Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.5

Саидакова Светлана Леонидовна

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук

Са^Г

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена на кафедре математического аналим и теории функций

Уральского государственного универс итета им А М Горького

I Гаучный руководитель.

доктор физико математических наук БАДКОВ Владимир Михайлович

Официальные- оппонрн I ы

доктор физико-математических наук профессор ОУЕТИН Павел Кондратьевич

кандидат физико-математических наук АКОПЯН Роман Размикович

Ведущая организация

Саратовский государственный университет

Защита состоит ся « |5" » иЦ-СА-и? _ 2005 г в 30 часов на заседании диссертационного совета К 212 286 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им А М Горького по адресу 620083, г Екатеринбург, пр Ленина, 51, коми 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиокже Ураль ского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан * II» __ 2005 1

Ученый секретарь

днесертаиионно! о ( ове га

доктор физико-ма1сматнчсских наук,

профессор , В Г I Гименов

joo£±

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность трмы. В дальнейшем используют« я обочпаче-пия С, R Z, Z f тт N для множеств всех комплексных /гейсгншсль-пых, не лих неотрипатечьных целых и натура шпых чисел соответ ствешю

При 1 < г ^ оо через Lr\a,h] обозначим пространство измеримых но Лебегу на отрезке [а, Ь) комплекснозначных функций F с коночной нормой Ьт[а,Ь\- гДр

ИЛИ».*! = ( С\F(t)]:<A ' (1 < Г < no), ||F||^(„,61 = ess sup |F(i)|-

\Ja J a£t<b

Полагаем |,F||r - (¿)1/r||F||bri0i27r], Lr = Lri0,2ir] для 2тг-псриодиче-ских функции F Через С^ обозначается пространство непрерывных 27г-периодических комплекснозначных функций F(t) с равномерной нормой ||F|| = max |F(r)|.

Модулем непрерывности на отрезке [а,Ь] функции F(t) называется csssup{|F(t2J - F(t\)|; tut2 £ [а, 6], 112 -ti| «Г 5} (5 > 0) Модуль непрерывности 27г-периодической функции F в пространстве Л' но определению есть oj(F' 6), — чпр ||F(A + ) — F( )|jr

|ЛК5

Неубывающая непрерывная полуаддитивная на [0, оо) функция соу для которой и/(0) — 0. называется модулем непрерывности. Если, вдобавок, ш удовлетворяет условию

w((ii + i2)/2) > (w(ii) + w(t2))/2 при всех ibi2>0,

j о она называется вогнутым модулем непрерывности

Неотрицательная суммируемая и неэквивалентная нулю на [а, Ь] функпия p(t) называется весом на [а, Ь\ Пусть {Ф?г(т)}^о — орто-нормированная на t0. 27rj с весом уз <S L1 система тригонометрических полиномов полученная из последовательности

1. cos т, &in т, cos 2т, sin 2т,...

методкж opiогона тизации Грама Шмидта. Егли F'-p ¿5 Ll, го имеют смысл суммы Фурье

7Г

bvAF-0) ■= ¿ / Р(т)В^(в,тЫт)с1т (п G Z-,., 0 £ R), (1)

«»«лиотска' s

¿"TSfrMj

где

П

Фк(в>Ыг). (2)

/с—о

При <р{т) = 1 сумма btPi2n{F]Q) совпадает с обычной суммой Фурье s„(F 0) фупкпш-r F Скорость приближения функции F С f 2, суммой (lj оценивается но неравенству Лебега

\F(e)-s^2v(F,e)\ £ (1 + LVin(e)) En(F) (nPZ+,9eR) (3) где

V„(0)- ьпр IS^^Ö)! = sup ;6^2a(F:e)| (4)

есть функция Лебега сумм sv¡2n{F\d), a EU(F) — наилучшее равномерное приближение функции F G Сг* тригонометрическими полиномами порядка не выше п.

При tp(r) = 1 величина Lv¡n(ff) совпадает с и-шесшохх константой Лебега. Ее асимптотические свойства подробно изучены в работах А Лебега, Л Фейера, Г. Гронуолла. Г. Сегё и других авторов.

В связи с неравенством (3) возникают важные для хеории приближения функций задачи о его точности и об оценках входящих в его правую часть величин. Решению этих задач, а также аналогичных задач в случае многочленов, ортогональных с весом на отрезке, посвящено мною работ Приведем некоторые результаты полученные в этом направлении.

Если F 6 C'zjг- хо в силу (3) в каждой точке 0, в которой

lim Lv,n(e)En(F) = 0, (5)

п—>оо

ряд Фурье функции F сходится к F(0). причем сходимость отого ря да равномерна на любом множестве Е г Ж ючек 9, на ко юром соотношение (5) вьшолняехся равномерно Поэтому представшие! ип терес задача о двусторонних поточечных опенках функции Лебега (4) в зависимости от п С N и й f 1Í, т е задача нахождения бочее или менее просхою выражения, охношепие к которому функции (4) при всех п £ N и В р й -заключено между двумя положитг тьными копстанх'ами, зависящими лить от веса (р

Анало) ичпую задачу о двусторонних поIочечных оценках функ-шш Лебыа сумм Фурье- Якобп при а,р ^ — 1/2 решили С А Лгаха-1юв и Г И Натансон 1 В М Ба/тков 2 распространил этот результат на все значения > — 1 (опенку снизу этой функции получил также А М Беленький'3) и установил аналогичные результаты для обобщенных мно1 очленов Якоби. 1 е. многочленов, ортонормирован ных на отрезке — 1,31 с весом

т

р(1)-И{1){ 1-оаа'г)/3П|'-т"Г" («,/5,7, >-1;^ б[ 1,1]) (0)

и=1

в предположении, ч:о ьходяший в правую часть (6) отграниченный от нуля и бесконечное! и множитель П{£) удовлетворяет условию Ди-ни а1 С У/[0,1] Кроме того, В. М. Бадков4 получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (4) в случае 2-к периодическою обобщенного веса Якоби, т.е веса

гп

<р(т) - и(т) П ; Ц(г - 0„)/2]Г- (г е К), (7)

удовлеаьоряющего условиям

71^-1, -7Г < 0] < . .. ^ 0т < 7Г, (8)

/¿(г) > 0; /г. и 1//г е Ь°°, (9)

предположив, что выполняется условие Дини

^г^т-'е!1] о,тг]. (10)

'Агаханов С А , (Татянсон Г И Функции /Гебега гумм Фурьс-Якоби // Веечн ЛГУ Сор матем , мех и acipon - 1968 № 1, вьш 1 - С 11-23

