Исследование бесконечномерных симметрий точно решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау

На правах рукописи

Пугай Ярослав Петрович

Исследование бесконечномерных симметрии точно решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Институте Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М. А. Ольшанецкий (ИТЭФ) доктор физико-математических наук Ю. Г. Строганов (ИФВЭ) доктор физико-математических наук В. А. Фатеев (ИТФ РАН)

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова (Москва)РАН

Защита состоится 25 июня 2004 г. в часов ш минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 по защите докторских диссертаций при Институте Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская область, Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Ученый секретарь

Диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Л. А. Фальковский

1 Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена актуальным исследованиям различных аспектов алгебраического подхода к изучению корреляционных функций в точно решаемых двумерных моделях Статистической Механики и Квантовой Теории Поля.

1.1 Актуальность работы

В настоящее время теория точно решаемых (интегрируемых) моделей статистической механики и квантовой теории поля превратилась в обширную область науки со своими собственными проблемами, идеями и методами решения. Центральной и наиболее важной задачей в ней, безусловно, является точное вычисление всех корреляционных функций локальных операторов, дающих полное описание модели. В начале 90-х годов прошлого столетия единственными примерами нетривиальных моделей с известными корреляционными функциями являлись модель свободного бозонного поля, знаменитая (решеточная и скейлинговая) модель Изинга в нулевом магнитном поле (Маккой, By и др. 1973) и конформные теории поля (Белавин, Поляков, Замолодчиков, 1984; Доценко, Фатеев, 1984; Книжник, Замолодчиков, 1984; Фатеев, Замолодчиков, 1985). Эти точно решенные примеры имели множество концептуальных приложений для развития квантовой теории поля, физики конденсированных состояний и статистической механики, а также стимулировали развитие теории интегрируемых моделей. В частности, они стали важным инструментом для проверки приближенных и численных методов и различных предположений в физике. Кроме того, некоторые черты интегрируемых моделей сохраняются при неинтегрируемых деформациях, и поэтому знание интегрируемых случаев может служить основой для правильных предположений о свойствах более реалистичных моделей.

Замечательный успех в решении задачи о нахождении точных корреляционных функций в моделях конформной теории поля был достигнут на основе алгебраического подхода с использованием теории представлений бесконечномерной алгебры Вирасоро. При попытках обобщить данный метод на более широкий класс двумерных интегрируемых некритических моделей одной из основных трудностей нахождения корреляционных функций являлось отсутствие каких-либо очевидных неабелевых алгебр симметрии (обобщающих алгебру свободных бозонов, свободных фермионов модели Изинга или алгебру Вирасоро и ее расширений моделей конформной теории поля) которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. В частности, спектр

гчееких/1чгассивных

рос Национальная

БИБЛИОТЕКА СПет«рву ОЭ ТОО <

к

теориях со взаимодействием устроен более сложно, чем в свободных теориях и двумерных конформных теориях поля. В то же время, начиная с 1984 г., когда были введены конформные теории поля Белавина-Полякова-Замолодчикова и, независимо, решеточные интегрируемые модели Андрюса-Бакстера-Форрестера, была замечено, что данные модели, по-видимому, могут описываться сходным образом. Именно, было сделано наблюдение, что в подходе Угловой Трансфер Матрицы (Бакстер, 1976) спектр Углового Гамильтониана совпадает со спектром градуирующего оператора в минимальных унитарных моделях конформной теории поля. В то же время, из-за отсутствия конформной симметрии в некритических решеточных моделях, появление алгебры Вирасоро казалось довольно неожиданным (так называемый "парадокс Вирасоро", Хьюз, 1984, Джимбо и др. 1986, Бауэр и Салер 1985). В последствии это замечательное явление привлекло внимание большого числа специалистов по комбинаторике, теории представлений бесконечномерных алгебр и интегрируемым системам.

С комбинаторной точки зрения спектр углового гамильтониана, описываемый характером сильно-вырожденных представлений алгебры Вирасоро, определяет (знакопеременную) часть тождеств типа Роджерса-Рамануджа-на. Было найдено, что комбинаторные методы, примененные для моделей Андрюса-Бакстера-Форрестера, допускают обобщение на другие модели с расширенными алгебрами симметрии и, более того, позволяют получать как знакопеременную ("бозонную"), так и знакопостоянную ("фермионную") части тождеств типа Роджерса-Рамануджана и их полиномиальных обобщений. В диссертации обсуждается вопрос о структуре фермионных формул для характеров, в частности, о наличии разнообразных комбинаторных преобразований для этих формул.

Важнейший шаг в применении методов теории представлений к нахождению корреляционных функций в некритических интегрируемых двумерных моделях был сделан в работах Фоды и Мивы (1991) и Дэвиса, Джимбо, Фо-ды, Мивы и Накаяшики (1992). Для случая 6-вершинной модели (и спиновой XXZ цепочки Гейзенберга-Изинга) было найдено, что пространство состояний решеточной модели в подходе угловой трансфер матрицы описывается квантовой аффинной алгеброй, и что возможно эффективно обобщить технику и идеи конформной теории поля (неабелевы симметрии, конформные блоки, примарные поля) и применить развитый к тому времени аппарат теории представлений квантовых алгебр (вершинные операторы, бозонизация и т.д.) для точной диагонализации гамильтониана и нахождения корреляционных функций и матричных элементов локальных операторов (форм-факторов) в виде контурных интегралов от некоторых мероморфных функций. Наибо-

лее общие модели с больцмановскими весами, задаваемыми эллиптическими решениями уравнений Янга-Бакстера, некоторое время не поддавались подобному алгебраическому анализу в силу отсутствия понимания о существовании и виде скрытой динамической бесконечномерной алгебры симметрии, ее представлениях, вершинных операторах и т.д. Обсуждение и развитие этих вопросов является одной из главных целей настоящей диссертации.

Корреляционные функции, полученные в методе угловой трансфер матрицы и вершинных операторов, задаются в виде контурных интегралов. Данное представление является не очень удобным для анализа корреляционных функций на больших расстояниях. (Отметим, что в настоящее время достигнут определенный прогресс в вычислении интегралов и упрощении интегральных представлений для XXX и XXZ спиновых цепочек (Боос, Корепин, 2002, Китанин, Майе, Славнов и Терра, 2002, Корепин, Лукьянов, Нишияма, Широиши, 2002, Боос, Джимбо, Мива, Смирнов, 2004), и существует определенная надежда на то, что возможно разработать эффективный метод анализа решеточных корреляционных функций в скейлинговом пределе). В то же время точные выражения, полученные для форм-факторов локальных операторов, оказываются полезными при анализе соответствующих массивных интегрируемых моделей квантовой теории поля. В частности, обобщение метода угловой трансфер матрицы на непрерывный случай, так называемый метод углового квантования (Лукьянов, 1993), позволяет получать точные многочастичные форм-факторы физически важных локальных операторов. Обсуждение данных вопросов, а также проблема нахождения точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов, определяющих как длинно-так и коротко- дистанционные асимптотикии скейлинговых корреляционных функций (Ал. Замолодчиков, 1991), являются еще одной целью диссертации.

2 Цель работы

Главной целью диссертации является развитие алгебраического (симметрий-ного) подхода для изучения структуры пространства состояний, кореляцион-ных функций и матричных элементов локальных операторов в различных не критических/массивных интегрируемых двумерных моделях статистической механики (в термодинамическом пределе) и квантовой теории поля. Более конкретно, в диссертации ставятся следующие задачи.

1. Нахождение алгебр динамической симметрии в интегрируемых решеточных моделях со взаимодействием вокруг граней в термодинамическом пределе.

2. Построение неприводимых представлений новых неабелевых бесконечномерных алгебр симметрии различных решеточных моделей.

3. Построение спиновых операторов, и операторов, диагонализующих гамильтониан; определение их матричных элементов и, как следствие, получение новых (интегральных) представлений для корреляционных функций и форм-факторов для решеточных теорий.

4. Построение новых форм-факторов локальных операторов в соответствующих интегрируемых моделях квантовой теории поля и их применение для анализа корреляционных функций.

5. Прояснение алгебраической природы точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов в массивных возбуждениях конформной теории поля.

6. Изучение пространства состояний моделей Андрюса-Бакстера-Форрес-тера. Прояснение комбинаторных аспектов тождеств типа Щура-Род-жерса-Рамануджана.

