Точные решения в теориях гравитации и супергравитации и сохраняющиеся суперсимметрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Голубцова, Анастасия Андреевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
005059514
На правах рукописи
ГОЛУБЦОВА Анастасия Андреевна
Точные решения в теориях гравитации и супергравитации и сохраняющиеся суперсимметрии
Специальность 01.04.02 —теоретическая физика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва —2013
005059514
Работа выполнена в Учебно-научном иаституте гравитации и космологии Российского университета дружбы народов.
Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,
Иващук Владимир Дмитриевич.
Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор
Гальцов Дмитрий Владимирович
профессор каф. теоретической физики, МГУ им. Ломоносова;
доктор физ.-мат. наук, Ахмедов Эмиль Тофик оглы ведущий научный сотрудник, ИТЭФ им. А. И. Алиханова
Ведущая организация: Томский государственный
педагогический университет.
Защита диссертации состоится 6 июня 2013 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал №1.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Автореферат разослан "20" апреля 2013 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.203.34 кандидат физико-математических наук
ЪиШ
В.А. Попова
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Классические решения различных теорий супергравитации играют важную роль во многих исследованиях непертурбативных теорий суперструн и М-теории, а также в исследованиях соответствий между моделями супергравитации и калибровочных теорий. Особый интерес представляют решения многомерных теорий супергравитации, называемые р-бранами. Такие решения описывают протяженные объекты, обладающие внутренним натяжением и зарядами по отношению к антисимметричным формам различных рангов. При определенном соотношении между данными параметрами, представляющем собой обобщенное БПС-условие (условие Богомольного-Прасада-Соммерфильда), эти объекты сохраняют часть исходной суперсимметрии, что предохраняет их от разрушения за счет квантовых поправок. Доля сохраняющихся суперсимметрий является инвариантом супергравитационного фона, который играет ключевую роль в исследованиях дуальности теории струн. Важным приложением бранных решений является то, что они могут быть использованы для изучения квантовых свойств черных дыр.
Также решения супергравитационного происхождения представляют собой мощное средство в квантовой теории поля. Наиболее значительным примером является АёБ/СРТ соответствие, которое предсказывает, что теория струн/М-теория на некоторых супергравитационных фонах, включающих Ас1Б фактор-пространства, эквивалентна конформно инвариантной квантовой теории поля.
Ввиду нелинейной структуры уравнений Эйнштейна, наличия скалярных нолей и полей форм, нахождение и исследование решений в теориях супергравитации является нетривиальной задачей.
Цель работы
Целью данной работы является получение и исследование новых решений, определенных на произведении риччи-плоских пространств, возникающих в теориях супергравитации, в том числе суперсимметричных. Нахождение соотношений для подсчета доли суперсимметрий, сохранямых конфигурациями из трех ортогонально пересекающихся бран в теории 11-мерной N = 1 сунергравитации. Поиск общих решений супергравитационного происхождения, определенных на произведении эйнштейновых фактор-пространств, выделение и исследование сферически-симметричных решений. Поиск и исследование точных пешо
ний, связанных с алгебрами Ли, в моделях супергравитационного типа.
Научная новизна
В диссертационной работе впервые решены следующие задачи:
1. Найдены новые суперсимметричные конфигурации из трех пересекающихся М2- и М5-бран в теории 11-мерной супергравитации, заданные на произведении риччи-плоских многообразий. Для этих конфигураций получены соотношения для вычисления дробных чисел суперсимметрнй. Среди полученных конфигураций — примеры с различными риччи-плоскими и плоскими с нетривиальной топологией фактор-пространствами: многообразием типа рр-волны, многообразиями Калаби-Яу, <С»/£2 и К!'-1/-^- Такие решения не могут быть описаны классификацией Бергсхоефа и соавторов, полученной для топологически тривиальных плоских фактор-пространств М\ = Ж''1 .
2. Для обобщенной р-бранной модели, включающей п полей форм и I скалярных полей, построен класс решений флаксбранного типа, обобщающих решение Мелвина и соответствующих алгебрам Ли; написана программа для вычисления управляющих полиномиальных функций. Выделен подкласс космологических решений, соответствующих алгебрам Ли ранга 3 и описывающих ускоренное расширение 3-мерного подпространства, совместимое с достаточно малым значением вариации эффективной гравитационной постоянной.
3. Показано, что в пространстве произвольной размерности £> > 3 решения космологического типа для гравитационной модели с нелинейным сигма-модельным источником, заданной на произведении фактор-пространств Эйштейна, определены решениями уравнений геодезических для пространства-мишени сг-модели. Получены решения космологического типа, когда: 1) все фактор-пространства являются риччи-плоскими; 2) одно из фактор-пространств имеет ненулевую кривизну, а остальные являются риччи-плоскими; 3) модель рассматривается в контексте 4-мерной обобщенной теории Бранса-Дикке и присутствуют три скалярных поля, неупиверсально связанные с гравитацией. Для сферически-симметричных решений при Б > 4, определенных на произведении пространства В"*1, > 1, и нескольких риччи-плоских фактор-пространств, сформулирована и доказана теорема об "отсутствии волос".
Научная и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер. Полученные соотношения для дробных чисел суперсимметрий представляют интерес для исследования суперсимметричных решений, определенных на произведении риччи-плоских многообразий, которые возникают в теориях супергравитации типа НА и IIB, а также их редукциях в низшие измерения. Также, результаты исследования могут иметь значение для анализа суперкопформных моделей, возникающих в рамках AdS/CFT-соответствия и их возможных физических приложений.
