Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

ТЮМЕНЦЕВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2006

Работа выполнена в Омском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Клишевич Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Багров Владислав Гаврилович

кандидат физико-математических наук, Михеев Виталий Викторович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ГОУ ВПО Казанский государственный университет им. Ульянова-Ленина

Защита состоится "^т^*1 декабря 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.179.02 в Омском 1-осударствсшном университете но адресу: 044077, г. Омск, Омский государственный университет, ул. Нефтезаводская 11, каб.210.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан " гг. " исо^ру 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Вершинин Г.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют две основные задачи из многих других не менее важных. Это получение точных решений уравнений математической физики и вместе с тем разработка наиболее общих методов для их точного решения. К настоящему времени известно множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики таких как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака. Многие уравнения обобщаются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Например, уравнение Дирака для плоского пространства было обобщено на произвольное римаиово пространство, при этом не существовало каких-либо общих алгоритмов его аналитического решения. С некоторыми точными решениями можно ознакомиться в [16]

Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве дс Сит-тера. Мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах Тетрода [14], Фока [7] и Вейля [15], дальнейшее развитие теория получила в работах Шаповалова [19], Картера, МакЛенагана и Спиндела [5],[10]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано Ханпабусом [9]. Множество работ, посвященных нахождению решений уравнения Дира-

ка в пространстве де .Ситтера, базируются на методе разделения переменных. В работе Шишкина [12] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [11]. Отметим, что для разделения переменпых в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Одно из определений паяного разделения переменных дано в работе Шаповалова [20]. Согласно этому определению провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделала группой Багрова [2],[3].

Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе Шаповалова и Широкова [21]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру'дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры есть).

Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.

Цели диссертационной работы

1) Решение уравнений для векторных и тензорных полей Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера;

2) Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах;

3) Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования;

4) Построение точных решений в этих пространствах и спектра уравнения Дирака в пространстве де Ситтера.

5) Исследование построения точных решений уравнения Дирака в модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского.

Научная новизна результатов.

В диссертации получены следующие оригинальные результаты:

1. Найдены все решения уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера; показано, что число решений одинаково и равно 25 (вместе с решениями уравнений Киллинга).

2. По найденным полям Яно и Яно-Киллинга построены алгебры операторов симметрии первого порядка уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера, изучена структура этой алгебры. В паяной алгебре симметрии операторов первого порядка выделены 11-мерные квадратичные стандартно-эквивалентные подалгебры (вид операторов симметрии одинаковый).

3. В общей 11-мерной алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера найдены 4 алгебры Ли с функционально-независимыми образующими, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативном интегрировании.

4. С помощью указанных подалгебр уравнение Дирака проинтегрировано методом некоммутативного интегрирования в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера одновременно. Построенный класс точных решений уравнения Дирака является новым. Одна из особенностей этого класса решений состоит в том, что его нельзя получить методом разделения переменных. Определен спектр уравнения Дирака в случае отрицательной кривизны (пространство анти де Ситтера).

5. Рассмотрена модель асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского. С помощью найденных базисов решений уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера, предложена схема нахождения решений в рассмотренном асимптотически плоском пространстве.

Научная и практическая ценность работы Результаты диссертации представляют интерес для специалистов^ области квантовой электродинамики, квантовой теории поля, классической и квантовой гравитации, космологии, точных решений дифференциальных уравнений

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Впервые найдено полное число решений уравнений на поля Яно и Япо-Киллипга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.

2. Впервые изучены алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследован вопрос построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии выделены подалгебры Ли, удовлетворяющие условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости.

3. Впервые проптегрировано уравнение Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования с помощью одной и той же алгебры операторов симметрии. Осуществлено нахождение нового класса точных решений.

4. Впервые для уравнения Дирака предложена модель асимптотически плоского пространства, которое склеено из плоского пространства и пространства де Ситтера, предложена методика построения точных решений в таком пространстве

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Под знаком о> (ОНЦ СО РАН, Омск 2003), на семинаре кафедры теоретической физики Омского государственного университета, на семинаре кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета. Основные результаты работы опубликованы в 7 статьях.

Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 100 страниц печатного текста состоит состоит из введения, четырех глав, заключения, 4 приложений и списка цитируемой литературы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и представлена ее научная новизна.

Первая глава носит обзорный характер. В пунктах 1,2 этой главы изложена кратко понятия риманова пространства и оператора симметрии. В пунктах 3,4 приведены определения уравнения Дирака в римановом пространстве, его операторы симметрии. Уравнение Дирака в некоторой системе

координат имеет вид

= = тФ, (1)

где = 7*(х) - зависящие от координат матрицы Дирака, рк = - оператор обобщенного импульса, символы Г*

обычно называют коэффициентами Фока-Иваненко [17],[18].

Общий вид операторов симметрии для уравнения Дирака получен в работе Шаповалова В.Н.[19] и независимо в работах Картера, МакЛенагана и Спиндела [5, 10]. Оператор сим-

метрик первого порядка для уравнения Дирака представляет собой линейную комбинацию трех независимых операторов следующего вида:

У = Ё£кРк-~7и&;1 (2)

ь = + (з)

1 = (4)

*

Здесь 7Ы = 7 = -деи^тУУ» Ъ - -^мП^'У,

/« = - дуальный тензор К вуЫ = л/М^тп)^.,*:/

- полностью антисимметричный тензор (£1234 = 1).

Вторая глава посвящена изложению методов интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных. Изложены методы интегрирования, которые наиболее популярны на данный момент - это метод полного разделения переменных и метод некоммутативного интегрирования, В данной работе мы используем только метод некоммутативного интегрирования.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Я(ж,Лс)Ф(:с) = 0 (5)

Определение 1 Будем говорить, -что система (5( интегрируема, если построение базиса его решений может быть сведено к квадратурам и интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

Пусть уравнение (5) допускает (в общем случае некоммутативную) алгебру симметрий Л. Алгебра Л порождается операторами Х^ - линейными дифференциальными операторами

э

1-го порядка:

[Xi.tf] = 0, [XuXj] = c{jXt, i,j,l = dim Л. (6)

Как показано Шаповаловым A.B. и Широковым И.В. [21], необходимым и достаточным условием интегрируемости уравнения (5) в смысле определения 1 является выполнение равенства

dim А 4- ind А = 1 (п - 1) (7)

где п - размерность пространства, ind А -. индекс алгебры А, для его вычисления используется формула

ind А = dim А — sup rank f(c^eX7), (8)

здесь A* - означает дуальное пространство для А, линейный функционал f (ковектор) действует на векторы по формуле f(Xic) = /к € К- числовое поле, над которым задана алгебра симметрии.

В важном для нас случае размерности пространства п = 4, формула (7) переписывается в виде

dim А + ind А = 6. (9)

В случае выполнения условия (9) точное решение уравнения (5) находится из системы уравнений

XiVj(x, А) = £i(J, A, SOtfjfx, А) (10)

где (i - дифференциальные операторы первого порядка, задающие Л - представление алгебры А.

Это А представление есть результат квантования линейной скобки Пуассона на коалгебре А* в канонических координатах Дарбу [22].

Для решения уравнения (5) нужно решить систему

Эта система решается методом характеристик. Ele решение в общем случае имеет следующий вид:

где Н(х, А, ,7) - функция определяемая системой (11), <А/(иь - произвольная функция переменных (и) и параметров (^7), иа = иа(х, А, ,7) - характеристики системы (11), т.е. [У* — = 0, а = 1,...,т'. Подставив (12) в исходное уравнение (5) получил! редуцированное уравнение (13) на функцию Фз(и) с независимыми переменными и = «I,ит>

т' ~ т — \(йгт Ь + тй Ь) = 4 — 3 = 1. Т.е. получается обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию Фз{и). Полученное ОДУ сводим к квадратурам

В нашем случае показано, что уравнение Дирака в плоском пространстве с метрикой т? = сИад(+1, — 1, —1, —1) и пространстве де Ситтера с метрикой

можно проинтегрировать методом некоммутативного интегрирования, причем, в некотором смысле, одновременно- Оказалось, что для проведении редукции уравнения. Дирака в плоском пространстве

DfV = (71 dxi + 72 6¿i + 73 д^ + 74 д,А) Ф = шФ (1G)

ФХх,А) » R(x, A, J)<pj(ui,...

