Методы дуальности в гравитационных моделях и фундаментальные проблемы физики черных дыр тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук

На правах рукописи

Солодухин Сергей Николаевич

МЕТОДЫ ДУАЛЬНОСТИ В ГРАВИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЯХ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Международном университете Бремена

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Барвинский

Андрей Олегович

(Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва)

доктор физико-математических наук, Волович профессор, чл.-корр. РАН Игорь Васильевич

(Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва)

доктор физико-математических паук, Гальцов профессор Дмитрий Владимирович

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

Ведущая организация:

Институт Теоретической Физики имени Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка

»Л?» ^/^У^^Г 2006 года в

Защита состоится " у*¿-^7 2006 года в - час. _мин. на заседании диссертационного совета Д002.023.02 по защите диссертаций на соискание ученой степепи доктора физико-математических наук при Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д.53.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

Автореферат разослан »/*>» 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д002.023.02 доктор физико-математических наук Я. Н. Истомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Диссертация посвящена изучению фундаментальных проблем физики черных дыр с применением метода дуальной теории, позволяющего переформулировать гравитационные явления в терминах квантовой дуальной конформной теории поля. Проблемы физики черных дыр, такие как нахождение микроскопического объяснения энтропии черной дыры и установление унитарных правил квантовой эволюции черной дыры, в последнее десятилетие вышли на передний край теоретической физики высоких энергий и играют двоякую роль. Во-первых, их удовлетворительное решение в рамках существующих теоретических моделей означало бы непротиворечивость этих моделей и развиваемых в них концепций, претендующих на описание большого класса явлений на масштабах от размера элементарных частиц до космологических масштабов. Во-вторых, попытки найти непротиворечивое решение проблем черных дыр привели к формулировке принципиально новых идей. К числу таких идей относится и гологра-фическая картина, впервые сформулированная 'тХоофтом в 1993 году и развитая впоследствии Сасскиндом. Конкретная реализация гологра-фической картины была сформулирована Малдаценой в 1997 году и получила широкую известность как Ас18/СРТ соответствие. Это соответствие представляет собой совокупность правил, позволяющих переформулировать теорию (супер-) гравитации на (<1-|-1)-мерном пространстве анти-де Ситтера в терминах квантовой конформной теории поля, определенной на ¿-мерной границе пространства анти-де Ситтера. Поскольку теория поля на границе является хорошо определенной квантовой теорией, то использование ее эквивалентности гравитационной физике в объеме, содержащем черную дыру, позволяет, по крайней мере в принципе, получить описание состояний черной дыры и решить вопрос об унитарности их квантовой эволюции. Конкретизация этих представлений является важной проблемой, находящейся в фокусе рассмотрения данной диссертации.

Цель и задачи работы. Целью работы является изучение дуального описания черной дыры в терминах конформной теории поля как на основе сформулированного Малдаценой АсШ/СГТ соответствия, так и с помощью различных обобщений этого соответствия.

В число основных задач входит систематическое изучение термодинамики черных дыр с учетом квантовых поправок как к геометрии черной дыры, так и к формулам, по которым вычисляются термодинамические характеристики (энергия, энтропия) черной дыры. Особое внимание уделяется ультра-фиолетовым расходимостям энтропии черной дыры и способам их перенормировки.

Эффективное использование голографической дуальности требует знания данных, которые должны быть заданы на границе пространства-времени и которые достаточны для восстановления по ним процессов, происходящих в объеме. Точная формулировка голографической реконструкции является важной задачей решаемой в диссертации.

Поскольку во многих известных случаях пространство-время, описывающее черную дыру, является асимптотически плоским, актуальная задача состоит в обобщении AdS/CFT эквивалентности на случай таких пространств. С другой стороны, горизонт черной дыры может играть роль своеобразной границы, вблизи которой аналогичная эквивалентность может иметь место. Нахождение такой эквивалентности, а также формулировка обобщений AdS/CFT соответствия, входит в число основных задач настоящей диссертации.

Симметрии играют важную роль в объяснении различных физических явлений и могут оказаться исключительно полезными и, на самом деле, ключевыми при описании разнообразных явлений черной дыры, таких как энтропия или излучение Хокинга. Задача поиска такой симметрии и ее эффективное использование для объяснения описанных явлений решается в диссертации и, по сути, привела к формулировке нового направления, известного в текущей литературе как "конформная теория поля вблизи горизонта". В рамках этого направления различные явления находят универсальное описание и объяснение.

Научная новизна работы состоит в развитии сформулированного научного направления и отражена в защищаемых положениях.

Положения диссертации, выносимые на защиту. Основные положения, представляемые к защите, можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан математический аппарат для вычисления квантовых поправок к энтропии черной дыры. Получена общая структура ультрафиолетовых расходимостей в квантовой энтропии черной дыры и показано, что перенормировка энтропии достигается стандартной перенормировкой констант связи (постоянной Ньютона и констант перед квадратичными по кривизне членами в действии).

2. Выявлено соотношение и продемонстрирована на двумерном примере точная эквивалентность различных подходов к определению энтропии черной дыры: как энтропии атмосферы квантовых возбуждений вне горизонта черной дыры, как entanglement энтропии, которая есть мера корреляции между квантами полями вне и внутри горизонта, как термодинамической энтропии, определенной в терминах статистической суммы по ансамблю геометрий (с коническую сингулярностью на горизонте) при конечной температуре.

3. Изучены логарифмические поправки к энтропии черной дыры. В рамках соответствия между черной дырой и струной предложена связь логарифмически зависящих от массы черной дыры членов в энтропии и саблидирующих членов в выражении для числа состояний квантовой струны. Для заряженной черной дыры изучено универсальное поведение полной квантовой энтропии, представляющей собой сумму конечной и ультра-фиолетово расходящейся частей, в пределе экстремальности, когда внутренний и внешний горизонты совпадают.

4. Исследовано геометрическое описание голографической дуальности

между пространством-временем, асимптотическим к пространству анти-де Ситтера, и конформной теорией поля, определенной на границе. Изучена проблема типа Дирихле для метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной, принимающей фиксированное значение на границе пространства-времени. С помощью разложения Феффермана-Грема показано, что для полного восстановления метрики в объеме по данным на границе необходимо фиксировать как метрику, представляющую конформный класс метрик на границе, так и вакуумное ожидание для тензора энергии-импульса дуальной конформной теории поля.

5. Предложены обобщения дуального описания. Для пространства-времени с горизонтом предложено, что конформная теория поля определена на горизонте черной дыры или космологическом горизонте. Сформулированы правила дуального соответствия и вычислены корреляционные функции на горизонте. С другой стороны, для пространства-времени Мииковского сформулирована новая дуальность, в которой процессы, происходящие в объеме, описываются в терминах корреляционных функций конформной теории, определенной на границе светового конуса. Показано, что Э-матрица в пространстве Минковского может быть восстановлены в терминах корреляционных функций в конформной теории поля на границе светового конуса.

6. Изучена проблема локализации гравитационного поля на бране, помещенной в 5-мерное пространство-время. Найдены эффективные уравнения гравитационного поля, которые индуцируются на бране, погруженной в эйнштейново пространство-время с отрицательной или нулевой кривизной. Для браны де Ситтера, погруженной в пространство-время с отрицательной и нулевой космологической постоянной, исследовано явление масштабной зависимости типа переносчика гравитационного взаимодействия вдоль браны и соответствующей зависимости гравитационной константы связи (постоянной Ньютона).

7. Показано, что вблизи горизонта черной дыры существует асимптотическая конформная группа симметрии, генерируемая алгеброй Ви-расоро. Найдено представление этой алгебры в терминах 2-мерной конформной теории поля лиувиллевского типа. Показано, что соответствующий центральный заряд пропорционален площади горизонта черной дыры, так что энтропия Бекенштейна-Хокинга может быть интерпретирована в терминах конформной теории поля на горизонте.

8. Предложено конформное описание излучения Хокинга в терминах 2-мерпой конформной теории Лиувилля, описывающей эффективно струну, распространяющуюся вблизи горизонта. Введено понятие "го-ризонтного состояния" по аналогии с граничным состоянием в модели Лиувилля. Предложена новая интерпретация излучения Хокинга как перехода между горизонтным состоянием и состояниями, которые могут распространяться произвольно далеко от горизонта. Показано, что этот переход описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции в

граничной модели Лиувилля. На основе этой интерпретации получена «'-модификация теплового спектра излучения Хокинга.

9. В, так называемом, пределе интенсивного затухания найдено эффективное струнное описание черной дыры в терминах модели Лиувилля. Моды, распространяющиеся на асимптотической бесконечности или вблизи горизонта, представлены вершинными операторами подходящей конформной размерности, тогда как моды вблизи сингулярности представлены оператором пунктуры. Показано, что квази-нормальные моды черной дыры в этом пределе возникают как полюса в соответствующей 3-точечной корреляционной функции в модели Лиувилля.

10. Изучен процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в 2-мерной конформной теории поля в рамках AdS/CFT соответствия. Для черной дыры релаксация в состояние теплового равновесия, после применения малого возбуждения, описывается набором квази-нормальных мод. Продемонстрирована интерпретация этих квази-нормальных мод как полюсов в запаздывающей 2-точечной корреляционной функции для возмущений в конформной теории поля на границе. Этим дана еще одна нетривиальная количественная проверка AdS/CFT соответствия. Показано, что фазовый переход Хокинга-Пейджа в асимптотически AdS черной дыре в терминах дуальной конформной теории поля есть переход от осциллирующего характера релаксации при низких температурах к экспоненциально затухающему поведению при высоких температурах. Обсуждена возможность разрешения информационного парадокса черной дыры в рамках AdS/CFT соответствия.

Все исследования, определившие защищаемые положения, выполнены лично автором или при его непосредственном участии.

Апробация результатов работы. По результатам диссертации были представлены доклады на следующих международных конференциях и совещаниях: "Гравитация и физические поля" (Пущино, 1993), "Quantum Gravity IV" (Москва, 1995), 2я, Зя международная сахаров-ская конференция по физике (Москва, 1996, 2002), "Black Holes : Theory and Mathematical Aspects, I, IV, V" (Банф, 1997, 2005; Хани Хар-бор, 2003), "Quantum Gravity and Strings" (Дубна, 1999), 'Connecting Fundamental Physics and Cosmology" (Кембридж, 1999), международная конференция по физике памяти Фрадкина (Москва, 2000), канадская гравитационная конференция (Гуелф, 2003), 73я международная встреча между физиками и математиками по "(A)dS/CFT correspondence" (Страсбург, 2003), "BW2003 Workshop on Mathematical, Theoretical and Phenomenological Challenges Beyond the Standard Model" (Bp-нячкаБаня, 2003), "Gravity and Extra Dimensions" (Гамбург, 2004), "Classical and Quantum Integrable Systems, II, III" (Дубна, 2005; Протвино, 2006), международная конференция по теоретической физике (Москва, 2005), "The Dark Side of Extra Dimensions" (Банф, 2005), "String Workshop at DESY" (Гамбург, 2006).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им, Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, в Фи-

зическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (Москва), в институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), в теоретическом отделе CERN (Женева), в Кавли институте теоретической физики университета Калифорнии (Санта-Барбара), в Периметр институте теоретической физики (Ватерлоо), в Макс Планк институте гравитационной физики (Потсдам), в Высшей нормальной школе ENS (Лион), в университетах в городах Ватерлоо, Эдмонтон (Канада), Утрехт, Амстердам (Голландия), Ахен, Мюнхен, Гамбург, Иена, Кёльн, Бремен (Германия), Брюссель (Бельгия), Копенгаген (Дания), Хельсинки (Финляндия), Кембридж (Англия), Провиденс, Стони-Брук, Сиракьюз, Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Девис (США).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 46 опубликованных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, 6 приложений и списка литературы. Полный объем составляет 207 страниц, включая 7 рисунков и список цитируемой литературы, насчитывающий 250 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность, научная и практическая ценность работы, сформулированы цели исследований и основные положения, выносимые на защиту диссертации. Во введении дана также краткая информация о структуре и содержании диссертации.

Перейдем к развернутой характеристике задач исследования и полученных результатов.

В первой главе формулируется подход к вычислению так называемой entanglement энтропии черной дыры.

Вычисление геометрической энтропии, UV расходимости. Ситуация, когда информация о части состояний системы отсутствует, в квантовой механике описывается с помощью матрицы плотности. Предположим, что квантовое поле ф, рассмотренное на всем пространстве-времени, находится в чистом основном состоянии, описываемом волновой функцией

зависящей как от видимых (ф+), так и невидимых (ф~) мод. Для внешнего наблюдателя оно будет находится в смешанном состоянии, описываемом матрицей плотности

где суммирование ведется по всем невидимым модам ф_. Энтропия, определяемая этой матрицей плотности,

= {Ф+,Ф-),

(1)

S,

'geotn —

(3)

является геометрической энтропией (или энтропией перепутывания).

Применяя этот подход к черной дыре, мы можем отождествить все невидимые моды (т.е. распространяющиеся внутри черной дыры) как внутренние степени свободы черной дыры, а (3) как их энтропию. Основное состояние черной дыры дается евклидовым функциональным интегралом по всем полям, определенным на многообразии Е', которое есть половина инстантона черной дыры с метрикой

<1э2Е, = /32нд(г) V + д~1(г)йг2 + г21г^О)МЧО\ (4)

где угловая переменная <.р (представляющая евклидово время) лежит в интервале — | < <р < |. Такой выбор соответствует половине периода по евклидовому времени черной дыры. Обратная температура Хокинга /?я определяется как производная метрической функции д[г) на горизонте (д(гд) = 0), /Зн = ¿фь)- Ф+ а,1<;1 0-1 которые входят как аргументы в выражение (1), являются граничными значениями волнового поля на границе полу-инстантона ф+ — ф(<р = |); = ф('-р = — |). Это задает граничные условия в функциональном интеграле.

Матрица плотности р(ф\,ф\), как результат суммирования по ф--модам, определяется функциональным интегралом по полям на полном инстантоне Е (—§7Г < <р < 1тг) за исключением разреза вдоль оси <р —

,1,2

где квантовое поле принимает значения ф+ , соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза. След Тг р получается путем приравнивания значений поля на обоих берегах разреза и вычисления функционального интеграла на полном черно-дырном инстантоне Е, не накладывая никаких дополнительных ограничений. Аналогичным образом, след Тг рп определяется как функциональный интеграл по полям, определенным на Еп, п-кратном накрытии пространства Е. Заметим, что Еп это многообразие с абелевой группой изометрии (генерируемой вектором д^), которая стационарна на поверхности Е. Вблизи ¡С, многообразие Еп выглядит как прямое произведение Еп = Е ® Сп, где Сп это двумерный конус с углом дифицита 5 = 2л"(1 — п). Эта конструкция аналитически продолжается для произвольного (нецелого) п а = Определим теперь статсумму

= (5)

как функциональный интеграл по полям определенным на Еа, а-кратным накрытием Е. Геометрическая энтропия (3) определяется стандартно как

39еош = -Тг(р1пр) = (-ада + 1)1п2(а)|а=ь (6)

Величина /3 играет роль обратной температуры. После вычислений нужно положить р = Рц в (6). Предполагая, что динамика квантового бозонного поля определяется дифференциальным оператором Д, получим, что статсумма (5) дается детерминантом

гцз) = ае! -1/2Д

(7)

этого дифференциального оператора на Еа. Является важным то обстоятельство, что Еа это пространство с конической сингулярностью, т.к. именно коническая сингулярность дает нетривиальный вклад в эффективное действие Р7(а) = — 1п2(а) в виде членов пропорциональных (1 — а). Эти члены дают вклад в энтропию (6).

