Проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

003469229

Мирзоабдугафуров Каримжон Иброхимжонович

Проблема Взринга для девяти кубов с почти равными слагаемыми

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 2009

003469229

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

Чубариков Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ 1'яхмопоп Зарулло Хусеиопич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Архипов Геннадий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Чарисв Умидилла

Ведущая организация: Таджикский национальной университет,

Защита состоится 20 мая 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АГI ]'Т.

Автореферат разослан /^апреля 2009 г.

Ученый секретарь У.

диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования является оценка коротких тригонометрических сумм Г.Всйля и вывод асимптотической формулы в проблеме Варинга для кубов с почти равными слагаемыми.

Впервые простейшие тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса":

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы:

где -р(х) = апх" + ... 4- ih'x мпошчлеп степени п > 1 с условием («„,..., «1, А7) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-ген. Он установил неравенство

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

(1)

Г(а,

(2)

0<:r</V

í

где f(x) — anx" + ... + Q'i^r и Qn,... ,ai- любые вещественные числа.

Впервые общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) дал Г. Нсиль'. Поэтому такие суммы называются суммами Вепля.

Г. ВеЙль построил метод, с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы (2). Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) = at'" + a-i tm~x + ... + ат в отрезке [а, 6] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. Существенным недостатком метода Вейля является быстрая потеря точности с возрастанием гп.

И.М. Виноградов2'3 создал метод тригонометрических сумм. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Он опубликовал ряд работ о суммах Вейля, в которых с помощью созданного им метода тригонометрических сумм коренным образом улучшил результаты Вейля. Его результаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета-функции Римана, L-функцин Дирихле, равномерного распределения, днофантовых приближений, в проблеме о целых точках в многомерном эллипсоиде и т.д.

В 1942 году Ю.В.Линником4 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений но модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, то есть, использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-аднческого метода5. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты''.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм3. Данная задача была решена Г.И.Архпиовым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архшюв получил первые оценки двукратных сумм Г.Вейля для многочленов общего вида. В 1975 году Г.И.Архшюв

'Woyl Н. Über die Glcidivortciluug von Zahlen mod. Eins ,' Math. Ann., 1016. 313 352.

2Biiuoi'[iii;ion И М. Об одной общей теореме Варит«// MaiYM.cfU924.,T.31. с.490-507.

•'Вшюградон U.M. НокыП метод и апалшт^хкой теории чисел .'Тр.МНАН,1937.Т.Ю. с.5-122.

■'Липпик Ю.П.Оценки гумм Вейля 7 Доклады АН СССР. 1942, T.34,W, г. 201-203.

"'Карапуба А.А.П^юблома Варииш .v"' срапппшя по модулю, рашюму стелем и щюстот числа ''

IJecriiiiK МГУ, 1902, Cep.l .V'l, г.28-38.

"Карапуби А.А.Средине :шачеиии модули трш'оиомо-рической <'\ мчи л [[mí. AÍÍ СССР,

а1».маюм..1!>73,Т.ЗС„*6, с.1203-1227.

и В.Н.Чубариков7-8 д<иш обобщенно рсультатов Г.И.Архшюва па кратный случай.

В 1976 г. В. Н. Чу бараков9,10 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков11'12 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г.Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения п по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным трнгономстрнчс-ским суммам Г.Вейля составили содержание монографии 'Теория кратных тригонометрических сумм"13. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте14,15. Суммы вида

Тк(а-,х,у)= е{апк), у = х\ в <1

х—у<п<х

называются короткими тригонометрическими суммами Всйля.

Короткие тригонометрические суммы Вейля при п = 2пп = 3в множестве первого класса рассматривал З.Х. Рахмонов1Г'17 при исследовании тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми.

7Архшюв Г. И., Чубариков В.Н. О кратных трштжометричоских суммах/'/ Докл. АН СССР, 1975, Т. 222, №5, с. 1017-1019.

8Архимо» Г.И., Чуоарикои В.Н. Кратные триюпомггричоскне суммы//И-ш.ЛН СССР. Сер. víjtvm. 1976, Т.40.КЧ, с.209-220.

йЧу€ариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических гуммах и кратных и ¡ invpu. :ах: Матем.заиеткн.1976,Т.20,№1, с.61-08.

10Чубариков В.Н. Об о,ц[Сш кратном тригонометрическом интеграле '/Докл.АН СССР. 1Ü7G. T.227, №6, С..Ш8-1310.

11 Архшюв Г. И.,Карацуба A.A., Чубарпков В.Н. Равномерные оценки кратных тригоиод|стрнчсскпх гучи!j Докл. АН СССР. 11)80, Т. 252, .VC, с. 12X9-1291.

