Расширенная супергравитация тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



1 Г"1

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-90-91

ГАЛЬПЕРИН Александр Самуилович

УДК 530.145 РАСШИРЕННАЯ СУПЕРГРАВИТАЦИЯ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1990

Работа выполнена в Института ядерной физики АН УзССР (Ташкент) и Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-ыатеиатических наук

академик АН УССР

Д.В.Волков

доктор физико-математических наук член-корреспондент АН СССР

А.А.Славнов

доктор физико-математических наук профессор

С.М .Биленький

Ведущая организация - Физический институт им. П.Н.Лебедева АН СССР, Москва.

Защита состоится " " ___ 1990 года на заседании специализированного совета Д 047.01.01 Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследования.

Автореферат разослан " " _ 1990 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 047.01.01 кандидат физико-математических наук .

В.И.Журавлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

А£:цг&лш2£ць_х£иы_связана с тем, что в современной физике элементарных частиц и квантовой теории поля суперсимметрия является одной из ведущих концепций. Принцип симметрии между бозонами и фермио-нами позволил осуществить нетривиальное объединение внутренних и пространственно-временных симметрия, В рамках расширенных супергравитаций - теорий локальной суперсимметрии - впервые удалось представить гравитационное и максвелловские (или янг-миллсовские) поля как разные компоненты единого супермультиплета. Простейшая из них - = 2 супергравитация - предсказывает, что унификация спинов 2 и I требует существования пары частиц со спином 3/2. Суперсимметричные модели квантовой теории поля обнаружили поразительное свойство - сокращение многих ультрафиолетовых расходамосхей. Открытие целого класса конечных суперсимметричных моделей сняло давнее "проклятие" с квантовой теории поля, позволив работать со взаимодействующими и в то же Время свободными от расходиыостей моделями. Наиболее привлекательные черты глобальной и локальной суперсимметрии вомли в теорию суперструны, рассматриваемую сейчас как наиболее вероятный кандидат на роль всеобъемлющей самосогласованной теории всех взаимодействий, включая гравитацию.

В исследовании свойств конечности, доказательстве теорем о неперенормировке, построении наиболее общих, совместных с суперсимметрией взаимодействий и выявлении необычных внутренних геометрий супер-симиетричных теорий основополагающую роль играет разработка явно кова-риантных формулировок этих теорий вне массовой оболочки с помощью суперполей, свободных от каких-либо сторонних ограничений.

В а/= I суперсимметрии такой формализм был в основном разработан к началу восьмидесятых годов. Ключевым моментом в построении и понимании л/ = I теорий материи, Янга - Миллса и супергравитации оказалось осознание роли кирального подпространства вещественного суперпространства и сохранение понятия киральности во взаимодействующем случае. Однако для расширенных суперсямметрий ( А/> 2) развитые в Л/= I случае методы оказались неадекватными. Например, линеаризованные потенциалы А/ = 2 супергравигации оказались суперлолями высоких размерностей с калибровочными инвариантностями негеометрического вида; такую картину практически невозможно обобщить на взаимодействующий случай.

Аналогичные трудности возникают в л/ = 2 теориях Янга-Миллса и материи. Преодоление этих трудностей стало возможным с появлением в 1984 г, теории гармонического суперпространства, открывшей дорогу для построения и исследования л/ = 2 супергравитации и ее общих взаимодействий с материей.

Актуальной проблемой является также анализ и решение дифференциальных связей гиперкэлеровой и кватернионной геометрий. Последние, согласно теоремам Альвареца-Гоме и Фридмана,а также Бэггера и Вкттена, прямо связаны с геометрией и лагранжианами д/= 2 суперсимметричных сигма-моделей в плоском и искривленном суперпространствах. Знание общей структуры таких сигма-моделей важно, например, при компактифика-ции суперструн типа П.

Цель работы состоит в построении и исследовании теории Й = 2 супергравитации и ее общих взаимодействий с суперсишдетричной материей на основе метода гармонического сулерпространства.

