Кубические вершины взаимодействия массивных полей высших спинов с электромагнитным и гравитационным полями в пространствах размерности D ≥ 3 тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005061630

Снегирев Тимофей Владимирович

КУБИЧЕСКИЕ ВЕРШИНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАССИВНЫХ ПОЛЕЙ ВЫСШИХ СПИНОВ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ И ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЯМИ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ В > 3

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ' ;ЮН ¿¿¡3

Томск - 2013

005061630

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Томский государственный педагогический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер Иосиф Львович

Официальные оппоненты:

Мецаев Руслан Романович, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук» (г. Москва), ведущий научный сотрудник

Трифонов Андрей Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет» (г. Томск), заведующий кафедрой высшей математики и математической физики

Ведущая организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований, Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова (г. Дубна)

Защита диссертации состоится 27 июня 2013 г. в 16.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университете» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университе-, те» по адресу: 634050. г. Томск, пр. Ленина, 34а / />

Автореферат разослан 23 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наз'к, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важнейших достижений теоретической физики второй половины XX века стало построение объединенной теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, получившей название стандартной модели. Четвертое фундаментальное взаимодействие - гравитационное - не вкладывается полностью в систему идей стандартной модели, и его объединение на квантовом уровне с тремя другими фундаментальными взаимодействиями требует принципиального другого подхода. В настоящее врем построение единой теории всех взаимодействий связано с изучением суперсимметричных моделей, моделей в высших измерениях, калибровочных теорий общего вида, а также с общим развитием теории струн. Особые надежды возлагаются на последнюю. Представляется, что теория струн является внутренне полностью самосогласованной квантовой теорией, хотя многие аспекты этой теории еще не полностью разработаны. Важно отметить, что спектр частиц, возникающий в теории струн, естественным образом содержит как безмассовые состояния со спином 1 и спином 2, так и бесконечный набор массивных состояний с произвольным значением спица. Поэтому теорию струн, в принципе, можно трактовать как теорию бесконечного числа взаимодействующих полей всех спинов. Это, в свою очередь, может служить мотивацией для исследования полей высших спинов со стороны теории поля.

На сегодняшний день нелинейная теория полей высших спинов достаточно хорошо развита только для безмассовых (калибровочных) шлей. Фундаментальный результат такой теории в й > 4 измерениях можно сформулировать в двух утверждениях

• Наиболее адекватным пространственно-временным фоном является не пространство Минковского, а пространство анти де Ситтера

• Включение взаимодействия для поля со спином 3 немедленно влечет за собой включение бесконечного набора взаимодействующих полей всех спинов

Первое утверждение позволяет обойти доводы теоремы Коулмана и Ман-дулы о запрете взаимодействующих безмассовых полей высших спинов в плоском пространстве и служи аргументов в пользу общего развития АйБ/С^Г-соответствия. Второе утверждение хорошо согласуется с теорией струн, где спектр состояний также содержит бесконечный набор полей произвольного спина.

Однако, в любой реалистичной теории (такой как теория струн) состояния с высшими спинами являются массивными. Естественно предположить, что в теории безмассовых полей массы будут генерироваться с

помощью спонтанного нарушения симметрии, наподобие того, как это работает в стандартной модели. К сожалению, к настоящему времени данный механизм не разработан и не имеет четкой формулировки, по этой причине независимое изучение массивных полей высших спинов представляет самостоятельный интерес.

Универсальным принципом при изучении безмассовых полей является калибровочная инвариантность, которая определяет как основные свойства свободной теории так и сильно ограничивает форму возможных взаимодействий. Так например, в теории полей низших спинов данное требование полностью воспроизводит такие физически важные модели как теория поля Янга-Миллса и (супер)гравитация. Общая схема построения вершин взаимодействия в теории формулируется в рамках подхода, называемого конструктивным, который реализуется следующим образом. Лагранжиан и калибровочные преобразования представляются в виде ряда по степеням полей

£ = £0 + А+£2-, <У = ¿о + ¿1 + (1)

где С0 - свободный лагранжиан, квадратичный по полям, С\ - лагранжиан взаимодействия в линейном приближении, кубический по полям и т.д. Аналогично для калибровочных преобразований, 5ц - исходные калибровочные преобразования свободной теории, ¿1 - линейная поправка по полям и т.д. Условие калибровочной инвариантности <5£ = 0 требует обращения вариаций в каждом порядке по отдельности

<5О£о = 0

50£! + = О

¿0^2 + 5\С\ + 52£а = 0

и так далее. На базе такого рассмотрения, в принципе, можно строить вершины взаимодействия любого порядка. На практике, построение вершин выше кубических сталкивается с серьезными трудностями. Особенность кубического взаимодействия заключается в том, что теории в этом приближении не ощущают на себе наличие или отсутствие полей, которые возможно следовало бы вводить, рассматривая высшие порядки взаимодействия. Тем самым если для той или иной теории не удается построить кубическое взаимодействие, то оно не может быть построено вообще.