^Архипов Г. Н.,Карацубц A.A.. Чубарикон В.Н. Кратные трш-опомотрические гуммы и их приложения '' Иж АН СССР.Сср.д<ат;. 3980,Т.44,Л>4,<-.723-781.

"Лрхшкт Г.И., Карьнуба A.A., ЧуГ>арикои Н И '|\ч>рн>| кратных триюномегрических сумм. - М.: Наука, 1987.- 368 е. .

''Чубариков В.Н. Кратные триюиомстрическис суммы с пдюстыми числами / ' Докл. АН СССР. 1981, Т. 278, №2. с. 302-304.

15Чубарнкон В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами .'/ И:ш. АН СССР. Сер. матем. 1985, Т. 49, »5. с. 1031-1067.

JtíPaxAiOHOB З.Х. Тернарная задача Эстс/шана с почти рниииын сла]:аелп>шп ' Матем. заметки, 2003, Т.74, Вып. 4. с.564-572. •

*7Рахмопов З-Х.-Шашссва С.П. Кубическая задача Эстермана с почти рапными /мащели-шму ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, с. 7-17.

В 1770 г. Варит18 и своих "Алгебраических размышлениях" выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натуральное число яшшстся суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более 19 биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следующее-. для любого целого положительного числа п > 2 существует число г = г(п), такое, что каждое натуральное число является суммой не более г п.-ых степеней натуральных чисел, то есть всякое натуральное число N может быть представлено в виде

+ + + = (3)

с целыми неотрицательными x¡,..., х, .

Эта гипотеза получила название проблемы Варинга. В 1770 г. Лагранж доказал, что любое натуральное число N представи-мо в виде суммы четырех квадратов целых чисел19. В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в ХХ-ом веке. В 1909 г. эта проблема была решена Д.Гпльбертом.

В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Хардп н Лптт-лвуд20. Они ввели две функции д(п) и G(n): д(п) - наименьшее г такое, что (3) разрешимо при N > 1; G(n) - наименьшее г такое, что (3) разрешимо при N > iVo(n). Ясно, что G(n) < д(п). Хардп и Литтлвуд доказали, что

п < G{N) < п2n~1h, lim h = 1.

II—»ОС

Самым же важным было то, что Хардп и Лпттлвуд при

г > (п - 2)2"-1 + 5

для числа I(N) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотическую формулу вида

I{N) = (Г(1 + ]/n))rN--ia + o(N^-cM), (4)

I {r/n)

где а- некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число ci(n, г) и Cj(n, г) > 0.

|к Waring Е. Meditationes algobrair.ae. Cambridge. 1770.

"Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers, 5th edn. Oxford-Oxford University Press, 1979.

'-'"Hardy G.H., Littiwood .Т.Е. Narlir. Arad. Wiss. Gettiugcu Matli.-Pli.ys. Kl. 1020. p.33-54.; Matli. Z. 1922. Bd. 12. P.101-1C8.

В 1924 г. И.М. Виноградов2 доказал, что асимптотическая формула Хардн и Лпттлиуда (4) плюет место при

г > 2[n2(2 Inn + In inn + 3)].

В 1934 г. И.М. Виноградов21 применил к проблеме Варипгасвой метод тригонометрических сумм. Это не только сильно упростило доказательство проблемы Варнпга, но и открыло путь к принципиальному уточнению полученных здесь результатов и решению новых проблем.

В 1934 г. И.М. Виноградов22,23 доказывает также, что G(n) < n(61nn+ 10), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает, что

G(n) < n(21nn + 41nlnn + 21nlnlnrc + 13).

A.A. Карацуба24 применил к оценке G(n) свой р-аднчеекпй метод и получил более точный результат

G(n) < п(21пп + 21nlnn + 12).

Вулли Т.Д.20 доказал, что

G(n) < nlnn + nlnlnn + 0(1).

Фактически величина G(n) известна только для А: = 2 и к = 4, именно G(2) = 4, G(4) = 16. Последний результат доказал Дэвешюрт20. Ю.В. Лшшик27 доказал, что G(3) < 7, упрощенное доказательство которого дал Ватсон28. Р.Воп29 доказал, что асимптотическая формула Харди н Лнттлвуда (4) имеет место при г = 8 и п = 3.

Цель работы. Целыо данной работы является оценка специальных тригонометрических сумм и нахождение асимптотической формулы для проблемы Варпнга с почти равными слагаемыми.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе

-''Виисн-радои И.М. Ненки- решение проблемы Вариша/' 1934, ДАН СССР, №2, с.337-341.