Цаучцая_цовизна!_ В диссертации решается проблема описания расширенной супергравитации и ее общих взаимодействий с материей на адекватном суперполевом языке гармонического суперпространства. В основе решения лежит введенная в данной диссертации идея о фундаментальной роли гармонического суперпространства с супергруппой преобразований координат, сохраняющих аналитическое подпространство. Впервые найдена полная нелинейная группа и геометрические препотенциалы конформной Л/ = 2 супергравитации. Установлено, что геометрия конформной (4=2 супергравитации есть геометрия реперов гармонической производной Дано исчерпывающее описание конформно-инвариантных действий основных материальных л/ = 2 ыультиплетов. Доказана конформная инвариантность свободного действия для гипермультипяета Файе-Сониуса с бесконечным числом вспомогательных полей.

Впервые найдена фундаментальная 2 супергруппа эйнштейновской супергравитации. Для трех ранее известных в компонентах версий построены суперполевке действия. Найдена существенно новая версия ^ = 2 супергравитации с бесконечным числом вспомогательных полей.

В трех ранее известных версиях V = 2 супергравитации имеются существенные трудности при включении общих взаимодействий с материей. Развитый в диссертации формализм дифференциальной геометрии в гармоническом суперпространстве выявляет причину этого явления, состоящую в отсутствии аналитической плотности для аналитического подпространства. Доказано, что такая плотность имеется только в новой версии /У = 2 супергравитации.

Впервые написано действие для д/ = 2 сигма-моделей в искривленном суперпространстве. Установлено, что для ранее известных версий супергравитации сигма-модели обязательно имеют изометрии, в то время как в новой версии допустимы сигма-модели без изометрий. Показано, что лагранжиан ^ = 2 сигма-модели в искривленном суперпространстве определен с точностьв до "кватернионного" преобразования, которое обобщает кэлерово преобразование в V» I сигма-моделях.

Впервые построены минимальные взаимодействия а/ = 2 полей Янга-- Миллса с суперсимметричной материей в плоском и искривленном суперпространствах. Выяснено, что в плоском случае не все изометрии сигма-моделей поддаются локализации. Введено понятие // = 2 потенциала Киллинга.

Установлено, что гармонические методы, развитые в суперсиыметрии, в равной мере применимы для интерпретации и решения дифференциальных связей гиперкэлеровой и кватернионной геометрий. На этой основе найдены препотенциалы указанных геометрий и соответствующие им калибровочные группы.

Впервые установлено взаимно-однозначное соответствие между лагранжианами л/ = 2 сигма-моделей в плоском и искривленном гармоническом суперпространстве с одной стороны и пропотенциалами гиперкэлеровой и кватернионной геометрии о другой.

Новым вкладом является реализации д/= 3 суперконформной группы в гармоническом суперпространстве и доказательство конформной инвариантности а/ = 3 теории Янга-Миллса вне массовой оболочки.

Практическая ценность. Развитый в диссертации подход к расширенной супергравитации имеет для последней такое же значение, как обще-ковариантный подход в теории гравитации Эйнштейна или а/ = I суперполевой подход в простой супергравитации. Прежде всего, он открывает дорогу для явно суперсимметричного квантования (1=2 супергравитации. Этот подход ухе нашел применение в исследованиях по пяти- и шестимерным супергравитациям и их взаимодействиям с материей. Большие надежды возлагаются на него в задаче об эффективных лагранжианах, возникающих при компактификации суперструн типа П к четырехмерному пространству. Наиболее важных применений следует ожидать в расширенных супергравитациях с л/> 2, а также в суперструнннх теориях. Соответствующая им фундаментальная геометрия (пока неизвестная) должна содержать образы и понятия л/ = 2 супергравигации в качестве частного или предельного случая.

Разработанная в диссертации процедура решения дифференциальных связей гиперкэлеровой и кватернионной геометрий нашла приложение в построении и исследовании двумерных гетеротических (4,о) сигма-моделей, соответствующих геометрии с кручением. Препотенциальный подход

оказывается здесь незаменимым при доказательстве свойств ультрафиолетовой конечности и установлении структуры аномалий.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Найдена реализация суперконформной группы с константными параметрами в гармоническом Л/ = 2 суперпространстве, сохраняющая понятие аналитичности. Показано, что закон преобразования координат совместен лишь с комбинированным сопряжением. Найдены конформно-инвариантные действия основных Л/ = 2 супермультиплетов.

2. Выяснено, что гармоническое суперпространство позволяет дать новую трактовку законам сохранения улучшенного Л/ = 2 супертока. На этой основе найдены линеаризованные препотенциалы конформной А = 2 супергравитации геометрической размерности.