Вычисляется энтропия скалярного поля минимально взаимодействующего с гравитационном полем и описываемым действием

\ /(8)

-*ша£ 2

Вклад в энергию и энтропию вычисляется по формулам

Е* = 1-д^М,в, А)\0=ря = {рде - 1)Же//(/3, Д)|/?=/?я, (9)

где Д = VцV'í оператор Лапласа; Weff(/3, Д) ~ ^ lndet Др,з одно-петлевое эффективное действие. Логарифм детерминанта в представлении де Витта-Швингера определяется следующим образом

1оёсЫ Д =-/£200 й55-1Тг(е-8Л), (10)

где интеграл по собственному времени в обрезан на нижнем пределе, параметр е осуществляет регуляризацию ультра-фиолетовых расходимос-тей. В случае четырех измерений имеем

расходящаяся часть эффективного действия имеет вид

= -¿4аое"4 + й1е"2 + а2 1о§(7)2)- (12)

Коэффициенты в разложении ядра теплопроводности на коническом пространстве известны в литературе и приведены в Приложении В диссертации. С их помощью вычисляется расходимость в эффективном действии и в энтропии согласно формулы (9). В результате получаем для энтропии

= + ш - - 1п 7- (13)

где Лц = ^í^^1/nfn■', = П111/Г11зп?п?п'-п^ и п', г = 1,2 - пара ортонор-мированных векторов ортогональных поверхности П. = у/^сРв -площадь горизонта.

Перенормировка квантовой энтропии. В общем случае, расходимости эффективного действия

па коническом пространстве представляют собой сумму объемных и поверхностных членов

Объемный член в (14) является стандартным. Он пропорционален а и не дает вклада в энтропию. Поверхностные же члены представляют собой интеграл по сингулярной поверхности Е. Они содержат члены пропорциональные (1 — а) и, следовательно, дают вклад в расходящуюся часть энтропии. Физически, эти расходимости обусловлены корреляцией между видимыми и невидимыми модами, сконцентрированной на поверхности Е, разделяющей две области. Важно для нашего анализа то, что поверхностные и объемные расходимости возникают не независимо, а с определенным взаимным балансом, повторяющим имеющийся баланс в древесном гравитационном действии.

Рассмотрим сначала энтропию, возникающую на древесном уровне. Поскольку квадратичные по кривизне члены с необходимостью генерируются квантовыми поправками, они должны быть с самого начала добавлены в древесное действие с затравочными константами с^д, С2,п, сз,в для того, чтобы впоследствии в них могли быть поглощены одно-петлевые расходимости

1Удг = / у/д^х + ,ВП2 + 02,вя1и + • (15)

Древесную энтропию черной дыры можно получить тем же способом, что и геометрическую энтропию: рассмотреть гравитационное действие на пространстве с конической сингулярностью и применить формулу дифференцирования по дифициту угла. Для древесной энтропии получается выражение

1 ,

¿■(Св, сг,в) = -ттг-^Е - Л, (87Гс1,Вл + 4тгс2,ВИЦ + 8тгс3,д/^у). (16)

Таким образом, классический закон 3 = ^Ле модифицируется из-за присутствия Д2-членов в действии (15). Дополнительные члены зависят как от внутренней, так и от внешней геометрии поверхности горизонта Е. Следует отметить, что (16) в точности совпадает с энтропией вычисленной по методу Уолда.

Главный момент в анализе перенормировки иУ расходимостей энтропии теперь состоит в том, что сумма древесной энтропии и расходящейся части геометрической энтропии,

тет ^-г,гегг

) (17)

принимает форму древесной энтропии 5(Сге„, сг-1Ге„), выраженной через перенормированные значения констант Отеп, с^геп. Они связаны с затравочными значениями констант соотношениями, необходимыми для конечности одно-петлевого действия

\Удт{Св, с,-,в) + \У<ц»{е) = 1Удг(Сгеп, й,геп), (18)

рассмотренного на регулярном пространстве-времени без горизонтов. Таким образом, ультра-фиолетовые расходимости в геометрической энтропии перенормируются стандартной перенормировкой констант связи в древесном гравитационном действии.

Логарифмические поправки к энтропии черной дыры. В общем случае, черная дыра Шварцшильда описывается неэкстремальной (т.е. характеризующейся ненулевой температурой) статической метрикой, которая характеризуется только одним размерным параметром, в качестве которого можно выбрать радиус Шварцшильда г+. Для классической черной дыры в четырехмерном пространстве-времени радиус связан с массой черной дыры Мьн как г+ — 2Мц^- Эйнштейновский член в действии дает стандартную энтропию Бекенштейна-Хокинга. Это дает лидирующий (как функция от г+) вклад в энтропию. Нас же интересует тот вклад в энтропию, который происходит из квантовой (существенно нелокальной) части гравитационного действия. Для черной дыры Шварцшильда, хотя точный вид действия неизвестен, энтропия тем не менее может быть получена, используя размерные и скейлинговые аргументы, которые приводят к результату

5M = 7rä-c1ln(^) , (19)

lpi f1

где Ci есть константа, которую можно назвать "четырех-мерным центральным зарядом", который происходит от интегрированной конформной аномалии (появляющейся для безмассовых полей) /d^XyfgT^ = с\\ (х-1 есть некоторый массовый масштаб. В безмассовой теории с До скалярами, Niß майорановскими фермионами, векторами, N^ß спин-3/2 фермионами, iV2 гравитонами, и Na ранг-2 антисимметричными тензорными полями, коэффициент с\ имеет вид

V 7 231

01 = 90(~^° ~ 4Nl/2 + 13Nl + ~TNz'2 ~ 212N2 ~ 91Na) ' (20) где х есть топологическое число Эйлера, для решения Шварцшильда оно равно 2. В микроканоническом ансамбле энтропия черной дыры может быть вычислена как минус гравитационное действие, вычисленное на евклидовом инстантоне черной дыры. Древесный член в гравитационном действии дает классическую энтропию, пропорциональную площади горизонта (первый член в (19)). Рассмотрим квантовую часть гравитационного действия на инстантоне Шварцшильда, Wi\gs^{r+)\, и произведем масштабную растяжку

Wi\<${r+)\ = W1[a2g^h(^)] = + (/d*xJgT£) Ina .

Выбирая а = г+, получим Wi[g^(r+)] = ci In ^ + const, что соответствует второму члену в (19). Заметим, что вычисление энтропии в рамках подхода с конической сингулярностью приводит к тому же результату (19). Это следует из того факта, что для конического пространства характеристика Эйлера имеет вид х{^а) = ах(Е) + (1 — a)x(^)> ^ стационарная поверхность изометрии (горизонт). Для сферы имеем х(^>2) — 2.

Точное вычисление энтропии проводится также в пределе, когда внутренний и внешний горизонты статической черной дыры сливаются. Это,

так называемый, "экстремальный предел". В этом случае предельная геометрия оказывается универсальной и характеризуется двумя параметрами I и 1\. Предельная геометрия есть прямое произведение 2-мерного гиперболического пространства и 2-мерной сферы ¿>2 (горизонт), при этом I и ¿х есть величина радиуса, соответственно, пространства Н2 и 5г- Классическая энтропия предельной геометрии пропорциональна площади горизонта согласно формулы Бекенштейна-Хокинга.

Отмеченная универсальность означает, что квантовая энтропия 5, черной дыры должна иметь универсальное поведение в экстремальном пределе, задаваемом предельной функцией —> ¿1). То, что пре-

дельная геометрия имеет простой вид, Н2 х означает, что предельная функция 1\) может быть найдена точно. Выражение для перенор-

мированной энтропии имеет вид

где ц есть размерный параметр, А+ = Ак1\ площадь горизонта и последний член дается функцией от отношения к = приведенной в диссертации. Выражение (21) является универсальной предельной функцией энтропии черной дыры в экстремальном пределе. В случае I = 1\ последний член является константой и энтропия принимает простой вид

суммы классической энтропии и логарифмического члена

' <22)

где А+ = 47ГI2 площадь горизонта.

Во второй главе исследуются геометрические аспекты дуального описания пространства анти-де Ситтера в терминах конформной теории поля на границе. Действие Эйнштейна-Гильберта для теории гравитации на многообразии М с границей дМ дается выражением

= ^ ™ - 2Л> - ¡т (23)

где К след второй фундаментальной формы границы и 7 индуцированная метрика на границе.

Согласно Ас13/СГТ соответствию, эффективное действие конформной теории поля дается функционалом гравитационного действия, вычисленного на уравнениях движения. Граничные значения поля при этом интерпретируются как источник для дуального оператора на границе. В случае метрики дуальный оператор есть тензор энергии-импульса конформной теории поля. Таким образом, необходимо решить уравнения Эйнштейна

при заданных значениях метрики на границе. Это типичная проблема Дирихле. В случае метрики получение решения связано с известными сложностями из-за существенной нелинейности уравнений для метрики.

Метрика удовлетворяющая уравнению (24), имеет полюс второго порядка на бесконечности. Поэтому следует рассматривать не индуцированную метрику на бесконечности, а конформный класс метрик. Это достигается путем введения определяющей функции г, т.е. положительной функции внутри многообразия М, которая имеет простой ноль и неисчезающие производные на границе. Тогда метрика на границе определяется как <7(о) = г2С\ом- Очевидно, что любая определяющая функция г' = гехрю допустима. Следовательно, метрика д^ определена с точностью до конформного преобразования. Таким образом, необходимо найти решение уравнений (24) при заданной конформной структуре на бесконечности. Это достигается путем выбора нормальной системы координат, введенной Фефферманом и Грэмом, с радиальной координатой р = г2, определенной так, что р — 0 на границе. Компоненты метрики далее разлагаются по степеням р

(25)

где логарифмический член появляется только, если размерность границы <1 четная. Заметим, что греческие буквы ц, и,.. используются для обозначения <1+ 1-мерных индексов, тогда как латинские буквы г, jt.. для обозначения (¿-мерных индексов. Дополнительный индекс появляется для коэффициентов в разложении по степеням р и обозначает число производных от граничной метрики, необходимых для определения данного коэффициента. Например, д^) содержит две производные, д^ четыре производные и так далее. Таким образом, разложение по р есть также низкоэнергетическое разложение. Асимптотически кривизна метрики С? удовлетворяет условию

ЯкхАв] = -{О^Сх. - С^С^) + О(р) (26)

и, в этом смысле, метрика является асимптотически метрикой анти-де Ситтера.

Метод решения нелинейных уравнений Эйнштейна состоит в разложении по степеням р. Это достигается дифференцированием уравнений по р, полагая затем р = 0. Для четного с? эта процедура обрывается в порядке (1/2 и для ее продолжения необходимо ввести логарифмический член в (25). Из уравнений движения при этом следует, что член бесследовый, Тг д^Ь^ = 0, и ковариантно сохраняется, УЛдоу = 0- Более того, показывается, что пропорционален метрической вариации от функционала, представляющего собой интегрированную конформную аномалию. В любом числе измерений только след И: дщ и ковариантная

йв2 = С1Ш(1х1'с1х1/ = I2 + —д1](х, р)<1х,с1х* д(х, р) = з(о) + • • • + р*,2д{(1) + Н^р4'21оё р + ...,

дивергенция ^7^g<d)ji определяются из уравнений Эйнштейна. Дополнительные данные из дуальной CFT требуются, чтобы итерационная процедура была полностью определена. Как показывается в разделе 2.3, недостающей частью данных является вакуумное ожидание дуального тензора энергии-импульса. В Приложении С собраны результаты для 9{п) i п < d, h((f¡ и результаты для следа и ковариантной дивергенции коэффициента g^¡. Исходя из этой информации можно найти наиболее общую параметризацию для неопределенной из уравнений части в коэффициенте д^ при известных следе и дивергенции.

В размерности d = 2 получаем

0(2 )ij = 2 (~R9(0)ij + tij), (27)

где симметричный тензор t{j удовлетворяет условиям

VHij = 0, Тг t = R. (28)

В размерности d = 4 имеем

та = í(Tr S(2))2 - Tr fl(2)] + \{92{2))а - Тг 3(2) + tijt (29)

где тензор t¡j удовлетворяет условиям

V'í« = 0, TYí = -i[(TY5(2))2-IYff?2)]. (30)

В размерности d = 6

5(б)ч" = ~ 24sij + Ьз • (31)

Структура тензоров и S¡j полностью определяется метрикой <7(o)t¿

и приведена в разделе 2.2 и Приложении С. Тензор Uj удовлетворяет условиям V'íy = 0 и

Trt = -^Ф^^))3 - ^5(2)1^^2) + - Т>$(2)</(4)]. (32)

Отметим, что во всех трех случаях, d 2,4,6, след тензора íy пропорционален голографической конформной аномалии. В нечетной размерности d коэффициент дц^ имеет нулевой след и дивергенцию,

У<дш = 0 , Игрм=0 . (33)

В этом случае положим

g(d.)ij = Uj • (34)

В разделе 2.3 показывается, что в отмеченных размерностях тензор напрямую связан с вакуумным ожиданием тензора эпергии-импульса квантовой теории на границе,

В присутствии источников (в этом случае рассматривается самосогласованная задача о взаимодействии гравитационного поля в балке с полем материи) вакуумное ожидание тензора энергии-импульса теории на границе не сохраняется. Вместо этого он удовлетворяет тождествам Уорда, которые связывают ковариантную дивергенцию тензора энергии-импульса с вакуумным ожиданием операторов взаимодействующих с источниками.

Третья глава посвящена обобщениям дуального описания для пространств, не являющихся асимптотически пространством анти-де Ситтера.

Дуальное конформное описание вблизи горизонта. Предлагаемая в разделе 3.1 дуальная конструкция основана па наблюдении, что вблизи горизонта универсальным образом появляется пространство, асимптотически приближающееся к пространству анти-де Ситтера. Рассмотрим (<1 + 2)-мерную статическую сферически симметричную метрику и преобразуем ее к так называемой оптической метрике

йз2 = -/(г)<Й2 + Г\г)с1г2 + г2<Х = /(') . (36)

где (1Щг[) стандартная метрика на сфере З'1 единичного радиуса, угловые координаты на сфере обозначим как в', г = 1..с1. В терминах новой координаты г — — /г /~1(г)(1г оптическая метрика мол-сет быть записана как

¿з1р1 = + ГЬ%Л, в4р1 = с1г2 + • (37)

В нашем случае метрика (36) описывает пространство-время с невырожденным горизонтом при г = г+, что выражается в том, что метрическая функция /(г) обращается в ноль в точке г = г+, /(г) = ^ (г — г+) + О (г — г+)2. Величина 2л7?я является обратной к температуре Хокинга Тн■ Поверхность горизонта Е есть ¿-мерная сфера радиуса г+.

2г 2г

Вблизи горизонта имеем (г — г+) ~ е , /(г) ~ е . Пространственная часть оптической метрики (37) асимптотически описывается как

¿8%, = ¿г2 + С2еЙ^} , (38)

константа С всегда может быть поглощена переопределением координаты г. Метрика (38), как легко видеть, идентична асимптотической

метрике евклидова пространства анти-де Ситтера. Заметим, что метрика (37) приближается к метрике анти-де Ситтера только асимптотически и уже в следующих членах отличается от стандартной метрики анти-де Ситтера. При этом радиус анти-де Ситтера определяется обратной температурой Хокинга Д/, а поверхность горизонта £ отображается при преобразовании г (г) на границу пространства анти-де Ситтера. Таким образом, естественно ожидать, что дуальное описание в терминах конформной теории поля (СИ1) может быть применимо для пространств с горизонтами. Дуальная СРТ в этом случае будет определена на поверхности горизонта Е.

Рассмотрим теперь скалярное поле на фоне метрики (36),

(□ - т2)ф = 0 . (39)

Это уравнение может быть представлено как полевое уравнение на фоне оптической метрики (37). Для этого введем полевую функцию фир1>

Ф = 1(.г)~*Фо1Л, которая удовлетворяет уравнению □ 0ргФо& = т2(г)форь , где = —д} + + есть волновой оператор, запи-

санный в терминах оптической метрики(37), т2(г) = т 2/ - (?)2(/,г)2 +

з//,тт + г есть эффективный, зависящий от г, массивный член. В пределе вблизи горизонта, г —> оо, пространственная часть волнового оператора идентична оператору Лапласа на асимптотической бесконечности евклидова пространства анти-де Ситтера. Выделим временную зависимость оптического поля ф^ = еш'фи(г,в), так что при г —> оо функция фи удовлетворяет уравнению

ЬшФи = М2фи , М2 = -ы2-(^-)2 . (40)

Это в точности уравнение для скалярных возмущений, появляющееся в контексте Ас13/СРТ соответствия. Необычная особенность уравнения (40) это отрицательный знак для эффективного квадрата массы. Это означает, что возмущение является тахионным.