7. Изучение эллиптических алгебр для восьмивершинной модели и матричных элементов вершинных операторов; нахождение соответствующих интегральных представлений для корреляционных функций.

Задачи, поставленные в предлагаемой диссертации, являются весьма актуальными и их решение представляет интерес для специалистов в области интегрируемых моделей квантовой теории поля и статистической механики, теории представлений бесконечномерных квантовых групп.

2.1 Научная новизна

Впервые поставлена и решена задача о нахождении алгебр динамической симметрии в бесконечных иерархиях моделей Андрюса-Бакстера-Форресте-ра, в Ап моделях Джимбо-Мивы-Окадо. Впервые описаны неприводимые полностью вырожденные представления деформированной алгебры Вирасоро и Ш алгебр. Впервые построены интегральные представления для многоточечных корреляционных функций в данных решеточных моделях. Впервые построены форм-факторы локальных операторов 2п (п > 3) симметричных моделей Коберле-Свиеки (парафермионных конформных теорий, возмущенных первым оператором энергии). Фермионные формулы для полиномиальных характеров полностью вырожденных неунитарных представлений алгебры

Вирасоро впервые построены путем комбинаторных преобразований, связывающих представления с разными центральными зарядами. Впервые найдено описание матричных элементов вершинных спиновых операторов для восьмивершинной модели и найдены интегральные представления для корреляционных функций. Предложена новая процедура получения вакуумных ожидаемых значений для интегрируемых возмущенных конформных теорий поля, основанная на анализе вершинных операторов соответствующей решеточной модели.

Все результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, неоднократно докладывались на международных семинарах и конференциях. Они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях. Результаты, лежащие в основе диссертации, опубликованы в 1992-2004 годах в работах [1-14]. Автору принадлежит постановка теоретических задач, определение метода решения и получение конкретных результатов.

2.2 Апробация диссертации

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на научных семинарах ИТФ им. Л. Д. Ландау, МИАН им. В. А. Стеклова (Москва), ANU (Канберра, Австралия), Ун-та г. Мельбурна (Австралия), RIMS (Киото, Япония), АРСТР (Сеул, Ю. Корея), Ун-тов г. Киото, Осака, Токио, Кобе (Япония), LPTHE (Париж, Франция), LPM (Монпелье, Франция), а также на международных научных конференциях в Черноголовке ("CFT and IM", ИТФ Ландау, 1996, 1997, 2001, 2002), в Протвино ("Интегрируемые системы", ИФ-ВЭ, 2000), в Копенгагене (Симпозиум поев. 90-летию Л.Д. Ландау, NBI, 1998), Канберре ("The Baxter revolution in Mathematical Physics", ANU, 2000), Сеуле ("Integrable models", 2000), Комо ("Statistical field Theory", SISSA, 2001), Киото (RIMS, "Double Affine Hekke Algebras and Quantized KZ Equation", 1996; "Physical Combinatorics", 1999, "Integrable Models and Representation Theory", 2000, "Mathphys Odissei", 2001, "Infinite Analysis", 2004). Также по материалам исследований, включенных в диссертацию был прочитан полугодовой курс лекций для студентов и профессоров в Ун-те г. Токио "Selected topics of CFT and IM", 2002.

2.3 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 8 глав основного текста, содержащих 24 параграфа, заключения и списка цитируемой литературы.

3 Содержание работы

3.1 Введение

Во введении обсуждается актуальность диссертации, формулируются цели и результаты работы, кратко изложено содержание диссертации.

3.2 Комбинаторика путей и фермионные характеры

Эта глава посвящена изучению одноточечных корреляционных функций в некритических неунитарных обобщениях моделей Андрюса-Бакстера-Форрестера в подходе с использованием угловой трансфер матрицы. Дан краткий обзор бакстеровской идеи вычисления одноточечных локальных вероятностей для интегрируемых решеточных моделей, основанной на использовании уравнении Янга-Бакстера, свойствах обращения и кроссинга для больцмановских весов. В частности, приведены аргументы в пользу того, что в термодинамическом пределе полубесконечная угловая трансфер матрица в подходящей нормировке имеет вид

где параметр е служит мерой отклонения от критического значения е = 0, а параметр и - спектральный. При этом оператор Н, угловой гамильтониан, обладает замечательными свойствами. Во первых, он не зависит от спектрального параметра, во вторых, его спектр при действии на угловое пространство состояний является эквидистантным, дискретным и ограниченным снизу. Более того, для большого количества наиболее известных интегрируемых моделей, кратности вырождения собственных значений для Н совпадают с кратностями вырождений состояний в неприводимом представлении бесконечномерной алгебры, появляющейся в описании критической точки соответствующей конформной теории поля. В частности, для /) АБФ моделей, след оператора по сектору углового пространства состояний

совпадает с характером полностью вырожденного неприводимого пред-

ставления со старшим весом Д^ (Фейгин, Фукс, 1981; Роча-Кариди, 1986 ) алгебры Вирасоро с центральным зарядом

ехр(—еиН), е > 0,

(1)

]=-оо

(2)

с = 1 - 6

(?/-р)2 рГр

(3)

Хорошо известное вычисление Форрестера-Бакстера, основанное на анализе q-взвешенных одномерных конфигураций ("путей" ) Vприводит к знакопеременным рядам (2) по переменной q. Эти же объекты могут быть выражены в виде знакопостоянных рядов, что приводит к обобщению знаменитых тождеств Роджерса-Рамануджана от случая (2,5) к общему случаю (р,р'). Мы описываем [1] комбинаторный метод подсчета кратностей Н, который эффективно сводится к вычислению статистической суммы фермионного газа и ведет к знакопостоянным рядам для характеров вакуумных модулей алгебры Вирасоро. Форма данных рядов зависит от разложения р//р в цепную дробь

Наше вычисление существенно основывается на применении новых комбинаторных преобразований, связывающих q-взвешенные пути конечной или бесконечной длины для теорий с различными значениями параметров (pj/): преобразования типа Бэйли, —+ Vpj/f+p и нового преобразования "ду-

альности" Введение этих преобразований является важным

элементом в понимании структуры "фермионных" формул для характеров, в частности, позволяет естественным образом описать характеристики "фермионных частиц", обобщенные матрицы Картана, и т.д., через числа Така-хаши, длины струн и другие объекты, появляющиеся в описании модели с применением подстановки Бете. К сожалению, алгебраический смысл ферми-онного представления для характеров, несмотря на многочисленные попытки исследователей, все еще не ясен, и поэтому данный комбинаторный анализ не допускает, на настоящий момент, применений к решению проблемы нахождения корреляционных функций. (Отметим, однако, успех комбинаторного подхода в вычислению точных корреляционных функций в спиновых XXZ цепочках конечной длины (Разумов, Строганов, 2001)). В следующей главе представлены результаты исследований бозонного представления, в которых достигнуто большее продвижение.

3.3 Алгебраический анализ

В данной главе разрабатывается метод бозонизации для нахождения точных интегральных представлений для многоточечных локальных спиновых вероятностей в интегрируемых моделях со взаимодействием вокруг граней, рассмотренных в термодинамическом пределе [2,3].

Для конкретности изучается случай бесконечной иерархии двумерных точно решаемых (p,j/) моделей (где p,jf €Zul<p<j/) Андрюса, Бакстера и Форрестера (АБФ) в режиме III, частично обсужденный с комбинаторной точки зрения в предыдущей главе. Следует отметить, что общая иерархия

(р,р) АБФ моделей содержит как частные случаи многие известные модели. Так, в простейшем частном случае (3,4), модель совпадает с моделью Изинга, случай (5,6) совпадает с трикритической моделью жестких квадратов и т.д. В общем случае в моделях присутствуют многокритические точки фазовых переходов второго рода. В критическом режиме данные статистические системы описываются (р,р) моделями Белавина-Полякова-Замолодчикова Мр^ двумерной конформной теории поля с центральным зарядом (3). Локальные больцмановские веса

ка к^ кд кс

АБФ моделей, выражаемые через эллиптические тета функции, зависят от спектрального параметра 0 < и < 1 и параметра б > 0, измеряющего отклонение от критического режима 6=0. Интегрируемость модели следует из локального условия на больцмановские веса, уравнения Янга-Бакстера

в силу которого трансфер матрицы коммутируют попарно и порождают бесконечное число интегралов движения (абелеву алгебру симметрии).

