Вопросы квантовой теории топологически массивной гравитации и теории струн в массивных фоновых полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г * П т

! ^ и ; I

2 9 АПР 1336

На правах рукописи

Крыхтин Владимир Александрович

УДК 530.12 : 531.51

ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИ МАССИВНОЙ ГРАВИТАЦИИ И ТЕОРИИ СТРУН В МАССИВНЫХ ФОНОВЫХ ПОЛЯХ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических иаугс

Томск - 1988

Работа выполнена на кафедре квантовой теории ноля Томского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-иатсма.тических наук, профессор Бухбиндер И.Л.,

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико - математических паук, профессор Лавров П.М кандидат физико - математических паук, доцент Трифонов АЛО.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Центр гравитации и фундаментальном метрологии, ВНИИМС (г. Москва)

Защита состоится "_"_ 1996 г. в_часов на

заседании специализированного совета Д 063..Ь3.07 в Томском государственном университете (634050, Томск, пр. Ленина, 36).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ * специализированного совета кандидат физико-математических наук

Ляхович С.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одной из самых привлекательных идей теоретической физики высоких энергий на протяжении нескольких последних десятилетий является идея построения единой теории всех фундаментальных взаимодействий. По современным представлениям эта1 теория призвана свести всё многообразие элементарных части Ц и iW взаимодействий к небольшому числу универсальных принципов'.

Так как все существующие теории взаимодействий и теории, пре-те'НДуюноге irá роль единых теорий взаимодействий, строятся на осно-áé принципа'локальной калибровочной инвариантности, то возникает естественный вопрос о квантовании таких теорий. В настоящее время существует несколько схем квантования калибровочных теорий. Поэтому вй&ньш становится вопрос об их статусе и совместимости.

ПЬпытй!'объединения гравитации с другими взаимодействиями наталкиваются на принципиальные трудности. Более того, до сих пор не существует удовлетворительной во всех отношениях квантовой теории i'íiaÜiíTauiüí.

Необходимость квантования гравитации вызвана теи, что элемен-fapiifife частицы — объекты квантовой ппироды и соединение классн-■i'édtfóib взаимодействия и квантовых источников представляется нёпо-¿лёдовательным. Также к необходимости квантования гравитации при-¿Ьдит идея инфляционного сценария образования Вселенной. Согласно ríóiiy сценарию Вселенная образовалась за счёт быстрого расширений'области размером порядка lp ~ 10-засл«> в которой существенную роль играют квантовые эффекты. Поскольку гравитационное взаимодействие универсально (т.е. присуще всем видам материи), то есте-угвеино считать, что построение полней, закопченной квантовой тео-

з

рии гравитации неотделимо от построения единой квантовой теории всех физических полей.

Эйнштейновская теория гравитации, построенная на основе принципа общей ковариантности ведёт к уравнениям движения, которые в случае слабых полей (потенциал гравитационного поля у -С с2) редуцируются к уравнениям движения теории тяготения Ньютона. Однако попытки квантования этой теории обнаруживают её неперенормиру-емость. Так как экспериментальная проверка теории тяготения Эйнштейна была проведена лишь для слабых нолей, то поэтому имеют право на существование и другие теории гравитационного взаимодействия и любая нетривиальная модель квантовой гравитации представляет значительный интерес. ,

В настоящее время главным претендентом на роль теории, описывающей все взаимодействия, является теория сунерструн в многомерном пространстве. Основные трудности при построении струнных теорий связаны с попытками описания струнного взаимодействия. Рассмотрение струны в фоновых полях представляет собой один из способов такого описания. В основе этого способа описания взаимодействия струн лежит принцип вейлевской инвариантности квантовой теории, согласно которому перенормированный след тензора энергии-импульса должен обращаться в ноль. Это условие накладывает ограничения на структуру теории, выражающееся в форме уравнений движения для фоновых полей. Актуальным является вопрос о непротиворечивости различных способов описания струнного взаимодействия. Рассмотрение струны в фоновых полях таккже представляет интерес и с точки зрения обеспечения примером непротиворечивой системы уравнений движения для полей высших спинов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:

1. Найти операторную реализацию квантовых связей и структурных функций низшего порядка в однопетлевом приближении ди-раковского квантования систем со связями первого рода общего вида. Выяснить совместимость трёх известных схем канониче-

ского квантования систем со связями первого рода: квантования Баталина-Фрадыша-Вллковыского, дираковского квантования и квантования в раоунирозашюм фазовом пространстве с найдешш-мн операторными реализациями для связей и структурных функций.