Асимптотически, фи ~ 2 —» оо и, используя (40), находим

два возможных значения А^ = — | ± ги(3н- В контексте Ас13/СРТ соответствия А^ связаны с конформной размерностью дуального оператора

— (1+Х^ — ^±гш/3я- Таким образом, конформные веса являются комплексными.

Вблизи горизонта моды с А+ и А^ ведут себя одинаково и граничное условие на горизонте (или, эквивалентно, на границе Ас13) должно содержать обе моды,

г Иш^ форЬ = ¥>(*, г, в) = ¿и {<р+{в)е"" + ■ (41)

В терминах оригинального поля ф — с23н ф,п,1 это соответствует присутствию как двигающихся вправо, так и двигающихся влево, мод вблизи

горизонта. В Ас13/СРТ соответствии дуально оператору с

конформной размерностью /г^. Заметим, что операторы и имеют одинаковую размерность НВ разделе 3.1 применяется предписание Виттена и вычисляются 2-точечные функции дуальных операторов в терминах геодезического расстояния 7 на сфере

< ^ >ос (¡фг • < >0< (¡4)^' (42)

что в точности есть 2-точечная функция на сфере Б* для операторов с конформной размерностью Н* и Н~. В разделе 3.1, в частности, отмечается аналогия между полученными корреляционными функциями и Б-матрицей 'тХоофта для частицы, падающей в черную дыру.

Дуальное конформное описание пространства-времени Минков-ского. В (й + 2)-мерном пространстве Минковского с координатами Хо, Х1,..., Х(1+1 и метрикой

йэ2 = -<1X1 + йХ\ + - + ^1+1 (43)

определим световой конус уравнением

С: -Х2+Х2 + ... + Х2+х = 0.

С естественно расщепляет все пространство-время на три области

1. V : - XI + Х\ + ... + Х%+1 > 0, область, лежащая вне светового конуса С;

2. Л- : — Хд 4- X2 + ... 4- Х2+1 < 0, Хо < 0, область, лежащая внутри светового конуса прошлого С_ (Хо < 0);

3. Л+ : — Хд + X2 +... + Х%+1 <0, Хо > 0 , область, лежащая внутри светового конуса будущего С+ (Хо > 0),

В каждой области пространство Минковского может быть расслоено поверхностями постоянной кривизны. В области Л- (ог _Д+) это поверхности заданные уравнением

-Х2 + Х2 + ... + Х2+1 =-е (44)

при постоянном Ь. Временная координата Ь может быть выбрана так, чтобы — оо < 4 < 0 в области Л- и 0 < ( < +оо в области .4+. Как хорошо известно, каждая из этих поверхностей есть евклидово пространство анти-де Ситтера. Метрика в области Л, расслоенной поверхностями (44), принимает вид

¿в2 = -<И2 -I-

= ЛУ + яшЬ2 уйш1, (45)

где йа1Пл+1 это стандартная метрика евклидового пространства анти-де Ситтера На+ х; координаты {у, в) на II¿+1 выбраны таким образом, что у это радиальная координата и {в} образуют набор угловых координат на с1-мерной сфере единичного радиуса с метрикой Аналогично, вне

светового конуса, в области Т>, пространство-время может быть расслоено гиперповерхностями де Ситтера,

-Х2 + Х? + ... + ^2+1 = г2 , (46)

которые для произвольного фиксированного г представляют собой максимально симметричное лоренцево пространство с отрицательной кривизной. Используя г как новую "радиальную" координату найдем, что метрика Минковского при таком расслоении принимает вид

сЬ2 = йг2 + ,

= -¿т* + созЬ2 г с1ш1 (47)

где это метрика на ((1 + 1)-мерном лоренцевом пространстве де

Ситтера, покрытом глобальными координатами (г, в), т играет роль времени в слое и {в} это координаты на ¿-мерной сфере.

Представляет интерес рассмотреть границы данного расслоения. Световой конус прошлого С- имеет границей ¿-мерную сферу S¿ (соответствующую Хо = —оо). В терминах проективных координат £1 = Х1/Х0, ••■! ?<й-1 = А';+1/Хо уравнение сферы принимает вид

€? + ... + Й+1-1 = о ■

Аналогично, граница светового конуса будущего С+ есть сфера . Границей слоя (44) также является с!-мерная сфера. Важно отметить, что, для произвольного I, это та же самая сфера . Действительно, в терминах координат уравнение (44) становится

Й + - + =

что (при произвольном постоянном ¿) становится уравнением для 5(7 в пределе Хо —> — оо. Аналогично, все слои (44) в области Л+ имеют границей сферу которая есть также граница светового конуса будущего С+. Деситтеровские слои, покрывающие пространство-время вне светового конуса, имеют две границы, и Б^. Таким образом, эти две сферы, и 5^", являются единственными границами в данном расслоении пространства Минковского. Это наблюдение позволяет сформулировать следующее утверждение: Вся информация о (/1+2)-мерном пространстве-времени Минковского голографически может быть закодирована в данных, определенных на двух й-сферах Б^ и

Отметим, что группа изометрии 0(с1-|-1,1) пространства Минковского действует на сфере Б^ (или 5$") как группа конформных преобразований. Конформная структура ассоциированная с границей пространства

анти-де Ситтера, таким образом, обнаруживает себя как частное проявление конформной структуры ассоциированной с границей светового конуса.

Дуальные конформные операторы определяются по отношению к асимптотическому (in- и out- ) решению волнового уравнения. Для out-поля определим

rlim}ф{г,т,в) = ¿/;_1°°^л<(г,т) + ^(r,r) O„¿>?(0))(48)

Для in-поля определим аналогичное представление в терминах in-операторов

\\mJ{r,T,e) = ¿ f^y\(xt{r,r) iJD^e)+Xf(r,r) lnOA<(0)). (49)

Функции fx (г, т) , (г, г) образуют базис out-мод, тогда как функции Ха(г>г) > Х\{г, т) образуют базис in-мод на плоскости (logг, г). В области А соответствующие моды получаются путем определенного аналитического продолжения. Конформные операторы, определенные таким образом, ассоциированны с границей светового конуса и не зависят от того, с какой стороны {Л или Т>) эта граница достигается. Параметр А = d/2 + ia играет роль конформного веса дуального оператора.

Корреляционные функции дуальных операторов, определенные в разделе 3.2, не зависят от выбора области и являются внутренним свойством самой границы светового конуса. Показывается, что набор CFT операторов распадается на две группы: операторов 0>, представляющих моды двигающиеся вправо, и операторов 0<, представляющих моды двигающиеся влево. Корреляционные функции операторов из одной группы принимают стандартный конформный вид на d-сфере. Операторы же из разных групп производят контактные члены во взаимных корреляторах, что также совместимо с конформной инвариантностью.

В пространстве Минковского S-матрица взаимодействующих квантовых полей может быть восстановлена из корреляционных функций между дуальными операторами на S~ и S+ в рамках, так называемой, JIC3 конструкции. В разделе 3.2 это иллюстрируется на примере одно-частичной амплитуды

<Ои^_д1(Ор)^_д,(тг-0в)|О> , (50)

d

где Н{А) = ^ i Г(А — |) sin |(d —2А) и каждое А-интегрированне идет от

гоо до j+гоо. Углы вр и вд характеризуют входящий и выходящий импульсы; в импульсном пространстве импульс к полностью определяется его длиной к и углами {Ok} на d-сфере так, что к = к п(в^).

В четвертой главе результаты, полученные во второй главе, применяются для получения гравитационных уравнений, индуцированных на

4-мерной бране, помещенной в 5-мерное пространство-время различной кривизны.

Брана в пространстве анти-де Ситтера. Для того, чтобы регуля-ризовать гравитационную теорию в главе 2 применялось обрезание бесконечности асимптотически Ас13 пространства на расстоянии р = е от границы. Расходимости в действии появляются, когда е стремится к нулю. Перенормированная теория получается после добавления контрчленов, чтобы сократить расходимости. Однако, в определенных ситуациях имеет смысл сохранить инфра-красное обрезание конечным. Это как раз ситуация, когда в пространстве анти-де Ситтера присутствует брана. В этом случае действие не имеет инфра-красных расходимостей и, следовательно, нет необходимости добавлять контр-члены. В обрезанном пространстве индуцированная метрика на границе 7 соответствует нормируемой моде и следует интегрировать по ней в функциональном интеграле,

/ Л7е Л6'ехр(г5[С]) = / ВЪ ехр(гЖскт[7, е}). (51)

В этом случае гравитация на бране становится динамической и теория на бране есть конформная теория поля, взаимодействующая с гравитацией. Рассмотрим пространство-время М с границей дМ. Действие в (51) дается выражением

5[ф-^ -шкгМм^ (Вд -2Л)+1ам

+ ! (Iмх л/с СЬи1к + ¡ш Л У7 СМгу, (52)

где Сшк обозначает Лагранжиан для полей в объеме (балке), тогда как £Ы.ту есть Лагранжиан полей материи на границе. Уравнения

- \ (ВД - 2Л) = 8тгСм т£1к[С] (53)

КцЫ ~ Щ = &пва+1 7] (54)

описывают случай, когда пространство-время в балке заканчивается на бране. Это половина пространства-времени в сценарии Рандалл-Сандрум (ИЗ). В этом сценарии склеиваются два идентичных пространства-времени вдоль браны. Для ИЭ модели получаем снова (54), но с дополнительным фактором 2.

Как было показано в главе 2, зафиксировав метрику д(о) на границе Ас13, метрика в балке дается асимптотическим разложением (25) по радиальной координате вблизи границы. При этом в определенном порядке коэффициент разложения остается неопределенным из уравнений поля. Для его . определения нужно знать ковариантно-сохраняющийся тензор (Т-?т(х)), чей след равен конформной аномалии теории на границе. Тензор (Т^г(х)} есть голографический тензор энергии-импульса дуальной

конформной теории. Поместим брану на достаточно близкое расстояние р — е от границы и воспользуемся разложением (25) как приближением для метрики в балке. Используя результаты главы 3 и точные выражения для коэффициентов разложения (25), подставив (25) в условие сшивки (54), получаем уравнение гравитационного поля, индуцируемое на бране. Для 3-браны получаем

ДуМ (ДМ - Щ) + Ьёе - \

+ ^ т«У2Д[7] - + I ДМЯцЫ ~ ^ 7« Д2Ы

+ I 7у Д*'[7]Ды[7]) = «ГУ[7]>срт + Т^[7]), (55)

где опущены члены С(Д3), и сохранена явная зависимость от параметра обрезания в логарифмическом члене. Таким образом, получаются нелинейные уравнения гравитационного поля индуцированного на бране, помещенной в пространство асимптотическое к Ас18.

Локализация гравитационного поля на деситтеровской бране. Рассмотрим конфигурацию бран, расположенных вдоль оси у : видимой браны при у = уо и двух невидимых бран при у = у\ > ео и у = —у\. Пространство-время между видимой и невидимыми бранами выберем пространством анти-де Ситтера, тогда как при у > у\ и у < — у\ положим и пространством Минковского. Вся конфигурация симметрична относительно видимой браны, так что в дальнейшем рассмотрим только половину пространства-времени справа от видимой браны. Метрику выберем в виде

¿а2 = ¿у2 + е-^Ыд^х^йх» . (56)

Как Ас13, так и пространство Минковского допускают покрытие слоями постоянной кривизны (это обстоятельство обсуждалось в главе 3) Н)ш = ЗкХ2д^, где к = 1 для покрытия деситтеровскими слоями и к — 0 для расслоения с плоскими слоями, А произвольная размерная постоянная. Все величины с волной определены в терминах метрики Пятимерный тензор Риччи есть ноль для пространства Минковского и пропорционален метрике для Ас13, с коэффициентом пропорциональности -4А;2. Без потери общности выберем Л = к > 0. Удобно ввести новую координату г: & = кеА<л\ Для браны помещенной в точке у (г), условие сшивки Израэля связывает натяжение браны со скачком производных скалярного фактора г = [дуА{у)\ = кеАЩдгА{г)}. Нас будут интересовать возмущения вдоль браны. Возмущенная метрика принимает вид

¿в2 = йу2 + (е~2А^д^(х) + у)) йх^йх" , (57)

где гравитационное поля гравитона Ь1Ш{х,у) является бесследовым и удовлетворяет калибровке У,,/«'1" = 0.

5-мерный пропагатор для поперечно-бесследовой части возмущения находится из уравнения

(V2 + 2к2) А^\х, у; у') = G6S(y - yO^'^Vff , (58)

где (?5 есть 5-мерная постоянная Ньютона. Представим решение этого уравнения в виде интеграла Фурье

Л^'(я, У, х', у') = / Afff'iP, х, х')Ар(у, у') (59)

V J

по модам определенным на бране и удовлетворяющим уравнению

х, х') = -p2tf/(p, х, х') . (60)

Определяя пропагатор в импульсном представлении как

Др(у, у') = е~лЫ'2Аp(z, z')e~A^2 е~4Л^ , (61)

найдем, что он удовлетворяет уравнению

[el _ V(z) - (|)2) Ap{z, z>) = - z') (62)

с эффективным потенциалом

V{z)=l^{dzAf + \d2zA. (63)

Для г ф z', уравнение (62) представляет собой аналоговое уравнение Шредингера.

Исследуется распространение сигнала между двумя точками на видимой бране, поэтому положим z = z' = zq. Заметим, однако, что фактическое распространение сигнала при этом идет как вдоль браны, так и через промежуточные точки в балке вне браны. Таким образом проявляется 5-мерный характер пропагатора. Из уравнения (61) получим пропагатор как функцию физического импульса на бране Д(р) = Ар (zo, Zq) e_5/1(zo)_ Многое о характере распространения гравитационного сигнала можно понять из вида импульсного представления пропагатора. Пропагатор для поперечно-бесследовых мод гравитона на пространстве де Ситтера радиуса Rq, будучи записанным через q2 = — р2, принимает вид

= <б4>

Следовательно, для эффективного пропагатора на бране, существование полюса по q2 означает присутствие 4-мерного гравитона на видимой бране, при этом вычет в полюсе дает величину эффективной 4-мерной константы Ньютона. Полюс при отрицательных значениях q2

означает присутствие гравитоно-подобного резонанса. С другой стороны, эффективный пропагатор, спадающий как 1/д, означает, что гравитация на бране имеет 5-мерный характер. Также, поскольку всегда имеются Калуца-Клейновские моды, пропагатор имеет в общем случае мнимую часть которая связана с потоком гравитационного излучения в балк. Наконец, величина эффективной космологической постоянной может быть получена как обратное значение пропагатора в пределе нулевого импульса.

Рассматривается предел, когда радиус второй браны равен нулю и область с пространством Минковского пропадает. В этом пределе получаем конфигурацию Рандалл-Сандрум (ЯБ) с деситтеровской браной, помещенной в АёЭ пространство. Напомним, что в оригинальном ИЗ сценарии брана является плоской. Таким образом, получаем обобщение ВБ модели на случай кривой браны,

- - - 2) 1п(Н • (б5)

Согласно нашему предписанию, индуцированная постоянная Ньютона получается как значение вычета гравитонного пропагатора в полюсе при д2 = 2Щ2. Следовательно, для По к 1, получаем

Слг 2в5к (1 + (Док)'2 Ы(110к)) . (66)

Значение индуцированной космологической постоянной Л также получается из пропагатора, Л = _2Л(д=о) • Вычисляя предел ? -+ 0 в (65), находим для Щ к 1, что

Л ~ (1 - (Док)'2 Ь(ЛоА)) • (67)

Отметим, что Ас13/СРТ соответствие при фиксированном ультрафиолетовом обрезании применимо к данной ситуации и поправки к лидирующему вкладу в пропагатор имеют интерпретацию как возникающие вследствие взаимодействия с конформной материей на пространстве де Ситтера. В частности, логарифмический член в (66), (67) оказывается связанным с конформной аномалией.

