Симметрии квантовых интегрируемых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Сохраняющиеся токи в кван товых интегрируемых моделях.

Глава 2. Б озонизация алгебры токов для уравнения синус- Гордон.

Глава 3. Интегралы движеция классического решеточного уравн^ия- .1 < * • синус-Гордон. • : '

Глава 4. Аналог квантовой гамиль-тоновой редукции Дринфельда — Соколова для деформированных алгебр (Uq(sl2) - случай).

За последние 30 лет в квантовой теории поля низкоразмерных систем наблюдается значительный прогресс. Удалось получить много точных результатов, не используя методы теории возмущений. К таким результатам относится вычисление ^-матриц Лоренц-инвариантных интегрируемых систем, таких, например, как синус-Гордон и др. Наличие квантовых интегралов движения приводит в конечном счете к уравнениям на 5-матрицу. С другой стороны, используя полевой подход в моделях статистической механики с помощью разумной аксиоматики, удалось добиться точного решения теории в точке фазового перехода второго рода. Под точным решением квантовой теории поля подразумевается вычисление всех квантовых корреляционных функций. Решены также некоторые нелинейные сг-модели с топологическими членами в фиксированных точках ренормализационной группы. Это модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена. Все, что объединяет системы, в которых удалось вычислить квантовые средние- это наличие в ней бесконечномерной симметрии. Именно использование специфических свойств таких симметрий позволило получить точное решение. Другой объединяющий принцип квантовых интегрируемых систем и систем с бесконечномерной симметрией - это наличие у обеих бесконечной совокупности интегралов движения. В случае интегрируемых систем интегралы движения образуют коммутативную алгебру, а в точно решаемых системах это нетривиальная некоммутативная алгебра. Алгебра Вирасоро - в случае полевого подхода к статистическим системам и дополнительно алгебра Каца-Муди в случае сг-моделей с топологическими членами в фиксированных точках ренормализационной группы. Таким образом, как показывают примеры выше, изучение любой данной квантовой системы, вероятно, следует начинать с изучения квантовых интегралов движения. Квантовые интегралы движения всегда строятся, используя одновременную скобку Пуассона,которая является простой, поэтому такие интегралы движения можно построить точно - не используя теорию возмущений.

Правила квантования обычно предполагают, что все классические симметрии должны присутствовать в квантовом случае, иначе мы имеем квантовую аномалию. Оказывается, однако, что в квантовом случае могут появляться новые симметрии, которые не присутствуют в классической теории и эти симметрии можно обнаружить, только изучая квантовые интегралы движения. Здесь мы имеем дело с квантовыми вырождениями, которые появляются благодаря специфическим гамильтонианам интегрируемых систем и определенной силе взаимодействия (константе связи). Ниже мы более подробно остановимся на конформных теориях поля - системах с бесконечной симметрией, и квантовых интегрируемых теориях - теориях, обладающих высшими квантовыми интегралами движения. Мы проанализируем, что общего между этими двумя классами теорий поля, и что их отличает, и фактически попытаемся понять, чего все-таки недостает, чтобы сделать интегрируемые теории точно решаемыми так же как конформные.

2. Конформная теория поля.

При приближении к точке фазового перехода второго рода характерный размер флюктуаций параметра порядка - корреляционная длина гс-возрастает. Эти длинноволновые флюктуации могут быть описаны на языке эффективной теории поля, отвлекаясь от детальной микроструктуры. Строго в критической точке Т = Тс корреляционная длина бесконечна и соответствующая эффективная теория поля безмассова, а ее инфракрасная асимтотика инвариантна по отношению к масштабным преобразованиям: х» -Л \х где -пространственные координаты, ц — 1,2Поля, описывающие флюктуации параметра порядка, преобразуются при масштабных преобразования следующим образом:

Ф; -)> А^Фг-, где di - аномальные масштабные размерности. В 1970 г Поляков [1] предположил, что критические флюктуации имеют, помимо масштабной, также и конформную инвариантность. Конформные преобразования - это координатные преобразования, которые оставляют инвариантными углы между двумя векторами в заданной точке, но могут изменить их длину. Фактически в однородных и изотропных системах конформная симметрия следует из масштабной инвариантности и обеспечивается локальностью взаимодействия. В Евклидово-инвариантной теории, генератор преобразования координат относительно вращений удовлетворяет уравнению непрерывности:

После введения комплексных координат

1 -2 - 1 -2 —— JC | ЪЭи Z — ОС Ъг)С ^ мы приходим к следующим соотношениям

BzTZZ(z, 2) = dzQ(z, *) 9,-0(2, 2) = 2).