"'Бадков В М Двуг1 ороннис оценки функции Лебпа и остатка ря/ra Фурье по орююнальным VHoro'Uieijavi // Аппроксимация в конкретных и абпракiных банаховых иросгранстгах Свердловск УНЦ АН СССР, 1987 - С 31-45

"'Беленький Л М О разложении функций в ря,л Фурье — Якоби // В кн Конструктивная теория функций и ie-ория отображений Киев, L981, С 3^-48

4Badkov VM E*>timatioii4 for the I ebebguc function and tile leinamdei of the I ouner senes with icspc ct to oithogonal polynomials // Funotirjris, 'ei je opeiatois Am .tcrdarn etc Noi tb Holland, l')S3 P ICS 181

При этом он пользовался поученными им же равномерными асимптотическими представлениями алгебраических многочленов ортогональных на окружности \z\ — 1 с весом р, для которого выполняются условия (7) —(10) Зтем В.М Бадковг> для широкого класса весов <р с особенностями, порядки которых задаются конечными прои'зведотшями дейслвшельпых < тепеней вогнутых модулей непрерывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соответствующих многочленов орто! опальных на окружности, и их производных Пользуясь 31 ими результатами С.Е Памятных получит двустороннюю поточечную оценку

Lv,n{e) - 1 + lr, 1 + ,1 ьш(0/2)|] (neN. 6>eRj (11)

(знак " ^ " означает, чю отношение левой и правой час!ей формулы (11) ограничено сверху и снизу положительными константами, не зависящими от п. <Е N и в € К ) в предположении, что <р(т) .— [д(| ып(<?/2)|)]-1, где д(т) - вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям

[-^-.oí-sLJ) (в-* 4-0), [*=о(4Л (0-.+0)

Свой результат С Е Памятных получил для частного случая веса В.М Бадкова В связи с эшм стала актуальной задача обобщения результата С.Е. Памятных на случай общего веса В.М. Бадкова. Решению зтой задачи посвящена первая глава диссертации.

Вторая глава диссертаиии посвящена изучению точности неравенства Лебега (3). Точность классического неравенства Лебега на разных классах функний и5учали многие авторы

Аппроксимативные свойства сумм Фурье s,pon(F) на классе функций М С Сгтг в точке в принято характеризовать величиной

£v,n(M) =biipfiF((9)-v2„(F;0)| FeM}. (12)

Через Ны обозначим класс функций F С С'гтг, у которых модуль непрерывности в G<¿11 не превосходит заданного модуля непрерывности и>. Полагаем так лее

Нш[а,Ь] = {/' • F С Ь°°[н.Ь) lü(F 5)rxiAa ь] < w(<5) для всех 5 ^ 0}.

5Вадков В М Асимптотически» и экпрем ишны'1 свойства ортогональных по-линочое при наличии особенностей у веса. //Тр МИРЛН - 1092 Т]')8 <! 41-HS

Рас с матрппаем классы и" Нш - {F F t C^j, g яш} и И"//>,&] = {F FeC^-F^C^M) (r£Z+)

Сшласпо известной теореме Джексона, если периодическая функция F нмеег непрерывную производную порядка г ^ 0 о модулем непрерывности w(F(r); й)^ го при любом натуральном v существу-ст тригонометрический полином Т* порядка не выше п такой, что

En(F) ^ HF-T^IU < Brn" wiF^Krr1)^ (13)

хде В, ^ 0 зависит лишь от г. Если F е W1 ПШ) то в силу (4) и (13) в каждой точке в, в которой

lim LtPir,{e)n~rw(n~l) — 0, (14)

ть—юо

сумма сходится к F(6) равномерно па любом множестве

Я С К, на котором соотношение (14) выполняется равномерно Скорость этой сходимости по порядку не превосходит * )Ьч>^п(в). В случае, кшда, </э = 1, М. — WrHu, величина (12) совпадает с

€n(W'IIu) : - sup{|F(<?) - sn(F,0) F e W4IJ,. (15)

Beличина (15) достаточно подробно изучена Оценки ее порядка в случае u>(t) — t" (0 < а ^ 1), г 6 Z+ получили еще А, Лебег и С Н Бернштснн, Первую асимптотически точную оценку величины (15) получил А.Н. Колмогоров для случая u>(t) = t, г € Z+. Исследования в этом направлении продолжили С.М Никольский, В.Т. Пииксвич, A.B. Ефимов, С.А. Теляковский, С Б. Стечкин, А И Стенанец и другие авторы. В М. Бадков6 величину (12) изучал в случае класса М — W7 и 27г-периодического обобщенного веса Якоби, удовлед воряющего условиям (7) — (10) В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена.

Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задачами теории приближения функций.

®Вадков В М Приближение функций в paBHCvipppoH метрике гуммами Фурье по орюгональным полиномам // Тр МИАН - 1980 Т 145 С 20-62

Цель работы. Основной ночью и ж тоягней рябсны ив ш< кя не следование аппроы иматпвных свой' 1В гумм Фурье по ан нме гри гопоыетрических полиномов, орто1 онапыюй г неклассичес кпм во сом, порядки особ' иное гей которого заляюкя конечными проп шеде ниями доймите 1Ы1ЫХ степеней вогттутыл модулей непрерывное ¡и В рамках лоп обшей проблемы выдсляюкя следующие ¡адачп

Получение двусторошгаих поточечных оценок фупкшш Лебега сумм Фурье по росомахрпваемой системе,

Доказательство точности неравенства 1ебет а па кга' <с И/7//_ в случае приближения функций их суммами Фурье по рае г мя грива емои системе

Построение примера функттии класса И/_ГЯШ для которой неравенство Лебе[а является точным на бесконечной подлое ледовлгель-нос т и номеров р, нуле рассматриваемою веса.

Построеттие аналогичною примера функнии ктасеа И/? //„,' 1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

Основной метод исследования В диссергаиии используют ся методы л сор ип приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного

Научная новизна В< е основные резулыагы, подученные в ра-

боте, являются новыми и состоят в следующем.

1) Получена двусторонняя поIочечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ор!тональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных. < н-пе-пеп вогну 1ых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено сушосг вование неограниченных систем орююпалытых тригономеч ричеемгх полиломов, (функции Лебега сумм Фурье которых во всех т очках по по рядку совпадают с обычной константой Лебсча

2) Докатана точность неравенства Лебега на классе ТУ Н^ в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе.

