Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

АЗАМОВ АСЛИДДИН ЗАМОНОВИЧ

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ ДЛЯ ЧЕТВЕРТЫХ СТЕПЕНЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ИЮН 2011

Душанбе - 2011

4849881

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусепович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гриценко Сергей Александровы»

кандидат физико-математических наук, донент Бабаева Рафоат

Ведущая организация: Таджикский государственный

педагогический университет имени С.Айни

Защита состоится 1 июля 2011 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан <3 О» ¿ной 2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ¡^ Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящаяся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)(шш бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом1 в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка (?(п), т.е., что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

где Хх, Х2,... ,хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины С(п), называемой порядком базиса последовательности {хп}, или функцией Харди; • поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная степень п простых чисел р при любом натуральном п образует базис конечного порядка У(п) в натуральном ряде. Вновь постановка этой проблемы появилась в работе П. Эрдёша2. Другими словами, предполагалось, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде

где Pi,P2, ■■ ■ ,Рк — простые числа и к < V(n). Данная задача называется проблемой Гольдбаха - Варинга, поскольку обобщает, с одной стороны, проблему Гольдбаха о представлении числа суммой простых чисел, а, с другой стороны — проблему Варинга о представлении числа суммой степеней натуральных чисел.

'Waring е. Meditatkmes algebraica«. Cambridge. 1770.

2ErdóshP. On the easier Waring problem for powers of primes. I. // Proc. of the Cambridge Phil.

Soc., January 1037, V. XXXIII, Part I, p. 6-12,

(1)

N=p'{+pn2 + ---+pl

(2)

• теорема Эстермана 3 о представлении натурального числа N > Nq в виде pi + Р2 + т2 = N, р\ и р2~'фостые числа, m-целое число.

И.М. Виноградов4 в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Полученная оценка в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде

N = р!+р2 + рз, (3)

следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

Бинарная проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Лучший современный результат, наиболее близко подходящий к доказательству этой проблемы, принадлежит Чсну5. В этой знаменитой работе Чен доказал, что каждое четное число N представимо в виде

p + P2 = N,

где i"2~простое число или произведение двух простых чисел.

В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в ХХ-ом веке. В 1909 г. эту проблему решил Д.Гильберт6, тем самым он установил существование функции G(n).

Харди и Литтлвуд7 в 1920 г. дали новое доказательство проблемы Варинга. Именно они ввели функцию G(n) и доказали, что

п < G(N) < n2n~1h; lim h = 1

n—ЮО

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при

г > (п - 2)2"~1 + 5

3EsteRMANN Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

4Виноградов И.М.Ичбраттыр труды. - M.: 1Ьд-во АН СССР, 1952.

5Chen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at mast two primes // Kexue Tongbao, 1900, v.17, p.385-4380.

"Гильберт Д. Избраппые труды. Т.1. Теория ппварнаптоп. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: 1Ьд-во "Факториал 1998. - 575с.

'HARDY G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. рр.161-1С8.

для числа J(N) представлений числа N в виде я" + + ■ ■ ■ + я" = N нашли асимптотическую формулу вида

J(JV) = ^l/n))V.-lg + 0(Jví-l-o(n,r)) (4)

Г(г/п)

где б- некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число Ci(n,r) и c¡(n,r) > 0.

В 1924 г. И.М.Виноградов4'8 применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм и доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при

г > 2[п2(2 Inn + In Inn + 3)].

В 1934 г. он доказывает9 также, что

G(n) < n(61nn + 10),

затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает10, что

G(n) < n(21nn + 41nlnn + 21nlnlnn+ 13).

A.A. Карацуба11 применил к оценке G(n) свой р - адический метод и получил более точный результат

G(n) < п(2 In п + 2 In In п + 12).

Були12 доказал, что

G(n) < nlnn + nlnInn + 0(1).

Величина G(n) известна только для n = 2 и n = 4, именно G(2) = 4, G(4) = 16, что соответственно доказали Лагранж и Давснпорт. Ю.В. Линник13 доказал, что G{3) < 7. Вон14 доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (4) имеет место при г = 8 и n = 3.

