М-членное тригонометрическое приближение классов Lφβ,p функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Глава

I. Обзор литературы

1.1. Основные задачи теории приближения

1.2. М-членное тригонометрическое приближение

Глава

II. Наилучшие тригонометрические классов Lpp в пространстве Lq

2.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения

2.2. Оценки величин eM{Lpp)q при <р q оо, g

2.3. Оценки величин ем{Ьр)д при р q

2.4. Оценки величин ем{Ьрр)д при д р с ч э прибли»сения

2.5. Приближение классов Lp тригонометрическими полиномами в равномерной метрике

Глава

III. Наилучп1ие ортогональные тригонометрические приближения и тригонометрические поперечники классов L в пространстве Lq

3.1. Оценки величин e]((L,)g, I p,q оо

3.2. Поведение величин c?(Lp,Lg)

Глава

IV. Приближение классов Lj в метрике Lq, q оо

4.1. Приближение функций Вф{х0)

4.2. Оценки величин En{Lpi)q,

Выводы

Список использованных источников q оо

Данная работа является продолжением исследования приближения функциональных классов М-членными тригонометрическими полиномами. Изучается приближение классов (2/,/?)-дифференцируемых периодических функций многих переменных, которые в одномерном случае были введены А.И. Степанцом [1] (см. также [2; 3, гл. I, § 7]). Актуальность темы. В настоящее время в области теории аппроксимации разработано много методов приближения тригонометрическими полиномами в пространствах периодических функций, среди которых существуют как линейные методы, построенные на базе сумм Фурье (методы Фейера, Валле-Пуссена, Рогозинского, и так далее), так и нелинейные методы. В последнее время наибольшего распространения приобретает метод М-членного тригонометрического приближения, то есть приближение классов периодических функций с помощью полиномов вида м Р(0л/;а:)=с,-е(), 3=1 где 0л/ {к}-1 набор векторов У с целочисленной решетки Z а Cj произвольные коэффициенты. Аппроксимативные свойства этого метода относительно классов периодических функций многих переменных W Нр (определение классов см., например, в [4, с. 31]), Вр (см. [5, с. 159]) исследовались в работах В.Н. Темлякова [6, 4, 7], Э.С. Белинского [8 10], Б.С. Кашина и В.Н. Темлякова [11], А.С. Романюка [12 15] и других. В 1983 г. А.И. Степанцом была предложена новая классификация периодических функций одной переменной [1] (см. также [2, 3]). Вследствие этого были введены классы Lt которые при фиксированных значениях определяющих их параметров совпадают с классами ВейляНадя Wp В настоящее время известно много результатов, связанных с решением важных экстремальных задач теории аппроксимации для классов bt периодических функций одной переменной. В некоторой в многомерном степени развита тематика приближений классов Lt случае, которой посвящены работы А.С. Романюка [16 19], А.И. Степанца и Н.Л. Пачулиа [20], П.В. Задерея [21]. В частности, остаются открытыми вопросы М-членного тригонометрического приближения классов Ьр Это определенным образом связано с тем, что многомерная тригонометрическая аппроксимация отличается от одномерной существованием различных способов выбора "номеров" гармоник для построения приближающих полиномов. Ведь при построении тригонометрических полиномов, приближающих периодическую функцию одной переменной, система экспонент {е*}, к О 1 упорядочивается по возрастанию "номеров", то есть 1, е, е, е, А в многомерном случае построение тригонометрических полиномов может происходить по произвольным ограниченным областям пространства R. Таким образом, ми не имеем оснований для того, чтобы заблаговременно отдать предпочтение определенному способу упорядочивания системы {е*!-""*}, kj 0 1 j l,d, где индексы к {ki,... ,kd) будем называть "номерами" гармоник или "номерами" экспонент е(*). Отметим, что изучение вопроса приближения классов Lp полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов" проводилось А.С. Романюком в работах [16 19], Ввиду выше указанного является актуальным исследование метода М-членного тригонометрического приближения на классах Lt сравнение его эффективности с методом приближения этих классов тригонометрическими полиномами, построенными по "ступенчатым гиперболическим крестам". Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнена в отделе теории функций Института математики НАН Украины согласно научно-исследовательской теме: "Структурные и аппроксимационные свойства функциональных множеств", номер государственной регистрации 0198 U 001990, Цель и задачи исследования. Целью работы является распространение известных результатов по М-членному приближению с классов дифференцируемых функций Wg на классы {ф,/3)- дифференцируемых функций Lt Прежде чем сформулировать задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, определим объект и предмет исследования. Объектом исследования периодических являются функций классы многих (ФР)переменных дифференцируемых Пусть Lp{7Td), 1 Р оо, пространство 27Г-периодических по каждой переменной суммируемых в степени р на с?-мерном кубе тга Yl [—7г; 7г] функций f{x) f{xi,.., равенством ,Xd), в котором норма определяется ll/IU,M ll/llp= ижУI \/{х)\чЛ Loo{d)i p oo пространство 27Г-периодических существенно ограниченных функций f{x) с нормой ll/IUcoM II/IU esssup„Jf{x)\. G Ьр(7Г), В дальнейшем всюду предполагаем, что для функций f{x) 1 р оо, выполнено условие f{x)dxj 0, j l,d. 7Г Приведем определение класса Lt Пусть е Li{7Td) и к ее ряд Фурье, где коэффициенты Фурье функции f{x), к= {ki,...,kd), kj е Z, j l,d, (k,x) kixi kdXd. Далее, пусть ф]{-) т О, j l,d, произвольные функции натурального аргумента и j3j фиксированные действительные числа. Если является рядом Фурье некоторой функции из Li{7Td), то ее называют (,/3)-производной функции f(x) и обозначают ft{x). Множество Если числами Cj в (В.1) служат коэффициенты Фурье функции /(л:), то есть 2j с,- {27r)-lfit)e-Ut, то предметом исследования будут величины м которые называются наилучшими М-членными ортогональными тригонометрическими приближениями классов Lt в пространстве Lg. Очевидно, что величины (В.1) и (В.2) связаны соотношением M(Lpp)g ем(Ьрр)д. Отметим также, что величина ем{ЩЛд не превышает величины тригонометрического поперечника (i(L,Lg) порядка М класса Ь., которая определяется следующим образом м 4(<p,b,)t/ inf sup inf ||/w-X:c,-e(ll., Теперь сформулируем задачи исследования. (B.3) 1. Найти порядковые оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов Lt в пространстве Lq при разных соотношениях параметров р и q: 1 р со, I q со. Сравнить эти результаты с соответствующими результатами для величин наилучшего приближения классов Lt тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатого гиперболического креста". 2, Исследовать поведение наилучших М-членных ортогональных тригонометрических приближений классов Lt 1 p,q оо. в пространстве Lq при Установлены порядковые оценки наилучших приближений классов Lj в метрике Lq, 1 q со, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов". Практическое значение полученных результатов. Результаты работы имеют теоретический характер. Они, а также методика их получения, могут быть использованы в дальнейшем изучении вопросов приближения функций многих переменных. В частности, результаты по наилучшему М-членному тригонометрическому приближению классов L можно применить при исследовании вопроса приближения функций многих переменных этих классов с помощью линейных комбинаций произведений функций меньшего числа переменных. Личный вклад соискателя. Определение направления исследования, а также постановка задач принадлежит научному руководителю доктору физ.-мат. наук А.С. Романюку. Все результаты получено соискателем самостоятельно. Апробация результатов диссертации. докладывались на: семинарах отдела теории функций (Институт математики НАН Украины, руководитель семинара: член-корреспондент НАН Украины А.И. Степанец); объединенном семинаре по теории функций (Институт математики НАН Украины, руководители семинара: академик НАН Украины Н.П. Корнейчук, член-корреспондент НАН Украины А.И. Степанец, профессор П.М. Тамразов); Международной конференции по теории приближений функций и ее применении, посвяшенной памяти В.К. Дзядыка (Киев, 1999 г.); Результаты работы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения М.А. Лаврентьева (Киев, 2000 г.). Публикации, в работах [23 29]. Перейдем к изложению основных результатов работы. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, четырех