3) Построен пример функции класса для которой пера вепс с во Лебега является точным па бесконечной подноследоватеть-носш номеров в пуле рассматриваемою веса

4) Построен <шя югичпый пример функции класса W 11^1 1 I] в с луч ае обобщенного вега Якоби

Теоретическая и практическая ценность Pejyibiaiu дис сер гашгп нося i iеорсгический характер Они могу] найти примене ние при научении рядов Фурье по ортогопалтлгым полиномам и иу различных пртглолсетптй в теории аппроксимации

Апробация результатов работы Результаты дпссергашш до кладыватсь па семинаре кафедры математическою анэлтна iï теории функппй УрГУ р) ководимом профессором В 13 Apec говым па семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН руководимом члепом-коррес лоидепгом РАН. профессором ЮН Суббо тины.м и профессором H II Черных (г Екатеринбург па Между народной школе С Б С'тсчкпна по теории функций (гМпасс, 2003 и 2004 ir ) л также па 32 й. 33-й 34-й 35-й и 30-й Региональных молодежных" конференциях "Проблемы теоретической и прггктадпой материи ики' (г Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 и )

Публикации. Основные результаты опубликованы в восьми работах [1] [8] список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация сосгош из спис-

ка обозначений, введения, двух глав и списка штературы Главы разбшы на параграфы Обтттий объем работы — 75 страниц Библиография содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введс ние содержит кран-сук; историю вопроса, формулировки п описание основных утверждений диссертации.

И первой главе поту чена двусторонняя пот очечная оценка ф\гпк шш il(6eiа сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов ортогональной с вссом весьма общего вида порядки особенное ген bo 1 opoi о ¡адаю i с я конечными произведениями дг ист вш сльпых с н> пеней BornvTT.ix модулей непрерывности При эюм обнаружено су-щес г вот,апис rrecjr раничг иных систем ортогопа гьггьгх тригонометрически ч полиномов, ф>пкшш Лебега сумм ф>рьс ко юры/ во ьсех точках по порядку совпадаю! с обычной коне ran юн Леи'г а

ТЗо второй главе доказана точность неравенства Лебега па кляс се Ш' Нм в случае приближения функций их суммами Фурье по рассмахрпваемой системе Построен пример фупкнлп класса Ш7 Пш, для которой неравенство Лебе1а является точным па бесконечной подпоследовательности номеров в пуле рассматриваемою веса По-схроеп апалохичный пример функции класса IV' I ^ в случае

обобщенного веса Якоби

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы.

В § 1 1 приведена краткая история вопрос а и сформулирован основной результат главы 1 В § 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), ис ночь дуемые при доказательстве основного резульхата главы 1 Новыми являются следующие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утверждений, принятую в диссертации) Лемма 1.2.1. Пусть вес <р € I*1, а

- ядро Сегё системы {</5„(г)}^10 алгебраических многочленов, ор-тонормированной на, окруэтшсти \г\ = 1 с весом (р. Тогда выполняется неравенство

Лемма 1.2.2. Пусть вес ц>(т) принадлежит/! 1? вместе с 1 тр(т). Тогда для всех «еК и в (= М справедливо неравенство

71

С) •=£>*(*)¥>*(О (пеЖ+, г,(€С)

К, п(в) $ ^ У \К2п(<р. е1", (1 - (2 пГ')('Т)\ф)с1т (п е м, в е К)

— 7Г

7Г

± I \К2П(<р,е10,(1- (2п)-')е1Т)

дт

— п

где

функция Сеге веса '-р(т).

Основным рс тульл ги ом главы I яьляекя обобщаюшая резуль та гы рабог В.М Бадкова и С Е Памятных следующая теорема Теорема 1.1.1. Пусть '¿ж периодически а вес <р(т) имеет вид

т ( <р(т) — 1г(т) ( f sin -

и -I ^

0v 1 ' ' -7Г - ^ . - Йгп < тг)

где

М«) - П^-НГ^' е ^[0.1], й- 1

m, /„ (z Н, a(fi,i>) е М. ( М = 1 , /у = 1,.. , пг)

вогнутые модули непрерывности;

/

w„(T)dT == Oid-WviO)) (в -> -1-0, f = . ,m);

функция Н{т) г/довлетворяст условиям (0) —(10) л?;бо условиям /г(т) ¿г 0, ш(Ь,6)2-= ) (5-^+0) (16)

Тогда найдутся такие положительные константы С\ — С\(р) и С2 = С2(<р), что для веет п £ Рт и в р К выполняются неравенства

С1 - -----------------„__ ' (17)

1п(1 ^пП чт д„(0) £ М' •>!» И

к=1 /с=1

где

Доказательство ieope.\iu 1.1 1 проводится в ij 1 3 (в случае веха с одной особой тчкой) и в <j 1 4 (в случае веса с несколькими особыми точками uyie.m сведения к случаю одной особой точки)

И § 1 5 из теоремы 111 выводя к я в виде след< ¡unit следующие утверждения.

Следствие 1.5.1. Пусть вес tp есть 2тт периодичес гмй обобщен ный вес Якоби, удовлетворяющий условию ПО) либо условиям (16)

Положим 0О вгп - 2тг (9т_, =- 6»! » 2тг, ^ =- 2 \0и + 6^,-) (// = 0 1, . , /п) ?/ рассмотрим интервалы Д^ = (^ —

= 1, т) Тогда при 0 (= А;, п (- N справедливы опенки

Ь^п(9)^\+\п{1 + п\в-в,\) (_1«-7г^0) (18)

/,,л„(0) 1п(п + 1) (7г — 0)> (Ю)

Ь^п(в) ~\п(п+ 1) + (¡0-0(1 +п ("/г > 0). (20)

Замспш что в случае 2тг-иернодического обобщенного веса Яко-би, удовлетворяющего условиям (8)—(10) оценки (18)-(20) впервые получил В М Бадков Приведем еще одно интересное следствие и ? теоремы 1 1.1.

Следствие 1.5.2. Пусть вес имеет вы)

■Ф) :- h(r) In

| sm(r/2)|

(re:

(21)

где а ^ е2,, с Ж, Ыт) удовлетворяет тем оке условиям, что и в теореме 1 1.1. Тогда при в р К и п € N справедливы оценки

Ь,,п{в) ■< In

1 + ??l.sin -

01

In-

sinfl + i

(S<-2),

Lv,„(в) x In

1 01 1 L П|МП -

I 21

4- 1)1

Ismfl + i

In In

(5- 2),

LVtU(0) >-ln(n+l) (i>-2).

Следе 1вие 1 5.2 обнаруживает интересное явление: 7

функция Лебега Ь9}П(0) в случае веса (21) при 3 е (—2,0) эк вывален,тип константе Лебега, определяемой как )|| ко-

торая по порядку совпадает с к/шссичгской константой Лебега (т е константой Лебега для веса <р(т) — 1) При этом суете на {Фп(0)}^°_о для 5 <" 0 не является равномерно ограниченной

В '¡2 1 приведена краткая ипория вопроса и сформулирован основной результат 1лавы 2 В §3 2 2-2 4 сформулированы вшомоха тельные предложения (как известные, так и новые) используемые при докалат cльcJ ве основного результата павы 2 Новыми являются следую1гтие две леммы.