Имея ввиду универсальность и удобство конструктивного подхода была развита калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей. В настоящее время существует несколько подходов к калибровочно-инварнантному описанию массивных полей высших спинов. В каждом из них калибровочная симметрия в конечном итоге обусловлена набором вспомогательных штюкельберговских полей. В предлагаемой диссертации для

калнбровочно-ипвариантного описания массивных полей и вывода вершин взаимодействия используется конструктивный подход.

Принимая во внимание всю сложность проблем в теории полей высших спинов и технические трудности, возникающие при работе в пространствах размерности <1 > 4, представляется, что рассмотрение теории в трех измерениях, должно быть намного проще и может служить хорошим полигоном для приобретения полезного опыта для работы в высших измерениях. В частности, оказывается, что в отличие от ситуации й > 4 в трех измерениях нет необходимости рассматривать бесконечное количество безмассовых полей высших спинов, чтобы построить непротиворечивую взаимодействующую теорию, достаточно ограничится конечным числом полей. Важно, что многие такие теории могут рассматриваться на основе моделей Черн-Саймонса с некоторой калибровочной алгеброй. В данной диссертации одной из задач ставиться калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей высших спинов в й = 3, которая ранее не была известна.

Построение электромагнитного и гравитационного взаимодействий является важной проверкой на состоятельность той или иной модели. В случае скалярных и спинорных полевых моделей такие взаимодействия хорошо исследованы и сводятся к замене в лагранжиане обычной производной на ковариантной. Для полей высших спинов применение этой процедуры приводит к трудностям в силу наличия своей собственной калибровочной симметрии. В предлагаемой диссертации на основе конструктивного подхода выводятся кубические вершины взаимодействия массивных полей высших спинов с электромагнитным и гравитационным полями в пространствах размерности с? > 3.

Цели диссертационной работы

• Используя калибровочно-инвариантное описание полей высших спинов, в рамках конструктивного подхода, построить непротиворечивые кубические вершины взаимодействия безмассовых и массивных полей высших спинов с внешним постоянном электромагнитном полем в плоском пространстве Минковскош размерности ¿>4.. Проанализировать построенные модели на согласованность с основными физическими требованиям, такими как калибровочная инвариантность, отсутствие нефизических степеней свободы и духов, причинность.

• Расширить калибровочно-инвариантное описание массивных полей высших спинов на случай трех-мерного пространства-времени. В частности, в рамках реперного формализма построить калибровочно-инвариантный лагранжиан свободного массивного поля произвольного целого спина в 3-мерном пространстве (анти) де Ситтера с. произвольной космологической постоянной Л, включая трех-мерное

пространстве Минковского Л = 0. Используя особенности реперного формализма и трех-мерных пространств изучить специфические свойства построенной теории, не характерные для высших измерений.

• На основе развитого нами калибровочно-инвариантного описания массивных полей высших спинов в трех-мерных пространствах, исследовать возможные взаимодействия таких моделей, в частности, гравитационного, как одного из самых фундаментальных. Построить лагранжиан взаимодействия в линейном приближении. Выяснить особенности такой моделей, характерные именно для трехмерных пространств и сравнить их с теми, что возникают в высших измерениях.

Методы и подходы. При изучении вершин взаимодействия массивных полей высших спинов в различных размерностях и пространственно-временном фоне использовался метод калибровочно-инвариантного описания с включением минимально возможного числа вспомогательных штю-кельберговских полей. Этот подход является универсальным и хорошо работает как для формулировки свободной теории, так и для построения возможных форм взаимодействия. Использование данного подхода, априори, не требует знания о какой-либо глубиной структуре теории - будь то калибровочная симметрия в безмассовой теории или набор связей в массивной. По существу, возможная форма лагранжиана взаимодействий строится из соображений лоренцевской ковариантности, размерности и калибровочной инвариантности.

Научная новизна и практическая значимость. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми и получены впервые. Практическая значимость полученных результатов состоит в их дальнейшем использовании для решения открытых проблем теории полей высших спинов:

• развитие общей калибровочно-инвариантной формулировки массивных полей высших спинов в пространствах различной геометрии и размерности;

• последовательное развитие общей нелинейной теории массивных полей высших спинов;

• изучение механизма спонтанного нарушения калибровочной симметрии в безмассовой теории;

• построение вершин взаимодействия для фермнонных полей высших спинов;

• построение четвертичных вершин взаимодействия и высших порядков;

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах: Международная конференция "Quantum field theory and gravity", Томск (2010, 2012); Международная школа-семинар "On strings and fundamental physics", Мюнхен, Германия (2010); Международный семинар по проблемам гравитации, космологии и астрофизики "RUSGRAV-14", Ульяновск (2011); Международный семинар "Quantum symmetries and supersymmetries", ОИЯИ, Дубна (2011); Результаты работы обсуждались также на семинарах кафедры теоретической физики ТГГ1У.