С физической точки зрения задача о комбинаторике путей, обсужденная выше, является лишь технической подзадачей о вычислении одноточечных корреляционных функций, несущей, однако важную информацию о структуре пространства состояний и скрытых динамических симметриях системы. Именно, в термодинамическом пределе угловое пространство состояний является градуированным пространством ФАь При этом угловой гамильтониан интерпретируется как оператор градуировки, и его спектр в пространстве фС{к определяется уравнением (2). Для нахождения много-точечных корреляционных функций мы вводим полубесконечные трансфер матрицы

которые интерпретируются как вершинные операторы, действующие в угловом пространстве Тогда многоточечные корреляционные функции могут быть выражены как следы по пространству от произведений вершинных операторов и угловой трансфер матрицы. Одним из основных свойств вершинных операторов является их перестановочное соотношение

В силу уравнения Янга-Бакстера алгебра операторов Фк±1,1с(и) является ассоциативной. Кроме того, можно показать, что угловой гамильтониан действует на вершинных операторах как производная по спектральному параметру и.

Анализ свойств вершинных операторов и углового гамильтониана приводит к выводу, что в термодинамическом пределе в некритической решеточной модели существует скрытая, динамическая, бесконечномерная симметрия, задаваемая новой деформированной алгеброй Вирасоро ([1], Френкель, Решетихин, 1995, Шираиши и др. 1995, Фейгин, Френкель, 1995). Наряду с центральным зарядом с эта новая квадратичная алгебра зависит от добавочного параметра деформации е, таким образом, что в критическом пределе деформированные коммутационные соотношения переходят в коммутационные соотношения для алгебры Вирасоро. В данной алгебраической схеме пространство состояний отождествляется с прямой суммой неприводимых представлений динамической алгебры симметрии, а угловой гамильтониан - с градуирующим оператором. Полубесконечные трансфер матрицы, рассматриваемые как операторы и операторы, диагонализу-ющие гамильтониан, при этом отождествлении являются сплетающими операторами для деформированной алгебры Вирасоро. Соответственно, аргументируется, что корреляционные функции в некритических АБФ моделях можно изучать с точки зрения теории представлений бесконечномерных неабелевых алгебр, в духе идей, развитых для моделей Белавина-Полякова-Замолодчикова. В главе описана новая процедура бо-зонизации, обобщающая метод Доценко-Фатеева (1984) для эллиптических алгебр с динамической R-матрицей. При этом операторы теории представляются в виде интегралов от свободно-полевых операторов, действующих в бозонных фоковских модулях. Найдено, что уравнения (5) сводятся к соответствующим тождествам на эллиптические тета функции. В свою очередь пространство состояний реализовано в терминах бесконечных когомологий фоковских пространств, как это обсуждается подробнее в следующей главе.

Как результат, развита процедура вычисления следов от вершинных операторов, предложены интегральные представления для многоточечных локальных вероятностей и сделаны соответствующие проверки. Заметим, что представлены результаты как для АБФ моделей, так и для их обобщений на неоднородные решетки.

3.4 Деформированная алгебра Вирасоро

В данной главе, развиваются и обосновываются математические вопросы, связанные с новой деформированной алгеброй Вирасоро [2,8], введенной при описании алгебры вершинных операторов с эллиптическими коэффициентами для АБФ моделей в режиме III.

Изучение представлений деформированной алгебры Вирасоро производится в свободно-полевой реализации по аналогии с соответствующей процедурой Фейгина-Фукса. Введены лукьяновские экранирующие операторы, (деформированные экранирующие операторы), являющиеся многократными контурными интегралами от свободных полей

и прямым вычислением интегралов доказано, что данные операторы коммутируют с генераторами деформированной алгебры Вирасоро. С помощью этих интегральных операторов построен БРСТ комплекс, обобщающий комплекс Фельдера в минимальных моделях конформной теории поля

Вычислены интегральные представления для матричных элементов экранирующих операторов и показано, что доказательство нетривиальности особых векторов для деформированной алгебры Вирасоро в представлении свободными полями сводится к вычислению q-аналога интеграла Сельберга. Доказано, что БРСТ комплекс является однопараметрической деформацией резольвенты Фельдера. Когомологии бесконечномерного комплекса отождествлены с неприводимыми представлениями деформированной алгебры Ви-расоро

Кег X® 11т = 0,1^^0,

Доказано, что бозонные вершинные операторы, удовлетворяющие соотношениям (5), при действии на соответствующих фоковских пространствах, являются сплетающими операторами для деформированной алгебры Вирасоро и допускают редукцию на пространство когомологии БРСТ комплекса.

3.5 Вакуумные ожидаемые значения

В данной главе результаты предыдущих глав развиваются и применяются для изучения форм-факторов и ваккумных ожидаемых значений локальных операторов [5] в скейлинговом пределе. Дана интерпретация генерирующих функций для деформированной алгебры Вирасоро как операторов, диагона-лизующих гамильтониан в АБФ моделях и порождающих связанные состояния.

Универсальные свойства длинно-волновых флуктуации параметров порядка решеточных АБФ моделей в окрестности критической точки описываются интегрируемыми массивными теориями поля. Данные теории поля допускают два различных, взаимодополняющих описания. С одной стороны это интегрируемые возмущения соответствующих минимальных моделей Белавина-Полякова-Замолодчикова энергетическим оператором

Альтернативное описание моделей достигается в S-матричном подходе, где теория известна как интегрируемая модель ограниченного синус-Гордона (restricted sine-Gordon). Рассмотрение, для простоты, ограничивается бризер-ным сектором модели (для моделей с

В алгебраическом подходе к решеточной АБФ модели, операторы, диаго-нализующие гамильтониан, могут быть построены аналогично вершинным операторам, ассоциированным с полубесконечными трансфер матрицами. Технически это достигается использованием а+ —► а_ симметрии модели. В частности, найдено, что оператор, соответствующий основной частице, с диагональной матрицей рассеяния

отождествляется с генерирующей функцией деформированной алгебры Ви-расоро. Соответствующие форм-факторы локальных решеточных операторов легко вычисляются с использованием свободно-полевого представления. В теории ограниченного синус-Гордона форм-факторы (матричные элементы в базисе асимптотических состояний) возмущений примарных конформных полей с размерностями вычисляются взятием скейлиногового предела и воспроизводят, в частности, известный результат Лукьянова (1997) для модели синус-Гордона. Актуальным является вопрос о систематическом подходе к вычислению вакуумных ожидаемых значений локальных операторов, определяющих общую нормировку форм-факторов. В самом деле, эти величины

(7)

имеют фундаментальное значение в силу того, что они контролируют как длинно-, так и коротко-дистанционные асимптотики корреляционных функций (Ал. Замолодчиков, 1991; Лукьянов, Замолодчиков, 1996; Фатеев и др., 1998, [14]).

Для изучения этого вопроса введены операторы слияния Ф1,р+1 с коммутационными соотношениями вида

а с1 Ъ с

щ2

№

с коэффициентами, заданными весами моделей слияния W,/^1 [5]. Алгебраический анализ решеточных моделей приводит к тому, что форм факторы возмущенных примарных конформных полей с размерностями Дхм получаются как следы произведений токов деформированной алгебры Вирасоро со вставкой двух вершинных операторов слияния Ф^. Найдено, что "конформная" нормировка вершинных операторов воспроизводит, с учетом точного знания соотношения между физической массой частицы и константой связи А (Ал. Замолодчиков, 1995), ответ Лукьянова-Замолодчикова (1996) для вакуумных ожидаемых значений. Анализ этого наблюдения показывает, что минимальные решения "отражательных уравнений" (Замолодчиков, Замолодчиков, 1993) в модели синус-Гордон тесно связаны с нормировкой больцмановских весов слияния, что приводит к алгебраической процедуре нахождения вакуумных ожидаемых значений для других теорий, в частности для Ап-\ моделей (Фатеев и др., 1999) иД»оделей (Фатеев, 2000), рассмотренных в следующих главах.

3.6 Деформированные W алгебры

В данной главе описано обобщение алгебраического подхода предложенного в главе 3, на модели Дате, Джимбо и Мивы [7,8], в которых локальные переменные принимают векторно-значные значения.

