях в Саратовском госуниверситете.

По результатам работы автору была присуждена премия им. М.Я. Суслина (1994 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы из 434 наименований Объем диссертации составляет 241 страницу. Имеется 1 рисунок.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l]-[30j, причем из работы [15], написанной в соавторстве, в диссертацию включены результаты, составляющие параграф 2.1, носящие вспомогательный для последующего характер, а также Теорема 19, принадлежащая автору.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит исторические сведения по рассматриваемым в диссертации вопросам и краткое изложение основных результатов диссертации

Первая глава посвящена представлениям экстремальных полиномов по различным системам функций (рациональным, алгебраическим специального вида, алгебраическо-тригонометрическим), наименее уклоняющихся от нуля на нескольких отрезках. Вторая глава содержит представления ортогональных многочленов и рациональных функций на нескольких отрезках или дугах единичной окружности относительно весов

12

класса Я Л. Геронимуса В третьей главе исследовано поведение последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений, а также последовательностей модулей |а„| и отношений а„/а„+1 круговых параметров для ортогональных многочленов, рассмотренных в предыдущей главе. В четвертой главе собран ряд результатов, обобщающих известные свойства классических многочленов Чебышева на случай нескольких отрезков. В частности, здесь получены оценки производных алгебраическо-тригонометрических и алгебраических функций на нескольких отрезках.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена представлениям экстремальных в смысле равномерной нормы полиномов по различным системам рациональных функций на нескольких отрезках. Первый параграф этой главы носит вспомогательный для всего последующего характер. В нем подробно изложена теория функций Шоттки-Бернсайда, включение которой объясняется тем, что имеющиеся источники (статьи Ф.Шоттки и В Бернсайда, книги А Бейкера, Е.Белоколоса, А Бобенко и др.) либо недостаточно подробны, либо рассматривают чересчур общий случай и нуждаются в подробной детализации для частного случая, используемого в работе Кроме того, в работах В Бернсайда, наиболее подходящих для использования, содержится ряд неточностей (в выкладках с аналогами абелевых интегралов третьего рода и клейновой "простой формы", на которые обратил внимание автора А.Б Богатырев)

Приведем необходимые обозначения и определения' Пусть £ — [¡р!, <р,] и ... и [<ри-1, <Р21 ]> Ь < ¡рх < <рг < ... < фи <Ь + 2п -заданная фиксированная система отрезков, Те = {г 6 С . г = е'*1, <р 6 Е} - соответствующая система дут единичной окружности.

Рассмотрим фундаментальную область Т группы Шоттки, состоящую из внешности кругов К1:. . , К[,... , а также дК1, .. , расположенных вне друг друга так, что их центры расположены на мнимой оси. круги К\.... ,К{-1 расположены в верхней полуплоскости, а круги К[,. , К[ 1 симметричны К^,... , Я|-1 соответственно относительно действительной оси. Соответствующая группа Шоттки <8 = в( АГ],.. , К1-1) является свободной группой с операцией суперпозиции и образующими Т\,. . , 1, где Т, - дробно-линейное отображение, переводящее внешность круга К[ на внутренность круга К, и являющееся суперпозицией инверсии относительно окружности дК[ и симметрии относительно действительной оси. Занумеруем отображения входящие

13

в группу каким-то образом, причем будем считать, что Т0(г) ~ г,

Щг) = + г = 1,2, . (2)

В дальнейшем удобно использовать также обозначения Бернсайда с,-* — с, = Т~1{оо),с,-1] = Т~1(Т3(оо)). Далее, нормированная форма отображений Г; будет иметь вид Г,(г) = (а,г 4- /3,)/+ , — /3,7, = 1, йа, > 0. В работе В.Бернсайда была доказана равномерная сходимость внутри Т в рассматриваемой ситуации тэта-рядов Пуанкаре

'<•••><з>

1=0 -у,г+$,

С помощью тэта-рядов там же были определены постоянные

"и = / Ф, (4)

■/А',л,

где интегрирование производится по путям А^/1,, не пересекающим ни самих себя, ни друг друга, находящимся вне кругов К\,... , , К[, , и соединяющим точки А, = с5+гД3 и = = 1,.. , £ — 1

Определим теперь функции Шоттки-Бернсайда Г!(г, у) и (сохраняя

обозначения В.Бернсайда)

П(», у) - (* - У)Ц (ад_2)(вд_уГ (5)

со

2 - 1 ^ 2 ~

где г,у € из-ееТ(Т) и штрих у знака произведения в (5) означает, что из каждой пары взаимно обратных отображений берется лишь одно и к > 0. При этом соотношением (6) функции Ф*(г) определены однозначно по модулю 2т. Нетрудно показать, что для любой системы дуг Гв найдется область Т+ = Т Л {Эгг > 0} которую можно конформно отобрав зить на С\ГБ. Обозначим через ф(и) это отображение (его представление в терминах функций Шоттки-Бернсайда получено в работе)

14

Второй и третий параграфы содержат главный результат первой главы - Теоремы 10,11, содержащие подробное описание решения экстремальной задачи

' + сгхп'1 + ... + С"

лип ,

{С1,.. ,с„}СЯ

(7)

С(Г)

где F = [61,62] и ... и [&2р_1,62р], < 62 < 63 < ... < 62р-1 < Ъгр. Это описание состоит из трех лемм, содержащих соответственно характе-ризапию "регулярных" случаев, параметризацию соответствующей системы отрезков с помощью отображения на фундаментальную область, запись решения в "регулярном" случае через соответствкядие функции Шоттки-Бернсайда, а также из теоремы, содержащей перечисление конечного числа возможных "регулярных" задач, среди решений которых содержится единственное решение дайной задачи Полное описание получено либо в случае, когда действительный многочлен под знаком корня в (7) положителен на [61, 6гр], либо в случае, когда он является полным квадратом не обращающегося в нуль на Р многочлена.

Четвертый параграф первой главы содержит описание "регулярного" случая решения аналогичной задачи для тригонометрических дробей Пусть

(8)

тригонометрический полином порядка /, задающий систему 6. Для удобства будем также считать у?21+1 = <р\ + 2гг. Рассматриваются "рациональные тригонометрические" функции вида

т(ч>)

А С08 ТУуЗ + В 8111 N43 + <Ц СОв(ДГ — 1)|£> + . . + 6[ДГ| 8ш(ЛГ — [Л?])у

(9)

где N - полуцелое, N € N/2, А. В € К, Аг + В2 ф 0, - фиксированные числа. А(р) - фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а < 2ЛГ. положительный на заданной конечной системе отрезков €. Пусть Я - алгебраический многочлен степени 21, получаемый

15

из Tl по правилу

R(eiv)=e"vK(<p), (10)

под VR здесь и далее понимается однозначная в С\Гд, Гд = {г € С . z = е4", <р € £} ветвь, выделяемая равенствами

argv/Ä(e>V)= argM)V'^2, ^ е = 1,...,/-1. (11)

Далее, пусть A(z) - полученный из А аналогично (10). алгебраический многочлен, который может быть представлен в виде

т'

ж») = с„Ц(*-«.г,

где са € С, z, — т3е**>, j = 1,... , m*, все z3 различны, причем для г} ф 1 найдется к такое, что г— 1/т3, fa = = тга3 Его степень равна 2а =

J^lj mr Многочлен ¿4(г) совпадает со своим взаимным многочленом

= 22"Л(Щ,

т.е. является самовзаимным

Через , | будем обозначать соответственно прообразы z,, оо при отображении ф, В дальнейшем мы будем использовать также некоторые понятия теории потенциала- функция Грина области С\ГБ, gE(z,a) и сопряженная ей (вообще говоря многозначная) he(z,a), гармоническая мера ui(z, G, С \ Г®) множества G С Гв в точке z £ С \ Гг относительно области С \ Гв,

c*(«) :=«(*, Г*4 С \ Гв) = — Г" -fgB(C,z)\dQ, * Л-м-i дп

где п - внешняя нормаль в точке Г®, ■.= {(:( — e'v,tp € Е/, = ¥>afc]>, к = 1. .. ,/.

Теорема 1 Пуст,ь Л(<р) - тригонометрический полином порядка а, положительный на системе отрезков £, I > 2.

Тогда следующие утверждения эквивалентны.

16

1 Для некоторых А, В е К,Л2+ В5 ф 0, тригонометрическая рациональная функция вида (9), наименее уклоняющаяся от нуля на Е среди всех функций этого вида, имеет на € максимальное число точек уклонения, т.е.

щах

Тн(<р)

■ тш тах

А СОВ + В 8Ш N4) + ¿>1 сов(Л/' — 1)у>

7Щ

+

хЩр)

■-Ак> О (12)

ти{ч>ъ) _ Тя(<Рг,+1) . _ 1 1

(13)

2 Для каждого ~ 1,... ,1, сумма гармонических мер дуги Г3 относительно нулей многочлена А(г) является натуральным числом, точнее

1 т*

+ = = . ,1. (14)

3 Существует действительный тригонометрический полином (Тм-1/2 порядка N — 1/2 такой, что для некоторой постоянной Ац > О

(15)

причем

т„({,) = = 1,... ,то*.

(16)

4 Для некоторых целых q^ справедливы равенства

ехр ( (2ЛГ - e)(«,(f) - ФЛЮ) + - ¿¿"О = 1,

\ *= 1 к=1 /

(17)

¿ = 1,... ,1-1.

При этом числа q^ равны числу нулей Tn(ip) uaE1+i,j ~ 1,.. Л — 1, и полином tn(ip) представляется в виде

■ntiv) = ^ (*"*(«) + *»(-«)) (18)

где ехр(iip) = ф{и),

= П («. «* g (19)

и константа A# определяется из "равенства

(20)

где А = VA2 + В2 cos ф, В = V А2 + В2 sin ф, константа Сф - из представления ф( и).

Дробь ^Му можно также записать через плотности гармонической меры w(z,x) = П {e'v : Ь < ¡р < х},С\Гв), следующим образом.

= (21) гп[ь,*>] 1=1

ее {-1,1}.

Тригонометрический аналог дробей Чебышева-Маркова был найден впервые, по-видимому, в работе Г Сегё (для I = 1 и <рг = ip\ + 2тг), т.е. в результате предельного перекода в решении рассматриваемой в теореме 1 задачи. Случай I = 2, A = 1 и £, симметрично расположенного относительно 0, рассматривался Э И Крупицким и (для использования в хаусдорфовой аппроксимации) А.П. Петуховым Эквивалентность 1)-3) в теореме 1 для А = \ была установлена (другим способом) Ф. Пехерстор-фером и Р. Штейнбауэром. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos tp = х невозможно

Там же приводится алгебраический аналог этой теоремы (Теорема 13). многие утверждения которого были известны ранее Случай I = 2, /)„ = 1 в теореме 13 рассмотрен Н И.Ахиезером Аналог представления (18),(19), построенный им, использует эллиптические функции, и по сути решение совпадает с многочленами Золотарева. Надо отметить также, что, приводя полное решение этой задачи (т.е. без каких-либо ограничений на систему отрезков), Н.И.Ахиезер был вынужден рассматривать и по сути случай трех отрезков, в связи с чем он впервые в задачах подобного рода использовал функции Шоттки. Эквивалентность условий 1) и 3) здесь приводит к аналогии с отмеченной С Н.Бернштейном связью с ортогональными многочленами и она была установлена Ф Пехерсторфе-ром, M.JI. Содиным и П М. Юдицким. Эквивалентность 1) и 4)(в терминах эллиптических функций) установлена (в различной форме) автором в кандидатской диссертации и Ф. Пехерсторфером. Один частный случай (симметричные отрезки, р»(х) = а2 — х2) рассматривался Р. Леви.