Особенностью гравитонного пропагатора в случае конфигурации из двух бран де Ситтера является то, что полюс имеющийся в случае плоской браны и сигнализирующий о восстановлении 5-мерной гравитации на ультра-больших расстояниях, в случае кривых бран пропадает. Вместо него появляется полюс при д2 = 2Лд2. Это соответствует 4-мерному гравитону, который теперь переносит гравитационное взаимодействие на больших масштабах вдоль браны. Интенсивность этого взаимодействия, постоянная Ньютона, вычисляется как вычет в полюсе. Вычисления упрощаются в пределе большого радиуса: Яок, Щк 1. В этом режиме пропагатор имеет не только полюс, но и богатую резонансную структуру. В действительности, имеется два резонанса. Для

констант взаимодействия, соответственно, получаем

"Г- ж (=)' ■ т - Ш' 2-tG'<2+«2> ■ <68>

где а = . Второй резонанс аналогичен резонансу в модели ГРС. Константа связи G]ys2 ~ 2kG$ (при малых а) типична для браны погруженной в пространство анти-де Ситтера. В пределе плоской браны, когда До стремится к бесконечности (при а = ^ фиксированном), первый резонанс пропадает, тогда как второй становится резонансом модели ГРС. Как видно из приведенного анализа, 4-мерная гравитация на бране переносится несколькими гравитоно-подобными состояниями: полюсом и двумя резонансами. Каждый из "гравитонов" действует на существенно разных масштабах. В разделе 4.2.6 обсуждается зависимость соответствующей гравитационной константы связи от масштаба и возможная роль этой зависимости в объяснении малости космологической постоянной.

В пятой главе исследуется двумерная конформная симметрия вблизи горизонта черной дыры.

Двумерная конформная симметрия вблизи горизонта. В теории квантовой гравитации, имеющей дело с флуктуирующей геометрией пространства-времени, часто приходится формулировать определенные граничные условия, чтобы ограничить класс возможных метрик. Одно из возможных условий это ограничить поведение метрики на бесконечности. В зависимости от физической ситуации это может быть, скажем, асимптотически плоские или асимптотически AdS метрики. Однако, асимптотическое поведение метрики не полностью фиксирует топологию пространства-времени. Это требует наложения дополнительных ограничений на метрику. Присутствие горизонта черной дыры есть такая топологическая особенность пространства-времени, которая играет роль дополнительного условия на флуктуирующую пространственно-временную метрику. Имеются различные определения горизонта. Некоторые из них требуют знания глобального поведения пространства-времени. Более подходящим для формулировки граничного условия является, так называемый, видимый горизонт (apparent horizon), который может быть определен локально как граница ловушечной поверхности.

Рассмотрим 4-мерную сферически-симметричную метрику

ds2 = 7аЬ(х0, x1)dxadxb + r2(x°, xx)(de2 + sin2 6d<f>2), (69)

ГДе 'Jab^X^yX х) играет роль метрики на эффективном 2-мерном пространстве-времени М2 с координатами ж0, ж1; радиус г(х°, х1) является скалярной функцией на М2. Для этого класса метрик видимый горизонт может быть определен как кривая Н на М2, такая, что градиент радиуса г(а;°, а;1)

4abVarS7br\n - 0 (70)

равен нулю на И. Это условие инвариантно относительно конформных преобразований 70& —>■ е2р~/аь, где р есть регулярная на "Н функция. Таким образом, 2-мерная метрика 7аь определяется на горизонте условием (70) • только с точностью до регулярного конформного фактора. Удобно использовать конформную систему координат (х+,х~), в которой эффективная 2-мерная метрика принимает вид уаь(гп, гх)йгас1гъ = —е2а(х+'1-)(1х+(1х-. Локально можно выбрать координаты так, что уравнение кривой И становится = 0. Существуют диффеоморфизмы, генерируемые вектором £+ = (£+ = = /(ж+),0,0), которые каса-

тельны к "Н и, следовательно, сохраняют 7{. Соответствующие генераторы = етх+д+ образуют алгебру Вирасоро

[С.С] = *(п»-«)С+т (71)

по отношению к скобке Ли, [£1,62] = (&Й —

В разделе 5.1 найдена конкретная реализация алгебры Вирасоро вблизи горизонта в терминах тензора энергии-импульса эффективной 2-мерной теории поля. Предлагаемая эффективная 2-мерная теория получается как сферически-симметричная редукция 4-мерного действия Эйнштейна-Гильберта и описывается действием

= )2 + 1ф2Я+^) , (72)

где Ф = г<3-1/2 и Я есть 2-мерная кривизна. Это действие принимает вид 2-мерной дилатонной гравитации (радиус г играет роль дилатонного поля). Теория для поля Ф может быть приведено к виду аналогичному известной модели Лиувилля

= - !м> + Ьфьф1г + им) (73)

путем применения преобразования 7аь = ф = где

Фл = гдС?_1/'2есть классическое значение поля Ф на горизонте, т.е. радиус горизонта г/1 измеренный в планковских единицах длины. Классическое значение поля ф равно фь = д_1Ф/,. Поскольку нас интересует область вблизи горизонта, где 2-мерная метрика 7аь определяется с точностью до конформного фактора, мы получаем эквивалентную систему. В разделе 5.1 показывается, что теория скалярного поля ф, описываемого действием (73), является конформной в бесконечно малой окрестности горизонта. Конформные преобразования генерируются зарядами

т= , (74)

где

т++ = ±(д1ф + дгф)2-±дФн(дг(дг + д1)ф-±-(дг + д1)ф] . (75)

Заряды

образуют алгебру Вирасоро

г{Ьк, 1п} = (к- п)Ьп+к + ^Нк2 + (77)

с центральным зарядом с = 3/тд2Ф2. Энтропия Бекенштейна-Хокиига имеет вид 5дя = тгФд- Поэтому, получаем, что центральный заряд в алгебре Вирасоро (77)

с = Зд25вя (78)

пропорционален энтропии черной дыры. Значение заряда Ьо определяется вкладом нулевой моды п = и оказывается независящим от величины Ь. Заметим также, что К зависит от параметра д как 1/д2. Применяя теперь формулу Карди 5 = для энтропии состояний в

конформной теории поля находим

ЗсопI = тгФл = (79)

что в точности воспроизводит выражение Бекеиштейна-Хокипга. В разделе 5,1 приводится обобщение этого результата на размерности 6, > 4 и А = 3.

Описание излучения Хокинга в терминах корреляторов в модели Лиувилля. Анализируя эффект Хокинга для струны рассматривается струна, динамика которой вблизи горизонта дыры Шварцшильда с радиусом горизонта г+ = а описывается моделью Лиувилля

А=Ь +^:/а) +/«> +^/2а)* >

где к есть внешняя кривизна границы дТ> мировой поверхности струны. В качестве области Т> может быть также взять верхняя полу-плоскость. В струнной картине поле Лиувилля Е может быть интерпретировано как радиальная координата струны вблизи горизонта, рассмотренном в оптической метрике. При этом пренебрежем другими координатами, описывающими струну. Для того, чтобы описать хокинговское рождение струн необходимо рассматривать класс струнных конфигураций, когда концы струны еще находятся на горизонте, а сама струна - в балке вне горизонта. Для того, чтобы моделировать такие конфигурации, рассмотрим времени-подобную границу (аналог кирпичной стенки 'тХоофта), расположенную на произвольно малом расстоянии возле фактического горизонта. Будем рассматривать струнные конфигурации, которые оканчиваются на этой границе (последняя, таким образом, ведет себя как Б-брана). Это объясняет включение в (80) вклада границы с граничным членом, полностью фиксированным требованием конформной инвариантности и соответствием с полевым пределом а' —0. Величина д в (80)

связана с фоновым зарядом <5 = q/ \/а* = Ь + Ъ = л/с?/(2а) в модели Лиувилля. Этот заряд определяет центральный заряд С£ = 1 + 6<52 в данной теории. Напомним, что а есть размер черной дыры. Поэтому, в ведущем порядке по а' центральный заряд с/, оказывается пропорциональным площади горизонта. Первичные операторы в теории Лиувилля это экспоненциальные операторы

Уи(х) = (81)

с конформным весом Ды = (¿2/4 + а'и>2/4.

Рассмотрим сначала семиклассический предел модели (80). Это предел, когда а' —>■ 0 (Ь —> 0). В этом пределе можно ограничиться приближением, когда учитывается только динамика нулевой моды пренебрегая осцилляторными модами. В этом приближении первичное состояние |уш > представлено волновой функцией фи^о), которая удовлетворяет уравнению

Щ + = 0 • (82)

Это уравнение (положив Атгц = есть в точности уравнение для волновой функции в пространстве ^индлера. Другое важное наблюдение состоит в том, что волновая функция граничного состояния, которая в рассмотренном приближении есть просто экспонента от граничного Лагранжиана, описывает состояние, определенное в диссертации как гори-зонтпное состояние. Важность горизонтного состояния состоит в том, что излучение Хокинга в семиклассическом приближении может быть интерпретировано как переход между горизонтным состоянием и распространяющимися модами.

Рассмотрим теперь 1- и 2-точечные функции для операторов (81). 1-точечная функция

< Уи{х) >= ^ (83)

может быть интерпретирована как матричный элемент между первичным физическим состоянием > (созданным оператором (81)) и граничным состоянием. Вблизи горизонта отождествим граничное состояние в модели (80) с горизонтным состоянием \Н >, чья семиклассичес-кая волновая функция есть фц(г) — с~г>1"е'/2а. Таким образом, имеем 11(и),цн) =< Н\ии > и, используя известное в литературе выражение для корреляционной функции, найденное Замолодчиковым, Замолодчи-ковым и Фатеевым, получим

и(ш) = £/.„,(и)е*аш° + иет(и)е-21а"°, (84)

где "/(х) = Г(а:)/Г(1 — х) и я определяется константами связи в балке

и на границе, этЬ2 в = ^¡¡Бт(^). Величины {7аьз(^) и иет(ш) имеют естественную интерпретацию как амплитуды поглощения и испускания замкнутой струны. Вычисляя вероятность испускания получим а'-модификацию планковского спектра

|си«)1а = т^тН I^-з?-'

¿ни етн — 1±н е^н — 1

где Тц = 1/(4па) это температура Хокиига и Тд — 2а/(тга') это "дуальная" температура. Эта формула есть предсказание для модификации формулы Хокинга вследствие конечного размера струны. Очевидно, в пределе а' —> 0 воспроизводится стандартное выражение для излучения Хокинга.

2-точечную функцию рассмотрим в пределе, когда обе точки находятся далеко от границы. В этом случае эффектами границы можно пренебречь. Корреляционная функция

< Уш(х)Уш(х') >= (86)

связана с амплитудой отражения в модели Лиувилля

--(*?(—)) г(_2;аш)г(_^у (87)

что есть а'-деформация семиклассического выражения для амплитуды отражения от радиального потенциала в пространстве Риндлера. Отметим имеющуюся связь квантовых амплитуд поглощения, испускания (84) и отражения (87), £/аЪз(ш) = 5[.(сс|){/ет(—ы).

Таким образом, мы продемонстрировали, что физика вблизи горизонта, амплитуды испускания (поглощения) и отражения в пространстве Риндлера, имеют конформное описание в рамках модели Лиувилля. Отклонение пространства-времени от Риндлера может быть учтено, рассматривая возмущения конформной теории Лиувилля (80) оператором вида е22!а с определенной константой связи.

В шестой главе рассматривается процесс релаксации в 3-мерной черной дыре ВТ2 и в дуальной конформной теории поля.

Процесс релаксации в черной дыре: квази-нормалъные моды и их конформная интерпретация. Имеются основания считать, что в определенном режиме имеется соответствие между семиклассическими гравитационными явлениями и квантовой теорией поля в плоском пространстве. Эта дуальность рассматривалась в главе 2. Целью в этой главе является поиск, в рамках сформулированной дуальности, соответствия между квази-нормальными модами черных дыр в пространстве анти-де

Ситтера ii линейной теорией отклика в конформной теории поля при конечной температурой. Количественный тест соответствия между квазинормальными модами и линейным откликом в конформной теорией поля проводится для случая 2+1 мерной черной дыры BTZ. Черная дыра BTZ описывается метрикой

ds2 = — sinh2 /1 (r+dt — r-d<j>)2 + dp2 + cosh2 ц (—r_di + r+d(f>)2 . (88)

Угловая координата ф имеет период 2тг, г+ (г_) есть радиус внешнего (внутреннего) горизонтов. Метрика (88) представляет собой (2+1)-мерное пространство анти-де Ситтера, факторизованное по определенной группе изометрий. На границе анти-де Ситтера конформная симметрия генерируется двумя копиями алгебры Вирасоро, действующими отдельно в секторах мод, двигающихся вправо, и мод, двигающихся влево. Соответственно, конформная теория поля расщепляется на два сектора, находящихся в тепловом равновесии с температурами Ti = (г+ — г_)/27г , Тд = (г+ + г_)/27г. Центральный заряд с = 6k = ^ 1.

Согласно ACIS3/CFT2 соответствию, каждому полю спина s, распространяющемуся в пространстве AdS3 соответствует оператор О в дуальной конформной теории поля, который характеризуется конформными весами (/i£, кц), определенными как ha + h^ = А , hp — hi ~ ±s , где Д определяется в терминах массы т данного поля. В частности, имеем Д = 1 + VT+'m2 для скалярного поля, и Д = 1 + \т\ для фермионного и векторного полей.

Таким образом, возмущению черной дыры полем с параметрами (s, т) в дуальной двумерной теории соответствует возмущение оператором О с конформными весами (hp,hi). В линейной теории отклика следует изучить поведение запаздывающей корреляционной функции

Vvei(x,x') = i0(t - t') {[0(х),0{х')])Т = id(t - t')V(x,x') , (89)

где T>(x, х') — Т>+(х, х') — Т>-(х, х') есть коммутатор, вычисленный в равновесном каноническом ансамбле. Для конформной теории поля при нулевой температуре 2-точечная функция определяется, с точностью до нормировки, из конформной инвариантности. При конечной температуре Т нужно рассмотреть бесконечную сумму по образам для того, чтобы корреляционная функция была периодической по мнимому времени с периодом 1 /Т. Результат суммирования в двух измерениях был определен Карди и зависит только от конформных размерностей (hi, hp) оператора возмущения. Имеем (а:± = t ± а),

V (х) = (тгГл)2^

+ i ' sinh2'"® (пТцх~ — ie) sinh2'u (ttTlx+ — ie)

и аналогичное выражение для 2?_(ж) заменив б —+ —е. Преобразование Фурье от коммутатора V(x) вычисляется, используя технику интегрирования по контору. Результат имеет вид

V(k+, к.) сх |Г (hL + Г (hn + г^) |2, (90)

где р± = ^(и! к). Эта функция имеет полюса как в верхней, так и в нижней полуплоскостях на ш-плоскости. Полюса, лежащие в нижней полуплоскости, тождественны полюсам в запаздывающей корреляционной функции (89). Ограничивая полюса функции (90) на нижнюю полуплоскость, получим два набора полюсов

— к- АтТ^п + Ъь) , шл = -к- 4тггТп(п + /гл) . (91)

Здесь и ниже п принимает целые значения (п = 0,1,2,...). Этот набор полюсов характеризует распад возмущения на стороне конформной теории поля.

Полученные значения для полюсов следует сравнить со значениями квазинормальных мод для возмущений различного спина. Скалярные возмущения (в = 0) описываются волновым уравнением

(V2 - ш2) Ф = 0 . (92)

Выберем анзатц Ф = е-,(*+*++*-а:~)Я(ц) , где х+ = г+Ь — г-ф, х~ = г+ф — г_£, и (к+ ± к-){г+ г_) = и> =р к, ш и к есть, соответственно, энергия и угловой момент данного возмущения. Заменив координату г = 1апЬ2 /г, получим уравнение гипергеометрического типа

.в2 я „ .ад

к2 к2_

Я = О . (93)

4г 4 4(1

Решение, которое описывает входящую на горизонте волну, имеет вид Я{г) = га(1 - *)АГ(а„ Ь„ с„ г) , (94)

где константы определены в диссертации. Условие обращения в ноль потока на бесконечности дает набор комплексных частот (квазинормальных мод), в точности совпадающий с набором полюсов (91). В разделе 6.3 приводится также вычисление квазинормальных мод для фермионов (в = 1/2) и векторных полей (в = 1). Во всех случаях найдено полное согласие со значениями полюсов в запаздывающей корреляционной функции в дуальной конформной теории поля.