2. Построить каноническую формулировку теории топологически массивной гравитации. Найти явный вид связей и их алгебру. Произвести классификацию связей. По построенной канонической формулировке явно вычислить локальные меры для теории топологически массивной гравитации и для чсрп-саймонсовской теории.

■ Проверить, сокращают ли полученные локальные меры однопе-тлевые объёмные расходимости соответствующих теорий.

3. Для теории открытой боронной струны, взаимодействующей с бесконечным набором массивных фоновых полей, изучить общую структуру перенормировки. Для открытой струны, взаимодействующей с фоновыми полями первого, массивного уровня, построить перенормировку фоновых полей и составных операторов в линейном по фоновым полям приближении. Ии условия равенства нулю перенормированного оператора следа тензора энергии-импульса получить уравнения движения для фоновых полей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ЗНАЧЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. В

работе впервые получены следующие результаты. Найдена операторная реализация квантовых связей и структурных функций низшего порядка в одпопетлевом приближении дираковского и БВФ квантований систем со связями первого рода общего «уда. Показано, что полученные операторы являются ковариант.нымн относительно диффеоморфизмов конфигурационного пространства. Установлена однопетлевая квазиклассическая эквивалентность дираковского и БВФ квантовании с квантованием в редуцированном фазовом пространстве с найденными операторными реализациями для связей и структурных функции.

Построена каноническая формулировка теории топологически массивной гравитации. Найден явный вид связей и их алгебра. Произведена классификация связей. Явно вычислены локальные меры для те-

ории топологически массивной гравитации л для чери-саймонсопской теории. Показано, что полученные локальные меры сокращают одно-петлевые объемные расходимости соответствующих теорий.

Для теории открытой бозонной струны, взаимодействующей с бесконечным набором массивных фоновых полей, проведен общий анализ структуры расходимостей. Показано, что существует последовательное описание струнных моделей, содержащих фоновые поля, отвечающих фиксированному (конечному) числу массивных струнных мод.

Детально изучен случай открытой струны, взаимодействующей с фоновым и полями первого массивного уровня. Проанализирован статус различных структур в классическом действии в смысле их соответствия струнному спектру. Найден вид преобразований фоновых полей, связанных с возможностью добавления к лагранжиану полных дивергенций.

В линейном по фоновым полям приближении осуществлена перенормировка полей первого массивного уровня открытой струны и соответствующих составных операторов. В рассматриваемом приближении построен оператор следа тензора энергии-импульса и из условия квантовой вейлевской инвариантности теории получены уравнения для фоновых полей. Продемонстрировано, что тензорный состав полученного набора полей согласуется со струнным спектром.

ПУБЛИКАЦИЙ. По теме диссертации опубликовано 5 работы.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 100 страницах текста. Библиография включает 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех гла,в, двух приложеиий, заключения и списка литературы.

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность выбранной темы, дано краткое описание структуры диссертации и основных решаемых задач.

ГЛАВА 1 посвящена вопросам гамильтонова квантования систем со связями первого рода.

В П.1 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ показано, что схема дираковского квантования вложена в схему БВФ квантования в координатном (Л,С,С) представлении, так что |Ф(Л,С,С)) может рассматриваться как вектор состояния в дираковском секторе расширенного пространства, параметрически зависящий от (А,С,С). Затем, предполагая, что он достаточно быстро убывает при Л —> ±оо, определим волновую функцию

№ = / ЛХ |Ф(А,С,С))|с-0 .

+0О

Тогда, если П|Ф(А,С,С)> = 0, где

й = +с% + \сс»ЬиРа + + ...

