Некоторые аспекты квазинормальных мод черных дыр тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Вступление.

Глава1. Введение.

Глава2. Возмущения черных дыр и методы вычисления КН мод.

ГлаваЗ. КН моды черных дыр.

Таким образом, актуальность проблемы нахождения квазинормальных мод обусловливается не только возможностью обнаружить их в гравитационном излучении черных дыр, но также и их интерпретацией в конформной теории поля и петлевой квантовой гравитации.

Поскольку в линейном приближении уравнения полей в окрестности черной дыры сводятся к волновому уравнению с некоторым эффективным потенциалом, то математически проблема вычисления КН частот сводится к задаче на собственные значения линейного дифференциального оператора. Большинство существующих методов решения можно условно разделить на полуаналитические и численные. Выбор метода для нахождения КН мод зависит от контекста в котором изучаются КН моды. В рамках ADS/CFT соответствия эффективными оказались численные методы используемые Горовицем и Хубе-ни [8], а также Берти и Коккотасом |9], которые однако удавалось применить только для черных дыр больших по сравнению с радиусом анти-де-Ситтера и для не слишком больших обертонов. Метод разработанный Уиллом и Шутцем на основе ВКБ подхода для эффективных потенциалов типа потенциальных барьеров можно применить к астрофизическим черным дырам [10], [11]. Метод Уилла - Шутца будучи самым простым является не слишком точным и в ряде случаев третьего порядка после эйконального приближения не достаточно для адекватного описания КН поведения.

Цели работы.

Объектом исследований выступают процессы эволюции скалярного, электромагнитного и гравитационного поля в окрестности некоторых черных дыр. Предметом исследований является спектр квазинормальных осцилляций этих полей который дает нам частоту осцилляций и скорость их затухания для каждой моды. Целью предлагаемых исследований является описание квазинормального поведения широкого класса сферически-симметричных черны^ дыр: D-мерных черных дыр живущих в плоском пространстве и пространстве Анти-де-Ситтера, дилатонных черных дыр, включая черные дыры Райсснера-Нордстрема.

Научная новизна полученных результатов.

В диссертации была решена проблема КН мод малых черных дыр в пространстве Анти-де-Ситтера: было показано, что КН моды АДС черной дыры стремятся к нормальным модам пространства Анти-де-Ситтера при стремлении радиуса черной дыры к нулю. При проведении исследований получили дальнейшее развитие метод Уилла - Шутца для вычисления КН мод и метод Горовица-Хубени. Метод Уилла - Шутца продолжен с третьего порядка (после эйконального приближения) до шестого порядка и тем самым значительно увеличена его точность. В методе Горовица-Хубени удалось избежать накопления численной ошибки и, применить его для анализа КН мод малых АДС черных дыр и высоких обертонов. Оказалось что, асимптотически, для больших обертонов, АДС черные дыры имеют универсальный эквидистантный спектр, который не зависит от спина возмущаемого поля.

Еще одна интересная особенность была обнаружена при рассмотрении эволюции заряженного скалярного поля в окрестности заряженной черной дыры. Оказалось что в отличии от поведения на асимптотически поздних временах, (характеризуемого наличием так называемых радиационных "хвостов" в которых как было показано С.Ходом и Т.Пираном доминируют заряженные возмущения [12]) на стадии квазинормального звона, напротив, доминируют нейтральные возмущения. Такое поведение характерно как для безмассовых скалярных полей так и для массивных и присуще широкому классу черных дыр: черным дырам Райсснера-Нордстрема, Райсснера-Нордстрема-Анти-де'-Ситтера, дилатонным черным дырам.

Наконец были найдены скалярные КН моды дилатонной черной дыры и Щварцшильдовой черной дыры в D измерениях для различных мультиполей.

Все представленные здесь результаты получены впервые автором диссертации.

Практическая и научная ценность полученных результатов.

Учет вычисленных в работе ВКБ поправок метода Уилла-Шутца позволяет быстро и с хорошей точностью получить КН моды широкого класса черных дыр, не прибегая к громоздким численным методам. Полученные характеристические спектры гравитационных возмущений в окрестности черных дыр могут быть полезны при анализе экспериментов по обнаружению гравитационного излучения от черных дыр.

Персональный вклад соискателя.

Исследование изложенное в диссертации было выполнено соискателем полностью самостоятельно включая постановку задачи и проведение вычислений. Асимптотическое поведение 4-мерной Шварцшильдовой АДС черной дыры изучено совместно с Витором Кардосо и Жозе Лемушем в работе [13].

Апробация результатов диссертации.

Результаты исследований докладывались на 5-семинарах: на кафедре математической физики Харьковского Национального Университета (Харьков, январь 2003), в Институте Теоретической Физики им. Н.Н.Боголюбова, (Киев, май 2003), в Физическом факультете Московского Государственного Университета (Москва, октябрь 2003), в Российском Гравитационном Обществе (Москва, сентябрь 2003), в Центре Астрофизики Высшего Технического Института, (Лиссабон, ноябрь 2003), а также на конференциях:

1) "Релятивистская астрофизика, гравитация и космология", 21-23 мая, 2003, Киев, Астрономическая Обсерватория Киевского Университета, Украина.

2) "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии", 1-10 сентября 2003, Ульяновск, Россия.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из вступления, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 74 страницы. В диссертации имеется 15 графиков и 22 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 84 наименования.

Публикации.

Результаты исследований опубликованы в статьях [13, 14, 15, 16, 17, 18] и тезисах конференций [19, 20].

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1) Найдены квазинормальные моды соответствующие спаду заряженного (как массивного так и безмассового) скалярного поля в окрестности черной дыры Райсснера-Нордстрема [15, 16]. Показано, что спад заряженного поля на стадии квазинормального звона качественно отличается от затухания на асимптотически поздних временах, в частности, на стадии КН осцилляций доминируют нейтральные возмущения, в то время как на стадии "хвостового затуханиями t —* оо доминируют заряженные возмущения. Это доминирование нейтральных возмущений характерно также и для КН поведения дилатонных черных дыр и асимптотически анти-де-Ситтеровых черных дыр.

2) Вычислены скалярные и аксиальные гравитационные КН моды дилатонных черных дыр [18, 16]. Обнаружено, что КН спектр дилатонных черных дыр несущественно отличается от спектра черной дыры Рейсснера-Нордстрема если только заряд не достаточно велик (порядка 0.6 от экстремального значения). Получена асимптотическая оценка для КН мод при больших значениях муль-типольного числа I.

3) Решена проблема КН поведения малых черных дыр в пространстве Анти-де-Ситтера [17]. Показано, что при стремлении радиуса черной дыры Шварцшильда-Анти-де-Ситтера к нулю КН моды черной дыры стремятся к нормальным модам пространства Анти-де-Ситтера.

4) Изучено асимптотическое поведение сильно затухающих КН мод Швар-цшильдовой черной дыры в пространстве Анти-де-Ситтера [13]. Асимптотически КН спектр больших черных дыр является эквидистантным причем расстояние между соседними модами не зависит от мультипольного числа /. Электромагнитные и аксиальные гравитационные возмущения имеют в качестве наиболее низких обертонов чисто мнимые затухающие моды, причем для электромагнитных возмущений число чисто мнимых мод растет с увеличением радиуса черной дыры. Возмущения полей различного спина имеют одинаковое асимптотическое поведение, т.е. асимптотическое расстояние между соседними модами не зависит от спина рассматриваемого поля.

5) Получены скалярные КН моды для D-мерной Щварцшильдовой черной дыры для различных значений D и для различных мультиполей. Получена асимптотическая оценка для КН мод при больших значениях мультипольного числа I [141.

6) Метод Уилла-Шутца продолжен с третьего ВКБ порядка после эйкональ-ного приближения до шестого порядка. Тем самым значительно увеличена его точность [14[.

Наконец обсудим работы продолжающие настоящее исследование а также направления дальнейших исследований представляющих интерес в области квазинормальных мод черных дыр.

Во первых следует упомянуть работу [79J в которой следуя работе [16J, были вычислены КН моды соответствующие спаду заряженного безмассового дираковского поля в окрестности черной дыры Райсснера-Нордстрема. Оказалось, что при cQ > 0 (с - заряд поля, Q - заряд черной дыры) заряженное дираковское поле спадает быстрее чем нейтральное, а при tQ < 0 заряженное спадает медленнее и в этом случае доминирует на стадии "последнего звонка". В этой связи Представляет интерес рассмотрение массивных дираковских мод.

Гравитационное излучение многомерных черных дыр было рассмотрено в работах [80J и [81J. В [81J с помощью метода Ливера были вычислены КН моды для 5-ти мерных черных дыр Тангерлини. Обе работы, [80J и [81], объявляют хорошее согласие полученных значений КН мод с результатами работы [14].

ВКБ поправки к формуле Уилла-Шутца полученные в ]14] были использованы для вычисления КН мод соответствующих спаду полей различного спина в окрестности черной дыры Шварцшильда-де-Ситтера [78]. В экстремальном пределе эффективный потенциал для возмущений черной дыры Шварцшильда-де-Ситтера стремится к потенциалу Пешля-Теллера [82]. Как и следовало ожидать, в экстремальном пределе, в шестом ВКБ порядке формула Уилла - Шутца приводит к отличному согласию с результатами полученными из потенциала Пешля-Теллера ]78].

Один из важнейших на наш взгляд не решенных вопросов в области КН мод в контексте ADS/CFT соответствия является проблема граничных условий, а именно: очевидно, что для скалярного поля граничные условия Дири.-ле в ADS гравитации обеспечивают [83] "попадание" в полюса корреляционных функций дуальной калибровочной теории. В случае полей высшего спина это уже не очевидно. Возможно рассмотрение КН мод черной ЭЗ-браны для "полной" (10-мерной) метрики подскажет адекватные граничные условия в АДС-гравитации для полей различного спина [84].

1. Thorn K.S. // in M. Sasaki (ed), Relativistic Cosmology, Proceedings of the Eighth Nishinomia-Yukawa Memorial Simposium, Universal Academy Press, Kyoto, p. 67 (1994)

2. Ford L.H. and Roman T.A. Average energy conditions and quantum inequalities // Physical Review D51 4277 (1995)

3. Harms R.J. et. al. HTS for spectroscopy of M87: evidence for a disk of ionized gas around a massive balck hole. // Astrophysical Journal 435 L35 (1994)

4. Miyoshi, M.J. et al Evidnece for a black hole from high rotation velocities in a subparsec region of NGC4258 // Nature 373 127 (1995)

5. Maldacena, J. The large N limit of superconformal field theories and supergravity//Adv.Theor.Math.Phys. 2 231 (1998)

6. Witten, E. Anti-de-Sitter and holography // Adv.Theor.Math.Phys. 2 505 (1998)

7. Dreyer, O. Quasinormal modes, the area spectrum, and the black hole entropy // Physical Review Letters 90, 08I30I (2003)

8. Horowitz, G.T. and Habeny, V. Quasinormal modes of AdS Black holes and the approach to thermal equilibrium // Physical Review D62 024027 (2000)

9. Berti, E. and Kokkotas, K. D. Quasinormal modes of Reissner-Nordstrom-anti-de Sitter black holes: scalar, electromagnetic and gravitational perturbations // Physical Review D67 064020 (2003)

10. Schutz. B.F. and Will, C.M. Black hole normal modes: A semianalytic approach // Astrophysical Journal Letters 291 L33-L36 (1985).

11. Iyer, S and Will, C.M. Black hole normal modes: A WKB approach. I Foundations and applications of a higher analysis of potential-barrier scattering // Physical Review D35 3621-3631 (1987).

12. Hod, S. and Piran, T. Late-time evolution of charged gravitational collapse and decay of charged scalar hair -1 // Physical Review D55, 3487 (1997).

13. Cardoso, V., Konoplya, R.A. and Lemos, J.P.S. Quasinormal frequencies of Schwarzschild black hole in anti-de-Sitter spacetimes: A complete study of the asymptotic behavior //' Physical Review D68 044024 (2003).

14. Konoplya, R.A. Quasinormal behavior of the D-dimensional Schwarzschild black hole and the higher order WKB approach // Physical Review D68 024018 (2003).

15. Konoplya, R.A. Massive charged scalar field in a R-N background: Quasi-normal ringing// Physics Letters, B550, 117, (2002).

16. Konoplya, R.A. Decay of a charged scalar field around a black hole: Quasinormal modes of RN, RNAdS, and dilaton black holes // Physical Review D66, 084007 (2002).

17. Konoplya, R.A. Quasinormal modes of a small Schwarzschild-anti-de-Sitter black hole // Physical Review D66, 044009 (2002).

18. Konoplya, R.A. Quasinormal modes of the electrically charged dilaton black hole // General Relativity and Gravitation, 34, 329, (2002).

19. Konoplya, R.A. Gravitational quasinormal modes of the D-dimensional black hole // in Abstracts of the Third international School-Seminar "Problems of Theoretical And Observational Cosmology", p. 35, Ulyanovsk, Russia, 1-10 September (2003).

20. Konoplya, R.A. Decay of charged perturbations around a charged black hole // in Abstracts of Reports of the Third Conference "Relativistic Astrophysics, Gravitation and Cosmology", p. 4, Kiev, Ukraine, 21-23 May (2003).

21. Vishveshwara, C.V. Scattering of gravitational radiation by a Schwarzschild black hole // Nature, 227 , 936-938 (1970).

22. Chandrasekhar, S. and Detweiler, S. The quasi-normal modes of the Schwarzschild black hole // Proc. R. Soc. London, Ser. A 344 , 441452 (1975).

23. Leaver, E.W. An analytical representation for the quasi-normal modes of the Kerr black holes // Proc. R. Soc. London, Ser. A 402, 285-298 (1985).

24. Nollert, H.-P. Quasinormal modes of Schwarzschild black hole: The ditermination of quasinormal frequencies with very large imaginary parts. // Physical Review D47 5253 (1993).

25. Ferrari, M. and Mashhoon, B. Oscillations of a black hole // Physical Review Letters 52, 1361 (1984).

26. Bloome, H.J. and Mashhoon, B. Quasi-normal oscillations of Schwarzschild black hole // Physics Letters, A100, 231-234, (1984).

27. Zaslavskii, O.B. Black hole normal modes and quantum anharmonic oscillator // Physical Review D43 605-608 (1991).

28. Iyer, S. Black hole normal modes: A WKB approach. Schwarzschild black holes // Physical Review D35 3632-3636 (1987).

29. Kokkotas, K. and Schutz, B.F. Black hole normal modes: A WKB approach. III. The Ressiner-Nordstrom black hole // Physical Review D37 3378 (1988).

30. Siedel, E. and Iyer, S. Black hole normal modes: A WKB approach. IV. Kerr black holes // Physical Review D37 3378 (1990).

31. Simone, L.E. and Will, C.M. Massive scalar quasi-normal modes of Schwarzschild and Kerr black holes // Classical and Quantum Gravity 9, 963 (1992).

32. Ferrari, V., Pauri, M. and Piazza, F. Quasinormal modes of the electric charged dilaton black holes // Physical Review D63 064009 (2001).

33. Andersson, N. and Onozawa, H. Quasinormal modes of nearly extreme Reissner-Nordstrom black holes // Physical Review D54 7470 (1996).

34. Onozawa, H., Okamura.T., Mishima Т., and Ishihara, H. // Physical Review D53 7033 (1996).

35. Bachelot, A. and Motet-Bachelot, A. Les resonances d'un trou noir de Schwarzschild // Annalas of Institute Henri Poincare 59, 3 (1993).

36. Press, W. H. Long wave trains of gravitational waves from a vibrating black hole // Astrophysical Journal 170 L105 (1971).

37. Price, R. Nonspherical perturbations of relativistic gravitational collapse I. Scalar and gravitational perturbations // Physical Review D5 2419 (1972).

38. Bicak, J. Gravitational collapse with charge and small asymmetries I. Scalar perturbations//General Relativity and Gravitation 3 331 (1972).

39. Hod, S. and Piran, T. Late-time evolution of charged gravitational collapse and decay of charged scalar hair II // Physical Review D58, 024017 (1998).

40. Brady, P., Chambers, C.M., Krivan, W. and Laguna, P. Telling tales in the presence of the cosmological constant // Physical Review D55 7538-7545 (1997).

41. Ching, E.S.C., Leung, P.T., Suen, W.M., Young, K. Quasinormal modes of dirty black holes // Physical Review Letters 74, 2414 (1995).

42. Froman, P.O., and Froman, N. JWKB Approximation, Contribution to the Theory // Notrh Holland, Amsterdam, (1965).

43. Froman, N. Froman, P.O., Andesson, N., and Hokback, A., JWKB Approximation, Contribution to the Theory // Notrh Holland, Amsterdam, (1965).

44. Galtsov, D.V. and Matiukhin A.A. Matrix WKB method for black hole normal modes and quasibound states // Classical and Quantum Gravity 9 2039 (1992).

45. Cardoso, V. and Lemos, J.P.S. Scalar, electromagnetic and Weyl perturbations for BTZ black holes // Physical Review D63, 124015 (2001).

46. Banados, M., Teitelboim, C. and Zanelli, J. The black hole in three dimensional space-time // Physical Review Letters 69 1849 (1992).

47. Birmingham, D., Sachs, I., and Solodukhin, S.N. Conformal field theory interpretation of black hole quasinormal modes // Physical Review Letters 88, 151301 (2002).

48. Cardoso, V. and Lemos, J. P. S. Quasinormal modes of Schwarzschild-anti-de-Sitter black holes: Electromagnetic and gravitational perturbations // Physical Review D64, 084017 (2001).

49. Govindarajan, T.R. and Suneeta, V. Quasi-normal modes of AdS balck hole: A superpotential approach // Classical and Quantum Gravity 18 265 (2001).

50. Zhu, J., Wang, B. and Abdalla, E. Object picture of quasinormal ringing on the background of small Schwarzschild Anti-de-Sitter black holes // Physical Review D63 124004 (2001).

51. Wang, В., Mendes, C.M., and Abdalla, E. Evolving of a massless scalar field in Reissner-Nordstrom Anti-de-Sitter spacetimes // Physical Review D63 084001 (2001).

52. Musiri, S. and Siopsis, G. Quasinormal modes of large ADS black holes // Physics Letters, B563, 102, (2003).

53. Wang, В., Lin, C.Y. and Abdalla, E. Quasinormal modes of Reissner-Nordstrom Anti-de-Sitter black holes// Physics Letters B481, 79 (2000).

54. E7| Choptuik, M // Physical Review Letters 70, 9 (1992).

55. Spradlin, M. and Strominger A. // Journal of High Energy Physics 11. 021 (1999).

56. Kim, W. T. and Oh, J. J. Quasinormal modes and Choptuik Scaling in the near extremal Reissner-Nordstrom black hole // Physics Letters B514, 155 (2001).

57. Rovelli, C. Loop Quantum Gravity // Living Reviews in Relativity 1, 1 (1998).

58. Barbero, J.F., Quantum gravity and Regge calculus // Nuclear Physics Proceedings Supplementary B57 65 (1997).

59. Immirzi, G., Real Ashteker variables for Lorentzian siganture spacetime // Physical Review D51 5507 (1995).

60. Motl, L. An analytic computation of asymptotic Schwarzschild quasinormal frequencies // gr-qc/0212096.

61. Corichi, A. On quasinormal modes, black hole entropy, and quantum geometry // gr-qc/0212126.

62. Kunstatter, G. d-dimensional black hole entropy spectrum for quasinormal modes// gr-qc/0212014.

63. MotI, L., Neitzke, A. Asymptotic black hole quasinormal frequencies // hep-th/0301173.

64. Dimopoulos, S. and Landsberg, S. // Physical Review Letters 87 161602 (2002).

65. Cardoso, V., Dias, O.J.C. and Lemos, J.P.S. Gravitational radiation in B-dimensional spacetimes // Physical Review D67 064026 (2003).

66. Ida, D., Uchida, Y. and Morisawa, Y. The scalar perturbation of the higher-dimensional rotating black holes // Physical Review D67 084019 (2003).

67. Astone, P. Resonant mass detector: present status // Classical and Quantum Gravity 19, 1227-1235 (2002).

68. Tangerlini F., Schwarzschild field in n dimensions and dimensionality of space problem // Nuovo Cimento 27, 636-651 (1963).

69. Бронников, К. и Шикин, Г. // Известия Высших Учебных Заведений, сер.Физика, №.7, стр.25 (1977).

70. Holzhey, C.F.E. and Wilczek, F. Black holes as elementary particles // Nuclear Physics B298 447 (1992).

71. Burgess, C. and Lutken, C. Propogators and effective potentials in Anti-de-Sitter Space // Physics Letters B153, 137 (1985).

72. Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes // Oxford: Clarendon, (1983).

73. Zhidenko, A., Quasi-normal modes of Schwarzschild-de-Sitter black holes // Classical and Quantum Gravity in press gr-qc/0307012] (2003).

74. Zhou, W., Zhu., J-Y. Decay of spin 1/2 field around Reisneer-Nordstrom black hole // gr-qc/0309071 (2003).

75. Berti, E., Cavaglia, M. and Gualtieri, L. Gravitational energy loss in high energy particle collisions: ultrarelativistic plunge into a multidimensional black hole // hep-th/0309203 (2003).

76. Cardoso, V., Lemos, J.P.S. and Yoshida, S. Quasinormal modes in four and higher dimensions // hep-th/0309112 (2003).

77. Cardoso, V., Lemos, J.P.S. Quasinormal modes of the near extremal Schwarzschild-de-Sitter black holes // Physical Review D67 084020 (2003).

78. Starinets, A. O. Quasinormal modes of near extremal black branes // Physical Review D66 124013 (2002).

79. Nunez, A. and Starinets, A. 0. ADS/CFT correspondence, quasinormal modes and thermal correlators in N=4 SYM // Physical Review D in press (2003) hep-th/0302026].