Аналитические решения для многоуровневых моделей многофотонного колебательного возбуждения молекул тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ \V- ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ

им. Б.И. Степанова

УДК 539.196.5 + 517.587

МАЗУРЕНКО АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФОТОННОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ МОЛЕКУЛ

01.04.05 - оптика + 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1996

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте физики им. Б.И. Степанова Академии наук Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Савва В. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Залесская Г. А.

кандидат физико-математических наук Кузьмин В. С.

Оппонирующая организация: ' Гомельский государственный

университет им. Ф. Скорины

Защита состоится 1996 г. в '/^"часов на

заседании совета по защите диссертаций Д 01.05.01 при Институте физики АНБ (220072,- г. Минск, пр. Ф. Скорины, 70).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики АНБ.

Автореферат разослан " ИЬ Яояоугз 1996 г.

Ученый секретарь Совета доктор физ.-мат. наук

Афанасьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С появлением лазерных источников мощного ИК излучения возникла принципиально новая возможность ускорения химических реакций и управления ими. В отличие от термических реакций фотохимические реакции с резонансным ИК возбуждением имеют большие константы скорости и характеризуются высокой селективностью. Открытие явления многофотонного возбуждения молекул способствовало расширению исследований колебательно высоковозбужденных молекул. В экспериментах с многофотонным поглощением мощное ИК лазерное излучение создает настолько высокий уровень колебательного возбуждения молекул, что химические реакции быстро протекают и при сравнительно невысокой температуре среды. Установлен новый, чисто радиационный механизм реакций, осуществляющийся вследствие многофотонного ИК поглощения. Высокая селективность ИК возбуждения привела к интенсивным исследованиям возможности применения лазерохимтгческих реакций для разделения изотопов. Открыта сильная зависимость вероятности селективных процессов в первую очередь от спектрального состава поглощаемого ИК излучения.

Одновременно с возникновением нового направления экспериментальной фотохимии и фотофизики в ИК области стало актуальным и теоретическое описание исследуемых физических явлений. Большая напряженность электромагнитного поля в нелинейных процессах многоквантового поглощения приводит к принципиально иной динамике колебательного возбуждения, когда энгармонизм квантовой системы играет существенную роль в формировании населенностей уровней энергии молекулы. Объяснение и моделирование такзгх процессов, наблюдаемых в быстро развивающейся лазерной физике и фотохимии, требуют развития новых аналитических методов описания колебательной динамики молекул. Среди аналитических моделей возбуждения молекул хорошо изучены двух-, трех-, четырехуровневые системы. Сложность, а часто невозможность получения аналитического решения, описывающего возбуждение систем с большим числом уровней Ы, объясняет слабую разработанность Л^-уровневых моделей колебательных переходов высоковозбужденных молекул. В существующих работах по многоуровневым системам и аналитическим методам решения соответствующих уравнений динамики также мало изучены многопараметрические семейства таких систем, системы неэквидистантных уровней, динамика незамкнутых систем, особенности возбуждения многоуровневых систем с большой частотной отстройкой или дипольным моментом на одном из переходов.

Цель работы.

получение (на основе использования ортогональных полиномов и специальных функций) точных аналитических решений для процесса возбуждения многоуровневых систем, пригодных в качестве моделей колебательной динамики многоатомных молекул;

применение и расширение существующих методов, .основанных на ортогональных полиномах, а также разработка новых способов поиска аналитического решения уравнений, описывающих возбуждение многоуровневых систем в монохроматическом лазерном поле; установление соответствия между спектроскопическими характеристиками (энергетическим спектром, дипольными моментами переходов) многоуровневых систем и свойствами ортогональных полиномов или функций, используемых при решении уравнений динамики этих систем.

По каждому из перечисленных пунктов выполнена следующая работа. Во-первых, найдены точные решения уравнений динамики для ряда семейств новых многоуровневых систем, возбуждаемых монохроматическим полем лазера. Рассмотрены закономерности (связь числа заселенных уровней, а также "скорости" распостранения возбуждения с величинами дипольных моментов переходов; условия возникновения локализации частиц и др.) в динамике систем с разными зависимостями ди-польного момента, частотной отстройки от номера радиационного перехода. Во-вторых, построенные в диссертации ортогональные полиномы позволили применить существующие методы решения уравнений динамики для исследования поведения новых многоуровневых систем. Создан и апробирован обобщенный аналитический метод, основанный на использовании как ортогональных полиномов, так и функций. В' итоге, реализованы приложения ортогональных функций к задачам по модельному описанию колебательного возбуждения молекул, и найден ряд новых близких по характеристикам или существенно различных семейств многоуровневых систем, имеющих точные аналитические решения.'

Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые для решения уравнений динамики многоуровневых систем применены формула Кристоффеля и ее обобщение — формула Кристоффеля-Уварова, известные в теории ортогональных полиномов. Это позволило построить новые ортогональные полиномы и с их помощью аналитически решить задачу о возбуждении новых семейств многоуровневых систем. Для анализа динамики многоуровневых систем разработана специальная методика сравнения спектроскопических характеристик таких систем и

сопоставления их распределений населенностей в фиксированный момент времени. Определенные правила сравнения различных систем уровней сделали возможным целенаправленный выбор требуемых или близких к требуемым ортогональных полиномов для аналитического описания многоуровневых систем с заранее известными характеристиками.

Наряду с усовершенствованием аналитического метода, основанного на ортогональных полиномах, в диссертационной работе разработан обобщенный аналитический метод, позволяющий использовать для поиска точного решения уравнений динамики не только ортогональные полиномы, но и ортогональные функции. Применение ортогональных функций к многоуровневым задачам позволило найти аналитические решения для квантовых систем с существенно большим разнообразием характеристик.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Точные аналитические решения, описывающие когерентное возбуждение молекулярных систем в мощном ИК поле лазера, для ряда новых многоуровневых моделей находятся с помощью специально построенных ортогональных полиномов Кристоффеля-Лежандра и Уварова-Лежандра.

2. Установленное свойство подобия спектроскопических характеристик (дипольного момента и частотной отстройки в зависимости от номера перехода) различных многоуровневых моделей колебательно возбуждаемых молекул позволяет упростить получение аналитических решений для модельных систем.

3. Аналитические решения уравнений, моделирующих многофотонное возбуждение молекул, найдены с помощью ортогональных функций. Решения описывают динамику многоуровневых моделей с существенно различными значениями дипольных моментов переходов или систем с переменным числом возбуждаемых молекул.

Личный вклад соискателя. Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Апробация результатов работы. Материалы диссертации докладывались на "Семинаре по квантовой оптике" (Минск, 1992); международных семинарах "Nonlinear phenomena in complex systems" (Полоцк, 1993, 1994; Минск, 1995, 1996); международных конференциях "Physics

in Ukraine" (Киев, 1993) [1], "Современные проблемы физики и спектроскопии" (Гродно, 1993, 1995) [2,3], "15th International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Санкт-Петербург, 1995) [4J; международном конгрессе "22nd European Congress on Molecular Spectroscopy" (Эссен, 1994) [5].

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 статей [6-11], 6 работ включены в сборники [12-17], изданы препринт [18] и 5 тезисов [1-5].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка цитируемой литературы. Она изложена на 135 страницах и включает 19 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 имеет обзорный характер. В ней кратко изложены результаты экспериментов по наблюдению явления многофотонного колебательного возбуждения молекул. Приведена интерпретация этого явления, и перечислены некоторые модели, позволившие качественно или количественно 01шсать заселение колебательных уровней молекул под действием ИК лазерного излучения. Более подробно анализируются многоуровневые модельные системы, возбуждение которых можно сравнить с когерентным процессом возбуждения нижних колебательных уровней дискретной части энергетического спектра молекулы. Рассмотрены некоторые известные методы решения уравнений динамики многоуровневых систем. Детально сформулирован метод аналитического решения этих уравнений, используемый и обобщаемый в диссертационной работе.

Раздел 1.1 заключает в себе описание экспериментальных условий, при которых осуществляется мпогофотонный механизм колебательного возбуждения многоатомных молекул. Бесстолкновительный характер процессов поглощения ИК излучения молекулами газа приводит к необходимости учета когерентных свойств взаимодействия лазерного поля с молекулой и возможности привлечения многоуровневых моделей для объяснения некоторых наблюдаемых эффектов. Открытие изотопической селективности многофотонного поглощения и диссоциации сделало более актуальным использование этих моделей.

Соответственно рассматриваемым в ИК лазерной спектроскопии стадиям процесса колебательного возбуждения, перевозбуждения и дис-

социации молекул в этом разделе рассмотрены различные модели, пригодные для описания колебательной динамики. С их помощью обычно объясняют преодоление энгармонизма в области колебательных низко-лежащих уровней молекулы. Изложены результаты исследования резонансного возбуждения эквидистантно расположенных групп уровней квазиконтинуального участка энергетического спектра, переходящего в область континуума.

