Поля высших спинов и развернутая формулировка динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Физический Институт им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук

Шейнкман Олег Валерьевич

На правах рукописи

высших спинов и развернутая формулировка динамических систем

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Васильев Михаил Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Арефьева Ирина Ярославна {Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва)

кандидат физико-математических наук Зиновьев Юрий Михайлович {Институт физики высоких энергий, г. Протвино)

Ведущая организация:

Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна

Защита состоится " "_ 2005 г. в_часов

на заседании Диссертационного Совета К002.023.02 в Физическом Институте им. П.Н. Лебедева РАН (119991, Москва, Ленинский пр., 53). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН.

Автореферат разослан_2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К002.023.02

доктор физико-математических наук

А.М. Семихатов

Z00<o-4

I szz\

с

i

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Задачи, решаемые в диссертации, связаны с изучением калибровочной теории высших спинов, которая рассматривается как возможный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий.

Калибровочные теории высших спинов являются расширением теорий супергравитации. Если в супергравитации описывается гравитационное взаимодействие безмассовых полей спина s = 3/2, то теории высших спинов решают ту же проблему для безмассовых полей высших спинов s > 2. Основной мотивацией исследования таких теорий послужило стремление преодолеть известное ограничение на число супергенераторов N < 8, вызванное ограничением з < 2 в d = 4 теориях супергравитации, и надежда, что теории, обладающие большим числом калибровочных симметрий, позволят справится с ультрафиолетовыми расходи-мостями в квантовой теории гравитации.

На сегодняшний день известны следующие нелинейные теории высших спинов:

• на уровне функционала действия в размерностях d = 4 (E.S. Fradkin, М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 189 (1987) 89) и d = 5 (М.А. Vasiliev, Nucí. Phys. В 616 (2001) 106; К. В. Alkalaev, М.А. Vasiliev, Nucí. Phys. В 655 (2003) 57), описывающие взаимодействия симметричных полей в кубическом приближении;

• на уровне уравнений движения в произвольной размерности, описывающие взаимодействие симметричных полей в любом порядке по взаимодействию {М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 243 (1990) 378; Phys. Lett. В 567 (2003) 139).

Эти теории обладают следующими общими свойствами:

• в теориях присутствуют безмассовые возбуждения бесконечных систем спинов 0 < s < оо (существует минимальная теория, содержащая только четные спины);

• теории определены только на фоне пространства анти-де Ситтера (пространства постоянной отрицательной кривизны R = — d(d — 1)А2)

• взаимодействие содержит члены со старшими производными, неана-литичные по А;

• теории инвариантны относительно калибровочных преобразований, образующих бесконечномерные супералгебры (алгебры высших спинов);

Геометрия пространства AdS¿, возникающая в качестве пертурбатив-ного вакуума теорий высших спинов, имеет определяющее значение при построении непротиворечивого и нетривиального взаимодействия полей высших спинов. С технической точки зрения, присутствие в теории размерного параметра А позволяет строить бесконечное число вершин взаимодействия, вовлекающих произвольное число полей и производных, и обезразмериваемых отрицательными степенями А. Поэтому взятие формального предела А = 0 не определено, что делает плоскую геометрию неадекватным фоном для динамики взаимодействующих полей высших спинов. Тем не менее, если исключить гравитационное взаимодействие калибровочных полей высших спинов, примеры непротиворечивых кубичных взаимодействий полей высших спинов могут быть построены и на плоском фоне {A. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink, Nucí. Phys. В 227 (1983) 31).

Неаналитичность теорий высших спинов по А не означает, что плоский фон недостижим для этих теорий, а лишь указывает на то, что плоская геометрия несовместима с калибровочными симметриями высших спинов. Предположим, что симметрии высших спинов теории тем или иным способом (например, с помощью размерной редукции) нарушены до симметрий супергравитации. В спектре полученной теории появится бесконечная башня массивных возбуждений, а безмассовыми останутся только возбуждения, отвечающие подалгебре ненарушенных симметрий, т. е. полям спина s = 1, 3/2, 2. Одновременно изменится и космологическая постоянная, которая может стать равной (или близкой) нулю.

Полученная в результате теория может претендовать на роль "правильной" физической теории, например, может отвечать той или иной теории струн, а о теориях высших спинов, таким образом, можно думать как о симметричной фазе этих теорий.