В 1938 г. Хуа Ло Ген15, пользуясь оценкой И.М. Виноградова для тригонометрических сумм с простыми числами, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа

"Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варипга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507. 'Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варнпга//ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341. '"Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G{n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

"Карацуба A.A. О функции G(n) в проблеме Варнпга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 19S5, Т.49, №5, с.935-947.

"WOOLEY T.D. Utrc improvements in Warinß's problem // Ann of Malh., 1992, (2)1.45, №1, pp.1.41-164.

"Линник Ю В. О разложепип больших чисел па семь кубов// ДАН СССР, 1942, №35, с.179-180. 14Vaughan R.C.On Warmg's problem for cubes // J. Reine Angew. Math.,1986, 365, pp.122-170. isHua L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80

б

N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показа!, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(rriod24). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = 5(mod24) является суммой пяти простых квадратов.

И.М. Виноградов4 с помощью своего метода тригонометрических сумм нател асимптотическую формулу и проблеме Гольдбаха - Варипга. В асимптотической формуле И.М. Виноградова вопрос о положительности особого ряда <х = а (к; N), то сеть вопрос о существовании функции V(n) и ее верхней оценки в зависимости только от значения параметра п до 2009г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха - Ва-ринга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

В.Н. Чубариков10, используя свою теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющейся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, полностью решил проблему Гольдбаха - Варинга.

После создания метода тригонометрических сумм и метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова основным аппаратом в аддитивной теории чисел стала оценка тригонометрических сумм. И.М. Виноградов также первым начал изучать тригонометрические суммы, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, которые возникают при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми. Он4, впервые для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

S(a;x,y)= A(ra)e(cm), а = - + А. |А| < —, 1 < q < т.

X у<п<х ® ^

используя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетривиальную оценку при

exp(c(ln In х)2) < q «Г а:1/3, у > x2/i+€. Затем Haselgrovc C.B. 17, В. Статулявычус18, Jia Chao-hua19, Пан Чсн-

1бчубариков В.Н. К проблеме ВарнпгагГольдбаха В. Н. Чубариков // Доклады Академии паук. - 2009. - Т.427, №1, с. 24-27

17Has15LGROVI3 C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,2G (1951),273-277.

18статуляшг1ус в. О представлепии нечетных чпеел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.

19Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

дон и Пан Чсн-бьяо20, 211ап Тао21 получили нетривиальную оценку суммы Я(а.х.у), у > хв, ц — произвольное, и доказали асимптотическую формулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения (3) с условиями

N

ft- 3

< Я, Я = Ne+E

соответственно при

в = 63/64 + 279/308 + е, 2/3 + е, 5/8 + е.

Jianya Liu и Тао Zhan22 доказали теорему Хуа Jlo Гена об представимости достаточно большого натурального число N, N = 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эта слагаемые почти равны. Они показали что достаточно большое натуральное число N, N = 5(mod24) можно представить в виде

N = pI + ...+PI

Pi

< Я, Я > NЗ4

З.Х.Рахмонов23 и Дж.Л. Шокамолова24 исследовали уравнение Эстср-мана

Р1 + рг + т2 = Ы, (5)

ГД° Рь Р2 - простые числа, т — натуральное число с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и вывели асимптотическую формулу для числа решений (5) с условиями

7V 3

< Я; г = 1,2,

т2-

N

< Я; Я > JV3/4ln2iV.

З.Х.Рахмонов и С.П. Шозисева25 нашли асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то сеть когда в уравнении Эстсрмана квадрат натурального т заменяется на его

20Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

21Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinics, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.

22J Y Liu, T Zhan. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.10, No.4, pp. 009Ц090.

23Paxmohob 3-Х. Териарпая задача Эстермапа с почти равными слагаемыми // Мат.заметкп, 2003, Т. 74, Вып. 4, с.504-572.

24Шокамолова Дж.А. Аспмтотическая формула в задаче Эстермапа с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332.

25Рахмонов З.Х.,Шозиёева С.П. Кубическая задача Эстермапа с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.

куб. Они доказали асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа N, N > N0 в виде суммы простых чисел р\, Р2 и куба натурального т с условиями

В работе20 исследована проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми, а именно доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел Х{, ¿ = 1,9 с условиями

Цель работы. Целью работы является изучение поведения тригонометрических сумм Всйля четвертого порядка, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и их приложение в асимптотической формуле проблемы Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод сглаживания двойных тригонометрических сумм И .М .Виноградова;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Изучено поведение тригонометрические сумм Г. Всйля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов;

• Для сумм Всйля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, доказана теорема Хуа Ло-гсна, то сеть найден правильный порядок интеграла от шестнадцатой степени модуля суммы этой суммы;

26Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варипга для кубов с почти равпыми слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83-86.

