Черные дыры в теории полей высших спинов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской Академии Наук Физический Институт им. П. Н. Лебедева РАН

Диденко Вячеслав Евгеньевич

На правах рукописи

904692394

Черные дыры в теории полей высших спинов

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

2 О {¿д?. 20:0

004602384

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Васильев Михаил Андреевич

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., академик РАН Рубаков Валерий Анатольевич (Институт ядерных исследований, г. Москва)

доктор физико-математических наук Филипов Александр Тихонович (Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна)

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 24 мая 2010 г. в_часов на заседании Диссертацион

ного Совета Д002.023.02 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РА (119991, Москва, Ленинский пр., 53).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического ин ститута им. П.Н. Лебедева РАН или на сайте http://td.lpi.:

С авторефератом можно ознакомиться на сайте http: //td. lpi. ru

Автореферат разослан_апреля 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К002.023.02

доктор физико-математических наук

Я.Н. Истоми

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Основной задачей квантовой теории поля является построение единой теории объединяющей все наблюдаемые в природе взаимодействия - гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. В рамках Стандартной Модели удается описать последние три, в то время как гравитация продолжает стоять особняком с момента ее открытия А. Эйнштейном. Проблема состоит в том, что действие гравитации Гильберта-Эйнштейна не удается проквантовать без появления неустранимых бесконечностей. Несмотря на впечатляющее развитие математического аппарата применительно к данной задаче, проблема, по-видимому, носит принципиальный характер. Одним из руководящих принципов, помогающим понять фундаментальные законы природы является принцип симметрии. Анализ симметрий в теории поля до сих пор остается важнейшим инструментом современной теоретической физики. Так, с открытием суперсимметрии (симметрии между бозонами и фермионами), появилась возможность строить взаимодействие гравитации с калибровочными фермионами в рамках супергравитации (D.Z. Freedman, Р. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara, Phys. Rev. D 13, 3214, 1976). Оказывается, что при квантовании суперсимметричных теорий, бозонные петли могут сокращаться с фермионными. В результате ультрафиолетовые расходимости суперсимметричных теорий, как правило, появляются в более высоких порядках теории возмущений, чем в несуперсимметрич-ном случае. Таким образом, наличие большего числа симметрий теории улучшает ее квантовое поведение.

Появление теории (супер) струн знаменует собой новую веху в попытке объединить гравитацию с остальными взаимодействиями. В основе этой теории заложен новый физический принцип, согласно которому, точечную частицу следует заменить протяженным одномерным объектом. Оказывается, что как теория поля, теория струн "эквивалентна" теории взаимодействующих массивных полей всех спинов друг с другом и с безмассовыми фотоном и гравитоном. Единственный размерный параметр теории струн - ее натяжение.

Замечательно, что в пределе нулевого натяжения а' —♦ оо для струнных амплитуд рассеяния возникает бесконечный набор тождеств Уорда,

что является указанием наличия бесконечномерной калибровочной сим метрик, лежащей в основе некоторой калибровочной теории высших спи нов (D.J. Gross, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 1229). Наличие такого предел может быть свидетельством того, что сама теория струн является фазо с нарушенной симметрией некоторой калибровочной теории. Вопрос о су ществовании теории взаимодействующих калибровочных полей со спина ми s > 2 (теория высших спинов) является одной из центральных зада современной теоретической физики. Попытка построения теории безмас совых полей высших спинов, распространяющихся на пространстве Мин ковского, привела к отрицательному результату. Причина этого - отсут ствие какого-либо размерного параметра, который бы контролировал раз мерность вершин взаимодействия. В работах (E.S. Fradkin, М.А. Vasilie Annals Phys. 177, 63 (1987); Phys. Lett. В 189 (1987) 89) впервые удалое обойти эту трудность в d = 4 взяв в качестве вакуума теории пространств с ненулевой космологической постоянной - AdSA. Характерные черты тео рии взаимодействующих безмассовых полей произвольного спина s состоя в следующем

• в спектре теории присутствует бесконечный набор безмассовых поле произвольного спина 0 < s < оо;

• нетривиальный вакуум теории - пространство-время с ненулевой кос мологической постоянной Л ф 0.