Для I > 2 первые явные решения задачи пункта 1) теоремы 13 приведены в работах В И. Лебедева и P.M. Робинсона. Эквивалентность 1) и 3) установлена Ф. Пехерсторфером, дня р„ = 1 эквивалентность 1),3) и 2) следует из результатов А.И. Аптекарева и Ф. Пехерсторфера Другие эквивалентные характеризации приведены (для р„ = 1) в обзоре М Л Содина и П.М Юдицкого, в общем случае - в статьях М.Г. Крейна, Б.Я.Левина, А.А.Нудельмана, Ф. Пехерсторфера и автора. Для ри = 1 уравнение Абеля (1) исследовано в работах В А. Малышева и А.В Пастора, различные алгоритмы вычисления чебышевских многочленов приводятся в статьях А.Б. Богатырева, В И.Лебедева, Ф. Пехерсторфера и К. Шифермайра, A.A. Чумака, С П. Сидорова и др. Представление, аналогичное (21) может быть получено из работ Дж. Натолла, С.Р. Сингха, С.П. Суетина и отмеченной выше связи с ортогональными многочленами

Вторая глава содержит представления ортогональных многочленов и рациональных функций на нескольких отрезках или дугах единичной окружности. В первом параграфе этой главы приводится представление ортогональных многочленов на нескольких отрезках действительной оси относительно мер Я.Л Геронимуса в терминах функций Шоттки-Бернсайда Результаты этого параграфа носят вспомогательный характер, они получены совместно с Ф Пехерсторфером Следует отметить, что многочлены, ортогональные относительно мер несколько менее общего вида, рассматривались Н.И. Ахиезером и Ю.Я. Томчуком. а также (для более общих носителей, но без изолированных точек масс) Дж. На-толлом и С.Р Сингхом. Второй параграф также носит вспомогательный характер. В нем получены представления ортогональных многочленов относительно мер Я.Л Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности в терминах функций Шоттки-Бернсайда. Здесь следует отметить работу Ю.Я. Томчука, в которой рассматривался несколько менее общий случай, и упомянутую выше работу Дж. Натолла и С.Р Скнгха. Третий параграф содержит представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности Этот результат имеет определенное самостоятельное значение, так как, как уже упоминалось ранее, известно мало примеров явным образом построенных систем ортогональных рациональных функций

Приведем формулировку результата этого параграфа Пусть V и Н* - произвольное разложение И (т.е — У{у>)\У{<-р)) на тригонометри-

ческие полиномиальные множители степеней 1/2 такое, что функция

где ±1/г(tp) — (—I)1 /^J\R(ip)\ при <р € (<fi2j-i,<P2j), является весовой, т е. f(<p, VV) > 0 для ip € int(S). Можно рассматривать и более общие весовые функции, но формулы станут более громоздкими.

Теперь пусть {а*}?" где |ai| < 1 - произвольная последовательность комплексных чисел, {Bt}^ - соответствующие конечные произведения Бляшке (В0 = 1 и Вп = B„_ií„, где

а для а, — 0 мы полагаем, как обычно, а,/|а,| = —!),£„ = span{Bo, ■ ■ , В„}

4>te,

Будем использовать обозначения

п

Vo(z) = 1, wn(z) = JJ(z - а*), п = 1,2.....

fc=i

_ОСк к= 1 ''

*=п|а>

я-о(г) = 1, *„(«)= Ц(1 - л*«), п = 1,2, .. к= 1

Через <Д„(г) = фп(г,УУ) обозначим ортогонализацию {В„}д° по отношению к весовой функции /(у, М>), т.е.

J ф„(е'")фп(е',')/((р, W)<V = 0, для п^т, п. те Пусть фп(г, W) - соответствующие функции второго рода,

N

2е'» e*v + 2

e%v — г ' e%v — z '

f(v,W)d<p,

преобразование Стилтьеса меры f(<p, W)d<p.

Сопоставим с Я, V и W алгебраические многочлены

R(etv) = ей*П(<р),

V(ew) = e-W'VM,

и будем использовать модифицированные взаимные многочлены Cm(z) степени т., т.е.

С*(г) = zmC(l/z), и их аналог для рациональных функций /(г) = at B^z) а именно.

/*(*) = в„(*)7(Щ-

Ради некоторого упрощения доказательства мы будем предполагать,

что

УПе^'^Щ^") = = 0, ] = 1,...,/.

Будем также использовать обозначения О],... ,ая 6 Т для образов а*, 4 € Т для образа оо и и>1,... ,щ е Т для образов нулей многочлена IV при отображении г = ф(и) внешности системы дуг на фундаментальную область группы Шоттки.

Теорема 2 Пусть г = ф(и) - вышеопределенна! отображающая функция, и фп - ортогональная функция по отношению к /(<р. И"). Тогда

фп(*)= соп«< («„(«) +"„(-«)), (22)

где

»»1«; - II П(И) _щ) П(и,и;,) Щи,-<Ц)П(и,т,)еХР^ 2 Ли>'

(23)

величины

Ь™ 6 Т., = 1,... ,1 — 1, и целые числа т:*' удовлетворяют системе уравнений

п— 1

2 £(<М<Ъ) - Ф*С37)) - 2Фк(о^) - 2Ф*(£) + 2*1,(0 (24)

3=1

1-1 1-1

= шоа2»г»), к = 1,...,/- 1.

3=1 3—1

Третья глава содержит еще два основных результата работы, описывающих асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках и нескольких дугах единичной окружности В первом параграфе этой главы содержится теорема, описывающая случай, в котором последовательности коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках В имеют множествами

предельных точек отрезки Одна из основных сложностей в доказательстве состояла в доказательстве непостоянства аналитических функций многих переменных, определяющих упомянутые множества.

Теорема 3 Пусть (р„) - последовательность многочленов, ортогональных на Е относительно весовой функции вида wRjh, положительной на int(£) и такой, что w € С(Е) не имеет нулей на Е, где

- произвольное разложение на полиномиальные множители. Далее, пусть (<Хп), (Хп) - коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для (р„). Если ш 1(00),... ,о;;(оо) (гармонические меры в бесконечности отрезков, составляющих Е) линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности (А„), (а„) имеют своими множествами предельных точек невырожденные отрезки.

В этом же параграфе приводятся вспомогательные результаты, полученные совместно с Ф.Пехсрсторфером.

Во втором параграфе получена аналогичная теорема для последовательностей модулей и отношений круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер Геронимуса.

В дополнение к ранее введенным обозначениям, пусть А(г) — сдП^Дг — г3)т> - фиксированный алгебраический многочлен степени 2а € Z+, не обращающийся в нуль на Г в и удовлетворяющий равенству А — —А". Далее, пусть

21

Е = U¡fc=1 [<»2fc—11 «2*1 > Н(х) = [J(z - ak),

А = (А,,... ,А„)

фиксированный вектор такой, что \1 6 {+1, — 1},} = 1, • , т, причем может быть равно —1 лишь для простых нулей = е'*' многочлена А, расположенных на Г\Гв Кроме того, теперь многочлены IV я V в разложении Я имеют произвольные степени 2т/,1 и 2ь соответственно Меры Геронимуса - это меры вида

т

Ах(у,) = ¿о(ч>,А,Ш, А) = ИГЦр + * - Х,)6(е"' - г,),

3=1

(25)

где

I 0, (р £

причем Л и Ж таковы, что

^тЬтГ6' = (-1)3' (ре (»^-1,^)^ = 1,.. ,/; (26)

и ¿(г — г3) - ¿-функция Дирака с носителем в точке г = Кроме того, степени многочленов таковы, что а + I/2 — ги - натуральное число. Многочлены Р„ с единичным старшим коэффициентом ортогональные относительно мер </<т(уэ), т е. удовлетворяющие равенствам

Г

¿о

Рп(е'*)Рт(е'*)<1<7(<р) = 6п,тК, Л„ > 0,п,те'.

определяют последовательность круговых параметров а„ — ,Р„+1(0) Напомним также, что задание последовательности круговых параметров {о„}, |ап| < 1, однозначно определяет последовательность ортогональных на единичной окружности многочленов Рп с единичным старшим коэффициентом и, следовательно, меру ортогональности

Теорема 4 а) Последовательность круговых параметров {а„}, |а„| < 1 является псевдопериодической тогда и только тогда, когда отвечающие ей многочлены ортогональны относительно меры вида (25) и гармонические меры Wjloo) j = 1, . I, дуг Г3, составляющих множество Те, - рациональные числа.

б) Если система дуг Г g такова, что гармонические меры ш,{оо ),j = 1,. /, для множества - линейно независимы над полем рациональных чисел, то для любой меры вида (25) с R(z), заданным системой Е, последовательность {|а„|}, и (для любого k € N) последовательности {а„+ь/ап} имеют своими множествами предельных точек отрезок и континуумы комплексной плоскости соответственно.

В четвертой главе диссертации собраны различные результаты, объединяет которые то, что все они являются обобщениями известных результатов для одного промежутка на случай нескольких промежутков.

Первый параграф этой главы содержит еще один основной результат диссертационной работы - неравенство для производных рациональных функций с заданным знаменателем на нескольких отрезках Этот результат приводится в двух формах' в тригонометрической и алгебраической формах. Обе формы имеют и самостоятельное значение.

Теорема 5 Для любой рациональной тригонометрической функции вида (9), где N - полуцелое, N е N/2,А,В е R, Аг + В2 ф 0, - фиксированные числа, Л(р) = 81П ' фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а. положительный на заданной конечной системе отрезков £ — [уь^г] U . Ulvii-iiPii], Ь < tpi < <рз <

• • < ?>21 < Ь + 2тг, справедливо неравенство

---------- ' + ',(*>)<1М1с(е),

(27)

гЛ = е**' При этом при выполнении любого из эквивалентных условий теоремы 1 неравенство в (27) превращается в тождественное равенство Эля дробей вида (21).

Теорема 6 Дал любой алгебраической дроби

, г" + ^х"-1 + .. +ЬП г(г) =- -,

где 61,.. ,Ьп 6 К, р„(х) = П^С1 — х>)"' ' действительный многочлен степени V, положительный и а Е = [01,03] и ... и аы] С К, аг <

■ ■ ■ < ац, справедливо неравенство

, \ 2

Т (X)

ч|((2п - *)+»«(<», г) + "гГОДгу, х)) /

где ?ва(х,х) ■= Еи{а-1,х\,С\Е) - плотности гармонической меры.

Теорема 5 содержит аналог неравенства Бернштейна-Сегё для тригонометрических полиномов,

П'Т.+ <№(»,,

в которое оно превращается в случае I = 1, А = 1 после предельного перехода <рг + 2к После того же предельного перехода из теоремы 5 в случае I — 1, и произвольного А получаем неравенство из работы П Б. Борвейна, Т Эрдейи и Дж. Жанга Из теоремы 5 нетрудно получить аналог неравенства Бернштейна для тригонометрических полиномов, содержащий в качестве частных случаев неравенства В.С.Виденского для

оценки производных тригонометрических полиномов целого и полуцелого порядков на отрезке короче периода. В алгебраическом случае история существенно более богатая. Для I = \,р = 1 неравенство (28) превращается в известное неравенство Бернштейна-Сегё упомянутое выше, из которого в свою очередь следует классическое неравенство Бернштейна

< п||Яп||с([-1,11,.

В случае I = 1 и произвольного р„ из теоремы б следует неравенство, принадлежащее В Н Русаку:

К(х)\ <у/\- г2(х)-^Щ, «6 (-1,1), (29)

VI — х2

где r„(i) = Р"\х) ; ак . Либо действительные и |ац| < 1, либо по

парно комплексно сопряженные, р„ - алгебраический многочлен степени

не выше п с действительными коэффициентами, А„(г) = \ ■

Из неравенства Русака в свою очередь следует оценка бернштейновско-го типа, справедливая и для любых комплекснозначных числителей и впервые установленная B.C. Виденским.

При I > 1, pv = 1, из теоремы 6 следует неравенство В.Тотика (необходимо учесть, что плотность равновесной меры Ше{х) совпадает с wa{oo,x))

+ n2Pl(x) < п2\\РпГс(Е). X € Е. (30)

где Р„ -произвольный алгебраический многочлен степени не выше п. В свою очередь, соответствующее неравенство бернштейновского типа известно достаточно давно даже в более общем случае целых функций экспоненциального типа (оно получено в работе Н И Ахиезера и Б.Я Левина) Заметим также, что неравенство (30) является частным случаем неравенства М Барана, справедливого для компактов в R".

В общем случае из теоремы 6 немедленно следует оценка бернштейновского типа, которая, как нетрудно видеть, применяя известный метод, справедлива и для комплекснозначных числителей. Отметим также, что ранее автором [?] была получена более слабая оценка такого типа для I = 2 при дополнительных условиях на нули и полюса рациональной

функции, которая в свою очередь обобщала один результат П Б Борвей-на.

Второй параграф четвертой главы посвящен обобщению задачи Золотарева - задаче об оптимальном электрическом фильтре В нем приведен результат, полученный сочетанием идей Е.И.Золотарева с использованием функций Шоттки-Бернсайда.