Лемма 2.4.1. Ядро как функция от т имеет в интер-

вале (в 0 + 2тг) точно 2п различных (и, следовательно, простых) нулей

Лемма 2.4.2. Пусть пула ядра О^^а(6,т) (как функции от т) занумерованы в последовательность

< 2^2 ^ 2-1 < 20 -с < 23 < , (22)

причем г-\ <-" 0 < 20 и г у — 2„(6>) (22). Тогда

2— п — 2П 27г.

Если при этом вес -р удовлетворяет условиям теоремы 1.1 1, то найдутся положительные числа С'ц и С12, зависящие лишь от <~р, такие, что расстояние между любыми двумя соседними элемента ми пое ледовательности (22) заключено между С'ц г?-1 и п~ 1

Одним и? основных результатов главы 2 являемся следующая теорема, обобщающая соответствующие результаты В М Бадкова п С.Е. Памятных.

Теорема 2.1.1. Пусть вес <р удовлетворяет условиям теоремы 11.1 Тогда найдутся поломсигпельиые постоянные С\ (ср,:) и С?(<р, г) такие, что для всех п е N и в е К выполняются неравенства

<--/■ , Г -//гй I -п -г---^ С2{р.г). (23)

Замешм. что в главе 1 были доказаны неравенства (17) в силу которых функцию Лебсча Ь,р<п(9) в (23) можно ¡аиешпь знамена 1елем дроби из формулы (17) Разумеется, что при ион коне мнгы С\(>р> г) и С'2 (,о, г) в новом неравенстве примут новые значения.

Другим основным результатом г гавы 2 является пример индивидуальной функции класса дтя которой неравенство Лебега (4) оказываемся точным по порядку в нулях веса -р па подлоетедова-телытое пт номеров п (д 1я каждо! о нуля своей) Кроме юг о построен

атталеилчпый пример индивидуальной функции кпагга IV1 Нш\— 1 1] в случае обобщенного веса Якоби А именно, доказаны следующие две теоремы.

Теорема 2.6.1, Пусть вес р удов летворяет условиям теоремы, 1 1 1 Пустъ, кроме того, при не%отором I € {1,2, . ,т\

Ь^^) - 0{\.Р2г,{е1°1)\) (»€2,) (24)

Тогда для заданных г 6 Z+ и модуля непрерывности с^(<5), удовлетворяющего условию

& 1 у ш(и) (1и ^ ^ [ и/(и) с!и

и

о »

+ 5 I = 0(ш{5)), {21

о

найдутся числа 51,.... ьт (= N и С% > 0 такие, что функция

ад : СЫТ) -

и—0д = 1 ' ' '

где Др(71(0,т) определено в (2),

,1 1

принадлежит классу ШгНш, причем,

Еп{Р) х гГ^и"1) (п 6 М) и при достаточно больших N • — 2тп+!

Заметим, что т основного результата главы 1 (см теорему 1.1.1) следует, что в формулировке теоремы 2 6 I условие (24) равносильно условию Т-1|«^(т)] 2 £ /^[0, 1] Теорема 2.7.1. Пусть вес р имеет вид

м

р(г) =" Н(х)(1 - Х)"(1 + 7)* П - Г, I4' (.Г - [-1 1]),

/ =1

где M £ Г1, n,fj,ôk ^ -1, -\< <■ i m < 1,

II(t) £ C[ -1,1]; II(т) ^ 0 на всем [-1,1], ,-,](#, 5)6 1 с L][0,1] Положим xq — —1, xm+i — 1 Пусть, кроме того, при некотором I £ {0,1,...,M -I 1}

L^(xt) = + |Pn+i(x/)|) (n £ Z+) (26)

Тогда для заданных г £ и модуля непрерывности w(<5), удовле-глворяюи/,его условию (2*5) существует функция [, принадлежащая классу Wr Пш\—\, Г, такая, чти на подпоследовательности номеров ri]\i =2(m+'2*>n'1 выполняется соотношение

№) - SM(f;Xl)| х (1 + ЬЫ(Х1))ЕпМ),

при этом

En(f) " n~rui{n~l) (п £ N).

Заметим, что в формулировке этой теоремы условие (26) равносильно условию 5/ > 0 при I £ {1.2,..., M}, а > —1/2 при i — 0 или Р > -1/2 при M + 1.

Кроме того, заметим, что в случае рядов Фурье-Якоби примеры индивидуальных функций, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке х = 1 при а > - 1/2, были приведены в работах В.M Бздкова И И Шарапудинова и Л M Беленького. Однако в работах В M Балкова и A.M Беленького ^(i) = t'J (0 ^ р, 1), а в работе И.И Шарапудинова функция / является аналитической.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю В M Бадкову за постановку задач и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Сандакова С.Л. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции - Ека i еринбурт, 2001. - С. 46 49.

[2] Сандакова С.Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по ортогональным полиномам // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней тттколы Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. - С. 185.

» 1 0 9 6 3

[3] Оандакова С JI Оценка функции Лебега сумм. Фурье по си стеме тригонометрических полиномов, ортогональной с весом // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 33-й Региональной молодежной конференции.- Екатеринбург, 2002. - С. 7678.

[4] Сандакова С Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим полиномам, ортогональным с весом, имеющим особенности // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 34-й Региональной молодежной конференции - Екатеринбург

2003. - С. 74 76.

[5] Сандакова СЛ. Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим, ортогональным полиномам // Современные проблемы краевых задач- Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XV". Воронеж- ВГУ,

2004. С. 199-200.

[6] Сандакова С Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса тригонометрических ортогональных полиномов // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции,- Екатеринбург, 2004. - С. 95-99

[7] Sandakova S.L 7'wo bided Pomtwise Estimate for Lebesgue Function of Fourier Sums with Respect to Trigonometrie Orthogonal Polynonuals

II Pioceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl.l, 2004. P. S207-S223.

[8] Сандакова С Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса обобщенных многочленов Якоби // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды Зб-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 96-100

Подписано в печать Оь,

Формат 00 х 84 1/16 Бумага типографская. Усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ . Печать офсетная.

Екатеринбург, К-83, пр Ленина, 51. Типолаборатория УрГУ

Обозначения.

Введение.

Глава 1. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам.

§1.1. Краткая история вопроса. Основной результат.

§1.2. Вспомогательные предложения

§1.3. Доказательство теоремы 1.1.1 при m =

§1.4. Доказательство теоремы 1.1.1 при m >

§1.5. Некоторые следствия из теоремы 1.1.