Релаксация в конформной теории поля дуальной Л(1Б3: фазовый переход Хокинга-Пейджа. Согласно предписанию данному Виттеном, каждое АаБ пространство, которое имеет границей данное 2-мерное многообразие, должно давать вклад в корреляционную функцию и, следовательно, нужно суммировать вклады всех таких пространств. В данном случае 2-многообразие есть тор (г, а), где ¡3 и Ь соответствующие периоды. Имеется ЗЬ{2, Z) семейство Ас13з пространств, которые имеют границей данный тор. Рассмотрим, однако, два наиболее "типичных" пространства: черную дыру ВТ2 и тепловой ЛсШ, пространство апти-де Ситтера заполненное тепловой радиацией. Эти пространства доминируют в пределе к = оо. Оба пространства могут быть представлены как

факторизация 3-мерного гиперболического пространства Я3 с линейным элементом

йэ2 = ^ (¿гйг + ¿у2) , у > 0 . (95)

В обоих случаях границей 3-мерного пространства является тор с периодами Ь и /3. Эти два пространства (тепловой Асй и черная дыра BTZ) Т-дуальны друг другу и получаются путем перестановки координат г •<-> <г на торе.

Корреляционная функция дуальных операторов содержит сумму двух вкладов

<С>Кш)0(и/,гй'))тогш = е~8™{0 0')тг + (96)

где ¿втг = > ^Ааэ = —кл-^ есть евклидово действие черной дыры

BTZ и теплового АёЭз.

В зависимости от отношения £//3, один из членов в (90) доминирует. При большой температуре (£//3 >> 1) черная дыра доминирует, тогда как при малых температурах (Ь//.3 << 1) тепловой Ас18 доминирует. Переход между двумя режимами происходит при /3 = Ь. В терминах гравитационной физики это соответствует фазовому переходу Хокинга-Пейджа. Это резкий фазовый переход в пределе к = оо, что, как раз, соответствует случаю, когда действительно гравитационное описание. В этом пределе черная дыра ВТЕ дает единственный доминирующий вклад при Ь > Р, тогда как тепловой Ас13 дает доминирующий вклад при

ь<р.

Два члена в (96), как функции от времени, показывают существенно разное поведение. BTZ вклад дает коррелятор, который экспоненциально затухает со временем. В режиме Ь//3 < 1 тепловой Ас13 дает главный вклад в корреляционную функцию, которая оказывается периодической по í с периодом Ь. Таким образом, показывается, что Фазовый переход Хокинга-Пейджа, есть переход между осциллирующим поведением при низких температурах и экспоненциальным затуханием при высоких температурах.

В приложения вынесен вспомогательный материал.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ и выводы

1. Получена общая структура ультра-фиолетовых расходимостей в квантовой, энтропии черной дыры и показано, что перенормировка энтропии достигается стандартной перенормировкой констант связи.

2. Выявлено соотношение и продемонстрирована на двумерном примере точная эквивалентность различных подходов к определению энтропии черной дыры.

3. Изучены логарифмические поправки к энтропии черной дыры. В рамках соответствия между черной дырой и струной предложена связь логарифмически зависящих от массы членов в энтропии и саблидирую-щих членов в выражении для числа состояний квантовой струны.

4. Исследовано геометрическое описание голографической дуальности между пространством-временем анти-де Ситтера и конформной теорией поля, определенной на границе. Показано, что для полного восстановления метрики в объеме по данным на границе необходимо фиксировать как метрику, представляющую конформный класс метрик на границе, так и вакуумное ожидание для тензора энергии-импульса дуальной конформной теории поля.

5. Предложено обобщение дуального описания для пространства-времени с горизонтом. Для пространства-времени Минковского сформулирована новая дуальность, в которой процессы, происходящие в объеме, описываются в терминах корреляционных функций конформной теории, определенной на границе светового конуса.

6. Изучена проблема локализации и получены уравнения гравитационного поля на бране, помещенной в 5-мерное пространство-время. Для браны де Ситтера исследовано явление масштабной зависимости типа переносчика гравитационного взаимодействия вдоль браны и соответствующей зависимости постоянной Ньютона.

7. Показано, что вблизи горизонта черной дыры существует асимптотическая конформная группа симметрии, генерируемая алгеброй Ви-расоро. Найдено представление этой алгебры в терминах 2-мерной конформной теории поля лиувиллевского типа.

8. Предложено конформное описание излучения Хокинга в терминах корреляторов в 2-мерной конформной теории Лиувилля, описывающей эффективно струну, распространяющуюся вблизи горизонта.

9. В пределе интенсивного затухания найдено эффективное струнное описание черной дыры в терминах модели Лиувилля. Показано, что квази-нормальные моды черной дыры в этом пределе возникают как полюса в соответствующей 3-точечной корреляционной функции в модели Лиувилля.

10. Изучен процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в 2-мерной конформной теории поля в рамках AdS/CFT соответствия. Продемонстрировано полное соответствие между квази-нормальными модами и полюсами в запаздывающей 2-точечной корреляционной функции для возмущений в конформной теории поля на границе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНЫ В ПУБЛИКАЦИЯХ

[1] S. N. Solodukhin, "Horizon state, Hawking radiation and boundary Li-ouville model," Phys. Rev. Lett. 92, 061302 (2004).

[2] D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Conformal field theory interpretation of black hole quasi-normal modes," Phys. Rev. Lett. 88, 151301 (2002).

[3] S. N. Solodukhin, "The conical singularity and quantum corrections to entropy of black hole," Phys. Rev. D 51, 609 (1995).

[4] S. N. Solodukhin, "On 'nongeometric' contribution to the entropy of black hole due to quantum corrections," Phys. Rev. D 51, 618 (1995).

[5] S. N. Solodukhin, "One loop renormalization of black hole entropy due to nonminimally coupled matter," Phys. Rev. D 52, 7046 (1995).

[6] S. N. Solodukhin, "Black hole entropy: statistical mechanics agrees thermodynamics," Phys. Rev. D 54, 3900 (1996).

[7] D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On one loop renormalization of black hole entropy," Phys. Lett. В 365, 51 (1996).

[8] D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On the description of the Rie-mannian geometry in the presence of conical defects," Phys. Rev. D 52, 2133 (1995).

[9] R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Conical geometry and quantum entropy of a charged Kerr black hole," Phys. Rev. D 54, 3932 (1996).

[10] S.N. Solodukhin, "Brick wall and quantum statistical entropy of black hole," in Proceedings of 2nd International Sakharov Conference On Physics, pages 324-327, World Scientific, 1997; arXiv:hep-th/9607166.

[11] R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Quantum scalar field on three-dimensional (BTZ) black hole instanton: Heat kernel, effective action and thermodynamics," Phys. Rev. D 55, 3622 (1997).

[12] S. N. Solodukhin, "Non-minimal coupling and quantum entropy of black hole," Phys. Rev. D 56, 4968 (1997).

[13] S. N. Solodukhin, "Entropy of Schwarzschild black hole and string-black hole correspondence," Phys. Rev. D 57, 2410 (1998).

[14] R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Universality of quantum entropy for extreme black holes," Nucl. Phys. В 523, 293 (1998).

[15] V. P. Frolov, W. Israel and S. N. Solodukhin, "On One-loop Quantum Corrections to the Thermodynamics of Charged Black Holes," Phys. Rev. D 54, 2732 (1996).

[16] Yu. N. Obukhov, S. N. Solodukhin and E. W. Mielke, "Coupling of lineal Poincare gauge gravity to scalar fields," Class. Quant. Grav. 11, 3069 (1994).

[17] S. N. Solodukhin, "Two-dimensional quantum corrected eternal black hole," Phys. Rev. D 53, 824 (1996).

[18] S. N. Solodukhin, "Two-dimensional exactly solvable models of gravity," in Proceedings of International Workshop on Geometry and Integrable Models, pages 96-117, World Scientific, 1996.

[19] S. N. Solodukhin, "Black hole solution in 2-D gravity with torsion," Письма в ЖЭТФ 57, 317 (1993).

[20] S. N. Solodukhin, "On higher derivative gravity in two-dimensions," Phys. Rev. D 51, 591 (1995).

[21] S. N. Solodukhin, "Exact solution of 2-D Poincare gravity coupled to fermion matter," Phys. Rev. D 51, 603 (1995).

[22] S. N. Solodukhin, "On exact integrability of 2-D Poincare gravity," Mod. Phys. Lett. A 9, 2817 (1994).

[23] S. N. Solodukhin, "Cosmological solutions in 2-D Poincare gravity," Int. J. Mod. Phys. D 3, 269 (1994).

[24] S. N. Solodukhin, "Topological 2-D Riemann-Cartan-Weyl gravity," Class. Quant. Grav. 10, 1011 (1993).

[25] D. I. Kazakov and S. N. Solodukhin, "On Quantum deformation of the Schwarzschild solution," Nucl. Phys. B 429, 153 (1994).

[26] S. N. Solodukhin, "Two-dimensional black hole with torsion," Phys. Lett. B 319, 87 (1993).

[27] Yu. N. Obukhov and S. N. Solodukhin, "Dynamical Gravity And Conformai And Lorentz Anomalies In Two-Dimensions," Class. Quant. Grav. 7, 2045 (1990).

[28] S. N. Solodukhin, "How to make the gravitational action on non-compact space finite," Phys. Rev. D 62, 044016 (2000).

[29] K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Quantum effective action from the AdS/CFT correspondence," Phys. Lett. B 472, 316 (2000).

[30] S. de Haro, S. N. Solodukhin and K. Skenderis, "Holographic reconstruction of spacetime and renormalization in the AdS/CFT correspondence," Commun. Math. Phys. 217, 595 (2001).

[31] I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Horizon holography," Phys. Rev. D 64, 124023 (2001).

[32] J. de Boer and S. N. Solodukhin, "A holographic reduction of Minkowski space-time," Nucl. Phys. B 665, 545 (2003).

[33] S. N. Solodukhin, "Reconstructing Minkowski space-time," in 73rd Meeting Between Theoretical Physicists And Mathematicians: (A)Ds-CFT Correspondence, pages 123-163, European Mathematical Society, 2005; arXiv:hep-th/0405252.

[34] S. N. Solodukhin, "Holography with gravitational Chern-Simons," Phys. Rev. D 74, 024015 (2006).

[35] S. N. Solodukhin, "Holographic description of gravitational anomalies," J. High Energy Phys. 07, 003 (2006).

[36] S. N. Solodukhin, "Restoring unitarity in BTZ black hole," Phys. Rev. D 71, 064006 (2005).

[37] S. N. Solodukhin, "Can black hole relax unitarily?," in Vrnjacka Banja 2003, Mathematical, theoretical and phenomenological challenges beyond the standard model, pages 109-121, World Scientific, 2005; arXiv:hep-th/0406130.

[38] D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Relaxation in conformai field theory, Hawking-Page transition, and quasinormal/normal modes," Phys. Rev. D 67, 104026 (2003).

[39] S. N. Solodukhin, "Conformai description of horizon's states," Phys. Lett. B 454, 213 (1999).

[40] К. Krasnov and S. N. Solodukhin, "Effective stringy description of Schwarzschild black holes," Adv. Theor. Math. Phys. 8, 421 (2004).

[41] S. de Наго, K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Gravity in warped com-pactifications and the holographic stress tensor," Class. Quant. Grav. 18, 3171 (2001).

[42] M. K. Parikh and S. N. Solodukhin, "De Sitter brane gravity: From close-up to panorama," Phys. Lett. В 503, 384 (2001).

[43] S. N. Solodukhin, "Black hole production via quantum tunneling," in 3rd International Sakharov Conference on Physics, pages 829-834, World Scientific, 2003; arXiv:hep-th/0212001.

[44] S. N. Solodukhin, "Classical and quantum cross-section for black hole production in particle collisions," Phys. Lett. В 533, 153 (2002).

[45] С. H. Солодухин, "Двумерная калибровочная аномалия как кривизна," Ядерная Физика 50, 1192 (1989).

[46] S. N. Solodukhin, "Boundary conditions and the entropy bound," Phys. Rev. D 63, 044002 (2001).

[47] S. N. Solodukhin, "Planckian AdS(2) x S(2) space is an exact solution of the semiclassical Einstein equations," Phys. Lett. В 448, 209 (1999).

[48] С. H. Солодухин, "Струны и антисимметричные тензорные поля," Вестник Московского Университета (физика) 29, 78 (1988).

[49] Ю. Н. Обухов, С. Н. Солодухин, "Редукция уравнения Дирака и его связь с уравнением Иваненко-Ландау-Келера," Теоретическая и математическая физика 94, 276 (1993).

[50] S. N. Solodukhin, "Correlation functions of boundary field theory from bulk Green's functions and phases in the boundary theory," Nucl. Phys. В 539, 403 (1999).

[51] S. N. Solodukhin, "Exact solution for a quantum field with delta-like interaction," Nucl. Phys. В 541, 461 (1999).

Содержание i

1 Термодинамика черных дыр: квантовые аспекты, перенормировка и двумерные модели

1.1 Квантовые поправки к энтропии черной

1.1.1 Введение.

1.1.2 Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия

1.1.3 Вычисление геометрической энтропии.

1.2 Перенормировка квантовой энтропии

1.2.1 Формулировка результата

1.2.2 Доказательство в случае неминимальной связи.

1.2.3 Соотношение геоме1рической энтропии и термодинамической энтропии черной дыры.

1.3 Вычисление энтропии в методе 'тХоофта: двумерный пример

1.4 Ло1арифмические поправки к энтропии черной дыры.

1.4.1 Энтропия черной дыры Шварцшильда, соответствие между черной дырой и струной

1.4.2 Универсальность квантовой энтропии в экстремальном пределе

1.5 Геометрия и термодинамика квантовокорректированной черной дыры в двумерных моделях.

1 5.1 RST модель.

1.5.2 Сферически симметричная редукция 4-морной теории Эйнштейна-Максвелла.

2 Дуальность между пространством-временем анти-де Ситтера и конформной теорией поля

2.1 Идея голографической дуальности.

2.2 Асимптотическое решение уравнений Эйнштейна.

2.3 Расходимости, контр-члены и голографический тензор энергии-импульса

2.4 Взаимодействие с материей, тождества

Уорда.

2.4.1 Граничная проблема Дирихле для скалярного поля в фиксированном гравитационном поле

2 4.2 Гравитирующее скалярное поле, тождества Уорда.

3 Обобщения дуального описания

3.1 Дуальное конформное описание вблизи горизонта.

3.1.1 Формулировка правил дуального описания на горизонте

3.1.2 Общий вид метрики и асимпютические симметрии.

3.1.3 Восстановление скалярного поля в объеме.

3.1.4 Восстановление метрики.

3.2 Дуальное конформное описание пространства-времени Минков-ского.

3.2 1 Расслоение пространства Минковского поверхностями постоянной кривизны.

3.2.2 Скалярное поле в пространстве Минковского.

3.2.3 Функции Грина и S-матрица в пространстве Минковскою

4 Гравитационные эффекты на плоских и кривых мембранах

4.1 Эффективные уравнения гравитационного поля локализованного на мембране

4.2 Локализация гравитационного поля на деситтеровской браие . . .118 4.2.1 Введение.

4.2.2 Формулировка модели.

4.2 3 Пропагатор.

4.2.4 Плоские браны.

4.2 5 Браны де Ситтера.

4.2 6 Зависимость гравитации на бране от маснпаба.

5 Описание черной дыры в терминах конформной теории поля

5.1 Конформная симметрия вблизи горизонта: алгебра Вирасоро и энтропия

5.1.1 Введение.

5 1.2 Граничное условие горизонта и 2-мерная конформная группа симметрии

5.1 3 Эшропия Бекенштейна-Хокинга и ценхральный заряд в ал1 ебре Вирасоро.

5.1.4 Обобщение на случай d > 4 и d = 3.

5.2 Конформное описание излучения Хокинга в терминах корреляторов в модели

Лиувилля.

5.3 Квази-нормальные моды как полюса

З-ючечной функции в модели Лиувилля.

5.3.1 Волновое уравнение и Римановы поверхности.

5.3.2 Предел инхенсивного затухания.

5 3.3 Эффективная конформная теория.

6 Процесс релаксации и квантовая унитарность в черных дырах и дуальной конформной теории поля

6.1 Введение.