В третьем параграфе идея вариации полюсов, использовавшаяся в доказательстве нескольких теорем, применяется для уточнения одного критерия разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках

В четвертом параграфе найдена оценка констант Лебега рациональных интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Чебышева-Маркова, описанных в первой главе Рассмотрим интерполяционные процессы вида

(31)

где М„(21, х) - рациональная функция вида

Хп + С1Ж"'1 + ... + <у,

П"=1(1 - а1,п*)

и

я = КЛ"=7,„ы ~

матрица обратных величин полюсов, а

матрица узлов интерполирования, состоящая из нулей рациональной функции Мп(21,г). Такие процессы в случае, когда М„ - рациональная функция Чебышева-Маркова, наименее уклоняющаяся от нуля на отрезке [—1,1], подробно изучались В.Н.Русаком, Е А.Ровбой, А.П.Старовойтовым и Г.Ми-ном Рассматривая эти процессы на нескольких отрезках, естественно требовать, чтобы матрица узлов интерполирования содержалась в этих отрезках Этому требованию рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках, будут удовлетворять в случае, когда матрица 21 регулярна относительно системы отрезков (см глава 1, параграф 3)

Е = [Ьь Ь2] и [63, Ь4] и ... и [Ь2|-,. Ь,,], Ьг < . . < Ь21.

Другими словами, матрица обратных величин полюсов такова, что при каждом пбМ,»>1, для многочлена 1=1

выполняются условия, аналогичные условиям Теоремы 1.

Теорема 7 Пусть {ад п} - регулярная относительно Е матрица обратных величин полюсов, {1/а> п} С К, где К - некоторое компактное в сферической метрике подмножество С\ Е. Тогда

\\LnWcw <СНп, (32)

где С = С(Е, К) зависит лишь от Е и К.

В четвертом параграфе строятся знакочередующиеся веса на нескольких отрезках, служащие обобщением весов Якоби, поскольку для подпоследовательности ортогональных относительно них многочленов выполнены аналоги свойств, характеризующих классические ортогональные многочлены.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лукашов А.Л. О рациональных функциях с заданным знаменателем, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках // Теория функций и приближений. Тр. 4-й Сарат зимней школы. (25 января - 5 февраля 1988 г ) Саратов.Изд-во СГУ, 1990. 4.2. С.151-155.

2 Лукашов А Л Рациональные функции с заданным четным знаменателем, наименее уклоняющиеся от нуля на двух симметричных отрезках // Математика и ее приложения. Сб. научи, тр Саратов: Изд-во СГУ, 1991. Вып.2. С.27-28.

3. Lukaehov A L. On Chebyshev polynomials over disjoint compact sets // Modern complex analysis and applications. Proc. Conf. Ded. To J Korevaar. Univ. Amsterdam Math. Prepi. Scries. 1993. Rep.93-25. P.lll-120.

4. Лукашов А.Л. О многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на системе отрезков // Теория функций и приближений Тр. 5-й Сарат. зимней школы. (25 января - 4 февраля 1990 г.) Саратов. Изд-во СГУ, 1996. Вып. 2. С.131-137.

5 Лукашов А.Л. Рациональные интерполяционные процессы на двух отрезках // Известия ВУЗсов. Матем 1998. N5. С.35-42.

6. Лукашов А.Л. Алгебраические дроби Чебышева - Маркова на нескольких отрезках // Analysis Mathem. 1998. V 24. P. 111-130.

7 Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov rational fractions over several intervals // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.333-352.

8 Лукашов А.Л Неравенство типа Бернштейна для производных рациональных функций на двух отрезках // Матем. заметки. 1999. Т.бб. С.508-514.

9 Лукашов А Л Обобщение классических ортогональных многочленов на случаи двух промежутков // Фундам прикл матем. 1999. Т 5. С.1103-1110.

10. Лукашов А.Л. Неравенства типа Бернштейна для производных многочленов на нескольких отрезках // Математика. Механика. Сб. научи. трудов. Вып.2. Саратов. Изд-во СГУ, 2000. С.66-69.

11. Лукашов А.Л. О решении задачи синтеза многополосного электрического фильтра // Вестн. Тамбовского ун-та. Сер. естеств. техн. наук. 2000. Т.5. N4. С.473-475.

12. Лукашов А.Л Ортогональные рациональные функции на нескольких дугах единичной окружности // Изв. HAH Армении. Матем 2001. Т.36. N.5. С.52-61.

13 Лукашов АЛО разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании. Тр. межд. конф. Саратов-Энгельс, 2002. С.252-253.

14 Лукашов А Л. Точное решение одной задачи построения оптимального электрического фильтра // Исследования по алгебре, теории

чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Сб. научн трудов. Вып.1 Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.84-90.

15. Lukashov A.L., Peherstorfer F. Automorphic orthogonal and extremal polynomials // Can. J. Math. 2003. V.55. P.576-608.

16. Лукашов А.Л. Об информационной энтропии ортогональных многочленов на нескольких отрезках // Математика. Механика. Сб. научн. трудов Вып.5. Саратов: Изд-во СГУ, 2003 С.56-58

17 Лукашов А.Л. Обобщение некоторых свойств классических ортогональных многочленов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Сб. научн трудов. Вып 2. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.128-137.

18. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004 Т.68. N3. С.115-138.

19. Лукашов А.Л Круговые параметры многочленов, ортогональных на нескольких дугах единичной окружности // Матем. сб. 2004. Т.195. N11. С.95-118.

20. Лукашов А.Л Многочлены Чебышева на нескольких отрезках // Конструктивная теория функций. Тез. конф., поев. 70-летию проф. B.C. Веденского. С.-Петерб. 1992. С.39-40.

21 Лукашов А Л Многочлены наилучшего приближения функции 1/ (х — а) на нескольких отрезках // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тез. докл межд. конф., поев. 90-летию акад. С.М.Никольского. М., 1995. С.180-181.

22. Лукашов А.Л. Обобщение многочленов Лагерра и Эрмита на случай двух промежутков // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 9-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 1997. С.107.

23. Лукашов А.Л. Об одном обобщении классических ортогональных многочленов // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во СГУ, 1998. С.44.

24. Лукашов А Л Обобщения классических ортогональных многочленов на случай нескольких промежутков // Теория приближений и гармонический анализ Тез докл. межд. конф. Тула, 1998 С 164-165.

25. Лукашов А.Л. Оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа на нескольких отрезках // Intern Conf. On Approximation Theory and its Applications ded. to the mem. of V К Dzjadyk. Abstracts. Kyiv, 1999. P.51.

О/, Ol- О/-03

26 Лукашов А.Л. Многочлены, ортог // Современные проблемы теории функц 10-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изл

27 Лукашов А.Л. Круговые параметр на нескольких дугах единичной окружное ций и операторов. Тез. докл. межд. конф С.Б.Стечкина. Екатеринбург, 2000. С.95-97.

28. Лукашов А.Л. Константы Лебега интерполяционных процессов Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // VIII Белорусская матем конф Тез докл. Минск, 2000. 4.1. С.29.

29. Lukashov A.L. Orthogonal polynoluials on arce of the nnit circle and their appheations // Intern. Conf Harmonie analysis and approximations,II. Abstracts. Yerevan, 2001. P.45.

30. Лукашов А.Л. Обобщение неравенства Бернштсйна-Сегё для производных рациональных тригонометрических функций на нескольких отрезках // Современные проблемы теории функций и их приложения Тез. докл. 11-й Сарат. зимней школы, поев. пам. выдающ. проф. МГУ Н.К Бари и Д Е.Меньшова. Саратов- Изд-во СГУ, 2002. С 124-125

РНБ Русский фонд

2005-4 42298

Подписано в печать 22.02.05. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 20.

Типография Издательства Саратовского университета 410012,г Саратов, ул Астраханская, 83

Введение

1 Экстремальные функции на нескольких отрезках

1.1 Функции Шоттки-Бернсайда.

1.2 Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках.

1.2.1 Вспомогательные утверждения .641.2.2 Основной результат.

1.3 Рациональные функции Чебышева-Маркова на нескольких отрезках.

1.4 Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках.

2 Ортогональные полиномы на нескольких отрезках и дугах

2.1 Ортогональные многочлены на нескольких отрезках действительной оси

2.2 Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности.

2.3 Ортогональные рациональные функции на нескольких дугах единичной окружности.

3 Асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных соотношений ортогональных многочленов

3.1 Коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для многочленов, ортогональных на нескольких отрезках

3.2 Круговые параметры ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности.

4 Различные задачи

4.1 Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках.

4.2 Задача построения оптимального электрического фильтра

4.3 Тригонометрическая проблема моментов на нескольких отрезках

4.4 Интерполяционные процессы на нескольких отрезках

4.5 Некоторые обобщения свойств классических ортогональных многочленов.

В диссертации исследуется круг экстремальных задач теории приближений на нескольких отрезках действительной оси. Описано решение задачи Чебышева-Маркова на нескольких отрезках, его тригонометрический аналог; найдены представления ортогональных многочленов, обобщающих многочлены Бернштейна-Сегё, для мер Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности; исследовано множество предельных точек последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений и круговых параметров для этих ортогональных многочленов; установлены точные оценки производных рациональных функций и их тригонометрических аналогов на нескольких отрезках, точные по порядку оценки констант Лебега соответствующих интерполяционных процессов. В качестве применения разработанных методов и подходов получены результаты, обобщающие свойства классических ортогональных многочленов Чебышёва и Якоби, а также уточнен известный критерий разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках.

Тематика, связанная с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, началась с мемуара П. Л. Чебышёва [94], представленного в Академию Наук в 1853 г. Эта тематика занимала центральное место в теории приближений на первом этапе ее развития (этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей). П.Л. Чебышёв нашел точные решения ряда задач в этой тематике, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (Подробнее см., например, обзор [377]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовем лишь некоторые из них: вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышёва посвящены монографии [286, 330], каждая книга по теории приближений обязательно содержит разделы с изложением их основных свойств. Обзоры [225, 226, 291, 294, 92, 378, 353, 126] содержат сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарева, Ахиезера и др.). Приведем более подробные сведения по истории вопроса, точнее, по поводу полиномов по чебышевским системам, наименее уклоняющимся от нуля.

Рассматриваются "рациональные тригонометрические" функции вида . А cos N(p + в sin N<p + Ol cos(JV - 1)<P + . + bimsm(N - [iV])<£> гЫ =-v^P-'

0.1) где N - полуцелое, N G N/2, А, В e R,i2 + ß2 / 0, - фиксированные числа, A{<p) - фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а < 2N, положительный на заданной конечной системе отрезков £ = [<ри ip2] U . U [<£>2г-ъ ¥>г/]} Ь < (pi < <р2 < ■. < y>2i < Ь + 27т; а также их алгебраические аналоги x2n + c1x2n~1 + . + c2n

VW) где А(х) - фиксированный действительный многочлен степени 2а < 4N, положительный на Е С [—1,1].

П.Л. Чебышёв [94, 95] нашел дроби вида (0.2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [— 1,1], в случаях А(х) = 1 и А(х) = Q2{x), где Q - многочлен, A.A. Марков [253] привел другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая (Е = [—1,1], А— произвольный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышёва-Маркова. Отметим монографию [338], посвященную теории этих рациональных функций. Надо сказать, что в западной литературе работа A.A. Маркова цитируется редко и его результат неоднократно переоткрывался (см. [107, 313] и

ДР-)

0.2)

Случай Е — [—1, а] U [b, = 1 полностью решен Н.И. Ахиезером в работал [6]-[9], Е — [— 1,а] U [6,1], Л = Q2,Q— произвольный не обращающийся в нуль на Е многочлен - в работе автора [243], составлявшей основную часть кандидатской диссертации. Найденное Н.И. Ахиезером представление многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, зависит от геометрии системы отрезков. Полное описание решения распадается на несколько возможных форм представления, использующих либо эллиптические, либо автоморфные (в [6]) функции. Отметим, что в случае возможности использования эллиптических функций эти многочлены Ахиезера по сути совпадают с многочленами Золотарева (см., например, [226], где обсуждаются и другие близкие вопросы). Многочленам Золотарева [404], т.е. многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на Е = [—1,1] в равномерной норме с двумя фиксированными старшими коэффициентами, посвящена обширная литература (см., в частности, обзоры [92, 378]). Отметим здесь недавние работы A.B. Богатырева и В.А.Малышева [74, 252], в которых был существенно развит и дополнен подход H.H. Меймана [258, 259] и получено качественное описание решения существенно более общей задачи.

Для А(х) = (а2 — х2)2,Е = [—1, а] U [а, 1], дроби Чебышёва-Маркова были выписаны (в эллиптических функциях) в [236].

