Некоординатное разделение переменных и некоммутативное интегрирование в квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О V -Л - ,,

1 На правах рукописи

2 Ь НОЯ 5?г;7" :■

Лисицын Ярослав Викторович

НЕКООРДИНАТНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ И НЕКОММУТАТИВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

01.04.02 ;—Теоретическая физика

Автореферат диссертации ва соискание ученой степени кандидата фишко-ыатематическнх наук

Томск - 1997

Работа выполнена в Томском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шаповалов А. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трифонов А. Ю., ТПУ, г.Томск

кандидат физик«>-м<1тематических наук, с.н.с. Кистенев Ю. В. ИОА СО РАН, г.Томск

Ведущая организация: Казанский государственный университет.

Защита состоится 1997 г. па заседании

специализированного совета Д 063.53.07 В Томском государственном университете (634010, г. Томск, проспект Ленина, 36).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "51"_СЛС^^СЬ/^^С_;_-.-1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Л. Ляхович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из, важнейших задач современной теоретической фишки является отыскание точных решений Моделей квантовых, систем. Основной подход к данной проблеме состоит в сведении квантово-Механических уравнений модели к системе одномерных та дач. Общеизвестным примером такого подхода может служить классический Метод разделения пе{>еменных, в основе которого лежит понятие пол-Нога набора наблюдаемых (операторов симметрии уравнения). Метод имеет два существенных ограничения: порядки операторов полного набора не должны Превышать порядок уравнения, переход к разделяющимся переменным осуществляется преобразованием независимых переменных видаV = х'(х), что соответствует чисто "координатному" преобразований переменных фазового Пространства соответствующей классической системы.

Для доказательства интегрируемости классической гамильтоновой системы можно использовать некоммутативные наборы интегрилов, удовлетворяюшихопределенным ус ловиям. A.C. МиЩенко и А,Т. Фоменко доказана соответствующая теорема, а также сформулирована гипотеза эквивалентности коммутативной (по Лиувиллю) и -некоммутативной интегрируемости. Интегрируемость в классическом и ■свантовом случаях существенно отличается. Так, для доказательства (екоммутативной интегрируемости в классическом случае йспользу-отся функции Казимира алгебры интегралов, которые в квантовом :лучаё становятся операторами сложной структуры (в общем слу-iae интегро- дифференциальными) и для них не известно методов

решения задЛчи на собственные значения.

Данная проблема может быть решена в рамках метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, предложенного A.B. Шаповаловым л И.В. Широковым. В методе построена конструкция, которая позволяет находить баше решений исходного квантовомеханического уравнения, собственный для операторов Казимира алгебры симметрии. Посредством решения соответствующей характеристической системы на волновые функции. Этот метод расширяет класс точно интегрируемых квантовых систем и, кроме того, позволяет найти в явном виде новые базисы точных решения для уже известных и изученных методом разделения переменных уравнений.

В классической интегрируемой гамильтоновой системе переход к переменным типа действие- угол осуществляется с помощью канонического (в общем случае координатно- импульсного) преобразования переменных исходного фазового пространства. Метод разделения переменных обычно использует лишь координатные преобразования. Применение некоординатных канонических преобразований К Проблеме разделения переменных -известно в ограниченном числе случаев.

В последние два десятилетия активно развивается подход к проблеме интегрируемости классических « квантовых систем в рамках так называемого г- матричного формализма. Разработан алгоритм генерации новых классов интегрируемых систем, Использующий конструкцию матрицы Лакса, удовлетворяющей определенным алгебраическим соотношениям с г- матрицей. Показано, что интегрируемые в рамках г- матричного формализма классические и квантовые системы могут быть приведены к разделению переменных. Связь с

разделением переменных была сформулирована Е.К. Скляниным в виде функционального Бете анзаца. Переход к разделяющимся переменным в тиком подходе оказывается п общем случае координатно-импульсным.

Отметим, что построение всех составляющих г- матричного формализма для заданной квантовой системы затруднительно. Исследования, как правило, проводят в направлении "от г- матрицы к квантовой системе", в которой можно разделить переменные. Исследования "координатно- нхтульсных" преобразований заданной квантовой системы, приводящих к разделению переменных, является актуальной Проблемой интегрируемости квантовых систем, решение которой значительно расширит класс точно интегрируемых квантовых систем.

Целью настоящей работы является;

1. Исследовать связь функционального Бете анзаца и классического метода разделения переменных.'.

2. Построить интегральные преобразования, приводящие к разделению переменных в квантовых системах.