Найденные решения супергравитационного происхождения могут быть использованы в качестве фона при изучении движения суперструны. Решения типа SO-бран, соответствующие алгебрам Ли ранга 3, интересны в связи с их применением в космологии. Новые решения для 4-мерной модели с тремя скалярными полями, неуниверсально связанными с гравитацией, могут быть использованы для проверки гипотезы, введенной Ж-.М. Алими и А. Фюзфой (AWE-гипотеза) для описания темного сектора энергии в контексте обобщенной теории Бранса-Дикке.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической физики РУДН и российского гравитационного общества, а также апробировались на российских и международных конференциях и семинарах, таких как:
• Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий», МИФИ, Москва, 2012;
• The 5th Strings, Cosmology and Gravity Student Conference (SCGSC), IHP, Paris, 2012;
• International Conference "Quantum Field Theory and Gravity (QFTG'12)", TSPU, Tomsk, 2012;
• XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, РУДН, Москва, 2012;
• The International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries (SQS'2011)", Dubna, 2011;
• IX International Workshop "Lie theory and its applications in Physics", IBAN, Varna, 2011;
• ХЬУ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, РУДН, Москва, 2011;
• Международная конференция "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики", РУДН, Москва, 2010;
• II Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии "СИАС08-2009", Казань-Яльчик, 2009;
• 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике 1Ш8СКАУ-13, Москва, 2008;
• ХЫУ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, РУДН, Москва, 2008.
Публикации.
По материалам диссертационной работы опубликовано 11 работ, в том числе 7 статей —в журналах из списка рекомендованных ВАК [1-7].
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации 135 страниц, рисунков—14. Список литературы включает 125 наименований.
Содержание работы
Во Введении изложена актуальность диссертационной работы, приведен краткий обзор ранее полученных результатов по теме. Дано краткое содержание диссертации, сформулированы основные цели и задачи.
Первая глава основана на работах [1,3], которые посвящены исследованию суперсимметричных решений бозонного сектора одиннадцатимерной N — 1 супергравитации. Фундаментальными объектами данной теории являются электрическая М2-брана и дуальная к ней магнитная М5-брана. Такие объекты переносят центральный заряд, что ведет к БПС ограничениям на энергетические плотности бран и сохранению части сунерсимметрий. Метрика стандартного М-бранного решения может быть представлена в виде прямого произведения двух многообразий: мирового объема М-браны и поперечного пространства. Рассматриваются различные конфигурации трех ортогонально пересекающихся М2- и/или М5-бран (со стандартными пересечениями), определенные на произведении риччи-плоских многообра-
зий
M = Л/0 х Mi х ... х M„. (1)
Эти решения выражаются через гармонические функции Hs, заданные на многообразии Mo, которое в данном случае является поперечным пространством.
Бергсхоеф с соавторами (Е. Bergshoefï et al., Class. Quant. Grav., 1997) рассматривали суперсимметричные решения с пересекающимися М-бранами, определенные на произведении плоских фактор-пространств Mi = Ш.к'. Ими была представлена классификация таких БПС-решений и получены соотношения для вычисления доли сохраняющихся суперсим-метрий
Я = 2~к, (2)
где к = 1.2,3,4,5. Тем не менее, соотношения (2), вообще говоря, не будут выполняться, если М-брапные решения рассматриваются на произведении риччи-плоских многообразий. В этом случае число суперсимметрий Ai зависит от чисел киральных параллельных (т.е. ковариантно-постояниых) спиноров на каждом фактор-пространстве и знаковых множителей бран, которые определяют ориентацию мировых объемов бран.
Результат работ [1,3] состоит в том, что для суперсимметричных решений, описывающих пересечения трех М-бран: М2ПМ2ПМ5, М2ПМ5ПМ5 (две конфигурации), М5 Л М5 П М5 (три конфигурации), получены соотношения для вычисления сохраняющихся суперсимметрий, которые обобщают результат (2) для топологически тривиальных плоских фактор-пространств. Случай пересечения трех электрических бран рассматривался ранее в работе В.Д. Иващука (V.D. Ivashchuk, IJGMMP, 2012).
Для получения соотношений искались решения обобщенного уравнения Киллинга
{DM + Вм)г = 0 (3)
для 32-компонентного епшюрного поля Майорана е = e(z), определенного на многообразии (1). Здесь Вм — оператор, порожденный напряженностью поля 4-формы F, Dm — оператор спинорной ковариантной производной для метрики g на M
Dm = дм + \uabmYaTb, (4)
где вм — спиновая связность, а реперные гамма-матрицы Г"4 удовлетворяют соотношениям алгебры Клиффорда
рлрд + рврл = 2Г]ЛВ132. (5)
Композитные решения с М-бранами допускают спиноры, представлен-
ные в виде
-1/6 / \ -1/12
П нл п
£ —
\seSe / \«е5\
где параллельный спинор г) на многообразии (1)
Щл = 0 с Щ = дт1 + \ш%1т1Г*'Г\ I = 0,... (7)
удовлетворяет условиям сохранения суперсимметрии
ГМ77 = С3Т], ее Б. (8)
Здесь множество индексов 5, нумерующих браны, является объединением двух непересекающихся подмножеств 5е и 5т для электрических и магнитных бран, соответственно.
В (8) с5 = ±1 — знаковые константы бран, а Г^ — операторы киральпо-сти, которые записываются так: для электрического случая
Г[з] = ГА>Гл*ГА> для 5€5е, (9)
где три индекса А1,А%,Аз описывают положение мирового объема в-ой А/2-браны, и для магнитного случая
Гн = г5>ГВ2ГВзГВ4ГВ5 для «е5га, (10)
где пять индексов В\, В2, £?з, Вц, Въ описывают позицию, незанимаемую мировым объемом в-ой магнитной А/5-браны. Для всех операторов кнраль-ности выполняется условие (Г[5])2 = 1зг для любого 5.
Таким образом, решения (6) обобщенных уравнений Киллинга определены решениями уравнений (7) с наложенными условиями на сохранение суперсимметрии (8). Размерность пространства решений уравнений (3) для £, обозначаемая N, задает число сохраняемых суперсимметрий N = N/32.
Необходимо отметить, что рассмотренные суперсимметричные конфигурации трех пересекающихся бран не могут быть описаны классификацией Бергсхоева и соавторов для плоских фактор-пространств М{ = поскольку определены на произведении многообразий, которые включают риччи-плоские фактор-пространства (КЗ, рр-волну) и плоские многообразия с нетривиальной топологией (<С^/%, к!'1/^, (м!'1/^) х Также показано, что в двух случаях решений, описывающих пересечение трех магнитных бран М5ПМ5ПМ5, дробные числа суперсимметрий N зависят от значений знаковых констант бран с, = ±1, т.е. при одной ориентации мирового объема бран 1/16 часть суперсимметрий сохраняется, и полностью исчезает при другой.