(12)

(13)'

(14)

(15)

и

и в пространстве де Ситтера

£>3Ф = (6 (71311+72Эга + 73^ + 74Э14) -

в обоих случаях решается общая система из 4-х уравнений вида

ХДа^ФЛ^А) = » = 1)..)4)

I I (18)

А) = тФЛэ:, Л) = тФ/ж, А).'

Третья глава посвящена исследованию алгебраической структуры уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры, а именно: вычисление явного вида операторов симметрии, вычисление коммутационных соотношений, и поиск подалгебр, удовлетворяющих теореме о некоммутативной редукции.

Для построения алгебры операторов симметрии необходимо выбрать тетраду и найти решения на поля Яно и Яно-Киллинга в заданном пространстве. Показано, что число решений в плоском пространстве и в пространстве дс Ситтера совладает и равно - по 10 тензоров Яно-Киллипга, по 5 векторов Яно. Всего по 25 векторных и тензорных полей, включая 10 векторов Кшшинга.

В алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не1 является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно

л п

[Ьи Ч = £ + ]Г С%ьк (19)

М=1

В литературе такие объекты называются И'"-алгебрам и [8, 6]. Некоторая классификация Ж-алгебр дана в работе [4|, полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (19) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами IV-алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Вся алгебра операторов симметрии Л = {К1,ии —> ^ ¿ь..., £4, Л/], ./о,ЛьЛг4} является квадратичной в смысле определения формулы (19).

Лемма 1 В алгебре Л существуют 4 подалгебры Ли Л,*, для ■которых выполнены условия некоммутативного интегрирования

сНтЛ,- + те1Л,- = б. (20)

Доказательство. Сводится к поиску всех линейных подалгебр в алгебре Л и проверке условия (20). Эти подалгебры следующие

Л1 = 14.^/0)1 Л2 = {УьКз,}^, ^оК

= Л4 = {Г41Г5)У6)7о}. ^ ;

Элементы в подалгебрах Л; функционально независимы. □

Отметим, что в алгебре Л существуют еще 4 подалгебры с условием (20). В них входят операторы из квадратичного расширения. Эти подалгебры следующие

Л5 = {Уъ*2,У4,£1}, Лб = {ГьК3(П,Х2},

В алгебрах Л5 - Л3 существуют функциональные соотношения вида

¿2 = _у2 _ у* + у2 + I 11 = _у2^у2 + у2+1

и, строго говоря, мы не можем использовать такие алгебры для интегрирования. Подалгебры Л5 - Ag можно использовать для построения класса решений, однако условие полноты базиса решений будет нарушено.

Четвертая глава посвящена построению точно интегрируемых моделей уравнения для Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. Интегрируемая модель задается алгеброй Ли операторов симметрии, с помощью которой проводится процедура некоммутативного интегрирования. Сформулируем схему действий

1. Берем подалгебру, удовлетворяющую условию теоремы о некоммутативной интегрируемости: например, подалгебра Л<2> = {Гь У3, Ys, М - {Хи Х2, Х3) Xt};

2. Находим А - представление {¿1,^2,^3,^4} этой подалгебры (элементы являются линейными дифференциальными операторами 1-го порядка) из условия

(24)

где 4 - структурные константы подалгебры Л^ и проверяем условия невырожденности для оператора Казимира: Кр(£) = шр ■ l.det(divp/dJp) ф 0.