Раздел 1.2 является обзором известных методов решения уравнений когерентной динамики, описывающих возбуждение многоуровневых систем. Постановка задачи включает в себя дифференциальное уравнение динамики для амплитуд вероятности заселещш уровней энергии системы, начальное условие, определяющее распределение частиц по уровням. Задача для произвольной системы уровней сложна и аналитически не решается, поэтому выбор новых конкретных многоуровневых модельных систем приводит к оригинальным задачам, точно решаемым в диссертации. Уравнение динамики в подобной форме в литературе использовалось неоднократно для таких задач. Оно может быть получено из уравнения Шредингера для многоуровневой системы, возбуждаемой монохроматическим полем, при использовании приближения вращающейся волны с учетом диполъных переходов только между соседними уровнями п <-» п - 1. В рамках данной модели пренебрегается процессами релаксации. Это возможно в случае бесстолкновителыюго характера возбуждения молекул и при большой скорости процесса поглощения интенсивного лазерного поля. При таком описании каждый п-й переход п - 1 о- п многоуровневой системы характеризуется дипольным моментом /„ //о 1. где /„ — функция дипольного момента, и отстройкой £п частоты перехода от частоты возбуждающего излучения.

В начале раздела рассмотрены преимущества и недостатки выбранной формулировки задачи. К достоинствам приведенных уравнений динамики можно отнести: когерентность и точность описания, учет неэквидистантности уровней (энгармонизм системы), отсутствие ограничений на величину интенсивности возбуждающего лазерного поля, нена-сыщаемый характер поглощения энергии излучения для систем с бесконечным числом уровней, наличие резонансных и селективных свойств у многоуровневых моделей I! соответствии с характерными особенностями многофотонного поглощения молекул. Недостатками данного описания являются: игнорирование вращательной структуры колебательных уровней, пренебрежение релаксационными процессами. Уравнения для ам-

плитуд вероятности не могут адекватно описывать перемешивание состояний, которое возможно для плотно лежащих уровней квазиконтинуальной области спектра молекулы.

Основная часть этого раздела содержит изложение и сопоставление наиболее известных методов решения представленной задачи. Численные методы малопригодны для систем с большим числом уровней и не всегда позволяют выявить и сформулировать особенности динамики системы. Среди аналитических методов, использованных в ряде работ, кратко рассмотрены: метод конечных рядов Фурье; теоретико-групповые методы; методы, основанные на ортогональных полиномах.

Раздел 1.3. В нем собрана необходимая информация, используемая в диссертации для получения результатов и составляющая аналитический метод [7, 12]. В последующих главах выбранный метод применяется и обобщается.

Сущность используемого метода в эффективности применения интегральных преобразований для решения дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи. Решение ищется в виде интегрального преобразования от некоторого полинома, рекуррентное соотношение которого должно иметь такие же коэффициенты при его слагаемых, как и коэффициенты в рекуррентно связанных дифференциальных уравнениях задачи. Такими коэффициентами являются: функция fn дипольного момента и характеристика неэквидистантности $п, связанная с частотной отстройкой £п многоуровневой системы. Существенным является то, что полиномы, применяемые в этом методе, должны образовывать ортогональную систему. Для получения новых решений в диссертации специально построен ряд семейств ортогональных полиномов.

Вторая глава описывает построение семейств новых ортогональных полиномов Кристоффеля-Лежандра первого, второго и четвертого порядка; применение этих полиномов к многоуровневым задачам по описанию колебательного возбуждения молекул. Выработан алгоритм сравнения и анализа характеристик различных многоуровневых систем.

В разделе 2.1 приводится формула Кристоффеля, известная в теории ортогональных полиномов как соотношение связи между полиномами различных ортогональных систем. Подстановка известных полиномов в эту формулу позволяет определить новые полиномы, весовая функция которых имеет дополнительные полиномиальные сомножители. Корни введенных в вес множителей являются параметрами построенных таким образом полиномов, а число корней названо порядком семейства

новых полиномов.

В качестве исходных полиномов в работе выбраны полиномы Ле-жандра. С помощью формулы Кристоффеля построены полиномы Кри-стоффеля-Лежандра-/ [19], ортогональные относительно полиномиальной весовой функции степени / = 1; 2; 4.

Построенным ортогональным полиномам с полиномиальным весом порядка 1 можно поставить в соответствие к -параметрические семейства многоуровневых квантовых систем с к < I. Показано, что для таких систем справедливы общие свойства [18]: функция /„ диполыюго момента всегда принимает конечные положительные значения и при больших п стремится к величине г/2, которую можно вычислить заранее; отстройка £п с ростом п сходится к нулю и уже при п > б пренебрежимо мала. Приведено обоснование использования таких систем для моделирования многофотонного колебательного возбуждения молекул.

Раздел 2.2 составлен по результатам работ [1, 7, 9]: получены новые полиномы Кристоффеля-Лежандра-1, ортонормированные на отрезке [-1,1] с весом а{х)~{Ь-х)/Ь, Ъ> 1; они использованы для моделирования колебательной динамики молекулярных систем; проанализировано влияние величин дипольных моментов переходов на эффективность возбуждения систем.