3. Полная нелинейная группа конформной а/ = 2 супергравитации отождествлена с супергруппой общекоординатных преобразований в гармоническом суперпространстве, оставляющих инвариантным аналитическое суперпространство, а препотенциалы конформной супергравитации - с аналитическими реперами гармонической производной .

4. Развит формализм дифференциальной геометрии И в терминах препотенциалов. Подчеркнута и конструктивно использована идея о "строительных кубиках" - объектах с простыми трансформационными свойствами.

5. Построены суперполевые действия основных материальных и макс-велловского мультиплетов на фоне конформной л/ = 2 супергравитации. Воспроизведены в суперпространстве три ранее известные в компонентах версии эйнштейновской л/ = 2 гравитации.

6. Открыта новая версия эйнштейновской 1\1 = 2 супергравитации с -гипермультиплетом в качестве компенсатора. Доказано, что только в новой версии существует аналитическая плотность для аналитического суперпространства.

7. Впервые написано действие для л/ = 2 сигма-моделей в искривленном суперпространстве. Показано, что для трех ранее известных версий

супергравитации сигма-модели обязательно имеют изометрии, в то время как для -версии допустимы сигма-модели без изометрий.

8. Показано, что лагранжиан Л/ = 2 сигма-модели в искривленном суперпространстве определен с точностью до "кватернионного" преобразования, обобщающего кэлерово преобразование в //= I сигма-моделях.

9. Построены минимальные взаимодействия л/= 2 полей Янга-Миллса

с Й - 2 материей в плоском и искривленном суперпространствах. Выяснено, почему в плоском случае поддаются локализации не все изометрии.

10. С помощью гармоник дана интерпретация дифференциальных связей гиперкэлеровой и кватарнионной геометрии как условий интегрируемости для существования соответствующих аналитических пространств.

11. На этой основе найдены препотенциалы указанных геометрий и их калибровочные группы.

12. Установлено взаимно-однозначное соответствие между лагранжианами V = 2 сигма-моделей в плоском и искривленном суперпространстве,

с одной стороны, и препотенциалами гиперкэлеровой и кватернионной геометрий - с другой.

13. Показано, что подход гармонического суперпространства позволяет строить наиболее общие взаимодействия fJ = 2 материальных мультиплетов.

14. Найдена реализация А/ = 3 суперконформной группы в гармоническом суперпространстве и доказана конформная инвариантность fJ = 3 теории Янга- Миллса вне массовой оболочки. Сформулированы законы сохранения улучшенного /7=3 супертока в аналитическом суперпространстве.

Апробация диссертации.

Основные материалы диссертации докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯЙ, ИЯФ АН УзсСР, ФИАН, МИАН, ИТЭФ, ИФП, ХФТИ, ИПФ ТашГУ, на сессиях О® АН СССР, Всесоюзной конференции "Суперсимметрия-85" (Харьков), а также на многих международных конференциях и симпозиумах, в том числе конференциях по теории поля в Алуште в 1984 г. и 1987 г., семинарах по теоретико-групповым методам в физике в Звенигороде в 1982 г. и в Юрмале в 1985 г., семинарах по квантовой гравитации в Москве в 1984 г. и в 1987 г., конференции по физике высоких энергий в Беркли в 1986 г., школах по теоретической физике в Триесте (Италия) в 1984 г. и в 1986 г.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 20 работ.

00ъем_£аботы

Диссертация состоит из семи глав основного текста с пятью приложениями и заключения. Она содержит 210 страниц машинописного текста, одну таблицу и библиографический список литературы из 127 названий.

Соде2тание_£аботы_

В главе I (Введение) дана сжатая характеристика современного состояния суперсимметрии и супергравитаций, достигнутых в этой области результатов и ждущих решения проблем, с подчеркиванием тех вопросов, которые обуславливают актуальность диссертации. Кроме того, Введение служит путеводителем по диссертации. После анализа пред-

шествующих подходов к построению и исследованию расширенной л/ = 2 супергравитации и ее взаимодействий с материей формулируется программа из шести пунктов для решения этой задачи:

1) выбор пространства;

2) реализация конформной группы с константными параметрами;

3) выбор материального мультиплета (компенсатор^ с конформно-инвариантным действием;

переход к локальной конформной группе и установление соответствующего ей геометрического препотенциала;

5) построение конформно-инвариантного действия компенсатора на искривленном фоне;

6) построение общих взаимодействий материи.

Программа проиллюстрирована на примерах теории Эйнштейна и ь1 = I супергравихации. После такого вступления сделан обзор содержания диссертации - полной реализации намеченной программы для // = 2 супергравитации и некоторых результатов по ^ = 3.

Во второй главе делаются первые шаги по намеченной во Введении программе построения = 2 супергравитации. После краткого знакомства с элементами гармонического суперпространства вводятся основные материальные и калибровочные а/ = 2 мультиплеты: гипермультиплет Файс-Сониуса, линейный и "нелинейный" мультиплеты, гипермультиплет с центральным зарядом и янг-миллсовский мультиплет, все описываемые . аналитическими суперполями. Показано, что а/ = 2 суперконформную группу £17(2,212) можно реализовать в гармоническом суперпространстве

= $ X* , , , } таким образом, чтобы

она оставляла инвариантным аналитическое суперпространство

= { 0г1+| I/, являющееся адекватным для

д/ = 2 суперсимметрии. Установлено, что соответствующие преобразования совместны только с операцией комбинированного сопряжения

и*1 , (и±х) = - и*{ • Найдены конформно-инвариантные

суперполевые действия основных А/ = 2 мультиплетов.

В_тЕетьей_главе вводятся препотенциалы и калибровочная группа конформной 2 супергравитаций. Вначале приводятся простые эвристические соображения об улучшенном // -2 супертоке как источнике мультиплета конформной д/ = 2 супергравитации. Объединение этих соображений и знаний о существовании аналитического ь/ = 2 суперпространства позволяет найти линеаризованные препотенциалы // = 2 конформной супергравитации, имеющие геометрические размерности, а также линеаризованную калибровочную группу.

Полная нелинейная группа конформной Л/= 2 супергравитации отождествляется со следующей общекоординатной группой

сохранящей понятие аналитичности (т.е. независимости от д'} в~ ). Препотенциалы этой теории отождествляются с реперами гармонической производной :

преобразующейся согласно закону

^ па ^ '

(2)

(3)

Переход в калибровку типа Весса-Зумино позволяет идентифицировать компонентные поля внемассовой конформной //=2 супергравитации и понять, что для построения эйнштейновской супергравитации необходимы два компенсирующих мультиплета, один материальный и один максвеллов-ский. Глава завершается построением суперполевых действий основных материальных мультиплетов на фоне конформной 2 супергравитации.

В четвертой главе формулировка эйнштейновской А/ = 2 супергравитации завершается построением инвариантного относительно (I)-(3) действия максвелловского мультиплета . С этой целью здесь развиты элементы дифференциальной геометрии в гармоническом суперпространстве. Необходимые величины (реперы, связности, плотности) конструируются из "кубиков" - объектов, построенных из препотенциа-лов и имеющих простые трансформационные законы. Калибровочная инвариантность действия Максвелла доказывается путем перехода в специальный "гибридный" базис, в котором сочетаются свойства аналитичности и киральности. 7

Объединение действий материальных и максвелловского компенсаторов на суперконформном фоне приводит к суперполевым действиям четырех версий эйнштейновских супергравитаций. Одна из них, отвечающая -гипермультиплету, является существенно новой, она содержит бесконечное число вспомогательных полей.

Глава завершается доказательством утверждения о том, что только в новой версии существует аналитическая плотность для аналитического подпространства и только в ней допустимы общие самодействия// = 2 материи, для которых явно выписывается лагранжиан.

В Приложении приведены доказательства ряда важных тождеств, установленных в основном тексте с помощью тензорных аргументов.

Пятая глава посвящена изометриям ^/=2 сигма-моделей и их локализации. Сначала исследуются симметрии общего лагранжиана = 2 сигма-моделей в плоском суперпространстве

1 + . м

Устанавливается, что помимо суперсимметрии и репараметризаций, (ч) инвариантно относительно сдвига лагранжиана на 2>У¥А*¥ >

который является гиперкэлеровым аналогом хорошо известного кэлерова преобразования. Выписываются уравнения Киллинга и доказывается, что вектор Киллинга выражается через более фундаментальный объект - потенциал Киллинга . Последний имеет смысл нетеровского тока изо-метрии. Локализация иэометрий осуществляется добавлением к (I) слагаемого, линейного по /ч/ = 2 полю Янга-Миллса

¿Й- ] ^4г (У'ТЧ . <» •

Затем изучается обобщение этой картины на искривленный случай. Существенное отличие от плоского случая состоит в том, что лагранжиан материи и компенсатора инвариантен относительно "кватернионного" преобразования. Рассмотрены примеры симметрических кватернионных сигма-моделей: <^(«,4) /¿р, Т/М* ^а)

(и) /и другие примеры. В заключении обсуждается удивительное явление, что не все изометрии сигма-моделей могут быть локализованы в плоском суперпространстве.

д_шестой_цлаве обсуждается решение дифференциальных связей гиперкэлеровой и кватернионной геометрии. Здесь оказываются применимыми методы, развитые в контексте А/ = 2 суперсимметрии. Понятие гармонической аналитичности позволяет интерпретировать эти связи как условия интегрируемости для сохранения аналитических представлений. Решений связей приводит к двум аналитическим препотенциалам, свободным

от сторонних связей. Для придания препотенциалам геометрического смысла рассматривается расширенная схема, включающая координаты центральных зарядов. Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между пре-потенциалами гиперкэлеровой геометрии и лагранжианом /V = 2 сигма-модели в плоском суперпространстве, а также между препотенциалами ква-термионной геометрии и лагранжианом //=2 сигма-модели на-фоне новой версии д/ = 2 супергравитации. Рассматриваются примеры нахождения гиперкалеровых метрик'по их препотенциалам.

В седьмой гтве методы, разработанные для 2 супергравитации, переносятся на fj= 3 случай. Найдена реализация суперконформной группы в вещественном аналитическом fJ = 3 суперпространстве;

установлено,что березинианее преобразований равен единице. Доказана конформная инвариантность суперполевого действия А/ = 3 полей Янга -Миллса, содержащего бесконечное число вспомогательных полей. Рассмотрены конформные свойства комплексного аналитического суперпространства меньшей грассмановой размерности. Сформулированы законы сохранения конформного ij = 3 супертока в гармоническом суперпространстве.

В приложениях приводятся явный вид и алгебра д/ = 3 гармонических производных и некоторые детали суперконформных преобразований в комплексном аналитическом суперпространстве.

В_заключении подводятся итоги и формулируются основные результаты, подученные в диссертации.

£езультаты_диссер_тации опубликованы вработах;

1. Гальперин A.C. Суперсимметрия, суперполя, супергравитация. - Материалы 9-ой зимней школы ИТЭФ, Москва, 1981, Атомиздат, с.78-90.

2. Galperin A., Ogievetsky V"., Sokatchev E. Versions of ¿f=l super-gravity. - In! Proc. of til g XVIII Intern. Symposium on Special Topics in Gauge Field Theories (Ahrenshoop), Berlin, 1983, p.201-233 ( Версии А/ = I супергравитации).

3. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Extended supersymmetry in harmonic superspaco. - In: Proc. 1984 Trieste Spring School on Supersymmetry and Supergravity> World Scientific, 1984, p.449-461 (Расширенная суперсимнетрия в гармоническом суперпространстве).

4. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained и=2 matter, Ïang-Uills ard supergravity theories. Sect. V. N=2 Einstein Supergravity. - Class.Quantum Grav., 1984, v.l, p.490-494 ( Теории A/'= 2 материи, Янга-Миллса и супергравитации без связей в гармоническом суперпространстве. Раздел У. У= 2 эйнштейновская супергравитация).

5. Galperin A., Ogievetsky V., Sokatohev Од a versatile version of supergravity. - In! Proc. of the II International Seminar "Group Theor.Methods in Physios", Gordon and Broach, Uew York, 1985, p.485—491.

6. Galperin A., Ogievetsky 7., Sokatohev E. Matter couplings in • K=1 super gravity. - I.'ucl .Phys. B, 1985, v.252, p.435-457. (Материальные взаимодействия ъ /\[ - I суяергравитации).

7. Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В., Сокачев Э. На пути к суперсимметричной теории. - В сб. "Научное сотрудничество социалистических стран в адерной физике", под ред. Н.Н.Боголюбова, Энергоатомиздат, 1986, с.83-92.