С математической точки зрения конструкция для корреляционных функций АБФ моделей в режиме III может рассматриваться как обобщение бо-зонизации вершинных операторов Доценко-Фатеева-Фейгина-Фукса. В конформной теории поля большой интерес вызвали модели с расширенной нелинейной симметрией, так называемые Несимметричные минимальные модели, для которых процедура бозонизации была разработана Лукьяновым и Фатеевым (1988). Данные модели описывают критические точки интегрируемых моделей статистической механики, предложенных Дате, Джимбо и Ми-вой. Показывается, что процедура бозонизации вершинных операторов, описанная в главе 3, допускает обобщение на теории высших рангов. В данном

случае фундаментальный мультиплет полей состоит из п вершинных операторов, являющихся алгебраическим аналогом полубесконечных трансфер матриц, и доказательство коммутационных соотношений типа (5) основано на более громоздких тождествах для эллиптических тета функций. В качестве динамической алгебры симметрии в данных решеточных моделях появляются деформированные 1У„ алгебры (Фейгин, Френкель 1995; Шираиши и др., 1995 ). Построение же БРСТ дифференциала из экранирующих операторов комплекса и математически строгое доказательство соответствующих утверждений является нетривиальной математической проблемой. Достаточно заметить, что в простейшей, конформной, ситуации [4,6,9], где алгебра вершинных операторов задается не зависящими от спектрального параметра коэффициентами, эта проблема оставалась нерешенной. В настоящей главе также описывается прогресс в данном направлении, как в эллиптическом, так и в конформном случаях.

3.7 Вершинные операторы восьмивершинной модели

В данной главе приводятся результаты, полученные для матричных элементов вершинных операторов и корреляционных функций восьмивершинной модели Бакстера без внешнего поля [11,12]. Это - наиболее известная модель вершинного типа, содержащая как частные случаи шестивершинную модель (XXZ), модель Изинга, XZ, и др.. Сложность описания вершинных операторов в данном случае состоит в том, что, в отличии от антиферроэлектриче-ской шестивершинной модели с квантовой аффинной алгеброй динамической симметрии, эллиптическая алгебра в данной модели не изучена достаточным образом, в частности не развита теория представлений и не известно ее свободно-полевое описание. Найдено, что для вычисления матричных элементов вершинных операторов возможно, тем не менее, применить известное преобразование (Бакстер, 1973), переводящее больцмановские веса неограниченной АБФ модели в больцмановские веса восьмивершинной модели. Именно, введено обобщение этого преобразования на полубесконечные трансфер матрицы и показано, что использование бозонизации АБФ модели решает проблему описания матричных элементов операторов, удовлетворяющих обменным соотношениям с восьмивершинной R матрицей. Несмотря на то, что построение градуирующего оператора представляет собою сложную и до сих пор нерешенную проблему (Шираиши, 2004), найдена процедура получения интегральных представлений для корреляционных функций восьмивершин-ной модели и проведены соответствующие проверки ответа с результатами для антиферроэлектрической (Джимбо, Мива, Мики и Накаяшики, 1992) и бесщелевой (Джимбо, Мива, 1995) шестивершинными моделями и моделью

Изинга.

3.8 Деформированная парафермионная алгебра

В данной главе приведены новые результаты по изучению бесконечномерных симметрии и корреляционных функций антиферромагнитных моделей Андрюса-Бакстера-Форрестера, характеризуемых фазовым переходом с симметрией [13]. Хорошо известные примеры из данной иерархии интегрируемых моделей включают в себя модель Изинга для п = 2 и трикритиче-скую модель жесткого гексагона для п = 3. Несмотря на то, что больцма-новские веса в данной модели определяются как и в моделях общего положения, структура основных состояний имеет другой, симметричный вид, а одноточечные корреляционные функции данных моделей определяются характером неприводимого представления парафермионной алгебры. Анализ алгебры вершинных операторов показывает, что данные решеточные модели имеют в качестве скрытой динамической алгебры симметрии алгебру деформированных парафермионов. Соответственно и бозонизация вершинных операторов производится путем деформации алгебраических структур из па-рафермионной конформной теории поля Фатеева-Замолодчикова с центральным зарядом алгебры Вирасоро

В частности, свободно-полевое представление осуществляется введением двух типов коммутирующих осцилляторов. Технически полезным оказывается использование подходящих свободно-полевых объектов, развитых для представлений квантовых аффинных алгебр старшего уровня, для которых многие результаты теории представлений уже известны. Таким образом найдены интегральные представления для решеточных корреляционных функций. Также, с помощью операции слияния определены операторы старших спинов и путем взятия многократных контурных интегралов вычислены их двухточечные матричные элементы.

3.9 Форм факторы в моделях

В данной главе модели АБФ в режиме II изучены с скейлинговом пределе [13], где они становятся эквивалентными 2п моделям с факторизованным рассеянием Коберле и Свиеки, или, в альтернативном описании, парафермионным моделям Фатеева-Замолодчикова, возмущенных первым энергетическим оператором.

Операторы, диагонализующие решеточный гамильтониан в подходе угловой трансфер матрицы, отождествлены с деформированными параферми-онными токами. При этом их следы по угловому пространству состояний дают явные выражения для решеточных форм-факторов локальных операторов. Проведен анализ скейлингового предела, и при п > 3 найдены выражения для новых форм-факторов локальных спиновых и энергетических операторов. Для случая п = 3 проверено, что результаты совпадает с выражениями Кириллова-Смирнова (1989). Как и в случае модели ограниченного синус-Гордона, путем анализа матричных элементов вершинных операторов получены явные выражения для вакуумных ожидаемых значений операторов беспорядка скейлинговой теории и проверено, что для первого из операторов результат согласуется с известным ответом (Фатеев, 2000).

3.10 Заключение

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Публикации автора по теме диссертации:

1. О. Foda, K.L. Lee, Y. Pugai and Т. A. Welsh, Path generating transforms. Contemporary Mathematics, 254,157-186 (2000).

2. S. Lukyanov, Y. Pugai, ZF algebras: Direction towards deformed Virasoro algebra. ЖЕТФ 109, 1900-1947 (1996).

3. S. Lukyanov, Y. Pugai, Multipoint Local Height Probabilities in the Integrable RSOS Model. Nucl. Phys. B473, 631-658 (1996).

4. Y. Pugai, Lattice W algebras and quantum groups. Теор. Мат. Физ. 100, 132-147 (1994).

5. Y. Pugai, On normalization of form-factors and vertex operators. In "Statistical Field Theories", eds. A. Cappelli, G. Mussardo, Kluwer Academic Publisher, 2002, pp. 57-66.

6. Y. Pugai, Quantum Analogue of the Gel'fand-Dikii bracket. Phys.Lett. B279, 34-40 (1992).

7. Y. Asai, M. Jimbo, T. Miwa, Y. Pugai, Bosonization of Vertex operators for the A™! Face Model". J.Phys. A29, 6595-6616 (1996).

8. M. Jimbo, M. Lashkevich, T. Miwa, Y. Pugai, Lukyanov's screening operators for deformed Virasoro algebra. Phys.Lett. B229, 285-292 (1997).

9. Y. Pugai, Notes on WGL(n) algebras and quantum Miura transformation. Int.J.Mod.Phys. A8, 5023-5039 (1993).

10. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa and A. Odesskii, Y. Pugai, Algebra of screenings operators for the deformed Wn algebra. Commun.Math.Phys. 191, 501541 (1998).

11. M. Lashkevich, Y. Pugai, Free field construction for correlation functions of the eight vertex model. Nucl.Phys. B516, 623-651 (1998).

12. M. Lashkevich, Y. Pugai, Nearest neighbour two-point function of the Z-invariant eight-vertex model. Письма в ЖЭТФ, 68, 257-262 (1998).

13. M. Jimbo, H. Konno, S. Odake, J. Shiraishi, Y. Pugai, Free field construction for ABF models in the regime II. J.Statist.Phys. 102, 883-921 (2001).

14. A. Belavin, V. Belavin, A. Litvinov, Y. Pugai and Al. Zamolodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models -M2,2n+i- Nucl.Phys. B676, 587-614 (2004).

P-87U

• Оглавление

1 Введение

2 Комбинаторика путей и фермионные характеры

2.1 Одномерные конфигурации.

2.1.1 Пути.

2.1.2 Веса, сегменты и вершины. ф 2.1.3 Веса одномерной конфигурации.

2.1.4 Полосы и четность.

2.1.5 Переопределение весов путей.

2.1.6 Фундаментальная последовательность пути.