Р;-^ < Я; г = 1,2, т3-^ < Я; Я > ЛГ5'® 1п3 ЛГ.

о о

• Получена асимптотическая формула в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней с почти равными слагаемыми.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на об-щсинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члепа-коррееиондепта All РТ З.Х.Рахмошша в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики"( 2007 г.), "Современные проблемы математического анализа и их приложений" (2010 г.) в Институте математики АН РТ; на. научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2006-2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы включающего 87 наименований. Объём диссертации составляет 62 страницы ком-пютерной вёрстки в редакторе математических формул ВТ^Х.

Содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из двух глав и посвящена оценке сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, среднему значению шестнадцатой степени модуля таких сумм и выводу асимптотической формулы в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что вес слагаемые почти равны.

Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые в последующих параграфах применяются. Второй параграф второй главы посвящен коротким тригонометрическим суммам Вейля четвертой степени.

Г.Всйль27 впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(ат, öm-l, . . . , tti) = Y1е (/(")) - fit) = а™Г + + . . . + ttli,

n<x

27Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann. 1916, 77, s.313-352.

которые в его чееть И.М.Виноградов назвал суммами ВеЙля. Основная идея метода Всйля состоит в сведении суммы Т(ат. am-i,..., Qi) степени к к оценке суммы m — 1 - степени и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы.

У1 е(ап) < min (х, ||а||).

п<х

Из оценки Г.Всйля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) в отрезке [a, b] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов4 в 1934 г. создал новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Всйля. Этим новым методом И. М. Виноградов получаст принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым28 ), в проблеме Гильберта - Камке (К. К. Ма,рджанишвили29)и в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Суммы Всйля при маленьких степенях m < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону30. Короткой тригонометрической суммой Всйля называется сумма вида

е(апт), у = х\ в < 1.

х-у<п<х

Такие суммы при m = 2 и m = 3 в множество первого класса рассматривались в работах23,24'25'20.

В этом параграфе мы будем изучать короткие тригонометрические суммы Всйля четвертого порядка в множестве первого класса и всюду будем считать, что х > xq > 0, у < 0,01г. Воспользуемся следующими обозначениями:

а=- + \, {a,q) = 1, q < г, |А| < —,

q qr

Т(а;х,у) = J2 <ап*)> 5(a,9) = ¿e(—)•

х-у<п< X п=1 V 9 /

28Чудаков Н.Г. О функциях <{я) п п(х) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-42G.

2яМарджанишвили К.к. Об одновременном представлении гс чисел суммами полных первых, вторых,... , п - х степеней / ' Изв. АН СССР, Сер, мэт., 1937, т.1, с. 609 - 631.

*10VaUGHAn R.C. Some remarks in Weyl вита. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 19S1.

Теорема 1.1. Пусть т > 24х2у, тогда при {4Лх3} < Л > 0 или {4Аж3} > 1 — щ, А < 0 имеет место соотношение

Т(а,х:у) = ^>Т(Х;х,у) + 0(^2+%

а при выполнении условия {4Ах3} > А > 0 или {4А.т3} < 1 -А < О, имеет место соотношение

Т(а,х,у) = ^-Т(Х-,х,у) +0 (q^lnq + q^2) .

Следствие 1.1.1 Пусть т > 2Ах2у и |Aj < тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) - |5(а, <fb(A; х, у) + 0(д1/2+£),

0,5

7(А]Х,у) = I е{\[х-\ + ytf)dt.

-0,5

Следствие 1.1.2 Пусть т > 24х2у и < |А| < тогда имеет место оценка

Tia/x^yj^q^lnq + q1^2.

Теорема 1.1. является обобщением теоремы Р.Вона30 для коротких сумм при т = 4.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Всйля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, получена правильная по порядку оценка.

Теорема 1.2 Пусть х и у — натуральные числа, фс < у < 0,01а;, тогда гшеет место оценка

i

J\T(a-,x,y)\l6da<yl2+e.

о

Эта теорема является обобщением следующей оценки Хуа Ло-гсна

1 /

Y1 <птк)

т~ 1

V

da. « x2i~j+£, 1 < j < к,

для тригонометрических сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов. Заметим, что для кубических тригонометрических сумм Г.Всйля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, подобная оценка получена в работе31.

Основу доказательства этой теоремы составляет вышеупомянутый метод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового уравнения.

Во второй главе, прилагая теорему 1.1 о поведении тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов и теорему 1.2 о среднем значении шестнадцатой степени модуля таких сумм, доказана теорема об асимптотической формуле в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что слагаемые почти равны.

Воспользуемся следующими обозначениями: N —достаточно большое натуральное число, е произвольное положительное число, не превосходящее 0.0001,

/ дгу /« 455518671766086477 _ ^

1 \17 J ' 83691159552000

Теорема 2.1.1 Для числа J(N,H) представлений N суммою 17 четвертых, степеней чисел xi: г = 1,2,... ,17 с г;словиями \xi — iVj| < Я, при Я > N13^ справедлива асимптотическая формула:

Яб(ЛГ)Я16 ( Я16

№/4 ^ \N3/4n16N

где &(N)~ особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Последнее утверждение теоремы о том, что сумма особого ряда <5{N) больше некоторого положительного постоянного, непосредственно следует из теоремы 4.6 монографии32.

31мир30абдугафур0г) К.И. О средпем зпачеппи коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245-247.

32Р.Вон Метод Харди-Литтлвуда-Перев.с.анг. М.Мир, 1985, -184с.

Следствие 2.1.1 Существует такое N0, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы 17 четвертых степеней почти равных чисел Х{:

ЛГ\1/4

Х<~1Ъ)

<дг13/54+£) г = 1,2,..., 17.

Доказательство теоремы 2.1 проводится круговым методом Хардн, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствия 1.1.1 и 1.1.2 теоремы 1.1, 1.2. Основные этапы доказательства теоремы 2.1:

г

Будем считать, что Я = N1 = f/N/17, Q = 0,5HL~l,

t = 48(JVi + H)2H, œr = 1. При целом x имеем

'/<-*-{k m

— se

Поэтому

se

J(N, H) = ••■ f e{a{x\ + x\ + ... + x\7~N))da =

| n-N^H |117-ЛГ,|<Я

1-a? / \ 17

= i ^ c(ûîi4) j e(—aN)da. -s \l"-JVi|<H /

Воспользуясь соотношением

T{a;N1+H,2H) = e(cm4) = ^ e(an4) -

где \01 равен 1, сели Ni — H- целое число, и 0 в противном случае, легко можно показать, что

1-ж

J(N, Я) = j Т17(а; Nx + Я, 2H)e(-aN)da + О (j^^j ,

¿ju

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [— ае, 1 — ае] представимо в виде

а = - + A, (a, q) = 1, 1 < q < т, |А| < —. (6)

Q QT

Легко видеть, что в этом представлении 0 < а < q — 1, причем а = О лишь при <з=1. Через ÜK обозначим тс а, для которых q < Q в представлении (6). Через m обозначим оставшиеся а. Множество 9Я состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество 9Я на множества QJti и Ш2:

Ш1 = {а: asm, 6 = ;

Ш2 = la : аеШ, S< а - - < —) .

I 9 fj

Обозначим через J(9Jti), J(0.Я2) и J(m) соответственно интегралы по множествам , Ш2 и тп. Будем иметь

j(n,н) = j(mi) + j{m2) + J(m) + 0 {j^wjß) ■ (7)

В последней формуле первый член, т.е. ./(íüíi) доставляет главный член асимптотической формулы для J(N, Н), a J(®Í2) и J(m) входят в его остаточный член. Для получения асимптотической формулы для J(9Jti) используем следствие 1.1.1 теорему 1.1 (асимптотическая формула с главным членом для короткой тригонометрической суммы Т(а,х,у) в случае а "близких" к рациональному числу с малыми знаменателями a/q) и теорему 1.2. об оценке среднего значения шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Всйля четвертой степени, переменное суммирование которых, принимает значения из коротких интервалов.

Оценка интеграла./(Ш^) проводится тернарным методом с применением следствия 1.1.2 теоремы 1.1 (оценка Т(а;х,у) в множестве 9Яг) и теоремы 1.2.

Оценка интеграла m также проводится тернарным методом с использованием оценки Г.Всйля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.2.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахлюнов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Всйля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

2. АЗАМОВ А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Всйля четвертой степени // ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с.13-17.

3. АЗАМОВ А.З., РАХМОНОВ З.Х. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми Ц ДАН РТ, 2011, т.54, №3.с 34-42.

4. азамов А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Всйля четвертой степени. Материалы международной научной конференции "'Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной (Ю-лстию академика К. X. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., стр 0—10.

Подписано в печать 05.05.2011. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Цена договорная.

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» ул. Дж.Расулов 6/1

Обозначения.

Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г. В ей ля четвертой степени

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Оценка коротких тригонометрических сумм Вейля четвертой степени в множестве первого класса.

1.3 Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени.

2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми

2.1 Основная теорема

2.2 Известные леммы.

2.3 Доказательство основной теоремы.

Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящимся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)( или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом [1] в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G{n), т.е., что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде sj + *!? + . + = W, (1) где Ж1, Ж2,. •, хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {хп}, или функцией Харди; есть для числа решений диофантова уравнения (3) с условиями N

Pi Я, Я = Ne+£ решении соответственно при

0 = 63/64 + 5, 279/308 + е, 2/3 + е, 5/8 +е.

Китайские математики Jianya Liu и Tao Zhan [47, 48, 49, 50] доказали теорему Хуа JIo Гена о представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5(mod24) можно представить в виде W

Pj Я, Я > N%+£

Рахмонов З.Х.[51] и Шокамолова Дж.А. [52] исследовали уравнение Эстер-мана

Р1+Р2 + ГП2 = И, (5) где Р1, Р2 — простые числа, т — натуральное число с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и вывели асимптотическую формулу для числа решений (5) с условиями N

Pi ~ Я; % = 1,2 5 т2 — N Я; Я > N3/4 In2 N.

Рахмонов З.Х. и Шозиёева С.П. [53] нашли асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении Эстермана квадрат натурального т заменяется на его куб. Они доказали асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа N,N>N03 виде суммы простых чисел р\, рч и куба натурального га с условиями N

Pi Я; г = 1,2, га3 N Я; Я > N5/6ln3N.

В работе [54] исследована проблема Варинга для девяти кубов с почты равными слагаемыми, а именно доказана асимптотическая формула для количества представления достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел Х{, г — 1,9 с условиями

Диссертационная работа состоит из двух глав и посвящена оценке сумм Вей-ля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, среднему значению шестнадцатой степени модуля таких сумм и выводу асимптотической формулы в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что все слагаемые почти равны. * Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые в последующих параграфах применяются. Второй параграф второй главы посвящен коротким тригонометрическим суммам Вейля четвертой степени.

Г.Вейль [55] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(ат, ат-ъ ., ац) = ^ е (/(п)), /(*) = а1ПЬт + 1 + . + которые в его честь И.М.Виноградов [6] назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы Т(ат, ат-1,., ах) степени к к оценке суммы т — 1 - степени и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы

Я > ДГ3/10+£. п<х

У^ е(ап) < тт (ж, ||о;||).

Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(£) в отрезке [а, Ъ] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов [5] в 1934 г. создал новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым [56]), в проблеме Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили [57]), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(аП7., . Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |Т(ап,., с^, ]У)|2А: более простой оценкой интеграла

1 1

J{N] п, к) = \Т{ап,.,(Х1,М)\2к<1а1 о о то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем с^х,. ап и поэтому теорема об оценке J(N•, п, к) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N] п, к) вида

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген[31, 32]. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [58] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [59]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N] п, к) при малых значениях к (см. работы [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм [18]. Данная задача была решена Г.И.Архиповым[68] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [69], [70] дали обобщение реультатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков[71, 72, 73] получил оцеики кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [74, 75] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [76]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [35, 36].