Многоуровневые системы Кристоффеля-Лежандра-1 — это одно параметрическое семейство систем неэквидистангных уровней, возбуждение которых описано аналитически с помощью полиномов Кристоффеля-Л ежандра-1. В пределе, при стремлении параметра Ъ к бесконечности, расположение уровней становится эквидистантным, приходим к лежандровой многоуровневой системе [7]. Аналитические решения уравнений динамики систем Кристоффеля-Лежандра-1 представлены в форме разложения, состоящего из предельных решений для систем (при Ь—> 1 и 6 —> ад) с фазовыми множителями, зависящими от времени. Проиллюстрирована динамика систем, и подтверждено существование верхней границы нг ~ (г/)/'2 заселенных уровней.

Рассмотренным многоуровневым системам присущи ранее упомянутые общие асимптотические свойства характеристик /„ и £„■ На основе этого выполнено сравнение систем Кристоффеля-Лежандра-1 с уже известными якобиевыми системами [9]. Выявленные различия характеристик нижних переходов систем позволяют говорить о моделировании различных селективных свойств (ангармоничности колебаний) молекулярных систем.

Раздел 2.3 отражает исследования, проведенные благодаря построению полиномов Кристоффеля-Лежандра-2 [8], ортогональных относительно четного веса сг(х) = (Ь2 -х2)/Ь2 , Ъ> 1. Применение этих полиномов к многоуровневым задачам позволило рассмотреть динамику нового однопараметрического Ъ -семейства систем эквидистантных уровней Кристоффеля-Лежандра-2. Точные аналитические решения для этих систем можно записать в форме линейной комбинации [6] двух решений для (6 = 1)- и (Ь—> оо)-систем. Как функция fn дипольного момента, так и населенности рп для систем Кристоффеля-Лежандра-2 сравниваются с аналогичными зависимостями, полученными для известных систем Гегенбауэра [13]. Продемонстрировано асимптотическое свойство fn —> г/2 и показано совпадение верхних границ возбужденных уровней у систем с равными г.

Раздел 2.4 содержит результаты применения к многоуровневым задачам построенного семейства полиномов Кристоффеля-Лежандра-4 с двумя параметрами Ь и g. При Ъ> 1 и g>l с помощью этих полиномов описана динамика нового двухиараметрического (Ь, ¿)-семейства систем Кристоффеля-Лежандра-4 [15]. Для совпадающих параметров % = Ъ найдено дополнительное (при 0 < Ъ < 1) одноиараметрическое Ъ -семейство систем Кристоффеля-Лежандра-4.

Все анализируемые в этом разделе системы уровней эквидистантны. Проведено сравнение систем Кристоффеля-Лежандра-4 для области параметров Ъ > 1, g > 1 с известными системами Гегенбауэра. Установлено, что при § = Ъ и 0 < 6 < 1 функция fn исследуемых квантовых систем при больших п осциллирует и не имеет предельного значения. Решение для семейства многоуровневых систем Кристоффеля-Лежандра-4 всегда представлено в виде линейной комбинации [18] трех предельных решений с параметрами: Ъ = 1, £ = 1; 6 = 1, g—>■■°о; оо, »оо.При условии /?о(У = 0) = 1 у всех рассмотренных систем в любой фиксированный момент времени ? возбуждено конечное число пТ ~ (г1)/2 нижних уровней.

В разделе 2.5 сформулирован алгоритм сравнения различных многоуровневых систем, соответствующих ортогональным полиномам. Полагается, что вес этих полиномов — интегрируемая на отрезке [-1,1 ] функция. Связанные с такими полиномами системы уровней обладают рядом общих свойств. Вывод и обоснование этих свойств позволили отделить общие закономерности исследованных систем от специфических особенностей каждой системы.

Приведены из литературы или доказаны следующие общие свойства многоуровневых систем [7], отмеченные ранее в разделах 2.2, 2.3, 2.4. Функция fn дипольного момента в пределе п -> со ограничена по модулю константой г, определяемой независимым способом. Характеристика неэквидистантности sn, частотная отстройка sn конечны и с ростом п стремятся к нулю. Населенности pn(t), найденные для начального условия рп(( о, имеют нулевые значения для уровней с номерами п> пт ~(rt)j 2.

По существу, сравнение различных систем уровней основано на приравнивании значений величин г и выборе частотных отстроек еп с одинаковым знаком. Попарное сопоставление характеристик систем позволяет отметить на графиках "специфичность" каждой конкретной системы. Различие характеристик /„, sn, sn и динамики pn(t) сравниваемых систем наибольшим образом проявляется для нижних уровней и i 6.

Третья глава. Для построения ортогональных полиномов использована формула Кристоффеля-Уварова — обобщение формулы Кри-стоффеля. Получены два семейства ортогональных полиномов с весовыми функциями обратными весам полиномов, определенных в главе 2. С помощью этих полиномов исследованы новые многоуровневые системы, их характеристики и динамика. Выявлена связь между характеристиками систем, соответствующих полиномам с взаимообратными весами.