Вторая глава основана на работах [4,6,7] и посвящена получению и исследованию решений флакс- и ¿¡'-бранного типа для обобщенной р-бранной модели, заданной действием
S= [ dDx^M{R[9] - KegMNdM^dNipa - £ -^rexp[2Aa(^](F°)2) J L оеД П°- J
(И)
и определенной на произведении риччи-плоских фактор-пространств
M = (u_, и+) х Mi х М2 х ... х Мп. (12)
При соответствующем выборе размерности D, ранга полей форм па и ди-латонпых векторов связи А" (Аа((р) = А"у>и), действие (11) описывает усеченный бозонный сектор некоторой супергравитационной теории (без слагаемого Черна-Саймонса).
Анзац для метрики выглядит как
п
g = we2liu)du®du+Y^emu)gi, (13)
¡=1
где w = ±1, g1 = glm.ni(yi)dy® dy"' — метрика на многообразии Mi размерности di\ mi,rii = 1,...di\ г = 1,... ,п. Все многообразия Mi являются риччи-плоскими Ric[<?!] = 0.
Поля форм в (11) являются составными
F* = J2 F"'"'1 + J2 J:a'm'j> (I4)
/6iî„,e Jefia.m
где элементарные формы электрического и магнитного типов записываются, соответственно, как
= d^a-eJ/\т{1), Fa'm'J = е"2АМ * (d$a'm'J A т(J)). (15)
Кратко изложен сигма-модельный подход получения решений в моделях с р-бранами, развитый в работах В.Д. Ивашука и В.Н. Мельникова (V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, Class. Quant. Grav., 1997). Согласно этому методу, полевые уравнения, соответствующие действию (11), в предположении, что тензор энергии-импульса имеет диагональный вид, а скалярные поля <ра и Ф8 зависят только от одной координаты и, эквивалентны уравнениям движения для лагранжиана сигма-модельного типа
La = \мдАВ{ Х)диХАдиХв, м>0. (16)
В работах [4, 6, 7] представлены частные решения, выделенные из общих решений типа р-бран
9 = (П H*h',/iD_2)) {wdp ®dp + (П н:2к')РЧф ® d<t>+А (17)
П
exp(^) = ]jHsh'x", (18)
S=1
F* = -Q. pdp Л ¿ф, (19)
где (ASS') — обобщенная матрица Картана, определяющая правила пересечения бран. Для таких решений многообразие (12) имеет вид
M = (0, +оо) х Mi х М2, (20)
а формы F* имеют ранг ns = 2.
Управляющие функции Ha(z) > 0, z = р2, в (17)-(19) являются решениями уравнений
с наложенными граничными условиями
Я,(+0) = 1. (22)
В.Д. Иващуком была выдвинута гипотеза о существовании полиномиальных решений уравнений (21), (22), соответствующих полупростым конечномерным алгебрам Ли
= 1 + (23)
к=1
где PSW — некоторые постоянные, к = 1,..., ns, и Р5(п,) ф 0 (V.D. Ivashchuk, Class. Quant. Grav., 2002). Степени полиномов ns представляют собой удвоенные компоненты дуального вектора Вейля в базисе простых ко-корней. В работе [7] предложена программа по проверке данной гипотезы для всех серий классических алгебр Ли.
Для w = +1 и риччи-плоской метрики g2, обладающей лоренцевой сигнатурой, решение (17)-(19) является многомерным обобщением решения Мелвина (Fl-решение). Напомним, что решение Мелвина соответствует D = 4, п = 2, Мг = S1 (0 < ф < 2тг), М2 = К2, g2 = -dt ®dt + dÇ®d£ и
алгебре Ли 0 = А\.
В случае, когда и> = -1, Мх = М, -оо < р < +оо, и д1 — риччи-плоская метрика евклидовой сигнатуры, решения (17)-(19) представляют собой космологические решения с горизонтом при р = +0 типа 50-бран.
Космологические решения (17)-(20) с тремя скалярными полями, связанные с алгебрами Ли ранга 3, исследованы на наличие ускоренного расширения трехмерного подпространства при достаточно малом значении вариации эффективной гравитационной постоянной. Показано, что для ускоренного расширения, по крайней мере, одно из скалярных полей должно иметь кинетический член с неправильным знаком.
В третьей главе, следуя работам [2,5,10], рассмотрена гравитационная модель с сигма-модельным источником для скалярных полей в произвольной размерности, определенная на произведении эйнштейновых фактор-пространств и заданная действием
5 = 1М - Ы<Р)9М"дмЧ>адм<РЬ} + ^ксл, (24)
где ¿Уб7/ — граничное слагаемое Йорка-Гиббонса-Хокинга. Такая модель описывает усеченный бозонный сектор различных супергравитационных теорий, возникающий при редукции к низшим размерностям. В соответствии с анзацем космологического типа для метрики и скалярных полей справедливо
п
д=и)еЫи)(1и^йи+^е2^д\ ^ = </>», (25)
¿=1
где и> = ±1, г/ является метрикой пространства Эйнштейна М;, г = 1,...,п. Показано, что эффективный лагранжиан для модели (24)-(25),
п
записанный в гармонической калибровке 7 = может быть пред-
¿=1
ставлен в виде суммы лагранжианов Ьр и Ьсоответствующих гравитационным и скалярным переменным. Таким образом, задача поиска решений космологического типа сводится к решению уравнений движения, соответствующих лагранжианам Ьр и с наложенной энергетической связью
Е=Ер + Е1р = 0, (26)
где Ер и Еу? — интегралы энергии для гравитационной и скалярной систем, соответственно.
Найденное решение для метрики, когда все фактор-пространства явля-
ются риччи-плоскими, имеет вид
п п
д = и> ехр [2 ^^ й^и + + ^ехр [2(и'ц + (27)
!=1 !=1 а скалярные поля удовлетворяют уравнениям
¿(Къ{ф)фь) 1дНсь{ф) .с ,ь
'фсф" = 0, (28)
¿V = -}1аь{<р)фафь = где (Зу = ¿¡¿у - (1^. (29)
йи 2
а = 1,...,/, с энергетической связью
1-КьШафь = -I
Из класса решений (27)-(29) выделен подкласс решений казнеровского типа. Показано, что при определенных значениях параметров такие решения могут описывать ускоренное расширение 3-мерного фактор-пространства.
