Обобщенное каноническое квантование теории бозонных струн в фоновых полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТО ДЕР Георгий Борисович

ОБОБЩЁННОЁ КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ТЕОРИИ БОЗОННЫХ СТРУН В ФОНОВЫХ ПОЛЯХ

01.04.02 - теоретическая физика О

оЛ-^ч' Диссертация

ч на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор

БУХБИНДЕР И.Л.

кандидат физико-математических наук, доцент

ПЕРШИН В.Д.

Томск - 1998

Содержание

Введение 4

1 О возможности построения квантовой калибровочно-инвариантной формулировки классической некалибровочной теории 18

1.1 Постановка задачи . . _____. . , . . . . , . . , . . . . ... . 18

1.2 Стандартная схема БФВ-квантования для классических калибровочных теорий .................... 22

1.3 Квантовая калибровочно-инвариантная БФВ-формулировка некалибровочной классической теории ........... 27

1.4 Введение в технику символов операторов.......... 31

2 БФВ-квантование замкнутой бозонной струны в фоновых полях 38

2.1 Классическое действие и гамильтониан теории...... 41

2.2 Выбор упорядочения операторов............... 47

2.3 *-коммутаторы и фундаментальные свёртки........ 51

2.4 Конформно-инвариантная квантовая формулировка теории 64

3 Каноническое квантование открытой бозонной струны в фоновых полях 70

3.1 Исходная формулировка теории............... 71

3.2 Упорядочение канонических операторов .......... 80

3.3 Регуляризованные фундаментальные свёртки..............82

3.4 Квантовая алгебра операторов Вирасоро и конформно-инвариантная квантовая формулировка теории............85

Заключение 88

Список литературы 90

Введение

Вторая половина двадцатого века ознаменовалась значительным прогрессом в теоретическом описании элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий. Появилась квантовая теория поля (КТП), физические концепции и формальный аппарат которой представляют собой логически последовательную основу для описания взаимодействий элементарных частиц, основные идеи, методы и результаты КТП изложены, например, в книгах [1] - [5].

Вслед за квантовой электродинамикой (КЭД) построены теория электрослабых взаимодействий (ТЭВ) и квантовая хромодинамика (КХД) — теория сильных взаимодействий — калибровочные теории (теории Янга - Миллса [6]), отвечающие группам внутренней симметрии 5С/(2) х ¿7(1) и 5£/(3) соответственно. Обе теории подтверждаются экспериментально, хотя и в различной степени. Стало реальным объединить указанные выше теории в одну так называемую теорию великого объединения (ТВО), в которой все взаимодействия неразличимы при энергиях выше 1015 Гэв и содержится низкоэнергетическая подгруппа 577(3) х 577(2) х ?7(1).

Энергии объединения ТВО в настоящее время недостижимы, но ещё более далеки от прямой экспериментальной проверки характерные масштабы масс в квантовой гравитации (масса Планка порядка (Тгс/Ог)1/2 « 1019 Гэв), и реальная надежда проверить теорию квантовой гравитации всегда состояла в том, что в процессе её последовательного построения можно понять, как она должна объединяться с другими фундаментальными силами. Единая теория гравитации и других взаимодействий могла бы однажды через свои следствия выйти на эксперимент путём предсказания новых явлений при высоких, но достижимых энер-

гиях. Поэтому, когда выяснилось, что идея Янга и Миллса может быть обобщена на любую компактную группу Ли, и было показано, что на гравитацию можно смотреть как на неабелеву калибровочную теорию, появилась новая возможность единообразного описания материального мира.