Раздел 3.1 обосновывает целесообразность использования формулы Кристоффеля-Уварова для построения ортогональных полиномов и решения задач диссертационной работы. Приведены общие свойства характеристик многоуровневых систем, для описания которых могут быть использованы полиномы Уварова-Лежандра- т. Значение величины т равно степени полинома Рт(х) ■> стоящего в знаменателе веса а{х) = \/рт(х) ортогональной системы полиномов Уварова-Лежандра.

Раздел 3.2 содержит результаты построения и применения к многоуровневым задачам двух взаимодополняющих семейств ортогональных полиномов Уварова-Лежандра-1. Весовые функции этих полиномов о(х)-с/(с-х) и а{х) = с/(с + х) можно рассматривать как один вес <т(х), но с противоположными значениями параметра с> 1 и с<-1. Многоуровневые системы, связанные с этими полиномами, неэквидистантны [2]. Установлено, что характеристики неэквидистантности sn и частотные отстройки сп однопараметрического семейства систем уровней Уварова-Лежандра-1 меняют знак при смене знака параметра с на противоположный: sn - -7п и £п --£п. Таким образом, парам нечетных

весов а(х) и а(х)=а(-х) ортогональных полиномов соответствуют многоуровневые системы с противоположными отстройками еп = -е„.

Для (± с)-семейства квантовых систем Уварова-Лежандра-1 получены точные аналитические решения, описывающие их возбуждение в монохроматическом поле. Найденные системы уровней сравниваются с описанными в литературе [4, 7] многоуровневыми системами Якоби. Сопоставлены характеристики /„, е„ и динамика рп{1 - 3) систем с совпадающими верхними границами иг возбужденных уровней. В пределе с —> оо системы уровней с параметрами с и - с совпадают и становятся эквидистантными: еп = -е„ = 0.

Системы Уварова-Лежандра-1 с параметром с~± 1, как якобиевы (а,/?)-системы при (а —\,/3- 0), (а - 0,/?~ -1), имеют большую частотную отстройку на нижнем переходе [10]. В пределе а~>-1 или Р~>-1 и с—»±1 этот переход закрыт. Сравниваемые системы Якоби и Уварова-Лежаидра-1 демонстрируют свойство подобия характеристик [14], анализируемое подробно в разделе 3.4.

Раздел 3.3 посвящен построению и приложениям полиномов Ува-рова-Лежандра-2, ортогональных, относительно четной рациональной функции и(х) = с11{с2 -х2), с> 1. С помощью этих полиномов найдены аналитические решения для нового однопараметрического с-семейства систем эквидистантных уровней Уварова-Лежандра-2. Согласно разработанной методике сравнения многоуровневых систем этим системам сопоставлено близкое по свойствам Л -семейство гегенбауэровых систем [5]. Для значений параметров с—>1 и X—>-1 указанные семейства имеют "общую" двухуровневую систему. Системы Кристоффеля-Лежан-дра-2 и Уварова-Лежандра-2 с параметрами Ь - с = 1 демонстрируют свойство подобия [12] участков зависимостей функций дипольного момента от энергии.

Раздел 3.4 включает в себя результаты анализа и сравнения многоуровневых систем Кристоффеля-Лежандра-1 и Уварова-Лежандра-/«. В случае совпадения их параметров Ь - с и порядков 1 = т веса соответствующих им ортогональных полиномов взаимообратны. Выявлено, что аналитические выражения для функций /„, .чп, е„ характеристик этих систем уровней имеют одинаковую структуру [12, 14], а при Ь- с = 1 они удовлетворяют найденному соотношению подобия [19]. Характеристики систем уровней [12], связанных с ортогональными полиномами Якоби и Гегенбауэра с взаимообратными весовыми функциями а+(х) = 1/сг_(х), также удовлетворяют соотношению подобия. Проведенный анализ этих

систем позволил установить, что отмеченное "сходство" характеристик' может быть представлено как свойство подобия [7] участков зависимостей от п характеристик , s^, £„ и f„ , s'y|, сравниваемых систем.

Гпава 4 включает результаты приложений ортогональных функций к многоуровневым задачам. Системы ортогональных функций являются более общими математическими объектами, чем ортогональные полиномы. С их помощью в диссертации описано поведение многоуровневых систем с качественно новыми особенностями динамики возбуждения. Благодаря применению функций Лежандра и функций, обобщающих полиномы Якоби, найдены аналитические решения для новых систем уровней с разнообразными свойствами и характеристиками.