Получены общие решения в случае, когда одно из фактор-пространств выбрано многообразием Эйнштейна ненулевой кривизны, а остальные фактор-прострастранства являются риччи-плоскими. Выражение для метрики имеет вид
п
9 = |/| ^Г ехр [2(г/и + $)] {и.<йи ®йи+ /У) + Х!ехР +
¿=2
где & ф 0 — коэффициент пропорциональности между тензором Риччи и метрическим тензором для пространства Эйнштейна (М\, у1) ненулевой кривизны, щ, С и Ра — константы, а функция / есть
' В втЪ(у/С(и - но)), С > О, и)^ > 0; 1№-1)|1/2(«-«о), С = 0, <1>0;
\ В3т(у/=С(и-ио)), С< 0, ш&Х); _ (31)
В совЦ^и -щ)), С > 0, <1 < 0, с В = ^'^¿"Я
Решение для скалярных полей определено уравнениями геодезических (28) для пространства-мишени исходной сигма-модели с наложением энергетической связи
1 п п
й^? + £ <^)2 = - 2Е„ > 0. (32)
Рассмотрены примеры пространств-мишеней, когда решения для скалярных полей могут быть получены точно: двумерная сфера 82, двумерное
пространство дс Ситтера dS2, случай пространства-мишени с диагональной метрикой, в том числе пространство, соответствующее трехкомпонентной сигма-модели со скалярными полями, неуниверсально связанными с дила-тонным полем. Последний пример представляет интерес в связи с так называемой AWE-гипотезой, основанной на подходе Дамура-Гиббонса-Гадлаха и выдвинутой Ж-.М. Алими и А. Фюзфой для описания темного сектора Вселенной (J.-M. Alimi and A. Fiizfa, JCAP, 2008). В формализме обобщенной теории Бранса-Дикке действие такой модели в картине Йордана имеет вид
eiSityug^] +£2S2[ijj2, М2(Ф)^], (33)
где д:ш — метрика, R — скалярная кривизна, Ф— фундаментальное скалярное поло Бранса-Дикке, сивд(Ф) — функция связи Бранса-Дикке, ^1,2 — скалярные поля, описывающие обычную материю и темный сектор, соответственно, Si = +1 соответствует обычному скалярному полю, а г,: = —1 — полю с отрицательным кинетическим членом, г = 1,2. Картины Иордана и Эйнштейна связаны конформным преобразованием
9,ш = A\{ip)glw (34)
и переопределением скалярного поля
где А\(ф) ф А2(ф) —неминимальные функции связи. С помощью (34) и (35) действие (33) может быть записано в картине Эйнштейна. Гравитационные уравнения в этой картине тривиальны, а их решение для масштабного фактора имеет вид
а = a0{3t + C)1/3, (36)
где йо и С —некоторые постоянные. Уравнения для скалярных полей соответствуют уравнениям движения для нелинейной трехкомпонентной сигма-модели с лагранжианом
Ь = \[ф2 + А\Ш\ + е2А\{<р)Щ , (37)
где гладкие функции связи выбраны в виде взаимообратных экспонент Ai = А21 = ект'р н кт — дилатонная постоянная связи. Такой выбор функ-
ций связи ведет к интегрируемой модели цепочки Тода, связанной с аффинной алгеброй Ли Л^1'.
Решения для скалярных полей р, <фх, Ф2 определены квадратурами, соответственно,
[ ^ =" + "р, (38)
Ко у/2Е^ - ЕХМ\е-^Ф _ £2М|е2^ V '
[ <1йекМкА?{й), к — 1,2. (39)
•/По
Вводя переобозначения г = ект^, а = -ег^М2, Ь = к^Е^, с = —е^А^М2, можно представить уравнение (38) в следующем виде
Jzo
¿г ,
= и + щ. (40)
у/а!* + Ъг2 + с
Известно, что решения (40) могут быть представлены в эллиптических функциях. Для различных наборов параметров а, Ь и с получены пять случаев решений в эллиптических функциях для скалярного поля </>, которые, учитывая конформное преобразование (34), определяют решения для масштабного фактора в картине Йордана.
Также из решения космологического типа (30)-(32) при АД = §''> выделено сферически-симметричное решение:
п ¡=2
где Я = Я(и) — радиальная переменная, а управляющая функция записывается как
г^-щл' " = й и (42)
Здесь для постоянных 6 и «¡, 2 < г < п, выполняются следующие соотношения
и
+¿4«? = ^гс е, = 2§. (44)
\ ¿=2 / г=2 1
14
Скалярные поля (ра = уа(Л) удовлетворяют уравнениям
+ - »■ («>
Для данного сферически-симметричного решения сформулирована и доказана теорема о том, что при энергетическом параметре е^,, принимающем значения в интервале
(«>
решения типа черных дыр возможны только в случае постоянных скалярных полей.
Предложение. Пусть д — метрика заданная в (41) с параметрами Ь, щ, удовлетворяющими соотношениям (43), (44), «2^0 и — < е^, <
• Пусть такэ/се для любой из метрик дг, г = 3,..., п, квадрат тензора Римапа ограничен снизу Нт{тр^^п'п'р''!{[9г] > С;- Тогда, регулярный горизонт метрики (41) в точке И = Яо имеет место тогда и только тогда, когда
а2 — 1 = а3 = ... = ап = е9 — 0. (47)
Данная теорема находится в согласии с теоремой об "отсутствии волос", доказанной К.А. Бронниковым с соавторами (К.А. Bronnikov et al., Gen. Reí. Grav., 2003), для (2 + (ii)-Mcpnoro сечения метрики и е,„ > 0.
В Заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту:
1. Исследованы суперсимметричные конфигурации из трех ортогонально пересекающихся М-брап, определенные па произведении риччи-плоских пространств в теории 11-мерной Л/* = 1 супергравитации: М2ПЛ/2ГШ5, Л/2ПМ5ПМ5 (два случая пересечений), М5ПМ5ПМ5 (трн случая пересечений). Найдены соотношения для подсчета сохраняющихся суперсимметрий, обобщающие соотношения Бергсхо-ефа для плоских топологически тривиальных фактор-пространств
Получены новые примеры суперсимметричных решений, содержащие такие фактор-пространства как КЗ-поверхности, пространство С^/^2, 4-мерное многообразие типа рр-волны и псевдоевклидово пространство К!'1/^-
2. Для О-мерной (£> > 3) модели супергравитационного происхождения с сигма-модельным источником, определенной на произведении
п эйнштейновых фактор-пространств, получены решения космологического типа, когда (п — 1) фактор-пространств являются риччи-плоскими. Показано, что при некотором выборе параметров найденные космологические решения могут описывать ускоренное расширение трехмерного фактор-пространства. Найдены решения в эллиптических функциях для четырехмерной обобщенной модели Бранса-Дикке с тремя скалярными полями, неуниверсалыю связанными с гравитацией.
3. На основе найденных решений космологического типа получен, при D > 4, подкласс сферически-симметричных решений, определенных на произведении нескольких риччи-плоских фактор-пространств и пространства Sdl, di > 1. Доказано, что при ограничении снизу на энергетический параметр ev : ev > eVa, eVa < 0, и квадраты тензоров Римана для внутренних фактор-пространств, решения с регулярным горизонтом возможны только в случае постоянных значений скалярных полей. Выделено семейство солитоноподобных решений, для которых пост-ньютоновские параметры 4-мерного сечения метрики совпадают со шварцшильдовыми.
4. Найдены решения флаксбранного типа, обобщающие решение Мел-вина и связанные с полупростыми конечномерными алгебрами Ли, для модели, заданной обобщенным р-бранным действием, включающим п полей форм и I скалярных полей, и определенной на произведении риччи-плоских фактор-пространств. Такие решения определяются с точностью до полиномиальных функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентных цепочкам Тоды с наложенными граничными условиями. Написана программа для вычислений полиномов, соответсвующих как классическим сериям алгебр Ли, так и исключительным алгебрам С?2, Fi и Е6. Построены SO-бранные решения, связанные с алгебрами Ли ранга 3: A3, С3. Показано, что для подкласса решений с тремя скалярными полями возможно ускоренное расширение трехмерного подпространства ЛД при наличии малой вариации эффективной гравитационной постоянной. Выделен подкласс решений с экспоненциальным расширением Mi.
Список публикаций
[1] A.A. Golubtsova and V.D. Ivashchuk. Triple M-brane configurations and supersymmetries// Nuclear Physics В. —2013.— Vol. 872, no. 3, —Pp. 289-312.
[2] A.A. Golubtsova and V.D. Ivashchuk. Exact solutions in gravity with a sigina model source// General Relativity and Gravitation. —2012. — Vol. 44, no. 10.-Pp. 2571 - 2594.
[3] A.A. Golubtsova and V.D. Ivashchuk. Triple M-brane solutions and supersynmietry// Tomsk State Pedagogical University Bulletin.— 2012.-Vol. 128, № 13.-Pp. 53 - 58.
[4] A.A. Golubtsova and V.D. Ivashchuk. Fluxbrane and S-brane solutions related to Lie algebras// Physics of Particles and Nuclei.—2012.—Vol. 43, no. 5.-Pp. 720 - 722.
[5] A.A. Голубцова, В.Д. Ивагцук. О космологических решениях с сигма-модельным источником // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика.—2012. — Вып. 3. — Стр. 115 - 128.
[6] A.A. Golubtsova. On multidimensional cosmological solutions with scalar fields and 2-forms corresponding to rank-3 Lie algebras: acceleration and small variation of G// Gravitation and Cosmology. —2010. —Vol. 1G, no. 4.-Pp. 298 - 306.
[7] A.A. Golubtsova and V.D. Ivashchuk. On multidimensional analogs of Melvin's solution for classical series of Lie algebras// Gravitation and Cosmology.-2009.-Vol.15, no. 2.-Pp. 144-147.
Материалы международных научных конференций
[8] A.A. Голубцова, В.Д. Иващук. М-браны на произведении риччи-плоских пространств и дробные суперсимметрии// Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий". Тезисы докладов. — М.: НИЯУ МИФИ.-2012.-Стр. 50.
[9] A.A. Golubtsova. Composite M-branes on the product of Ricci-flat manifolds// The 5th Strings, Cosmology and Gravity Student Conference (SCGSC). - Paris. - 2012. - Pp. 8.
[10] J.-M. Alimi, A. Fiizfa and A.A. Golubtsova. The Cosmological Dynamics of the AWE Hypothesis// 14-я Российская Гравитационная Конференция. Тезисы докладов.— Ульяновск: Издательство Российского университета дружбы народов. — 2011. — Стр. 131.
[11] A.A. Golubtsova. Exact solutions corresponding to Lie algebras in multidimensional gravity theories of string origin// IX International Workshop Lie theory and its applications in Physics.— Varna.—2011.— Pp. 14.
АННОТАЦИЯ
Голубцова Анастасия Андреевна Точные решения в теориях гравитации и супергравитации и сохраняющиеся суперсимметрии
Получены соотношения для вычисления сохраняющихся долей суперсимметрий для конфигураций из трех М-бран. Найдены примеры суперсимметричных конфигураций, содержащие такие фактор-пространства как кз, 4-мерное многообразие рр-волны и двумерное псевдоевклидово многообразие К^'/^г-
Найдены обобщенные решения Мелвина, связанные с полупростыми алгебрами Ли. Выделен подкласс 50-бранных решений, соответствующих алгебрам Ли ранга 3 и описывающих ускоренное расширение 3-мерного подпространства, совместимое с достаточно малым значением вариации гравитационной постоянной.
Для .О-мерной гравитационной модели с сигма-модельным источником получены решения в случаях когда: 1) все фактор-пространства являются риччи-плоскими; 2) одно из фактор-пространств имеет ненулевую кривизну, а остальные являются риччи-плоскими; 3) модель рассматривается в контексте 4-мерной обобщенной теории Бранса-Дикке. Исследован подкласс сферически-симметричных решений. Сформулирована и доказана теорема об "отсутствии волос" для черных дыр.