Перейдем к случаю Е = [ах,аг] U . U [ö2/i,аг/]?Л(ж) = 1. "Базовым" здесь является тот случай, когда Е - прообраз отрезка при полиномиальном отображении. Этот случай может быть охарактеризован в различных терминах (см., например, обзор [353]), и тогда для степеней вида п = Nm, где Nстепень полиномиального отображения, многочлены Чебышёва весьма просто выражаются через обычные многочлены Чебышёва и полином, осуществляющий упомянутое отображение (вариации на эту тему можно найти в [223, 331, 332, 374]). Вопрос эффективного нахождения "базового" случая, фактически подходящего для рассматриваемого множества Е и степени п, остается открытым до сих пор. Существенное продвижение в решении этого вопроса получено в [73], хотя оно применимо лишь при наличии дополнительной информации об искомом решении. Отметим также глубокую работу [400], содержащую ряд результатов об асимптотиках многочленов Чебышёва для общих компактов комплексной плоскости.

Тригонометрический аналог дробей Чебышёва-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [373] (для S — [0,2тг]). Случай / = 2, Л = 1 и симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в [215] и (для использования в хаусдорфовой аппроксимации) в [312]. Харак-теризации "базового" случая в общей постановке для Л = 1 имеются в [305, 308]. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos ip = х невозможно.

Одним из наиболее важных свойств дробей Чебышёва-Маркова на отрезке является обнаруженная С.Н.Бернштейном в [65] связь с ортогональными многочленами: числители этих дробей ортогональны относительно веса специального вида. Впрочем, это свойство можно интерпретировать и как еще одно их экстремальное свойство - каждый ортогональный относительно эрмитовой метрики полином является одновременно и экстремальным в соответствующей £2-метрике. Так как эти ортогональные многочлены (числители дробей Чебышёва-Маркова) исследовались также Г.Сегё и использовались им и С.Н.Бернштейном в построении теории ортогональных на отрезке многочленов относительно весов более общего вида, в теории ортогональных многочленов часто употребляется термин "многочлены Бернштейна-Сегё" [371, 181, 232]. Употребляется также название "ЧМБС-многочлены"(см. [228], там же указаны другие работы В.И. Лебедева, относящиеся к этому кругу проблем, а также [229, 230]).

Аналогичная связь существует и в рассматриваемом общем случае нескольких отрезков, но здесь ситуация сложнее, так как наличие такой связи обусловлено дополнительными требованиями к структуре множества Е(£). Для двух отрезков в алгебраическом варианте эта связь была установлена в [288, 352], для произвольного числа отрезков - в [290, 353].

Теория ортогональных многочленов относительно общих весов, первоначально созданная именно с помощью исследования многочленов Бернштейна-Сегё, становится особенно популярной в последнее время благодаря открытым связям с другими областями математики (см., например, книги [108, 117, 341, 275, 72], сборники статей [272, 197, 152], статьи [143, 153]). Ее можно рассматривать также и как часть спектральной теории разностных операторов второго порядка, благодаря наличию трехчленного рекуррентного соотношения, коэффициенты которого составляют соответствующую матрицу Якоби. В рамках этой теории естественный вопрос - исследовать случай периодической матрицы Якоби или матрицы, периодической после удаления главного минора некоторого порядка. Впервые этот вопрос исследовался в работе Я.Л. Геронимуса [164], в которой были найдены меры, относительно которых ортогональны многочлены, имеющие периодические, начиная с некоторого номера, последовательности коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений. Эти меры представляют собой сумму абсолютно непрерывных мер, совпадающих с мерами, связанными с рациональными функциями Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках в "базовом" случае (подробнее см. [289, 290]), и, возможно, конечного числа точечных масс (мер Дирака). Предельно периодические последовательности рассматривались в работе А.И. Аптекарева [28], почти периодические - в работах [354, 156], см. также работы [267, 270, 376], в которых эти вопросы рассмотрены с точки зрения общей теории матриц Якоби. В связи с этим появилась естественная задача исследования поведения последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса. В случае, когда носитель абсолютно непрерывной части меры состоит из двух отрезков, эта задача была в явном виде поставлена и решена Ф. Пехерсторфером [293], отметим также работы [130, 323], в которых изучались аппроксимации Паде одного класса функций, знаменатели которых являлись ортогональными многочленами относительно более общего класса мер, чем класс мер Геронимуса. Для нескольких отрезков эта задача оставалась открытой. В связи с задачей исследования нулей ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса упомянем недавние работы [297, 363], в последней исследованы аппроксимации Паде достаточно общего класса функций, чем достигнуто наибольшее продвижение (по сравнению, например, с [355]-[357]) в положительном направлении в гипотезе Бейкера-Гаммеля-Виллса, недавно опровергнутой как в исходной [239, 242], так и в уточненной Г.Шталем [90] формулировках. Отметим также работы [14, 21, 379, 96], в которых подробно изучались ортогональные многочлены относительно мер из более узких, чем класс Геронимуса, классов, а также работы [289, 290, 291, 227], в которых рассматривались другие аспекты теории ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса.

Необходимость рассматривать ортогональные многочлены на нескольких отрезках появилась и во многих приложениях. Так, в теории унитарных ансамблей случайных матриц асимптотики корреляционных функций собственных значений тесно связаны с ортогональными многочленами относительно меняющихся весов, а предельное распределение собственных значений имеет носитель, состоящий из нескольких отрезков. Подробности можно найти в книге [108], а также в недавних работах [70,109,110], подход Римана-Гильберта, развитый в них, хорошо освещен также в работе [35]. В последнее время выявилась также связь между вышеупомянутыми статистическими вопросами и теорией интегрируемых систем (прекрасным обзором здесь служит [268]).

Теория интегрируемых систем является одним из самых бурно развивающихся разделов математики (см., например, обзоры [129, 281]), причем центральным понятием в алгебро-геометрической схеме конеч-нозонного интегрирования является понятие функции Клебша-Гордона-Бейкера-Ахиезера. Работа Н.И. Ахиезера [15], которая обычно цитируется в связи с этим, называется "Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов" и является одной из многих работ, использующих и развивающих аналогии между дифференциальными и разностными операторами. Среди наиболее важных из них укажем книги [37, 60, 234, 235], работы Н.И.Ахиезера [18], М.Г. Крейна [211, 212], А.И.Аптекарева и Е.М.Никишина [34, 274], Б.Саймона и др.[103, 200, 348], а также небольшой, но весьма информативный, обзор [33]. Отметим здесь также работы [29, 295, 365], содержащие результаты, непосредственно связанные и с теорией ортогональных многочленов, и с теорией интегрируемых систем.

Одним из самых последних примеров использования аналогий между спектральными теориями дифференциальных и разностных операторов является построение теории обратной задачи рассеяния для операторов Якоби (см. [376]) для случаев, аналогичных наиболее исследованным в обратной задаче для операторов Штурма-Лиувилля (почти периодических и быстро убывающих потенциалов). Это построение, проведенное в работе [397], также имеет аналог в теории ортогональных многочленов [309]. Отметим также недавнюю работу [342], в которой многие упомянутые ранее результаты были переоткрыты именно в рамках использования спектральной теории.

Конечно, здесь нет никакой возможности дать всесторонний обзор существующих взаимосвязей между теорией ортогональных многочленов и другими разделами математики, упомянем лишь некоторые работы, имеющие непосредственное отношение к теме ортогональных многочленов на нескольких отрезках: [51, 52, 55, 83, 85, 114, 138, 142, 151],[155]-[160],[168, 190, 195, 206, 220, 282, 283, 302, 382, 387, 402]. Необходимо также отметить, что ортогональные многочлены относительно неэрми-тового скалярного произведения являются знаменателями диагональных аппроксимаций Паде, исследованию которых посвящено огромное количество работ (см., например, книгу [47], статьи [176, 177, 280, 364]).

Надо сказать, что с тех пор, как Г.Сегё вывел асимптотические представления для ортогональных многочленов с помощью исследования систем многочленов, ортогональных на единичной окружности, именно таким образом были получены многие важные результаты об асимптотике многочленов, ортогональных на отрезке (см., например, результаты Е.А. Рахманова и В.М. Бадкова [322, 324],[38]-[43]). Заметим также, что даже случай одной дуги вносит существенные трудности. Не останавливаясь на этой ситуации подробно, отметим, что результаты работы [13], открывшей это направление, были доказаны существенно позже [169]. Ситуация существенно меняется для несвязных множеств. Так, в работе [380] (доказательства результатов которой так и не появились) отмечалось, что по сравнению со случаем нескольких отрезков для нескольких дуг имеются дополнительные трудности. Отметим, что веса, рассмотренные в [380], а также более общего вида [304]-[308], впервые появились в работе [162] (см. также [305, 308]) как решение задачи нахождения весов (точнее, мер ортогональности), ортогональные многочлены относительно которых имеют периодические (начиная с некоторого номера) последовательности круговых параметров ап (т.е. коэффициентов соответствующих рекуррентных соотношений). Изучение поведения последовательностей круговых параметров является актуальным и поныне (см. недавние работы [155, 156, 201, 202], связь с теорией рассеяния отмечалась в [154, 153], общая теория ортогональных многочленов на окружности освещена в книгах [371,165, 349], статьях [163,171,196]). В работе [53] был введен и исследован, по аналогии с известным в теории ортогональных многочленов на окружности классом Г.П. Неваи, класс многочленов с асимптотически периодическими последовательностями отношений ап+х/ап, а также модулей |ап| круговых параметров. Естественный вопрос об исследовании поведения этих последовательностей для мер ортогональности вида, рассмотренного в [162], оставался открытым (если не считать рассмотренного в [400] вопроса о предельных точках последовательности норм ортогональных многочленов, весьма опосредованно связанных с круговыми параметрами).

Здесь уместно упомянуть об еще одном обобщении ортогональных многочленов, а именно, об ортогональных рациональных функциях. Теория таких функций была построена М.М. Држрбашяном [120]-[122], а позже ей был посвящен обширный цикл работ А.Бултхеела, П.Гонсалеса-Веры, О. Ньястада и Э. Хендриксена (см., например, их книгу [87]). Эта теория может рассматриваться и как часть более общей и интенсивно развивающейся в настоящее время теории ортогональных многочленов с переменными весами (см., например, обзор [381] и, по поводу соотношений между этии теориями, [285]), но тем не менее она продолжает привлекать внимание многих исследователей в связи с удобством приложений (среди многочисленных работ укажем [5, 75, 276, 277, 278, 369]). Несмотря на обилие работ, число явным образом конструируемых систем ортогональных рациональных функций весьма невелико,(см., в частности, обзор [123]) в связи с чем представляет интерес построение новых примеров.

Возвращаясь к многочленам Чебышёва, приведем их характеристику из [330]: "Многочлены Чебышёва напоминают бриллиант, переливающийся разными оттенками при освещении под разными углами". Одним из таких ракурсов является их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке. Эта задача, поставленная Д.И. Менделеевым, была решена A.A. Марковым [254]. Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна [64]), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений. Этим неравенствам посвящены многочисленные книги и статьи (укажем, например, [3, 36, 50, 79, 98, 179, 321, 375]), тем не менее случай неравенств для производных многочленов, рациональных функций и тригонометрических полиномов на несвязных множествах оставался недостаточно исследованным, хотя в теории приближений изучаются вопросы приближения на таких множествах (в работах A.A. Гончара, В.К. Дзядыка, H.A. Лебедева, П.М. Тамразова, В.Х.Й. Фукса, H.A. Широкова и др. [57, 99, 102, 131],[146]-[148], [172]-[174], [210, 231, 247, 260, 261, 327, 345, 346, 366]).

Поскольку тема неравенств для производных полиномов слишком обширна, чтобы дать о ней хоть сколько-нибудь полные сведения, ограничимся лишь сведениями, имеющими непосредственное отношение к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам. Еще в 1916 году И.И.Привалов [317, 318] обобщил неравенство Бернштейна на случай, когда вместо полного периода рассматривается некоторое его замкнутое подмножество положительной меры. Даже для случая, когда это подмножество - отрезок, соответствующее неравенство приобрело окончательный (нсулучшаемый) вид лишь в работе B.C. Виденского [394]. Позже им же [396] этот результат был перенесен на тригонометрические полиномы полуцелого порядка. Отметим, что недавно интерес к подобным оценкам оживился вновь ([170, 207, 241, 351]). Существенно более общее неравенство, обобщающее не только упомянутые результаты, но и неравенства С.Н. Бернштейна и А. Шеффера для производных целых функций, получено в работе Н.И. Ахиезера и Б.Я. Левина [20]. Их результат, относящийся к алгебраическим многочленам на нескольких отрезках, был обобщен в недавней работе [383], причем последний результат также может рассматриваться как частный случай неравенства для полиномов от нескольких переменных [49, 384]. Другое обобщение неравенства Ахиезера-Левина (для производных мероморфных функций) получено в [233], различные неравенства для производных многочленов на множествах можно найти также в [77, 78, 137, 316, 385].

