Скрытые симметрии и солитоны в теориях супергравитации и суперструн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ЧЕН Чианг-Мей

Скрытие симметрии и солитоны в теориях супергравитации и суперструн

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук Гальцов Дмитрий Владимирович

Москва 1999

Содержание

1 Введение 4

2 Т-дуальность и вращающиеся решения в 2 + 1 гравитации 14

2.1 1 + 0 сигма-модель и Т-дуальность . . . . . . ...........16

2.2 Эйнштейн-Максвелл теория ................ . 18

2.2.1 Вращающиеся электрические решения . ...........18

2.2.2 Вращающиеся магнитные решения........ . 20

2.2.3 Статический дион . . . . ............... 21

2.3 Теория Бранса-Дикке . .................... 22

2.3.1 Случай 7 ф —1,0, ^................. . 22

2.3.2 Случай 7 = \...........................23

2.3.3 Случай 7= -1..............................24

2.4 Эйнштейн-Максвелл-дилатон ..........................25

2.4.1 Вращающиеся электрические решения . ...... 25

2.4.2 Вращающиеся магнитные решения ......... 28

2.4.3 Статическое дионное решение . . ......... . 28

2.5 Выводы . . . ................................29

3 Черные дыры в четырехмерной теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и аксионом 31

3.1 Действие . ........................................33

3.2 Сигма-модель .................................34

3.3 Голоморфное представление изометрий...............37

3.4 Ковариантизация вакуумного решения ........... 39

3.5 Дилатон-аксион-Керр-НУТ-дион решение ...............41

3.5.1 Выбор координат................................41

3.5.2 Термодинамика черной дыры.................43

3.6 Выводы ..................................................45

4 Солитоны в В = 5 эффективной теории гетеротической струны 47

4.1 От пяти к четырем измерениям....... . ...............49

4.2 Редукция к трем измерениям ...... . . . ,.......52

4.3 Генерация решений ...... . .............. . 57

4.4 (0 - 1) браны . ...................................62

4.5 Выводы....... . . . ........................63

5 Вакуумная интерпретация р-бран 65

5.1 Предварительные сведения........ .............65

5.2 р-браны................ . . . ..............66

5.2.1 М2-брана .................................67

5.2.2 М5-брана ......... . . . ..................70

5.2.3 Составная М2С5~брана ................ 72

5.2.4 Бранные волны ..............................73

5.2.5 Пересекающиеся браны ...........................73

5.2.6 Локализованные браны ...................75

5.3 сг-модель . ....... .......................................77

5.3.1 Анзац и эффективное действие...............77

5.3.2 Преобразования симметрии ..................78

5.3.3 Составные решения с двумя параметрами вращеня 79

5.4 Восьмимерная интерпретация . . . . . , . . . . . . . ... 80 5.4.1 Составные решния с одним параметром вращения 81

6 Составные М-браны 84

6.1 сг-модель . . . ......... . ......................84

6.2 Преобразования симметрии ................. 86

6.3 Генерация решений ......................88

6.4 Метод геодезических.................... . 90

7 Заключение 94 А Размерная редукция 97 В 50(1))-симметричное пространство с вращением 99

1

в

ведение

В течение последних пяти-шести лет в теории фундаментальных физических взаимодействий произошли существенные изменения. Сейчас становятся видны контуры новой теории, которая вероятно заменит традиционную теорию суперструн. Эта теория, получившая название М-теории, предполагает новое понимание существующих моделей суперструн как различных предельных случаев единой теории [34, 101].. Ее существование подтверждается многочисленными фактами соответствий (дуальностей) между пятью моделями суперструн в десятимерии и различными вариантами их редукции в пространства низшего числа измерений [112, 100, 2, 62]. М-теория, окончательная формулировка которой пока неизвестна, является одиннадцатимерной квантовой теорией, имеющей в качестве классического предела одиннадцатимерную супергравитацию. Она оперирует не только со струнами, но и протяженными объектами более высокой размерности [105]. В частности, предлагается новый подход к теории открытых струн на основе представления о Г)-бранах — многомерных объектах, к которым могут прикрепляться концы струн, и которые несут заряды, ассоциируемые с полями антисимметричных тензоров соответствующей валентности [96]. Их динамика определяется нелинейными лагранжианами типа Борна-Инфельда [52]. С помощью £)-бран впервые удалось получить удовлетворительное статистическое истолкование энтропии черной дыры [94]. Выяснилась также важная роль солитонных решений в теориях супергравитации и моделях су перетру н, которые также являются многомерными классическими объектами аналогичного типа (р-браны). Специальные конфигурации брак в одиннадцатимерном пространстве приводят к суперсимметричным теориям Янга-Миллса в четырехмерии,