ABSTRACT
Golubtsova Anastasia Andreevna Exact solutions in gravity and supergravity and preserved supersymmetries
The explicit formulae for computing the amounts of preserved supersymmetries for triple M-brane configurations are obtained. Certain examples of the supersymmetric configurations containing such factor-spaces as K3, C'i/Z2, a four dimensional pp-wave manifold and two-dimensional pseudo-Euclidean manifold R\x IZi are presented.
Generalized Melvin's solutions related to semi-simple Lie algebras are obtained. A subslass of S-branc solutions corresponding to Lie algebras rank 3 is singled out, for which there exists a time interval where an accelerated expansion of a 3-dimensional subspace is compatible with a small enough value of the variation of the gravitational constant.
For a D-dimensional gravitational model with a sigma-model source term general cosniological type solutions are obtained in the cases: 1) when all factor spaces are Ricci-flat; 2) when one factor space has nonzero scalar curvature and other are Ricci-flat; 3) for a 4D model of the generalized Brans-Dicke theory. A subclass of spherically symmetric solutions is studied. The "no-hair theorem" for black holes is formulated and proved.
Подписано в печать: 25.04.2013 Объем 1,0 п. л Тираж 100 экз. Заказ № 103 Отпечатано в типографии «Реглет» 119606, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
На правах рукописи
04201357385
Голубцова Анастасия Андреевна
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ И СУПЕРГРАВИТАЦИИ И СОХРАНЯЮЩИЕСЯ СУПЕРСИММЕТРИИ
01.04.02 - Теоретическая физика
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель д.ф.-м. н.,
Иващук Владимир Дмитриевич
Москва — 2013
оглавление
Вводение ......................................................................4
ГЛАВА 1. Конфигурации из трех М-бран и доли суперсимметрий . . 12
1.1 М-браиы в 11-мериой N = 1 супергравитации..................12
1.2 Обобщенные уравнения Киллинга................................15
1.3 Конфигурации из трех М-бран ..................................19
1.3.1 М2 П М2 П М2-решение ..................................19
1.3.2 МЪ П МБ П М5-решение ..................................23
1.3.3 М2 П Л/2 П А/5-решение ..................................35
1.3.4 М2 П М5 П М5-решение ..................................39
1.4 Выводы..............................................................46
ГЛАВА 2. и ¿'-бранные решения соответствующие алгебрам Ли . . 48
2.1 Обобщенная модель бозонного сектора..........................50
2.1.1 Полиномиальные решения................................56
2.2 Решения типа флаксбран..........................................58
2.3 Решения, связанные с алгебрами Ли ранга 3....................59
2.3.1 Решения с ускорением......................................61
2.3.2 Решение с экспоненциальным расширением ............65
2.4 Выводы..............................................................67
ГЛАВА 3. Точные решения для модели с сигма-модельным источником 69
3.1 ст-модель и полевые уравнения....................................70
3.2 Решения космологического типа..................................75
3.2.1 Решения с п риччи-плоскими пространствами..........75
3.2.2 Решения с одним не-риччи-плоским пространством . . 80
3.3 Примеры решенией уравнений геодезических ..................82
3.3.1 Двумерная сфера............................................82
3.3.2 Двумерное пространство де-Ситтера ....................82
3.3.3 Пространство с диагональной метрикой ¡г ....... 84
3.4 Сферически-симметричные решения .............. 86
3.5 Обобщенная теория Бранса-Дикке................ 93
3.5.1 Эффективная модель................... 95
3.5.2 Решения в эллиптических функциях .......... 97
3.6 Выводы...............................104
Заключение..................................106
Публикации автора.............................109
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Гамма-матрицы....................112
А.1 Расщепление Г-матриц на произведении фактор-пространств 112
А.2 Диагонализация операторов...................113
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Полиномы связанные с алгебрами Ли.......116
Б.1 Явный вид полиномов.......................116
Б.2 Листинг программы........................117
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Уравнения лиувиллевского типа и их решения . . 120 Литература..................................124
введение
Фундаментальные взаимодействия, известные на сегодняшний день 13 физике, можно подразделить на четыре типа: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное. Стандартная модель объединяет все взаимодействия, за исключением гравитации, описываемой Общей теорией относительности (ОТО). Наблюдения и эксперементальные проверки подтверждают многочисленные предсказания данных теорий. Тем не менее, из-за трудностей, возникающих при квантовании гравитации в рамках действия Эйшпгейна-Гпльберга, построить единую теорию, объединяющую ОТО и Стандартную модель, пока не удалось.
Поиски квантовой теории, которая позволяла бы описать все четыре взаимодействия и была бы свободной от ультрафиолетовых расходимостей, привели к использованию суперсимметрии и созданию супергравитации [1]. В работе [2] было получено классическое действие максимальной одиннадцатимерной супергравитации с одним сунермультиплетом, включающим гравитон, майорановское гравитино и 3-форму калибровочного потенциала, а также была изучена ее редукция к 10- и 4-мерным теориям. Возможные супергравитационные теории проклассифицированы в работе [3].
Среди альтернативных подходов к построению квантовой теории гравитации (а также кандидатов на единую теорию всех взаимодействий) были найдены пять 10-мерных суперсимметричных струнных моделей [4,5]. Появление теорий с большим набором калибровочных симметрий и улучшенными свойствами амплитуд рассеяния в ультрафиолетовой области привело к ослаблению интереса к супергравитации. Дальнейшие исследования суперструнных теорий показали, что пять различных моделей связаны друг с другом дуальными симметриями (дуальностями) [6,7] и представляют собой различные предельные случаи 11-мерной фундаментальной Л/-теории [8].
Известно, что в иизкоэнсргетическом пределе и набольших расстояниях можно воспользоваться приближением струны в виде точечной частицы без протяженной структуры. Данная процедура представляется возможной, поскольку энергия релятивистской струны связана с ее натяжением и абсолютному минимуму энергии соответствует сжатие в точку. В работе [8] было показано, ч то супсргравитация типа ПА, соответствующая ПА и гетеротиче-скоп БО(32) суперструнным теориям, может быть получена размерностной редукцией из 11-мерной сунергравитациопной теории.