Публикации По материалам диссертационной работы опубликовано 5 статей, в том числе 4 статьи - в журналах из списка рекомендованных ВАК [1-4].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 118 страницы и содержит библиографический список из 137 наименований.

Содержание работы

Во введении содержится мотивация изучения теории нолей высших спинов с описанием истории вопроса и ее места в настоящее время. Приведены достигнутые результаты и описаны открытые проблемы, требующие дальнейшего изучения. Также во введении сформулированы основные цели работы и дается краткое описание глав диссертации.

■ Первая глава носит обзорный характер и содержит основную информацию о динамике свободных безмассовых и массивных бозонных полей высших спинов в плоском пространстве Минковского размерности d > 4. Как для безмассовых так и для массивных полей используется калибровочно-инвариантное лагранжево описание. Для безмассовых полей такое описание является естественным и единственной возможностью работать в явно лоренц ковариантном виде. Для массивных полей калибровочно-инвариантное описание не является единственной возможностью обеспечит лоренц ковариантность, более того, оно скорее является экзотическим, так как требует дополнительного набора вспомогательных полей. Однако, именно в такой формулировке имеет место калибровочная инвариантность, которая служит мощным инструментом при исследовании возможных взаимодействий.

В первом разделе данной главы рассматривается метрическая формулировка полей высших спинов, по аналогии с гравитацией, описываемой метрическим полем Как известно безмассовое поле произвольного целого спина s описывается в терминах полностью симметричного дважды

бесследового тензорного поля ранга в Ф* = . Свободный лагранжи-

ан с точностью до нормировочного множителя определяется калибровочной инвариантностью относительно преобразований

= д{и&-1)

и имеет общую структуру

£ ~ Ф32Ф

где - бесследовый калибровочный параметр. Для калибровочно-инвариантного описания массивного поля произвольного целого спина в метрическом формализме помимо главного поля Ф8 также требуется набор вспомогательных штюкельберговских полей Ф*, к = 0,1, ...(в — 1). Свободный лагранжиан, который записывается в виде суммы по спинам, имеет общую структуру

с ~ [Ф&а2Ф*= + тФкдФк~1 + т2(ФкФк + ФА'ФЬ-2)]

Вид лагранжиана определяется с точностью до нормировки массы т калибровочной инвариантностью относительно преобразований

йФк = + 2))

Отметим, что лагранжиан построенный таким образом, обладает "правильным" безмассовым пределом, в том смысле, что не происходит скачка степеней свободы, В таком пределе т —> 0 наш лагранжиан будет описывать систему свободных безмассовых полей со спинами 0,которая содержит 2з + 1 степеней свободы как и массивное поле со спином й.

Во втором разделе данной главы рассматривается реперо-подобная формулировкой полей высших спинов по аналогии с формулировкой гравитации в терминах тетрады и лоренцевской связности ШраЪ. Основными объектами в реперной формулировке безмассового поля произвольного целого спина являются обобщенная тетрада = ф/4а1-"»-1 и обобщенная связность П^'-1)-6 = П^аь-а'-иЬ, которые можно понимать как 1-формы. Греческими буквами мы обозначаем мировые индексы, а латинскими - локальные. Рассматриваемые 1-формы являются симметричными и бесследовыми по локальным индексам а, и связность также удовлетворяет условию

Свободный лагранжиан с точностью до нормировочного множителя опре-

деляется калибровочной инвариантностью относительно преобразований

= drf-1» бфМ = д^-V + еД«'"1^

и схематически имеет вид

С ~ ÜSl + ПдФ

где т}(а~г>'ь и - калибровочные параметры, индексы которых подчиняются, соответственно, симметриям локальных индексов обобщенной связности и тетрады. Для реперного калибровочно-инвариантного описания массивного поля произвольного спина s как и в метрическом случае, помимо главной пары полей (П8,Ф„), требуется ввести набор вспомогательных полей, описывающих безмассовые поля со спинами 0,1, ...(s - 1): fäk, к = 0,1, ...s. Свободный лагранжиан и калибровочные преобразования, соответственно, будут иметь общую структуру

.1

С ~ Y, + nkd$k + + + т2ФлФл.]

fc=о

и

Silk ~ дт] + mrj + m2£, 5Фк ~ д£ + г? +

Отметим, что с алгебраической точки зрения реперный формализм отличается от метрического тем, что является формализмом первого порядка по производными. Тем не менее, с физической точки зрения обе теории оказываются полностью эквивалентными.

Во второй главе, используя метрическую формулировку полей высших спинов, в рамках конструктивного подхода исследуется электромагнитное взаимодействие полей высших спинов. Более точно, изучается поведение безмассовых и массивных полей высших спинов на фоне постоянного электромагнитного поля. В случае скалярных или спинорных полевых моделей такие взаимодействия хорошо исследованы и сводятся к замене в лагранжиане обычной производной на ковариантную. Для полей высших спинов применение этой процедуры приводит к трудностям в силу наличия своей собственной калибровочной симметрии. Главный результат этой главы состоит в том, что, по крайней мере, в кубическом приближении нам удается построить согласованные вершины в пространстве Минковского d> 4.