Отметим, что калибровочные теории высших спинов содержат лишь дв фундаментальные константы связи - гравитационную G и космологиче скую Л. Последняя является единственным размерным параметром н уравнениях движения. Оказывается, что его присутствие позволяет стро ить вершины взаимодействия калибровочных полей любого порядка п производным, что делает теорию существенно нелокальной. Отметим так же, что космологическая постоянная входит в вершины неаналитично, н допуская наивного предела Л —> 0. Пространство Минковского вероятн может возникать в непертурбативной фазе со спонтанно нарушенными ка либровочными симметриями высших спинов.

Актуальность изучения калибровочных теорий высших спинов возрос ла после открытия дуальности между теорией струн в пространствах Ad

теорией Янга-Миллса на их границе (J.M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231). Нетривиальные тесты гипотезы Малдасены проведе-ы в области больших значений постоянной т'Хоофта Л = думN —+ оо, де дум и N есть константа связи и число цветов в граничной теории Янга-Миллса. Данный режим соответствует сильной связи в теории Янга-Миллса и квазиклассическому описанию теории суперструн в суперграви-ационном пределе. Есть основания считать, что в пределе малой посто-нной т'Хоофта теория струн с нулевым натяжением является некоторой нелинейной калибровочной теорией высших спинов дуальной свободной конформной теории на границе (В. Sundborg, Nucí. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 113). В настоящее время это направление является предметом активных исследований (LR. Klebanov, A.M. Polyakov, Phys. Lett. В 550 (2002), 213; S. Giombi, Xi Yin, e-Print: arXiv:0912.3462 [hep-th] ).

Центральной проблемой самой теории высших спинов является построение теории взаимодействующих калибровочных полей произвольного спина во всех порядках и в любой размерности пространства-времени. На сегодняшний день эта задача решена лишь частично. Известные теории включают

• нелинейную теорию всех безмассовых бозонов и фермионов в четырех измерениях на уровне уравнений движения (М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 243 378-382 (1990))

• уравнения движения в произвольной размерности, описывающие взаимодействия симметричных полей {М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 567 (2003) 139).

Отметим, что существующие теории являются классическими и вопрос их квантования совсем не изучен по причине отсутствия полного нелинейного лагранжиана. Кроме того, даже на классическом уровне не изучены физически важные точные решения уравнений движения. Такой анализ необходим, в частности, для понимания механизма спонтанного нарушения симметрии и генерации масс в теории высших спинов.

В этой связи становится актуальным поиск точных решений теории высших спинов. Поскольку теория высших спинов является обобщением теории гравитации Эйнштейна, естественными объектами изучения явля-

ются черные дыры и их обобщение в теории высших спинов. В предлагаемой диссертации это исследование проведено в низших размерностях d = 3 и d = 4.

Целью работы является описание классических черных дыр общей теории относительности методами теории высших спинов, а также поиск решения типа черной дыры в нелинейной бозонной теории взаимодействующих безмассовых полей в четырех измерениях. В цели диссертационно" работы входит изучение свободной динамики безмассовых полей на фон 3d черной дыры, построение развернутой формулировки 4d черной дырь Эйнштейна-Максвелла и построение явного сферически симметричного статичного решения нелинейных уравнений высших спинов. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются ори гинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность диссертационной работы обуслов лена непосредственным применением полученных в ней результатов в тео рии калибровочных полей высших спинов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на се минарах теоретического отдела ФИАН и различных международных кон ференциях по физике, а также на зарубежных семинарах в Scuola Normal Superiore, г. Пиза, Италия, в Imperial College, Лондон, Англия и в униве ситете г. Монс, Бельгия.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи и 1 статья на правлена в печать (см. стр. 16).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четыре глав, объединяющих 32 раздела, заключения, четырех приложений и спис ка цитированной литературы, включающего 101 название. Общий объе работы - 133 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении описан объект исследований, дан краткий исторический об зор и сформулированы цели диссертации. Приведена общая структура дис сертации.