'■"Ншюградои И.М. Метод Г[>шхяюл1гтричгских сулш » ггории чиссл.-М.: Наука, 1980.- 144с.

Ншкирадон И.М,К itnnprcy о иерхпой ipaiiuiic .иim 6'(п) / ' Шн. ЛИ СССР. CVp. матом., 1959.

Т.23. №5. г.037-642.

'■"Карацуба A.A. О функции С(п) м проС.и-ис Вариша '/ Ilm. АН СССР. Сор. MaivM.,1985, Т.49,.\'С>,

<■.935-917.

-:Л\'(юЬ'у T.D. Lam' iuiprovriiuuits in Waiiug's problem/ ' Aim of Math.,1992.(2)130. №1, 131 1Ü4.

-"'Davc-iiiKjrt H. Ami oFMatli., 40(1939), 731-747.

-'.■JifNiniK Ю li. O |í.j i 1<:л.гппи Cut.u.inyix 'luii-Ji ни 'тли. купон ДЛП СССР, 1912. Л'"35; c.l79-lS0.

-"Watsou G.L. J. Loiulcm matli. Ser.. 20(1951). 153-150.

'-"'WuiKliau B.C. On U'ariiis's [иоЫеш for oulx-s. ',' .1. Briuc .Anjjcnv. Marli..I«««. 3(». 122-171).

• .метод Ван дер Кориута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод сглаживания двойных тригонометрических сумм И.М.Виноградова;

• круговой метод Г.Харди, Д.Лнттлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Изучено поведение кубических тригонометрических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов;

• Для кубических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, обобщена теорема Хуа Ло-гена, то есть найден правильный порядок интеграла от восьмой степени модуля суммы этой суммы;

• Получена асимптотическая формула в проблеме Варинга для девяти кубов с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общсинстнтутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством член-корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова, на международных научных конференциях "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (2007 г.), "Комплексный анализ и некласспческпе системы дифференциальных уравнений"( 2007 г.) в Институте математики Академии паук Республики Таджикистан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура И объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы, включающего 87 наименований. Объём диссертации составляет 63 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава состоит irj трех параграфов. первые параграфы носят вспомогательный характер.

Во втором параграфе первой главы для случае п = 3 изучается поведение коротких кубических сумм Всйля:

Т3(а;х,у) = У2 e(Qn3)> а = - + A, (a,q) = 1, q <т, |А| < —.

' а ат

х-у<п<х

Теорема 1.2.1. Пусть х > Хо > 0, 0<у < 0,01х, т > 12ху, q < т, а = ^ + A, (a,q) = 1, |А| < Тогда при {ЗАх2} < А > 0 гии {ЗАх2} > 1 — щ, А < 0 имеет место соотношение

Т3(а,х,у) = ^йт3(Х-,х,у) + 0(q^+%

а при выполнении уыовия {ЗАх2} > А > 0 или {ЗАх2} < 1 — щ, А < 0, имеет, место соотношение

Т3(а, х, у) = х, у) + 0(q2'3 In q + g1/V2),

r»=l ^ 4 '

Полученное асимптотическое поведение является обобщением теоремы P. Bona30 для коротких сумм и уточнением результата З.Х. Рахмо-нова1(>'17.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм но величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

Следствие 1.2.1.1. Пусть х > хо > 0, у < 0.01х, т > 12ху, q <т, а = s + А; («,<?) = 1, |A|<¡^.

Тогда имеет место соотношение

Т3(а,х,у) = ^S(a,gb(A;x)2/) + 0(g1/2+£), Ч

0.5

7(А;*,!/)= j е(А(х-| + ytf)dt.

-0,5

:mVuughuu R.C. Some remarks in Weyl muiis. Coll. Math. Soc. .lanos. Bolvaui. Budapest, 1061.

Следствие 1.2.1.2. Пусть х > .то > 0, у < 0,01.г, г > 12ху,

Тогда имеет место оценки

Т3(а, х, у) < 1п q + qx|йXl|2.

В третьем параграфе нерпой главы для ереднегб значения модуля восьмой степени коротких кубических сумм Г.Вейля обобщена теорема Хуа Ло-гепа:

Теорема 1.3.1. При х > хо > 0, \/х < у < 0,01.т имеет место оценки

1

о

Эта теорема доказывается методом сглаживания двойных тригонометрических сумм И.М.Виноградова, в сочетании с соображением о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений днофаптовых уравнений.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая теорема.: Теорема 2.2.1. Особый ряд

абсолютно сгодится и существует положительная постоянная, такая. что а = 0,(АО > С > 0.