В первом разделе этой главы описана общая схема вывода кубической вершины электромагнитного взаимодействия. Как обычно, чтобы обеспечить инвариантность относительно калибровочной группы и(1)т1, потенциал электромагнитного поля Aß должен входит в лагранжиан либо через

ковариантную производную, либо через напряженность

Оц = дц - е^А^, ^ = - дуАр

где е'З - генератор группы 50(2) ~ и(1)ет. В случае внешнего постоянного электромагнитного поля напряженность есть просто постоянная антисимметричная матрица, следовательно производная действующая на нее будет давать ноль

дF = О

а так как электромагнитного поле является внешним, то есть не несет никакой динамики, кинетический член для векторного поля Ац в лагранжиан не входит. Цель данной главы - в рамках конструктивного подхода (1) построить в явном виде первый вклад общего лагранжиана взаимодействия, т.е. получить линейную по F поправку к лагранжиану С\ и калибровочным преобразованиям Чтобы найти С,\ в явном виде мы придерживаемся следующей процедуры. Мы выписываем наиболее общие выражения для калибровочных преобразований ¿1 и лагранжиана С\ на основе лоренцев-ской симметрии и калибровочной инвариантности (7(1 )ет с точностью до различных коэффициентов. Затем условие

¿о£1 + 51£о=0 .

производит уравнение для неизвестных коэффициентов, которые в принципе могут быть разрешены, хотя решение достаточно нетривиальное.

Во втором разделе этой главы на основе общей схемы изучаются кубические вершины для безмассового поля произвольного целого спина. Как известно, для безмассовых полей со спином 5 > 3/2 в плоском пространстве Минковского невозможно включить минимальное электромагнитное взаимодействие (хотя это становится возможным в пространстве (А)с13), поэтому мы будем строить неминимальные взаимодействия, которые играют решающую роль в массивной теории. Выражение для кубической вершины в линейном приближении по ^ имеет структуру

А ~ е^ЕФ/дЧ^

а линейная поправка к калибровочным преобразованиям выглядит следующим образом

здесь ФД г = 1,2 - дуплет полей, в терминах которых описывается заряженное безмассовое поле.

В третьем разделе этой главы рассматриваются кубические вершины для массивных полей произвольного целого спина. В отличие от безмассо-

вого случая в плоском пространстве для них становится возможным включить минимальное взаимодействие д Б. Далее сначала на частных примерах со спинами 2 и 3 подробно рассматривается построение взаимодействия и дальше обобщается на произвольный спин. Показывается что кубическая вершина и поправка к калибровочным преобразованиям линейные по ^ имеют соответственно общую структуру

8 1 и т

Mk = +

Отметим, что, когда электрический заряд е0 —> 0 и масса т 0 одновременно стремятся к нулю, можно рассмотреть предел ^ = const, так что выживают только неминимальные вершины, соответствующие безмассовой теории. Кроме того в этом разделе доказано, что уравнения движения, отвечающие построенному лагранжиану обеспечивают причинное распространение физических степеней свободы. В частности на примерах со спинами 2 и 3 в явном виде показано, что после наложения калибровки уравнения движения содержат высшие производные только в виде далам-бертиана, что гарантирует причинность теории.

В третьей главе в рамках реперного подхода дается калибровочное инвариантное описание массивных полей в трехмерных пространствах с произвольным значением космологической постоянной. Достоинство такого подхода для полей высших спинов состоит в том, что в d = 3 вершины выше кубической не могут возникнуть, следовательно свобода на вид нелинейных теорий значительно сокращается, что безусловно упрощает работу с такими моделями. Основными объектами реперной формулировки являются 1-формы (Ф/1й'-а«-1,Л/1а'-а'-Ы'). в d = 3 имеется полностью антисимметричный тензор третьего ранга еаЬс, используя который можно ввести дуальные поля

так что пара полей теперь имеет симметричную структуру.

В первом разделе данной главы рассматриваются безмассовые поля и воспроизводится ряд известных в литературе результатов. В частности no-

называется как свободная теория формулируется в виде Черн-Саймонса со некоторой абелевой калибровочной группой, при этом лагранжиан имеет структуру

С ~ £cs(Q) - £Cs(n)

где

£cs(A) ~ ADA + АДА

представляет собой линеаризованное действие Черно-Саймонса с калибровочными преобразованиями

6 А = Drj + \т]

здесь А-размерный параметр, связанный с космологической постоянной. Новые (разделенные) переменные (П, П) связаны с исходными следующим образом

П = Q + АФ, П = П - АФ

Во втором разделе этой главы рассматриваются массивные поля произвольного целого спина s. Для таких полей построен калибровочно-инвариантный лагранжиан, содержащий набор вспомогательных штюкель-берговских полей. По аналогии с безмассовым случаем лагранжиан удается переписать в терминах разделенных переменных и представить его в виде, напоминающем действие Черн-Саймонса

S

-¿ЙО] (2)

Jt=i

где

С{Ак) ~ AkDAk + mAkAk-i + тАкАк а калибровочные преобразования схематически имеют вид

5Ак = Ощ + т{щк-\ + т + Щ+г)

здесь к нумерует спин соответствующего штюкельберговского поля. Запись лагранжиана в виде (2) достигается с помощью частичной фиксации калибровочных преобразований, так что скалярное штюкельберговское поле (По) Фо) из теории исключается.