Глава 2. О точности неравенства Лебега

§2.1. Краткая история вопроса. Основные результаты.

§2.2. Связь ядер Д^п(0,т) с многочленами, ортогональными на окружности

§2.3. Оценки величины Ап(0, г)

§2.4. О нулях ядра Д^п^т).

§2.5. Доказательство теоремы 2.2.

§2.6. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов.

§2.7. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае обобщенных многочленов Якоби.G

В дальнейшем используются обозначения С, К, Z, Z+ и N для множеств всех комплексных, действительных, целых, неотрицательных целых и натуральных чисел соответственно.

При 1 < г < оо через Lr[a, 6] обозначим пространство измеримых по Лебегу на отрезке [а, Ь] комплекспозначиых функций F с конечной нормой IHU'M, где

II^IU'M := ( / (1 < г < оо), ||F||LooM : = ess sup \F{t)\.

Ja / a<t<b

Для 27г-периодичсских функции F полагаем ||F||r:= (27г)—1/г||^||х,г[02л-], ^ Lr := Lr[0,2ir]. Пространство непрерывных 27Г-иериодических комплекспозначиых функций F(t) с равномерной нормой ||F|| = max|F(r)| обозиачаетt€R ся через C2ir.

Величина w(F\ £)«),[«,Ч := esssup{|F(£2)-F(*i)| : tut2 G [a,b\,\t2-ti\ < J}

5 > 0) называется модулем непрерывности па отрезке [a,b] функции F(t).

Модуль непрерывности 27Г-периодической функции F в пространстве Lr но определению есть u(F\ £)r : = sup ||F(A + •) — F(-)||r.

А|<<5

Неубывающая непрерывная полуаддитивная на [0, оо) функция о;, для которой cj(0) = 0, называется модулем непрерывности. Если, вдобавок, из удовлетворяет условию t2)/2) > (cj(ii) + u(t2))/2 при всех tut2> 0, то она называется вогнутым модулем непрерывности.

Неотрицательная, суммируемая и неэквивалентная нулю на [а, Ъ] функция м p(t) называется весолг на [а, Ь]. Пусть {Фп(т)}^0 — ортонормированная на

0,27г] с весом (р G L1 система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности

1, cos т, sin г, cos 2т, sin 2т,. методом ортогонализации Грама - Шмидта. Если Fcp Е L1, то имеют смысл суммы Фурье

7Г

V„(F; F(t)Dw(6, т)<р{т) dr (n E Z+, 9 E R), (1) 7Г где

71

D^r):=J2M0)Mr). (2) fc=0

При y?(r) = 1 сумма s^2n{F\9) совпадает с обычной суммой Фурье sn(F;9) функции F. Скорость приближения функции F Е С2л- суммой (1) оценивается ио неравенству Лебега

IF{9) - Spi2n(F; в)| < (1 + LVtn{6)) En(F) (п G 9 E R), (3) где

L^n{9)= sup |Sv?|2„(F;0)| = sup 0)\ (4)

FeL^.IIFIU^l F6C2w,||F||oo<1 есть функция Лебега сумм s^niF] 9), a En(F) — наилучшее равномерное приближение функции F Е Сч-к тригонометрическими полиномами порядка не выше п.

При ф{т) = 1 величина LVj1l(9) совпадает с известной константой Лебега. Ее асимптотические свойства подробно изучены в работах А. Лебега [GG], Л. Фейера [G1], Г. Гронуолла [G2J, Г. Сегё [70] и других авторов.

В связи с неравенством (3) возникают важные для теории приближения функций задачи о его точности и об оценках входящих в его правую часть величии. Решению этих задач, а также аналогичных задач в случае многочленов, ортогональных с весом на отрезке, посвящено много работ. Приведем некоторые результаты, полученные в этом направлении.

Если F Е С2тг, то в силу (3) в каждой точке 9, в которой lim LVin(0)En(F) = 0, (5) n-> 00 ряд Фурье функции F сходится к F(9), причем сходимость этого ряда равномерна на любом множестве Е С 1 точек 9, на котором соотношение (5) выполняется равномерно. Поэтому представляет интерес задача о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) в зависимости от п G N и 9 € К, т. е. задача нахождения более или менее простого выражения, отношение к которому функции (4) при всех п 6 N и 9 £ Ш заключено между двумя положительными константами, зависящими лишь от веса ср.

Аналогичную задачу о двусторонних поточечных оценках функции Лебега сумм Фурье-Якоби при а,/3 > — 1/2 решили С. А. Агахапов и Г. И. Натансон [2]. В. М. Бадков [G, 58, 59, 12] распространил этот результат на все значения а,(3 > —1 (оценку снизу этой функции получил также А. М. Беленький [18]) и установил аналогичные результаты для обощеппых многочленов Якоби, т.е. многочленов, ортонормированиых на отрезке [—1,1] с весом т p(t) = H(t)(i - t)a(i + tf П - х»\ъ («> Аъ > -1;te [-1,1]) (6) v=l в предположении, что входящий в правую часть (G) отграниченный от нуля и бесконечности множитель H(t) удовлетворяет условию Дини u^H-fy-1 е 1].

Кроме того, В. М. Бадков[58, 59] получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (4) в случае 27г-периодического обобщенного веса Якоби, т.е. веса т

Ф) = Кг) П I sin[(r - ev)/2]|> (Г е R), (7) v=l удовлетворяющего условиям

7i > -1,. ,7m > -1; -тг < 6>i < . < 9т < тг, (8) h(r)> 0; hul/heL°°, (9) предположив, что выполняется условие Дини г)оог-1 е^^тг]. (10)

При этом он пользовался полученными им же равномерными асимптотическими представлениями алгебраических многочленов, ортогональных на окружности \z\ = 1 с весом </?, для которого выполняются условия (7)—(10). Затем В.М. Бадков [13, 14, 15] для широкого класса весов <р с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соответствующих многочленов, ортогональных на окружности, и их производных. Пользуясь этими результатами, С.Е. Памятных [34] получил двустороннюю поточечную оценку

1 + 4* + n|sin(0/2)|] (neN, 9eR) (11) знак " х " означает, что отношение левой и правой частей формулы (11) ограничено сверху и снизу положительными константами, не зависящими от п € N и 0 G К) в предположении, что <р(т) := [g(| sin(#/2)|)]-1, где д(т) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям п I dT О I I {в +0),

VsW \<JW) о

Свой результат С.Е. Памятных получил для частного случая веса В.М. Бад-кова. В связи с этим стала актуальной задача обобщения результата С.Е. Памятных на случай общего веса В.М. Бадкова. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена изучению точности неравенства Лебега (3). Точность классического неравенства Лебега па разных классах функций изучали многие авторы.