2.2 Комбинаторные преобразования.

2.2.1 В- преобразования.

2.2.2 ¿^-преобразование.

2.2.3 ¿^-преобразование.

2.2.4 Движения частиц.

2.2.5 ¿^-преобразование.

2.2.6 Содержание частиц в пути.

2.2.7 Р-преобразование.

2.3 Фермионные характеры.

2.3.1 Цепные дроби и гпп-система.

2.3.2 Зоны.

2.3.3 шп-система.

2.3.4 Обобщенная матрица Картана.

II 2.3.5 Сектора.

2.3.6 Генерирующие функции и формулы для характеров

2.3.7 Формулы для характеров.

3 Алгебраический анализ

3.1 Решеточные модели.

3.1.1 Модели ВВГ.

3.1.2 Модели АБФ.

3.2 Эвристический подход.

3.2.1 Угловая трансфер матрица.

3.2.2 Спектр углового гамильтониана.

3.2.3 Многоточечные функции.

3.2.4 Двухточечная JIBB.

3.3 Представление свободными полями.

• 3.3.1 Бозонное представление операторов.

3.3.2 Комплекс Фельдера.

3.3.3 Вычисление следов

3.3.4 Интегральное представление.

3.4 Технические вопросы.

3.4.1 Матрицы U.

3.4.2 Доказательство коммутационных соотношений

3.4.3 Формулы для вычисления следов.

3.4.4 Вычисление простейшего интеграла.

4 Деформированная алгебра Вирасоро

4.1 Динамическая симметрия.

4.2 Экранирующий оператор Лукьянова.

4.3 Когомологии БРСТ комплекса.

5 Вакуумные ожидаемые значения

5.1 Операторы второго рода.

5.1.1 Первое связанное состояние.

5.1.2 Предписание для форм факторов.

5.2 Скейлинговый предел.

5.2.1 Операторы слияния.

5.2.2 Вакуумные ожидаемые значения

6 Деформированные W алгебры

6.1 Коммутационные соотношения

Л 6.1.1 A^lx модели Джимбо, Мивы и Окадо.

6.1.2 Коммутационные соотношения.

6.2 Антисимметричное слияние

6.2.1 Слияние больцмановских весов.

6.2.2 Дуальные вершинные операторы

6.3 Бозонизация вершинных операторов.

6.3.1 Бозоны.

6.3.2 Экспоненциальные операторы.

6.3.3 Вершинные операторы.

6.3.4 Графическое определение вершинных операторов

6.3.5 Доказательство обменных соотношений

6.3.6 Доказательства теорем 3.2 и 3.3.

6.4 БРСТ комплекс.

6.4.1 Обозначения для sln алгебры Ли

6.4.2 Базисные операторы.

6.4.3 XQ{\) как сплетающие операторы.

6.4.4 Конформный предел

7 Вершинные операторы восьмивершинноп модели

7.1 Разностные уравнения.

7.1.1 Связь с ВВГ моделями.

7.1.2 Бозонизация.

7.2 Корреляционные функции.

8 Деформированная парафермионная алгебра

8.1 Антиферромагнитные АБФ модели.

8.1.1 Больцмановских веса.

8.1.2 Вершинные операторы в наивном подходе.

8.1.3 Локальные спиновые вероятности.

8.2 Свободно-полевая реализация.

8.2.1 Основные операторы

8.2.2 Коммутационные соотношения.

8.2.3 Свободно-полевая резольвента.

8.2.4 Отождествление с решеточной теорией.

8.2.5 Правила слияния для парафермионных токов

8.3 Форм факторы на решетке

8.3.1 Следы операторов типа II

8.3.2 Спиновый оператор.

8.4 Технические вопросы-.

8.4.1 Формулы для бозонных операторов.

8.4.2 Резольвента £-r¡ системы.

8.4.3 Вычисление следа.

9 Форм факторы в моделях

9.1 Скейлинговый предел в режиме 2.

9.1.1 Модели Коберле Свиеки.

9.1.2 Проекционные операторы.

9.2 Форм факторы.

9.2.1 Двухчастичные форм факторы.

9.2.2 Случай многих частиц.

В настоящее время теория точно решаемых (интегрируемых) моделей статистической механики и квантовой теории поля превратилась в обширную область науки со своими собственными проблемами, идеями и методами решения. Центральной и наиболее важной задачей в ней, безусловно, является точное вычисление всех корреляционных функций локальных операторов, дающих полное описание модели. Первоначально единственными примерами моделей с известными корреляционными функциями являлись модель свободного бозонного поля, знаменитая (решеточная и скейлинговая) модель Изинга в нулевом магнитном поле (Он-загер, 1944, Маккой, Ву и др. 1973) [108, 141] и конформные теории поля [20, 145, 41] (Белавин, Поляков, Замолодчиков, 1984; Доценко, Фатеев, 1984; Книжник, Замолодчиков, 1984; Фатеев, Замолодчиков, 1985). Эти примеры имели множество концептуальных приложений для развития квантовой теории поля, физики конденсированных состояний и статистической механики, а также стимулировали развитие теории интегрируемых моделей. В частности, они стали важным инструментом для проверки приближенных и численных методов и различных предположений в физике. Кроме того, некоторые черты интегрируемых моделей сохраняются при неинтегрируемых деформациях, поэтому знание интегрируй емых случаев может служить основой для правильных предположений о свойствах более реалистичных моделей.

До недавнего времени одной из основных трудностей нахождения корреляционных функций в некритических интегрируемых моделях являлось отсутствие каких либо очевидных неабелевых алгебр симметрий (обобщающих алгебру свободных бозонов, свободных фермионов модели Изинга или алгебру Вирасоро и ее расширений моделей конформной теории поля) которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. В частности, спектр гамильтониана в некритических/массивных теориях со взаимодействием устроен более сложно чем в свободных теориях и двумерных конформных теориях поля. В то же время, начиная с 1984 г., когда были введены конформные теории поля Белавина-Полякова-Замолодчикова и, независимо, решеточные интегрируемые модели Андрюса-Бакстера-Форрестера, была замечено, что данные модели, по-видимому, могут описываться сходным образом. Именно, было сделано наблюдение, что в подходе Угловой Трансфер Матрицы (Бакстер, 1976) спектр Углового Гамильтониана совпадает со спектром градуирующего оператора в минимальных унитарных моделях конформной теории поля. В то же время из-за отсутствия конформной симметрии в некритических решеточных моделях появление алгебры Вирасоро казалось довольно неожиданным (так называемый "парадокс Вирасоро", Хьюз, 1984, Джимбо и др. 1986, Бауэр и Салер 1985). В последствии, это замечательное явление привлекло внимание большого числа специалистов по комбинаторике, теории представлений бесконечномерных алгебр и интегрируемым системам.

С комбинаторной точки зрения спектр углового гамильтониана [10, 14], описываемый характером сильновырожденных представлений алгебры Вирасоро, определяет (знакопеременную) часть тождеств типа Род-жерса-Рамануджана. Было найдено, что комбинаторные методы, примененные для моделей Андрюса-Бакстера-Форрестера, допускают обобщение на другие модели с расширенными алгебрами симметрий и, более того, позволяют получать как знакопеременную ("бозонную"), так и знакопостоянную ("фермионную") части тождеств типа Роджерса-Рамануджана, а также их полиномиальных обобщений. В диссертации обсуждается вопрос о структуре фермионных формул для характеров, в частности о наличии разнообразных комбинаторных преобразований для этих формул.

Важнейший шаг в применении методов теории представлений к нахождению корреляционных функций в некритических интегрируемых двумерных моделях был сделан в работах Фоды и Мивы (1991), и Дэвиса-Джимбо-Фоды-Мивы-Накаяшики (1992). Для случая б-вершинной модели (или спиновой XXZ цепочки Гейзенберга-Изинга) ими было найдено, что пространство состояний решеточной модели в подходе угловой трансфер матрицы описывается квантовой аффинной алгеброй, и что возможно эффективно обобщить технику и идеи конформной теории поля (неабелевы симметрии, конформные блоки, примарные поля) и применить развитый к тому времени аппарат теории представлений квантовых алгебр (вершинные операторы, бозонизация и т.д.) для точной диа-гонализации гамильтониана и нахождения корреляционных функций и матричных элементов локальных операторов (форм факторов) в виде контурных интегралов от некоторых мероморфных функций. Наиболее общие модели с больцмановскими весами, задаваемыми эллиптическими решениями уравнений Янга-Бакстера, некоторое время не поддавались подобному алгебраическому анализу в силу отсутствия понимания о существовании и виде скрытой динамической бесконечномерной алгебры симметрии, ее представлениях, вершинных операторах и т.д. Обсуждение и развитие этих вопросов является другой целью настоящей диссертации.