В четвертой главе на основе сформулированного нами калибровочно-инвариантного описания массивных полей высших спинов в трех-мерных пространствах (A)dSz и использовании конструктивного подхода, изучаются аспекты гравитационного взаимодействия.

В первом разделе как иллюстрация общей техники мы предоставляем пару самых простых примеров безмассовых взаимодействующих теорий.

А именно, мы рассматриваем саму безмассовую гравитацию в й — 3 и модель его взаимодействия с безмассовым нолем спина 3. Как известно такие теории оказываются замкнутыми, что не характерно для высших измерений.

Затем во втором разделе тщательно анализируется гравитационные взаимодействия для массивного поля произвольного спина . Главным результатом здесь является то, что даже в массивном случае возможно включить гравитационное взаимодействие в линейном приближении, т.е. построить кубическую вершину, линейную по гравитационному полю и квадратичную по массивному полю, без всякой необходимости вводить поправки с высшими производными в лагранжиан либо в калибровочные преобразования, что является не типичным для теорий в высших измерениях. Это в свою очередь, подразумевает, что даже после включения гравитационного взаимодействия (по крайней мере в линейном приближении) можно свободно рассматривать любые безмассовые или частично-безмассовые пределы, а также плоский предел. В тоже время мы устанавливаем, что в отличие от безмассового случая система гравитации плюс массивное поле спина 3 не является замкнутой. Чтобы построить замкнутую согласованную теорию нужно вводить другие поля или взаимодействия. Тем не менее подчеркнем, что эти результаты в линейном приближении не зависят от присутствия или отсутствия любых других полей, так что структура кубической вершины является модельно-независимой и ее вид соответствует минимальному взаимодействию.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в диссертации. В приложении приведены подробные формулы вычисления вариаций различных модельных действий, относящиеся ко второй главе.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. В метрическом подходе полностью построены согласованные кубические вершины в модели безмассового поля произвольного целого спина, распространяющегося во внешнем постоянном электромагнитном фоне в пространстве Минковского произвольной размерности с1 > 4. Эти вершины имеют структуру 5-5-1, т.е. линейны по электромагнитному полю, и содержат три производных.

2. В метрическом подходе с помощью калибровочно-инвариантного описания полностью построено кубическое взаимодействие массивных полей высших спинов с внешним постоянным электромагнитным полем. Показано, что построенная теория не содержит таких физических аномалий как нефизические распространяющие моды и от-

сутствие причииности, характерные для минимального электромагнитного взаимодействия массивных полей со спинами в > 1. Кроме того рассмотренная модель допускает правильный безмассовый предел, воспроизводя кубические вершины, полученные для безмассового случая. Помимо электрического заряда построенная теория содержит еще один произвольный безразмерный параметр.

3. Известная реперная формулировка массивных полей высших спинов в пространствах размерности в, > 4 расширена на трехмерные пространства с произвольной космологической постоянной, включая трех-мерное пространство Минковского. Построенная формулировка является калибровочно-инвариантной, следовательно, немедленно может быть использована для изучения различных взаимодействующих моделей в таких пространствах. Показано, что лагранжиан свободных массивных полей в трехмерных пространствах может быть переписан в терминах калибровочно-инвариантных объектов при частично фиксации калибровки с дальнейшей записью в форме действия Черно-Саймонса, характерное для безмассовых полей.

4. Построен общий вид кубической вершины гравитационного взаимодействия массивных полей высших в трех измерениях на основе выработанного нами калибровочно-инвариантно описания. В линейном приближении по гравитационному полю такая вершина соответствует минимальному взаимодействию. Основным различием здесь от высших измерений является возможность включить минимальное гравитационное взаимодействие, по крайней мере в линейном приближении, таким образом, что допускается гравитационное взаимодействие даже в пространстве Минковского й = 3, что для высших измерениях было в свое время одной из значительных проблем. Однако, выход за рамки линейного приближения делает теорию не замкнутой, что говорит нам о недостаточности включенных в полную теорию полей либо взаимодействий. Этот факт кардинально проявляется на примере спина 3, для которого в безмассовом случае построена замкнутая теория гравитационного взаимодействия без привлечения каких-либо дополнительных полей.

Публикации автора по теме диссертации

[1] I L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev. Cubic interaction vertex of higher-spin fields with external electromagnetic field//Nuclear Physics B. - 2012. - V.864. - p. 694-721.