3. Интегрирование уравнения Дирака сводится к решению системы

^(яг.адФЛаг.Л) = ¿¡(\,^дх)УЛх,\), ¿ = 1, ..,4, (25) XWj(x,A) = А). (26)

4. Сначала решаем систему (25) методом характеристик. Решение этой системы имеет вид

Ф/(аг, А) = Я(х, А, J) F(u(x, А, J)) (27)

Здесь П{х, А, 3) - некоторая функция от координат и параметров А, .7, F(u(ж, А, 7)) - спинор, зависящий только от одной переменной-функции «(я, А, 3).

5. Подставляем решение (27) в уравнение Дирака (26) и получаем ОДУ на неизвестный спинор Р{и(х, А, 3)),

6. Сводим ОДУ к квадратурам, т.е. строим точные решения

В плоском пространстве рассмотрены две модели - подалгебры: {У4, Уз, У^Х^ = дх1) и {>4, >5, 70}- Интегрирование с помощью подалгебры {У^У^У^Х^ = й^} даст точные решения, у которых спинор зависит от переменной г\ =

о2 д2 , л2

+ + £4®

г2{тг) 23(г3)

^4(ГЗ) )

(28)

и две компоненты имеют вид

гм) = + вуш{К^)] (29)

^з(гз) = + (30)

к = у/т2 + А, В, С, О - константы интегрирования. Параметр З2 по смыслу есть энергия частицы, связан с моментом импульса. В модели {^У^Уё, ./□}, где За - спипорный оператор, для безмассовой частицы выявлена 4-сферическая симметрия уравнения Дирака.

В пространстве де Ситтера - выбираем подалгебру

Зо} для некоммутативной редукции. Этот случай редукции аналогичен для уравнения Дирака в плоском с этой же подалгеброй. Волновая функция в 4-сферической системе координат разделилась на угловую и радиальную часть:

= А(фиф2,'фз)Нг), где г = ггх12 4-е2х22 + £%х3 +£4ж4 . На радиальный спинор получается система ОДУ

м ЛЗДАУ +0? + , , . зе-2^ р ' ~ Г--+ + 2 г I = 0 (31t

Вычисления не зависят от сигнатуры. Накладывая ограничения на волновую функцию, обычные для квантовомеха-нической задачи, такие как ограниченность, однозначность, квадратичная интегрируемость определяем спектр частицы в пространстве постоянной кривизны. При г —► 0 ограниченные решения возможны, если

« ±j2-(n + iy п = 1,2,3..... (32)

Ы > | (33)

Из этой формулы видно, что действительный спектр возможен только отрицательной кривизне К < 0.

И, окончательно, учитывая двузначность квадратного корня и необходимое согласование с непрерывным спектром в плоском пространстве (при ЛГ = 0) , найдем спектр уравнения Дирака в пространстве анти де Ситтера:

m = m0 ± л/-К ^п + 0 , п — 1,2,3,..., (34)

m = -m0 ± у/^К ^га + 0 , тг= 1,2,3,____ (35)

Этот спектр подробно обсуждается в параграфе 4.4 диссертации. Как приложение построена точная модель асимптотически плоского пространства - "склеивание"обоих пространств в некоторой области г = го = const. В данной модели известны точные волновые функцин для обоих пространств, их

угловые части абсолютно идентичны, поэтому здесь задача сводится, фактически, к условиям сшивки радиальных компонент волновых функций на границе г0. Зададим метрику следующим образом

гкйс12 + е^ + е3<^ +

г ^ Гц, ¿отащ I

(с^г11 + ¿зЛг?2 + ¿¡гк?1 + т >т0, с!отат II *

{Щ

¿а1 . 1 1 1 } * 1

(Ь1 = еф^ ' 1 1 I = ^ е»

0 Го г

В областях I и II оператор Дирака разный, однако, алгебра симметрии для уравнения Дирака одинакова. Сделаем сшивку радиальных спиноров в точке Гц. Для этого нужно рассмотреть систему

(37)

Система (37) па компоненты спинора, вообще говоря, переопределена, однако, при частных значениях параметров 31,32 имеет решение. При выполнении системы (37) мы будем иметь аналитическое решение уравнения Дирака в метрике (36).