Для массивных интегрируемых моделей квантовой теории поля развитие алгебраических методов на основе подхода с использованием угловой трансфер матрицы и вершинных операторов оказалось не менее эффективным, так как позволило разработать мощный аппарат для вычисления точных форм факторов физически важных локальных операторов (Лукьянов, 1993). Данные вопросы, а также проблема нахождения точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов, определяющих как длинно- так и короткодистанционные асимптотики скейлин-говых корреляционных функций, также обсуждаются в диссертации.

Главной целью диссертации является развитие алгебраического (сим-метрийного) подхода для изучения структуры пространства состояний, кореляционных функций и матричных элементов локальных операторов в различных некритических/массивных интегрируемых двумерных моделях статистической механики и квантовой теории поля. Более конкретно, в диссертации ставятся следующие задачи.

1. Нахождение алгебр динамической симметрии в интегрируемых решеточных моделях со взаимодействием вокруг граней.

2. Построение неприводимых представлений новых неабелевых бесконечномерных алгебр симметрий различных решеточных моделей.

3. Построение спиновых операторов, и операторов, диагонализующих гамильтониан; определение их матричных элементов и, как следствие, получение новых (интегральных) представлений для корреляционных функций и форм факторов для решеточных теорий.

4. Построение новых форм факторов локальных операторов в соответствующих интегрируемых моделях квантовой теории поля и их применение для анализа корреляционных функций.

5. Прояснение алгебраической природы точных вакуумных ожидаемых значений локальных операторов в массивных возбуждениях конформной теории поля.

6. Изучение пространства состояний моделей Андрюса, Бакстера и Форрестера. Прояснение комбинаторных аспектов тождеств типа Щура-Роджерса-Рамануджана.

7. Изучение эллиптических алгебр для восьмивершинной модели и матричных элементов соответствующих вершинных операторов, а также нахождение интегральных представлений для корреляционных функций.

Задачи, поставленные в предлагаемой диссертации, являются весьма актуальными и их решение представляет интерес для специалистов в области интегрируемых моделей квантовой теории поля и статистической механики, теории представлений бесконечномерных квантовых групп.

Впервые поставлена и решена задача о нахождении алгебр динамической симметрии в бесконечных иерархиях моделей Андрюса, Бакстера и Форрестера, в Ап моделях Джимбо-Мивы-Окадо. Впервые описаны неприводимые полностью вырожденные представления деформированной алгебры Вирасоро и Ш алгебр. Впервые построены интегральные представления для многоточечных корреляционных функций в данных решеточных моделях. Впервые построены форм факторы локальных операторов (к > 3) симметричных моделей Коберле-Свиеки (параферми-онных конформных теорий, возмущенных первым оператором энергии). Фермионные формулы для полиномиальных характеров полностью вырожденных неунитарных представлений алгебры Вирасоро впервые построены путем комбинаторных преобразований, связывающих представления с разными центральными зарядами. Впервые найдено описание матричных элементов вершинных спиновых операторов для восьмивершинной модели и найдены интегральные представления для корреляционных функций. Предложена новая процедура получения вакуумных ожидаемых значений для интегрируемых возмущенных конформных теорий поля, основанная на анализе вершинных операторов соответствующей решеточной модели.

Все результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, неоднократно докладывались на международных семинарах и конференциях. Они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях. Результаты, лежащие в основе диссертации опубликованы в 1992-2004 годах в работах [110], [111], [113], [120], [114], [115], [118], [116], [121], [122], [123], [124]. Автору принадлежит постановка теоретических задач, определение метода решения и получение конкретных результатов.

Диссертация состоит из введения, 8 глав основного текста, содержащих 24 параграфа, заключения и списка цитируемой литературы.

Глава 10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. A. K. Agarwal and D. M. Bressoud Lattice paths and multiple basic hypergeometric series. Pac. J. Math. 136, 209-228 (1989).

2. G. E. Andrews, R. J. Baxter, and P. J. Forrester. Eight-vertex SOS model and generalized Rogers-Ramanujan-type identities. J. Stat. Phys. 35, 193-266 (1984).

3. G. E. Andrews, An analytic generalization of the Rogers-Ramanujan identities for odd moduli, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 71, 4082-4085 (1974).

4. G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 2, Addison-Wesley (1976).

5. G. E. Andrews, Multiple series Rogers-Ramanujan type identities. Pac. J. Math. 114, 267-283 (1984).

6. G. E. Andrews, R. J. Baxter, D. M. Bressoud, W. H. Bürge, P. J. Forrester, and G. X. Viennot, Partitions with prescribed hook differences, Europ. J. Comb. 8, 341-350 (1987).

7. H. Au-Yang, J.H.H. Perk. Critical correlations in a Z-invariant inho-mogeneous Ising model. Physica A144, 44-104 (1987).

8. H. Awata, H. Kubo, S. Odake, and J. Shiraishi. Quantum Wn algebras and Macdonald polynomials, 1995. q-alg/9508011.

9. W. N. Bailey, Identities of the Rogers-Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. 50, 1-10 (1949).

10. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (1982)

11. R. J. Baxter, Phys. Rev. Lett. 26, 832 (1971); Ann. Phys. (N. Y.) 70, 193 (1972).

12. R. J. Baxter. Partition function of the eight-vertex lattice model. Ann. Phys. 70, 193-228 (1972).

13. R. J. Baxter. Corner Transfer matrices of the eight vertex model. Low-temperature expansions and conjectured properties. J. Stat. Phys. 15, 485-503 (1976).

14. R. J. Baxter and S. B. Kelland, J. Phys. C7, L403 (1974).

15. M. N. Barber and R. J. Baxter, J. Phys. C6, 2913 (1973).

16. R. J. Baxter. Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A289, 315-346 (1978).

17. V. V. Bazhanov and N. Yu. Reshetikhin. Critical RSOS models and confromal field theory. Int. J. Mod. Phys., 4, 115-142 (1989).

18. V. V. Bazhanov and N. Yu. Reshetikhin. Scattering amplitudes in off-critical models and RSOS integrable models. Prog. Theor. Phys. Supplement. 102,301-318 (1990).

19. A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys. B 241, 333-380 (1984).

20. A. Berkovich. Fermionic counting of RSOS-states and Virasora character formulas for the unitary minimal series M(v, v + 1). Exact results. Nucl. Phys. B431, 315-348 (1994).

21. A. Berkovich and B. M. McCoy, Continued fractions and fermionic representations for characters of M(p,p') minimal models. Lett. Math. Phys. 37, 49-66 (1996).

22. D. Bernard and G. Felder. Fock representations and BRST cohomology in SL(2) current algebra. Comm. Math. Phys. 127, 145-168 (1990).

23. A. H. Bougourzi, Bosonization of quantum affine groups and its application to the higher spin Heisenberg model, preprint ITP-SB-97-29, q-alg/9706015 (June 1997).

24. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Free field appraoch to 2-dimensional conformal field theories. Prog. Theoret. Phys. Supplement. 102 67-135 (1990).

25. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Quantum group structure in the Fock space resolution of sl(n) representations. Comm. Math. Phys. 131, 125-155 (1990).

26. P. Bouwknegt, J. McCarthy, and K. Pilch. Free field approach to 2-dimensional conformal field theories. Prog. Theoret. Phys. Supplement 102, 67-135 (1990).

27. V. Brazhnikov and S. Lukyanov. Angular quantization and form factors in massive integrable models. Nucl. Phys. B512, 616-636 (1998).

28. D. M. Bressoud, Lattice paths and the Rogers-Ramanujan identities, in Proceedings of the international Ramanujan centenary conference, 140-172, Madras, 1987, ed. K. Alladi. Lecture Notes in Mathematics 1395, Springer (1989).

29. W. H. Bürge, A three-way correspondence between partitions, Europ. J. Comb. 3, 195-213 (1982).

30. W. H. Bürge, Combinatorial interpretations of some identities of the Rogers-Ramanujan type, preprint (1982).

31. W. H. Bürge, Restricted partition pairs, J. Comb. Th. A 63, 210-222 (1993).

32. H. W. Capel. Physica (Utrecht) 32, 966 (1966); V. Blume. Phys. Rev. 141, 617 (1966).

33. L. Clavelli, J. A. Shapiro. Pomeron Factorization in General Dual Models. Nucl. Phys. B57, 490-535 (1973)

34. S. Dasmahapatra and O. Foda Strings, paths and standard tableaux, Int. J. Mod. Phys. A 13, 501-522 (1998).

35. D. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, A. Nakayashiki. Diagonali-zation of the XXZ Hamiltonian by Vertex Operators. Commun. Math. Phys. 151, 89-153 (1993).

36. C. Domb, J. L. Lebowitz (eds). Phase transitions and Critical Phenomena, vol. 12, Academic Press, New York (1988).

37. Bji. C. JXoneuKO. }K9T<X> 75, 1083 (1978).

38. VI. S. Dotsenko. J. Stat. Phys. 34, 781 (1984).

39. C. Fan and F. Y. Wu, Phys. Rev. B2, 723 (1970).

40. V. A. Fateev. Integrable deformations in Z^-symmetrical models of the conformal quantum field theory. Int. J. Mod. Phys. A, 6, 2109-2132 (1991).

41. V. A. Fateev and S. L. Lukyanov. The models of two-dimensional conformal quantum field theory with with Zn symmetry. Int. J. Mod. Phys. A3, 507-520 (1988).

42. V. A. Fateev and S. L. Lukyanov. Additional symmetries and exactly soluble models in two-dimensional field theory. Soviet Sci. Rev. 15, 1-117 (1990).

43. V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov. Expectation values of local fields in Bullough-Dodd model and integrable perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B516, 652-674 (1998).

44. V. Fateev, D. Fradkin, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov. Expectation values of descendents fields in the sine-Gordon model. Nucl.Phys. B540, 587-609 (1999). hep-th/9807236]

45. P. Baseilhac, V. A. Fateev. Expectation values of local fields for a two-parameter family of integrable models and related perturbed conformal field theories. Nucl.Phys. B532, 567-587 (1998).

46. V. A. Fateev. Normalization factors in conformal field theory and their applications. Mod. Phys. Lett. A15 259-270 (2000).

47. C. Ahn, V. A. Fateev, C. Kim, C. Rim, B. Yang. Reflection Amplitudes of ADE Toda Theories and Thermodynamic Bethe Ansatz Nucl.Phys. B565 611-628, (2000).

48. B. L. Feigin and A. V. Odesskii. Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras, 1995. RIMS-1032, q-alg/9509021.

49. B. L. Feigin and D. B. Fuchs. Representations of the Virasoro algebra. In: Topology, proceedings, Leningrad 1982. L. D. Faddeev, A. A. Mal'cev (eds.)Lecture Notes in Mathematics, 1060, Berlin, Heidelberg, New York: Springer (1984).

50. B. L. Feigin, D. B. Fuchs. Representations of the Virasoro algebra. In: Topology, Proceedings, Leningrad 1982. Faddeev, L.D., Mal'cev, A.A. (eds.). Lecture Notes in Mathematics, vol. 1060. Berlin Heidelberg, New York: Springer (1984).

51. B. L. Feigin and E. V. Frenkel. Affine Kac-Moody algebras and semiinfinite flag manifold. Comm. Math. Phys. 128, 161-189 (1990).

52. B. L. Feigin and E. V. Frenkel. Quantum W-algebras and elliptic algebras. Comm. Math. Phys., 178, 653-678 (1996).

53. E. Frenkel, N. Reshetikhin. Quantum affine algebras and deformations of the Virasoro and W-algebras. Preprint (1995) (q-alg/9505025)

54. G. Felder. BRST approach to minimal models. Nucl. Phys. B317, 215-236 (1989).

55. G. Felder and A. Varchenko. On representations of the elliptic quantum group ET>r){sl2). (1996). q-alg/9601003.

56. Ph. Di Francesco, P. Mathieu and D. Senechal, Conformal Field Theory, Springer (1996).

57. O. Foda and S. 0. Warnaar, A bijection which implies Melzer's polynomial identities: thexi'f+1) case, Lett. Math. Phys. 36, 145-155 (1996).

58. P. J. Forrester and R. J. Baxter, Further exact solutions of the eight-vertex SOS model and generalizations of the Rogers-Ramanujan identities. J. Stat. Phys. 38, 435-472 (1985).

59. E. Fradkin, L. Kadanoff. Nucl. Phys. B170 FS1], 1 (1980).

60. D. Fridan, Z. Qiu, S. Shenker. Conformal invariance, unitarity and critical exponents ib two dimensions. Phys. Rev. Lett. 52, 1575 (1984).

61. D. Fridan, Z. Qiu, S. Shenker. Phys. Lett. B151, 37 (1985).

62. B. Gordon, A combinatorial generalisation of the Rogers-Ramanujan identities, Amer. J. Math. 83, 393-399 (1961).

63. D.A. Huse. Exact exponents for infinitely many new multi-critical points. Phys. Rev. B30, 3908-3915 (1984)

64. D.A. Huse, M.E. Fisher. Phys. Rev. B29, 239 (1984).

65. E. Itzykson, H. Saleur, J.B. Zuber (eds.). Conformal invariance and application to statistical mechanics. World Scientific (1988).

66. T. Jayaraman, K. S. Narain, and M. H. Sarmadi. SU(2)k WZW and Zk parafermion models on the torus. Nucl. Phys. B343, 418-449 (1990).

67. Jimbo, M. (ed.): Yang-Baxter equation in integrable systems, World Scientific, Singapore (1989).

68. M. Jimbo and T. Miwa. Quantum KZ equation with |g| = 1 and correlation functions of the XXZ model in the gapless regime. RIMS preprint RIMS-1058 (1996) (hep-th/9601135)

69. M. Jimbo and T. Miwa, Algebraic Analysis of Solvable Lattice Models, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 85, AMS, (1994)

70. M. Jimbo, T. Miwa, and M. Okado. Local state probabilities of solvable lattice models:an A^ family. Nucl. Phys., B300FS22],74-108 (1988).

71. M. Jimbo, T. Miwa, and M. Okado. Solvable lattice models whose states are dominant integral weights of A^^. Lett. Math. Phys., 14, 123-131 (1987).

72. E. Date, M. Jimbo, M. Okado. Lett. Math. Phys. 12, 209 (1986)

73. O. Foda, K. Iohara, M. Jimbo, R. Kedem, T. Miwa, and H. Yan, Lett. Math. Phys. 32, 258 (1994)

74. M. Jimbo, T. Miwa, and A. Nakayashiki, J. Phys. A26, 2199 (1993)

75. M. Jimbo, K. Miki, T. Miwa, A. Nakayashiki. Correlation functions of the XXZ model for A < -1. Phys. Lett. A168, 256-263 (1992)

76. B. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Miwa, and A. Nakayashiki. Diago-nalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators. Comm. Math. Phys., 151:89-153, 1993.

77. M. Jimbo, T. Miwa, and Y. Ohta. Structure of the space of states in RSOS models. Int. J. Mod. Phys. A8, 1457-1477 (1993).

78. V. G. Kac and D. H. Peterson. Infinite-dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms. Adv. in Math., 53,125-264 (1984).

79. М. Karowski and P. Weisz. Exact form factors in (1 + l)-dimensional field theoretic models with soliton behaviour. Nucl. Phys. B139, 455476 (1978).

80. S.-J. Kang, M. Kashiwara, К. C. Misra, T. Miwa, T. Nakashima, and A. Nakayashiki, C. R. Acad. Sci. Paris, 3151, 375 (1992)

81. A. N. Kirillov, F. A. Smirnov. ITF preprint, ITF-88-73R, Kiev (1988).

82. T. R. Klassen and E. Melzer. Purely elastic scattering theories and their ultraviolet limits. Nucl. Phys., B338,485-528 (1990).

83. R. Koberle and J. A. Swieca. Factorizable Z(N) models. Phys. Lett. B86, 209-210 (1979).

84. V.E. Korepin, A.G. Izergin, F.H. Essler, D.B. Uglov. Correlation functions of the spin \ XXX antiferromagnet. Phys. Lett. A190, 182-184 (1994)

85. А. Кадейшвили. Письма в ЖЭТФ, 82, 1021 (1996).