[2] I.L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev. Gauge invariant Lagrangian formulation of massive higher spin fields in (A)dS3 space//Physics Letters B. - 2012. - V.716. - p. 243-248.

[3] I.L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev. On the gravitational interations for massive higher spins in AdS3//Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. - V.46. - 2Ц015.

[4] T.V. Snegirev. Cubic interaction vertex of massless higher-spin fields with an external electromagnetic field/'/ Gravitation and Cosmology. - 2012. -V.18. - p. 113-116.

[5] T.B. Снегирев. Лагранжево описание безмассового заряженного поля произвольного целого спина во внешнем электромагнитном поле// Сборник трудов XV Всероссийской с меэ/сдупародным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и Образование". - 2011. - Т.1. - с. 36-41. Изд-во ТГПУ.

Подписано.:» печать: 16.05.2013 г. Бумага: офсетная Тираж: 100 экз. Печать: трафаретная

Формат: 60x84/16 Усл. печ. л.: 0,93

Заказ: 733/Н

Издательство

Томского государственного педагогического университета

г. Томск, ул. Герцена, 49; Тел. (3822) 52-12-93 e-mail: publish@tspu.edu.ru

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Снегирев Тимофей Владимирович

КУБИЧЕСКИЕ ВЕРШИНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАССИВНЫХ ПОЛЕЙ ВЫСШИХ СПИНОВ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ И ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЯМИ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ Ю > 3

На правах рукописи

04201360717

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бухбиндер Иосиф Львович

Томск - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Динамика свободных полей высших спинов в пространстве ¿> 4 19

1.1 Метрический формализм........................................................19

1.1.1 Безмассовые поля........................................................20

1.1.2 Массивное поле спина 2..................................................21

1.1.3 Массивное поле произвольного спина..................................24

1.2 Реперный формализм............................................................26

1.2.1 Безмассовые поля........................................................26

1.2.2 Массивные поля..........................................................28

2 Кубическое электромагнитное взаимодействия полей высших спинов

в пространстве й > 4 32

2.1 Взаимодействие с внешним электромагнитным

полем..............................................................................33

2.2 Безмассовый случай..............................................................35

2.2.1 Поле спина 2..............................................................36

2.2.2 Поле спина 3..............................................................38

2.2.3 Поле произвольного спина..............................................39

2.3 Массивный случай................................................................41

2.3.1 Поле спина 2..............................................................42

2.3.2 Поле спина 3..............................................................47

2.3.3 Поле произвольного спина..............................................54

2.3.4 Выводы....................................................................59

3 Динамика свободных полей высших спинов пространстве ¿ = 3 61

3.1 Кинематика безмассовых полей................................................62

3.2 Кинематика массивных полей..................................................65

3.2.1 Поле спина 3..............................................................65

3.2.2 Поле произвольного спина..............................................70

4 Кубическое гравитационное взаимодействия полей высших спинов в пространстве й = 3 75

4.1 Безмассовый случай..............................................................76

4.1.1 Гравитация и самодействие..............................................76

4.1.2 Поле спина 3..............................................................80

4.1.3 Поле произвольного спииа..............................................83

4.2 Массивный случай................................................................85

4.2.1 Поле спина 3..............................................................85

4.2.2 Поле произвольного спина..............................................95

Заключение 99

Приложение 101

Литература 106

Введение

Одним из важнейших достижений теоретической физики второй половины XX века стало построение объединенной теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, получившей название стандартной модели (см. напр. [1, 2, 3, 4]. В основе стандартной модели лежит теория поля Янга-Миллса (см. напр. [3, 5]) со специально определенной калибровочной группой симметрии. Неотъемлемой часть этой модели является механизм Хиггса (см. напр. [3, 5]), обеспечивающий генерацию масс частиц - переносчиков слабого взаимодействия. Это осуществляется за счет спонтанного нарушения калибровочной группы, отвечающей электрослабому сектору теории, до подгруппы и( 1) электромагнитного взаимодействия. Замечательным является тот факт, что, как следствие механизма Хиггса, обязательным элементом стандартной модели должно быть наличие новой элементарной частицы, бозона Хиггса, поиски которой велись достаточно долго, но в 2012 году были представлены экспериментальные данные, свидетельствующие в пользу того, что частица со свойствами присущими бозону Хиггса действительно обнаружена. Следует также отметить, что стандартная модель сформулирована в рамках локальной, лоренц-инвариантной пертурбативной квантовой теории поля (см. напр. [6, 7, 8], [3], [9, 10]) и свидетельствует об эффективности методов квантовой теории поля в физике фундаментальных взаимодействий.