причем возникает возможность изучения непертурбативных аспектов таких теорий используя струнные дуальности.

С середины девяностых годов начал аккумулироваться обширный материал о струнных дуальностях, под которыми понимаются симметрии теории, или эквивалентность различных теорий, не очевидные в их первоначальной формулировке, и возможно проявляющиеся лишь на существенно непертурбативном уровне. Исторически первой была обнаружена так называемая Т-дуальность связывающая компактифи-кации теории на окружности радиуса R-vt P/R [56]. Эту симметрию можно понять следующим образом. Условие периодичности на окружности приводит к квантованию соответствующей компоненты импульса в единицах h/R, и вклад в струнный гамильтониан от соответствующих мод становится пропорциональным n2/R2, где п целое число. С другой стороны, струна, в отличие от точечной частицы, может т раз навиваться на окружность, это дает дополнительный вклад в гамильтониан пропорциональный m2R2. Перестановка квантовых чисел п и m с одновременной заменой R на 1/R является преобразованием симметрии. В более общем случае, компактификация струны на многомерный тор связана преобразованием симметрии с ее компактификацией на другой тор, находящийся в таком же отношении к исходному, что обратная решетка в кристалле по отношению к прямой.

Было показано, что десятимерные струные теории IIA и ИВ, компактифицированные на окружность, образуют пару, связанную Т-дуальностью [55, 32]. Иначе говоря, компатификация теории IIA на окружность радиуса R (остальные измерения имеют бесконечный объем) эквивалентна компактификации теории IIB на окружность радиуса P/R. В таком же соотношении находятся и классические супергравитации IIA и ИВ, в чем убедиться не так просто: ведь обе теории построены из различных мультиплетов полей, правда с одинаковым полным числом компонент. В аналогичном отношении находятся и два варианта гетеротической теории с калибровочными группами 50(32) PI Е8хЕ8. Несколько сложнее связь между теориями типа I и II, имеющими различное число компонент. В этом случае нужно рассмотреть компактификацию теории типа IIA не на окружность, а на отрезок L, который можно понимать как результат идентификации точек на окружности, симметричных относительно диаметра (операция

О, превращающая окружность в ориентифолд). В результате теория с N — 2 превращается в теорию с N = 1 суперсимметрией. Компактифи-кация теории типа I на окружность радиуса Л оказывается эквивалентной компактификации теории НА на отрезок, отвечающей окружности обратного радиуса. Далее, поскольку теория ПВ связана с теорией НА соотношенем Т-дуальности, ясно, что теория I связана с ПВ преобразованием П. Таким образом, соотношения Г-дуальности сводят число независимых струнных моделей с пяти до двух.