Ясно, что обобщить неравенство Маркова для производных алгебраических многочленов на рациональные функции со свободными полюсами нельзя (например, функции е2/(ж2 + е2) ограничены единицей на отрезке [—1,1], а их производные на том же отрезке имеют максимум порядка 0(1/е)). Поэтому для рациональных функций со свободными полюсами неравенства для производных получают либо в других метриках, либо с исключением множеств малой меры и т.д. (среди наиболее значимых работ в этом направлении отметим работы A.A. Гончара, Е.П.Долженко, В.И. Данченко [105, 106, 124, 174]). Другое направление - оценка производных рациональных функций с заданными полюсами. Этому направлению посвящена книга В.Н. Русака [338], в частности, им получено [337] неравенство для производных рациональных функций, включающее как частный случай неравенство Бернштейна-Сегё [63, 370] (точнее, его алгебраический аналог, впервые явно сформулированный в [101]). Здесь следует упомянуть также неравенство В.С.Виденского [395], непосредственно обобщавшее неравенство Бернштейна. Другие результаты в этом направлении можно найти, например, в [79, 80, 81, 127, 264, 265, 310].

Таким образом, актуальна задача нахождения оценки производных рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках в равномерной метрике, из которой в качестве частного случая получались бы упомянутые результаты Н.И. Ахиезера, B.C. Виденского, Б.Я. Левина, В.Н. Русака, В.Тотика.

Еще одним разделом теории приближений, в котором многочлены Че-бышёва играют важную роль, является теория интерполирования. Интерполирование Лагранжа по нулям многочленов Чебышёва изучалось многими авторами, оценки констант Лебега, т.е. норм соответствующих интерполяционных многочленов, рассматриваемых как операторы в пространстве непрерывных функций на отрезке, были получены в работах таких математиков, как С.Н. Бернштейн, В.К. Дзядык, А.X.Турецкий [бб, 134] (более подробно об этом см. монографии [388, 389, 315, 368]).

Одной из причин, обуславливающих интерес к интерполированию именно по нулям многочленов Чебышёва является то, что соответствующие константы Лебега имеют оптимальный рост, т.е., так же как и для наименее возможных среди всех систем (матриц) узлов интерполирования, они имеют порядок роста О (log л). При этом оптимальные, т.е. имеющие наименьшие возможные константы Лебега, матрицы до сих пор не найдены (см. [84, 93, 189, 256], где приводятся результаты численных расчетов по приближенному определению таких матриц и даны дальнейшие ссылки), причем даже критерии, которым они удовлетворяют (т.н. гипотезы Бернштейна и Эрдеша) были доказаны лишь в 1978 году Т. Килгором, К. де Бором и А. Пинкусом [203, 76].

Естественным аналогом для интерполирования рациональными функциями с фиксированными полюсами (см. [398]) для случая одного отрезка служат интерполяционные процессы по нулям дробей Чебышёва-Маркова, введенные В.Н. Русаком [336] и изученные в работах Е.А. Ров-бы, А.П. Старовойтова и (без упоминания предыдущих авторов) Г. Ми-ном [334, 335, 359, 263]. Впрочем, такие процессы можно интерпретировать и как полиномиальное интерполирование с весом, которому посвящено большое количество недавних работ [104, 216, 367, 393] и др. При интерполировании аналитических функций естественно также использовать многоточечные аппроксимации Паде (или интерполянты Паде-Ньютона) [44, 45, 91, 150, 178, 47, 217, 149]. Заметим, что при интерполировании рациональными функциями со свободными полюсами возникает ряд дополнительных трудностей уже на стадии вопросов существования, единственности и представления таких интерполянт, для разрешения которых применяются различные способы (см., например, [27, 48, 67, 68, 97, 145, 184, 271, 329]).

Заметим, что обобщение результатов по оценкам констант Лебега по узлам Чебышёва с одного отрезка на случай нескольких отрезков представляется более естественным именно для рациональных функций с фиксированным знаменателем, ибо за счет условий, накладываемых на знаменатели, можно гарантировать, что все нули соответствующих функций Чебышёва-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля, будут находиться именно на системе отрезков, что невозможно обеспечить сразу для всех номеров в полиномиальном случае. Кроме того, поскольку существует тесная связь между многочленами Золотарева и многочленами

Чебышева на двух отрезках, интерполирование в экстремумах многочленов Золотарева, исследованное в [188], является частным случаем интерполирования по узлам многочленов Чебышева первого и второго рода на нескольких отрезках.

Среди других свойств многочленов Чебышёва отметим найденное в недавней работе [401]: для них, а также для многочленов Чебышёва второго рода можно в явном виде подсчитать информационные энтропии, что находит применения в различных вопросах математической физики (см. также работы [30, 31, 32, 112, 113, 187] и обзор [111]). Оказалось, что это свойство легко переносится и на несколько отрезков, но лишь в том случае, когда эти отрезки имеют рациональные гармонические меры (этот результат приведен в данной работе).

Многочлены Чебышёва принадлежат также к классу классических ортогональных многочленов, характеризуемых рядом замечательных свойств (см. книгу [362], обзор [23]). Среди этих свойств упомянем ортогональность производных и тот факт, что классические ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Последнее свойство явилось источником большого количества работ, посвященных различным обобщениям классических ортогональных многочленов: многочленам Стилтьеса, полуклассическим ортогональным многочленам, полиномиальным решениям разностных уравнений и т.п. (см., например, работы [2, 12, 22, 139, 161,185, 209, 218, 245, 255, 333, 360, 371, 390]). В работе приводится обобщение упомянутых свойств на один класс многочленов, ортогональных на нескольких промежутках. Этот класс достаточно широк, соответствующие примеры, построенные с использованием идей из [159], также приведены в работе вместе с их электростатической интерпретацией (о подобных интерпретациях можно ознакомиться по обзору [193], а также по работам [119, 183, 191, 192, 199, 266]).

Еще одно из свойств многочленов Чебышёва - их появление в разложении единицы

Tl(x)-{x 2-l)Vll(x) = l, аналогичном уравнению Пелля из теории чисел. Это уравнение называют также уравнением Абеля или Абеля-Пелля, его различным аспектам повящены работы [69, 250, 252, 284, 287, 314]. Обобщение последнего разложения содержится в теореме Маркова-Люкача о представлении положительного на отрезке многочлена, которое является одним из средств решения проблемы моментов Хаусдорфа (см. книги [17, 19, 214, 350], статьи [61, 115, 219]). Распространение указанного представления на случай нескольких отрезков содержит серьезные трудности (см., например, [118, 213, 292]), и поэтому сведение вопроса о разрешимости проблемы моментов к вопросу о положительной определенности как можно меньшего числа квадратичных форм являлось нетривиальной задачей (см. [141, 214, 279]). Здесь оказалась весьма существенной разница между усеченной и полной проблемами, а также между проблемой моментов на компактном и некомпактном множествах. Окончательное решение данной задачи было найдено в работе [62]. Аналогичная задача для тригонометрической проблемы моментов не была решена.

Наконец, упомянем об еще одной задаче, впервые поставленной и решенной Е.И. Золотаревым [11]. Речь идет о построении рациональных функций со свободными полюсами, ограниченных единицей на [—к, к] и имеющих максимальный минимум на (—оо, — 1/к] U [1//г,+оо). Решение этой задачи и ее обобщения (задачи об оптимальном электрическом фильтре) использует эллиптические функции и находит применения во многих вопросах теории приближений, электротехнике, вычислительной математике [4, 58, 59, 167, 175, 221, 222, 224, 246, 248, 249, 343, 344]. Полное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре в явном виде не получено до сих пор. Чтобы проиллюстрировать характер трудностей, возникающих здесь, упомянем о том, что для построения дробей Чебышева-Маркова на нескольких отрезках используется теорема Абеля [1, 186, 194] о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в элементарных функциях, а для задачи об оптимальном электрическом фильтре аналогичным образом потребуется знание ответа на вопрос о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в эллиптических функциях. Последний вопрос впервые ставился К. Вейерштрассом, среди математиков, которые работали над этой проблемой, можно упомянуть С.Ковалевскую, но ответа той же степени общности, что и теорема Абеля, нет по сей день (по этому поводу см., например, [56]).

Целью настоящей работы является решение следующих задач:

1. дать полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на этой системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из многочлена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков;

2. получить представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов;

3. найти представления ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

4. найти представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности относительно мер из подкласса класса Геронимуса;

5. исследовать асимптотическое поведение коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках относительно мер класса Геронимуса;

6. исследовать асимптотическое поведение круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

7. найти оценки производных полиномов по специальным системам алгебраических, рациональных, тригонометрических и алгебраически-тригонометрических функций на нескольких отрезках;

8. найти точные по порядку оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках;

9. дать частичное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре;

10. найти обобщения некоторых свойств классических ортогональных многочленов на системы многочленов, ортогональных на нескольких промежутках.

При решении поставленных задач применяются методы теории функций комплексного переменного, теории приближений и теории ортогональных полиномов.

Все основные результаты работы являются новыми, обобщая известные ранее либо путем использования других средств и методов, либо путем рассмотрения более общих классов. Например, описание решения задачи Чебышёва-Маркова получено путем распространения методов Н.И.Ахиезера на более широкий класс рациональных функций, неравенства для производных получены путем сочетания идей, использованных для доказательства различных частных случаев таких неравенств, известных ранее. При исследовании асимптотического поведения коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений разработан новый метод доказательства непостоянства весьма сложно устроенных функций, основанный на использовании автоморфности по входящему в них постоянному параметру. В ряде результатов (при исследовании круговых параметров, при получении оценок производных, при нахождении критерия разрешимости проблемы моментов) используется также метод вариации фиксированных полюсов, ранее не употреблявшийся.

Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории ортогональных многочленов и рациональных функций, теории квадратурных формул, теории рядов Фурье.

Результаты работы докладывались на Всесоюзных школе и конференции по теории функций (Днепропетровск, 1990; Одесса, 1991); на 5-й и 6-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов, 1990,1992); на конференции по конструктивной теории функций, посвященной 70-летию проф. B.C. Виденского (Санкт-Петербург,1992); на 25 Голландском математическом съезде (Амстердам, 1993); на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, посвященной памяти профессора A.A. Привалова (Саратов, 1994); на Международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений и нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика С.М. Никольского (Москва,1995); на 8-й,9-й и 10-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов,1996,1998,2000); на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж,1999); на Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти В.К. Дзядыка (Киев,1999); на школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань,1999); на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000); на

8 и 9 Белорусских Математических конференциях (Минск,2000; Гродно, 2004); на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов,2000); на 2-й Международной конференции "Гармонический анализ и приближения" (Ереван,2001); на 11-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова (Саратов,2002); на Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов-Энгельс, 2002); на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004); на семинарах под руководством члена-корреспондента РАН П.Л. Ульянова в МГУ, в 1996 и 2003 гг.; на семинаре под руководством академика РАН A.A. Гончара и проф. А.И. Аптекарева в МИР АН, в 1996, 1998, 2001 гг.; на семинаре по геометрии в Гронингенском университете (Нидерланды) под руководством проф. М. ван дер Пута в 1992 г.; на семинарах математических факультетов Амстердамского университета (в 1993 г.) и Университета им. И. Кеплера (Линц, Австрия) в 1998 г.; на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН Ю.И. Субботина и проф. Н.И. Черныха в Институте Математики и Механики УрО РАН в г. Екатеринбурге в 2002 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций под руководством проф. Г.И. Натансона, B.C. Виденского в 2002 г.; неоднократно на семинарах и научно-практических конференциях в Саратовском госуниверситете.

По результатам работы автору была присуждена премия им. М.Я. Суслина (1994 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [405]-[434], причем из работы [419], написанной в соавторстве, в диссертацию включены результаты, составляющие параграф 2.1, носящие вспомогательный для последующего характер, а также Теорема 19, принадлежащая автору.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Всего в диссертации 14 параграфов.

1. Abel N.H. Über die 1.tegration der differential-Formeln wenn R und p ganze Funktionen sind//J. Reine Angew. Math. 1826. Bd.l. S.186-221.

2. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. One characterization of the classical orthogonal polynomials // Progress in Approximation Theory (Nevai P., Pinkus A., Eds.). N.Y.:Academic Press, 1991. P.l-4.

3. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. Extremal problems, inequalities, and classical orthogonal polynomials // Appl. Math. Comput. 2002. V.128. P.151-166.

4. Агафонова И.В., Малоземов B.H. Одна экстремальная задача, связанная с многочленами Золотарева // Вестн. Ленинград. Унив. Мат., мех., астрон. 1985. N4. С.82-84.