Актуальность изучения калибровочных теорий высших спинов резко возросла в связи с гипотезой Малдасены об AdS/CFT соответствии (J.M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231), связывающей теорию гравитации в 1-мерном пространстве анти-де Ситтера (AdS^+i) с ¿-мерными конформными теориями на (конформной) границе AdSd+i ■ Соответствие устанавливается между полями теории в объеме и токами на границе. На сегодняшний день основные тесты этой гипотезы проведены в режиме больших значений постоянной т'Хоофта 00 > что соответствует непертурбативному режиму теории на границе и квазиклассическому пределу теории в объеме. В противоположном режиме 9ум^ 0 теория на границе является свободной (т.е. обладает бесконечным набором симметрий), а потому и дуальная ей теория должна обладать бесконечным набором симметрий. Таким образом, хорошим кандидатом на роль дуальной теории является теория высших спинов в пространстве AdS¿+1 {В. Sundborg, Nucí. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 113).

Одним из основных направлений дальнейшего развития теорий высших спинов является выход за пределы симметричных полей и построение взаимодействующих теорий высших спинов в произвольных размерностях для полей смешанного типа симметрий. Однако, до недавнего времени, общая теория свободных полей смешанного типа симметрий в ^^-пространстве отсутствовала. Дело в том, что классификации безмассовых представлений групп Пуанкаре и анти-де Ситтера принципиально различны: безмассовые поля смешанного типа симметрии в AdS¿ не классифицируются согласно неприводимым представлениям малой группы SO(d — 2), как можно было бы ожидать по аналогии с пространством Минковского. Точнее, каждое неприводимое безмассовое поле на

фоне AdSd распадается на совокупность неприводимых безмассовых полей на плоском фоне (L. Brink, R. Metsaev, М. Vasiliev, Nucí. Phys. В 586 (2000) 183). С теоретико-полевой точки зрения это означает различную структуру калибровочных симметрий полей в пространствах Минков-ского и анти-де Ситтера (R. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78; Phys. Lett. В 419 (1998) 49).

Одним из методов удобных для эффективной работы с бесконечными наборами полей и естественно возникающих в теории высших спинов является так называемая "развернутая формулировка", которая позволяет переформулировать динамические уравнения рассматриваемой системы как некоторые условия нулевой кривизны, дополненные определенными связями, не содержащими пространственно-временных производных. Такая формулировка, в принципе применимая к любым динамическим системам, полезна как минимум в двух отношениях. Она приводит к простой конструкции общего решения свободных уравнений, а также, делая явными бесконечномерные симметрии высших спинов, подсказывает, как описать нелинейную динамику.

В этой связи является актуальным изучение динамики несимметричных полей на пространстве анти-де Ситтера произвольной размерности и исследование общих свойств развернутой формулировки динамических систем.

Цель работы. В первой части диссертационной работы (глава 1) изучается возможность тетрадно-подобного описания динамики полей произвольного типа симметрий в пространстве AdS¿ на примерах несимметричных полей типа "крюк" и "окошко". Вторая часть (главы 2—5) посвящена исследованию свойств развернутой формулировки динамических систем и ее применению для анализа некоторых конкретных динамических систем, включая уравнения Клейна-Гордона, Дирака и конфомно инвариантные уравнения.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют непосредственное применение в теориях калибровочных полей высших спинов, а также в исследованиях интегрируемых систем и полевых моделей, связанных с теорией струн. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретического отдела ФИАН, а также конференции QUARKS III, (Валдай, июнь 2002), на III международной Сахаровской конференции по физике (Москва, 22-29 июня, 2002), конференции, посвященной 70-ти летию теоретического отдела ФИАН (Москва, 11-16 апреля, 2005) и на IV международном симпозиуме Quantum Theory and Symmetries (Варна 15-21 августа, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи и 1 статья направлена в печать (см. стр. 21).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 24 раздела, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы, включающего 120 именований. Общий объем работы - 134 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении описан объект исследований и сформулированы цели диссертации, очерчено современное состояние изучаемых проблем и история их возникновения. Приведена общая структура диссертации. Введение содержит три раздела с предварительными сведениями. В разделе 0.1 вводятся обозначения, используемые в работе. Раздел 0.2 посвящен определению развернутой формулировки динамических систем. В разделе 0.3 объясняется тетрадная формулировка гравитации в AdS-пространстве. Это составляет основу методов, используемых в диссертации.

В первой главе рассматриваются два примера ковариантного ла-гранжевого описания свободных калибровочных полей смешанного типа симметрии типа "крюк" и "окошко", распространяющихся на фоне геометрии пространства AdSd. Для этих полей строится явно калибровочно

инвариантное действие и изучаются соответствующие уравнения движения. Также рассматривается плоский предел этих теорий. Предлагаемый метод является обобщением рассматривавшегося ранее тетрадно-подобного описания динамики полностью симметричных полей (М. Васильев, ЯФ 32 (1980) 855) и формализма первого порядка (Yu. Zinoviev, hep-th /0304067).