6.2 Линейная теория релаксации: 2-точечная корреляционная функция

6.3 Процесс релаксации в черной дыре: квази-нормальные моды и их конформная интерпретация

6.4 Релаксация в конечном объеме и анализ проблемы унитарности.

6.4.1 Релаксация в 2-мерной конформной теории поля.

6.4.2 Релаксация в конформная теории поля дуальной ACIS3: фазовый переход Хокинга-Пейджа.

6.4.3 Унитарность в черной дыре: режим конечных значений к

А: Тензоры кривизны на коническом пространстве Еа

В: Разложение ядра теплопроводности для оператора (-□ + на коническом пространстве Еа

С: Коэффициенты асимптотическою разложения метрики.

D: Расходящиеся члены действия.

Е: Свойства ассоциированных функций Лежандра.

F: 3-точечная функция в модели Лиувилля.

Современная эпоха представляет собой интересный этап в развитии фундаментальной физики. Он отмечен появившимися, а также ожидаемыми в ближайшее время, новыми экспериментальными данными, представляющими информацию о юм, как природа организована на совершенно различных масштабах от размера Вселенной до фундаментального размера элементарных частиц Это, прежде всего, новые космологические данные, фактически подтвердившие во многих деталях предсказания инфляционной модели. Сюда же относится и замечательное открытие ненулевой, хотя и удивительно малой по величине, космологической постоянной Это открытие вновь поставило научное сообщество перед вопросом, правильно ли мы понимаем те фундаментальные процессы, которые лежат в основе наблюдаемых явлений. Тот факт, что теоретические предсказания "из первых принципов" для космологической постоянной на много порядков отличаются от того, чю на самом деле наблюдается, по-видимому означает, что существующие теоретические модели и наше понимание того, чю они описывают, далеко не совершенны. Однако, уже сейчас ясно, что описание физики на самом большом, космологическом, масштабе невозможно без вовлечения физики на самым малых, возможно планковских, масштабах. В ближайшие годы гравитационные эксперименты на LIGO и LISA, где уже достигнута фантастическая точность, должны подтвердить одно из наиболее ожидаемых предсказаний теории гравитации Эйнштейна о существовании волн геометрии, т.е. гравитационных волн С другой стороны, ускоритель нового поколения LHC, который, как ожидается, начнет действовать в конце 2007 года в CERN позволит сделать первые шаги в изучении физики элементарных частиц за пределами Стандартной Модели.

Все это говорит о том, что в ближайшее время увеличится роль формальных теоретических концепций и их стыковок с феноменологией. В этих условиях важно охватить свежим непредвзятым взглядом существующие теории, претендующие на формулировку единого представления об известных фундаментальных явлениях. Наиболее гармонично и математически непротиворечиво единая точка зрения на фундаментальные процессы сформулирована в рамках теории струн. Однако, эта теория не дает четких и однозначных объяснений возникновения наблюдаемой ускоренно расширяющейся Вселенной. Более юго, само сущесхвование такого основополагающего способа описания квантовой эволюции как 5-матрица является далеко не очевидным в такой Вселенной, современная фаза расширения которой может быть приближена геомехрией пространства-времени де Ситтера. Основной особенностью этого пространства является существование космоло1 ического горизонта и отсутствие асимптотических областей, где асимптотические квантовые состояния взаимодействующих объектов могли бы быть определены.

Новая парадигма, которая была выдвинута в последнее десятилетие для решения широкого круга проблем, это голография (holography). Она представляет собой совершенно новый способ соединения в одно целое гравитации, фундаментальных взаимодействий и квантовой механики. Наиболее успешной реализацией голографической идеи является AdS/CFT соответствие, которое представляет собой инструмент для объяснения гравитационных явлений в терминах унитарной конформной теории поля. Это соответствие первоначально было сформулировано для пространства-времени с отрицательной кривизной. Важной проблемой является обобщение этого соответствия на случай реалис-шчных, космологически интересных, пространств.

Черные дыры являются объектами, идеально подходящими для проверки непротиворечивости существующих фундаментальных физических концепций. Само существование черных дыр, как оно видится нам сейчас, является результатом сложных процессов, вовлекающих сильное гравитационное взаимодействие и типично квантовое поведение. Интересна история изучения черных дыр. Открытые в 1916 юду Карлом Шварцшильдом, находящимся в то время вместе с немецкой армией в России, как решение нелинейных уравнений предложенных Эйннпейном, они долгое время рассматривались скорее как своеобразный курьез, чем нечто реальное. Систематическое изучение черных дыр инициировалось в конце 50-х Уилером, который, собственно, и предложил название "черные дыры". В середине 60-х Вернер Израэль доказал ряд важных теорем, показывающих, что черная дыра является объектом с очень немногими параметрами. Только масса, электрический заряд и, возможно, угловой момент -вот все, что может характеризовать черную дыру. Рассматривая возможность возникновения черной дыры в результате гравитационного коллапса, получается, что многочисленные детали, характеризующие коллапсирующий объект, теряются после того, как образуется черная дыра. Следующий важный шаг был сделан Якобом Бекешптейном в 1972 году, который, рассматривая различные мысленные эксперименты, приводящие к нарушению 2-го закона термодинамики в присутствии черной дыры, пришел к выводу, что единственный способ сохранить 2-ой закон это предположить, что сама черная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади ее поверхности. Это предположение было вскоре подтверждено Стивеном Хокинюм, открывшим явление квантового испарения черной дыры. Согласно Хокингу, черная дыра, как хорошо разогретая печка, излучает частицы распределенные по тепловому закону. Соответствующая температура, и шестная теперь как температура Хокинга, была вычислена, что позволило определить энтропию излучающего объекта, те. черной дыры. Энтропия оказалась такой, как предсказывал Бекенштейн. Точный коэффициент пропорциональности между энтропией и площадью поверхности черной дыры был, таким образом, определен. Сам факт, что решение классических уравнений поля, чем, собственно, и является черная дыра, может иметь какую-то энтропию, удивителен. Учитывая, что эта энтропия, по сухи, огромна и превышает эшропию каких-либо ранее известных в природе обьектов, очевидно, что проблема объяснения этой энтропии оказывается ключевой. Более юго, как было вскоре высказано Хокишом, черные дыры, по-видимому, нарушают квантовую унитарность. Действительно, кажеюя возможным, что чистое состояние может перейти в смешанное состояние теплового газа путем коллапса в промежуточное состояние черной дыры, которая впоследствии полностью испаряется и оставляет после себя только тепловой газ. Очевидно, что такой процесс, если он реализуется, противоречил бы основным принципам квантовой механики, в которой временная эволюция описывается унитарным оператором.

Таким образом, имеются, по крайней мере, две фундаментальные проблемы в физике черных дыр:

• Объяснить энтропию черной дыры через число возможных состояний, дать соответствующее квантово-механическое описание состояний черной дыры.

• Решить проблему квантовой унитарности в процессах с участием черных дыр.

Исследование этого Kpyia вопросов является центральным в настоящей диссертации. Следует отметить, что в последние годы достигну! определенный прогресс в решении проблемы энтронии черной дыры. В теории струн было предложено соответствующее вычисление числа состояний определенного класса экстремальных и около-экстремальных черных дыр. Важную роль в этом вычислении играют конформная симметрия и известные методы подсчета вырождения в конформной теории поля. Однако, применение этих методов, как и само существование конформной симметрии, в случае, скажем, незаряженной черной дыры является далеко не очевидным. В данной диссертации показывается, что конформная симметрия является тем универсальным элементом, который, в конечном счете, объясняет многие свойства черных дыр Ключевым в подходе к решению отмеченных проблем является идея существования дуального (голографического) описания гравитационных явлений в терминах дуальной, вообще говоря Hei равитационной, теории. В зависимости от тою, где дуальная теория определена, на бесконечности или же вблизи горизонта, де1али голографического описания MoiyT различаться. В обоих случаях, однако, конформная симметрия, как показывается в данной диссертации, играет важную роль.

Диссертация организована следующим образом. В первой главе формулируется подход к вычислению, так называемой, entanglement энтропии черной дыры. Он заключается в вычислении функционального инте[рала по квантовым возбуждениям полей материи и гравитационною поля методом конической сингулярности. Вычисляются UV расходимости в энтропии, выясняется их общая структура и показывается, что эти расходимосш убираю 1ся путем стандартной перенормировки эффективного действия. Entanglement энтропия, таким образом, имеет естественную интерпретацию как квантовой поправки к классической (или древесной) энтропии Бекенштейна-Хокинга. Обсуждаются также UV конечные поправки к энтропии. Особое внимание уделяется поправкам, которые логарифмически зависят от площади гориюнта черной дыры. На примере двумерных моделей исследуется самосогласованный подход, в котором учитывается обратное влияние излучения Хокинга на геометрию черной дыры и на модификацию выражений для вычисления энтропии.

Во второй главе исследуются геометрические аспекты дуального описания пространства анти-де Ситтера в терминах конформной теории поля на границе. Рассматривается проблема Дирихле для гравитационного поля (метрики), описываемого уравнениями Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и принимающего фиксированное значение на границе (граничная метрика). Анализ проводится с использованием разложения Феффермана-Грема для метрики в объеме. Показывается, что метрика в объеме может быть полностью восстановлена по данным на границе: граничной метрике и вакуумному ожиданию тензора энер1 ии-импульса в дуальной конформной теории поля. Исследуются расходимости в гравитационном действии и их перенормировка путем добавления контр-членов, определенных на границе.

Третья глава посвящена обобщениям дуального описания для пространств, не являющихся асимптотически пространством анти-де Ситтера. Рассмотрено асимптотически плоское пространство-время, для которого дуальное описание сформулировано на границе светового конуса. В случае, когда пространство-время имеет юризонт, показано, что описание в терминах конформной теории поля естественно возникает на горизонте (horizon holography).

Результаты, полученные во второй главе, применяются в четвертой главе для получения уравнений гравитационного поля, индуцированного на 4-мерной бране, помещенной в 5-мерное пространство-время различной кривизны. Особый акцент делается на изучение искривленных бран, в частности, бран с геометрией пространства де Ситтера. Исследуется локализация гравитационного поля на такой бране и обсуждается обнаруженный эффект масштабной зависимости гравитационного взаимодействия на бране. Обсуждаегся возможная роль этого эффекта в объяснении малой космологической посгоянной.

В пятой главе исследуется двумерная конформная симметрия вблизи горизонта черной дыры. Вычисляется центральный заряд в соответствующей алгебре Вирасоро и показывается, чю он определяется площадью поверхности горизонт. Предлагается конформное описание различных явлений в черной дыре в терминах корреляторов в [раничной модели Лиувилля. Рождение частиц Хокинга, в частноеIи, в этой картине описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции. Описание в терминах модели Лиувилля обобщается на случай режима сильного затухания. В этом случае показывается, что квазинормальные моды черной дыры описываются как полюса в 3-точечной функции в модели Лиувилля.

В шестой главе рассматривается процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в дуальной конформной теории поля. Для черной дыры релаксация управляется бесконечным набором комплексных квазинормальных мод, ко-юрые вычисляются для полей различного спина. В дуальной CFT этот процесс описывается запаздывающей 2-точечной корреляционной функцией дуальных операторов. Показывается, что бесконечный набор полюсов в импульсном представлении корреляционной функции в теории на границе в точности совпадает с набором квазинормальных мод черной дыры в балке Исследуется вопрос о временной зависимости корреляционной функции при конечной температуре и в конечном объеме. Показывается, что имеет место фазовый переход от релаксации осциллирующего характера при низкой температуре к экспоненциально затухающему типу релаксации при высокой температуре. Это соответствует фазовому переходу Хокиша-Пейджа в гравитационной теории.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоре1ической физики им. Н Н. Боголюбова ОИЯИ, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (Москва), в институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), в теоретическом отделе CERN (Женева), в Кавли институте теоретической физики университета Калифорнии (Санта-Барбара), в Периметр институте теоретической физики (Ватерлоо), в Макс Планк институте гравитационной фишки (Потсдам), в Высшей нормальной школе ENS (Лион), в университетах в городах Ватерлоо, Эдмонтон (Канада), Утрехт, Амстердам (Голландия), Ахен, Мюнхен, Гамбург, Йена, Кельн, Бремен (Германия), Брюссель (Бельгия), Копенгаген (Дания), Хельсинки (Финляндия), Кембридж (Англия), Провиденс, Стони-Брук, Сиракюз, Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Девис (США). По теме диссертации опубликовано 51 работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные резулыаты.

1. Развит математический аппарат для вычисления квантовых поправок к энтропии черной дыры. Получена общая структура ультра-фиолетовых расходимостей в квантовой энтропии черной дыры и показано, что неренормировка энтропии достигается стандартной перенормировкой констант связи (постоянной Ньютона и констант перед квадратичными по кривизне членами в действии).

2. Выявлено соотношение и продемонстрирована на двумерном примере точная эквивалентность различных подходов к определению энтропии черной дыры: как энтропии ашосферы квантовых возбуждений вне горизонта черной дыры: как entanglement энтропии, которая есть мера корреляции между квантами поля вне и внутри горизонта, и как термодинамической энтропии, определенной в терминах стагисгической суммы по ансамблю 1еометрий (с коническую сингулярностью на юризонте) при конечной температуре.

3. Изучены лоырифмические поправки к энтропии черной дыры. В рамках соответствия между черной дырой и струной предложена связь логарифмически зависящих от массы черной дыры членов в энтропии и саблидирующих членов в выражении для числа состояний квантовой струны. Для заряженной черной дыры изучено универсальное поведение полной квантовой энтропии, представляющей собой сумму конечной и ультра-фиолетово расходящейся частей, в пределе экстремальности, когда внутренний и внешний горизонты совпадают. Для двумерных "игрушечных моделей" исследована роль квантовых поправок в модификации геометрии черной дыры и ее термодинамики. Для модели, являющейся сферически-симметричной редукцией 4-мерной гравитации, получены поправки к энтропии и энергии заряженной черной дыры Рейсснера-Нордстрема

4. Исследовано i еометрическое описание i олографической дуальности между пространством-временем, асимптотическим к пространству анти-де Ситтера, и конформной теорией поля, определенной на границе. Изучена проблема типа Дирихле для метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной. С помощью разложения Феффермана-Грема показано, что для полного восстановления метрики в объеме по данным на границе необходимо фиксировать как метрику, представляющую конформный класс метрик на границе, гак и вакуумное ожидание для тензора энергии-импульса дуальной конформной теории поля. Получены явные выражения для тензора энергии-импульса конформной теории поля в терминах коэффициентов асимптотического разложения метрики. Изучены расходимости в гравитационном действии на пространстве, асимптотическом к пространству анти-де Сигтера, и получены точные выражения для геометрических контр-членов, которые следует добавить к действию, чтобы сократить расходимости.

5 Предложены обобщения дуального описания. Для пространства-времени с горизонтом предложено, что конформная теория поля определена на горизонте черной дыры или космологическом горизонте. Сформулированы правила дуального соответствия и вычислены корреляционные функции на горизонте. С другой стороны, для пространства-времени Минковского сформулирована новая дуальнойь, в которой процессы, происходящие в объеме, описываются в терминах корреляционных функций конформной теории, определенной на границе светового конуса. Сформулированы правила для вычисления корреляционных функций конформных операторов, соответствующих плоским волновым решениям уравнений поля в объеме. Показано, что S-матрица в пространстве Минковского может быть восстановлены в терминах корреляционных функций в конформной теории ноля на границе светово! о конуса.

6. Изучена проблема локализации гравитационного поля на бране, помещенной в 5-мерное пространсхво-время. Найдены эффективные уравнения фавихационного поля, которые индуцируются на бране, погруженной в эйнштейново пространство-время с отрицательной космологической постоянной. Для браны де Ситтера, погруженной в пространство-время с отрицательной и нулевой кривизной, исследовано явление масштабной зависимости типа переносчика гравитационного взаимодействия вдоль браны и соответствующей зависимости гравитационной константы связи (постоянной Ньютона).

7. Показано, что вблизи горизонта черной дыры существует асимптотическая конформная группа симметрии, генерируемая алгеброй Вирасоро. Найдено представление этой алгебры в терминах 2-мерной конформной теории поля лиувиллевского типа. Показано, что соответствующий центральный заряд пропорционален энтропии площади горизонта черной дыры, так что энхропия Бекенштейна-Хокинга может быть интерпрехирована в терминах конформной теории поля на горизонте.