5. Akgay Н. A stochastic analysis of robust estimation algorithms in H00 with rational basis functions // Int. J. Robust Nonlinear Control 2002. V.12. P.71-86.

6. Akhieser N.I. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen // Bull. Soc. Phys.-Mathem. Kazan. Ser.3. 1928. V.3. N2. P.l-69.

7. Acliyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, I // Изв. AH СССР.Отд.матем. и естеств. н. 1932. N9. С.1163-1202.

8. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwal len am wenigsten von Null abweichen,II // Изв.АН СССР. Отд. матем. и естеств.н. 1933. N3. С.309-344.

9. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, weiche in zwei gegebenen In terwallen am wenigsten von Null abweichen,III // Изв.АН СССР. Отд.матем. и естеств.н. 1933. N4. С.449-536.

10. Achyeser N. Uber eine Eigenschaft der "elliptischen" Polynome // Сообщения Харьковского матем. общества (4). 1934. Т.9. С.3-8.

11. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.:Наука,1970.

12. Ахиезер Н.И. Работы Н.Я.Сонина по приближенному вычислению определенных интегралов // Н.Я.Сонин. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах. М.ТИТТЛ, 1954. С.219-243.

13. Ахиезер Н.И. О полиномах, ортогональных на дуге окружности // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. С.247-250.

14. Ахиезер Н.И. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1960. Т.134. С.9-12.

15. Ахиезер Н.И. Континуальные аналоги ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл. АН СССР. 1961. Т.141. С.263-266.

16. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации (2-е изд.). М.:Наука, 1965.

17. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.:Физматгиз,1961.

18. Ахиезер Н.И. Некоторые обратные задачи спектрального анализа, связанные с гиперэллиптическими интегралами //В кн.: Ахиезер Н.И.,Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Харьков: Вища школа,1978. Т.2. С.242-283.

19. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. О некоторых проблемах теории моментов. Харьков: ОНТИ, 1938.

20. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от целых функций // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, сб. статей под ред. А.И.Маркушевича. М.:ГИФМЛ, I960. С.111-165.

21. Ахиезер Н.И., Томчук Ю.Я. К теории ортогональных многочленов на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.743-746.

22. Al-Raslied A.M., Zaheer N. Zeroes of Stiltjes and Van Vleck polynomials and applications //J. Mathem. Anal. Appl. 1985. V.110. P.327-339.

23. Al-Salam W.A. Characterization theorems for orthogonal polynomials // Orthogonal polynomials .-theory and practice (P.Nevai, Ed.). Dordrecht:Kluwer,1990. P.l-24.

24. Ambroladze A., Wallin H. Convergence of rational interpolants with preassigned poles // J. Approx. Theory. 1997. V.89. P.238-256.

25. Ambroladze A., Wallin H. Rational interpolants with preassigned poles, theory and practice // Complex Variables, Theory Appl. 1997. V.34. P.399-413.

26. Ambroladze A., Wallin H. Rational interpolants with preassigned poles, theoretical aspects // Stud. Math. 1999. V.132. P.l-14.

27. Antoulas A.C., Anderson B.D.O. A summary of recent results on the scalar rational interpolation problem // Proc. 25 IEEE Conf. Decis. Control. 1986. P.2187-2188.

28. Аптекарев А.И. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода // Матем. сб. 1984. Т.125(167). N2. С.231-258.

29. Aptekarev A.I., Branquinho A., Marcellan F. Toda-type differential equations for the recurrence coefficients of orthogonal polynomials and Freud transformation // J. Сотр. Appl. Math. 1997. V.78. P.139-160.

30. Аптекарев А.И., Буяров B.C., Дегеза И.С. Асимптотическое поведение ¿р-норм и энтропии общих ортогональных многочленов / / Матем. сборник. 1994. Т. 185. N8. С.3-30.

31. Аптекарев А.И., Буяров B.C., Ван Ассе В., Дегеза И.С. Асимптотика энтропийных интегралов для ортогональных многочленов // Докл. АН. 1996. Т.346. С.439-441.

32. Aptekarev A.I., Dehesa J.S., Yanez R.J. Spatial entropy of central potentials and strong asymptotics of orthogonal polynomials // J.Math. Phys. 1994. V.35. P.4423-4428.

33. Аптекарев А.И., Левитан Б.М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и теория ортогональных многочленов // В. кн. Никишин Е.М.Избранные вопросы математического анализа. (Докл. по ма-тем. и ее прилож.Т.З,Ш) М.-Тула, 1990. С.421-429.

34. Аптекарев А.И., Никишин Е.М. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. сборник. 1983. Т.121. N3. С.327-358.

35. Aptekarev A.I., Van Assche W. Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weight // J. Approxim. Theory. 2004. V.129. P. 129-166.

36. Арестов B.B. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 1980. Т.27. С.539-547.

37. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

38. Бадков В.М. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов // Успехи матем. наук. 1978. Т.ЗЗ. N4. С.51-106.

39. Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам // Труды МИАН. 1980. Т.145. С.20-62.

40. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов // Труды МИАН. 1983. Т.164. С.3-36.

41. Бернштейн С.Н. Об ограничении значений многочлена Рп(х) степени п на всем отрезке по его значениям в п + 1 точках отрезка // Собрание сочинений. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С.107-126.

42. Beirut J.-P. Rational functions for guaranteed and experimentally well-conditioned global interpolation // Comput. Math. Appl. 1988. V.15. P.l-16.

43. Berrut J.-P., Mittelmann H.D. Rational interpolation through the optimal attachement of poles to the interpolating polynomial // Numerical Algorithms. 2000. V.23. P.315-328.

44. Berry T.G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch. Math. 1990. V.55. P.259-266.

45. Bleher P., Its A. Double scaling limit in the random matrix model: the Riemann-Hilbert approach // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V.56. P.433-516.

46. Бобенко А.И., Кубенский Д.А. Качественный анализ и вычисления конечнозонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. Автоморф-ный подход // Теорет. мат. физ. 1987. Т.72. С. 352-360.

47. Bottcher A., Silbermann В. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. Berlin:Springer, 1999.

48. Богатырев А.Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышева на нескольких отрезках // Матем. сб. 1999. Т.190. N11. С.15-50.

49. Богатырев А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении // Матем. сб. 2002. Т.193. N12. С.21-41.

50. Bodin P., Villemoes L.F., Wahlberg В. Selection of best orthonormal rational basis // SIAM J. Control Optim. 2000. V.38. P.995-1032.

51. Boor C.de, Pinkus A. Proof of the conjectures of Bernstein and Erdos concerning the optimal nodes for polynomial interpolation // J. Approx. Theory. 1978. V.24. P.289-303.

52. Damanik D., Killip R., Simon B. Necessary and sufficient conditions in the spectral theory of Jacobi matrices and Schrödinger operators // xxx.lanl.gov arXiv:math.SP/0309206vl.

53. Damelin S.B. The weighted Lebesgue constant of Lagrange interpolation for exponential weights on —1,1] // Acta Math. Hung. 1998. V.81. P.223-240.

54. Данченко В.И. О разделении особенностей мероморфных функций // Матем. сб. 1984. Т.125. N2. С.181-198.

55. Данченко В.И. Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью // Матем. сб. 1996. Т.187. N10. С.33-52.

56. Darlington S. Analytical approximations to approximations in the Chebyshev sense // Bell System Techn. J. 1970. V.49. P.l-32.

57. Deift P. Orthogonal polynomials and random matrices: a RiemannHilbert approach. N.Y.:AMS, 2000.

58. Deift P., Kriecherbauer Т., McLaughlin K.T.R. New results on the equilibrium measure for logarithmic potentials in the presence of an extremal field // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.388-475.

59. Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sänchez-Ruiz J. Quantum information entropies and orthogonal polynomials //J. Comp. Appl. Math. 2001. V.133. P.23-46.

60. Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V.N. Asymptotics of information entropies of some Toda-like potentials //J. Math. Phys. 2003. V.44. P. 36-47.

61. Dehesa J.S., Yänez R.J., Aptekarev A.I., Buyarov V. Strong asymptotics of Laguerre polynomials and information entropies oftwo-dimensional harmonic oscillator and one-dimensional Coulomb potentials // J. Math. Phys. 1998. V.39. P.3050-3060.

62. Deo N. Orthogonal polynomials and exact correlation functions for two cut random matrix models // Nuclear Phys. B. 1997. V.504. P.609-620.

63. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. 1991. V.95. P.-95.

64. Dette H., Studden W.J. On a new characterization of the classical orthogonal polynomials //J. Approx. Theory. 1992. V.71. P.3-17.

65. Dette H., Studden W.J. The theory of canonical moments with applications in statistics, probability, and analysis. N.Y.:Wiley, 1997.

66. Dimitrov D.K., Merlo C.A. Nonnegative trigonometric polynomils // Constr. Approx. 2002. V.18. P.117-143.

67. Dimitrov D.K., Van Assclie W. Lame differential equations and electrostatics // Proc. AMS. 2000. V.128. P.3621-3628. Erratum: Pre. AMS. 2003. V.131. P.2303.

68. Джрбашян M.M. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности с заданным множеством полюсов / / Докл. АН СССР. 1962. Т.147. С.1278-1281.

69. Джрбашян М.М. Ортогональные системы рациональных функций на круге // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1966. Т.1. С.3-24.

70. Джрбашян М.М. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1966. Т.1. С.106-125.

71. Djrbashian М.М. A survey on the theory of orthogonal systems and some open problems // Orthogonal Polynomials: Theory and Practice (P. Nevai, ed.). Boston: Kluwer, 1990. P.135-146.

72. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27. N1. С. 9-28.

73. Draux A. Polynômes orthogonaux formels applications. Berlin et al.:Springer, 1983.

74. Driscoll T.A., Toh K.-C., Trefethen L.N. From potential theory to matrix iterations in six steps // SIAM Rev. 1998. V.40. P.547-578.

75. Дубинин В.H. О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций. // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т.66. N 2. С.67-80.

76. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика,2001.

77. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы,I // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. М., 1985. С.179-284.

78. Dumas S. Sur le développement des fonctions elliptic en fractions continues // Zurich,1908.

79. Дзядык В.К. О теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (a propos одной проблемы С.М. Никольского) // Тр. МИАН. 1975. Т. 134. С.63-114.

80. Dzyadyk V.K. On a problem of Chebyshev and Markov // Analysis Math. 1977. V.3. N3. P.171-175.

81. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

82. Дзядык В.К., Иванов В.В. Об асимптотике и оценках равномерных норм интерполяционных многочленов Лагранжа по узлам Чебышева // Матем. сб. 1977. Т.104. С.337-351.

83. Embree M., Trefethen L.N. Green's functions for multiply connected domains via conformai mapping // SIAM Rev. 1999/ V.41. P.745-761.

84. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. R17-24.

85. Фадеев Н.П. О многочленах, ортогональных на нескольких отрезках // Уч. зап. Казан, пед. ин-та. 1970. Вып. 83. С. 151-162.

86. Фадеев Н.П. О дифференциальных уравнениях для некоторых ортогональных многочленов // Изв. ВУЗов. Матем. 1976. N5. С.99-103.

87. Falliero Т., Sebbar A. Capacite d'une union de trois intervalles et fonctions theta de genre 2 // J. Math. Pure Appl. 2001. V.80. P.409-443.

88. Филыптинский В.А. Степенная проблема моментов на всей оси при заданном конечном числе пустых интервалов в спектре // Зап. мех.-мат.ф-та Харьк. ун-та и Харьк. матем. об-ва. 1964. Т.30. С.186-200.

89. Fisher В., Golub G.H. On generating polynomials which are orthogonal over several intervals // Math. Сотр. 1991. V.56. P.711-730.

90. Flajolet P., Guillemin F. The formal theory of birth-and-death processes, lattice path combinatorics // Adv. Appl. Prob. 2000. V.32. P.750-778.

91. Форд JI.P. Автоморфные функции. Москва Ленинград: ОНТИ, 1936.

92. Fournier J.-D., Pindor М. Rational interpolation from stochastic data: a new Froissart's phenomenon // Reliable Computing. 2000. V.6. P.391-409.

93. Fuchs W.H.J. On the degree of Chebysliev approximation on sets with several components // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, Матем. 1978. Т.13. С.396-404.

94. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on sets with several components // Aspects of contemporary complex analysis. Durham, 1980. P.399-408.

95. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on several disjoint intervals // Complex approximation. Quebec, 1980. P.67-74.