Тем не менее, гравитация долго оставалась в стороне: между ней и теориями Янга - Миллса имеется огромная разница: теории Янга -Миллса формулируются на многообразии с заранее заданной топологией и являются перенормируемыми, а ОТО (общая теория относительности) описывает геометродинамику пространства-времени и оказывается неперенормируемой. Трудности усугублялись сложностью выбора симметрии, подходящей для объединения гравитационного взаимодействия с другими: первое основано на пространственно-временной симметрии, тогда как остальные связаны с внутренними калибровочными симметриями. Алгебры симметрии, нетривиальным образом связывающие пространство-время и внутренние пространства, были найдены [7, 8, 9] и названы суперсимметриями. Закон умножения в них включает как коммутаторы, так и антикоммутаторы. Появилась возможность создания калибровочных теорий суперсимметрии, в которых все взаимодействия должны иметь геометрическое происхождение и до нарушения суперсимметрии различия между материальными и калибровочными полями быть не должно. Другими словами, эти фундаментальные составляющие материи должны образовывать неприводимое представление калибровочной группы суперсимметрии. Так как статистика бозонов и фермионов различна, алгебраическая структура должна приводить к преобразованию частиц одного сорта в частицы другого сорта и наоборот.

В качестве калибровочной теории суперсимметрии в 1976 году по-

явилась супергравитация [10, 11] , возродившая мечту о единой полевой теории и осмысленной квантовой гравитации, тем более, что теория N = 1 - супергравитации оказалась перенормируемой.

Было показано, что так называемая N - расширенная супергравитация содержит — 1)/2 векторных полей, то есть столько, сколько нужно для введения калибровочной 50(]V) - симметрии. Поэтому мы приходим к выводу, что, если считать частицы со спинами 0 и 1/2 полями материи, то в супергравитации достигаются две фундаментальные цели: объединение пространственно-временной и внутренних локальных симметрий в единой калибровочной теории и объединение калибровочных и материальных нолей в единое неприводимое представление группы симметрии. Вследствие этого можно рассматривать материальные и калибровочные частицы как различные "поляризации" одной суперчастицы. N = 8 - супергравитация со спонтанно нарушенной симметрией, например, описывает почти всю феноменологию элементарных частиц [12] . (По суперсимметрии и по супергравитации имеются следующие книги [12] - [15].)

Основной качественной чертой супергравитации является инвариантность относительно локальных преобразований суперсимметрии. Аналогами полей Янга - Миллса, отвечающими локализации суперсимметрии, являются поля спина 3/2 — гравитино. Обладая многими другими важными свойствамиг супергравитация является первым примером теории, включающей поля спина 3/2, взаимодействующие с другими полями. Однако, до сих пор приходится ограничиваться моделями супергравитации, не содержащими поля со спином 5/2 и выше. Нетривиальные теории безмассовых полей высших спинов явились бы следующим звеном в цепи уже известных калибровочных теорий спина 1 (теории Янга - Миллса, в том числе ТЭВ и ТВО), спина 2 (гравитация),

спина 3/2 (супергравитация),

Проблема построения непротиворечивой теории полей высших спинов впервые была поднята Дираком [16] как задача обобщения его знаменитого уравнения для поля спина 1/2. В тридцатые годы Фир-цем и Паули [17] развивалась теория массивных частиц высших спинов. Теоретико - групповой подход учёных1 базировался на физических требованиях лоренц - инвариантности и положительности энергии. Введение взаимодействия приводило к изменению числа степеней свободы, и, следовательно, к трудностям, связанным с проблемой несогласованности свободной теории и теории с взаимодействием. Однако, в середине шестидесятых годов началось открытие многочисленных сильновзаимо-действующих резонансных частиц со спинами больше двух, и, кроме того, частицы с высоким спином появлялись в квантовой гравитации. (Подробно о квантовой гравитации см. в книге [20] .) Поэтому необходимость и желание построить непротиворечивую квантовую динамическую теорию полей высших спинов, включающую их взаимодействие, заставили теоретиков вновь заняться этой проблемой.

Волновые уравнения, описывающие свободные массивные частицы со спином больше двух, рассматривались многими авторами (например, [21] - [23], см. также [24] и имеющиеся там ссылки; современная точка зрения на проблемы, связанные с построением непротиворечивой теории полей высших спинов, высказывается в книге [1]). Однако, в связи с достижениями калибровочных теорий и созданием супергравитации, более актуальным стало изучение безмассовых частиц произвольного спина (свободные уравнения, описывающие их, были получены в работах [22, 23] , некоторые безмассовые поля рассматривались также в [5]).