Напомним, что в размерностях d > 5 спин поля в AdSj характеризуются не одним числом, а набором чисел s = (s\,... ,sg), si > ... > sg, q = [(d — l)/2], отвечающим старшему весу конечномерного неприводимого представления алгебры o(d — 1). Такие представления принято параметризовать диаграммами Юнга yo(d-i)(si> ,sq) с длинами строк

5i,. . . , Sq.

В разделе 1.1 изучается калибровочное поле трехклеточного "крюка", отвечающее диаграмме Юнга ^0(<i-i)(2i 1) (si = 2, 52 = 1, S3 = • • ■ = sq = 0). По аналогии с тетрадной формулировкой гравитации калибровочное поле Фпт>к(х) предлагается описывать набором калибровочных полей, состоящим из физического поля 1-формы е"™(ж) и вспомогательного поля 1-формы (х), антисимметричных по касательным лорен-цевым индексам n, m = 0,..., d — 1. Для полей е"™ и w"™* выбираются следующие калибровочные преобразования:

(1) <Ц\7 = Dtf0? + е^у , 6и™р = DZ™P - ЗА2 е^

с калибровочными параметрами 0-формами и £"0™р(х), антисим-

метричными по касательным индексам. Здесь D — Лоренц ковариантная производная, а еп(х) = Ах^^х) — 1-форма фоновой тетрады пространства AdS. Преобразования (1) позволяют откалибровать полностью антисимметричную (по касательным индексам и индексу формы) компоненту е"™ и порождают правильные калибровочные преобразования (Л. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78, Phys. Lett. В 419 (1998) 49) для компоненты efJ? типа "крюк", отождествляемой с изучаемым полем Фпт'к.

Вводится поле компенсатора VN(x) (К. Stelle, P. West, Phys. Rev. D 21 (1980) 1466; C.R. Preitschopf, M.A. Vasiliev, hep-th/9805127), принимающее значения в векторном представлении AdS¿ алгебры о (d — 1,2), N = 0,..., d и нормированное условием VnVn = 1. Компенсатор позволяет отождествить подалгебру Лоренца o(d—1,1) AdS алгебры o(d—1,2) с подалгеброй стабильности вектора VN. С помощью поля компенсатора физическое и вспомогательное поля объединяются в одно AdS-ковариантное поле 1-форму антисимметричное по касатель-

ным индексам. При этом лоренцевы компоненты е"™ и ассоциируются с V-тангенциальной и V-нормальной частями соответственно. В этих терминах калибровочные преобразования (1) переписываются в виде

где — калибровочный параметр, объединяющий лоренцевы ка-

либровочные параметры (1), a D — Лс?5-ковариантная производная

DTN = dTN + WNMTM,

определяемая связностью AdS пространства WNM{x) = —WMN и удовлетворяющая уравнению DD = 0. С помощью компенсатора связность WNM .AdS-ковариантно разлагается на тетраду и спиновую связность

XEn = DVn , uNM = WNM -\{EnVm -EmVn).

Явно калибровочно инвариантная линеаризованная кривизна

= DSl™p(x)

позволяет построить для "крюка" действие, аналогичное действию МакДауэлл Мансури-Стелле-Веста для гравитации (5. MacDowell, F. Mansouri, Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 739; К. Stelle, P. West, Phys. Rev. D 21 (1980) 1466). Действие фиксируется с точностью до полной производной в следующем виде: (6)

S2h00k = eNMPQKb...Kd+1EK>A.. ЛЕК" Vk'^AR™sAR$R Vs Vr .

Уравнения движения, вытекающие из действия (6), имеют в лоренце-вых компонентах следующий вид:

(7) rffi = ek ЛедТпт'к",

(8) К™р = ек A eq Cnmp'*9 ,

где 2-формы и 1l™k(x) это лоренцевы компоненты А^5-ковариантной

кривизны Rgf*(x). 0-формы Cnmp,kq(x) и Tnm,fc,(a;) описываются двухстолбцовыми диаграммами Юнга типа 2,2,1) и Yd-i,i(2,2) и удовлетворяют условиям бесследовости

CnmpM T)qp = 0 , A2 Tnm,kq T]mq = 0 .

Они называются обобщенными тензорами Вейля и параметризуют те компоненты кривизны, которые могут быть отличны от нуля на массовой оболочке. Заметим, что в плоском пределе А = 0 на тензор Tnm'kq не накладывается условие бесследовости, что связано с фактом появления дополнительной калибровочной симметрии в пространстве Минковско-го.