96. Galluci M.A., Jones W.B. Rational approximations corresponding to Newton series (Newton-Padé approximants) // J. Approx. Theory. 1976. V.17. P.366-392.

97. Gardiner S.J., Pommerenke C. Balayage properties related to rational interpolation // Constr. Approxim. 2002. V.18. P.417-426.

98. Gautschi W. On some orthogonal polynomials of interest in theoretical chemistry // BIT. 1984. V.24. P.473-483.

99. Gautschi W., Golub G.H., Opfer G. (eds.) Applications and computation of orthogonal polynomials. Basel:Birkhauser, 1999.

100. Geronimo J. Scattering theory, orthogonal polynomials, and (/-series // SIAM J! Math. Anal. 1994. V.25. P.392-419.

101. Geronimo J., Case K. Scattering theory and polynomials orthogonal on the real line // Trans. AMS. 1980. V.258. P.467-494.

102. Geronimo J.S., Johnson R. Rotation numbers associated with difference equations satisfied by polynomials orthogonal on the unit circle // J. DifT. Eq. 1996. V.132. P. 140-178.

103. Geronimo J.S., Johnson R. An inverse problem associated with polynomials orthogonal on the unit circle // Comm. Math. Phys. 1998. V.193. P. 125-150.

104. Geronimo J.S., Teplyaev A. A difference equation arising from the trigonomtric moment problem having random reflection coefficients -an operator theoretic approach // J. Funct. Anal. 1994. V.123. P.12-45.

105. Geronimo J.S., Van Assche W. Orthogonal polynomials with asymptotically periodic recurrence coefficients // J. Approx. Theory. 1986. V.46. P.251-283.

106. Geronimo J.S., Van Assche W. Orthogonal polynomials on several intervals via a polynomial mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V.308. P.559-581.

107. Geronimo J.S., Van Assche W. Approximating the weight function for orthogonal polynomials on several intervals //J. Approx. Theory. 1991. V.65. P.341-371.

108. Геронимус Я.Л. О полиномах, ортогональных относительно данной числовой последовательности, и о теореме W.Hahn'a // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т.4. С.215-228.

109. Геронимус Я.Л. О полиномах, ортогональных на круге, о тригонометрической проблеме моментов и об ассоциированных с нею функциях типа Каратеодори и Шура // Матем. сб. 1944. Т.15(57). N1. С.99-130.

110. Геронимус Я.Л. Полиномы, ортогональные на круге, и их приложения // Зап. ин-та матем. и мех. и Харьковского мат. общ. 1948. Т.19. С.35-120.

111. Геронимус Я.Л. О некоторых уравнениях в конечных разностях и соответствующих системах ортогональных многочленов // Зап. Харьковск. мат. об-ва. 1957. Вып. 25. С.87-100.

112. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке (оценки, асимптотические формулы, ортогональные ряды). М.:Физматгиз, 1958.

113. Gersgorin S., Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 1931. Bd.6. S.749-754.

114. Гхашим M., Малоземов B.H. Эквивалентность в задачах наилучшей рациональной аппроксимации // Вестн. С.-Петербург. Унив. Мат. 1992. Т.25. N2. С.1-6.

115. Gilewicz J., Leopold Е. Zeros of polynomials and recurrence relations with periodic coefficients // J. Сотр. Appl. Math. 1999. V.107. P.241-255.

116. Golinskii L. Akhieser's orthogonal polynomials and Bernstein-Szego method for a circular arc // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.229-263.

117. Golinskii L., Lubinsky D.S., Neva! P. Large sieve estimates on arcs of a circle // J. Number Theory. 2001. V.91. P.206-229.

118. Golinskii L., Nevai P. Szego difference equations, transfer matrices and orthogonal polynomials on the unit circle // Commun. Math. Phys. 2001. V.223. P.223-259.

119. Гончар А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями // Докл. АН СССР. 1955. Т.100. С.205-208.

120. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучшей аппроксимации на замкнутых множествах // Докл. АН СССР. 1959. Т.128. С.25-28.

121. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С.347-356.

122. Гончар А.А. О задачах Е.И.Золотарева, связанных с рациональными функциями // Матем.сборник. 1969. T.78,N4. С.640-654.

123. Гончар А.А. О сходимости аппроксимаций Паде некоторых классов мероморфных функций // Матем. сборник. 1975. Т.97. С.607-629.

124. Гончар А.А. О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде мероморфных функций // Матем. сборник. 1975. Т.98. С. 564-577.

125. Гончар А.А., Лопес Г.Л. О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций // Матем. сборник. 1978. Т.105. С.512-524.

126. Горин Е.А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов // Вестн. Харьк. ун-та. 1980. N205. С.77-105.

127. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т.1. М.:Мир, 1982.

128. Гриншпун З.С. Ортогональные многочлены Бернштейна-Сегё. Алма-Ата: Гылым, 1992.

129. Grinshpun Z. On oscillatory properties of the Bernstein-Szego orthogonal polynomials //J. Math. Anal. Appl. 2002. V.272. P.349-361.

130. Griinbaum F.A. Variations on a theme of Heine and Stieltjes: an electrostatic interpretation of the zeros of certain polynomials //J. Сотр. Appl. Math. 1998. V.99. P. 189-194.

131. Gutknecht M.H. In what sense is the rational interpolation problem weH posed? // Consr. Approx. 1990. V.6. P.437-450.

132. Hahn W. Über die Jacobischen Polynome und zwei verwandte Polynomklassen // Math. Z. 1935. Bd.39. S.634-638.

133. Halphen G.H. Traité des fonctions elliptiques et leurs applications, torn. II. Paris: Gauthiere-Villars, 1888.

134. He M.X., Ricci P.E. Information entropy of orthogonal polynomials // Appl. Math. Comp. 2002. V.128. P.261-274.

135. Henry M.S., Swetits J.J. Lebesgue and strong unicity constants for Zolotareff polynomials // Rocky Mount. J. Math. 1982. V.12. P.547-556.

136. Hesthaven J.S. From electrostatics to almost optimal nodal sets for polynomial interpolation in a simplex // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V.35. P.655-676.

137. Imhof L.A., Studden W.J. E-optimal designs for rational models // Ann. Statist. 2001. V.29. P.763-783.

138. Ismail M.E.H. An electrostatics model for zeros of general orthogonal polynomials // Pacific J. Math. 2000. V.193. P.355-369.

139. Ismail M.E.H. More on electrostatics models for zeros of orthogonal polynomials // Numer. Funct. Anal. Optim. 2000. V.21. P.191-204.

140. Ismail M.E.H. Functional equations and electrostatic models for orthogonal polynomials. // Random matrices and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. P.225-244.

141. Jacobi C.G.J. Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques à l'algèbre // J. Reine Angew. Math. 1830. Bd.7. S.41-43.

142. Jiang H. On the orthogonality of residual polynmials of minimax polynomial preconditioning // Numer. Math. 1994. Bd.67. S.345-364.

143. Krall A.M. Orthogonal polynomials and ordinary differential equations // Topics in polynomials of one and several variables and their applications (Rassias Th.M., Srivastava H.M., Yanushauskas A., eds.). Singapore:World Sc. Publ.,1993. P.347-369.

144. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация многочленами в Lp -метрике на непересекающихся отрезках // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000. Т.270. С.175-200.

145. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Стильтьеса // Докл. АН СССР. 1952. Т.82. С.881-884.

146. Крейн М.Г., Красносельский М.А. Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме моментов // Успехи мат. наук. 1947. Т.2. N3. С.60-106.

147. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов и экстремальные задачи. М.,1973.

148. Крупицкий Э.И. Об одном классе полиномов, наименее уклоняющихся от нуля на двух интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.533-536.

149. Kubayi D.G. Bounds for weighted Lebesgue functions for exponential weights // J. Сотр. Appl. Math. 2001. V.133. P.429-443.

150. Lagomasino (Lopez) G. Survey on multipoint Pade approximation to Markov type meromorhic functions and asymptotic properties of the orthogonal polynomials generated by them // Lect. Notes Math. 1985. V.1171. P.309-316.

151. Bailly В., Thiran J.P. Optimum parameters for the generalized ADI method // Numer. Math. 1998. V.80. P.377-395.

152. Lebedev V.I. On the solution of inverse problems and trigonometric forms for the Geronimus polynomials. Application to the theory of iterative methods // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2000 V.15. P.73-93.

153. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4-е изд. М.: Физматлит, 2000.

154. Лебедев В.И. Об одной универсальной формуле для фазовых функций экстремальных ЧМБС многочленов родов 1-4 // Докл. РАН. 2003. Т.389. С.23-26.

155. Лебедев Н.А., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т.34. С.1340-1390.

156. Levin A.L., Lubinsky D.S. Orthogonal polynomials associated with exponential weights. N.Y.:Springer, 2001.

157. Левин М.Б. Оценка производной от мероморфной функции на границе области // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.24. Харьков:Изд-во ХГУ, 1975. С.68-85.

158. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.:Наука, 1984.

159. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию: самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1970.

160. Levy R. Generalized rational function approximation in finite intervals using Zolotarev functions // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1970. V.18. P.1052-1064.

161. Lorentz G.G., Golitschek M.v., Makovoz Y. Construtive approximation: advanced problems. Berlin: Springer, 1996.

162. Lubinsky D.S. Zeros of orthogonal and biorthogonal polynomials: some old, some new // Nonlinear numerical methods and rational approximation, II (A.Cuyt ed.). Dordrecht:Kluwer, 1994. P.3-15.

163. Малышев В.А. Клеточная структура пространства вещественных полиномов // Алгебра и анализ. 2003. Т.15. N2. С.40-127.

164. Марков А.А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.244-291.

165. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И.Менделеева // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.51-75.

166. Maroni P. Prolégomènes à l'étude des polynômes orthogonaux semi-classiques // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. V.4. P.165-184.

167. Mastroianni G., Occorsio D. Optimal systems of nodes for Lagrange interpolation on bounded intervals. A survey //J. Сотр. Appl. Math. 2001. V.134. P.325-341.

168. McKean H.P., van Moerbeke P. Hill and Toda curves // Comm. Pure Appl. Math. 1980. V.33. P.23-42.

169. Мейман H.H. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. С.257-260.

170. Мейман Н.Н. Решение основных задач теории полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля // Тр. Моск. Мат. об-ва. 1960. Т.9. С.507-535.

171. Межевич К.Г., Широков Н.А. Полиномиальная аппроксимация на непересекающихся отрезках // Проблемы матемтического анализа. 1998. Вып.18. С.118-138.

172. Межевич К.Г., Широков Н.А. Об одном классе функций на непересекающейся системе отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1999. Т.262. С.172-184.

173. Ninness В. Aspects of linear estimation in Hoo (/ Int. J. Control. 1999. V.72. P.1402-1416.

174. Ninness В., Hjalmarsson H., Gustafsson F. The fundamental role of general orthonormal bases in system identification // IEEE Trans. Automatic Conrol. 1999. V.44. P.1384-1406.

175. Ninness В., Hjalmarsson H., Gustafsson F. Generalized Fourier and Toeplitz results for rational orthonormal bases // SIAM J. Control Optim. 1998. V.38. P.429-460.

176. Нудельман А.А. Канонические решения проблемы моментов на нескольких интервалах // Матем. заметки. 1967. Т.1. С.435-442.

177. Nuttall J., Singh S.R. Orthogonal polynomials and Padé approximations associated with a system of arcs // J. Approx. Theory. 1977. V.21. P.l-42.

178. Олынанецкий M.A., Переломов A.M., Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский M.А. Интегрируемые системы,II // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.16. М.,1987. С.86-226.

179. Osilenker В.P. The representation of the reproducing kernel in orthogonal polynomials on several intervals // Lie groups and Lie algebras (Komrakov B.P. et al, eds.). DordrechtrKluwer, 1998. P.147-162.

180. Осиленкер Б.П. Асимптотика усредненного определителя Турана для полиномов, ортогональных на двух интервалах // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. М.: Моск. Гос. Строит. Ун-т, 1999. С.19-26.

181. Pakovich F. Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes liyperelliptiques // Ann. Inst. Fourier. 1998. V.48. P.323-351.

182. Pan К. On orthogonal systems of rational functions on the unit circle and polynomials orthogonal with respect to varying measures // J. Сотр. Appl. Math. 1993. V.47. P.313-322.

183. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.

184. Пастор A.B. Обобщенные полиномы Чебышева и уравнение Пелля-Абеля // Фундам. и прикл. матем. 2001. Т.7. N4. С.1123-1145.

185. Peherstorfer F. Orthogonal- and Chebyshev polynomials on two intervals // Acta Math. Hunger. 1990. V.55. P.245-278.

186. Peherstorfer F. On Bernstein Szegö orthogonal polynomials on several intervals // SIAM J. Math. Anal. 1990. V.21. P.461-482.