В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации

Список работ автора

[1] Klishevich V. V., Tyumentsev А. V. On the solution of the Dirac equation in the de Sitter space // Class. Quantum Grav. 2005. V.22. №17. P.4263-4277

[2] Клишевич В. В., Тюменцев В. А. Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Вестник Омского университета. 2000. №3. С.20-21

[3] Клишевич В. В, Тюменцев В А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2001. №8. С.52-58

[4] Клишевич В. В., Тюменцев В А. Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2003. №9. С.49-53

[5] Тюменцев В. А. Некоммутативное интегрирование в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера уравнения Дирака // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции «Под знакомо-». Омск. 2003. С.17

[6] Тюменцев В. А. О решениях уравнений Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера // Вестник Омского университета. 2003. Х^З. С.24-26

[7] Тюменцев В. А. Полнота алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера и функциональные соотношения между операторами // Математические структуры и моделирование. 2004. №6. С. 1-7

Список цитируемой литературы

[1] Andrushkevich I. Е., Shishkin G. V. Criteria Of separability Of the variables in the Dirac-equation' in gravitational fields// Theor. Math. Phys. 1987. V.70. N2. P.204-214.

[2] Bagrov V. G., Shapovatov A. V., Ycvseycvich A. A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces // Class. Quantum Grav. 1990. №7. P.517-531

[3] Bagrov V. G., Shapovalov A. V., Yevseyevich A. A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces: II External gauge fields // Class. Quantum Grav. 1991. N8. P.I63-173

[4] Bajnok Z., Nogradi D. Geometry of W-algebras from the affine Lie algebra point of view // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. V.34. №23. P.4811-4829.

[5] Carter В., McLenaghan R G. Generalized total angular , momentum operator for the Dirac equation in curved spacetime // Phys. Rev. D. 1979. V.19. P.1093-1097

[6} de Boer J., Harmsze F.t Tjin T. Nonlinear finite W symmetries and applications in elementary systcm(Preprint hep-th/9503161) // Phys. Rept., 1996, V.272, P. 139-214

[7] Fock V. A. Z, Phys. 1929. V.57. P.261

[8] Gelfand I. M., Dikii L. A. Fractional powers of operators and Hamiltonian systems // Funkt. Anal. Pril. 1976. V. 10. №4. P. 13-29 (in Russian; English translation: Funct. Anal.

' Appl. 1976. V.10. P.259-273.)

[9] Hannabuss К С. The Dirac equation in de Sitter space // J. Phys. A:Gen. Phys. 1969. V.2. P.274-277

lOj McLenaghan R. G., Spindel P. H. Phys. Rev. D 1979. V.20. P.409

11] Otchik V. S. On the Hawking radiation of spin-1/2 particles in the de Sitter spacetime // Class. Quantum Grav. 1985. V.2. P. 539-543

12] Shishkin G. V, Some exact solutions of the Dirac equation in gravitational fields // Class. Quantum Grav. - 1991. - 8. 175-185

13] Stepanov S. E. The Killing-Yano tensor // Theor. Math. Phys. 2003. V.134. №3. P.333-338

14] Tetrode H. Z. Phys. 1928. V.50. P.336.

15] Weyl H. Z. Phys. 1929. V.56. P.330.

16] Багров В. Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халнлов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений // Новосибирск: Наука. - 1982.

17] Гальдов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр // М:МГУ. - 1986

18] Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности // М: Наука. - 1969.

19] Шаповалов В. Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. 1975. N6. С.57-63

20] Шаповалов В. Н. Пространства Штеккеля // Сибирский математический журнал. 1979. Т.20. №5. С.1117-1130

21] Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. 1995. Т. 104. №2. С.195-213

[22] Широков И. В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. Т.123. №3. С.407.

ТЮМЕНЦЕВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 13.11.2006, Формат бумаги 60x84 1/22 Леч. л. 1,5. Уч.-кзд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 410

Издательство Ом ГУ

644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

Введение

1 Уравнение Дирака в римановом пространстве

1.1 Понятие риманова пространства.

1.2 Понятие оператора симметрии

1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве

1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака

1.5 Векторное поле Киллинга.