Другой вид (существенно непертурбативной) симметрии представляет собой Б -дуальность, связывающая теории с эффективными константами взаимодействия д и 1 /д. В суперсимметричых теориях Янга Миллса, содержащих дилатон, д = поэтому преобразование д —> 1/д эквивалентно изменению знака ф, при этом одновременно электрический сектор теории переходит в магнитный. Основной частицей в магнитном секторе теорий Янга-Миллса является магнитный монополь, который представляет собой существенно непертурбативный объект (солитон). Точно так же и в теории суперструн для реализации 5-дуальности решающее значение имеет наличие классических солитон-ных решений. В этой теории роль солитонов играют р-браны — многомерные протяженные объекты: р = 0 отвечает точечной частице, р — 1 —- струне, р = 2 — мембране и т.д., в пространстве размерности И могут существовать р-браны вплоть до р = О — 1. Подобно тому, как точечные частицы взаимодействуют с векторным полем, р-браны взаимодействуют с антисимметричыми тензорами ранга р + 1, или (р + 1)-формами, играющими роль потенциала, соответствующая напряженность поля представляет собой (р + 2)-форму. Точечный заряд порождает электромагнитное поле, т.е. поле 2-формы, аналогично р-брана может иметь заряд, соответствующий (р + 2)-форме. В теории струн подобные поля антисимметричных форм действительно присутствуют в спектре элементарных возбуждений (так называемые поля Рамон-Рамона), и неудивительно, что существуют и классические конденсаты в виде р-бран. В теории ПА имеются формы с нечетными р, и соответственно возможны р-браны с нечетными р, в то время как в теории ПВ существуют четные р-браны. В теории типа I и гетеротиче-ских теориях имеются солитонные струны, т.е. 1-браны. Примером 5-дуальности является взаимоотношение теории типа I и гетеротической

теории с калибровочной группой SO (32). Каждая из этих теорий имеет солитонную струну (аналог монополя), при этом (исходная) элементарная струна в каждой из них соответствует солитонной струне в другой теории. В силу сказанного выше, благодяря 5-дуальности можно исследовать струнные теории в режиме сильной связи, при этом SO (32)-гетеротическая теория выступает как непертурбативный сектор теории типа I..B теории типа IIB имеется внутренняя ^-дуальность связывающая пертурбативный и солитонный секторы. Наконец, существуют и соотношения U-дуальности, объединяющей вместе S и Т дуальности [66].

Роль протяженных объектов различной размерности особенно валена для открытых струн. В старом подходе считалось, что на границе открытых струн должны выполняться граничные условия Неймана да-х^ = 0, непосредственно вытекающие из вариационного принципа для действия. Однако, при преобразованиях Т-дуальности это условие переходит в дтх^ — 0, или условие Дирихле х1Л = — const на границах (что также совместно с уравнениями движения). Поскольку Т-дуальность применяется лишь к части координат, то это эквивалентно рассмотрению р-бран, к которым прикрепляются концы открытых струн. Такие объекты называются D (Дирихле) р-бранами, в отличие от солитонных р-бран они являются "элементарными" и могут нести единичные заряды Рамон-Рамона [95]. Таким образом Т-дуальность в случае открытых струн приводит к теории D-бран, позволяющих учесть непертурбативные аспекты струнной динамики. С помощью D-бран впервые удалось статистически объяснить происхождение энтропии черной дыры [94]. Другое важное направление, сложившееся в последнее время, связано с тем, что, если пренебречь гравитацией, при низких энергиях на D-бранах возникают эффективные суперсимметричные теории полей Янга-Миллса, которые таким образом могут исследоваться методами теории струн, в частности, применением струнных дуальностей. На этом пути удается прояснить некоторые непертурбативные аспекты калибровочных теорий.

Самым удивительным открытием последних лет стало появление в теории струн одиннадцатого измерения, которое впервые возникло в супергравитации, но затем отошло на второй план после того, как выяснилось, что супергравитация не может быть кандидатом на роль "оконча-

тельной" теории. В теории суперструн критическая размерность равна десяти, и на протяжении многих лет исследования были сосредоточены именно на десятимерных моделях. Однако одиннадцатое измерение возродилось вновь уже в новом качестве. Радиус окружности на которую производится компактификация, или, в более общем случае, набор параметров, характеризующих тор, в теории струн рассматривается как совокупность безмассовых скалярных полей — модулей, соответствующий гамильтониан обладает потенциалом, имеющим долины, вдоль которых он минимален. Основное состояние (вакуум) вырождено относительно изменения модулей в направлении долин. Большие и малые значения: радиуса компактификации соответствуют поэтому различным вакуумам теории, в окрестности которых молено рассматривать различные секторы квантовой теории. В результате, соотношения дуальности суперструнных теорий, формулируемых изначально в десятимерном пространстве, неожиданным образом приводят к выводу о существовании фундаментальной одиннадцатимерной теории, получившей название М-теории. Конкретная реализация М--теории еще не найдна, однако аргументы в пользу ее существования довольно убедительны. Рассмотрим, например, струну типа IIA. В пределе слабой связи это десятимерная теория. Между тем IIA десятимерную супергравитацию можно рассматривать как результат компактификации одиннадцатимерной супергравитации на окружность радиуса R: при R оо имеем одиннадцатимерную теорию, при R О — десятимерную [112]. В теории струн скалярное поле, отождествляемое с радиусом окружности, определяет эффективную константу связи причем R —> О отвечает слабой, а R —> со — сильной связи. Поэтому струнную теорию IIA можно понимать как предел слабой связи некоторой фундаментальной одиннадцатимерной квантовой М-теории. Иначе, М-теорию можно определить как предел сильной связи теории типа IIA. Классическим пределом М-теории должна являться одиннадцатимерная супергравитация, которая тем самым получает новую интерпретацию.