8. Предложено конформное описание излучения Хокинга в терминах 2-мерной конформной теории Лиувилля, описывающей, эффективно, струну, распространяющуюся вблизи горизонта. Введено понятие " горизонт ного состояния" по аналоги с граничным состоянием в модели Лиувилля. Предложена новая интерпретация излучения Хокинга как перехода между горизонтным состоянием и состояниями, которые могут распространяться произвольно далеко от горизонта. Показано, что эгог переход описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции в граничной модели Лиувилля. На основе этой ин-терпретции получена «'-модификация теплового спектра излучения Хокинга. С другой сшроны, 2-точечная функция в возмущенной модели Лиувилля описывает прохождение частиц Хокинга через потенциальный радиальный барьер. При этом предлагается, что полюса в 2-точечной функции описывают квазинормальные моды черной дыры.

9. В, так называемом, пределе интенсивного затухания найдено эффективное струнное описание черной дыры в терминах модели Лиувилля. Моды, распространяющиеся на асимптотической бесконечности или вблизи горизонта представлены вершинными операторами подходящей конформной размерности, тогда как моды вблизи сишулярности представлены оператором нунктуры. Показано, что квази-нормальные моды черной дыры в этом пределе возникают как полюса в соответствующей 3-точечной корреляционной функции в модели Лиувилля.

10. Изучен процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в 2-мерной конформной теории поля в рамках AdS/CFT соответствия. Для черной дыры релаксация в состояние тепловою равновесия, после применения малого возбуждения, описывается набором квази-нормальных мод. Продемонстрирована интерпретация этих квази-нормальных мод как полюсов в запаздывающей 2-точечной корреляционной функции для возмущений в конформной теории поля на границе. Этим дана еще одна нетривиальная количественная проверка AdS/CFT соответствия. Показано, что i равитационный фазовый переход Хокинга-Пейджа в терминах дуальной конформной теории поля есть переход от осциллирующего характера релаксации при низких температурах к экспоненциально затухающему поведению при высоких температурах. Обсуждена возможность разрешения информационного парадокса черной дыры в рамках AdS/CFT соответствия.

В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность моим соавторам Д Бирмингему, Я. Дебуру, В. Израэлю, Д.И. Казакову, К. Краснову, М. Парикху, К. Скендересу, Ю. Обухову, Р. Манну, И. Саксу, В.П. Фролову и Д.В. Фурсаеву за плодотворное сотрудничество. Я также благодарен А. Бар-винскому, Г. 'тХоофту, Р. Майерсу и В. Муханову за внимание к моей работе и много полезных обсуждений.

1. J. D. Bekenstein, "Black Holes And The Second Law," Lett. Nuovo Cim. 4, 737 (1972).

2. J. D. Bekenstein, "Black Holes And Entropy," Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).

3. J. D. Beken&tein, "Generalized Second Law Of Thermodynamics In Black Hole Physics," Phys. Rev. D 9, 3292 (1974).

4. S. W. Hawking, "Particle Creation By Black Holes," Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975).

5. G. 't Hooft, "On The Quantum Structure Of A Black Hole," Nucl. Phys. В 256, 727 (1985).

6. M. Srednicki, "Entropy and area," Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993) arXiv:hep-th/9303048].

7. L. Bombelli, R. K. Koul, J. H. Lee and R. D. Sorkin, "A Quantum Source Of Entropy For Black Holes," Phys. Rev. D 34, 373 (1986).

8. V. P. Frolov and I. Novikov, "Dynamical origin of the entropy of a black hole," Phys. Rev. D 48, 4545 (1993).

9. C. G. Callan and F. Wilczek, "On geometric entropy," Phys. Lett. В 333, 55 (1994).

10. D. Kabat and M. J. Strassler, "A Comment on entropy and area," Phys. Lett. В 329, 46 (1994).

11. L. Susskind and J. Uglum, "Black hole entropy in canonical quantum gravity and superstring theory," Phys,. Rev. D 50, 2700 (1994).

12. J. D. Bekenstein and V. F. Mukhanov, "Spectroscopy of the quantum black hole," Phys. Lett. В 360, 7 (1995).

13. Т. Jacobson, "Black hole entropy and induced gravity," arXiv:gr-qc/9404039.

14. D. V. Fursaev, "Black hole thermodynamics and renormalization," Mod. Phys. Lett. A 10, 649 (1995).

15. S. P. de Alwis and N. Ohta, "On the entropy of quantum fields in black hole backgrounds," arXiv:hep-th/9412027.

16. G. Cognola, L. Van/o and S. Zerbini, "One loop quantum corrections to the entropy for a four-dimensional eternal black hole," Class. Quant. Grav. 12, 1927 (1995).

17. A. 0. Barvinsky, V. P. Frolov and A. I. Zelnikov, "Wave function of a black hole and the dynamical origin of entropy," Phys. Rev. D 51, 1741 (1995).

18. M. S. Volkov and D. V. Galtsov, "Nonabelian Einstein Yang-Mills Black Holes," JETP Lett. 50 (1989) 346 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50 (1989) 312].

19. M. S Volkov and D. V. Galtsov, "Black Holes In Einstein Yang-Mills Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 51 (1990) 747 Yad. Fiz. 51 (1990) 1171].

20. T. Jacobson, "A Note on Hartle-Hawking vacua," Phys. Rev. D 50, 6031 (1994).

21. D. V. Fursaev, "Spectral geometry and one loop divergences on manifolds with conical singularities," Phys. Lett. В 334, 53 (1994).

22. J. S. Dowker, "Heat kernels on curved cones," Class. Quant. Grav. 11, L137 (1994).

23. S. Carlip and C. Teitelboim, "The Off-shell black hole," Class. Quant. Grav. 12, 1699 (1995).

24. M. Banados, C. Teitelboim and J. Zanelli, "Black hole entropy and the dimensional continuation of the Gauss-Bonnet theorem," Phys. Rev. Lett. 72, 957 (1994).

25. R. M. Wald, "Black hole entropy in the Noether charge," Phys. Rev. D 48, 3427 (1993).

26. V. Iyer and R. M. Wald, "Some properties of Noether charge and a proposal for dynamical black hole entropy," Phys. Rev. D 50, 846 (1994).

27. T. Jacobson, G. Kang and R. C. Myers, "On black hole entropy," Phys. Rev. D 49, 6587 (1994).

28. V. Iyer and R. M. Wald, "A Comparison of Noether charge and Euclidean methods for computing the entropy of stationary black holes," Phys. Rev. D 52, 4430 (1995).

29. J. G. Demers, R. Lafrance and R. C. Myers, "Black hole entropy without brick walls," Phys. Rev. D 52, 2245 (1995).

30. J. S. Dowker and G. Kennedy, "Finite Temperature And Boundary Effects In Static Space-Times," J Phys. A 11, 895 (1978).

31. B. Allen and A. C. Ottewill, "Effects Of Curvature Couplings For Quantum Fields On Cosmic String Space-Times," Phys. Rev. D 42, 2669 (1990).

32. D. Kabat, "Black hole entropy and entropy of entanglement," Nucl. Phys. В 453, 281 (1995).

33. R. C. Myers, "Black hole entropy in two-dimensions," Phys. Rev. D 50, 6412 (1994) arXiv:hep-th/9405162.

34. N.D.Birrell, P.C.W.Davies, Quantum Fields m Curved Space, (Cambridge University Press, Cambridge, 1982).

35. А. О Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "The Generalized Schwinger-Dewitt Technique In Gauge Theories And Quantum Gravity," Phys. Rept. 119 (1985) 1.

36. A. 0. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Beyond The Schwinger-Dewitt Technique: Converting Loops Into Trees And In-In Currents," Nucl. Phys. В 282 (1987) 163.

37. A. 0. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Covariant Perturbation Theory. 2: Second Order In The Curvature. General Algorithms," Nucl. Phys. В 333 (1990) 471.

38. A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, "Covariant Perturbation Theory. 3: Spectral Representations Of The Third Order Form-Factors," Nucl. Phys. В 333 (1990) 512.

39. S. M. Chri&tensen and M. J. Duff, "Axial And Conformal Anomalies For Arbitrary Spin In Gravity And Supergravity," Phys. Lett. В 76, 571 (1978).

40. M. J. Duff, "Twenty years of the Weyl anomaly," Class. Quant. Grav. 11,1387 (1994).

41. Antoniadis, E. Gava and K. S. Narain, "Moduli corrections to gravitational couplings from string loops," Phys. Lett. В 283, 209 (1992).

42. M. Green, J. Schwarz and E. Witten, Superstrmg Theory, vol.1 к 2, Cambridge University Press. (1987).

43. D. V. Fursaev, "Temperature and entropy of a quantum black hole and confor-mal anomaly," Phys. Rev. D 51, 5352 (1995).

44. О. B. Zaslavsky, "Role of a boundary in the relationship between black hole temperature and the trace anomaly," Phys. Rev. D 53, 4691 (1996).

45. I. Kani and C. Vafa, "Asymptotic Mass Degeneracies In Conformal Field Theories," Commun. Math. Phys. 130, 529 (1990).

46. G. T. Horowitz and J. Polchinski, "A correspondence principle for black holes and strings," Phys. Rev. D 55, 6189 (1997).

47. О. B. Zaslavsky, "Geometry of nonextreme black holes near the extreme state," Phys Rev. D 56, 2188 (1997).

48. V. P. Frolov, D. V. Fursaev and A. I. Zelnikov, "Statistical origin of black hole entropy in induced gravity," Nucl. Phys. В 486, 339 (1997).

49. V. P. Frolov and D. V. Fursaev, "Mechanism of generation of black hole entropy in Sakharov's induced gravity," Phys Rev. D 56, 2212 (1997).

50. V. P. Frolov and D. V. Fursaev, "Statistical mechanics on axially-symmetric space-times with the Killing hori/on and entropy of rotating black holes in induced gravity," Phys. Rev. D 61, 024007 (2000).

51. R. Camporesi, "Harmonic Analysis And Propagators On Homogeneous Spaces," Phys. Rept. 196 (1990) 1.

52. V. P. Frolov and G. A. Vilkovisky, "Spherically Symmetric Collapse In Quantum Gravity," Phys. Lett. В 106 (1981) 307.

53. J. A. Harvey and A. Strominger, "Quantum aspects of black holes," arXiv:hep-th/9209055.

54. S. B. Giddings, "Toy models for black hole evaporation," arXiv:hep-th/9209113.

55. G. Mandal, A. M. Sengupta and S. R. Wadia, "Classical solutions of two-dimensional string theory," Mod. Phys. Lett. A 6, 1685 (1991).

56. E. Witten, "On string theory and black holes," Phys. Rev. D 44, 314 (1991).

57. C. G. Callan, S. B. Giddings, J. A. Harvey and A. Strominger, "Evanescent black holes," Phys. Rev. D 45, 1005 (1992).

58. Т. Banks, A. Dabholkar, М. R. Douglas and M. O'Loughlin, "Are horned particles the climax of Hawking evaporation?," Phys. Rev. D 45, 3607 (1992).

59. M. 0. Katanaev and I. V. Volovich, "Two-Dimensional Gravity With Dynamical Torsion And Strings," Annals Phys. 197, 1 (1990).

60. M. 0. Katanaev and I. V. Volovich, "String Model With Dynamical Geometry And Torsion," Phys. Lett. В 175, 413 (1986).

61. M. 0. Katanaev, "Complete Integrability Of Two-Dimensional Gravity With Dynamical Torsion," J. Math. Phys. 31, 882 (1990).

62. J. G. Russo, L. Susskind and L. Thorlacius, "The Endpoint of Hawking radiation," Phys. Rev. D 46, 3444 (1992).

63. J. G. Rus&o, L. Susskind and L. Thorlacius, "Cosmic censorship in two-dimensional gravity," Phys Rev. D 47, 533 (1993).

64. D. A. Lowe, "Semiclassical approach to black hole evaporation," Phys. Rev. D 47, 2446 (1993).

65. R Dijkgraaf, H. L. Verlinde and E. P. Verlinde, "String propagation in a black hole geometry," Nucl. Phys. В 371, 269 (1992).

66. В. Birnir, S. B. Giddings, J. A. Harvey and A. Strominger, "Quantum black holes," Phys. Rev. D 46, 638 (1992).

67. S. W. Hawking, "Evaporation of two-dimensional black holes," Phys. Rev. Lett. 69, 406 (1992).

68. S. N. Solodukhin, "The Conical singularity and quantum corrections to entropy of black hole," Phys. Rev. D 51, 609 (1995).

69. S. N. Solodukhin, "On 'Nongeometric' contribution to the entropy of black hole due to quantum corrections," Phys. Rev. D 51, 618 (1995).

70. D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On one loop renormalization of black hole entropy," Phys. Lett. В 365, 51 (1996).

71. D. V. Fursaev and S. N. Solodukhin, "On the description of the Riemannian geometry in the presence of conical defects," Phys. Rev. D 52, 2133 (1995).

72. S. N. Solodukhin, "One loop renormalization of black hole entropy due to non-minimally coupled matter," Phys. Rev. D 52, 7046 (1995).

73. S. N. Solodukhin, "Black hole entropy: statistical mechanics agrees thermodynamics," Phys. Rev. D 54, 3900 (1996).

74. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Conical geometry and quantum entropy of a charged Kerr black hole," Phys. Rev. D 54, 3932 (1996).

75. S. N. Solodukhin, "Brick wall and quantum statistical entropy of black hole," in Proceedings of 2nd International Sakharov Conference On Physics, pages 324-327, World Scientific, 1997; arXiv:hep-th/9607166.

76. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Quantum scalar field on three-dimensional (BTZ) black hole instanton: Heat kernel, effective action and thermodynamics," Phys. Rev. D 55, 3622 (1997).

77. S. N. Solodukhin, "Non-minimal coupling and quantum entropy of black hole," Phys Rev. D 56, 4968 (1997).

78. S. N. Solodukhin, "Entropy of Schwarzschild black hole and string-black hole correspondence," Phys. Rev. D 57, 2410 (1998).

79. R. B. Mann and S. N. Solodukhin, "Universality of quantum entropy for extreme black holes," Nucl. Phys. В 523, 293 (1998).

80. V. P. Frolov, W. Israel and S. N. Solodukhin, "On One-loop Quantum Corrections to the Thermodynamics of Charged Black Holes," Phys. Rev. D 54, 2732 (1996).

81. Yu. N. Obukhov, S. N. Solodukhin and E. W. Mielke, "Coupling of lineal Poincare gauge gravity to scalar fields," Class. Quant. Grav. 11, 3069 (1994).

82. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional quantum corrected eternal black hole," Phys. Rev. D 53, 824 (1996).

83. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional exactly solvable models of gravity," in Proceedings of International Workshop on Geometry and Integrable Models, pages 96-117, World Scientific, 1996.

84. S. N. Solodukhin, "Black hole solution in 2-D gravity with torsion," Письма в ЖЭТФ 57, 317 (1993).

85. S. N. Solodukhin, "On higher derivative gravity in two-dimensions," Phys. Rev. D 51, 591 (1995).

86. S. N. Solodukhin, "Exact solution of 2-D Poincare gravity coupled to fermion matter," Phys. Rev. D 51, 603 (1995).

87. S. N. Solodukhin, "On exact integrability of 2-D Poincare gravity," Mod. Phys. Lett. A 9, 2817 (1994).

88. S. N. Solodukhin, "Cosmological solutions in 2-D Poincare gravity," Int. J. Mod. Phys. D 3, 269 (1994).

89. S. N. Solodukhin, "Topological 2-D Riemann-Cartan-Weyl gravity," Class. Quant. Grav. 10, 1011 (1993).

90. D. I. Kazakov and S. N. Solodukhin, "On Quantum deformation of the Schwarz-schild solution," Nucl. Phys. В 429, 153 (1994).

91. S. N. Solodukhin, "Two-dimensional black hole with torsion," Phys. Lett. В 319, 87 (1993).

92. Yu. N. Obukhov and S. N. Solodukhin, "Dynamical Gravity And Conforinal And Lorentz Anomalies In Two-Dimensions," Class. Quant. Grav. 7, 2045 (1990).