В третьем параграфе второй главы асимптотическая формула и проблеме Варнпга для девяти кубов доказывается с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Теорема 2.3.1 .Пусть И — достаточно большое натуральное число, /(.V. Я) — число решений в целых числах ху,хп, ■ ■ .,Хд уравнения

х+ з;3 + ... + = N

с условиями

<Я, « = 1,9, М=Нг) •

Тогда при Н > А'3/10+г справедлива асимптотическая формула:

и у 259723^3 а(А')Н* ( Н* \ — 2240---+

где сг(М) - особый ряд, сумма которого превосходить некоторое число с(АО >0.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Хардн, Лнттл-вуда., Рамаиуджапа в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Не о1'раннчивая общности, будем считать, что Я = _/у3/10+е) = 0,ЬНЬ~1, т = 24(^4- Н)Н, ает = 1, Е = [—ае, 1 - ее]. Легко можно показать, что

Щ, Н) = J Г9(а; М + Н, 2Н)е{-аМ)с1а + О •

Е

Разобьем множество £ на множества Ец, и12 и Е2: 2*1 = {а: д<д,(а,д) = 1, |а - < , * = +Н)*'

Ей = ¡а : д < <5, (а,д) = 1, 5 < а - - < — 1, I Я (¡г)

Ег = : <Э<Я<т, (а, <?) = !, а - -

<1 дт

Обозначая через /ц, 1\2 и 1г соответственно интегралы но множествам Ец, Ей н Е2, будем иметь

тН) = 1п + 1п + 12 + о(^^У (5)

В последней формуле /ц доставляет главный член асимптотической формулы для /(Л', Н), а /12 и ¡2 входят в его остаточный член.

Для получения асимптотической формулы для 7ц используем следствие 1.2.1.1 теоремы 1.2.1(поведение коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля в множестве Ец) и теорему 1.3.1. об оценке среднего значения модуля восьмой степени коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля.

Оценка интеграла 1\2 проводится тернарным методом с применением следствия 1.2.1.2 теоремы 1.2.1(оценка коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля в множестве Ей) ¿1 теоремы 1.3.1.

Оценка интеграла 12 также проводится тернарным методом с использованием оценки Г.Вейля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.3.1.

В заключении автор выражает благодарность профессорам В.Н. Чубарикову и З.Х.Рахмонову за научное руководство и постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Рахмонов З.Х., Мирзоабду1'афуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля// ДАН РТ, 2008, Т.51, №1. с. 5-15.

2. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51, №2. с.83-86.

3. Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51, №4. с. 245-247.

4. К.И.Мирзоабдугафуров, З.Х.Рахмонов. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. Материалы республиканской научной конференции 'Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика Джураева Абдухамида Джураевича, Душанбе 2007, с.39.

5. Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. Материалы международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений п информатики", посвященной 70-летшо академика Академии наук Республики Таджикистан Усманова Зафа-ра Джураевича, Душанбе 2007, с.55.

Сдано в 13.04.09 г. Подписано в печать 16.04.09 г. Формат 60x84. Гарнитура литературная. Тираж 100 экз.Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» ул.Дж.расулов 6/1

Обозначения.

Введение

1 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Теоремы об оценках коротких кубических тригонометрических сумм.

1.3 О среднем значении коротких сумм Вейля

2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для кубов с почти равными слагаемыми

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Особый ряд.

2.3 Асимптотическая формула для девяти кубов в проблеме Варинга

Впервые простейшие тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса":

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы: где 1р(х) = апхп + . + а\х - многочлен степени п > 1с условием (оп,. ,аь ЛГ) = 1.

1)

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-ген. Он установил неравенство с(п)^1-».

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием N оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида ж) = апхп + . + а\х и ап,., а 1- любые вещественные числа.

Впервые общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) дал Г.Вейль [1]. Поэтому такие суммы называются суммами Вейля. Г. Вейль построил метод с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы (2).

Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(¿) = аЬт + а+ . 4- ат в отрезке [а, 6] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. Существенным недостатком метода Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием т.

И.М. Виноградов[2]-[12] создал новый метод тригонометрических сумм. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов но и открыл широкий путь к решению новых. Он опубликовал ряд работ о суммах Вейля, в которых с помощью созданного им метода тригонометрических сумм коренным образом улучшил результаты Г.Вейля.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(ап,., ЛГ)|2А:. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней \Т(ап,., а\, более простой оценкой

2)

0<х<Ы интеграла i i

J(N-, n,k) = J .j \T(an,., ai, N)\2kdai. dan, о 0 то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем а\,. ап и поэтому теорему об оценке J{N] п, к) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему.