Таким образом, с течением времени перспективы супергравитации сильно изменились. В настоящее время 11-мерная супергравитация рассматривается как эффективная теория ноля, описывающая низкоэнергетическое приближение фундаментальной гипотетической М-теории. Хотя достаточно много и шесгно о ЛУ-теории, ее основные принципы пока лишь частично изучены. Теория струн и суиергравитация в современных представлениях воплощают многие черты М-теории. Соответствие каждой из теорий ее низкоэнергетическому пределу приведено в Таблице 1.
В работе [14] было обнаружено, что концы открытой струны могут локализоваться на П-бране и безмассовая мода открытой струны генерирует калибровочное поле на мировой поверхности браны. Это усилило мотивацию к изучению суперсимметричных конфигураций в низкоэнергетическом пределе. Таким образом, теория струн —больше не теория только о струнах, теперь она включает другие протяженные объекты—р-браны, впервые возникшие в супергравитационном контексте как солитонные решения уравнений движения [9]. Метрика р-браны представляется в виде прямого произведения (р + 1)-мерного мирового объема и (У) — р — 1)-мерного поперечного пространства к бране [10] и сохраняет (Ротсагёр+1) х50(У? —р—1)-симметрию. Отметим, что такие решения определены гармоническими функциями Н. При зависимости функций Н только от координат поперечного пространства, р-браны называют нелокализо-
Таблица 1
Соответствие между теориями суперструн, М-тсорией и теориями супергравитации
Квантовая теория Эффективная теория
Теория струн типа I В = 10, Н = 1 супергравитация + теория Янга-Миллса с калибровочной группой 50(32)
Теория струп типа ПА Некиральная Е — 10, Л/* = 2 сунергравитация ПА
Теория струн типа ИВ Киральная £> = 10, Л/" = 2 сунергравитация НВ
Теория гетеротических струн 50(32) Е = 10, N — 1 супергравитация + теория Янга-Миллса с калибровочной группой 50(32)
Теория гетеротических струн Е% х Е% И ~ 10, Л/" = 1 супергравитация + теория Янга-Миллса с калибровочной группой х Е%
М-теория .0 = 11, Л/" — 1 супергравитация
ванными. Р-браны обладают внутренним натяжением и зарядами но отношению к антисимметричным формам различных рангов. Если для данных объектов ограничения Богомольного-Прасада-Соммерфильда (БПС) [11,12]
тР > гр, (1)
где Т —натяжение браны, а —заряд (который в свою очередь связан с центральным зарядом алгебры суперсимметрии), переходят в равенство Тр --- (насыщение), то такие р-браны сохраняют некоторую долю исходной суперсимметрии, что предохраняет их от разрушения за счет квантовых
поправок. Заметим, что также существуют устойчивые не-БПС-состояния [13].
В 11-мерной J\f = 1 супергравитации простейшими БПС-решениями являются трехмерная электрическая M2-брана [29] и шестимерная маг-нитая М5-брапа [30], соответствующие фундаментальным объектам в М-тсч)])] 111 п представляющие собой 1/2 БПС-состояпия. Используя прямую размерностную редукцию Л/2-браны и двойную размерностную редукцию М5-браны молено получить БПС-решения, возникающие в супергравитации IIA: D2- и А"51-браны, а также D4- и А^б-браны1, соответственно. D-браны супергравитации IIB связаны с решениями супергравитации IIА преобразованием Т-дуальности.
Доля еуперсимметрий Л/", сохраняемых некоторой БПС-конфигурацией, является инвариантом сунергравитационного фона, который играет ключевую роль в исследованиях дуальности теории струн. Было показано, что при пересечении р-бран некоторая доля сохраняющихся еуперсимметрий имеет вид 7V = п/и, где и — число максимальных еуперсимметрий системы. Для М-теории/11-мерной супергравитации v — 32, а п — 0,1.2,3.4,5.6,8.16, так что в каждом случае сохраняется не более половины еуперсимметрий. Существует несколько способов определить долю еуперсимметрий: 1) прямой подсчет спиноров, сохраняющихся рассматриваемой конфигурацией; 2) использование БПС-условия насыщения Тр = Zp и алгебры еуперсимметрий; 3) «-симметрия действия или метод "пробной браны". Если исследуемая конфигурация представляет собой пересечение нескольких р-бран и/или определена на произведении фактор-пространств, включающих искривленные пространства (в т.ч. риччи-плоские), использование второго и третьего подходов затруднительно, поскольку в данных случаях центральный заряд имеет нетривиальную
Стандартный спектр 1/2 БПС-состояний теории НА состоит из do-, d2-, d4-,d6 и Л8-бран, а также включает NS1-, NS5- и ЛГ59-браны.
структуру. Тем не менее стоит отмстить работу [15], где для 1/2 БПС-состояний максимальных 10- и 11-мериых супергравитаций, определенных на искривленных пространствах, найдены соотношения для центральных зарядов алгебр суперсимметрий.
В данной диссертации найдены соотношения для вычисления сохраняющихся суперсимметрий для трех ортогонально пересекающихся М-бран, определенных на произведении риччи-плоских пространств. Для получения соотношении на каждом из фактор-пространств искалось число ковариант-но постоянных спиноров, а затем анализировалось — какие спиноры удовлетворяют условиям сохранения суперсимметрии, зависящим от конфигураций бран и ориентаций их мировых объемов. Данный подход основан на работах [45,46].
Актуальность дальнейших исследований БПС-решеиий связана с от-крыгпем AdS CFT-еоответствия [IG—18], которое предсказывает, что теория струп/М-теория на некоторых супергравитационных фонах, включающих AdS фактор-пространства, эквивалентна конформно инвариантной квантовой теории поля. Одим из примеров этой дуальности является связь теории суперструн типа IIB, определенной на пространстве AdS5 х S5 и включающей N параллельных D-бран, с четырехмерной N = 1 суперсимметричной теорией Япга-Миллса (см. [19] и ссылки там).