8. Galperin A., Ivanov 3., Ogievetsky V., Sokatohev 2, Harmonic superspace in action. General K=2 natter self-couplings. - InJ Supersymmetry, Supergravity, Superstrings, eds. B. de Wit a.o., v/orld Scientific, 1986, p.511-565 ( Гармоническое суперпространство в действии. Общие взаимодействия материальных Ц =2 мультиплетов!

9. Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В., Сокачев Э. Гармоническое суперпространство и расширенные суперсимметрии. - Труды Ш Международного семинара "Теор_етико-групповые методы в физике" Сериала» 1985). Москва, Наука, 1986, с.12-52.

10. Galperin A., Ivanov Ogievetsky У., Sokatohev Я. Present status of harmonic superspace. - In* Proc. of XXIII Intern.Conference on High ¿nergy Physics, Berkeley, 1986, v.l, p.485-489. (Современный статус гармонического суперпространства).

И.Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В., Сокачев Э. Гармоническое суперпространство. Результаты и перспективы. - Труды УШ Международного совещания по проблемам квантовой теории поля (Алушта, 1987). Дубна, 1987, с.267-282 (Публикация ОИЯИ, Д2-87-798).

12.Galperin A., Ivanov 2., Ogievetsky V., Sokatohev Confornal irr/ariance in harmonic superspace. - In! Quantum Field iheory and Quantum Statistics. Assays in Honour of the Sixtieth Birthday

of S.a.Fradkin, eds. I.Batalin a.o., Adan Hilger, Bristol, 1987, v.2, p.233-248.

13. Galperin A., Ivanov 3., Ogievetsky V., Sokatohev 1!. Superspace actions and duality transformations for Ii=2 tensor multiplets. -Proc . of Uobel Symposium 67, liarstrand (Sweden, .1986), "Unification of Fundamental Interactions". Physica Scripta, T. 1967, v.15, p. 176-163 ( Суперполевые действия и преобразования дуальности для тензорных А/ = 2 мультиплетов).

14. Galperin A., Ugyen Ahn Ку, Sokatohev Е. li=2 supergravlty in superspace! solution to the constraints and the invariant action.-

Class. Quantum Grav., 19 37, v.4, p.1235-1254.

( Л/ = 2 супергравитация в суперпространстве: решение связей и инвариантное действие).

15. Galperin A., Ivanov В., Ogievetsky V., S0katchev Е. ¿»'=2 super-gravity in superspace J different versions and natter couplings, -Class. Quantum Grav., 1987, v.4, p.1255-1265. ( Д/ = 2 cynep-гравитация в суперпространстве: различные версии и материальные взаимодействия).

16. Galperin A., Ivanov Е., Ogievetsky 7., S0vatchev !Г=2 super-gravity in superspace. - In: Proc. of the ¿V Intern. Seminar

on Quantum Gravity, eds. H.A.Markov a.o., World Scientific, 1988, p.539-548 (:."=2 супергравитация в суперпространстве).

17. Bagger J., Galperin A., Ivanov В., Orrievetslcy V. Gauging N=2 sigma models in harmonic superspace. - Uucl. ?hys.B, 1988,

v.303, p.522-542 ( Локализация изометрий д/ = 2 сигма моделей в гармоническом суперпросгранстве).

18. Galperin A., Ivanov Е., Ogievetsky V., Sokatchev 3. Gauge field geometry from coraplex ard harnonie analyticities. Kahler and self-dual Хавд-I.Iills cases. - Ann.Phys., 1988, v.185, p.1-21 (Геометрия калибровочных полей из комплексной и гармонической аналитичностей. Кэлеров и самодуальный яяг-миллсов случаи).

19. Galperin A., Ivanov Е,, Ogievetsky V. , Sokatchev Е. Gauge field geometry from comple:: and harmonic analyticities. HyperKahler case. - Ann.ihys., 1988, v.185, p.22-45 ( Геометрия калибровочных полей из комплексной и гармонической аналитичностей. Гиперкэлеров случай).

20. Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В. Суперпространства для

tl = 3 суперсимметрии. - ЯФ, 1987, т.46, с.948-960.

Рукопись поступила в издательский отдел 9 февраля 1990 года.