Четвертое фундаментальное взаимодействие - гравитационное - не вкладывается полностью в систему идей стандартной модели и его объединение с тремя другими фундаментальными взаимодействиями требует принципиального другого рассмотрения. Классическая гравитация описывается эйнштейновской общей теорией относительности (ОТО). Попытка объединения гравитации с остальными тремя фундаментальны-

ми взаимодействиями по аналогии со стандартной моделью сталкивается с проблемой неперенормируемости [11, 12, 13, 14, 15]. Была определенная надежда, что устранение расходимостей может иметь место при расширении ОТО до суперсимметричной теории гравитации - супергравитации (см. напр. [16, 17, 18]), однако, было установлено (см. напр. [19]), что в целом на этом пути проблему неперенормируемости гравитации не удается преодолеть. По-видимому, объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями на квантовом уровне не может быть осуществлено в рамках идей стандартной модели, и решение проблемы построения объединенной теории всех четырех фундаментальных взаимодействий требует принципиально другого подхода.

Одним из таких подходов был предложен в рамках теории струн (см. напр. [20, 21, 22]), которая является главным претендентом на самосогласованную теорию, объединяющей все фундаментальные взаимодействия и лишенная каких-либо внутренних противоречий. Основными объектами теории струн являются не точечные частицы, а протяженные объекты - струны в пространстве-времени с числом измерений больше четырех. Элементарные частицы, регистрируемые в обычном 4-мерном пространстве, трактуются как специфические возбужденные состояния струны и характеризуются стандартными параметрами такими как масса и спин. Проблема дополнительных измерений решается компактификацией лишних измерений до планковских велечин, либо представляется, что низкоэнергетическая физика локализована на 4-мерной мировой поверхности (3-бране) в многомерном пространстве, и " энергетическая "прижатость (локализация) не позволяет при низких энергиях выйти в дополнительные измерения. При этом естественным масштабом в теории струн является планковский. Важно отметить, что спектр частиц, возникающий в теории струн естественным образом содержит безмассовые состояния со спином 1 и спином 2, то есть электромагнетизм и гравитация заложены в теорию струн с самого начала. Помимо упомянутых безмассовых частиц, в теории струи также с необходимостью возникает бесконечный набор массивных состояний с произвольным значением спина. При этом внутренне согласованная теория струн требует привлечения суперсимметрии, что в свою очередь приводит к существованию возбужденных состояний с полуцелыми спинами. Поэтому теорию струн, в принци-

пе, можно трактовать как теорию бесконечного числа взаимодействующих бозонных и фермионных полей высших спинов. Это, в свою очередь, может служить мотивацией для исследования полей высших спинов со стороны теории поля. Однако, не смотря на внутреннюю красоту и согласованность, теория струн еще далека от полного понимания и вывод низкоэнергетических следствий из нее остается трудной задачей. Одна из таких задач, известная под названием "проблема ландшафта заключается в большом количестве вариантов компактификации дополнительных измерений при попытке описать процедуру редукции струнных теорий из высших измерений в низкоэнергетическую физику размерности четыре. В целом, проблема вывода низкоэнергетической физики из теории струн с однозначной фиксацией всех параметров (масс элементарных частиц, констант связи) еще далека от завершения.

Современное развитие теории струн в значительной степени обусловлено открытием соответствия между теорией (супер) струн в пространстве АйБь х 55 и конформной квантовой теорией поля в четырехмерном пространстве Минковского (Асй/СЕТ соответствие) [23, 24, 25]. Примером такой конформной теории поля служит Л/* = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса. Ас18/СРТ соответствие означает, в частности, что корреляционные функции калибровочно инвариантных операторов в конформной квантовой теории поля можно вычислять в режиме сильной связи на основе классической супергравитации в пяти-мерном пространстве анти де Ситтера При этом изучение в рамках АсЮ/СРТ соответствия корреляционных функций операторов токов, имеющих лоренцевские индексы, требует рассмотрения полей высших спинов в пространстве Айвц. Таким образом, теория струн указывает на необходимость развития теории полей высших спинов в рамках теории поля (для обзора некоторых направлений теории полей высших спинов см. напр.[26, 27, 28, 29, 30]).

Фундаментальный результат в теории безмассовых (калибровочных) полей высших спинов состоит в том, что включение взаимодействия для поля со спином 3 немедленно влечет за собой включение бесконечного набора взаимодействующих полей всех спинов [31, 32, 33]. Это хорошо согласуется с теорией струн, где как уже отмечалось спектр состояний содержит также бесконечный набор полей произвольного спина. Однако в

теории струн состояния с высшими спинами являются массивными, а в отмеченной выше калибровочной теории полей высших спинов [31, 32, 33] участвуют только безмассовые поля. Естественно предположить, что в такой теории массы будут генерироваться с помощью спонтанного нарушения симметрии, наподобие того, как это работает в стандартной модели. Таким образом, если подтвердится, что А(18/СРТ соответствие имеет место, то может оказаться, что теория струн является спонтанно нарушенной фазой некоторой нелинейной калибровочной теории высших спинов, а сама калибровочная теория полей высших спинов будет претендовать на роль теории, объединяющей все фундаментальные взаимодействия. Однако, многочисленные предположения требуют детального изучения и проверки и не факт, что они будут разрешимы. Поэтому кажется естественным, чтобы рассмотрение теории массивных полей высших спинов заслуживало отдельного внимания. Изучению некоторых аспектов такой теории и посвящается данная работа.