86. Н. Konno. An elliptic algebra UqtP(sl2) and the fusion RSOS model. Comm. Math. Phys. 195, 373-403 (1998).

87. M. Lashkevich. Scaling limit of the six vertex model in the framework of free field representation. JHEP, 9710 003 (1997).

88. M. Yu. Lashkevich, Mod. Phys. Lett. BIO, 101 (1996) (hep-th/9408131)

89. M. Lashkevich. Free field contruction for the eight vertex model: representation for form factors. Nucl. Phys. B621, 587-621 (2002).

90. A. LeClair. Restricted Sine-Gordon theory and the minimal conformal series. Phys. Lett. B230, 103-107 (1989).

91. S. Lukyanov. Free field representation for massive integrable models. Comm. Math. Phys. 167 183-226 (1995).

92. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon model. Mod. Phys. Lett. A12, 2543-2550 (1997).

93. Lukyanov, S.: A note on the deformed Virasoro algebra. Phys. Lett. B367, 121-125 (1996)

94. S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the affine toda models. Phys. Lett. B, 408:192-200, 1997.

95. S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl. Phys. B 493, 571-587 (1997)

96. S. L. Lukyanov. Correlators of the Jost functions in the sine-Gordon model. Phys. Lett. B, 325:409-417, 1994.

97. B. McCoy, T.T. Wu. The two dimensional Ising model. Harvard Uni-vesity press, Cambridge MA (1973).

98. A.Matsuo. A g-deformation of Wakimoto modules, primary fields and screening operators. Comm. Math. Phys., 161:33-48, 1994.

99. J. R. Reyes Martinez, Correlation functions for the Z-invariant Ising model, hep-th/9609135 (September 1996)

100. T. Miwa, R. Weston, Bondary ABF model. Nucl. Phys. B486 517-545 (1997)

101. Koubek, A. and Mussardo, G.: On the operator content of the sine-Gordon model. Phys. Lett. B311, 193-201 (1993)

102. L. Obnsager. Phys. Rev. 65, 117 (1944)

103. T. Oota. Functional equations of form factors for diagonal scattering theories. Nucl. Phys. B, 466:361-382, 1996.

104. S. Lukyanov and Ya. Pugai. Bosonization of ZF algebras: Direction toward deformed Virasoro algebra. J. Exp. Theor. Phys. 82, 1021-1045 (1996)

105. S. Lukyanov and Y. Pugai. Multi-point local height probabilities in the integrable RSOS model. Nucl. Phys. B473, 631-658, 1996.

106. M. Jimbo, M. Lashkevich, T. Miwa, and Y. Pugai. Lukyanov's screening operators for the deformed Virasoro algebra. Phys. Lett. A, 229:285-292, 1997.

107. О. Foda, K.L. Lee, Y. Pugai and T. A. Welsh, Path generating transforms. Contemporary Mathematics, 254, 157-186 (2000).

108. Y. Pugai, Lattice W algebras and quantum groups. Teop. Mam. Физ. 100, 132-147 (1994).

109. Y. Pugai, On normalization of form-factors and vertex operators. In "Statistical Field Theories", eds. A. Cappelli, G. Mussardo, Kluwer Academic Publisher, 2002, pp. 57-66.

110. Y. Pugai, Quantum Analogue of the Gel'fand-Dikii bracket. Phys.Lett. B279, 34-40 (1992).

111. Y. Asai, M. Jimbo, T. Miwa, Y. Pugai, Bosonization of Vertex operators for the A^ Face Model". J. Phys. A29, 6595-6616 (1996).

112. Y. Asai, M.Jimbo, T.Miwa, and Y. Pugai. Bosonization of vertex operators for the face model. J. Phys. A, A29:6595-6616, 1996.

113. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, A. Odesskii, and Y. Pugai. Algebra of screening operators for the deformed Wn algebra. Commun. Math. Phys., 191:501-541, 1998.

114. Y. Pugai, Notes on WGL(n) algebras and quantum Miura transformation. Int. J. Mod. Phys. A8, 5023-5039 (1993).

115. M. Lashkevich, Y. Pugai, Free field construction for correlation functions of the eight vertex model. Nucl. Phys. B516, 623-651 (1998).

116. M. Lashkevich, Y. Pugai, Nearest neighbour two-point function of the Z-invariant eight-vertex model. Письма в ЖЭТФ, 68, 257-262 (1998).

117. M. Jimbo, Н. Konno, S. Odake, J. Shiraishi, Y. Pugai, Free field construction for ABF models in the regime II. J. Statist. Phys. 102, 883921 (2001).

118. A. Belavin, V. Belavin, A. Litvinov, Y. Pugai and Al. Zamolodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models Л^2,2п+1-Nucl. Phys. B676, 587-614 (2004).

119. Y.-H. Quano. Bootstrap equations and correlation functions for the Heisenberg XYZ antiferromagnet. J. Phys. A35 9549-9572 (2002)

120. Rocha-Caridi, A.: Representation theory of the Virasoro and super Vi-rasoro algebras: irreducible characters. In: Infinite Lie Algebras and Conformal Invariance In Condensed Matter and Particle Physics, Proceedings, Bonn, 59-80 (1986)

121. H. Saleur, M. Bauer. On some relations between local height probabilities and conformal invariance, Nucí. Phys. B320, 591-624 (1989)

122. N. Reshetikhin, F.A. Smirnov. Hidden quantum group symmetry and integrable perturbations of conformal field theories. Commun. Math. Phys. 131, 157-177 (1990)

123. F.A. Smirnov. Form factors in completely integrable models of quantum field theory. Singapore: World Scientific (1992)

124. F.A. Smirnov. The perturbated с < 1 conformal field theories as reductions of sine-Gordon model. Int. J. Mod. Phys. A4 4213-4220 (1989)

125. F.A. Smirnov. Reductions of the sine-Gordon model as a perturbation of minimal models of conformal field theory. Nucl. Phys. B337, 156180 (1990)

126. F.A. Smirnov. Quantum groups and generalized statistics in integrable models. Comm. Math. Phys., 132:415-439, 1990.

127. F.A. Smirnov. Dynamical symmetries of massive integrable models. Int. J. Mod. Phys., A7 813-837; 839-858 (1992).

128. F.A. Smirnov. Counting the local fields in sine-Gordon theory Mucl. Phys., B453 807-824 (1995).

129. J. Shiraishi, H. Kubo, H. Awata, and S. Odake. A quantum deformation of the Virasoro algebra and the Macdonald symmetric functions, 1995, Lett. Math. Phys. 38, 33 (1996). q-alg/9507034.

130. B. Sutherland, J. Math. Phys. 11, 3183 (1970)

131. Tarasov, V. and Varchenko, A., arXiv:q-alg/9703044].

132. A. M. Tsvelik. The exact solution of 2D Zjv invariant statistical models. Nucl. Phys. B, 305:675-684, 1988.

133. S.O. Warnaar, Fermionic solution of the Andrews-Baxter-Forrester model I. Unification of TBA and CTM methods, J. Stat. Phys. 82 (1996) 657-685.

134. AJI. B. 3aM0ji0AHHK0B. )K9TO 75, 341 (1978).

135. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Ann. Phys. 120 253-291 (1979)

136. A. B. Zamolodchikov and V. A. Fateev. Nonlocal (parafermion) currents in two-dimensional conformal quantum field theory and self-dual critical points in Z^-symmetric statistical models. Sov. Phys. JETP, 62(2):215-225, 1985.

137. Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov Al. B.: Conformal field theory and critical phenomena in two-dimensional systems. Physics reviews v.10, 269-433 (1989). (Ed.) I.M. Khalatnikov, London UK: Harwood 1989 (Soviet scientific reviews. Section A.10.4)

138. A. B. Zamolodchikov. Integrals of motion in scaling 3-state Potts model field theory. Int. J. Mod. Phys. A, 3:743-750, 1988.

139. A.B. Zamolodchikov. Integrable field theory from conformal field theory. Adv. Stud, in Pure Math. 19, 641-674 (1989)

140. Al. B. Zamolodchikov. Two-point correlation function in scaling LeeYang model. Nucl. Phys., B348:619-641, 1991.

141. Zamolodchikov Al. B.: Mass Scale In The Sine-Gordon Model And Its Reductions. Int.J.Mod.Phys., AlO, 1125 (1995)

142. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory. arXive:hep=th/9506136