Аппроксимативные свойства сумм Фурье s^2n(F) на классе Л4 С С2-к в точке в принято характеризовать величиной

W-M) : = sup{|F(0) - Stpfin(F;e)\ : F G M}. (12)

Через Hu обозначим класс функций F 6 Сгя-, У которых модуль непрерывности в С2п не превосходит заданного модуля непрерывности ш. Полагаем также

Ни[а, Ъ] : = {F : F Е Ь°°[а, b], lo(F; 6)оо,[а,ь] < ш(6) для всех всех 5 > 0}.

При г £ рассматриваем классы WrHu} : = {F : F Е С^, F^ £ Ни} и WrHu[a,b] : ={F: F(r) G Ны[а,Ъ]}.

Известно(см.[5, стр.230]), что, если периодическая функция F имеет непрерывную производную порядка г > 0 с модулем непрерывности u{F^\5)001 то при любом натуральном п существует тригонометрический полином Т* порядка не выше п такой, что

En(F) < ||F — Т*||оо < Вгп-'ир^п-1)оо, (13) где Вг > 0 зависит лишь от г. Если F G WrH(JJ1 то в силу (4) и (13) в каждой точке 9, в которой lim Ь^п{в)п-Ги{п-1) = 0, (14) п-> оо сумма сходится к F(6) равномерно на любом множестве Е С М точек в, на котором соотношение (14) выполняется равномерно. Скорость этой сходимости по порядку не превосходит nraj(n1)LWi(0). В случае, когда <р = 1, М. = WrHu, величина (12) совпадает с

S»(WrHu) :-sup{|F(0) - sn(F;0)\ : F E WrH„}. (15)

Величина (15) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка в случае u)(t) = ta (0 < а < 1), г & Z+ получили еще А. Лебег [G6] и С.Н. Берн-штейн [20]. Первую асимптотически точную оценку величины (15) получил А.Н. Колмогоров [G5] для случая uj(t) — t, г G Z+. Исследования в этом направлении продолжили В.Т. Пинкевич [35], С.М. Никольский [29] —[32],

А.В. Ефимов [25]—[27], С.А. Теляковский [53], С.Б. Стечкин[50], А.И. Сте-панец [49] и другие авторы. В.М. Бадков [10] величину (12) изучал в случае класса М. = WrHUJ и 27г-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (7)—(10). В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена.

Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задачами теории приближения функций.

Основной целью настоящей работы является исследование аппроксимативных свойств сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с пеклассическим весом, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. В рамках этой общей проблемы выделяются следующие задачи.

1) Получение двустороиииих поточечных оценок функции Лебега сумм Фурье по рассматриваемой системе;

2) Доказательство точности неравенства Лебега на классе WTHU1 в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе;

3) Построение примера функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса.

4) Построение аналогичного примера функции класса WrHu}[— 1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

В диссертации используются методы теории приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми и состоят в следующем:

1) Получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм Фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега.

2) Доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе.

3) Построен пример функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса.

4) Построен аналогичный пример функции класса WrHu[—1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при изучении рядов Фурье по ортогональным полиномам и их различных приложений в теории аппроксимации.

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ, руководимом профессором В.В. Аре-стовым; на семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН, руководимом членом-корреспондентом РАН, профессором Ю.Н. Субботиным и профессором Н.И. Черных (г. Екатеринбург); на Международной школе С.Б. Стечкина но теории функций (г.Миасс, 2003 и 2004 гг.),а также на 32-й, 33-й, 34-й, 35-й и 30-й Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 гг.).

Основные результаты опубликованы в восьми работах [1]—[8], список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 75 страниц. Библиография содержит 70 наименований.

Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации.

В первой главе получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности.При этом обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега.

Во второй главе доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе. Построен пример функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. Построен аналогичный пример функции класса WrHu[— 1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы.

В §1.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 1. В § 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 1. Новыми являются следующие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утверждений, принятую в диссертации). Лемма 1.2.1. Пусть вес (р £ L1, а п

Kn{w z, С) := Y, <Pk(z)MО (п е Z+; 2,(6 С) к=0

-ядро Ссгё системы {y?„(2)}£L0 алгебраических многочленов, ортонормиро-ванной па окружности \z\ = 1 с весом ср. Тогда выполняется неравенство

7Г

LVJn{6) < i J IK2n(<p\ eie, (1 - (2n)-l)eiT)\<p{r) dr (n G N; 9 <= R). It

Лемма 1.2.2. Пусть вес <£>(т) принадлежит L1 вместе с 1п<£>(т). Тогда для всех п £ N и в Е М справедливо неравенство

7Г

L„(0) > II(1 7Г где

2тг . Л о J функция Сегё веса tp(r).

Основным результатом главы 1 является обобщающая результаты работ В.М. Бадкова [58, 59] и С.Е. Памятных [34] следующая теорема. Теорема 1.1.1. Пусть 2тт-периодический вес <р(т) имеет вид т / Q \ ip(r) := h(r) ПЦ| sin ) (-7Г < 01 < . < 0m < тг), где U

М*) :=П 19,Ли)]аМ £ L%1}; ,i=\ га, 6 N, a(fi, и) E M, 9,1,и{и) ( д = 1, • • •, v = 1,., m) — вогнутые модули непрерывности; в j wv{t) dr = 0(9wu{9)) (в +0; v = 1,., m); о функция h(r) удовлетворяет условиям (9)-(10) либо условиям h(r) > 0; h и l/h £ u(h\ S)2 = 0(S(<5 +0). (16)

Тогда найдутся положительные константы С\ — С\{ф) и C<i = такие, что для всех п Е N и 9 Е Ж. выполняются неравенства

L (#)

Cl - ln(l + гг ffiLi I sin EfcLi Л(| siH + I) - C2' (17)

7г(</?; z) exp где

Ш := + Mt) к-1 t

Доказательство теоремы 1.1.1 проводится в § 1.3 (в случае веса с одной особой точкой) и в § 1.4 (в случае веса с несколькими особыми точками путем сведения к случаю одной особой точки).

В § 1.5 из теоремы 1.1.1 выводятся в виде следствий следующие утверждения.

Следствие 1.5.1. Пусть вес (р есть 2тг-периодический обобщенный вес Яко-би, удовлетворяющий условию (10) либо условиям (16). Пололсим во := вт — 27Г, 0m+i := 01 + 27Г, £„ := 2~1{QV + Qv+\) (f = 0,1,., m) и рассмотрим интервалы А„ := (^-ь^) (^ = 1, • •., т). Тогда при в Е А/, п € N справедливы оценки

Lv,»{0) х 1 + ln(l + п\в - 0,|) (-1 < 7/ < 0), (18)

Lwi(0)xln(n+1) Ы = 0), (19)

Lv,n(0) х In(n + 1) + (|0 - 6t\ + n"1)-^ (7/ > 0). (20)

Заметим, что в случае 27Т-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (8)—(10), оценки (18)-(20) впервые получил В.М. Бад-ков [58, 59]. Приведем еще одно интересное следствие из теоремы 1.1.1.