Еще одним важным аспектом БПС-решений является их применение к изучению вопросов, связанных с квантовыми свойствами черных дыр: статистической интерпретации энтропии Бекенштейна-Хокинга, парадокса потери информации, процессов поглощения и распада [20]. В таких задачах исследуемые черные дыры получаются из (в т.ч. пересекающихся) р-бран высшей размерности компактификацией (намоткой) на некоторое многообразие. Исследованию данных проблем посвящено огромное количество работ в теории струн. Большинство из них основано на подходе из работы [21], который состоит в том, что "микроскопический" вывод энтропии Бекенштей-
на-Хокинга в 10-мерной теории с компактификацией на КЗ х 51 для экстремальной черной дыры размерности Б — 5 с геометрией вблизи горизонта Ас132 х б'3 производится путем подсчета плотности БПС-состояний.
Значительный интерес представляют также иесохраияющие суперсим-метрий, нестабильные р-браны (не-БПС-браны). В 11-мерной супергравитации, а также сунергравитациях ПА и ПВ, к таким объектам относятся решения космологического типа — нелокализованные флакс- (Рр-) и ¿"-браны. Флаксбраны могут быть использованы в качестве фоновой метрики для изучения движения струны [22,23], а также в исследованиях дуальностей струнных теорий [58|. Необходимо отметить результат работы [24], который говорит о соответствии флаксбран с магнитным зарядом и электрических черных р-бран. Так что в V — 4 простейшее флаксбранное решение представляет собой аналитическое продолжение решения типа черной дыры Райснера-Нордстрема. Важным аспектом пространственно подобных 5-бран, имеющих евклидову сигнатуру мирового объема [65], является их применение к космологическим задачам [72]- [76].
Ввиду нелинейной структуры уравнений Эйнштейна, наличия скалярных полей и нолей форм, нахождение и исследование решений в теориях супергравитации представляется нетривиальной задачей. В работах [35,36] развит сигма-модельный подход получения решений в моделях ср-бранами. Согласно этому методу, нолевые уравнения, соответствующие р-бранному действию, в предположении, что тензор энергии-импульса имеет диагональный вид. а скалярные поля и поля форм зависят только от одной координаты, эквивалентны уравнениям движения для лагранжиана сигма-модельного типа
ь* = \ядАВ{х)дихАдихв, я > о, (2)
А
где Оав(Х) — метрика пространства-мишени Л4, X — мультиплет скалярных полей. Для генерации точных решений особенно важен случай, когда
М представляет собой однородное симметрическое многообразие и может быть представлено в виде фактор-пространства группы движений по подгруппе изотропии. Тогда новое решение может быть построено с помощью действия преообразования из группы движений многообразия М. на некоторое известное решение, записанное в терминах ХА.
В работах [25]- [28] изучались 4-мерные модели, возникающие при ком-пактификации супергравитационных теорий таких как: теория Эйнштейна-Максвелла с дилатопом и аксионом (ЭМДА), дилатон-аксионная гравитация с произвольным набором абелевых полей и теория Эйнштейна-Максвелла с дилатоном (ЭМД) при произвольной константе связи. Было показано, что их пространства-мишени имеют косетную структуру, что для аксиальносимметрического случая влечет существование пар Лакса и, следовательно. такие модели являются интегрируемыми [28].
Настоящая диссертация посвящена изучению БПС-конфигураций из трех ортогонально пересекающихся М-бран, нахождению соотношений для подсчета доли сохраняющихся суперсимметрий, а также поиску и исследованию точных решений супергравитационного происхождения, определе-ных на произведении эйнштейновых фактор-пространств. Структурно работа организована следующим образом.
В первой главе исследуются суперсимметричные (БПС-) решения И = 11 супергравитации, описывающие три пересекающиеся М2- и М5-браны, заданные на произведении риччи-плоских многообразий. Ищутся решения обобщенных уравнений Киллинга. Для каждой из М-бранных конфигураций получены соотношения для вычисления сохраняющихся суперсимметрий. Рассматриваются примеры конфигураций, содержащие различные риччи-плоские и плоские с нетривиальной топологией фактор-пространства: многообразие типа рр-волны, многообразия Калаби-Яу,
сцг2 и
Вторая глава посвящена изучению обобщенной р-бранной модели в произвольной размерности О, определенной на произведении риччи-плоскпх пространств и содержащей п полей форм и I скалярных нолей. Используя сигма-модельный подход, построены (не-БПС) решения тина флаксбран, связанные с алгебрами Ли. Такие решения представляют собой многомерное обобщение решения Мелвина. Подкласс космологических 5-бранных решений, соответствующих алгебрам Ли ранга 3, исследуется на наличие временного интервала, в котором ускоренное расширение 3-мерного подиросчранства совместимо с достаточно малым значением вариации эффективной гравитационной постоянной.
В третьей главе рассматривается .О-мерная (О > 3) модель супергравитационного происхождения с сигма-модельным источником, определенная на произведении п эйнштейновых фактор-пространств. Показывается, что решения космологического типа определены решениями уравнений геодезических для пространства-мишени сг-модели. Исследуются сферически-симметричные решения в размерности О > 4, определенные на произведении пространства , е^ > 1, и нескольких риччи-илоских фактор-пространств. Кроме того, с помощью представленного в главе сигма-модельного подхода, найдены решения для модели обобщенной теории Бранса-Дикке, включающей три скалярных поля, неуниверсально связанных с гравитацией.
Основные результаты диссертации перечислены в Заключении, после которого находится список публикаций автора.
Ссылки на работы автора заключены в фигурные скобки, например, {3}, тогда как ссылки на работы других авторов заключены в квадратные скобки, например, [37], и относятся к списку литературы в конце диссертации.
глава 1. конфигурации из трех м-бран и доли супер симметрии:
1.1. М-браны в 11-мерной N = 1 супергравитации
Данная глава посвящена исследованию суперсимметричных конфигураций, возникающих в 11-мерной N = 1 супергравитации. Напомним, что одипнацатимерную супергравитацию можно рассматривать как низкоэнергетический предел М-теории. Фундаментальными объектами данной теории являются электрическая М2-брана [29] и магнит�
