Базисные свойства функции Рамануджана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.34

005001658

Снурницын Павел Владимирович

Базисные свойства функции Рамануджана

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

1 О НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2011

005001658

Работа выполнена иа кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических паук, профессор Архипов Геннадий Иванович доктор физико-математических наук, профессор Добровольский Николай Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Авдеев Иван Фёдорович Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 25 ноября 2011 г. в 10 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 25 октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. С помощью модификации кругового метода в форме Виноградова по лучены результаты относительно базисных свойств множества значений функции Рамапуджапа.

Задачи изучения базисных свойств множеств арифметической природы относятся к области адаптивной теории чисел. Пусть А С Z. Будем говорить, что множество А является базисом порядка не более чем к множества Z, если каждое число N 6 Z можно представить в виде суммы не более чем к слагаемых из множества А. Множество А будем называть базисом порядка не более чем к для достаточно больших чисел, если существует такое No, что каждое число N Е Z такое, что \N\ > No, представляется в виде суммы не более чем к слагаемых из А. Аналогично определяется порядок базиса для множества N. В тех случаях, когда не удается установить точный порядок базиса, ставится вопрос об установлении верхней границы для порядка базиса. В задачах о базисных свойствах конкретных множеств играет важную роль вопрос о связи аддитивной и мультипликативной структурах натурального ряда.

Классическими примерами аддитивных задач являются проблема Гольдбаха, проблема Варинга и проблема Варинга-Гольдбаха.

В 1742 г. К. Гольдбах выдвинул предположение о представимости целых чисел в виде суммы простых чисел. В современной постановке гипотеза Гольдбаха может быть сформулирована следующим образом: каждое достаточно большое четное число N представимо в виде суммы двух простых чисел, каждое достаточно большое нечетное число N представимо в виде суммы трех простых чисел. Эти утверждения принято называть бинарной и тернарной проблемами Гольдбаха соответственно. В 1923 г. Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд1-2, используя круговой метод, доказали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. В 1937 г. И.М. Виноградов 3 дал повое безусловное решение тернарной проблемы Гольдбаха.

1 G.H. Hardy, J.E. Littlewood, "Some problems of ''Partitio Namerorum". III. On the expression of a number as a sum of privies'', Acta Math., 44 (1923), 1-70.

G.H. Hardy, .I.E. Littlewood, ''Some proUcm.4 of "Partitio Numcrorum''. V. Л further contribution to the. study of Goldbach's problem", Proc. London Mal.ii. Soc. (2). 22 (1023), 40-5G.

JILM. Виноградов, -Щ >i'<)cTU(10AC7t'UC IICICWIHOZO HXiCJlUL CyAUMOU, Til J) С.С прОСШЫХ ViWtVl,Д0КЛ. АН СССР., 15:6 (1937), 291-291.

Отметим, что для числа представлений N в виде суммы трех простых слагаемых справедлива асимптотическая формула

где G(N) — особый ряд проблемы Гольдбаха, при этом &(N) > 0.

В 1770 г. Э. Варинг выдвинул гипотезу, являющуюся обобщением теоремы Лагранжа о четырех квадратах. Проблема Варинга может быть сформулирована следующим образом: каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

N = х" + х 2 +■■■ + х",

где xi, Х2, ■ ■ ■, xr G N и г ^ G(n), то есть множество n-ых степеней образует базис для достаточно больших чисел порядка не более чем G(n). В такой постановке важным является вопрос об установлении верхней оценки величины G(n) как функции от п. В 1909 г. Д. Гильберт 4 доказал существование G(n) в проблеме Варинга. Используя круговой метод, Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд получили следующую асимптотическую формулу для числа представлений N в виде суммы n-ых степеней

r(i + -r

4N) ~ V 6(N)N-n

г(п)

где г > (п — 2)2"-1 + 5, 6(N) — особый ряд проблемы Варинга, причем 6(N) > 0. Отсюда также следует оценка для G(n):

G(n) < (n — 2)2"_1 + 5.

В 1934-1935 гг. И.М. Виноградов 0:6 получил значительные улучшения в асимптотической формуле и оценке G(n), в частности, имеет место оценка вида

G(n) ^ сп log п + О (log log п).

4D. Hilbert, "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsche Problem)", Math. Ann., 67 (1909), 281-300.

5 И.М. Виноградов, "О верхней границе G(n) в проблеме Варинга". Изв. АН СССР. VII серия.

Отделение математических и естественных наук, 10 (1934), 1453-1469.

ß И.М. Виноградов, ''Новый вариант вывода теоремы ВарингаТр. Матем. ин-та им. В. А. Стек-лова, 9, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1935, 5-15.

Отметим, что И.М. Виноградов посвятил серию работ улучшению константы с 7'8.

Современная постановка проблемы В арии га-Гольдбаха состоит в том, что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде суммы ограниченного числа простых степеней, то есть уравнение

разрешимо в простых числах Р\,Р2, ■ ■. ,рг и г ^ У(п).

В работах И.М. Виноградова9 и Хуа Ло-кеиа 1011 были получены результаты, которые могут быть сформулированы в следующем виде: для числа решений уравнения

в простых числах РиР2, ■ ■ ■ ,рг справедлива следующая асимптотическая формула

> + г

п.

I{N)--4 7 G(N)

N«

-1

Q (log iv)r:

при

2ra + 1, если1^п<5.

7

г ^ < -2" + 1, если 6 si n ^ 8,

,n2(Iogn 4- log log n + 0(1)), если n > 8;

где &(N) — особый ряд проблемы В ар и н га-Гольдбаха. При этом, если г ^ Зп + 1 и г Е Л" (mod р7) для таких р что (р - 1)|п (число -у определяется так, что И п,рф 2 и 27-2 [| п), то 6(JV) > 0.

В 2009 г. Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков 12 дали полное решение проблемы Варинга-Гольдбаха.

Функция т впервые была рассмотрена С. Рамануджаном13 и может быть

И.М. Виноградов, "О верхней границе G(n) а проблеме: Вириша", Изв. АН СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук, 10 (1934), 1455-1469.

* и-м- Виноградов, "К вопросу о верхней границе для G(n)", Изв. АН СССР. Сер. натсм., 23 5 (1959), 637-642.

9 I. Vinogradow, "Some theorems concerning the. theory of primes", Матсм. ей., 2(44):2 (1937), 179-195.

10 L.K. Hua, *Some тesults in the additive prime number theory". Quart. J. Math. Oxford, 9 (1938), 68-80.

u Хуа Ло-Ксп, "Аддитивная теория простых чисел". Тр. Матом, ип-та им В А Стектова 22 Изд-во АН СССР, М.-Л., 1947, 3-179.

12Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков, "О проблеме Варинга-ГольдбахаСовременные нро-блемы математики и механики 3:1 Изд-во. Моск. ун-та, .M., 2UU9.

13S. Ramaiiijjan, "On certain arithmetkul¡unctions". Trans. Cambridge Philos. Soc., 22:9 (1916), 159-184.

определена как коэффициент разложения

00 00

П=1 П=1

Первым результатом, связанным с базисными свойствами функции Ра-мануджана, можно считать следующий результат Ж.-П. Серра и.

Теорема 1. Если I ф 2,3, 5, 7, 23,691 — простое, х — достаточно большое то

|{т(п) (mod I) : п ^ х}\ = I.

Таким образом, для достаточно большого х каждый класс вычетов по модулю / может быть записан в виде т(п) (mod I) для некоторого п ^ х.

В 2005 г. И.Е. Шпарлинский15 доказал следующее свойство множества значений т-функции.

Теорема 2. Справедливы оценки

\{т{п) : п ^ z}| ^

|{т(п) (mod mm(/5+M+£),

где г > 0.

В той же работе было доказано, что множество значений функции Рама-нуджана образует конечный аддитивный базис; по модулю простого числа I.

Теорема 3. Существует целое число s такое, что для любого целого а сравнение

s

У^ r(n¡) = a (mod I) ¿=i

разрешимо в натуральных чиыах щ,... ns ^ /4 .

В 2008 г. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин 16 доказали, что множество значений функции Рамануджана образует конечный аддитивный базис множества целых чисел порядка 74000. Именно, справедливо следующее утверждение.

"J.-P. Serre, "Congruences et formes modulaires [d'après H.P.F. Swinnerton-Dyei ]", Séminaire Botirbaki, 24e année (1971/1972), Exp. No. 41G, Lecture Notes in Math., 317, Springer, Berlin, 1973, 319-338 ''I.E. Shparlinski, "On the value set of the Ramanujan function", Ardí. Math., 85:G (2005), 508-513.

16М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.D. Копягии, "Проблема Варипги с т-функцией Гамапуджапа", Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008) , 39-50.

Теорема 4. Для любого целого числа N диофантово уравнение

74000

£ = N

i=i

разрешимо в натуральных числах Щ,... п7то, удовлетворяющих условию

2

max rii lAMi1.

1 $1^74000 ' '

В той же работе были получены результаты для кольца вычетов по модулю простого числа I.

Теорема 5. Для любого целого а сравнение

16 32

£ т(п*) ~ £ r(n0 - а (mod 1) ¿=1 ¿=17

имеет место для некоторых натуральных чисел щ,... ,пз2, удовлетворяющих условиям

max щ « l\\ogl)\, (n,ni6+i;23!) = 1.

Теорема 6. Для любого целого а сравнение

96

У^ т(щ) = a (mod I)

¿=1

разрешим,о в натуральных числах щ,.. . пдб , удовлетворяющих условиям.

max щ <С Z2(log Z)4.

Таким образом для некоторой положительной константы С множество

{т(п) (mod C72(log/)4}

образует конечный аддитивный базис порядка не более 9G кольца вычетов Z/fZ.

Теорема 7. Для. любого целого а и любого г > 0 сравнение.

16

£ т(щ) = a (mod I) i=1

разрешимо в натуральных числах щ,.. удовлетворяющих условиям

max щ <С /3+Е.

о

В 2009 г. М.З. Гараев, B.C. Гарсия, C.B. Конягин 17 получили следующий

результат.

Теорема 8. Для любого целого числа N уравнение

148000

£ т(щ) = N ¿=i

■разрешимо в натуральных числах щ,.. . Пшооо! причем

2 log W

max m < ЛП»е

148000

где с > 0 — абсолютная постоянная.

Цель работы

• Доказательство разрешимости уравнения типа Варинга-Гольдбаха с малым числом слагаемых в простых числах специального вида.

• Получение нового значения порядка базиса в аддитивной задаче с функцией Рамануджана.

Научная новизна

В диссертации решены следующие новые задачи.

1. Найдена асимптотическая формула для количества представлений натуральных чисел малым числом слагаемых, являющихся степенями простых чисел с ограничениями порядкового типа («телескопическая система слагаемых»).

2. Получены точные верхние и нижние оценки для количества представлений в данной «телескопической системе».

3. С помощью указанных оценок получено новое значение порядка базиса в аддитивной задаче о представимости целых чисел значениями функции Рамануджана равное 7544.

17M.Z. Garaev, V.C. Garcia, S.V. Konyagiii, "The Waring problem with the Ramunvjan t-junction. II",

Canad. Math. Bull, 52:2 (2009), 105-190.

Основные методы исследования

В работе используются следующие методы исследования: модулярные формы, круговой метод в форме И.M Виноградова, метод вложений И.M Виноградова, метод оценок тригонометрических сумм И.M Виноградова с простыми числами, оценки тригонометрических сумм Г.Вейля, комбинаторные методы работы М.З. Гараева, B.C. Гарсиа, C.B. Конягина 18.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Предложенные в диссертации методы и полученные результаты представляют интерес для специалистов аналитической теории чисел.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

• Семинар «Аналитическая теория чисел» (д.ф.-м.н., проф. В.Н. Чу-бариков, д.ф.-м.н., проф. Г.И. Архипов), МГУ, неоднократно в 2010-2011 гг.

• Семинар «Теория чисел» (д.ф.-м.н., проф. В.Г. Чирский), МПГУ, 2011 г.

• Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, Орловский государственный университет. 20-21 мая 2011 г.).

• Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел» (Белгород, Белгородский государственный университет, 17-21 октября 2011 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата [1], [2], [3].

l8M.Z. Garaev, V.O. Garcia, S.V. Kouyagin, ':The Waring juvblem with the Rarnanujan т-function. 1Г\ Can ad. Math. Bull, 52:2 (20Ш), 193-199.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и библиографии (32 наименования). Общий объем диссертации составляет 70 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемых вопросов, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты. Приведены формулировки известных ранее результатов в рассматриваемых областях, снабженные подробными ссылками.

Содержание главы 1

В главе 1 приводятся необходимые свойства функции Рамануджана. Доказаны простейшие свойства множества значений функции Рамануджана. Приведены доказательство вспомогательных утверждений и необходимые результаты работы М.З. Гараева, B.C. Гарсиа, C.B. Конягина 19.

Содержание главы 2

В главе 2 доказаны асимптотические формулы и оценки, связанные с проблемами Варинга-Гольдбаха и Варинга. Именно, пусть

[0; 1] = m U m

— разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга-Гольдбаха,

S(a) = £ е(арп), J{M,r) = J S(a)re{-aM)da.

p^MTY ОТ

тогда справедливы следующие результаты.

Теорема 9. При г ^ 23 имеет места асимптотическая формула

т.г) = ifl^M..)^+о (м*"1

Г (¿г) v ' (log M)r \{\og му log M )' где ©(Л/,?-) — особый ряд проблемы.

"М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягнн, ''Проблема Варинга с т-функцией Рамануджана", Изв. РАН. Сор. матсы., 72:1 (2008) , 30-30.

Теорема 10. При г ^ 23 существует не зависящая от М постоянная А > 0 такая, что

е{М,г) ^ А.

Теорема 11. Для любого Ва > 0 на втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы

Мп

max

aem (log Л/)В°'

Аналогично, пусть

[0; 1] = Ш' U т'

— разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга,

•So(а) = J]) е(ахи), ./'(Л/, U, г) = j \S0(a)\2re{-aU)da.

Теорема 12. При г > 11 имеет место асимптотическая формула

J'{M, U, г) = Ф„(М, U, r)6o{U: г)АФ~1 + О (Mrf-i-fr) , причем величины Фо(Л/,{7,г), ©о{U,r) ограничены..

Теорема 13. На втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы

max |So(o:)|

aem'

где. о =-.

р 7657

Содержание главы 3

В главе 3 доказаны основные результаты диссертации. Пусть

= {р : р — простое, 23 < р ^ М^}. и — такое подмножество что все суммы вида

T(pi) +----h т(Рв). Pi<---<P6. Pi, ■•■.Ра е 5»',

различны.

На основе результатов глав 1-2 с использованием кругового метода и рассмотрения уравнения содержащего «телескопическую» систему доказано следующее утверждение.

Теорема 14. Для достаточно большого четного M уравнение

204

Ер'1 = V

¿=1

разрешимо в числах Рь ..., р204 € S6 \ ¿Р'.

При помощи использования этой теоремы, свойств функции Рамануд-жана и идей работы М.З. Гараева, B.C. Гарсиа, C.B. Конягина 20 доказана следующая теорема.

Теорема 15. Для любого целого числа N уравнение

7544 1=1

разрешимо в натуральных числах ni,..., П7544. причем

max

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Архипову Геннадию Ивановичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит весь коллектив кафедры математического анализа Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Работы автора по теме диссертации

[1] Снурницын П.В., "О базисных свойствах т-функции Рамануджана", Матем. заметки, 90:5 (2011), 73G-743.

[2] Снурницын П.В., "О представимости целых чисел значениями функции Рамануджана", Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 6 (2011), 49-52.

[3] Снурницын П.В., "Об одном свойстве функции Рамануджана", Материалы международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы», Орел, 20-21 мая 2011 г. стр. 83-87 (2011).

-^М.З. Гараов, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин, ''Проблема Вариша с т-фупкцие.й Рамануджана", Изв.