Требование масштабной инвариантности приводит к занулению следа тензора энергии импульса 0(2, 2) и уравнение непрерывности переписывается в виде

B-zTzz(z,z) =0, dzT~z~z{z,z) = 0.

Таким образом, в теории присутствует голоморфный сохраняющийся ток, Фурье - компоненты этого тока являются интегралами движения. Поляков в [2] предложил "бутстрапный" подход к конформной теории поля, который комбинирует конформную инвариантность и существование замкнутой алгебры локальных полей. В этом подходе Гамильтонова формулировка теории поля не появляется явно и базисные " бутстрапные" уравнения возникают от ассоциативности операторной алгебры. В D = 2 группа конформных преобразований бесконечномерна, соответствующая бесконечномерная алгебра генераторов этой симметрии - алгебра Вира-соро. Разложения на неприводимые представления алгебры Вирасоро позволяют описать базисные поля конформной теории в деталях. Представления старшего веса алгебры Вирасоро изучены в математической литературе [3,4].

Алгебра Вирасоро содержит свободный параметр - "центральный заряд" с, значение этого параметра - очень важная характеристика конформной теории. При фиксированных значениях этого параметра возможно вычисление спектра аномальных масштабных размерностей теории и точная решаемость в строгом смысле: корреляционные функции могут быть вычислены точно [5].

3. Интегрируемые теории поля.

Конформные теории поля не исчерпывают все количество квантово-полевых теорий, обладающих бесконечным количеством локальных интегралов движения. Другой не менее многочисленный класс- это квантование обычных классических интегрируемых систем, таких как теория синус-Гордон [6], Жибер-Шабат [7], нелинейная сг-модель (О(N))-модель [8] и другие [9].

Отправным пунктом при рассмотрении теории рассеяния квантовой системы является предположение, что область взаимодействия локализована (то есть взаимодействие достаточно быстро спадает с расстоянием) в некоторой области и если рассматривать состояние, достаточно удаленное от этой области, то можно пренебречь взаимодействием и рассматривать такое состояние как свободное. Поэтому считается, что если начальное состояние определяется при t —» —оо, а конечное при t оо, то оба они являются состояниями теории поля без взаимодействия. Оператор, который переводит начальное состояние в конечное, называется 5-матрицей. Для вычислений S- матрицы обычно используют стандартную теорию возмущений, предполагая, что сила взаимодействия мала. Однако существование высших локальных интегралов движения приводит к факторизации многочастичной ^-матрицы на произведение двухчастичных, а условия кроссинга, унитарности, Лоренц-инвариантности и аналитичности позволяют точно определить последнюю [10]. Для этих вычислений совершенно не важен явный вид интегралов движения. Важно, чтобы их Лоренцовый спин был больше 1. Сохранение обычного импульса здесь недостаточно.

Другой способ получения квантовых интегрируемых теорий был предложен Замолодчиковым [11]. Можно показать, что при возмущении конформных теорий некоторыми специальными способами можно обнаружить квантовые интегрируемые теории. Эти теории, как и конформная теория поля, не имеют классического предела и хорошо определены только в квантовом случае. Для них также можно вычислить S матрицу.

Здесь, конечно, следует напомнить об алгебрах, которые образуют интегралы движения в конформной и квантовой интегрируемой теории. Интегралы движения конформной теории поля образуют алгебру Вира-соро в голоморфном и антиголоморфном секторах, в то время как интегралы движения в интегрируемой теории образуют коммутативную алгебру. Однако, если интересоваться квантовыми интегралами движения в интегрируемых теориях, то мы обнаружим, что возможны значения констант связи, где картина резко меняется. Оказывается, можно построить сохраняющиеся токи в теории синус - Гордон и Жибер -Шабат. Этому посвящена Глава 1 диссертации. Таким образом, мы имеем сохраняющиеся токи в интегрируемых теориях с двумя экспоненциальными взаимодействиями. Это очень напоминает конформную теорию поля, где также имеется сохраняющийся ток. Таким образом, мы замечаем некоторое сходство конформных и интегрируемых теорий. Во- первых, имеются бесконечномерные центрально расширенные алгебры в обеих теориях. Во -вторых, константы связи в квантовых интегрируемых теориях и центральные заряды в конформных теориях не произвольны, а строго фиксированы. В -третьих, в обоих случаях алгебры обладают сингулярными векторами в представлении старшего веса. Помимо общих черт, имеются и существенные отличия. Во-первых, структуры алгебр'принципиально различны. Во -вторых, наверное, самое главное - наличие гамильтонового описания у интегрируемых систем и отсутствие его у конформной теории поля.