В первой главе рассматриваются вакуумные (супер) поля обобщен

ного AdS (супер) пространства и описывается распространение свободных полей на его фоне. Свойства Sp(2M) инвариантного простраиства-времени Мм были изучены в (М.А. Vasiliev, hep-th/0111119). Важно расширить этот анализ на обобщенное пространство анти-де Ситтера, являющимся групповым многообразием Sp(M) (М четно), имеющем Sp(M) х Sp(M) С Sp(2M) в качестве группы изометрии, реализованной действием левыми и правыми сдвигами группы на себе. Поскольку анализ Sp(2M) инвариантных систем высших спинов наиболее естественно проведен в терминах звездочных алгебр, для его расширения на обобщенное AdS пространство-время, необходимо построить звездочную реализацию левоинвариантных форм Картана (т.е. плоских связностей) на Sp(M). Это основная цель первой главы. Полученные результаты позволяют получить явные формулы для симметрий и решений безмассовых полевых уравнений в обобщенном AdS пространстве-времени. Аналогичная конструкция также предложена для суперсимметричного случая OSp(L, М). Кроме того, поскольку при М = 2 обобщенное AdS пространство является буквально обычным AdS3 пространством, полученные в первой главе результаты будут использованы во второй главе для исследования так называемой БТЗ черной дыры.

Чтобы описать алгебру симметрий sp(M) ф sp(M) обобщенного пространства AdS, введем осцилляторы аа, bß, a,ß = 1,... , М с коммутационными соотношениями

Ki М* = Vaß, [a<*,<i|3]* = 0, [Ь0)М* = (!)

где Vaß - антисимметричная инвариантная форма Sp(M) и ассоциативная звездочная операция определена формулой Мойла

(/*э)(о.Ь) = / f(a+uMt)g{a+s,b+v)e2^"t°'-u'-va)dMudMtdMsdMv,

(2)

так что, 1 * 1 = 1. Индексы поднимаются и опускаются с помощью Sp(M) формы Vaß. Тогда генераторы алгебры sp(M) ® sp(M) имеют следующий билинейный вид

Laß = 4- a,ßba), Paß = aaaß + X2babß , (3)

где Л - обратный радиус обобщенного пространства AdS.

Sp(2M) инвариантные уравнения безмассовых полей в трех измерения естественным образом описаны в (O.V. Shaynkman, М.А. Vasiliev, Theo Math. Phys. 128 (2001) 1155-1168) в терминах расслоений Фока над Мм Другими словами, рассмотрим функции на Мм, принимающие значени в модуле Фока F

|Ф(Ь|Х))=С(Ь|Х)*|0)<0|, (4

где С(Ь|Х)-некоторая "производящая функция"

оо 1 т=0

и |0)(0|-фоковский вакуум, определенный соотношениями

аа*|0)(0|=0, |0)(0|*Ьа=0. (6

|0)(0| может быть реализован как элемент звездочной алгебры

|0)(0| = е-2а«ь\ (7

5р(2.М)-ковариантное уравнение, описывающее безмассовые возбуждени имеет вид

¿|Ф(Ь|Х))-«/о*|Ф(Ь|Х)>=0, (8

где

w0 =LüaßLaß + haPpaß (9

вакуумная 1-форма со значениями в алгебре sp(M) ® sp(M) и удовлетво ряющая условию нулевой кривизны

dw о = Wo* Awo . (10

Уравнения (8), (10) инвариантны относительно калибровочных преоб разований

6w0 — de - [ги0,е]* , (П

*|Ф(Ь|Х))=с*|Ф(Ь|Л-)>, (12

где е(а, Ь|Х)-произвольный инфинитезимальный калибровочный парамет Любое фиксированное вакуумное решение wo уравнения (10) нарушав

симметрию высших спинов до подалгебры стабильности с инфинитези-мальным параметром ео(а, Ь|АГ), удовлетворяющим уравнению

¿е0 - [ги0,б0]* = 0. (13)

Совместность этого уравнения гарантированна (10). В результате, (13) локально имеет чисто калибровочное решение вида

(Х) = -д-\Х)*с1д(Х), (14)

где д(а, Ь|Х)-некоторый обратимый элемент звездочной алгебры. Параметры глобальной симметрии имеют вид

е0(Х)=д-\Х)*£*д(Х), (15)

где произвольный, независящий от X элемент звездочной алгебры £ = £(а, Ь), описывает параметры глобальной симметрии высших спинов и действует на решениях уравнения (8) (для любого данного и>о)- Аналогично можно решить уравнение (8) в виде

\Ф(Ь\Х))=д-1*\ЩЬ\Х0)), (16)

где |Ф(Ь|Хо)) играет роль начальных условий. Эта формула означает то, что модуль Фока |Ф(Ь|Хо)) параметризует все ненулевые на полевых уравнениях, комбинации производных от динамических полей в точке X — Хо. Формула (16) играет роль ковариантного разложения Тейлора, восстанавливающего общее решение в терминах производных в точке X — Хо.