1.6 Векторное поле Яно.

1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга.

1.8 Тетрадный формализм.

1.9 Плоское пространство.

1.10 Пространство де Ситтера.

1.11 Резюме.

2 Методы интегрирования уравнения Дирака

2.1 Метод полного разделения переменных.

2.2 Метод некоммутативного интегрирования

2.3 Резюме.

3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры

3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве.

3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера.

3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Сит-тера.

3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака

3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр.

3.6 Резюме.

4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де

Ситтера

4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования.

4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве.

4.2.1 Выбор подалгебры и построение Л- представления

4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай).

4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай).

4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера.

4.3.1 Выбор подалгебры и построение А- представления

4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией.

4.4 Анализ решений и спектр.

4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства

4.5.1 К вопросу о склейке.

4.6 Резюме.

В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина 1/2 в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т.д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина 1/2 с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т.д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38,41,42,43,57,63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66]

Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситте-ра. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В.Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В.Г. Багрова [б],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последова-* тельно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В.Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах В.Г. Багрова, В.В. Обухова, В.Н. Шаповалова, А.В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, В. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.

В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах X. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и X. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спин-дела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабу-сом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26].

Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.

В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно

В литературе такие объекты называются W-алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация 1У-алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами Ж-алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9], [10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера.

Краткое содержание работы. п п

В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрии, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга.

Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов.

В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости.

В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения - волновые функции, проведен анализ спектра де Ситтеровской частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера.

В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие:

1. Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.

2. Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; выделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии.

3. Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений.

4. Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.

Заключение

Вопрос построения точно интегрируемых моделей движения-один из самых важных в квантовой физике. Несмотря на то что многие физические модели не поддаются аналитическому решению, исследуют ассимптотику, применяют теорию возмущений и другие приближенные методы, все же нахождение точных решений всегда будет актуально. В данной работе исследовались способы построния точных решений для плоского пространства и пространства де Ситтера.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Построены все решения на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число решений одинаково и равно 25.

2. По найденным полям Яно и Яно-Киллинга построены алгебры операторов симметрии первого порядка уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число операторов симметрии в обоих пространствах совпадает и равно 25. Среди этих 25 операторов 11 операторов симметрии совпадают для обоих пространств и не зависят от кривизны, другие 14 в пространстве де Ситтера зависят от кривизны явно. В общем случае, вся алгебра операторов симметрии уравнения Дирака является квадратичной. В данной алгебре выделены подалгебры Ли.

3. Найдено 8 алгебр Ли в общей алгебре операторов симметрии уравнения Дирака, которые удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании. Обнаружено внутреннее свойство некоторых подалгебр, что в них содержатся функциональные соотношения отличные от коммутаторов. Так в 4-х из 8 упомянутых подалгебрах есть функционые соотношения, и из-за их наличия становится невозможным проведение процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака с помощью этих подалгебр. Утверждение об отсутствии функциональных соотношений определено как критерий проведения процедуры некоммутативного интегрирования. Перечислены все такие подалгебры

4. Приведен класс моделей движения частицы со спином 1/2 в гравитационных полях Минковского и де Ситтера произвольной сигнатуры. Построен 1-й класс интегрируемых моделей включающих только Киллинговы операторы. В пространстве Минковского найдены для таких систем точные решения, которые согласуются с известными результатами в литературе. Построен 2-й класс интегрируемых моделей, включающий Киллинговы симметрии и негеометрическую симметрию Яно, называемую спинор-ной. Симетрии Киллинга и Яно найдены общими и для плоского пространства, и для пространства де Ситтера, поэтому интегрирование проводится одинаково. Получены точные решения. Особенностью 2-го класса движений является то, что инвариантной переменной является интервал и как следствие, данная система имеет 4-сферическую симметрию. Показано, что энергетический спектр электрона не зависит от сигнатуры. Найдены характерные оценки для кривизны пространства, в котором возможно взаимодействие с гравитационным полем. Построена модель сшивки плоского пространства и пространства де Ситтера с граничными условиями в виде светового конуса. t f