Уравнение (7) позволяет выразить вспомогательное поле через первую производную от физического поля. После подстановки (¿"^(е^) в уравнение (8) последнее сводится к дифференциальному уравнению второго порядка на компоненту физического поля, отождествляемую с $nTn'fc. B ковариантной калибровке Фпт'кт]тк = 0 это уравнение приобретает вид

(D2 — 3\2)Фпт'к = 0,

где D2 — оператор Даламбера в AdS пространстве. Это уравнение совпадает с уравнением для "крюка", найденным в работе (R. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78).

В конце раздела исследуется плоский предел А = О действия (6), который является хорошо определенным, т.к. неаналитичные по А члены в действии (6) образуют полную производную. Показывается, что, как и требуется, действие, при А = 0, обладает дополнительной калибровочной симметрией, ассоциированной с симметричным калибровочным параметром Snm(x).

В разделе 1.2 изучается калибровочное поле четырехклеточного "окошка" Ч!пт'кр(х), отвечающее диаграмме Юнга ^>(d_i)(2,2). Эта задача решается аналогично случаю поля "крюк". Рассматривается набор калибровочных полей, состоящий из физического е^{х) и вспомогательного и™к(х) антисимметричных полей, которые в данном случае являются 2-формами. Поле Фпт,Р9 отождествляется с компонентой типа "окошко" поля е^ц1. Остальные компоненты физического поля откалибровываются калибровочными преобразованиями

(11) Seffi = Dffi + eqA ^ , 5и™р = D£™p - ЗА2 ¿п А

с калибровочными параметрами 1-формами (х) и £"™р(я). Для AdS-ковариантного поля 2-формы объединяющего поля е™ и w^1*,

преобразования (11) приобретают простой вид

с AdS-ковариантным антисимметричным калибровочным параметром 1-формой В силу того, что является 1-формой, для него

существуют калибровочные преобразования второго уровня

= ОхйГ

с антисимметричным параметром 0-формой Х(о)МР(х)- С помощью явно калибровочно инвариантной 3-формы кривизны

R^p(x) = DQf2)^(x)

строится действие (15)

^window = J eNMPQRSK7...Kd+lEK7A.. VK*+^R™pARf*s .

Вариация действия (15) приводит к следующим уравнениям на лорен-цевы компоненты кривизны:

(is) rf37 = о,

(17) 11™р = eq A er А е, Сптр^а ,

где 0-форма Сптр,ягв(х) с симметриями двухстолбцовой диаграммы Юнга Уо(<*-1,1)(2,2,2) является обобщенным тензором Вейля

Уравнение (16) является связью на вспомогательное поле, которая выражает его в терминах производных от физического поля. Подстановка ш@)к(е(2)) в (17) дает в ковариантной калибровке Фпто,р9тут9 = 0 уравнение

которое совпадает с уравнением для поля "окошко", полученным в работе (Л. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78; Yu. Zinoviev, hep-th/0304067). В конце раздела 1.2 анализируется плоский предел действия (15) и показывается, что, как и требуется, при А = 0 действие (15) не приобретает дополнительных калибровочных симметрий.

В разделе 1.3 приводятся выводы главы 1.

Вторая часть диссертационной работы, состоящая го глав 2-5, посвящена развернутой формулировке динамических систем. Суть этой формулировки заключается во введении набора (как правило бесконечного) дополнительных полей, которые выражаются через производные динамического поля, и замене динамических уравнений алгебраическими связями на дополнительные поля.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

Предположим, что полный набор полей (динамических и вспомогательных), отвечающий развернутой формулировке уравнения (20) состоит из р-форм /а(х), где индекс а нумерует различные поля. Уравнение (20) может быть переписано как условие ковариантного постоянства

Сптр'<г>Щр(х) = 0.

(D2 — (d + 2)А2)Фпт'рк = 0,

(20)

£ = 0.

(22)

DD = 0.

Условия совместности системы (21), (22) заключаются в требовании, чтобы связность принимала значения в некоторой алгебре Ли ^ а на полях /а было реализовано некоторое представление ^

Можно показать, что уравнение (20), допускающее развернутую формулировку (21), (22), является ^-инвариантным. Действительно, легко видеть, что система (21), (22) инвариантна относительно калибровочных преобразований

(23) 6ыа* = ОеаР,

¿/а = е<///5,

где 0-форма еа^(х) — калибровочный параметр, принимающий значения в ^ Фиксация некоторого решения ша^(х) = шоа^(х) уравнения нулевой кривизны (22) нарушает калибровочную симметрию (23) до глобальной симметрии уравнения (21)

(24) 5/а = е^и

с параметром еоа^(х), удовлетворяющим условию

Обо/ = 0.