В разделе 4.1 вводится и обосновывается алгоритм использования ортогональных функций для решения уравнений динамики, моделирующих колебательное возбуждение молекул. Этот алгоритм, обобщенный аналитический метод [16], в частном случае функций — ортогональных полиномов — совпадает с уже известным методом.

Раздел 4.2 описывает применение функций Лежандра с помощью разработанного метода для решения уравнений динамики системы N эквидистантных уровней. Найдены аналитические решения для 3-уровне-вых систем с любыми дипольными моментами переходов и для двух новых семейств 5-уровневых систем. ■

С использованием теоремы Люка для ортогональных полиномов построено расширенное семейство полиномов Гегепбауэра дискретного аргумента. jV-уровневые системы, соответствующие этим полиномам, могут иметь большой дипольный момент на последнем переходе. Трехуровневая система с заселенным нулевым уровнем в начальный момент времени t = О при очень большом значении дипольного момента верхнего перехода перестает возбуждаться. В случае систем N уровней показано, что изначально незаселенные уровни, прилегающие к переходу с относительно большим дипольным моментом ¡лп-\ п » M О Ь в процессе возбуждения системы практически не заселяются.

На примере 5-уровневых систем продемонстрирована возможность инверсной перенумерации уровней в конечноуровневой системе [17]. Таким образом, с помощью одной ортогональной системы полиномов (функций) может быть описано возбуждение двух различных многоуровневых систем.

Рассмотренные iV-уровневые системы, имеющие один переход с большим дипольным моментом, могут быть использованы для анализа

динамики изменения населенностей вблизи наиболее вероятных переходов в конечноуровневых моделях процессов, происходящих в лазерах.

Раздел 4.3 посвящен еще одному примеру использования функций Лежандра. Для ортогональных функций возможно существование нескольких рекуррентных соотношений, позволяющих найти аналитические решения для нескольких многоуровневых систем. Для функций Лежавдра записано два рекуррентных соотношения, обобщение которых привело к определению функций, ортогональных на комплексном контуре. С их помощью получены аналитические решения для незамкнутых многоуровневых систем [3], имеющих источники частиц (молекул).

Для описания возбуждения системы уровней с изменяющимся числом частиц сформулировано уравнение для матрицы плотности. Если суммарное число частиц системы постоянно, это уравнение переходит в уравнение Неймана. Дополнительный матричный оператор j, входящий в уравнение динамики для незамкнутых систем, описывает поступление частиц и выход их из системы.

В исследованном конкретном случае с двумя отличными от нуля матричными элементами j = Q)AA = -(j)M на уровень В частицы поступают, а с А — выходят из системы. Общая совокупность уровней, занумерованных последовательностью А, В, 0,1,2,..., изменяет свои характеристики при изменении параметра системы /а — величины дипольного момента на переходах А 0 и В < > 0. Уровни А и В являются подуровнями двукратно вырожденного энергетического уровня {А, В} и образуют подсистему I. Подсистему II составляют эквидистантные уровни 0,1, 2,..., возбуждаемые резонансно в данной задаче. Переходы А 0 и ВоО между двумя подсистемами нерезонансны. Если параметр fд = 0, указанные переходы заперты, и общая система распадается на две независимые системы / и II.

На основе аналитических решений уравнений для матрицы плотности р проиллюстрировано возбуждение незамкнутых систем в монохроматическом поле. При fа- О или 7/16 число частиц в системе постоянно — система замкнута. Для остальных значений параметра /д суммарная населенность Sp p{t) изменяется, показаны изменения в характере поступления частиц в систему. Если t < 1, Sp p(t) меняется нелинейно. Когда Г>1, скорость d/dt (Sp p(t)) поступления частиц становится постоянной. Многоуровневые системы с изменяющимся числом частиц могут использоваться для моделирования процессов в химических лазерах.

выводы

1. Найдены однопараметрическис и двухпараметрические семейства новых многоуровневых систем Кристоффеля-Лежандра, моделирующие многофотонное возбуждение молекул в ИК лазерном поле в отсутствии релаксационных процессов. С помощью построенных ортогональных полиномов получены точные аналитические решения уравнений когерентной динамики для этих моделей, вероятности и частоты дипольных переходов которых можно выбирать в широком диапазоне значений.

2. Изучены особенности динамики возбуждения многоуровневых систем Уварова-Лежандра, имеющих большую отстройку на первом переходе или малый дипольный момент на втором переходе. Локализация возбуждаемых частиц на нижних уровнях позволяет моделировать эффекты запирания дипольных переходов и формирование ансамблей "горячих" и "холодных" молекул. Получены аналитические решения задачи о возбуждении таких систем.

3. Показано, что существуют пары многоуровневых моделей колебательных состошшй молекул, спектроскопические характеристики которых удовлетворяют установленным соотношениям подобия. Подобие участков зависимостей от номера уровня для дипольных моментов и частотных отстроек радиационных переходов в системах использовано для построения аналитических решений для новых молекулярных систем.