Следствие 1.5.2. Пусть вес ip имеет вид где а > е2, 6 Е R, h(r) удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1.1.1. Тогда при в Е М и п Е N справедливы оценки

Lv>„(0) xln[l + n|sin^|l + (in—-г) (б < -2),

L 2J V lsinil+ п)

14

Ь^п{в) х b[l + n|sinf|l + (in . ав , ) In In . ав (5 = -2), L 2 J ^ |sinf| + }J |sm5| + i

LWI(0)xln(n+l) (5> -2).

Следствие 1.5.2 обнаруживает интересное явление: функция Лебега L^^Q) в случае веса (21) при 5 Е (—2,0) эквивалентна константе Лебега, определяемой как (*) || оо5 которая по порядку совпадает с классической константой Лебега (т. е. константой Лебега для веса (р{т) = 1). При этолг система {Фп(0)}^о ^ < 0 не является равномерно ограниченной.

В §2.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 2. В §§ 2.2-2.4 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), исиользуемые при доказательстве основного результата главы 2. Новыми являются следующие две леммы.

Лемма 2.4.1. Ядро D^^ni®, т) как функция от т имеет в интервале (в,9-\-2л) точно 2п различных (и, следовательно, простых:) пулей.

Лемма 2.4.2. Пусть нули ядра Др,271(#,т) (как (функции от т) занумерованы в последовательность < Z-2 < z-i < z0 < zi < z2 < ., (22) причем Z-1 < в < zo и zv = zv{6) (i/ E Z). Тогда z—n — zn 2 7Г.

Если при этом вес ip удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1, то найдутся полоэюительные числа Сц и С12, зависящие лишь от такие, что расстояние между любыми двумя соседними элементами последовательности (22) заключено между Сцп-1 и С\2П~1.

Одним из основных результатов главы 2 является следующая теорема, обобщающая соответствующие результаты В.М. Бадкова[58, 59] и С.Е. Памятных [34].

Теорема 2.1.1. Пусть вес <р удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Тогда найдутся поло'жительные постоянные Ci(ip,r) и Ci{}P, г) такие, что для всех п Е N и в Е М выполняются неравенства

Ci{<p, г) <- — -< С2(у?, Г). (23)

1-h Ь^п{9))и(п l)n г

Заметим, что в главе 1 были доказаны неравенства (17), в силу которых функцию Лебега в (23) можно заменить знаменателем дроби из формулы (17). Разумеется, что при этом константы С\(<р,г) и С^у?,г) в новом неравенстве примут новые значения.

Другим основным результатом главы 2 является пример индивидуальной функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега (4) оказывается точным но порядку в нулях веса <р на подпоследовательности номеров п (для каждого нуля своей). Кроме того, построен аналогичный пример индивидуальной функции класса WrHu[—1,1] в случае обобщенного веса Якоби. А именно, доказаны следующие две теоремы.

Теорема 2.6.1. Пусть вес <р удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Пусть, кроме того, при некотором I Е {1,2,., т}

Wft) = 0(\<P2n(eW,)\) (п Е Z+). (24)

Тогда для заданных г Е Z+ и модуля непрерывности ш(#), удовлетворяющего условию

8 1 s [>£Щ± = оН6)), (25)

J и J гг о s найдутся числа si,., sm Е N и С\ > 0 такие, что функция ^ uj(2~nw~q)Dip2m,/+<i+l (9q, т) и—О <7=1 'Г 4 '1 где т) определено в (2), m т — в s(T) : = -s = Si + • • • + sm, fi=l принадлежит классу WrHLJ, причем,

En(F) х п~гш{п~1) (n g n) и при достаточно больших N : = 2mn+i

F{9i) - svMF'M ~ +

Заметим, что из основного результата главы 1 (см. теорему 1.1.1) следует, что в формулировке теоремы 2.G.1 условие (24) равносильно условию т-1ЫТ)$ е 0,1]. Теорема 2.7.1. Пусть вес р имеет вид м р{х) = Н{х)( 1 - х)а(1 + хУ П \х - хк\Ь (х g [-1,1]), к=1 где Me n; а,Р,6к > -1; -1 < хх < . < хи < 1; Н(х) g с[-1,1]; Н(х) > 0 па всем [—1,1]; а;[1д](я; 5)5~1 g z/1 [0,1]. Полоэ/сим Xq = —1, xM+i — 1- Пусть, кроме того, при некотором I g {0,1,., М + 1}

L^(xl) = 0(\Pn(xl)\ + \Pn+1(xl)\) (neZ+). (26)

Тогда для заданных г g и модуля непрерывности а;(5), удовлетворяющего условию (25), существует функция f из класса WrH0J[— 1,1] такая, что па подпоследовательности номеров пдг = выполняется соотношение

I/Оч) - sS2(f;®|)| «(1 + при этом

En{f) х n-ru(n~l) (n g n).

Заметим, что в формулировке этой теоремы условие (26) равносильно условию Si > 0 при I g {1,2, .,М}, а > -1/2 при / = 0 или /3 > -1/2 при Z = М + 1.

Кроме того, заметим, что в случае рядов Фурье-Якоби примеры индивидуальных функций, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке х = 1 при а > —1/2, были приведены в работах В.М. Бадкова [G], И.И. Ша-рапудинова [55] и A.M. Беленького [19]. Однако в работах В.М. Бадкова и A.M. Беленького oj(t) = tfl (0 < fi < 1), а в работе И.И. Шарапудинова функция / является аналитической.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю В.М. Бадкову за постановку задач и внимание к работе.

1. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Приближение функций суммами Фурье-Якоби // ДАН СССР. 19G6. Т. 1GG, № 1. С. 9-10.

2. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех. и астрон. 19G8, № 1, вып. 1. С. 11-23.

3. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Отклонение сумм Фурье-Якоби в граничной точке промежутка ортогональности // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех. и астрон. 19G8, № 7, выи. 2. С. 15-27.

4. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд-во иностр.лит., 19G3. 3G0 с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М.: Наука, 19G5. 408 с.

6. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. матем. жури. 1968. Т. 9, № G. С. 1263-1283.

7. Бадков В.М. Равносходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам // Матем. заметки 1969. - Т. 5, № 3. - С. 285-295.