Суммы Вейля при маленьких степенях т < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону [77, 78]. Короткой тригонометрической суммой Вейля называется сумма вида е(стт), у = х\ в< 1. х—у<п<х

Такие суммы при т = 2ит = 3в множестве первого класса рассматривались в работах [51, 53, 79, 80]. В этом параграфе мы будем изучать короткие тригонометрические суммы Вейля четвертой степени в множестве первого класса и воспользуемся следующими обозначениями: х > > 0, у < 0, 01ж,

Т(аг,х,у)= ^ е(шг4), х—у<п<х а = - + А, (а, д) = 1, д < т, |А| < —, Я. ЦТ

Ть{а\х,у)= ^ е!ап4--К Т(а; ж, у) = Т0(а; х, у), х—у<п<х ^ У /

Зь{а,я) = (—-—V 5(а,д) = 50(а,д). п=1 \ У /

Теорема 1.1. Пусть г > 24ж2т/; тогда при {4Аж3} < А > 0 шш-{4Аж3} > 1 — А < 0 имеет место соотношение

Т(а, х, у) = А; „) + а при выполнении условия {4Аж3} > щ, А > 0 или {4Аж3} < 1 — щ, А < 0; имеет место соотношение

Т(а, х, у) = Ё±М1Т(А; х, у) + О (д3'41п д + д1'4*1'2) .

Следствие 1.1.1 Пусть т > 24х2у и |А| < 3^3, тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = |5(а, д)7(А; ж, у) + 0(д1/2+£),

0,5 т(л-х,у)= i е(л(®-| +

-0,5

Следствие 1.1.2 Пусть т > 24ж2?/ гг ^з < |А| < тогда имеет место оценка

Т{а,х,у) «^Ьд + д1/4*1/2.

Теорема 1.1 является обобщением теоремы Р. Бона [77] для коротких сумм при гп = 4.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, получена правильная по порядку оценка.

Теорема 1.2 Пусть х и у — натуральные числа, л/х < у < 0,01ж; тогда имеет место оценка 1 о

Эта теорема является обобщением следующей оценки Хуа Ло-гена

2-» а <С х2*-э+£, 1 <3<к, для тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов. Заметим, что для X

771=1 кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, подобная оценка получена в работе [81].

Основу доказательства этой теоремы составляют вышеупомянутый метод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового уравнения. Во второй главе, прилагая теорему 1.1 о поведении тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов и теорему 1.2 о среднем значении шестнадцатой степени модуля таких сумм, доказываем новую теорему об асимптотической формуле в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что слагаемые почти равны.

Воспользуемся следующими обозначениями: N —достаточно большое натуральное число, е - произвольное полоэюителъное число, не превосходящее

0.0001, L = ]xlN,

ЛТ 455518671766086477 .сссо ос

N1 = ( — , В ---V173 « 45568,35.

V17/ 83691159552000

Теорема 2.1.1 Для числа J(N:H) представлений N суммою 17 четвертых степеней чисел Х{, г = 1,2, .,17 с условиями \х{ — < Н, при Н > АГ13/54+е справедлива асимптотическая формула: ве(п)Ии ( я16 \ где ©(./V)- особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Последнее утверждение теоремы о том, что сумма особого ряда (5(]У) больше некоторого положительного постоянного непосредственно следует из теоремы 4.6 монографии [78].

Следствие 2.1.1 Существует такое Щ, что каоюдое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы 17 четвертых степеней почти равных чисел х

Доказательство теоремы 2.1.1 проводится круговым методом Харди, Литт-лвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствия 1.1.1 и 1.1.2 теорема 1.1 и теорема 1.2.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. г = 1,2, .,17

1. Waring е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

2. ErdOShP. On the easier Waring problem for powers of primes. I.// Proc. of the Cambridge Phil. Soc., January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6-12.

3. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

4. ВИНОГРАДОВ И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел.Ч- Докл. АН СССР, 1937, т.15, с. 291-294.

5. Виноградов И.М.Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

6. ВИНОГРАДОВ И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980, -144с.

7. ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

8. CHEN J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v.17, p.385-4386.

9. ROSS P.M. On Chen's theorem that each large even number has the form P1+P2 or Pl +Р2Р3 U London Math. Soc, (2).Ч 1975.4 V. 10.4 P. 5004506.

10. ГИЛЬБЕРТ Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: Изд-во "Факториал", 1998. 575с.

11. Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161-168.

12. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507.