4. Описана динамика резонансного возбуждения тУ-уровневых моделей молекул с быстро растущей или убывающей зависимостью дипольного момента от номера радиационного перехода между соседними уровнями. Построенные аналитические решения позволили установить особенности поглощения энергии лазерного излучения такими системами. Например, для систем с возрастающими дипольными моментами переходов от энергии выявлено, что сильное относительное увеличение дипольного момента верхнего перехода (/¿3 4»/Лн) приводит к близким к нулю населенностям двух верхних уровней энергии.

5. Получены аналитические решения уравнений динамики для матрицы плотности, описывающие многофотонные переходы в многоуровневых моделях с непостоянным числом возбуждаемых молекул. Для построения решений разработан метод, использующий ортогональные функции.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Sawa V.A., Zelenkov V.I., Mazurenko A.S. Coherent dynamics of quantum multilevel systems: exact analytical solutions // Proceeding Contributed Papers: Solid state physics. — Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, 1993. - P. 201.

2. Зеленков В.И., Мазуренко A.C., Савва B.A. Точные решения для многоуровневых молекулярных систем с неэквидистантным энергетическим спектром, возбуждаемых ИК лазерным излучением // Современные проблемы лазерной физики и спектроскопии: Тезисы докл. конф. — Гродно, 1993. — С. 27-29.

3. Мазуренко А.С. Многоуровневые молекулярные системы: применение обобщения полиномов Якоби // II международная конференция по лазерной физике и спектроскопии: Тезисы докл. конф. — Гродно, 1995. - С. 144-145.

4. Sawa V., Zelenkov V., Mazurenko A. Exact analytic solutions for coherent dynamics of the multilevel Jacobi systems with multiphoton laser excitation // Technical digest of 15-th International conference on coherent and ■nonlinear optics. - St. Petersburg, 1995. — V. II. - P. 355-356.

5. Sawa V.A., Zelenkov V.I., Mazurenko A.S. Analytic solutions for dynamics of multilevel molecular systems with many vibrational resonances excited by IR laser radiation // Book of Abstract 22nd European Congress on Molecular Spectroscopy. — Essen, 1994. — P. 169.

6. Мазуренко A.C., Савва B.A. Точное аналитическое решение задачи о радиационном возбуждении нового однопараметрического семейства систем эквидистантных уровней // Докл. АН Беларуси. — 1993. — Т. 37, № 1. - С. 36-40.

7. Савва В.А., Зеленков В.И., Мазуренко А.С. Аналитические методы в динамике многофотонного возбуждения молекул инфракрасным лазерным излучением // ЖПС. — 1993. — Т. 58, № 3-4. — С. 256-270.

8. Савва В.А., Зеленков В.И., Мазуренко А.С. Динамика многоуровневых систем и ортогональные полиномы // Оптика и спектроскопия. - 1993. - Т. 74, № 5. - С. 949-956.

9- Sawa V., Zelenkov V., Mazurenko A. Analytic solutions for dynamics of multilevel molecular systems with many vibrational resonances excited by IR laser radiation // J. of Molecular Structure. — 1995. — V. 358. — P. 151-154.

10. Савва B.A., Зеленков В.И., Мазуренко А.С. Динамика молекулярных систем с неэквидистантными энергетическими уровнями в поле

лазерного ИК излучения // ЖПС. - 1996. - Т. 63, № 3. - С. 424-431.

11. Sawa V., Zelenkov V., Mazurenko A. Exact analytic solution for coherent dynamics of the multilevel Jacobi systems with multiphoton laser excitation // Proc. SPIE. - 1996. - V. 2802. - P. 74-82.

12. Аналитический метод в динамике квантовых многоуровневых систем — моделей многофотонного возбуждения молекул инфракрасным лазерным излучением / В.А. Савва, В.И. Зеленков, А.С. Мазуренко, З.Е. Доля // Современная оптика и лазерная физика. — Минск: ИФ АН Беларуси, 1993. - С. 22-45.

13. Sawa V.A., Mazurenko A.S., Dolya Z.E. Analytical description of dynamics of complex quantum systems // Proceedings of Second Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems" in Polatsk. — Saint-Petersburg: Institute of Nuclear Physics, 1993. — P. 209-215.

14. Mazurenko A.S., Sawa V.A. Connection of multilevel quantum system characteristics with an orthogonal polynomial weight // Proceedings of Second Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems" in Polatsk. - St. Petersburg: Institute of Nuclear Physics, 1993,- P. 216-225.

15. Sawa V.A., Mazurenko A.S. Excitation dynamics of multilevel quantum systems connected with polynomials which have weight roots within orthogonality interval // Proceedings of Third Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems" in Polatsk. — Minsk: Institute of Physics, 1995. - P. 334-338.