187. Peherstorfer F. On Bernstein Szegö orthogonal polynomials on several intervals,II: Orthogonal polynomials with periodic recurrence coefficients // J. Approx. Theory. 1991. V.64. P.23-161.

188. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // J. Comp. Appl. Math. 1993. V.48. P.187-205.

189. Peherstorfer F. Positive and orthogonal polynomials on several intervals // Suppl. Rend. Circ. mat. Palermo, Ser. 2. 1993. V.33. P.399-414.

190. Peherstorfer F. Elliptic orthogonal and extremal polynomials // Proc. London Math. Soc. 1995. V.70. P.605-624.

191. Peherstorfer F. Minimal polynomials on several intervals with respect to the maximum-norm a survey // Complex methods in approximation theory (eds. A.M.Finkelslitein et al.), Almería: Univ. Almería, 1997. P. 137-159.

192. Peherstorfer F. On Toda lattices and orthogonal polynomials // J. Comp. Appl. Math. 2001. V.133. P.519-534.

193. Peherstorfer F. Deformation of minimal polynomials and approximation of several intervals by an inverse polynomial mapping // J.Approxim. Theory. 2001. V.lll. P.180-195.

194. Peherstorfer F. Zeros of polynomials orthogonal on several intervals // Int. Math. Res. Not. 2003. V.7. P.361-385.

195. Peherstorfer F. On the zeros of orthogonal polynomials: elliptic case // Constr. Approx. 2004. V.20. P.377-397.

196. Peherstorfer F., Hölzl S. Einige Überlegungen zu den verallgemeinerten Tschebischeffpolynomen auf disjunkten Interwallen, Diplomarbeit. Linz,1991.

197. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation, I // Acta Math. Hungar. 1999. V.83. P.27-58.

198. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation, II // Acta Math. Hungar.1999. V.83. P.59-83.

199. Peherstorfer F., Steinbauer R. On polynomials orthogonal on several intervals // Ann. Num. Math. 1995. V.2. P.353-370.

200. Peherstorfer F., Steinbauer R. Perturbation of orthogonal polynomials on the unit circle a survey // Proc. Workshop Orthogonal Polynomials on the Unit Circle (M.Alfaro et al., eds.). Leganés: Universidad Carlos III, 1994. P.97-119.

201. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle,I // J. Approx. Theory. 1996. V.85. P.140-184.

202. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle, II.Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients // J. Approx. Theory. 1996. V.87. P.60-102.

203. Peherstorfer F., Steinbauer R. Comparative asymptotics for perturbed orthogonal polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V.384. P.1459-1486.

204. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on the circumference and arcs of the circumference //J. Approx. Theory. 2000. V.102. P.96-119.

205. Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SIAM J. Math. Anal.2000. V.32. P.385-402.

206. Peherstorfer F., Yuditskii P. Asymptotic behaviour of polynomials orthonormal on a homogeneous set //J. Anal. Math. 2003. V.89. P.113-154.

207. Пекарский А.А. Оценки производной интеграла типа Коши с ме-роморфной плотностью и их приложения // Матем. заметки. 1982. Т.31. С.389-402.

208. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

209. Петухов А.П. Об ужах и приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа // Analysis Matliem. 1985. V.ll. Р.55-73.

210. Pierre R. On explicit decomposition for positive polynomials on —1, +1] with applications to extremal problems // Can. J. Math. 1984. V.36. P.1031-1045.

211. Poorten A.J. van der, Tran X.C. Quasi-elliptic integrals and periodic continued fractions // Monatsh. Math. 2000. V.131. P.155-169.

212. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Кн.1,2. Саратов: изд-во СГУ, 1990.

213. Привалов А.А. Аналоги неравенства А.А.Маркова. Приложение к интерполированию и рядам Фурье // Тр. МИАН. 1983. Т.164. С.142-154.

214. Privalov I.I. Sur la convergence des series trigonometriques conjugeés // C. R. Acad. Se. Paris. 1916. V.162. P.123-126.

215. Привалов И.И. Интеграл Caucliy // Изв. Сарат. ун-та. Физ.-мат. ф-т. 1918. Вып.1. С.1-94.

216. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд. М.-Л.:Гостехиздат, 1950.

217. Пташицкий И.Л. Об интегрировании в конечном виде иррациональных дифференциалов. С.-Петербург, 1881.

218. Rahman Q.I., Schmeisser G. Les inégalités de Markoff et de Bernstein. Montréal: Presses Univ. Montréal, 1983.

219. Rovba E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadrature of Gauss-type // Math. Balk., New ser. 1999. V.13. P.187-198.

220. Русак B.H. О сходимости одного обобщенного интерполяционного полинома // Докл. АН БССР. 1962. Т.6. С.209-211.

221. Русак В.Н. Об оценках производных алгебраических дробей на конечном отрезке // Докл. АН БССР. 1976. Т.20. С.5-7.

222. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд-во БГУ, 1979.

223. SafFE.B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. Berlin et al.: Springer, 1997.

224. Schottki F., Uber eine spezielle Funktion,welche bei einer bestimmten linearen Transformation ungeandert bleibt // J.Reine Angew.Math. 1887. Bd.101. S.227-272.

225. Schoutens W. Stochastic processes and orthogonal polynomials. N.Y. ¡Springer,2000.

226. Sebbar A., Falliero Th. Capacities and Jacobi matrices // Proc. Edinb. Math. Soc. 2003. V.46. P.719-745.

227. Shen J., Strang G. The asymptotics of optimal (equiripple) filters // IEEE Trans. Signal Proces. 1999. V.47. P.1087-1098.

228. Shen J., Strang G., Wathen A.J. The potential theory of several intervals and its applications // Appl. Math. Optim. 2001. V.44. P.67-85.

229. Широков H.A. Аппроксимация многочленами на компактных множествах с дополнением бесконечной связности // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. N1. С.248-264.

230. Широков Н.А. Обратная теорема приближения на бесконечном множестве отрезков // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2002. Т.290. С. 168-176.

231. Simon В. The classical moment problem as a self-adjoint difference operator // Adv. Math. 1998. V.137. P.82-203.

232. Simon В. A new approach to inverse spectral theory, I. Fundamental formalism // Ann. Math. 1999. V.150. P.l-29.

233. Simon B. Orthogonal polynomials in the circle, I: the basics. To appear.

234. Shohat J.A., Tamarkin J.D. The problem of moments. Providence: AMS, 1943.

235. Скалыга В.И. Многомерные аналоги неравенств В.А.Маркова и С.Н.Бернштейна // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т.65. N6. С.129-172.

236. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Алгебраическое решение задач Е.И.Золотарева и Н.И.Ахиезера о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 56. Харьков: Изд-во ХГУ, 1991. С.56-64.

237. Содин М.Л., Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах вещественной оси // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. N2. С.1-62.

238. Sodin M.L., Yuditskiï P.M. Almost periodic Jacobi matrices with homogeneous spectrum, infinite dimensional Jacobi inversion, and Hardy spaces of character-automorpliic functions // J. Geom. Anal. 1997. V.7. P.387-435.

239. Stahl H. Conjectures around Baker-Gammel-Wills conjecture // Constr. Approx. 1997. V.13. P.287-292.

240. Stahl H. Diagonal Padé approximants to hyperelliptic functions // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. Spec. Issue. 1996. P. 121-193.

241. Stahl H. The convergence of Padé approximants to functions with branch points // J. Approx. Theory. 1997. V.91. P.139-204.

242. Stahl H., Totik V. General orthogonal polynomials. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1992.

243. Volberg A., Yuditskii P. On the inverse scattering problem for Jacobi matrices with the spectrum on an interval, a finite system of intervals or a Cantor set of positive length // Commun. Math. Phys. 2002. V.226. P.567-605.

244. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.:ИЛ, 1961.

245. Weber Н. Ein Beitrage zu Poincare's Theorie der Fuchs'schen Funktionen // Gottingen Naclxr. 1886. N10. S.359-370.

246. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. Math. 1969. V.3. P. 127-232.

247. Yanez R.J., Van Assche W., Dehesa J.S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom // Phys. Rev. A. 1994. V.50. P.3065-3079.

248. Zhang J. Relative growth of linear iterations and orthogonal polynomials on several intervals // Lin. Alg. Appl. 1993. V.186. P.97-115.

249. Зингер М.Я. Элементы дифференциальной теории чебышевских приближений. М.: Наука, 1975.

250. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Полн. собр. соч. Т.2. М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1932. С.1-59.

251. Лукашов А.Л. О рациональных функциях с заданным знаменателем, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках // Теория функций и приближений. Тр. 4-й Сарат. зимней школы. (25 января 5 февраля 1988 г.) Саратов:Изд-во СГУ, 1990. 4.2. С.151-155.

252. Лукашов А.Л. Рациональные функции с заданным четным знаменателем, наименее уклоняющиеся от нуля на двух симметричных отрезках // Математика и ее приложения. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во СГУ, 1991. Вып.2. С.27-28.

253. Lukashov A.L. On Chebyshev polynomials over disjoint compact sets // Modern complex analysis and applications. Proc. Conf. Ded. ToJ.Korevaar. Univ. Amsterdam Math. Prepr. Series. 1993. Rep.93-25. P.lll-120.

254. Лукашов А.Л. О многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на системе отрезков // Теория функций и приближений. Тр. 5-й Са-рат. зимней школы. (25 января 4 февраля 1990 г.) Саратов: Изд-во СГУ, 1996. Вып. 2. С.131-137.

255. Лукашов А.Л. Рациональные интерполяционные процессы на двух отрезках // Известия ВУЗов. Матем. 1998. N5. С.35-42.

256. Лукашов А.Л. Алгебраические дроби Чебышева Маркова на нескольких отрезках // Analysis Mathem. 1998. V.24. P.lll-130.4111 Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov rational fractions over several intervals // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.333-352.

257. Лукашов А.Л. Точное решение одной задачи построения оптимального электрического фильтра // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Сб. научн. трудов. Вып.1. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.84-90.

258. Lukashov A.L., Peherstorfer F. Automorphic orthogonal and extremal polynomials // Can. J. Math. 2003. V.55. P.576-608.

259. Лукашов А.Л. Об информационной энтропии ортогональных многочленов на нескольких отрезках // Математика. Механика. Сб. научн. трудов. Вып.5. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.56-58.

260. Лукашов А.Л. Обобщение некоторых свойств классических ортогональных многочленов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Сб. научн. трудов. Вып.2. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.128-137.

261. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т.68. N3. С.115-138.

262. Лукашов А.Л. Круговые параметры многочленов, ортогональных на нескольких дугах единичной окружности // Матем. сб. 2004. Т.195. N11. С.95-118.

263. Лукашов А.Л. Многочлены Чебышева на нескольких отрезках // Конструктивная теория функций. Тез. конф., поев. 70-летию проф. B.C. Виденского. С.-Петерб. 1992. С.39-40.

264. Лукашов А.Л. Многочлены наилучшего приближения функции 1/(ж — а) на нескольких отрезках // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тез. докл. межд. конф., поев. 90-летию акад. С.М.Никольского. М., 1995. С.180-181.

265. Лукашов А.Л. Обобщение многочленов Лагерра и Эрмита на случай двух промежутков // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 9-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 1997. С. 107.

266. Лукашов А.Л. Об одном обобщении классических ортогональных многочленов // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во СГУ, 1998. С.44.

267. Лукашов А.Л. Обобщения классических ортогональных многочленов на случай нескольких промежутков // Теория приближений и гармонический анализ. Тез. докл. межд. конф. Тула, 1998. С.164-165.

268. Лукашов А.Л. Оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа на нескольких отрезках // Intern. Conf. On Approximation Theory and its Applications ded. to the mem. of V.K.Dzjadyk. Abstracts. Kyiv, 1999. P.51.

269. Лукашов A.Л. Многочлены, ортогональные на нескольких дугах // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 10-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 2000. С.83-84.

270. Лукашов А.Л. Круговые параметры многочленов, ортогональных на нескольких дугах единичной окружности // Теория приближения функций и операторов. Тез. докл. межд. конф., поев. 80-летию со дня рожд. С.Б.Стечкина. Екатеринбург, 2000. С.95-97.

271. Лукашов А.Л. Константы Лебега интерполяционных процессов Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // VIII Белорусская матем. конф. Тез. докл. Минск, 2000. 4.1. С.29.

272. Lukasliov A.L. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle and their applications // Intern. Conf. Harmonie analysis and approximations,II. Abstracts. Yerevan, 2001. P.45.