РАН. Сер. матем., 72:1 (2008) , 39-50.

Подписано в печать 24.10.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 150 экз. Заказ № 1154 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Обозначения

Введение

Глава 1. Функция Рамануджана и ее свойства

1.1 Пространство модулярных форм.

1.2 Определение и основные свойства функции Рамануджана

1.3 Свойства множества значений функции Рамануджана.

Глава 2. Асимптотические формулы и оценки в проблемах

Варинга—Гольдбаха и Варинга

2.1 Круговой метод в проблемах Варинга-Гольдбаха и Варинга

2.2 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга-Гольдбаха

2.3 Асимптотическая формула для точек первого класса и оценка тригонометрической суммы в проблеме Варинга.

Глава 3. Аддитивная задача с функцией Рамануджана

3.1 Разрешимость в проблеме Варинга-Гольдбаха специального вида.

3.2 Доказательство основной теоремы.

Проблемы изучения базисных свойств различных последовательностей относятся к области аддитивной теории чисел. Исторически первой решенной задачей аддитивной теории чисел можно считать теорему Лагранжа о возможности представления всякого натурального числа в виде суммы не более чем четырех квадратов целых чисел. Если учесть, что существует бесконечная последовательность чисел не представимых суммой трех квадратов, то говорят, что квадраты целых чисел образуют базис множества натуральных чисел порядка 4.

Пусть А С Z. Будем говорить, что множество Л является базисом порядка не более чем к множества Z, если каждое число N Є Ъ можно представить в виде суммы не более чем к слагаемых из множества А. Множество А будем называть базисом порядка не более чем к для достаточно больших чисел, если существует такое No, что каждое число N Є Z такое, что \N\ > No, представляется в виде суммы не более чем к слагаемых из А. Аналогично определяется порядок базиса для множества N.

Отметим, что в тех случаях, когда не удается установить точный порядок базиса, ставится вопрос об установлении верхней границы для порядка базиса. Важно подчеркнуть, что в задачах о базисных свойствах конкретных множеств играет важную роль вопрос о связи аддитивной и мультипликативной структур натурального ряда. В связи с этим возникает большое количество арифметических задач.

Классическими примерами аддитивных задач являются проблема Гольдбаха, проблема Варинга и проблема Варинга-Гольдбаха.

В 1742 г. К. Гольдбах выдвинул предположение о представимости целых чисел в виде суммы простых чисел. В современной постановке гипотеза Гольдбаха может быть сформулирована следующим образом: каждое четное целое число N ^ 4 представимо в виде суммы двух простых чисел, каждое нечетное целое число N ^ 7 представимо в виде суммы трех простых чисел. Эти утверждения принято называть бинарной и тернарной проблемами Гольдбаха соответственно. В 1923 г. Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд [4, 5], используя круговой метод, доказали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. В 1937 г. И.М. Виноградов [22] дал новое безусловное решение тернарной проблемы Гольдбаха. Отметим, что для числа представлений N в виде суммы трех простых слагаемых справедлива асимптотическая формула где ©(ТУ) — особый ряд проблемы Гольдбаха, при этом > 0.

В 1770 г. Э. Варинг выдвинул гипотезу, являющуюся обобщением теоремы Лагранж о четырех квадратах. Проблема Варинга может быть сформулирована в виде: каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

N = х71 + + • • • + где XI, Х2, . . . ,ХГ Е М, Г ^ С(п), ТО есть множество 71-ых степеней образует базис для достаточно больших чисел порядка не более чем С(п). В такой постановке важным является вопрос об установлении верхней оценки величины С?(п) как функции от п. В 1909 г. Д. Гильберт [6] доказал существование <2(п) в проблеме Варинга. Используя круговой метод, Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвуд получили следующую асимптотическую формулу для числа представлений N в виде суммы п-ых степеней г(1 + 1У

Г(п) где г > (п — 2)2п~1 4- 5, G(N) — особый ряд проблемы Варинга, причем <&(N) > 0. Отсюда также следует оценка для G(n)

G(n) < (n - 2)27l1 + 5.