Фигнер [Щ и Баргман и Внгпер [19] показали, что поля элементарных частиц отвечают неприводимым представлениям группы-Пуанкаре.

Попытки введения гравитационного взаимодействия безмассовых полей высших спинов (см., например, [25], [26]), последовавшие вскоре после открытия супергравитации, столкнулись с трудностями, суть которых в том, что стандартное введение калибровочного взаимодействия разрушает калибровочные симметрии высших спинов. Но гравитационное взаимодействие присуще любой материи, поэтому авторы работ [27], [28] пришли к выводу, что при решении проблемы построения непротиворечивого гравитационного взаимодействия безмассовых полей высших спинов должны играть роль следующие два обстоятельства: 1) любая непротиворечивая теория, включающая в рамках гравитации хотя бы одно безмассовое поле спина больше двух, содержит бесконечное число полей с неограниченно возрастающими спинами; 2) взаимодействие полей высших спинов неаналитично по кривизне фонового пространства (отсутствует плоская контракция неабелевой симметрии высших спинов). Однако, оба свойства не противоречат возможности разумной физической интерпретации обладающих ими теорий. В частности, второе свойство относится к фазе с ненарушенными симметриями высших спинов, а не к реальному миру, в котором, так же , как и обычная локальная суперсимметрия в суперг.равитации, симметрии полей высших спинов должны быть нарушены. Одновременно с этим нарушением изменит своё значение космологическая постоянная, а поля высших спинов приобретут массу.

В работе [27] построена теория, описывающая взаимодействие полей высших спинов с гравитацией и обладающая расширенной суперсимметрией, найдены бесконечномерные глобальные супералгебры высших спинов в пространстве де Ситтера, разработан формализм для калибровочных полей высших спинов, который в случае свободных полей оказался полностью эквивалентен теории, представленной в [22, 23].

Основываясь на этих результатах, авторы предположили, что полные уравнения для безмассовых ж вспомогательных полей имеют структуру, характерную для свободных дифференциальных алгебр. В работе [28] выяснялась конкретная структура действия теории и её истинная локальная симметрия (см. также [29] - [33]).

Теории суперчастиц произвольного спина строились на многообразиях различной размерности. Вообще, в поисках единой теории поля физики неоднократно приходили к конструкциям в пространстве размерности И > 4. В настоящее время предполагается (например, в струнных теориях), что наблюдаемый мир является лишь низкоэнергетическим приближением реального, а остальные размерности компактифицированы и имеют характерные размеры порядка планковского масштаба (механизм компактификации не найден, но его различные варианты разбирались во многих работах, например, в [34] - [36], о компактификации многообразий в рамках М - теории см., например, обзор [37]).

Впервые теория с дополнительными измерениями рассматривалась ещё Калуцей и Клейном [38, 39] (позже её анализ проводили Эйнштейн и Баргман [34]), как способ объединения гравитации и электромагнетизма. Неабелево обобщение теории Калуцы - Клейна впервые было упомянуто в книге [4].

В современных теориях N - расширенной супергравитации одним из способов ликвидации трудностей, связанных с незамкнутостью групповой супералгебры, является размерная редукция2, идея котой состоит в следующем: в пространстве £>(> 4) измерений3 формулируется супер-

20 размерной редукции в КТП см., например, в [2], в супергравитации — в [20].

3Хорошо известно [40], что в О > 4 - мерном пространстве-времени неприводимое представление группы Пуанкаре характеризуется не двумя числами — спином и массой, как в четырехмерна, а большим их количеством. Представление задаётся так называемым старшим весом. Поэтому необходимо всякий раз оговаривать, что понимается под спином в каждом рассматриваемом случае (см. также

гравитация? а затем дополнительные координаты устраняются путём некоторой редукции и получается N - расширенная супергравитация в пространстве Минковского М(3; 1). В связи с этим возникает необходимость изучать различные свойства расширенных моделей, анализируя их в пространстве В > 4 измерений (см., например, [12]).