8. Бадков В.М. Сходимость в среднем и почти всюду рядов Фурье ио многочленам, ортогональным на отрезке // Матем. сб. 1974. Т. 95, №2. С. 229-262.

9. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // УМН Н.С. 1978. Т. 33, вып. 4. С. 51 106.

10. Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье ио ортогональным полиномам // Тр. МИАН. 1980. Т. 145. С. 20-62.

11. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 3-36.

12. Бадков В.М. Двусторонние оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье по ортогональным многочленам // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. Свердловск: УНЦ АН СССР,1987. С. 31-45.

13. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса // Тр. МИРАН. 1992. Т. 198. С. 41-88.

14. Бадков В.М. Асимптотика многочленов второго рода и двусторонние поточечные оценки их производных // Труды Института математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. С. 71-83.

15. Бадков В.М. Поточечные оценки снизу модулей производных многочлена, ортогонального на окружности с весом, имеющим особенности // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 6. С. 3-14.

16. Бадков В.М. Функция Кристоффеля и нули ортогональных полиномов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. С. 14-15.

17. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

18. Беленький A.M. О разложении функций в ряд Фурье-Якоби //В кн.: Конструктивная теория функций и теория отображений. Киев, 1981. С. 35-48.

19. Беленький A.M. О сходимости рядов Фурье-Якоби // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 июня 1987 г., № 4713-В87. 28 с.

20. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР. 1952. Т. 1. С. 11-104.

21. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Полное собрание сочинений. Т. 2. М.: Изд. АН СССР. 1954. С. 7-106.

22. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и па отрезке. М.: Физматгиз, 1958. 240 с.

23. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер с англ. -М., 1948.

24. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.:Наука, 1977. 512 с.

25. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22, № 1. С. 81-11G.

26. Ефимов А.В. Приближение функций с заданным модулем непрерывности суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. № 1. С. 115-134.

27. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24, № 2. С. 243-296.

28. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер с англ., 2 изд. М.: Мир, 1965.

29. Никольский С.М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 501-508.

30. Никольский С.М. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье // ДАН СССР. 1941. Т. 32, № 6. С. 386-389.

31. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Труды МИ АН СССР. 1945. Т. 15.

32. Никольский С.М. Ряды Фурье функций с данным модулем непрерывности // ДАН СССР. 1946. Т. 52, № 3. С. 191-194.

33. Осиленкер Б.П. О сходимости и суммируемости разложений Фурье но ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка // Сиб. матем. ж. 1974. Т. 15, № 4. С. 892-908.

34. Памятных С.Б. Оценки функций Лебега сумм Фурье по ортогональным полиномам // Тезисы межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука". Снежинск: Изд-во СФТИ, 2000. С. 23-24.

35. Пинкевич В.Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 521-528.

36. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 336 с.

37. Рафальсон С.З. О р функциях Лебега сумм Фурье-Якоби // Изв. вузов. Мат. 1984, № 5. С. 75-78.

38. Рахманов Е.А. Об оценке роста ортогональных многочленов, вес которых отграничен от нуля // Мат. сб. 1981. Т. 114(156). С. 269-298.

39. Сандакова С.Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по ортогональным полиномам // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. С. 185.

40. Сандакова С.Л. Оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 33-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 76-78.

41. Сандакова С.JI. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Тезисы студенческих научных работ: Направление "Естественные науки". -Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2003. С. 88.

42. Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса тригонометрических ортогональных полиномов // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 95-99.

43. Сандакова С.Л. Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Современные проблемы краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж: ВГУ, 2004. С. 199 - 200.

44. Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса обобщенных многочленов Якоби // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 96-100.

45. Сандакова С.Л. Приближение функций класса WrHiJ суммами Фурье ио тригонометрическим ортогональным полиномам // (Принята в печать Редакцией журнала "Известия УрГУ").

46. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

47. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова думка, 1987. 268 с.

48. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 126-151.

49. Суетин П.К О представлении непрерывных и дифференцируемых функций рядами Фурье но многочленам Лежандра // ДАН СССР. 1966. Т. 166, № 1. С. 9-10.

50. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е, дои.- М.: Наука, 1979. 416 с.

51. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье // Матем. заметки. 1968. Т. 4, № 3. С. 291-300.

52. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

53. Шарапудинов И.И. О наилучшем приближении и суммах Фурье-Якоби // Матем. заметки 1983. - Т. 34, № 5. - С. 651-661.

54. Шарапудинов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения // Махачкала. Издательство Даг. гос. пед. Ун-та. 1997. 232 с.

55. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения // Махачкала: ДНЦ РАН, 2004. 276 с.

56. Badkov V.M. Approximation of functions by means of Fourier sums with respect to the orthogonal polynomials // Approximation and Function Spaces.- Amsterdam etc.: North-Holland, 1981. P. 51-67.

57. Badkov V.M. Estimations for the Lebesgue function and the remainder of the Fourier series with respect to orthogonal polynomials // Functions, series, operators. Amsterdam etc.: North-Holland, 1983. P. 165-181.

58. Badkov V.M. Orders of the weighted Lebesgue constants for Fourier sums with respect to orthogonal polynomials // Proceeding of the Steklov Institute of mathematics. Suppl. 1, 2001. P.P. S48-S64.

59. Fejer L. Lebesguesche Konstanten und divcrgente Fourierschcn // J. reine und angew. Math. 1910. 138. S. 22-53.

60. Gronwall Т.Н. Uber die Laplacesche Reihe // Math. Ann. 1913. Bd. 74. S. 213-270.

61. Jackson D. Orthogonal trigonometric sums // Ann. of Math.,11. S. 1933. Vol. 34. P. 799-814.

62. Cartwright D.I. Lebesgue constants for Jacobi expansions // Proc. Ainer. Math. Soc. 1983. V. 87, № 3. P. 427-433.

63. Kolmogoroff A. Zur Grossenordnung des Restgliedes Foiirierschen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann. Math. 1935. V. 36, № 2. S. 521-526.

64. Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant a uiie condition de Lipshitz // Bull. Soc. math. France. 1910. V. 38. S. 184-210.

65. Sandakova S.L. Two-sided Pointwise Estimate for Lebesgue Function of Fourier Sums with Respect to Trigonometric Orthogonal Polynomials // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2004. P. S207-S223.

66. Shohat J.A., Hille E., Walsh J.L. A bibliography on orthogonal polynomials, Wash., 1940.

67. Szego G. On bi-orthogonal systems of trigonometric polynomials // Magy. tud. akad. Mat. kut. intez. kdzl. 1963 (1964). K. 8, № 3. Old. 255-273.

68. Szego G. Uber die Lebesguesche Konstanten bei den Fourierreichen // Math. Z. 1921. 9. S. 163-166.