В 1934-1935 гг. И.М. Виноградов [20, 21] получил значительные улучшения в асимптотической формуле и оценке G(n), в частности, имеет место оценка вида

G(n) ^ cn log п + О (log log n).

Отметим, что И.М. Виноградов посвятил серию работ улучшению константы с [20, 23].

Первое упоминание задачи о представимости натуральных чисел степенями простых чисел по-видимому принадлежит О. Коши [1]. Эта задача называется проблемой Варинга-Гольдбаха, так как с одной стороны является обобщением проблемы Варинга, с другой стороны — проблемы Гольдбаха. Ее современная постановка состоит в том, что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде суммы ограниченного числа простых степеней, то есть уравнение

N = pn1+pn2 + ---+pnr, разрешимо в простых числахPi,P2, ■ ■ ■ ,Рг, и г ^ V{n).

В работах И.М. Виноградова и Хуа Ло-кена [17, 7] (см., также, [32]) были получены результаты, которые могут быть сформулированы в следующем виде: для числа решений уравнения

N = Pi + Р2 + ■ • ■ + V в простых числахр1,р2, ■ • • ,Рг справедлива следующая асимптотическая формула г

Г (! + - ) лтг 1 п АГп-1

I(N)--4 /T J &(N) при

2n + 1, если 1 < n ^ 5, 7

Г ^ -2n + 1, если 6 ^ n ^ 8, 8 n2(logn + log log n + 0( 1)), если n > 8; где ©(AT) — особый ряд проблемы Варинга-Гольдбаха. При этом, если г ^ Зп + 1 и г = N (mod р7) для таких р что (р — 1)|п (число 7 определяется так, что р7-1 || n, р ф 2 и 27-2 || п), то ©(iV) > 0.

В 2009 г. Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков [18] дали полное решение проблемы Варинга-Гольдбаха.

Более подробный обзор результатов относительно основных задач аддитивной теории чисел можно найти в работе [9].

Настоящая диссертация посвящена аддитивным задачам, связанным с функцией Рамануджана. Напомним, что функция г может быть определена как коэффициент разложения оо оо q П(1-9п)24 = Ег(п)9п.

71=1 П=1 см. [13, 8].

Первым результатом, связанным с базисными свойствами функции Рамануджана, можно считать следующий [14]

Теорема. Если I ^ 2,3, 5, 7, 23, 691 — простое, х — достаточно большое то т(п) (mod I) : п ^ х}\ — I.

Таким образом, для достаточно большого х каждый класс вычетов по модулю I может быть записан в виде т(п) (mod I) для некоторого п ^ х.

В 2005 г. И.Е. Шгіарлинский в работе [16] доказал следующее свойство множества значений т-функции.

Теорема. Справедливы оценки т(п) : п ^ ж}| ^ т(п) (mod l):n^x}| ^ min^+^ï+s), где є > 0.

В той же работе было доказано, что множество значений функции Рама-нуджана образует конечный аддитивный базис по модулю простого числа I.

Теорема. Существует целое число s такое, что для любого целого а сравнение s

У^ т(щ) = a (mod I) i'=i разрешимо в натуральных числах щ,. ns ^ Iа .

В 2008 г. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Коиягин [25] доказали, что множество значений функции Рамануджана образует конечный аддитивный базис множества целых чисел порядка 74000. Именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для любого целого числа N диофантово уравнение

74000

Еr w = N г=1 разрешимо в натуральных числах щ,. .П74000, удовлетворяющих условию 2 max щ <С |iV|ïï. 1 ^¿<74000

В той же работе были получены результаты для кольца вычетов по модулю простого числа I.

Теорема. Для любого целого а сравнение

16 32

У^ т{щ) - г(п0 = а (mod О i=1 ¿=17 имеет место для некоторых натуральных чисел щ,. , П32, удовлетворяющих условиям max щ Z2(logZ)4, (n;ni6+j, 23!) = 1. Следствие. Для любого целого а сравнение

96

У] т{щ) = a (mod Z) г=1 разрешимо в натуральных числах щ,. .щв, удовлетворяющих условиям max щ <С Z2(logZ)4.