16. Mazurenko A.S., Sawa V.A. A4evel quantum systems and Legendre functions // Proceedings of Third Annual Seminar ''Nonlinear phenomena in complex systems" in Polatsk. — Minsk: Institute of Physics, 1995. — P. 328-333.

17. Mazurenko A.S., Sawa V.A. jV-level quantum systems and Gegenbauer polynomials // Proceedings of Fourth Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems" in Minsk and Polatsk. — Minsk: Institute of Physics, 1996. — P. 298-305.

18. Мазуренко А.С., Савва В.А. Динамика многоуровневых квантовых систем и ортогональные полиномы Кристоффеля-Лежандра. — Препринт / ИФ АН Беларуси. — Минск, 1994. — 24 с.

19. Мазуренко А.С., Савва В.А. Разработка аналитических методов исследования динамики многоуровневых квантовых систем: Отчет о НИР (заключ.) / Фонд фундаментальных исследований Республики Беларусь; Руководитель работы В.А. Савва; Проект № 93-8 гр. — Минск, 1994. - 32 с.

РЭЗЮМЕ

Мазурэнка Аляксандр Сяргеев1ч Аналпычныя рашэнш для шматузроуневых мадэляу шматфатоннага вагальнага Узбуджэння малекул

Ключавыя слоем, узбуджэнне малеку;шрнай сктэмы У .лазерным шин, шматфатонная дынамнса малекул, артаганальныя функцьп у задачах нелшейнай оптьпа, дакладныя аналпычныя рашэнш.

Знойдзены дакладныя аналпычныя рашэнш, як1я ашеваюць узбуджэнне монахроматычным полем шэрагу сямействау шматузроуневых мадэльных сктэм. Для гэтага пабудаваны артаганальныя палшомы, яия выкарыстаны для рашэння урауненняу дынамш розных сктэм узроуняу. Дьшольньш моманты 1 частотныя адстройи пераходау у гэтых сктэмах могуць прымаць значэнш у шыроктм дыяназоне. Распрацован аналпычны метад для атрымання рашэнняу з выкары-станнем артаганальных функцый. Прымяненне вядомых 1 пабудаваных артаганальных функцый зрабша магчымым ашеанне шматузроуневых сктэм з новым) якасньап асабл1васцямй дынамш. Даследавана узбуджэнне сктэм, яюя маюць пераход з вялшм дыпольньш момантам, { сктэм з змяненнем сумарнай колькасщ часщц.

РЕЗЮМЕ

Мазуренко Александр Сергеевич Аналитические решения для многоуровневых моделей многофотонного колебательного возбуждения молекул

Ключевые слова-, возбуждение молекулярной системы в лазерном поле, многофотонная динамика молекул, ортогональные функции в задачах нелинейной оптики, точные аналитические решения.

Найдены точные аналитические решения, описывающие возбуждение монохроматическим полем ряда семейств многоуровневых модельных систем. Для этого построены ортогональные полиномы, которые применены для решения уравнений динамики различных систем уровней. Дипольные моменты и частотные отстройки переходов в этих системах могут принимать значения в широком диапазоне. Разработан

аналитический метод для получения решений с использованием ортогональных функций. Применение известных и построенных ортогональных функций сделало возможным аналитическое описание многоуровневых систем с новыми качественными особенностями динамики. Исследовано возбуждение систем, имеющих переход с большим дипольным моментом, и систем с изменением суммарного числа частиц.

ABSTRACT

Mazurenko Alexander Sergeevich Analytic solutions for multilevel models of multiphoton vibrational excitation of molecules

Key words:, excitation of molecular system in laseT field, multiphoton dynamics of molecules, orthogonal functions in problems of nonlinear optics, exact analytic solutions.

Exact analytic solutions describing excitation of families of multilevel model systems by monochromatic Held have been obtained. Orthogonal polynomials have been constructed for solving of dynamics equations of the multilevel systems. The dipole moments and frequency detunings in the systems can have values in wide range. Analytic method has been worked out for the use of orthogonal functions to obtain the solutions. Application of known and constructed orthogonal functions makes possible the analytic description of multilevel systems with new qualitative peculiarities of dynamics. Excitation of systems which have transition with great dipole moment and systems with variation of the total number of particles has been investigated.

МАЗУРЕНКО АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФОТОННОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ МОЛЕКУЛ

Подписано к печати 30.10.1996 г. Формат 60x90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Объём 1.25 и. л. Тираж 100 экз. Заказ l2i .

Институт физики им. Б.И. Степанова АНБ,

220072, г. Минск, пр. Ф. Скорины, 70.

Отпечатано на ротапринте Института физики АН Беларуси.

Лицензия ЛВ № 685 от 23.12.1993 г.