нилыютентньш БРСТ оператор, то

г„И=о (1)

и IV') не зависит от С. И из нильпотентности БРСТ оператора П3 = О следует, что

[Т„Ти\=гкй^Та, (2)

которое является условием самосогласованности (1).

о

В П.2 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ из условия самосогласованности (2) находятся операторы Та и в одиопетлевом приближешш квазиклассического разложения с помощью др-символов (все импульсы стоят справа от всех координат д*). Решение имеет вид

V" = N

Найденные решения обладают двумя свойствами. Первое свойство касается свойства эрмитова сопряжения найденных операторов

% - = дИ + у(^лМ + 0(Л3),

которое находится в полном согласии с общей теорией БВФ квантования (которое следует из самосопряжённости БРСТ оператора П), однако здесь оно получается исключительно как решение (2). Второе свойство заключается в следующем. Если на классическом уровне произвести преобразование координат д' — д'(г/) и импульсов р; = р^Зд^/Эд', то на квантовом уровне операторы будут связаны соотношением

N

дд

-1/2

О

дч

цг

О'.

где О = (Тм, при условии, что на классическом уровне 0{д,р) = В П.З ПЕРВОЙ ГЛАВЫ

находится решение уравнения (1) с найденными операторами связей в однопетлевом приближении квазиклассического разложения. Решение имеет вид

\ JJ^ietc|a, /

где </) — классическое действие, вычисленное на экстремали соединяющей точки д и = — произвольная постоянная обратимая матрица, х% 11 Хр — произвольные векторы в точках д н ^ соответственно, такие, что матрица "Фаддеева-Попова" не вырождена

ОТ»

J = О,

V' =

'У!

Показано, что найденное решение не зависит от всех вспомогательных величин (хГ»с(ш>х£)- '

В П.4 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ дапа физическая интерпретация полученного решения, которая становится ясной в физических переменных. Для этого налагаются дополнительные условия х^А»*)« 11е зависящие от импульсов, и х? отождествляются с 8x^(0, t)fдqt. Тогда можно показать, что

/ I \ 1/2 / V \ >/г

,=<(, о,«'=«((',!')

Здесь £ — физические степени свободы, 0>') = О, М опреде-

ляется из соотношения <Г~т£ = (Г'дб^(х)М и — извест-

ное решение Паули-Ван Флека-Моретт, полученное для невырожденных теорий.

Так как есть унитарный пропагатор физических состо-

яний, в схеме квантования в редуцированном фазовом пространство, то может рассматриваться как пропагатор дираковской волновой функции которая связана с <$(£>') посредством

/ 3 \1/2

»-к«.»)

Обычное физическое скалярное произведение п схеме квантования в редуцированном - фазовом. пространстве

может быть тождественно переписано и как скалярное произведение для дираковскйх волновых-, функций в ^-пространстве

(Ф\ФУ= ¡¡М&Ыя, 0) Ф'ШФАч).-

Таким образом^, оказывается, что дираковское и БВФ квантования эквивалентны, в-однопетлевом приближении квазиклассического раз-ложения.квантованию в редуцированном фазовом пространстве.

В! ЕЛАВЕ 2 проведён канонический анализ и квантования трехмерной топологически массивной гравитации.

В П.1 ВТОРОЙ ГЛАЕЫ используя разложение метрики, д^ ~ (ffaitflOi = N4,3oo = — W2 4- WoW), действие топологически массивной гравитации

S = 6'в +

5в = -jtjfx^R,

Scs = + (3)

записало в 2 + 1 форме. Дано краткое описание построения канонической формулировки для произвольной системы со связями с высшими производными. Построена гамильтонова формулировка теории топологически массивной гравитации. Найдены первичные связи теории.

В П.2 ВТОРОЙ ГЛАВЫ из условия сохранения первичных связей найдены все связи теории. Найдена алгебра связей и произведена их классификация. Показано, что для теории топологически массивной гравитации существует три связи первого рода и четыре связи второго рода, что приводит к существованию одной степени свободы. При переходе к действию» чисто черн-саймонсовской теории, которое получается из (3) устремлением го 0, к2 —► со, так чтобы их произведение тк1 оставалось постоянной величиной, две связи второго рода становятся связями первого рода и оказывается, что теория с действием Черна-Саймоиса не имеет физических степеней свободы. Проведена аналогия с действием Черна-Саймонса для полей Янга-Миллса.

В П.З ВТОРОЙ ГЛАВЫ по построенным каноническим формулировкам написаны функциональные интегралы для обеих теорий, которые после интегрирования по импульсам и дополнительным координатам принимают стандартный вид, соответствующий процедуре Фаддеева-Попова, дополнений локальными мерами

Z[J] = J Dg,v det ^«(x'Wsl exp j»(S[V] + / AsJ""^)} >

для теории топологически массивной гравитации и

Z\A = / Dg^ det exp + / d3*.?""^)}, ,

ю

М = {-9)~г.

для теории с действием Черна-Саймонса. Здесь х = (x'Sx5)» ^ — (Ci^)

— дополнительные условия и параметры общекоординатных и вейлевских преобразований, У" — внешние источники.

В П.4 ВТОРОЙ ГЛАВЫ второй главы вычисляются объймиые расходимости однопеглсвых эффективных действий рассматриваемых теорий. Показано, что благодаря наличию меры, однопетлевые объемные расходимости сокращаются.

В ГЛАВЕ 3 рассматривается действие бояошшй струны взаимодействующей со всевозможными фоновыми нолями. Из условия вейлевской инвариантности квантовой теории получены в линейном по фоновым полям и однопетлевом приближениях уравнения движения для полей первого массивного уровня открытой струны.

В П.1 ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЫ описывается общая структура перенормировки в теории с действием

s = t o\:)(z,dx(z))B^(x(z)) +

Hfl 1=0 ¡«=1

+ Jdte t (¿)t/2 £ x{t))Bf}k\x{t)), (4)

вм k=0

Здесь и В?™ — фоновые толя, соответствующие я-му и к-му массивному уровню в спектрах замкнутой и открытой струны соответственно, О^ — конструкции, построенные из двумерной метрики <7®', тензора Лепи-Чипита саЬ, производных струнных координат дьХ,Оадьх, . ..и двумерной кривизны /Z'2', Ол(%Ц(г\ ... .

dx1'

— конструкции, построенные из производных ¿'' = —..., пнеш-

Cd z" dz с!гс\

4- dt ^ 1 (п. — внутре-

няя нормаль к границе) и сё производных, f — параметр на границе

и e2(t) = 3ab{z{t))--—. Так как в отличие от может со-

держать любые степени производных но I, в том числе и нечетные, то

Л

•изложение во втором члене в (4) вдет по степеням а'1!2. Любая конструкция с размерностью больше двух в действии воспроизводит бесконечный набор расходимостей уже в оцнопетлевом приближении. Тем не менее, в расходимости любого заданного типа даёт вклады лишь конечное число членов классического действия, что позволяет последовательно строить перенормировку для полей и составных операторов любого массивного уровня.

В П.2 ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЫ детально анализируется действие для открытой струны, взаимодействующей с фоновыми полями первого массивного уровня

S[x] = ЗД + ЗД,

ЗД = i- jd'z^d^dbx^, ш cJ1>2 /•

ЗД = -Г- Jdte(t)[Al„(x)*li' + Blt[x)x* + K3<pi(«)+

9Af

+ Kvi{z) + Kx^ip^x)} .

Перечислены все возможные преобразования симметрии фоновых полей, связанные с возможностью добавления в действие произвольных полных дивергенций. Количество физически существенных фоновых полей снижается за счет того, что часть полей, входящих в действие, играет роль полей ШтЬкельберга.

В рамках размерной регуляризации вычисляются однопетлевые расходимости эффективною действия-в линейном по фоновым полям приближении. В рассматриваемом приближении строится перенормировка фоновых полей первою массивного уровня, которая имеет универсальный вид

о 1

ф= + -ПФ),

С

где Ф = (А^,,, Вц,1р1,<рг,фр)>

В П.З ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЫ вычислен классический след тензора энергии-импульса в размерности d = 2 + е. Произведена перенормировка составных операторов, строится перенормнрованный оператор.

следа тезора энергии-импульса, из условия равенства нулю которого следуют уравнения движения для фоновых полей:

□Я„„ - тгН^ - О, Н* = 0, 8= О, Ф„ = 0, <р% = О,

где тг = о-'-1 — масса, первого массивного уровня и К^и, = В/^у 4* ВЦ^ 2Аци, = <РгФ - <рц-

После ТОГО'как поля Штнжельберга положены равным» нулю (П^ —

— 0) уравнения движения имеют вид

Вц =0, Iрг= 0, <Р1 =0, ^ = 0,

□И,., - т2^ = 0, К =0' = °>

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты полученные в диссертации.

В ПРИЛОЖЕНИИ А получено разложение метрики в выбранных специальным образом координатах, используемых в третьей главе.

«

В ПРИЛОЖЕНИИ В приведены значения для расходящихся частей импульсных интегралов, используемых при вычислении расходи-мостей произведений функций Грина в третьей главе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Найдена операторная реализация квантовых связей н структурных функций низшего порядка в однопетлевом приближении в БЕФ и дираковском квантованиях систем со связями первого рода общего вида. Установлена одпопетлевая квазиклассическая эквивалентность дираковското н БВФ квантований с квантованием в редуцированном «{адовом пространстве с найденными операторными реализациями для связей и структурных функций.

2. Построена каноническая формулировка теории топологически массивной гравитации. Найден явный вид связей и их алгебра. Произведена классификация связей.

3. Явно вычислены локальные меры для теории топологически массивной гравитации и для черн-сайшшсовскон теории. Показано, что полученные локальные меры сокращают однопетлевые объёмные расходимости соответствующих теорий.

4. Для теории открытой бозонной струны, взаимодействующей с бесконечным набором массивных фоновых полей, проведён общий анализ структуры расходимостей. Показано, что существует последовательное описание струпных моделей, содержащих фоновые поля, отвечающих фиксированному (конечному) числу массивных струнных мод.

5. Детально изучен случай открытой струны, взаимодействуюикй с фоновыми полями первого массивного уровня. Найден вид преобразований фоновых полей, связанных с возможностью добавления к лагранжиану полных дивергенций. В линейном по фоновым полям приближении осуществлена перенормировка полей первого массивного уровня открытой струны и соответствующих составных операторов. Из условия квантовой вейлевской инвариантности теории получены уравнения для фоновых полей этого уровня. Продемонстрировано, что тензорный состав полученного набора полей согласуется со струнным спектром.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные материалы диссертации до, кладывались на семинаре отдела теоретической физики Оксфордского университета (Оксфорд, 1992), на Международном конгрессе по математической физике (Париж, 1994), на семинаре отдела структуры , материи Барселонского университета (Барселона, 1994), на Международной конференции по квантовой теории поля и гравитации (Томск,

1994), на Международном семинаре "Квантовая гравитация" (Москва,

1995)

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. А.О. Barvinsky, V.A. Krykhtin, Diracand BFV quantization methods in the l-!oop approximation: closure of the quantum constraint algebra and the conserved inner product // Class. Quaiit. Grav.- 1993.-Vol. 10,- P. 1957-1984.

2. I.L. Buchbiuder, S.L. Lyakliovich, V.A. Krykhtin,Canonical quantization of topologically massive gravity // Class. Quant. Grav.- 1993.-Vol. 10,- P. 2083-2090.

3. И.Л. Бухбиндср, В.А. Крыхтин, C.JI. Ляхович, Канонический анализ и квантование трёхмерной топологически массивной гравитации // Теор. Мат. Физ.- 1994.- Т. 100, N 3.- С. 444-457.

4. I.L. Buchbinder, V.A. Kryihtin, V.D. Pershin, Massive field dynamics in open bosonic string theory // Phys. Lett. В.- 1995.-'Vol. 348.- P. 6369.

5. И.Л.Бухбиндер, В.А.Крыхтин, В.Д.Псргаин, Открытая бозонная струна в массивных фоновых полях // Ядерная Физика.- 1996.Т 59, N 2.- С. 351-359.