13. Виноградов И.М. О теореме Варинга//Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

14. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

15. Виноградов И.М. О верхней границе G{k) в проблеме Варин-га//Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

16. Виноградов И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга //Труды Физико-математического института АН СССР, 1935,№9, с.5-16.

17. Виноградов И.М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел //Труды МИАН, 1937, Т.10, с.5-122.

18. И. М. Виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

19. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

20. Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5, с.935-947.

21. WOOLEY T.D. Large improvements in Waring's problem // Ann of Math., 1992, (2)135, m, pp.131-164.

22. Davenport H.Ann of Math., 1939, 40, pp.731-747.

23. Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов// ДАН СССР,1942, №35, с.179-180.25. линник Ю В. О разложение больших чисел на семь кубов// Матем. сб.,1943, Т.12(54), №2, с.218-224.

24. ЛИННИК Ю В. Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шни-рельмана, Математический сборник// Матем. сб., 1943, Т.12(54),.№2, с.225-230.

25. WATSON G.L. J. London math. Soc., 1951, 26, pp.153-156.

26. VAUGHAN R.C.On Waring's problem for cubes // J. Reine Angew. Math.,1986, 365, pp.122-170.

27. VAUGHAN R.C. Sur le probl'eme de Waring pour les cubes, C. R. Acad. Sci. Paris, S'erie I 301(1985), 253-255.

28. HUA L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80

29. Ло-КЕН Хуа. Аддитивная теория простых чисел// Труды МИАН СССР, 1947, Т, 22, с.1-179.

30. Хуа ЛО-ген Метод тригонометрических сумм. М.: Мир, 1964, -190с.

31. Чубариков В.Н.,Архипов Г.И.Авдеев Ф.С. О проблеме Варинга-Гольдбаха // Современные проблемы математики. —2009. т.З, в.1, с.13-31. МГУ им.М.В.Ломоносова, механико-математический факультет.

32. HASELGROVE С.В. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277.

33. СТАТУЛЯВИЧУС В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, "Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.

34. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

35. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

36. Jia CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Math. Sin., New Series, 10(1994), 369-387.

37. Jia chaohua, Three primes theorem in a short interval (vii) // Acta Math. Sinica 4(1994), 464-473, Chinese.

38. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

39. ZHAN Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.46. zhan tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204-224.

40. J Y Liu, T zhan. On sums of five almost equal prime squares. Acta Arith, 1996, 77: 369Ц383

41. J Y LlU, T ZHAN. On sums of five almost equal prime squares (II). Sci China, 1998, 41: 710Ц722

42. J Y llu, T Zhan. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. Mh Math, 1999, 127: 27Ц41

43. J Y Liu, T Zhan. НиаУв Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Ц690.

44. PAXMOHOB 3.X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

45. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332.

46. PAXMOHOB З.Х.,ШозиЕЕВА С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.54. paxmohob З.Х., Мирзоавдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83-86.

47. WEYL H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

48. Чудаков Н.Г. О функциях C(s) и тг(ж) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-426.

49. МАРДЖАНИШВИЛИ К.К. Об одновременном представлении п чисел суммами полных первых, вторых,. , п х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т. 1, с. 609 - 631.58. линник Ю В. Оценки сумм Вейля// ДАН СССР, 1942, Т.34, №, с. 201203.

50. КАРАЦУБА A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа//Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

51. КАРАЦУБА A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

52. Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля// Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.

53. АРХИПОВ Г.И., КАРАЦУБА A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.63. стечкин с.Б.О средних значениях модуля тригонометрический суммы// Труды МИАН им. В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283-309.

54. Коробов Н.М.О тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1979, Т. 245, №1, с. 14-17.

55. КОРОБОВ Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения.:- М: Наука, 1989, -240с.

56. СОКОЛИНСКИЙ В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных// Изв. ВГПИ, 1979, Т.201, с.45-55.

57. ТЫРИНА О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова// Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.68. архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм// Труды МИ-АН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

58. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

59. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические сум-мы//Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.71. чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68 .

60. ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом < интегра-ле//ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.73. чубариков в.н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.799-816.

61. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

62. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения //Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

63. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

64. VAUGHAN R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

65. МИРЗОАБДУГАФУРОВ К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245-247.

66. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.83. уиттекер Э.Т., ватсон Дж.н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.-342с.

67. Азамов А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени// ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с.13-17.