Алгебры, которые образуют Фурье-компоненты тока в конформной теории поля и в интегрируемой теории, сильно отличаются. Исследованию свойств новых алгебр посвящена Глава 2. Следует подчеркнуть, что данные алгебры не имеют классического предела. Для разъяснения этого обстоятельства нужно рассмотреть классический предел интегрируемой теории. Обсуждению такого предела посвящена Глава 3.

Другое направление исследования низкоразмерных систем- это точно-решаемые модели статистической механики. Как уже объяснялось выше, в точке фазового перехода такие модели могут быть решены с помощью эффективной теории поля. Однако в некритической области нужно использовать другие методы, потому что конформная симметрия исчезает.

Для точного решения этих моделей в некритической области используют так называемые квантовые алгебры или квантовые группы. Они фактически являются q- деформациями обычных алгебр Каца -Муди и Вирасоро или их расширений - ТГ-алгебр. Существует связь между алгебрами Каца-Муди и W- алгебрами. С помощью квантовой редукции Дринфельда-Соколова можно, например, из 5/2 алгебры получить алгебру Вирасоро. Глава 4 посвящена тому, как из q- деформированной алгебры Каца- Муди - Uq(sl2) получить q -деформацию алгебры Вирасоро, используя квантовый аналог редукции Дринфельда-Соколова.

Заключение.

Основной задачей квантовой теории поля всегда было и остается вычисление квантовых средних. Эти функции полностью определяют кван-товополевую теорию, т.е. знание их является исчерпывающей информацией о квантовой модели. Если интересоваться более узким классом теории поля - двумерными интегрируемыми моделями, то до сих пор не удавалось получить удовлетворительного непертурбативного описания квантовых систем такого типа. Как известно, точная решаемость всегда связана с наличием бесконечно-мерной симметрии и ее специфическими свойствами. Поэтому поиск бесконечномерных симметрий в квантовых интегрируемых моделях является не только логически оправданным, но и скорее всего единственно возможным направлением, приводящим к успеху. Здесь мы хотим подытожить, что удалось достичь, и что еще предстоит сделать. Во-первых, следует обратить внимание на сильную неэквивалентность теории при различных константах связи. Имеются значения, где симметрия системы резко возрастает из абелевой симметрии, как это есть в классическом пределе до огромной симметрии, которая задается целой бесконечной совокупностью сохраняющихся токов. Эта симметрия по своей сути даже больше чем конформная, в последней сохраняется всего лишь один ток, или, если рассматривать дополнительные симметрии, то конечное число токов. А в алгебрах, которые мы обнаружили, имеется бесконечная совокупность токовых генераторов. С другой стороны, новые алгебры устроены так, что не содержат как замкнутый подкласс конформную симметрию - это говорит о ее принципиальной новизне. Эта симметрия отсутствует в классическом пределе и является исключительно квантовым образованием. Сохраняющиеся токи невозможно также обнаружить квантовым методом обратной задачи рассеяния, поскольку последняя приспособлена только для нахождения коммутирующих квантовых интегралов движения. Мы можем также предположить, что квантовый метод обратной задачи не является полным даже для отыскания полиномиальных квантовых интегралов движения. Он даже не дает просто все коммутирующие интегралы движения- об этом свидетельствуют, например, явные вычисления для а = 1, \/3- квантовой модели синус-Гордон. Явные вычисления показывают, что квантовые интегралы движения идут подряд с изменением спина, в то время как квантовый метод обратной задачи дает только нечетные номера спинов. Наличие сохраняющихся токов носит, скорее всего, общий характер для моделей с двумя экспоненциальными взаимодействиями- они обнаружены в моделях синус - Гордон и Жибер-Шабат, а также в других квантовых моделях подобного типа.

Рассматривая основные результаты диссертации, можно заключить, что они состоят в следующем:

1. Изучены особенности квантовых интегралов движения на низких уровнях для теорий синус-Гордон и Жибер-Шабат, используя явные построения величин, коммутирующих с гамильтонианами, и не обращаясь к квантовому методу обратной задачи. Отмечено увеличение количества интегралов движения на квантовом уровне при фиксированных значениях констант связи, отвечающих нетривиальным взаимодействиям.