3. Проклассифицировать все подалгебры алгебры симметрии операторов первого порядка уравнения Даламбера, удовлетворяющие условию некоммутативного интегрирования.

4. Построить базисы точных решений уравнения Даламбера в рамках метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, которые невозможно построить в явном виде классическим методом разделения переменных.

5. Провести редукцию квантового волчка Горячева- Чаплыгина и волчка Ковсиювгкой на орбиты »»присоединенного подставления алгебр Ли.

6. Провести разделение переменных в задаче квантового двухре-шетчатого магнетика методом некоммутативного интегрирования.

Научная новизна.

Предложено операторное, уравнение на, так Называемые, вспомогательные операторы и доказаны теоремы о связи этих операторов с разделяющимися переменными метода полного разделения переменных, использующего координатные преобразования, и функционального Бете анзаца, использующего " некоординатные" преобразования к разделяющимся переменным.

Сформулирован подход к разделению переменных с Помощью интегральных преобразований исходной квантовой системы, определяемых вспомогательными операторами. Такой подход реализует обобщенное "координатно- импульсное", преобразование переменных к разделяющимся и тем самым отличается от классических методов.

Проведена классификация подалгебр алгебры симметрии операторов первого порядка уравнения Даламбера. Выделены все подалгебры, генерирующие решения, которые невозможна получить классическим методом разделения переменных. Задача отыскания базиса решений уравнения Даламбера с помощью этих подалгебр сведена в каждом случае к одному обыкновенному дифференциальному уравнению.

Научная в практическая ценность.

Найдены объединяющие аспекты полного разделения переменных и функционального Бете анзаца - двух методов, игполыующих чисто "координатные" преобразования переменных в первом случае и "не' координатные" во втором. На основании доказанных в работе теорем предложен подход к проблеме разделения переменных с помощью интегральных преобразований, который имеет ряд приложении в квантовой механике и ведет к расширению класса точно интегрируемых систем.

Найдены в явном виде новые базисы точных решений уравнения Даламбера, построенные с помощью Некоммутативных подалгебр алгебры симметрии.

Метод некоммутативного ннтегр^ювання применен к ряду квантовых систем на алгебрах Ли, что вносит свой вклад в изучение свойств таких систем.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Найдено операторное уравнение на вспомогательные операторы Интегрального преобразования, приводящего к разделению переменных. Доказаны Теоремы о связи решения операторного уравнения с разделяющимися переменными классического мето-

' да разделения переменных и функционального Бете анзаца.

2. Проведена классификация, всех подалгебр операторов первого по-г рядка алгебры симметрии уравнения Даламбера, удовлетворяю^

щнх условию некоммутативной интегрируемости.

3. Найдены все подалгебры, генерирующие решения, которые невозможно построить в явном виде классическим методом разде-

ления переменных. Задача отыскания соответствующего базиса решений для каждой подалгебры такого типа сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению.

4. Квантовая задача для двухрешетчатого магнетика редуцирована к системе двух совместных уравнений, в которых разделяются переменные.

5. Система, описывающая квантовый волчок Горячева- Чаплыгина, редуцирована на выделенную интегрируемую орбиту соответствующего коприсоединенного представления. Разделяющиеся " некоордпнатным" способом переменные выражены через переменные орбиты.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на 1) V международном семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны", Дубна, 1992 г., 2) IX коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения" Н. Новгород, 1992 г., 3) VIII Российской гравитационной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы

гравитации", Пущнно, 1993 г., 4) XI Российском коллоквиуме "Сор * ■

временный групповой анализ и задачи математического моделирования", Самара, 1993 г., 5) международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация", Томск, 1995 г., 6) международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теорий дифференциальных уравнений", Орел, 1996 г., 7) второй международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация", Томск,"1997 г., 8) семинаре "Групповой анализ" под руководством академика РАН

JI.B. Овсянникова, Институт Гидродинамики СО РАН им. М.А. Лаврентьева (г. Новосибирск), 1996,1997 гг.

Публикации.

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в восьми статьях и трех тезисах докладов.

Объем и структура диссертации.

Диссертация объемом 110 страниц состоит из введения, трех глав, включающих, в общей сложности, десять параграфов и четыре под-параграфа, трех приложений и списка литературы из 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель исследований, их научная новизна, практическая значимость.^ Представлены основные положения, выносимые на защиту. Проведен обзор литературы по проблеме отыскания точных решений интегрируемых квантовых систем.

В цервой главе проведен анализ различных современных подходов к проблеме разделения переменных (РП), названных в работе "неклаСсическими" —метода некоммутативного интегрирования (НИ) и функционального Бете анзаца (ФБА).

Под классическим методом РП (КлРП) будем понимать метод, разработанный для скалярного уравнения второго порядка и использующий преобразования независимых переменных вида х' = х'(х) при

переходе к разделяющимся координатам. Основным инструментом в таком подходе является понятие полного набора коммутирующих операторов симметрии не выше второго порядка.

В §1 даны основные определения метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ). При построении базиса решений метод использует некоммутативные наборы операторов симметрии и, тем самым, выходит за рамки метода КлРП.

В §2 описан подход к интегрируемости классических и квантовых систем в рамках г- матричного формализма. Оказывается, такой подход имеет прямую связь с РП, сформулированную в виде функционального Бете анзаца. В рамках такого подхода возможен переход к разделяющимся переменным "некоординатным" способом. ФБА эффективно генерирует классы точно интегрируемых систем, однако технику ФБА затруднительно применить к наперед заданному уравнению.

Во в.торой главе проведены исследования "некоординатного" разделения переменных наперед заданного уравнения. На примерах различных квантовых систем исследованы свойства, объединяющие методы ФБА и КлРП, что привело К введению понятия вспомогательных операторов.

Пусть операторы Н\, Щ эадают квантовую систему в виде совместной системы дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными:

Н1(х1,д;2,а11,а1.1)ф(хьх2) = е1Ф(х1,12), ,

Я2(х1,Х2,ах1,а1,)Ф(Х1,Х2) = е2Ф(Х1.12), (1)

где С], е2 -числа, хь х2- независимые переменные. Введем систему

операторных уравнений на вспомогательные операторы C/j, U%\

[UuHx] + {UbH2} = 0, (2)

[UuU2} = 0.

В §1 доказано существование таких операторов, если система разделяется методом КлРП или методом ФБА (для случая Y[gl(2)]). Показано, что для КлРП и для ФБА связь U\, U2 с разделяющимися временными Vj, V2 имеет вид:

Ui = Vt+ V2, U2 = VIV2.

На основании доказанных в §1 теорем, в §2 сформулирован подход проблеме РП в системах типа (1) с помощью интегральных пре-бразований, ядро которых К(х\,х2; Alt А2) определяется из системы:

Ut(zi,zi,dr,,dT,)K(xi,xi; АЬА2) = Ai/f(i|,x2; Ai, Л2),

Щх,, x2,0Tl, 0„)А'(ц, г2; А], А2) = МК(х\, х2; Ai, А2), le U], U2 - решения уравнения (2).

В §3 подход проиллюстрирован на ряде примеров различных кван-юых систем: волчок Горячева- Чаплыгина, движение электрона в ■зонансном циклическом ускорителе, а также для системы, не удо-етворяюшей алгебраическим условиям КлРП. В последнем случае реход к разделяющимся переменным (операторам) имеет следую-ш вид:

= (х, - ,/*? - 4rR,)/2, • жь х2 - исходные независимые переменные.

В третьей главе метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений применен к различным квантовым задачам и уравнению Даламбера. •

В §1 изучена задача отыскания точного решения для квантовых уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), описывающих квантовый двухрешетчатый магнетик. Этот интегрируемый случай уравнений был впервые найден В. А. Стекловьщ. Исходная задача сведена к системе с меньшим числом независимых переменных, в которых задача разделения переменных упрощается.

В §2,1 проклассифицированы все 4-мерные, а в §2.2 - все 5-меряые подалгебры операторов симметрии первого порядка волнового уравнения, удовлетворяющих условию некоммутативной интегрируемости

dimG + ind G = Б.

Результаты приведены в Приложениях А и В. В §2.3 изучен случай 4-мерных подалгебр симметрии, содержащих оператор второго порядка. Из полученных в результате классификации подалгебр выделен класс подалгебр, генерирующих решения, которые не могут быть получены в явном виде методом КлРП. Таких подалгебр оказалось восемь, все подалгебры ¿-мерные, & их операторы Казимира являются операторами выше второго порядка или нелокальными операторами. Задача построения базисов точных решений для каждой полученной подалгебры сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения, результаты приведены в Приложении В. В качестве иллюстрации приведем подалгебру:

к Xi,X2,Xz,X4,Xi >—< Loi - ¿13Д03. D>Pi,Po + Pî > .

Здесь ¿у, р{, Б - стандартные генераторы конформной алгебры в пространстве Л1,3, символ <,> означает множество. Подалгебра не имеет трех взаимно коммутирующих дифференциальных операторов, ее оператор Казимира нелокален И задается символом

Следовательно, система неинтегрируема методом КлРП.

Основным инструментом метода НИ ЛДУ служит так называемое А - представление алгебры Ли. В даином примере А - представление имеет пид: _

¡з — Зд,, . /4 = е\

, {5 = еА,+А'.

Оператор Казимира в А- представлении будет оператором умножения га константу. Решение характеристической системы

(А',-/,)Ф(*,А)=0 -

рнводит к уравнения Эйлера:

1конпательно, базис решений имеет вид: Ф(*. А) « (сЖ^'^о +

*exp(-eAli, + ¿eAl+Al(*o - *з) + ¿eA'-A'(x0 + x3) + JA,). Общее решение уравнения Даламбера представимо в виде формального разложения: -

Ф(х) = J С(А)Ф(я, A)dA.

Здесь А = (Ai, А2, I), С(А)- произвольная функция параметров.

На основание метода НИ ЛДУ в §3 предложен также алгебраический подход к интегрированию нелокальных уравнений, встречающихся в различных задачах теоретической физики. К таким задачам, в частности, относятся уравнения со сдвигом аргумента и уравнения, содержащие дробные производные (например, уравнения возникают в физике фракталов). С Помощью предложенного подхода получены аналогичные известным результаты для уравнения сверхмедленной диффузии.

В §4 сформулирован квантовый аналог редукции классических га-мильтоновых систем на алгебрах Ли, опирающийся на метод НИ ЛДУ, содержащий аналоги известных классических конструкций, включая ковектор и орбиты коприсоединенного представления.

Оказывается, редукция на орбиты коприсоединенного представления квантовых аналогов систем на алгебрах Ли позволяет найти их дополнительные свойства. Особый интерес представляет такая редукция в случае, когда система интегрируема лишь на выделенной орбите коприсоединенного представления. К таким системам отно-. сятся, в частности, некоторые квантовые задачи, интегрируемые в рамках г- матричного формализма. В §4.1 изучен квантовый волчок Горячева- Чаплыгина. В рамках данного подхода эта квантовая система сведена к системе двух совместных уравнений от двух независимых переменных. В §4.2 проведена редукция уравнений кваНтово-

го волчка Ковалевской на орбиты коприсоеаиненного представления. Это дало возможность выявить дополнительные свойства симметрии в данной задаче.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Лисицын Я.В., Шаповалов A.B., Широков И.В. Метод некоммутативного интегрирования и квантовые уравнения Эйлера на алгебре Ли so(4)//Tpyau V семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны" .Дубна 16-18 мая 1992.Г.- 1993.-С.186-190

2. Лисицын Я.В., Шаповалов A.B., Широков И.В. Метод некоммутативного интегрирования квантовых уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4)// Изв. вузов. Физика.- 1992- N7.- с.35-39

3. Лисицын Я.В. О разделении переменных в безмассовом уравнении Дирака// ЙЗв. вузов. Физика.- 1995.- N1.- с.105-110

4. Шаповалов A.B./Широков Й.В., Лисицын Я.В., Фирстов В.В. Некоммутативные 4-мерные подалгебры конформной алгебры, интегрируемые в пространстве /г1,3 // Изв. вузов. Физика.- 1995.-N2.- с. 120-124

5. Шаповалов A.B., Широков И.В., Лисицын Я.В., Фирстов В.В. Некоммутативные 5-мерные подалгебры конформной алгебры, интегрируемые в пространстве Я1,5// Изв. вузов. Физика.- 1995.-N2.- с. 115-119

6. Шаповалов A.B., Лисицын Я.В., Интегрирование уравнения Да-ламбера с помощью 4-мерных неабелевых подалгебр симметрии с

одним оператором второго порядка // Изв. вузов. Физика. -1995. N8.- с.48-51

7. Дрокин A.A., Лцсиды.р Я.В., Шаповалов A.B., Широков И.В. Me тод некоммутативного интегрирования в задачах математиче ской физики// В кн. " Алгебраические и аналитические методь в теории дифференциальных уравнений." Труды международно! конференции, Орел, ОГПУ, 1996, с.48-62

8. Lisitsyn Ya.V., Shapovalov A.V. Separation of variables via integra transformation//preprint solv-int 9709001, 14 pp.

* /

/ '

Заказ 299. Тираж 100 экз. VCa ТГУ, Томск, 29, Никитина,4.