Поэтому уравнение (20), которое следует из (21), также инвариантно относительно симметрий (24).

В главе 2 изучается развернутая формулировка уравнения Клейна-Гордона. Динамика скалярного поля в плоском и АйБ^ пространствах, формулируется в терминах определенных ковариантных производных (производных высших спинов), как на уровне уравнений движения, так и на лагранжевом уровне. Предлагаемый формализм приводит к интересной интерпретации динамического уравнения (т. е. уравнения Клейна-Гордона) как требованию принадлежности полей к тривиальному классу группы когомологии некоторого оператора сг_.

Предлагаемое в данной главе новое действие для скалярного поля в произвольной размерности эквивалентно на свободном уровне (по модулю граничных членов) стандартному действию Клейна-Гордона, записанному в формализме первого порядка, но отличается от него на

уровне взаимодействия и приводит к псевдолокальным взаимодействиям, содержащим производные всех порядков. Это действие определено для массивного поля в плоском пространстве и для поля произвольной массы (за исключением выделенных точек) в пространстве AdS¿. Оно содержит обратные степени массы или космологической постоянной перед членами с высшими производными. В этом смысле оно аналогично действиям высших спинов (M. Vasiliev, Fortschr. Phys. 35 (1987) 741) и действиям для массивных полей высших спинов, построенным в работах (S. Klishevich, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 2915; I. Buchbinder, D. Gitman, V. Krykhtin, V. Pershin, Nucl. Phys. В 584 (2000) 615) и мотивированных теорией струн, для которой характерно аналогичное разложение.

В разделе 2.1 динамика скалярного поля с{х) в плоском пространстве произвольной размерности формулируется в развернутом виде как условие ковариантного постоянства. Рассматривается набор полей 0-форм С(х) = (с(х),..., сп(к\х),...), состоящий из симметричных бесследовых тензоров всех рангов (тг(к) обозначает набор из к симметризованных индексов). Уравнение Клейна-Гордона на с переписывается как условие ковариантного постоянства С

(26) DC = 0.

Здесь D — Пуанкаре ковариантная производная, которая ищется в виде

D = d + <7_ + а+

с некоторыми операторами сг_ и а+, построенными с помощью 1-формы плоской тетрады, которые, соответственно, понижают и повышают на единицу градуировку по рангу тензора и повышают на единицу градуировку по рангу формы. Условие совместности DD = 0 уравнения (26) накладывает на операторы <т_ и сг+ следующие ограничения:

ai = а\ = {d, а-} = {d,a+} = 0, {а_,а+} = 0.

Эти уравнения позволяют фиксировать (с точностью до произвола в переопределении полей С) операторы сг_, <т+. Оказывается, что существует однопараметрическое семейство D с параметром т, имеющим смысл

массы плоского скалярного поля с, а уравнение (26) эквивалентно плоскому уравнению Клейна-Гордона на с

(29) (□ + т2)с = О

и набору связей, выражающих старшие тензоры через высшие производные с.

Раздел 2.2 посвящен построению аналогичной конструкции в пространстве Айва- Л^5-ковариантная производная Э ищется в виде

О = Б + а- + <т+,

где .О—Лоренц-ковариантная производная. Условие совместности ЭО = О, которое в этом случае переписываются в виде

а2_ = а\ = = = 0, {о~,сг+} = -Ш),

также имеет однопараметрическое семейство решений с параметром т, отождествляемым с массой антидеситтеровского скалярного поля. Условие ковариантного постоянства С эквивалентно массивному уравнению Клейна-Гордона в Айв пространстве на с

(31) {Б2 + т2)с = О

и набору связей, выражающих старшие тензоры через высшие производные с.

В разделе 2.3 доказывается, что дифференциальные ограничения (29), (31), возникающие как следствие условия ковариантного постоянства С, связаны с существованием нетривиальной группы когомологии Н1 оператора

Раздел 2.4 посвящен построению в терминах ковариантных производных ОС свободного действия <?|са1 для скалярного поля. Ожидается, что такое действие является линеаризацией некоторого полного инвариантного действия, описывающего поля высших и низших спинов. Можно надеяться, что предлагаемое действие поможет прояснить структуру нелинейного действия высших спинов в произвольной размерности, содержащего материальные поля низших спинов.

Динамическое поля с и вспомогательное поле сп отождествляются с полями действия Клейна-Гордона первого порядка. Действие 5|са1 ищется в виде

где коэффициенты д(к) фиксируются из условия отщепления экстра полей (спМ с к > 2)

В контексте связей, выражающих вспомогательное поле и экстра поля через производные динамического поля с, условие (33) приобретает естественный смысл требования отсутствия в свободном действии высших производных с.