1. Andrushkevich I.E., Shishkin G.V. Criteria Of separability Of the variables in the Dirac-equation in gravitational fields// Theor. Math. Phys. 1987. - 70 (2): 204-214

2. Bajnok Z., Nogradi D. Geometry of W-algebras from the affine Lie algebra point of view // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - 34 (23): 48114829

3. Benenti S. Lecture Notes in Mathematics // Berlin: Springer. -1980

4. Benenti S., Francaviglia M. General Relativity and Gravitation // Plenum Press. 1979. - vol 1. p. 393

5. Bagrov V.G., Obuchov V.V. New method of integration for the Dirac equation on curved spaceHtime //J. Math. Phys. 1992. - vol 33. №6. p2279-2289

6. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces // Class. Quantum Grav. 1990. - №7. p517-531

7. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces: II External gauge fields // Class. Quantum Grav. -1991. N8. pl63-173

8. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time // Phys. Rev. -1979. vol. 19. p. 1093-1097

9. Cotaescu 1.1. The Dirac particle on central backgrounds and the anti-de Sitter oscillator// Mod. Phys. Lett. A. 1998. - vol 13. p. 2923

10. Dirac P.A.M. Proc. Roy. Soc. London A. 1928. - 117 610 and 118 351 Fock V.A. Z. Phys. - 1929. - 57 261

11. Fock V., Iwanenko D. Uber eine mogliche geometrische Deuturig der relativistischen Quantentheorie // Zeitschrift fur Physik. 1929. - Band 54. Heft 11/12. S. 798-802

12. Fock V., Iwanenko D. Geornetrie quantique lineaire et deplacement parallele // Comptes Rendus des Seances de L'Academie des Sciences. -1929. vol 188. №23. pl470-1472

13. Gelfand I. M., Dikii L.A. Fractional powers of operators and Hamiltonian systems // Funkt. Anal. Pril. 1976. - vol. 10. №4. p. 13-29 (in Russian; English translation: Funct. Anal. Appl. 10. 259-273)

14. Kalnins E., Miller W., Williams G. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables //J. Math. Phys. 1986. -vol 27. m. pl893-1899

15. Klishevich V V. Exact solution of Dirac and Klein-Gordon-Fock equations in a curved space admitting a second Dirac operator. // Class. Quantum Grav. 2001. - vol. 18. №17. p3735-3752

16. Klishevich V.V., Tyumentsev A.V. On the solution of the Dirac equation in the de Sitter space // Class. Quantum Grav. 2005. - 22. №17. p4263-4277

17. McLenaghan R.G., Spindel P.H. Bull. Soc. Math. Belgique. XXXI. -1979.- 65

18. McLenaghan R. G., Spindel P. H. Phys. Rev. 1979. - vol. 20. p. 409

19. Otchik V.S. On the Hawking radiation of spin-1/2 particles in the de Sitter spacetime // Class. Quantum Grav. 1985. - vol. 2. p. 539-543

20. Rudiger R. Separable systems for the Dirac equation in curved space-time // J. Math. Phys. 1984. - №25. p649

21. Shishkin G. V., Villalba V. M. Dirac equation in external vector field: New exact solutions // J. Math. Phys. 1989. - 30. 2373-2381.

22. Shishkin G.V. Some exact solutions of the Dirac equation in gravitational fields // Class. Quantum Grav. 1991. - 8. 175-185

23. Stepanov S. E. The Killing-Yano tensor // Theor. Math. Phys. 2003.- vol 134. №. p333-338

24. Tetrode H. Z. Phys. 1928. - 50 336

25. Weyl H. . Z. Phys. 1929. - 56 330

26. Аминова A.B. Конциркулярные векторные поля и групповые симметрии в мирах постоянной кривизны // Гравитация и теория относительности 1978. - № 14-15. - С.4-16

27. Багров В.Г., Гитман Д.М., Задорожный В. Н., Сухомлин Н. В., Шаповалов В. Н. Новые точные решения уравнения Дирака // Физика.- 1978. №2. с. 250-269

28. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений // Новосибирск:Наука. -1982

29. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В. Н., Шаповалов А. В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби // ТМФ. 1993. - т 97. М. с250-269

30. Багров В.Г., Обухов В.В. Проблема полного разделения переменных в квадрированном уравнении Дирака // Извесгия вузов. Мааемаги-ка. 1994. - №2. cll-14

31. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский J1. П. Квантовая электродинамика // МгНаука. 1989. - т. IV

32. Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени // М:Мир. -1984

33. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая механика // М:Наука. -1978

34. Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр // М:МГУ. -1986

35. Гриб А.А., Мамаев С.Г. Мосхепаненко В. М. Вакуумные кванювые эффекты в сильных полях // М:Энергоатомиздат. 1988

36. Дирак П. Принципы квантовой механики // М:Наука. 1979

37. Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике // М:Наука. 1982

38. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике // М:Наука. 1983

39. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория ноля // М:Мир. 1984. - т 1,2

40. Клишевич В.В. К вопросу о выборе спиновой связности при изучении уравнения Дирака в римановом пространстве // Вестник Омского университета. Физика. 1998. - №4. с19-21

41. Клишевич В.В. К вопросу о существовании сиинорных операторов симметрии для уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. 2000. 43. - №10. с87-91

42. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Векторное ноле Яно и тензорное иоле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Вестник Омского университета. 2000. - №3. с20-21

43. Клишевич В.В, Тюменцев В.А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2001. - №8. с52-58

44. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2003. - №9. с49-53

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля // МгНаука. 1988. - т 2

46. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных сжпем обыкновенных дифференциальных уравнений // М:изд. техн. -ieop. лит. -1957

47. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация // М:Мир. 1977. - т. 1,2,3

48. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относи:ельности // М: Наука. 1969

49. Новиков И.Д. Фролов В.П. Физика черных дыр // М:Наука. 1986

50. Райдер J1. Квантовая теория поля // М: Мир. 1987

51. Склянин Е.К. Об одной алгебре порождаемой квадратичными соог-ношенями // УМН. 1985. т 40 - №. с214-220

52. Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера уравнения Дирака // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции «Под знакома». Омск. 2003. - с17

53. Тюменцев В.А. О решениях уравнений Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры// Вестник Омского университета. 2003. - №3. с24-26

54. Тюменцев В.А. Полнога алгебры операторов симмегрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера и функциональные соотношения между операторами // Математические структуры и моделирование. 2004. - М. cl-7

55. Федосеев В.Г., Шаповалов А.В., Широков И.В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римановом пространстве с группой движений // Известия вузов. Физика. 1991. - №9. с43-46

56. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики // М:Наука. -1990

57. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симплектические пространства // М:Мир. -1964

58. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени// М:Мир. 1977

59. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр // М:Мир. -1986.- т 1,2.

60. Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. 1995. - т 104. М. С195-213

61. Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное ишегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Извесгия вузов. Физика. 1991. - №5. с33-38

62. Шаповалов В.Н. Вычисление алгебры симметрии уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. 1968. - №4. с146-148

63. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. 1975. - N6. с57-63

64. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля // Сибирский математический журнал. 1979. - т 20. - №5. с1117-1130

65. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. - т 16. №10. С1864-1874

66. Шаповалов В.Н. ЭЧАЯ. 1976. - т 7. №3. с687-72574| Шаповалов В.Н., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака // Элиста:Калмыцкий университет. -1972

67. Шаповалов В.Н., Багров В.Г., Экле Г.Г. Полные наборы и разделение переменных в уравнении Дирака// Депонировано ВИНИТИ 20.02.1975, №405 75 Деп. с17. {Рефераты: Известия вузов. Физика. 1975. т 18. №4. с158. } РЖ Физика 12Б189,75.

68. Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. - т. 123. 3. 407

69. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований // М:ИЛ. -1947

70. Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака// Известия вузов. Физика. 1972. - №2. с84-89

71. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Ветти. // М.: ИЛ. 1957.