Формулы (14), (16) играют ключевую роль, позволяя решить уравнения движения явно, при условии, что известна калибровочная функция д(Х), соответствующая выбранной связности ги0. Обобщенное пространство Айв является групповым многообразием, поэтому вакуумную связность к;о естественно описать в терминах лево- и право-инвариантных форм Картана, а именно

Кр = оУГХМЩ)^ - ТОа7^-1)^, (17)

ша(} = (И^1)*7^!)^ + (18)

где Ш^ЛХ) е 5р(М), т.е.,

(Щ^и = (19)

Основным результатом первой главы является явное выражение для калибровочной функции, которая воспроизводит (17), (18)

2м ехр ( - 1П- ¿П^И^Т-Л

(21)

где

'W-Ъ

Tí J а/3

и Т^з = aaa¡3 + \2babp±\(aabp + baap) - генераторы левой и правой sp(M). Обобщение на суперпространство выглядит аналогично.

Глава 2 посвящена изучению БТЗ черной дыры, как точного решени в 3d теории высших спинов. Применяя методы развитые в первой глав мы решаем задачу о безмассовых флуктуациях на фоне БТЗ метрики находим ранее неизвестные симметрии решения, связанные с преобразова ниями из алгебры высших спинов.

Метрика (М. Bañados, С. Teitelboim and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 6 (1992) 1849)

ds2 = (_M+A2r2+^)<it2-(-M+A2r2 + ¿)-1dr2-r2(#-¿dí)2 , (22)

где ф € [0,2тг] является точным решением вакуумных уравнений Эйнштей на с отрицательной космологической постоянной Л = —Л2. При некоторы значениях параметров М и J метрика описывает черную дыру массы М, вращающуюся с угловым моментом J в (2 -f 1) пространстве-времени, трех измерениях тензор Вейля тождественно равен нулю, поэтому любо решение вакуумных уравнений Эйнштейна с отрицательным космологическим членом локально эквивалентно пространству AdSz- Интересно, чт среди таких решений оказывается есть черные дыры со свойствами напо минающими решение Керра в d = 4. Действительно, при

М> О, \J\<M/\ (23)

пространство (22) имеет внешний и внутренний горизонты

•4 =

Ml. I J2 А2

2ХП1±Г-ж)- {24)

Предельное значение = М/А отвечает экстремальной черной дыре, а случай М = 3 = 0 - так называемой, вакуумной черной дыре. Отрицательные значения массы приводят к голой конической сингулярности на поверхности г = 0, кроме единственного случая М = — 1, 3 = 0, который воспроизводит глобально пространство А<183.

Тот факт, что метрика БТЗ локально эквивалентна Лс(53 позволяет интерпретировать ее как точный вакуум Зс2 теории высших спинов. Действительно, уравнения Эйнштейна в этом случае можно записать в виде условия нулевой кривизны для алгебры о(2,2) ~ вр(2) ® вр(2)

11 = ¿и-■и)/\*ю = 0, (25)

где но - 1-форма со значениями в алгебре зр(2) ф вр(2)

го = шаРааЬр + Ь,аР(ааар + \2ЪаЬ0). (26)

Мы используем осцилляторную реализацию и звездочное произведение (1)-(3), где теперь индексы а,/3 = 1,2, а и>"13 и отождествлены с ло-ренцевой связностью и тетрадой БТЗ черной дыры. Применяя развитый в первой главе формализм анализа уравнений высших спинов в модуле Фока, легко решить задачу о безмассовых флуктуациях на фоне БТЗ черной дыры. Используя формулу (16), можно вычислить производящую функцию безмассовых полей с определенной энергией Е и моментом импульса Ь в виде

оо —оо

х г»2^ ехр - —7) + + /х(фЬ1 - »/(г)«,Ь3 где

А(Г) = ^ (^=0") > М(г)»?(г) = А-1 (г) (27)

2 (г+-г_)' ^ 2(г+ + г_) v '

Развитый в первой главе формализм также легко позволяет найти глобальные симметрии безмассовых полей, распространяющихся на фоне БТЗ

черной дыры. Окончательный результат характеризуется параметром

Имеем следующие случаи.

• о- £ N

Алгебра глобальных симметрий является обертывающей алгеброй симметрии БТЗ, т.е. Епу^ф,

• о = 2,3,...

В случае положительных целых а выживает более широкий класс симметрий высших спинов. Конформная алгебра яр(4) по-прежнему нарушена до © и(1). Условие а = 2,3,... имеет вид некоторого квантования массы М в терминах углового момента 3.

• о = 1

Это случай невращающейся черной дыры .7 = 0 выделен тем, что выживает большая часть конформных симметрий. Остаточные симметрии образуют алгебру д1(2). Помимо векторов Киллинга БТЗ она содержит генераторы специальных конформных преобразований, порожденных 6161 и

Ъ2Ь2-

Рассмотрим теперь случай экстремальной черной дыры г_ = г_|_ = ге. Случаи ге ^ 0 и ге = 0 (т.е., М = 7 = 0) требуют отдельного рассмотрения.

Помимо стандартной и(1)фи(1) симметрии, порожденной векторами Киллинга & и экстремальная черная дыра имеет один спинор Киллинга, в согласии с (О. СоиззаеН, М. Неппеаш, Phys.Rev.Lett. 72 (1994) 183-186), где была обнаружена суперсимметрия экстремальной черной дыры.

В случае "вакуумной" черной дыры М = 1 — 0 получаем максимальное число суперсимметрий. Имеются две суперсимметрии и часть конформных

• гсф 0

симметрий образующих Е2 Ф гх(1), где £2 — алгебра движений 2-мерной евклидовой плоскости.

Глава 3 посвящена построению развернутой формулировке черных дыр общей теории относительности в четырех измерениях. Предложенный метод позволяет оперировать с чернодырными метриками не используя координат. А именно показано, что метрику семейства Картера-Плебанского д1_ш(х) можно представить в следующем виде

= + МКав(х)\М,Ц) , (30)

гДе ~~ метрика пространства АйБ4 в произвольных координатах,

Кав(%) = Ква{х) - параметр глобальной симметрии А(13ь (индексы А,.. = (а,а) нумеруют 5р(4) индексы Майорана), Ые М - масса, 1т М -НУТ параметр, q - сумма квадратов электрического и магнитного зарядов. Кинематические характеристики метрики, такие как параметр вращения и параметр Картера-Плебанского параметризуются двумя инвариантами (операторами Казимира С2 = \КавКав, С4 = |Тг(Л'4)) параметра глобальной симметрии Кав(х). Явный вид функции хотя и простой требует дополнительных построений, именно векторов Керра-Шилда, и приведен в диссертации. Таким образом АЯБ^ черная дыра может быть описана в бескоординатном виде с помощью одного вектора Киллинга Лс^ и нескольких констант характеризующих "волосы" черной дыры.

Идея построения состоит в том, чтобы найти подходящую деформацию условия ковариантного постоянства

00КАВ=0, £>$ = 0, (31)

где £>о ~ ковариантная производная, такую что деформированная

система описывала бы черную дыру.

Чтобы найти такую деформацию запишем параметр Кав в лоренцевых компонентах

^в У (32)

V ЦЗа А Х/? ) тогда видно, что в системе (31) существует тензор Максвелла без источника

Раса = 2С3Яаа , Раа — —А 20^Яаа , (33)

ЛРаа = , (3

где

е = = (-^2)1/4, е = = м*)1/4 (34

л/—я* у-х

и

1>7а^а7 = 0, = (35

Исходная система (31) в новых переменных принимает следующий вид

= + (36 _3_

пр&& = (з8

с

р = -А2С~3, р = -А2(5-3. (39

Оказывается, что искомая деформированная система имеет вид (36)-(38 с

р-> р = М-\2С~3 -чО, (40

где и q - произвольные комплексный и действительный параметрь соответственно, и описывает черную дыру общего вида с кривизной

паа = - + Н Н<^Гва . (41

Тип черной дыры, стационарная или статическая зависит от значени АйБь инвариантов параметра К ¿в- В статическом случае необходимо вы полнение следующего условия

КАСКСВ = 5ав . (42

Чтобы получить явные выражения для метрики, соответствующей де формированным уравнениям и убедится в том, что она действительно при надлежит классу Картера-Плебанского, мы используем эффективный ме тод интегрирующего потока. Применяя требование совместности [дх, (1\ = к деформированной системе, где \ — (-М, д) константы деформации и - пространственно-временной внешний дифференциал, мы получаем диф ференциальные уравнения первого порядка по параметрам х Для всех по лей входящих в систему, т.е. тетрады, вектора Киллинга и т.д. Получен

ые уравнения для потоков легко интегрируются с начальными услови-ми М = 0, д = 0 отвечающим /Ы54 вакууму, приводя к координатно-нвариантному описанию общего семейства метрик Картера-Плебанского (30).

В главе 4 на основе развитого в третьей главе формализма строит-я точное сферически симметричное решение нелинейной бозонной теории высших спинов в четырех измерениях.

Чтобы выписать бозонные уравнения нелинейной теории высших спи-ов введем следующие мастер поля: 1-форму для потенциа-

лов полей высших спинов, 0-форму В (У, 2\х) для напряженностей, а также вспомогательные 0-формы 5с,(У, 2|э:), ¿^(У, 2|:г) не несущих динамических степеней свободы. Коммутирующие спинорные переменные Уд = (Уа,Уа) — {¿а, ¿а) играют роль базисных переменных для производящих функций, на которых определена операция звездочного произведения *. Уравнения имеют следующий вид

= (43)

<1В-\¥*В + В*\¥ = 0, (44)

- Щ = 0, ¿§а- [V?, = 0, (45)

* = 2(1 + В * г>), За+В" = 2(1 + Я*€), = (46)

В*!5а+8а*В =0, В В = 0, (47)

где А = (-иа,йа) для А = (иа,йа), и V = ехр (гауа) ,у = ехр (г&уа) -операторы Клейна.

Вакуум Во = 0, IVав = ь>авУаУв: — гА _ является точным решением уравнений (43)-(47) и описывает пустое пространство АскБь через связность и)АВ, удовлетворяющую условию нулевой кривизны (43). Стартуя с вакуумного решения по теории возмущения, в первом порядке воспроизводятся свободные уравнения Фронсдала для бозонных полей произвольного спина в АйБ^. В старших порядках эти поля начинают взаимодействовать.

Идея данной главы состоит в том, чтобы в первом порядке для линеаризованных кривизн высших спинов выбрать решения типа Б по Петрову, с одними и теми же главными нулевыми направлениями в секторе каждого спина. Удивительным образом, в секторе спина 5 = 1 и 5 = 2 эти

поля удовлетворяют одновременно и вакуумным уравнениям Эйнштейна-Максвелла, описывая заряженную черную дыру в AdS4. Для старших спинов имеет место естественное обобщение типа Керра-Шилда. Далее можно изучать поправки старших порядков.

Линеаризованные кривизны высших спинов, описывающие черную дыру вместе с обобщением для старших спинов имеют следующий простой вид

B(Y\x) = Мехр (\kabYaYb) * 8™(у), (48)

где М - массивный параметр, КАВ[х) - параметр глобальной симметрии пространства AdS^ (31) и 6^2\у) - дельта функция Дирака от левых спиноров уа.

В статическом случае, когда угловой момент черной дыры равен нулю, уравнения (43)-(47) удается решить точно. Причина этого в том, что в силу (42) имеет место следующее равенство

exp (±KabYaYb) *ехр ^-KABYAYB) = exp KABYAYB) = FK, (49)

т.е. Fk является проектором, что позволяет определить модуль Фока и существенно упростить анализ нелинейных уравнений. Благодаря вакууму Фока, четырехмерные уравнения высших спинов эффективно проецируются на трехмерные, рассмотренные в (S.F. Prokushkin and М.А. Vasiliev, Nucl.Phys. В545 (1999) 385) для описания массивных 3d полей материи, которые можно решить с помощью деформированных осцилляторов Виг-нера. Масса черной дыры М совпадает с вакуумным значением Bq3<^ = v, задающим масштаб масс в 3d теории взаимодействующих массивных полей. Такая редукция предполагает интересное соответствие между теорией взаимодействующих AdS3 массивных полей с масштабом масс v и 4d черной дырой высших спинов массы М, v = AGM, где —А2 - космологическая постоянная и G - константа Ньютона. Более того, полученные результаты указывают на то, что в теории высших спинов флуктуации на фоне черной дыры описываются калибровочной теорией меньшего числа измерений.

На линейном уровне, когда поля высших спинов не дают вклад в метрику, найденное решение в секторе спина s = 2 описывает черную дыру Шварцшильда в пространстве AdS4 по аналогии с заряженным решением Рейснера-Нордстрема вклад метрику электрического заряда начинается со

второго порядка через тензор энергии импульса. То, что решение является суперсимметричным, по-видимому, означает его экстремальность. В заключении приводится список полученных результатов. В приложениях I — IV собраны технические подробности.

Основные результаты

1. Найден общий вид вакуумных калибровочных полей в обобщенном А(13 суперпространстве, ассоциированном с группой ОБр(Ь, М). Это позволило нам описать динамику свободных безмассовых полей в обобщенном А(13 пространстве-времени и найти законы их (обобщенных) конформных преобразований и преобразований высших спинов. Найдено в явном виде общее решение полевых уравнений. Результаты получены с помощью звездочной реализации ортосимплектических супералгебр.

2. Показано, что БТЗ черная дыра является точным решением калибровочной теории полей высших спинов в трехмерном пространстве времени. Используя формализм звездочной алгебры, лежащий в основе теории высших спинов, найдены решения для безмассовых полей в метрике черной дыры. Обнаружено, что при некотором условии квантовании на массу и угловой момент черной дыры, метрика имеет дополнительные симметрии, связанные с бесконечномерной алгеброй высших спинов.

3. Предложена развернутая формулировка Лс^ черной дыры, характеризуемой массой, НУТ - зарядом, электрическим и магнитными зарядами и двумя кинематическими параметрами, один из которых является угловым моментом. Найден интегрирующий поток, который связывает полученную развернутую систему черной дыры с условием ковариантного постоянства Лс^ параметра глобальной симметрии. Предложенная формулировка приводит к координатно-независимому описанию метрики черной дыры в Лс^. Её заряды отождествлены с эволюционными параметрами интегрирующих потоков, а кинематические параметры - с первыми интегралами раз-

вернутой системы уравнений, которые выражаются через инвар анты AdS\ параметра глобальной симметрии. Показано, как с п мощью предложенного метода воспроизводятся различные извес ные метрики черных дыр, включая метрику Картера и Керра Ньюмена. Свободные калибровочные параметры позволяют выб рать в координатно-независимом виде различные представления ме рики, такие как представление Керра-Шилда, двойное представлени Керра-Шилда или обобщенное Картера-Плебанского.

4. Получено точное статическое, сферически-симметричное решен нелинейной бозонной калибровочной теории высших спинов в четь рех измерениях, сохраняющее четверть суперсимметрий M = 2 с персимметричной Ad теории высших спинов. В пределе слабого пол решение описывает в секторе спина s = 2 AdS4 черную дыру Швар шильда, а также безмассовые возбуждения типа Керра-Шилда дл всех полей целого спина.

Публикации по теме диссертации

1. V.E. Didenko and М.А. Vasiliev, J.Math.Phys. 45 (2004) 197-215, he th/0301054

2. V. E. Didenko, A. S. Matveev and M. A. Vasiliev, Theor. Math. Phy 153 1487 (2007) [Teor. Mat. Fiz. 153 158 (2007)], hep-th/0612161

3. V.E. Didenko, A.S. Matveev, and M.A. Vasiliev, Phys. Lett. B665 28 (2008), arXiv:0801.2213[hep-th]

4. V.E. Didenko, A.S. Matveev, and M.A. Vasiliev, Unfolde Dynamics and Parameter Flow of Generic Ad Si Black Hoi arXiv: 0901.2172[hep-th]

5. V.E. Didenko, M.A. Vasiliev, Phys. Lett. B682 305-315 (2009 arXiv: 0906.3898[hep-th]

Подписано в печать

Формат 60x84/16. Заказ № Тираж бОзка. П. л. / .

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640