Оказывается, что условие (33) однозначно (с точностью до общего множителя) фиксирует коэффициенты д(к) в действии (32), определенные при т^Ов плоском пространстве и при т Ф то (то — некоторые фиксированные значения массы, выражающиеся через А) в А(1Э пространстве. Полученное действие эквивалентно стандартному действию первого порядка для поля спина 0. С помощью лагранжевых множителей в действие добавляются члены, зависящие от экстра полей, которые накладывают связи на экстра поля. Получается действие 5|са1, уравнения движения которого эквивалентны условию ковариантного постоянства С.

В разделе 2.5 все результаты переписываются в терминах производящих функций, являющихся векторами модуля Фока.

В разделе 2.6 рассматривается действие 5|аи с минимальным взаимодействием Янга-Миллса. Оно получается из действия заменой производной высших спинов на удлиненную производную = Э + А с янг-миллсовской связностью 1-формой А. В силу того, что =

£7 = О А + А А А не равно нулю, введение минимального взаимодействия

(32)

(33)

в действие <S|cal и в стандартное действие первого порядка для поля спина 0 приводит к разным результатам, которые отличаются на члены, пропорциональные янг-миллсовской напряженности G.

В разделе 2.7 рассматривается система вне массовой оболочки

(34) DC = О,

где С обозначает набор симметричных, (но не бесследовых) тензоров всех рангов, a D = D + 3L + фиксируется условиями

DD = О, °-\с — а~ ' - а+ ■

Легко показать, что группа первой когомологии нового оператора 3L тривиальна. Отсюда, согласно результатам раздела 2.3, следует, что система (34) не накладывает дифференциальных ограничений на С и эквивалентна связям, выражающим поля с"^ через производные с — с. При ограничении на бесследовые тензора система (34) становится эквивалентной системе DC = 0.

В разделе 2.8 приводятся выводы главы 2.

Глава 3. Целью данной главы является реализация конформной симметрии высших спинов на свободных безмассовых материальных полях в трех измерениях как для плоского так и для AdS случаев. Эта реализация строится в терминах вспомогательного пространства Фока, оказывающегося дуальным, посредством определенного преобразования Боголюбова, синглетонному представлению в унитарном пространстве Фока (Р. Dir ас J. Math. Phys. 4 (1963) 901).

В разделе 3.1 определяется d = 3 конформная супералгебра высших спинов f)0l(l;l|4) (Е. Fradkin, V. Linetsky, Ann. Phys. 198 (1990) 293). Она строится на обертывающей осцилляторов äa, и к (а = 1,2)

[äa, ä+ß] = 5ßa , [äa, äß] = [ä+a, ä+0] = 0,

P = 1, {fc,aQ} = {fc,a+Q} = 0

с помощью (анти) коммутатора

[1\9)± = 1д-(-1Ги'м'9)91,

где четность 7г(/) определяется равенством /(—а+, —а, к) = (—1)7Г("/(а+, Согласно конструкции, описанной на стр. 10, инвариантность 3-мерных безмассовых уравнений Дирака и Клейна-Гордона относительно 1)01(1; 1|4) является следствием их развернутой формулировки на полях, принимающих значения в некотором представлении алгебры 1)д[(1; 1|4). В разделах 3.2 и 3.3 строится такая реализация на фоковском модуле ^ алгебры [)д1(1;1|4) с фоковским вакуумом |0), определяемым соотношениями

а«|0> =0, А|0) = |0).

Это позволяет в разделе 3.4 явно реализовать <1 = 3 конформную алгебру высших спинов на безмассовых скаляре и спиноре как в плоском, так и в АйБ 3-мерных пространствах.

Фоковский модуль ^ не унитарен, т.к. он распадается в сумму конечномерных представлений некомпактной подалгебры Лоренца о(3,1) С [)01(1; 1|4) . В разделе 3.5 исследуется унитарный (синглетонный) фоковский модуль 5, генерируемый осцилляторами Ь* из вакуума |0)и

К |0>и = 0,

где осцилляторы Ь*, г = 1,2 удовлетворяют соотношениям

ФГ) ♦ = ьт.

Показано, что осцилляторы а и Ь связаны преобразованием Боголюбова В разделе 3.6 приводятся выводы главы 3.

В главе 4, основываясь на развернутой формулировке, предлагается общий метод классификации ^инвариантных дифференциальных уравнений. Если в главах 2 и 3 предлагаемой диссертационной работы мы

разворачивали то или иное дифференциальное уравнение и переписывали его в виде некоторого условия ковариантного постоянства (см. например (26)), то в главе 4 рассматриваются сами условия ковариантного постоянства, записанные в достаточно общих терминах, и изучается вопрос, каким дифференциальным уравнениям и на какие поля эти условия отвечают. Таким образом удается проклассифицировать все f-инвариантные уравнения для достаточно широкого класса алгебр Ли А именно, в этой главе доказывается, что при некоторых условиях линейные однородные ^инвариантные дифференциальные уравнения для конечных систем полей, которые образуют конечномерные модули рд, ассоциированы с ^модулями Ш, интегрируемыми по отношению к рд. Здесь f произвольная полупростая алгебра Ли, а рд ее параболическая подалгебра.

В разделе 4.1 рассматривается ^ковариантная производная

Э = (1 + еаТ>а = <1 + ,

удовлетворяющая уравнению нулевой кривизны 00 = 0. Здесь еа(х) = 6х1ке^(х) — компонента 1-формы связности в пространстве ^рд, отвечающая радикалу Гд С рд, а Та, а = 1, • •.,<Нт(гд) базис радикала Гд. В дальнейшем предполагается, что радикал Гд абелев, и поэтому 1-форма ёх^е^ может быть положена равной

Для поля |Фр(х)), являющегося р-формой на пространстве 7/рд и принимающей значения в Ш, изучается условие ковариантного постоянства

(40) 0|Фр(х))=0.

Согласно доказываемой в разделе 4.2 теореме, существование ковари-антно постоянного поля |Фр(х)) определяется группой когомологии Н оператора сг_. А именно верно следующее:

1. Решение уравнения (40) существует если Яр+1 = 0.

2. Если Яр+1 ф 0, то решение уравнения (40) существует только если выполнена система ^инвариантных линейных дифференциальных

уравнений

(41) Ц<Р(х)) = 0

на поля \4Р{х)) = Нр. При этом система (41) инвариантна относительно калибровочных преобразований с калибровочными параметрами, определяемыми Нр~х.

Таким образом, ^инвариантные уравнения ассоциированы с модулями ГОТ.

Этот подход является универсальным, т. е. любая ^инвариантная система линейных дифференциальных уравнений может быть переформулирована в виде (40) с помощью введения вспомогательных переменных, ассоциированных с соответствующим (обычно бесконечномерным) ^модулем ГОТ. Таким образом, классификация ^инвариантных систем линейных дифференциальных уравнений эквивалентна классификации ^ модулей ГОТ, интегрируемых по отношению к рцч

В разделе 4.3 предлагается подобная классификация. Именно, уравнения, отвечающие неприводимым ГОТ названы примитивными, а непримитивные уравнения, отвечающие приводимым ГОТ, предлагается классифицировать по устройству ГОТ как расширения неприводимых модулей.

В разделе 4.4 приводятся выводы главы 4.

В главе 5 общая конструкция, описанная в главе 4, применяется для классификации линейных однородных конформно-инвариантных уравнений. Приводится ряд примеров конформных уравнений.

Алгебра I выбирается равной ¿-мерной конформной алгебре о(<1,2) = о(с1 + 2) (рассматривается комплексный случай). В качестве параболической подалгебры рд С 7 берется р^- = о(2)О- — 1,1), отвечающая полупрямой сумме алгебры Пуанкаре и дилатации. Таким образом, пространством ^рд, на котором определяются конформные уравнения, является ¿-мерное пространство Минковского. Рассмотрение ограничиваг ется случаем полей |Ф°(х)) и |^°(х)), являющихся 0-формами. Заметим, что, т.к. любое уравнение может быть переписано в терминах 0-форм, это не ограничивает общности полученных результатов.

В разделе 5.1 общая конструкция иллюстрируется на простых примерах (примитивных и непримитивных) конформных дифференциальных уравнений. Рассматриваются такие хорошо известные конформные уравнения, как: условия замкнутости и ко-замкнутости дифференциальных форм, безмассовые уравнения Клейна-Гордона и Дирака, которые являются примитивными, т.е. отвечают неприводимым конформным модулям. Также рассмотрен пример d = 4 электродинамики (как с током, так и без), которая является непримитивной системой, т.е. отвечает приводимому конформному модулю. Заметим, что предлагаемая конструкция автоматически выдает вид конформной калибровки для потенциала d = 4 электродинамики.

Раздел 5.2 посвящен полной классификации конформных уравнений. Именно, для любого неприводимого конформного модуля Ш вычисляется группа когомологии оператора действующего в 9Л и тем самым классифицируются все примитивные конформные уравнения. Описан способ вычисления группы когомологии, отвечающей приводимому конформному модулю. Рассмотрено большое количество примеров (в том числе и новых), среди которых: конформные уравнения типа уравнений КлейнагГордона и Дирака для полей смешанного типа симметрий, конформные уравнения высших спинов в d = 4, уравнения высших спинов типа Фрадкина-Цейтлина в d = 2q, а также их обобщения на случай несимметричных полей.

В разделе 5.3 приводятся выводы главы 5.

В заключении приводится список полученных результатов.

В приложении I основываясь на (D. Vogan, "Representations of real reductive Lie groups", Prog. Math. vol. 15. Birkhauser 1981; A. Beilinson, J. Bernstein, Adv. Sov. Math. v. 16, 1 (1993); В. Вое, D. Collingwood, J. Algebra 54 (1985) 511; В. Вое, D. Collingwood, Math. Z. 190 (1985) 1; V. Kac, D. Kazhdan, Adv. Math. 34 (1984) 97; D. Zhelobenko, "Representations of reductive Lie algebras", Nauka, Fizmatlit Publishing Company, Moscow 1993) исследуется структура конформных обобщенных модулей Верма, знание которой необходимо для вычисления когомологий в разделе 5.2.

В приложении П результаты приложения I собраны в диаграмму вложений конформных обобщенных модулей Верма.

Основные результаты

1. Рассмотрены два примера ковариантного лагранжевого описания свободных калибровочных полей смешанного типа симметрии, отвечающих диаграммам Юнга У0(<*-1,1)(2) 1) ("крюк") и У0^_1)1)(2,2) ("окошко"), распространяющихся на фоне геометрии пространства А(18,1. Для этих полей построено явно калибровочно инвариантное действие и изучены соответствующие уравнения движения. Также рассмотрен плоский предел этих теорий.

2. Предложена развернутая формулировка уравнения Клейна-Гордона в плоском и АйБ пространствах произвольной размерности как условия ковариантного постоянства. Показано, что уравнение Клейна-Гордона допускает интерпретацию в терминах сг_-когомологий. Для случая скалярного поля ненулевой массы в плоском пространстве

и произвольной массы в пространстве АйБд в терминах ковариант-ных производных высших спинов построено действие скалярного поля.

3. В терминах вспомогательного фоковского модуля предложена простая реализация конформной симметрии высших спинов на свободных безмассовых материальных полях в трех измерениях как для плоского, так и АйБз случаев. В терминах определенного (неунитарного) преобразования Боголюбова установлена дуальность между неунитарными теоретико-полевыми представлениями конформной алгебры и унитарными представлениями синглетонного типа <1 = 3 конформной алгебры яр(4,К).

4. Предложен конструктивный метод построения всех линейных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно преобразований глобальной симметрии, образующей полупростую алгебру Ли Показано, что при некоторых условиях ^инвариантные системы дифференциальных уравнений ассоциированы с ^модулями,

интегрируемыми по отношению к некоторой параболической подалгебре в f.

5. Вычислены <т_-когомологии Hp(i(d),3) с коэффициентами в произвольном неприводимом о(с£+2)-модуле. На основе этих вычислений приведена полная классификация линейных конформно-инвариантных дифференциальных уравнений в пространстве Минков-ского. Обсуждаются многочисленные примеры (в том числе и новые) конформных уравнений.

Публикации по теме диссертации

1. К. Alkalaev, О. Shaynkman, М. Vasiliev, "On the frame-like formulation of mixed-symmetry massless fields in (A)dS(d)", Nucl.Phys. В 692

(2004) 363;(hep-th/0311164).

2. K. Alkalaev, 0. Shaynkman, M. Vasiliev, "Lagrangian formulation for free mixed-symmetry bosonic gauge fields in AdSd", JHEP 0508

(2005) 069; (hep-th/0501108).

3. О. Шейнкман, M. Васильев, "Скалярное поле в произвольной размерности в терминах теории высших спинов", Теор.Мат.Физ. 123 (2000) 323; (hep-th/0003123).

4. О. Шейнкман, М. Васильев, "Конформная симметрия высших спинов для материальных полей в 2+1 измерении", Теор.Мат.Физ. 128 (2001) 378; (hep-th/0103208).

5. О. Shaynkman, I. Tipunin, М. Vasiliev, "Unfolded form of conformal equations in M dimensions and o(M+2)-modules" направлено в печать в Rep.Math.Phys.-, (hep-th/0401086).

РНБ Русский фонд

2006-4 15221

Подписано в печать i. Ь .о S 2005 г. Формат 60x84/16. Заказ № эа. Тираж >0 экз. П.л. 4.ÜS.

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 13251 28