Основные результаты работы:

1. Получены порядковые оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов Ь^р в пространстве Ьд при 1 < р < оо, 1 < д < оо. Показано, что оценки сверху величин лучше соответствующих оценок наилучших приближений классов Ьр в метрике Ьд, 1 < р < д < оо, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов".

2. Найдены порядковые оценки наилучших М-членных ортогональных тригонометрических приближений классов Ьрр в пространстве Ьд, 1 < р,д < оо.

3. Получены порядковые оценки тригонометрических поперечников классов Ьрр в пространстве Ьд при 1<р<2<д<

4. Установлены порядковые оценки наилучших приближений классов Ь^д в метрике Ьд, 1 < д < оо, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов".

1. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. Киев, 1983. - 57 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.10).

2. Степанец А.И. Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье // Изв. АН. СССР. Сер. мат.- 1986. 50, N1. - С. 101-136.

3. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наук, думка, 1987. - 268 с.

4. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. - 178. - 112с.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

6. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН. СССР. Сер. мат. 1985.- 49, N5. С. 986-1030.

7. Temlyakov V.N. Approximation of Periodic Function: Nova Science Publichers, Inc. 1993. 419 p.

8. Белинский Э. С. Приближение периодических функций многих переменных "плавающей" системой экспонент и тригонометрические поперечники // Докл. АН СССР. 1985. - 284, N6. - С. 1294-1297.

9. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонент на классах периодических гладких функций // Тр. МИАН СССР.- 1987. 180. - С. 46-47.

10. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: Яросл.ун-т, 1988. С. 16-33.

11. Кашин Б. С., Темляков В.Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве L\ // Мат. заметки.- 1994. 56, N5. - С. 57-86.

12. Романюк A.C. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из классов Вр0. I // Укр. мат. журн. 1992. - 44, N11. - С. 1535-1547.

13. Романюк A.C. О наилучших тригонометрических приближениях и колмогоровских поперечниках классов Бесова функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1993. - 45, N5. - С. 663-675.

14. Романюк A.C. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из классов Врв. II // Укр. мат. журн. 1993. - 45, N10. - С. 1411-1423.

15. Романюк A.C. О наилучшей тригонометрической и билинейной аппроксимации классов Бесова функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1995. - 47, N8. - С. 1097-1111.

16. Романюк A.C. Приближение периодических функций многих переменных в метрике Ья // Приближение периодических функцийв метрике пространства Lp. Киев, 1987. - С. 42-58 - (Препринт /АН УССР. Ин-т математики; 87.47).

17. Романюк А.С. Неравенства для Lp-норм (^,/?)-производных и поперечников по Колмогорову классов функций многих переменных Vpp // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 92-105.

18. Романюк А.С. Неравенство типа Бора-Фавара и наилучшие М-членные приближения классов Ь^р в пространстве Lq // Некоторые вопросы теории приближения функций и их приложения: Сб. науч.тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. - С. 98-108.

19. Стпепанец А.И., Пачулиа H.JI. Кратные суммы Фурье на множествах (^,/?)-дифференцируемых функций // Укр. мат. журн. -1991. 43, N4. - С. 545-555.

20. Зад ер ей П.В. Приближение (^>,/?)-дифференцируемых периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1993. -45, N3. - С. 367-377.

21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. -М.: Наука, 1976. 320 с.

22. Консевич Н.М. Найкрапц М-членш тригонометричш наближення клас1в Lßp у npoeropi Lq // Kpanoßi задач1 для диференщальних р1внянь: 36. наук. пр. Кшв: 1н-т математики HAH УкраТни, 1998. - Вип. 3. - С. 204-219.

23. Консевич Н.М. Найкрапц М-членш тригонометричш наближення клашв Lßp у npocTopi Lq // М1жнародна конференция з теори наближення функцш та Ii застосувань, присвячена пам'ят1 В.К. Дзя-дика: Тез. доп. Кшв: 1н-т математики HAH УкраУни, 1999. - С. 41.

24. Консевич Н.М. Ощнки найкращих М-членних тригонометричних наближень клас1в Üßp перюдичних функцш багатьох змшних у npocTopi Lq Ц Укр. мат. журн. 2000. - 52, N7. - С. 898-907.

25. Консевич Н.М. Наближення клас1в функцш багатьох змшних Lßp тригонометричними полшомами в piBHOMipmft метрищ // Teopifl наближення функцш та ii застосування. Пращ IM HAH Украши. К.: 1н-т математики HAH УкраУни, 2000. - Т 31. - С. 260-268.

26. Консевич Н.М. Найкрагщ ортогональш тригонометричш наближення клаав функцш багатьох змшних Lßp // Укр. мат. журн. -2001. 53, N1. - С. 23-29.

27. Консевич Н.М. Тригонометричш поперечники клаав Lpp функцш багатьох змшних // Укр. мат. журн. 2001. -53, N9. - С. 1292-1296.

28. Федоренко А. С. Наилучшие ш-членные тригонометрические приближения функций классов L^p // Ряди Фур'е: теор1я i застосу-вання: Пращ IM НАН Украши. Т 20 К.: 1н-т математики НАН Укршни, 1998. - С. 356-364.

29. Федоренко А.С. О наилучших ш-членных тригонометрических приближениях классов (^>,/?)-дифференцируемых функций одной переменной // Крайов1 задач! для диференщальних ргвнянь: 36. наук. пр. Ки1в: 1н-т математики НАН УкраТни, 1998. - Вип. 3. - С. 250-258.

30. Федоренко О.С. Найкрапц m-членш тригонометричн1 i ортого-нальн1 тригонометричн1 наближення функщй клаав // До-noBifli НАН Укра'ши. 2000. - N7. - С. 27-32.

31. Belinski E.S. Approximation of functions of several variables by trigonometric polynomials with given number of harmonics, and estimates of ¿-entropy // Analysis mathematica. 1989. - 15, N2. - P. 67-74.

32. Романюк А.С. Приближение классов Вр в периодических функций многих переменных частными суммами Фурье с произвольным выбором гармоник // Ряды Фурье: теория и приложение. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. - С. 112-118.

33. Федоренко О.С. Про тригонометричш поперечники функщй

34. K.iaciB Lßp // Teopin наближення функцш та ii застосування. Пращ IM HAH УкраТни. К.: 1н-т математики HAH Укра'ши, 2000. - Т 31. - С. 128-134.

35. Романюк A.C. Тригонометрические поперечники классов Вр0 функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1998. - 50, N8. - С. 1089-1097.

36. Бугров Я. С. Приближение класса функций с доминирующей производной. Мат. сб., 1964, 64 (106). - С. 410-418.

37. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством полиномов данной степени. М.: Изд-во АН СССР, 1952. - Т 1. - С. 8-105.

38. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funftionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung, Diss. Göttingen, 1911.

39. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. - Т 1. -615 с; Т 2. - 537 с.

40. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Моск. ун-т, 1976. - 304 с.

41. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения. -М.: Наука, 1977. 510 с.

42. Степанец Л.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук, думка, 1981. - 340 с.

43. Колмогоров А. H. Uber die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann of Math. 1936. - 37. - S. 107-110.

44. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1955. - 102, N1. - С. 37-40.

45. Осколков К. И. Аппроксимационные свойства суммируемых функций на множествах полной меры // Мат. сб. 1977. - 103, N4. -С. 563-589.

46. Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН СССР. 1978. - 243, N5. - С. 1127-1130.

47. Майоров В.Е. Тригонометрические гг-поперечники класса W в пространстве Lq // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория операторов в линейных пространствах. М.: ЦЭМИ. 1976. - С. 199-208.

48. Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств // Мат. сб. 1980. -113(165), N3(11). - С. 437-463.

49. Makovoz G.I. On trigonometric n-widths and their generalization // J. Approxim. Theory. 1984. - 41, N4. - P. 361-366.

50. Кашин B.C. Об аппроксимационных свойствах полных ортонор-мированных систем // Тр. МИАН СССР. 1985. - 172. - С. 187-191.

51. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонентна классах гладких периодических функций // Мат. сб. 1987. -132, N1. - С. 20-27.

52. Темляков В.Н. О приближении периодических функций многих переменных // ДАН СССР. 1984. - 279, N2. - С. 301-305.

53. Бабенко К. И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР. 1960. - 132, N2. - С. 247-250.

54. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР. 1960. - 132, N5. - С. 982-985.

55. Митягин Б.С. Приближение функций в пространстве hp и С на торе // Мат. сб. 1962. - 58, N4. - С. 397-414.

56. Теляковский С. А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами // Мат. сб. 1964. - 63 (105), N3. - С. 426-444.

57. Никольская И. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. мат. журн. 1974. - 15, N2. - С. 395-412.

58. Майоров В.Е. О наилучшем приближении классов W{(IS) в пространстве Ьоо(Р) // Мат. заметки. 1976. - 19, N5. - С. 699-706.

59. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1980. - 156. - С. 233-260.

60. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН СССР. 1988. - 189. - С. 138-168.

61. Романюк А. С. Приближение классов функций многих переменных их ортогональными проекциями на подпространства тригонометрических полиномов // Укр. мат. журн. 1996. - 48, N1. - С. 80-89.

62. Романюк А.С. Наилучшие ортогональные тригонометрические приближения классов Врв // Ряди Фур'е: теор1я i застосування: Пращ 1нституту математики НАН УкраТни. Т. 20 К.: 1н-т математики НАН УкраТни, 1998. - С. 218-227.

63. Исмагилое Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. 1974. - 29, N3. - С. 161-178.

64. DeVore R.A., Temlyakov V.N. Some remarks on Greedy Algorithms 11 Adv. Comput. Maht. 1995. - 5. - P. 173-187.

65. Temlyakov V.N. Greedy algorithm and m-term trigonometric approximation // Const. Approx. 1998. - 14. - P. 569-587.

66. Temlyakov V.N. The best m-term approximation and greedy algorithms 11 Adv. Comput. Math. 1998. - 8. - P. 249-265.

67. Степанец А.И. Аппроксимационные характеристики пространств SJ Киев, 2000. - 52 с. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2000.2).

68. Галеев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а-ядра Дирихле в смешанной норме // Мат сб. -1982. 117(159) - С. 32-43.

69. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. - 495с.

70. Темляков В.Н. Оценки асимтотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН СССР. 1989. - 189. - С. 138-168.

71. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - 456 с.

72. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. - 424 с.

73. Белинский Э.С., Галеев Э.М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник // Вест. Моск. ун-та. Математика и механика. 1991. - N2. - С. 3-7.

74. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 479 с.