1<г^96 4

Таким образом для некоторой положительной константы С множество т(п) (mod 1) : п ^ CZ2(logZ)4} образует конечный аддитивный базис порядка не более 96 кольца вычетов Z/ZZ.

Теорема. Для любого целого а и любого є > 0 сравнение

16 г(пг) = a (mod I) г=і разрешимо в натуральных числах щ,. .tiiq, удовлетворяющих условиям max щ С Z3+£.

В работе [3] М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин получили следующее улучшение

Теорема. Для любого целого числа N уравнение

148000

Е тМ = N i=1 разрешимо в натуральных числах ni,. п^ооо, причем ЛГ| 2. с '°g[N| max Wj < AT "е lo8loeiwi. 1^148000 1 где с > 0 — абсолютная постоянная.

В данной диссертации доказано, что множество значений функции Рама-нуджана образует аддитивный базис множества целых чисел порядка 7544, что улучшает результат 74000 работы [25].

Первая глава диссертации посвящена изложению основных свойств функции Рамануджана. Сформулированы свойства мультипликативности функции Рамануджана, доказаны простейшие свойства множества значений функции Рамануджана. Приведено доказательство вспомогательных утверждений, необходимых для доказательства основного результата. Именно, доказано, что одиннадцатые степени простых чисел специального вида представляются в виде линейной комбинации значений функции Рамануджана с коэффициентами ±1. Доказано, что всякое натуральное число < 370944 представимо суммой 198 значений функции Рамануджана [25].

Вторая глава посвящена получению асимптотических формул и оценок, связанных с проблемами Варинга-Гольдбаха и Варинга. Именно, пусть

0; 1] = ETCUm разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга-Гольдбаха (см. гл. 2).

S(a) = J2 е(арп), р^М тг 11

J(M,r) = J S(a)re(—aM)da. sat тогда справедливы следующие результаты.

Теорема. При г ^ 23 имеет место асимптотическая формула

ДМ г) = г) мАг-1 + о (Mi^Lh^sM)

1 > ( ' '(logMY+ u\(iogMY logM )' где &(M,r) — особый ряд проблемы.

Теорема. При г ^ 23 существует ис зависящая от М постоянная А > О такая, что б(М,г) ^ А.

Теорема. Для любого Bq > 0 на втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы

Мп max|S,(o;)| «С --rjrrrает 1 V Л (log М)В°

Аналогично, пусть

0; 1] = Ж' U ш' разбиение единичного интервала на множества точек первого и второго классов в проблеме Варинга (см. гл. 2).

S0(a) = J2 е(ахп),

Х^Ро

J'{M,U,r) = J \S0(a)\2re(-aU)da. юг

Теорема. При г > 11 имеет место асимптотическая формула

3\М, и, г) = ЩМ, и, г)&0(и, г)М"г1 + О причем величины^о{М,и,г), &о(и,г) ограничены.

Теорема. На втором классе выполняется оценка тригонометрической суммы тах|50(а)| «М"^', где р ~ аЄт' 1

7657

Третья глава посвящена доказательству основного .результата диссертации.

Теорема. Для любого целого числа N уравнение

7544 г=1 разрешимо в натуральных числах пі,. ,71.7544, причем 2 max щ <С liVI". 1<г^7544 1

Доказательство теоремы опирается на разрешимость уравнения типа Варинга-Гольдбаха в простых числах специального вида. Обозначим через J2 множество простых чисел не превосходящих Ми и удовлетворяющих дополнительным условиям (см. гл. 1).

Теорема. Для достаточно большого четного М уравнение

204 р.и = м г=1 разрешимо в числах pi,. ,рго4 Є

Доказательство этого утверждения основано на результатах главы 2. Доказательство проводится с использованием кругового метода и рассмотрения уравнения содержащего «телескопическую» систему. Отметим, что число слагаемых в этом уравнении зависит от порядка понижения в оценке тригонометрической суммы, то есть значение 204 получается из вычислений, включающих число 1/7657. Отметим также, что в работе [25] вместо разрешимости уравнения с числом слагаемых 204 использовалась разрешимость подобного уравнения с числом слагаемых 2050.

Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографии (32 наименований). Общий объем диссертации составляет 70 с. Основные результаты исследования по теме диссертации опубликованы в работах автора [30], [31], [29].

1. Couchy A.L., "Démonstration du théorème général de Fermât sur les nombres polygones", Mém. Sei. Math. Phys. 1.st. France (1), 14 (1813-15), 177-220.

2. P. Deligne, "La conjecture de Weil. I", Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sei., 43 (1974), 273-307.

3. M.Z. Garaev, V.C. Garcia, S.V. Konyagin, "The Waring problem with the Ramanujan r-function. II", Canad. Math. Bull, 52:2 (2009), 195-199.

4. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, "Some problems of "Partitio Numerorum". III. On the expression of a number as a sum of primes", Acta Math., 44 (1923), 1-70.

5. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, "Some problems of "Partitio Numerorum". V. A further contribution to the study of GoldbachYs problem", Proc. London Math. Soc. (2), 22 (1923), 46-56.

6. D. Hilbert, "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsche Problem)", Math. Ann., 67 (1909), 281300.

7. L.K. Hua, "Some results in the additive prime number theory", Quart. J. Math. Oxford, 9 (1938), 68-80.

8. H. Iwaniec, Topics in classical automorphic forms, Grad. Stud. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

9. A.V. Kumchev, D.I. Tolev, "An invitation to additive prime number theory" Serdica Math. J., 31 (2005), 1-74.

10. Murty M. Ram, Murty V. Kumar, Shorey T.N., "Odd values of the Ramanujan r function", Bull. Soc. Math. Prance, 115 (1987).

11. D. Niebur, "A formula for Ramanujan's t-function", Illinois J. Math., 19 (1975), 448-449.

12. B. van der Pol, "On a non-linear partial differential equation satisfied by the logarithm of the Jacobian theta-functions, with arithmetical applications. I, II", Indagationes Math., 13 (1951), 261-271, 272-284.

13. S. Ramanujan, "On certain arithmetical functions", Trans. Cambridge Philos. Soc., 22:9 (1916), 159-184.

14. J.-P. Serre, "Congruences et formes modulaires d'après H.P.F. Swinnerton-DyerJ", Séminaire Bourbaki, 24e année (1971/1972), Exp. No. 416, Lecture Notes in Math., 317, Springer, Berlin, 1973, 319-338

15. Serre J.-P., "Quelques applications du thorèrne de densité de Chebotarev" Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci., 54, 123-201 (1981).

16. I.E. Shparlinski, "On the value set of the Ramanujan function", Arch. Math., 85:6 (2005), 508-513.

17. I. Vinogradow, "Some theorems concerning the theory of primes", MaTeM. c6., 2(44):2 (1937), 179-195.

18. Ф.С. Авдеев, Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков, "О проблеме Варинга-Голъдбаха", Современные проблемы математики и механики 3:1 Изд-во. Моск. ун-та, М., 2009.

19. Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, В.Н. Чубариков, Теория кратных тригонометрических сумм, Наука, М., 1987.

20. И.М. Виноградов, "О верхней границе G(n) в проблеме Барита", Изв. АН СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук, 10 (1934), 1455-1469.

21. И.М. Виноградов, "Новый вариант вывода теоремы Варинга", Тр. Ма-тем. ин-та им. В. А. Стеклова, 9, Изд-во АН СССР, M.-JL, 1935, 5-15.

22. И.М. Виноградов, "Представление нечетного числа суммой трех простых чисел", Докл. АН СССР., 15:6 (1937), 291-294.

23. И.М. Виноградов, "К вопросу о верхней границе для G(n)", Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:5 (1959), 637-642.

24. И.М. Виноградов Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М., 1980.

25. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, C.B. Конягин, "Проблема Варинга с т-функцией Раманудо/сана", Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008) , 39-50.

26. A.A. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, Наука, М., 1983.

27. К. Прахар, Распределение простых чисел, Мир, М., 1967.

28. Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Мир, М., 1972.

29. Снурницын П.В., "Об одном свойстве функции Рамануджана", Материалы международной научно-практической конференции «Математика