2. Впервые построен определенный тип квантовых теорий, обладающих высшими интегралами движения и не имеющих классического предела. Обсуждается связь рассматриваемых теорий и возмущенных конформных теорий поля, предложенных Замолодчиковым.Показано на примерах, что в рассматриваемых моделях пространство интегралов движения шире.Указаны причины и следствия.

3. Обнаружены принципиально новые алгебры. Они являются бесконечномерными, имеют центральное расширение и не имеют в качестве подалгебры алгебру Вирасоро -это принципиально новая конструкция нигде ранее не встречавшаяся. Построена простейшая токовая алгебра и найдены сингулярные векторы в представлении старшего веса. Найдены представления свободных полей для нее. Эти алгебры коммутируют с гамильтонианом и не имеют классического предела, что свидетельствует о неэквивалентности констант связи в теории и возможности возрастания симметрии на квантовом уровне.

4. Впервые построен квантовый аналог гамильтоновой редукции для деформированной алгебры Uq{sl.2).Найдены констрейнты на токовые генераторы - возможны два случая. Построен BRST- оператор такой редукции. В результате получается q - деформированная алгебра Вирасоро.

5. Показано, что предел а 0 (а -константа связи модели ) дает классический предел данной системы на примере решеточной системы синус-Гордон.

Найдены преобразования решеточных переменных поля в обычных координатах в решеточные переменные поля в координатах светового конуса.Указана процедура вычисления высших классических решеточных интегралов движения для теории синус-Гордон при использовании найденного решения для квантого производящего функционала в случае общего положения константы связи. Это позволяет вычислять классические интегралы движения на решетке явным разложением по спектральному параметру следа квантовой матрицы монодромии, на базе доказанной обобщенной формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа.

6. Построен генератор алгебры Волкова как элемент Казимира с использованием явных выражений для трехмерных модулей [5].

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 93-02-3135, 96-02-17133), International Science Foundation (Grant M6N000),INTAS-93, Международной Соросовской программой образования в области точных наук (грант а208-ф), HHTAC-95-IN-RU-690, CRDF Cooperative grants program (Grant RP1-277), Грантом, учрежденным Российской Академией наук для молодых ученых. Автор выражает благодарность группе по физике высоких энергий в ICTP Триест, (Италия) за предоставленную возможность обсуждения материалов диссертации в ICTP и SISSA.

1. A.M. Polyakov. Pisma v ZhETF, 1970, 12, p.538.

2. A.M. Polyakov. ZhETF, 1974, 66, p.23.

3. V. Kac, D.B.Fuks. Func. an. 1979, 94, p.47.

4. B.L. Feigin, D.B.Fuks Func. an 1982, 16, p.47; 1983, 17, p.91.

5. A.A. Belavin, A.M.Polyakov, A.B.Zamolodchikov. Nucl.Phys,1984,B241,333.

6. П.П. Кулиш, Б. Нисимов, Письма в ЖЭТФ 1976, т.24, с.220.

7. А.Б. Жибер, А.Б. Шабат, ДАН. 1979, Том 247, п.5.

8. К. Pohlmeyer. Comm. Math. Phys, 1976, v.46, p.207; A.M. Polyakov. Phys. Lett, 1977, v.72B, p.224.

9. M. ICarowski. Phys. Rep, 1979, v46, p.229.

10. A.B. Zamolodchikov, Al.B Zamolodchikov. Ann. Phys, 1979, v.120, p.253.

11. A.B. Zamolodchikov. Adv. Studies in Pure. Math.(1989) v.19 p.641-674.

12. D. Friedan, E. Martinec, S. Shenker. Nucl. Phys. B271, (1986), p.93.

13. R. Sasaki, I. Yamanaka. Advanced Studies in Pure Math. v.16, 1988.

14. S. Coleman Phys.Rev 1975, v. Dll, p.2088.

15. B. Feigin, E. Frenkel. Phys. Lett. B246, (1990), N1,2 p.75.

16. В. Feigin, Е. Frenkel. Integral of motion and quantum groups preprint, hep-th 9310022.

17. A. Matsuo. Jackson integral of Jordan-Pochnammet type and K-2 equation, preprint (1992).

18. A. Matsuo. Free field realization of q-deformed primary field for Uq{sl{2)), preprint 1992, hep-th 9208079.

19. J. Hollowood, P. Mansfeld. Phys.Lett В v.226,nl,p73.

20. G. Felder. BRST Aproach to Minimal Models,preprint,1988,Zurich.

21. V. Dotsenko. Advanced Studies in Pure Math, v,16,1988,p.l23.

22. A.B. Замолодчиков. ТМФ, 1985,Том 65,стр.347;

23. V.A. Fateev, A.B. Zamolodchikov.Nucl.Phys,B280 (1987) p.644.

24. N. Bourbaki. Groupes et Algebres de Lie,Hermann (1975); имеется перевод Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли М. Мир.

25. A.Y. Volkov.Phys.Lett. А 167 (1992) р.345.

26. L. Faddeev, A.Y. Volkov. HU-TFT-93-29, preprint.

27. А.Ю. Волков, Л.Д. Фаддеев. ТМФ Том 92,п.2,1992.

28. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.М. Мир, 1969.

29. В. Enriques, B.L. Feigin. hep-th9409075.1.tegrals of motion of classical lattice Sine-Gordon system.

30. A.G. Izergin ,V.E. Korepin. Nucl. Phys., В 205, (1982), p.401.

31. S.V. Kryukov, Ya.P. Pugai Lattice W-algebras and quantum groups: preprint TMP-5,Chernogolovka ITP 1994, Y.Pugai ТМФ 100 (1994) p.132.

32. A.V. Antonov,A.A. Belov,K.D. Chaltikian. Lattice Conformal Theories and Their Integrable Perturbations.hep-th 9505155, J.Geom.Phys. 22, 289 (1997).

33. L.A. Takhtajan. Adv.Stud. Pure Math, v.19,1989.

34. M. Jimbo. Lett.in Math.Phys.,(1985),10,p.63.

35. A.Yu. Volkov. ТМФ, Том 74, (1988).

36. A.Yu. Volkov. Phys.Lett., A279, 34 (1992).

37. B. Feigin, E. Frenkel. Affine Kac Moody Algebras at the Critical Level and Gelfand - Dikii Algebgas. Preprint Mathematical Sciences Research Institite 04029-91,Berkeley,California,USA,April 1991.

38. B. Drinfeld. Quantum Groups. Proceedings of International Congres of Mathematicians. Berkeley, California,USA,1986.

39. E. Frenkel, N.Reshetikhin. Quantum Affine Algebgas and deformation of the Virasoro and W algebras.Preprint, q-alg 9505025, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, USA.

40. J. Shiraishi, H.Kubo, H.Awata, S.Odake. A Quantum Deformation of the Virasoro Algebra and the Macdonald Symmetric Functions. Preprint, q-alg 9507034.

41. B. Feigin, E. Frenkel. Phys. Lett. В., (1990), V.246, N.l-2, P.75. B. Kostant, S. Sternberg. Ann. of Phys. (1987).V.176, P.49.

42. E. Frenkel. W-algebras and Langland Drinfeld Correspondence. Preprint, 1991, Harvard University,Cambridge,USA.

43. V.G. Drinfeld. Sov. Math. Dokl. 36, (1987), P.212. (ДАНС-CCP,(1987),т.296, n.l, P.13).

44. J. Shiraishi. Phys. Lett. A, (1992), V.171, P.243.

45. M. Wakimoto. Commun. Math. Phys.(1986), V.104, P.605.

46. Д. Мамфорд. Лекции о тета-функциях. М: Мир, 1988.

47. В. Feigin, Е. Frenkel. Quantum W-algebras and elliptic algebras, hep-th 9508009.

48. I.B. Frenkel,N.H. Jing. Proc.Natl.Acad.Sci.USA,(1988),85, P.9373.

49. JI.А. Тахтаджан. ЖЭТФ, т. 66, вып 2, стр. 476,(1974).

50. С.В. Крюков. Письма в ЖЭТФ,1996, т.65, вып. 5, стр. 375.

51. С.В. Крюков. ТМФ,1997,Том 112, п.1,с.ЮЗ.

52. С.В. Крюков, Э.В. Копанев, М.А. Сухоручкин.ТМФ,1997, Том ИЗ, п.1, стр.34.

53. С.В. Крюков. ТМФ,1995, Том 105, п.2, стр. 214.

54. S.V. Kryukov. Modern Physics Letters A, v.10, 1995, n.10, p.831.

55. С.В. Крюков. ТМФ,1998, Том 114, n.3, стр.337.