Существенную роль в понимании непертурбативных свойств суперструнных теорий сыграла Pix связь с эффективными теориями супергравитаций, так как дуальные симметрии суперструнных теорий естественно возникают на уровне теорий супергравитаций и, фактически, являются дискретными подгруппами групп дуальностей в суперграви-

тациях. При этом особо важную роль играют классические решения многомерных теорий супергравитаций, называемые р-бранами. Эти решения описывают многомерные протяженные объекты обладающие внутренним натяжением и зарядами по отношению к антисимметричным формам различных рангов. При определенном соотношении между этими параметрами, представляющем собой обобщенное условие Богомольного, эти объекты обладают остотчной суперсимметрией, что предохраняет их от разрушения за счет квантовых поправок. Такие БПС-насыгцающие р-браны могут быть построены в одиннадцатимерной супергравитации, и они порождают целую иерархию солитонов в более низких измерениях путём Калуце-Клейновской (КК) редукции. Так как при КК редукции первоначальная суперсимметрия сохраняется, то, в случае компактификации на тор, р-бранные солитоны в низшем числе измерений могут быть обратно перенесены в более высокие измерения как решения в супергравитации, которые сохраняют ту же часть суперсимметрии, какую они сохраняли в низшем измерении. Простейшие БПС р-браны сохраняют половину первоначальной суперсимметрии и несут один заряд, связанный с 4-формой напряженности 11В с.упергравитации. Метрические функции и другие неисчезающие поля в решении выражаются в терминах одной гармонической функции в пространстве, поперечном к мировому объему р-браны. Существуют также решения, полученные действием преобразований ¿/-дуальности [66] Креммера-Джулиа [22, 23, 21, 74] в супергравитациях низшего числа измерений. Эти семейства более сложные и содержат более одной формы напряженности. Однако, в силу того, что {/-дуальность коммутирует с суперсимметрией, эти решения тоже будут сохранять половину суперсимметрии. На классическом уровне решение, преобразованное с помощью ¿/-дуальности, эффективно является более сложным представлением решения, содержащего одну форму. Поэтому решения с одной антисимметричной формой и одним типом заряда можно назвать простой однозарядовой р-браной. В общем случае решения в более высоких размерностях, полученные из таких р-бран путем обратной размерной редукции, не обязательно будут иметь форму р-бранного со-литона: это может быть континуум р-бран, гравитационные волны и другие конфигурации.

В более низких измерениях существуют также более сложные р-

бранные солитоны, которые несут более одного типа зарядов. В простейшем случае такие Л^-зарядовые решения характеризуются Лг независимыми гармоническими функциями на поперечном пространстве, одной для каждого заряда. Решение диагонализуется в том смысле, что каждый заряд связывается с анитисимметричной формой, выражающейся в терминах соответствующей гармонической функции. И снова можно найти более сложные решения, применяя ¿/-дуальность. Поэтому можно назвать такие диагонализованые решения простыми Аг - з ар ядов ым и р-бранами. Часть сохраняемой такой р-браной суперсимметрии меньше чем для случая с одним зарядом. Например, при N — 2 сохраняется | часть суперсимметрии, при Лг — 3 — Если р-браны, несущие более одного типа зарядов, поднять обратно в И = 10 или О = 11, то они будз'т описывать более сложную конфиг