Таким образом, с современной точки зрения, для создания единой теории наличие литттних измерений является преимуществом, а не недостатком. Кроме того, совершенно ясно, что должна существовать простая и эффективная геометрическая формулировка теории, наделённой свойствами супергравитации, включающей поля высших спинов и являющейся динамической теорией: некоторого суперпространства.

В настоящее время единственным реальным претендентом на роль единой теории, является теория суперструн, обладающая описанными

выше свойствами. (Этой теме посвящены, например, монографии [42], [«]•)

Струнные модели появились в физике на рубеже шестидесятых -семидесятых годов [44] при попытках описания механизма сильных взаимодействий. Струны представляют собой одномерные объекты с длиной порядка Ю-35 м, ненаблюдаемой в настоящее время. Их динамика разворачивается на двумерной поверхности — мировом листе — в фоновом многообразии (П - мерном пространстве-времени) и описывается геометрическим образом. Бозонные модели имеют смысл в двадцати шести, а фермионные и суперструнные — в десяти измерениях. В струнном спектре имеются безмассовые частицы и массивные частицы различного спина. В частности, в секторе замкнутых струн появляется безмассовая частица спина 2, чьё взаимодействие аналогично взаимодействию в ОТО, поэтому её можно интерпретировать как гравитон. Безмассо-

работу [41]).

вые состояния открытых струн соответствуют векторным полям Янга - Миллса. Таким образом, струны включают все известные взаимодействия.

Динамика струн описывается двумерной перенормируемой квантовой теорией. Именно факт перенормируемости выделяет одномерные струны по сравнению с их аналогами большей размерности ( которые называются р - бранами, где р — размерность объекта). Квантовая теория возмущений для струн может быть сформулирована на языке функциональных интегралов с суммированием по всем возможным топологиям мирового листа, п - петлевая фейнмановская диаграмма для струны представляется замкнутой двумерной поверхностью с п ручками. Она содержит фактор , где — константа связи, соответствующая взаимодействию струн (см., например, [42]). В каждом порядке ряда теории возмущений имеется: только одна диаграмма, представляющая собой конечномерный интеграл, не содержащий ультрафиолетовых расхо-димостей, что приводит к возможности непротиворечивого включения квантовой гравитации в рамках пертурбативной теории струн.

Первая непротиворечивая модель струны, включающая бозоны и фермионы и реализующая суперсимметрию, была построена в работах Рамона [45] и Невё и Шварца [46, 47]. На мировом листе такой суперструны имеются различные суперполя, в том числе, описывающие грассма-новы степени свободы, которые связаны с суперсимметрией и калибровочными симметриями. Шерк и Шварц [48] предложили рассматривать такие суперструнные модели как единую теорию поля. Было показано, что из теории могут устраняться тахионы (состояния с отрицательным квадратом массы), а также, что в фоновом многобразии размерности В = 10 число фермионныхи бозонных степеней свободы становится равным, если потребовать, чтобы фермионы удовлетворяли одновременно

вейлевскому и майорановскому условиям. Суперсимметрия новой теории была окончательно доказана в работе [49].

В настоящее время известно пять самосогласованных пертурба-тивных теорий суперструн, "живущих" в десятимерном пространстве с девятью пространственными и одним временным измерениями. Это суперструны типов I, НА, ПВ (см., например, [42], [43]) и гетеротические Е% х -Е<8 и ЗО(32) модели суперструн, предложенные впервые в работе [50] (см. также [42], [43]).

Благодаря недавним открытиям новых нетривиальных симме-трий, названных 5 - и Т - дуальностями [51] - [53], [54], было показано, что все пять теорий суперструн могут быть объединены в рамках одной теории, описывающей динамику струн и объектов большей размерности (р - бран). Это так называемая М - теория, которая формулируется в одиннадцатимерном пространстве с десятью пространственными и одним временным измерениями, обладает очень богатой внутренней структурой, включа