93. S. N. Solodukhin, "How to make the gravitational action on non-compact space finite," Phys. Rev. D 62, 044016 (2000).

94. K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Quantum effective action from the AdS/CFT correspondence," Phys. Lett. В 472, 316 (2000).

95. S. de Haro, S. N. Solodukhin and K. Skenderis, "Holographic reconstruction of spacetime and renormalization in the AdS/CFT correspondence," Commun. Math. Phys. 217, 595 (2001).

96. Sachs and S. N. Solodukhin, "Horizon holography," Phys. Rev. D 64, 124023 (2001).

97. J. de Boer and S. N. Solodukhin, "A holographic reduction of Minkowski space-time," Nucl. Phys. В 665, 545 (2003).

98. S. N. Solodukhin, "Reconstructing Minkowski space-time," in 73rd Meeting Between Theoretical Physicists And Mathematicians: (A)Ds-CFT Correspondence, pages 123-163, European Mathematical Society, 2005; arXiv:hep-th/0405252.

99. S. N. Solodukhin, "Holography with gravitational Chern-Simons," arXivhep-th/0509148; принято к публикации в Phys. Rev. D.

100. S. N. Solodukhin, "Holographic description of gravitational anomalies," J. High Energy Phys. 7, 003 (2006).

101. S. N. Solodukhin, "Restoring unitarity in BTZ black hole," Phys. Rev. D 71, 064006 (2005).

102. S. N. Solodukhin, "Can black hole relax unitarily?," in Vrnjacka Banja 2003, Mathematical, theoretical and phenomenological challenges beyond the standard model, pages 109-121, World Scientific, 2005, arXiv:hep-th/0406130.

103. D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Relaxation in conformal field theory, Hawking-Page transition, and quasinormal/normal modes," Phys Rev. D 67, 104026 (2003).

104. D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, "Conformal field theory interpretation of black hole quasi-normal modes," Phys. Rev. Lett. 88, 151301 (2002).

105. S. N. Solodukhin, "Conformal description of horizon's states," Phys. Lett. В 454, 213 (1999).

106. S. N. Solodukhin, "Horizon state, Hawking radiation and boundary Liouville model," Phys. Rev. Lett. 92, 061302 (2004).

107. K. Krasnov and S. N. Solodukhin, "Effective stringy description of Schwarz-schild black holes," Adv. Theor. Math. Phys. 8, 421 (2004).

108. S. de Наго, K. Skenderis and S. N. Solodukhin, "Gravity in warped com-pactifications and the holographic stress tensor," Class. Quant. Grav. 18, 3171 (2001).

109. M. K. Parikh and S. N. Solodukhin, "De Sitter brane gravity: From close-up to panorama," Phys. Lett. В 503, 384 (2001).

110. S. N. Solodukhin, "Black hole production via quantum tunneling," in 3rd International Sakharov Conference on Physics, pages 829-834, World Scientific, 2003; arXiv:hep-th/0212001.

111. S. N. Solodukhin, "Classical and quantum cross-section for black hole production in particle collisions," Phys. Lett. В 533, 153 (2002)

112. С. H. Солодухин, "Двумерная калибровочная аномалия как кривизна," Ядерная Физика 50, 1192 (1989).

113. S. N. Solodukhin, "Boundary conditions and the entropy bound," Phys. Rev. D 63, 044002 (2001).

114. С. H. Солодухин, "Струны и антисимметричные тензорные поля," Вестник Московского Университета (физика) 29, 78 (1988).

115. Ю. Н. Обухов, С. Н. Солодухин, "Редукция уравнения Дирака и его связь с уравнением Иваненко-Ландау-Келера," Теоретическая и математическая физика 94, 276 (1993).

116. S. N. Solodukhin, "Planckian AdS(2) х S(2) space is an exact solution of the semiclassical Einstein equations," Phys. Lett. В 448, 209 (1999).

117. S. N. Solodukhin, "Correlation functions of boundary field theory from bulk Green's functions and phases in the boundary theory," Nucl. Phys. В 539, 403 (1999).

118. S. N. Solodukhin, "Exact solution for a quantum field with delta-like interaction," Nucl. Phys. В 541, 461 (1999).

119. G. 't Hooft, "Dimensional reduction in quantum gravity," arXiv:gr-qc/9310026

120. L. Susskind, "The World as a hologram," J. Math. Phys. 36, 6377 (1995).

121. J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

122. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

123. L. Susskind and E. Witten, "The holographic bound in anti-de Sitter space," arXiv:hep-th/9805114.

124. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from non-critical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

125. J. D. Brown and M. Henneaux, "Central Charges In The Canonical Realization Of Asymptotic Symmetries: An Example From Three-Diinensional Gravity," Commun. Math. Phys. 104, 207 (1986).

126. C. Fefferman and C. R. Graham: "Conformal Invariants". In: Elie Cartan et les Mathematiques d'aujord'hui, (Asterisque, 1985), 95.

127. V. Balasubramanian and P. Kraus, "A stress tensor for anti-de Sitter gravity," Commun. Math. Phys. 208, 413 (1999).

128. H. L. Verlinde, "Holography and compactification," Nucl. Phys В 580, 264 (2000).

129. S. S. Gubser, "AdS/CFT and gravity," Phys. Rev. D 63, 084017 (2001).

130. F. Oberhettinger, Tables of Melhn Transforms, Springer Verlag, New York, 1974.

131. R. M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).1761 N. Arkani-Hamed, S. Dirnopoulos and G. R. Dvali, "The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter," Phys. Lett В 429, 263 (1998).

132. V. A. Rubakov, "Large and infinite extra dimensions: An introduction," Phys Usp. 44, 871 (2001) Usp. Fiz. Nauk 171, 913 (2001)].

133. A. 0. Barvinsky, "Cosmological branes and macroscopic extra dimensions," Phys. Usp. 48 (2005) 545 Usp. Fiz. Nauk 175 (2005) 569].

134. S. K. Blau, E. I. Guendelman and A. H. Guth, "The Dynamics Of False Vacuum Bubbles," Phys. Rev. D 35, 1747 (1987).

135. R. Gregory, V. A. Rubakov and S. M. Sibiryakov, "Opening up extra dimensions at ultra-large scales," Phys. Rev. Lett. 84, 5928 (2000).

136. C. Csaki, J. Erlich and T. J. Hollowood, "Quasi-localization of gravity by resonant modes," Phys. Rev. Lett. 84, 5932 (2000).

137. G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, "Metastable gravitons and infinite volume extra dimensions," Phys. Lett. В 484, 112 (2000).

138. I. Y. Aref'eva, M. G. Ivanov, W. Muck, K. S. Viswanathan and I. V. Volovich, "Consistent linearized gravity in brane backgrounds," Nucl. Phys. В 590, 273 (2000).

139. S. W. Hawking, T. Hertog and H. S. Reall, "Brane new world," Phys. Rev. D 62, 043501 (2000).

140. M. J. Duff and J. T. Liu, "Complementarity of the Maldacena and Randall-Sundrum pictures," Phys. Rev. Lett. 85, 2052 (2000).

141. L. Anchordoqui, C. Nunez and K. Olsen, "Quantum cosmology and AdS/CFT," JHEP 0010, 050 (2000).

142. S. B. Giddings and E. Katz, "Effective theories and black hole production in warped compactifications," J. Math. Phys. 42, 3082 (2001).

143. N. S. Deger and A. Kaya, "AdS/CFT and Randall-Sundrum model without a brane," JHEP 0105, 030 (2001).

144. T. Shiromizu, K. i. Maeda and M. Sasaki, "The Einstein equations on the 3-brane world," Phys. Rev. D 62, 024012 (2000).

145. G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, "4D gravity on a brane in 5D Minkowski space," Phys. Lett. В 485, 208 (2000).

146. I. I. Kogan and G. G. Ross, "Brane universe and multigravity: Modification of gravity at large and small distances," Phys. Lett. В 485, 255 (2000).

147. E. Witten, "The cosmological constant from the viewpoint of string theory," arXiv:hep-ph/0002297.

148. J. Garriga and M. Sasaki, "Brane-world creation and black holes," Phys Rev. D 62, 043523 (2000).

149. S. B. Giddings, E. Katz and L. Randall, "Linearized gravity in brane backgrounds," JHEP 0003, 023 (2000).

150. S. Dimopoulos and G. Landsberg, "Black holes at the LHC," Phys Rev. Lett. 87, 161602 (2001).

151. S. B. Giddings and S. D. Thomas, "High energy colliders as black hole factories: The end of short distance physics," Phys. Rev. D 65, 056010 (2002).

152. J. W. York, "Dynamical Origin Of Black Hole Radiance," Phys Rev. D 28, 2929 (1983).

153. W. H. Zurek and K. S. Thorne, "Statistical Mechanical Origin Of The Entropy Of A Rotating, Charged Black Hole," Phys. Rev. Lett. 54, 2171 (1985).

154. A. Strominger and C. Vafa, "Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy," Phys. Lett. В 379, 99 (1996).

155. M. Banados, C. Teitelboim and J. Zanelli, "The Black hole in three-dimensional space-time," Phys. Rev. Lett. 69, 1849 (1992).

156. S. Carlip, "The Statistical mechanics of the (2+l)-dimensional black hole," Phys. Rev. D 51, 632 (1995).

157. A. Strominger, "Black hole entropy from near-horizon microstates," JHEP 9802, 009 (1998).

158. O. Coussaert, M. Henneaux and P. van Driel, "The Asymptotic dynamics of three-dimensional Einstein gravity with a negative cosmological constant," Class. Quant. Grav. 12, 2961 (1995).

159. J. G. Russo, "Entropy and black hole horizons," Phys. Lett. В 359, 69 (1995).

160. J. G. Russo and A. A. Tseythn, "Scalar tensor quantum gravity in two-dimensions," Nucl. Phys. В 382, 259 (1992).

161. J. L. Cardy, "Boundary Conditions, Fusion Rules And The Verlinde Formula," Nucl. Phys. В 324, 581 (1989).

162. S. Ghoshal and A. B. Zamolodchikov, "Boundary S matrix and boundary state in two-dimensional integrable quantum field theory," Int. J. Mod. Phys. A 9, 3841 (1994) Erratum-ibid. A 9, 4353 (1994)]

163. S. Carlip, "Black hole entropy from conformal field theory in any dimension," Phys. Rev. Lett. 82, 2828 (1999)

164. J. M. Maldacena and A. Strominger, "Black hole greybody factors and D-brane spectroscopy," Phys. Rev. D 55, 861 (1997).

165. J. M. Maldacena and A. Strominger, "Universal low-energy dynamics for rotating black holes," Phys. Rev. D 56, 4975 (1997).

166. A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, "Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory," Nucl. Phys. В 477, 577 (1996).

167. V. Fateev, A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, "Boundary Liouville field theory. I: Boundary state and boundary two-point function," arXiv:hep-th/0001012.

168. M. Gutperle and A. Strominger, "Timelike boundary Liouville theory," Phys. Rev. D 67, 126002 (2003).

169. A. Strominger and T. Takayanagi, "Correlators in timelike bulk Liouville theory," Adv. Theor. Math. Phys. 7, 2 (2003).

170. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov and M. Gutperle, "S-brane solutions in super-gravity theories," Phys. Rev. D 66, 024043 (2002).

171. V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory," arXiv:hep-th/0306026;

172. S. Fredenhagen and V. Schomerus, "On minisuperspace models of S-branes," arXiv:hep-th/0308205.

173. V. Frolov, D. Fursaev, J. Gegenberg and G. Kunstatter, "Thermodynamics and statistical mechanics of induced Liouville gravity," Phys. Rev. D 60, 024016 (1999).

174. S. Hod, "Bohr's correspondence principle and the area spectrum of quantum black holes," Phys. Rev. Lett. 81, 4293 (1998).

175. L. Motl and A. Neitzke, "Asymptotic black hole quasinormal frequencies," Adv. Theor. Math. Phys. 7, 307 (2003).

176. S. Musiri and G. Siopsis, "Perturbative calculation of quasi-normal modes of Schwarzschild black holes," Class. Quant. Grav. 20, L285 (2003).

177. R. Kubo, M. Toda and N. Hashitsume, "Statistical Physics II", Springer Ver-lag, Berlin (1985).

178. A.L. Fetter and J.D. Walecka, "Quantum Theory of Many-particle Systems," McGraw-Hill Book Company (1971).

179. G. T. Horowitz and V. E. Hubeny, "Quasinormal modes of AdS black holes and the approach to thermal equilibrium," Phys. Rev. D 62, 024027 (2000).

180. J. S. F. Chan and R. B. Mann, "Scalar wave falloff in asymptotically anti-de Sitter backgrounds," Phys. Rev. D 55, 7546 (1997).

181. B. Wang, C. Y. Lin and E. Abdalla, "Quasinormal modes of Reissner-Nordstroem anti-de Sitter black holes," Phys. Lett. В 481, 79 (2000).

182. Т. R. Govindarajan and V. Suneeta, "Quasi-normal modes of AdS black holes: A superpotential approach," Class. Quant. Grav. 18, 265 (2001).

183. V. Cardoso and J. P. S. Lemos, "Scalar, electromagnetic and Weyl perturbations of BTZ black holes: Quasi normal modes," Phys. Rev. D 63, 124015 (2001).

184. V. Cardoso and J. P. S. Lemos, "Quasi-normal modes of Schwarzschild anti-de Sitter black holes: Electromagnetic and gravitational perturbations," Phys. Rev. D 64, 084017 (2001).

185. J. L. Cardy, "Operator Content Of Two-Dimensional Conformally Invariant Theories," Nucl. Phys. В 270, 186 (1986).

186. S. S. Gubser, "Absorption of photons and fermions by black holes in four dimensions," Phys. Rev. D 56, 7854 (1997).

187. J. de Boer, "Six-dimensional supergravity on S**3 x AdS(3) and 2d conformal field theory," Nucl. Phys. В 548, 139 (1999).

188. D. Birmingham, I. Sachs and S. Sen, "Exact results for the BTZ black hole," Int. J. Mod. Phys. D 10, 833 (2001).

189. D. Birmingham, "Choptuik scaling and quasinormal modes in the AdS/CFT correspondence," Phys. Rev. D 64, 064024 (2001).

190. S. Das and A. Dasgupta, "Black hole emission rates and the AdS/CFT correspondence," JHEP 9910, 025 (1999).

191. L. Dyson, J. Lindesay and L. Susskind, "Is there really a de Sitter/CFT duality," JHEP 0208, 045 (2002).

192. L. Dyson, M. Kleban and L. Susskind, "Disturbing implications of a cosmo-logical constant," JHEP 0210, 011 (2002).

193. N. Goheer, M. Kleban and L. Susskind, "The trouble with de Sitter space," JHEP 0307, 056 (2003).

194. P. Di Francesco, P. Mathieu and D. Senechal, "Conformal Field Theory," New York, USA: Springer (1997).

195. U. H. Danielsson, E. Keski-Vakkuri and M. Kruczenski, "Spherically collapsing matter in AdS, holography, and shellons," Nucl. Phys. В 563, 279 (1999).

196. J. M. Maldacena, "Eternal black holes in Anti-de-Sitter," JHEP 0304, 021 (2003).

197. J. M. Maldacena and A. Strominger, "AdS(3) black holes and a stringy exclusion principle," JHEP 9812, 005 (1998).

198. R. Dijkgraaf, J. M. Maldacena, G. W. Moore and E. P. Verlinde, "A black hole farey tail," arXiv:hep-th/0005003.

199. S. Carlip and C. Teitelboim, "Aspects of black hole quantum mechanics and thermodynamics in (2+l)-dimensions," Phys. Rev. D 51, 622 (1995).

200. E. Keski-Vakkuri, "Bulk and boundary dynamics in BTZ black holes," Phys. Rev. D 59, 104001 (1999).

201. L. Chekhov, "AdS/CFT correspondence on torus," arXiv:hep-th/9811146.

202. L. Chekhov, "AdS(3)/CFT(2) correspondence at finite temperature," Mod. Phys. Lett. A 14, 2157 (1999).

203. R. R. Metsaev, "Light cone form of field dynamics in anti-de Sitter spacetime and AdS/CFT correspondence," Nucl. Phys В 563, 295 (1999).