О значение его работ и их приложения следует судит не только по проблеме Варинга. Его результаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета функция Римана, L - функции Дирихле, равномерного распределения, диофантовых приближений, в проблеме о целых точек в многомерном эллипсоиде и.т.д.

И.М.Виноградов получил асимптотически точную оценку величины J(N-] п, к) вида

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген[14]-[15]. В'частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической- суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [16] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [20]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; п, к) при малых значениях к (см. работы A.A.

Карацубы [21], С.Б.Стечкина [73], Г.И. Архипова [27], Г.И.Архипова и В.Н. Чубарикова [24], Г.И.Архипова и А. А. Карацубы [28], Г.И.Архипова, А. А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [31], В.З. Соколинского [74], О.В. Ты-риной [75]).

Продолжением данных исследований является обобщение этих результатов на комплексной плоскости и в полях алгебраических чисел. В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговско-го типа с помощью кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел K.J1. Зигель [50] в середине сороковых годов двадцатого столетия. Эти исследования были продолжены Т. Та-тудзавой [78] и О. Кернером [79] . В этих работах впервые получается теорема о среднем значении для тригонометрических сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления £>-адического метода A.A. Карацубы доказательства теоремы о среднем значении, И. Еда [80] получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату И.М. Виноградова в случае поля рациональных чисел. Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова получил в работах A.A. Карацубы [22], Н.М. Коробова [37], [38], Г.И. Архипова [26], В.Н. Чубарикова [34], О.В. Тыриной [76], И.М.Козлова [77], Сорокина [81], [82] и др.

Следует отметить, что суммы Вейля при маленьких степеней п < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р. Вон.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм[7]. Данная задача была решена Г.И.Архиповым[26] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В

1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [24]-[25] дали обобщение реультатов Г.И.Архипова на кратный случай.

В 1976г. В.Н.Чубариков[32]-[33] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течении 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков[29]-[30] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [31]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте[35]-[36].

Сумма вида

Тк(аг,х,у)= е{апк), у = х\ в<1 х—у<п<х называются короткими тригонометрическими суммами Вейля.

Короткие тригонометрические суммы Вейля при п = 2ип = 3в множестве первого класса рассматривал З.Х. Рахмонов [39]-[40] при исследовании тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми.

В 1770 г. Варинг [41] в своих Алгебраических размышлениях" выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натуральное число является суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более 19 биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следующее: для любого целого положительного числа п > 2 существует число г = г(п), такое, что каждое натуральное число является суммой не более г п-ых степеней натуральных чисел, то есть всякое натуральное число N может быть представлено в виде + а:£ + .+ < = (3) с целыми неотрицательными х\,., хг.

Эта гипотеза получила название - проблема Варинга. Вероятно, уже Диофанту было известно, хотя и в другой форме, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов. Впервые точно теорему о четырех квадратах сформулировал в 1621 г. Баше, а Ферма объявил, что доказал ее, однако умер, не раскрыв своего доказательства.

В 1770г. опираясь на известное алгебраическое тождество Эйлера: а\ + а\ + а\ + + Ь\ + Ь\ + Ь24) = <$ + 4 + 4 + с|,

С1 = а\Ь\ + +а2Ь2 + <23&3 + а4&4, С2 = Й1&2 — «2&1 + аз&4 - 04&з, сз = — + — ^264, С4 = аф 4 — 0461 + 0263 — а36 2,

Лагранж доказал, что любое натуральное число N представимо в виде квадратов четырех квадратов целых чисел. Доказательство теоремы о четырех квадратах приведено в [45].

В XIX веке проблема Варинга было доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в ХХ-ом веке. В 1909г. Д.Гильберт впервые доказал следующую теорему:

Теорема. (Д.Гильберт ) Для любого фиксированного натурального числа п существует определенное число г, зависящее только от п, такое, что для каждого натурального N уравнение (3) имеет решение в целых неотрицательных числах хг, х2,., хТ.

Конечно, основное здесь то, что г не зависит от N, иначе утверждение было бы совершенно тривиальным, поскольку N = ж" + х2 + . + х^

ВерНО При Х\ — Х2 = • • ■ = Ждг = 1.

Доказательство Гильберта [43] было очень громоздким в формальном отношении и опиралось на сложные аналитические теории (кратные интегралы). Например, он с помощью 5-кратных интегралов доказал, что для всякого п имеет место тождество м xl + х\ + х\ + х\ + xf)n = rh{aihXl + CL2hX2 + • • • + ashXb)2n

1=1 с пятью переменными ., £5, где ацг- целые, а г д-положительные рациональные числа и (2т + 1)(2т + 2) (2т + 3)(2т + 4) 1 • 2 • 3 • 4 '

После Гильберта ряд математиков дали различные, более простые, чем у Гильберта, доказательства теоремы Варинга. Сравнительно элементарное доказательство теоремы было дано в 1942г. Линником [17].

Для каждого п можно рассматривать наименьшее значение г, при котором каждое натуральное N представимо в виде (3), и это значение г, зависящее от п, обозначают обычно через д(п).

Например, д{2) = 4. Действительно, как мы отмечали выше, каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел и существуют числа не представимые в виде суммы трех квадратов, например, как это легко видеть, все числа вида N = 8к + 7.

Гильберт [42] сложным комбинаторным методом при помощи алгебраических тождеств (см. [51], [52], [53]) первым доказал существование д(п) для всех п.

При п = 3 было доказано, что д(3) < 9. Существуют два числа, а именно 23 и 239, которые нельзя представить в виде суммы восьми кубов,что означает: д(3) > 9, а значит #(3) = 9.

Оказывается, что, кроме этих двух чисел, все остальные натуральные числа представимы в виде суммы восьми кубов. Вообще, для каждого п существуют сравнительно небольшие числа N, для которых в уравнении

3) приходится брать много слагаемых; наличие таких чисел определяет то, что при увеличении п функция д(п) быстро растет. Легко можно показать, что при N = 2П[^], д(п) — 2п + д(п) >2п + з1 2"

32 2" 2. Это означает, что

-2

2п

- 2. Имеются основания предполагать, что 2П + является для всех п > 1 истинным значением д(п). Известны следующие результаты.

Теорема. Если при натуральном п, отличном от 4 и 5, имеет место неравенство гоп1 гоп,

3" 2П — < 2п — — , (4)

2п \ — 1.2"^ то д(п) = 2п +

-Зп.

2П.

-2.

Эта теорема является результатом работ ряда математиков начиная с Лагранжа, рассмотревшего случай п = 2. Частными случаями этой теоремы является то, что д(3) = 9, д(6) = 73, #(7) = 143, #(8) = 279. Случай п—3 был рассмотрен Виферихом в 1909 г., а случай п = 6- индийским математиком Пиллаи [66] в 1940 г. При п > 7 результат теоремы был получен в работах Диксона [57]-[64] и Нивепа [65].

Теорема. Если при натуральном п имеет место неравенство

ГЗП1 гЗп1 П

2п 2

2п. то д{п)

- 2, при 2п =

3, при 2п <

32 2п

32 2"

4"

З75"

1 3" +

3» 2"

32. 2" +

4"

3»

4«

3"

Этот результат принадлежит Диксону. Следует отметить, что неравенство (4) было проверено для очень многих п, и пока не было найдено ни одного натурального п, для которого оно было бы неверным.

В 1957 г. Малер [68] доказал существование щ такого, что формула

ГЗП1

9(п) = 2п +

2п

- 2 верпа при всех п > по.

С другой стороны, электронно-вычислительные машины дали возможность Стеммлеру [69] в 1964 г. установить справедливость этой формулы для всех п < 200000.

Существование д(4) было доказано впервые Лиувиллем в 1859 г. Точные значения д{4) и д(5) до сих пор неизвестны. Число 79 нельзя представить в виде 18 биквадратов, так что д(4) > 19. С другой стороны, было доказано, что #(4) < 35, т. е. 19 < <?(4) < 35 (Диксон). Томас [70] показал, что д{4) < 22 а Баласубраманиян [67] в 1984г. анонсировал, что д{4) < 21. Относительно д{5) известно, что 37 < д(5) < 40 (Чень Цзынь-джунь).

Обозначим через С(п) наименьшее значение г, при котором уравнение (3) имеет решение в целых неотрицательных числах Х2,., хг, для всех чисел N, начиная с некоторого N > N0, т. е. для всех натуральных чисел N, исключая, может быть, только конечное их число. При п = 2 значения д(п) и* (?(п) совпадают: (2(2) = 4, так как существуют сколь угодно большие числа, не представимые в виде суммы трех квадратов.

Интересной проблемой является оценка числа С?(п), определяемого при п > 2 как наименьшее г, такое, что каждое достаточно большое натуральное число есть сумма не более г п-х степеней натуральных чисел. При этом оказывается, что для больших п С(п) намного меньше, чем д(п), что, естественно, делает его оценку намного более трудной.

В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литтлвуд [44]. Нужно отметить, что именно они ввели эти две функции д(п) и С?(п). Харди и Литтлвуд доказали, что п < вШ) < п2п~1к] 1ип Н = 1. п->оо

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при г > (п - 2)2n1 + 5 для числа I(N) представлений числа N в виду (3) нашли асимптотическую формулу вида

I{N) = + (5)

Г [r/n) где er- некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число ci(n,r) и ci(n,r) > 0.

В 1924 г.И.М. Виноградов [4] применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм. Это не только сильно упростило доказательство проблемы Варинга, но и открыло путь к принципиальному уточнению полученных здесь результатов и решению новых проблем. Он доказал [8], что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (5) имеет место при г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)].

В 1934 г. он доказывает [5] также, что G(n) < п(6 In гг+Ю), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает [9], что

G(n) < 77.(2 Inn + 4 In 111 77, + 2 In In In n -f-13).

A.A. Карацуба [23] применил к оценке G(n) свой р - адический метод и получил более точный результат

G(n) < 77,(2 In тг + 2 In In п + 12).

Wooley T.D. [49] доказал, что

G{n) < n Inn + n In Inn + 0(1).

Фактически величина G{n) известна только для к = 2 и к = 4, именно

G{ 2) = 4, G{ 4) = 16. 13

Последний результат доказал Davenport [56]. Линник Ю.В. [17] доказал, что G(3) < 7, упрощенное доказательство которого дал Watson [54]. Vaughan [48] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (5) имеет место при г = 8 и п = 3.

Диссертационная работа посвящена оценке коротких кубических сумм Вейля, среднему значению модуля восьмой степени таких сумм и выводу асимптотической формулы в проблеме Варинга для девяти кубов при условии, что все слагаемые почти равны.

Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава состоит из трех параграфов, первые параграфы которых носят вспомогательный характер.

Во втором параграфе первой главы для случая п — 3 изучается поведение коротких кубических сумм Вейля:

Т3(а',х,у)= е(ст3), а =- + A, (a, q) = 1, q < т, |А| < —. х—у<п<х ^ ^

Теорема 1.2.1. Пусть х > xq > 0, 0<у < 0, Olx, г > 12ху, q <т, а = ^ + A; (a,q) = 1, |А| < Тогда при {ЗАя2} < А > 0 или {ЗАж2} > 1 — ^; А < 0 имеет место соотношение

Т3(а, х, у) = ж, у) + О^П а при выполнении условия {ЗАгс2} > щ, А > 0 или {ЗАа;2} < 1 — щ, А < 0; имеет место соотношение

Гз(а, х, у) = ж, у) + 0(д2/3 In q + q^x1"), n=1 V 4 J

Полученное асимптотическое поведение является обобщением теоремы Р. Вона для коротких сумм и уточнением результата З.Х. Рахмонова.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования

Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

Следствие 1.2.1.1 Пусть х > х0 > 0, у < 0,01ж; т > 12 ху, д <т, а = | + А;(а>д) = 1, |А| <

Тогда имеет место соотношение

Тз(а, у) = д)7(Л; у) + 0(д1/2+£),

0,5 у(\-,х,у)= I е(А(х-| +

-0,5

Следствие 1.2.1.2 Пусть х > хо> 0, у < 0,01ж; т > 12ху, ц < т, а = ^ + Л; (а,д) = 1,

Тогда имеет место оценка

Т3(а, ж, у) < 1пд + д^х1'2.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения модуля восьмой степени коротких кубических сумм Вейля обобщена теорема Хуа Ло-гена:

Теорема 1.3.1. При х > хо > 0, у/х < у < 0,012; имеет место оценка 1

I \Т(а-х,у)\8с1аСу5+£. о

Основу доказательства этой теоремы составляют вышеупомянутый метод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового уравнения.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Особый ряд

Я=1 а=0 У \ Ч /

4 (о,д)=1 абсолютно сходится и существует положительная постоянная такая, что а = > С > 0.

В третьем параграфе второй главы, асимптотическая формула в проблеме Варинга для девяти кубов доказывается с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Теорема 2.3.1.Пусть ЛГ — достаточно большое натуральное число, I(ТУ, Н) — число решений в целых числах Х2, • •., хд уравнения х\ + х1 + . + х1 = N с условиями

Л/Л1/3 г = 1,9, #!=(--) .

Тогда при

Н > ЛГ3/10+£ справедлива асимптотическая формула 259723^3 *(ГГ)Н* ( Я8 \ где сг(А^) - особый ряд, сумма которого превосходит некоторого числа с{Ы) > 0.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтл-вуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Не ограничивая общности, будем считать, что 0,5ЯЬ-1, т = 24(Л^1 + Н)Н, аег = 1, Е = [—ае, 1 - эе]. Легко можно показать, что

Н) = I Т9(а; Мг + Я, 2Н)е(-аМ)с1а + О , Е

Разобьем множество Е на множества Ец, и Е2: а а

Обозначая через /ц, /12 и /2 соответственно интегралы по множествам Ец, Е\2 и , будем иметь

В последней формуле /ц доставляет главный член асимптотической формулы для /(./V, Н), а /12 и /2 входят в его остаточный член.

Для получения асимптотической формулы для /ц используем следствие 1.2.1.1 теоремы 1.2.1 (поведение коротких кубических тригонометрических сумм Вейля в множестве Ец) и теорему 1.3.1. об оценке средней значение модуля восьмой степени коротких кубических тригонометрических сумм Вейля.

Оценка интеграла Д2 проводится тернарным методом с применением следствие 1.2.1.2 теоремы 1.2.1 (оценка коротких кубических тригонометрических сумм Вейля в множестве Ей) и теорему 1.3.1.

Оценка интеграла /2 также проводится тернарным методом с использованием оценки Вейля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.3.1.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессорам В.Н.Чубарикову и З.Х.Рахмонову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе.

6)

1. weyl н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

2. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507.

3. Виноградов И.М. О теореме Варинга//Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.4. виноградов И.м. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

4. Виноградов И.М. О верхней границе G(k) в проблеме Варин-га//Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

5. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G{n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

6. И. м. виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

7. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

8. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

9. Виноградов И.М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981г., 176с.

10. Ло-КЕН Хуа. Аддитивная теория простых чисел// Труды МИАН СССР, 1947, Т, 22, с.1-179.

11. ХУА ЛО-ген Метод тригонометрических сумм. М.: Мир, 1964, -190с.

12. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля// ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.

13. ЛИННИК Ю В. О разложении больших чисел па семь кубов// ДАН СССР, 1942, №35, с.179-180.

14. ЛИННИК Ю В. О разложение больших чисел на семь кубов// Матем. сб., 1943, Т. 12(54), №2, с.218-224.

15. Линник Ю В. Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шнирельмана, Математический сборник// Матем. сб., 1943, Т.12(54), №2, с.225-230.

16. Карацуба A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа//Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

17. КАРАЦУБА A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

18. КАРАЦУБА A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

19. КАРАЦУБА A.A. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5, с.935-947.

20. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

21. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

22. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения //Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

23. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

24. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68

25. ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интегра-ле//ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.

26. WARING Е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

27. ГИЛЬБЕРТ Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: Изд-во "Факториал", 1998. 575с.

28. Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161-168.45. hardy G.h., Wright E.M.An introduction to the theory of numbers, 5th edn. Oxford:Oxford University Press B], 1979.

29. Р.Вон Метод Харди-Литтлвуда-Перев.с.анг. М.Мир, 1985, -184c.

30. VAUGHAN R.C. Some remarks in Weyl sums. Coli. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

31. Ellison, W. J. Waring's problem// Am. Math. Mon., 1971, 78, pp.10-36.54. watson G.L. J. London math. Soc., 1951, 26, pp.153-156.

32. Уиттекер Э.Т., batcoh Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.-342 с.

33. Dickson L. E. On Waring's problem and its generalization// Ann. Math., 1936, 37, pp.293-316.

34. Dickson L. E. The ideal Waring theorem for twelfth powers// Duke Math. J., 1936, 2, pp. 192-204.

35. Balasubramanian R. Mozzochi C. J. An improved upper bound for G(k) in Waring's problem for relatively small к// Acta Arith.,1984, 43, 283-285.

36. MAHLER K. On the fractional parts of the powers of a rational number II// Mathematika, 1957, 4, pp.122-124.

37. STEMMLER R.M. The ideal Waring theorem for exponents 401-200000// Math.Сотр., 1964, 18, pp.144-146.70. thomas H. E. Jr. Waring's problem for twenty two biquadrates// Trans.Am.Math. Soc., 1974, 193, pp.427-430.

38. Титчмарш E.K. Теория Дзета-Функции Римана. -М.:Изд-во Иностранной Литературы, 1953, -409с.

39. Абрамович В. Числа Бернулли// Квант, 1974, №6, с. 10-14.73. стечкин С.б.о средних значениях модуля тригонометрический суммы// Труды МИАН им. В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283-309.

40. Tatuzava Т. On the Waring problem in an algebraic number field// Jour. Math. Soc. Japan, 1958, 10,№3,pp.322-341.79. korner O. Über Mittelwerte trigonometrischen Zahlkorpern// Math. Ann., 1962, 147, pp.205-209.

41. Eda Y. On the meanvalue problem in an algebraic number field// Jap. J. Math., 1967, 36, pp. 5-21.

42. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля// ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.

43. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83-86.

44. Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вей-ля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245-247.