Важнейшую роль в физике высоких энергий играют симметрии. Одной из основных симметрий, накладывающих существенные ограничения не структуру физической теории является пространственно-временная симметрия, связанная с неоднородными преобразованиями Лоренца 4-мерного пространства Минковского и формулируемая в терминах группы Пуанкаре. Физические поля рассматриваются как неприводимые представления группы Пуанкаре. При этом известные релятивистские волновые уравнения такие как уравнение Клейна-Гордона для скалярного поля <р, уравнение Дирака для спинорного поля ф, уравнения Максвелла для безмассового векторного поля А,п уравнение Рарита-Швингера для векторного спинора -ф^ уравнение Паули - Фирца для симметричного тензорного поля второго ранга и уравнения для более сложных тензорных спиноров представляют собой условия, определяющие неприводимые представления группы Пуанкаре (см. напр. [18]). Неприводимые представления группы Пуанкаре естественным образом ассоциируются с элементарными частицами, которые можно классифицировать по этим представлениям. Известно, физически приемлемые неприводимые представления группы Пуанкаре характеризуются либо массой т и спином в (массивные представления или массивные элементарные частицы) либо имеют нулевую

массу и характеризуются спиральностыо (безмассовые представления или безмассовые частицы). При этом спин в принимает любые целые либо полуцелые значения, а спи-ральность всегда принимает только два значения, которые с точностью до знака, могут быть либо целые либо полуцелые1 [34]. Таким образом, классификация элементарных частиц по неприводимым представлениям группы Пуанкаре допускает существование частиц с высшими спинами, описание которых в рамках теории поля заслуживает специального изучения.

Наиболее простым образом неприводимые представления группы Пуанкаре для полей высших спинов реализуются в линейном пространстве полностью симметричных тензорных фции спин-тензорных ...ц3,а полей, удовлетворяющих спе-

циальным дополнительным условиям (см. напр. [18]). Лагранжева формулировка, воспроизводящая эти условия как следствия уравнений движения, берет начало с работ [35, 36, 37], рассматривающие частные случаи для спинов в < 4 с дальнейшим обобщением для произвольного спина в работах работах Синга и Хагена [38, 39] для массивных полей и в работах Фронсдала и Фанга для безмассовых полей [40, 41] (см. также [42]). Отличительная черта лагранжевой формулировки полей высших спинов состоит в необходимости использования вспомогательных полей, которые обеспечивают выполнение отмеченных выше дополнительных условий, но обращаются в ноль как следствия уравнений движения.

С развитием теории струн, а также из общих соображений о том, что размерность пространства-времени 6 следует понимать как физическую величину, значение в, = 4 которой нуждается в обосновании, возникла необходимость в формулировке теории полей высших спинов в различных пространствах с большим количеством измерений ё > 4. Очевидно, такие пространства будут обладать иными симметриями, нежели 4-мерное пространство Минковского, и поэтому неприводимые представления соответствующих групп симметрии должны обладать различными специфическими свойствами, не имеющих аналогов в четырехмерном пространстве Минковского. Так, например,

1 Термины спин и спиральность имеют разный смысл, однако в силу устоявшейся терминологии мы будем для безмассовых частиц также использовать термин спин.

в пространстве (анти) де Ситтера, классификация полей, помимо массивных и безмассовых, содержит также частично-безмассовые поля [43, 44, 45, 46], а в пространствах с количеством измерений в, > 4 неприводимые представления не ограничены только полностью симметричными тензорными полями, следует также рассматривать тензоры со смешанным типом симметрии [47, 48).

Известные в настоящее время элементарные частицы ограничены спинами 1/2 (леп-тоны и кварки) и 1 (фотон, глюоны, \¥+, ]У~, Z0 -бозоны). Модели, описывающие данные частицы принято называть теориями полей низших спинов. К полям низших спинов можно также отнести безмассовую гипотетическую частицу гравитон со спином 2 - переносчик гравитационного взаимодействия и его суперпартнер - гравитино со спином 3/22. Причина по которой выделяют данные поля в отдельную группу заключается в том, что для них выработаны вполне четкие механизмы, позволяющие строить различные взаимодействующие модели, связывающие их друг с другом. Так например, хорошо известные нелинейные теории для полей спина 1 и спина 2, описываются теориями Янга-Миллса и гравитацией соответственно. В рамках супергравитации построена нелинейная теория взаимодействия полей спина 2 и 3/2. Процедура включения взаимодействия с калибровочным (в том числе с электромагнитным) или гравитационным полем сводится к замене в лагранжиане, рассматриваемой модели, обычной производной на ковариантную. Для полей высших спинов в > 2 данные механизмы построения взаимодействующих моделей не работают. Наивные попытки их адаптации сталкиваются с принципиальными проблемами, когда лагранжевы уравнения движения оказываются противоречивыми или нарушающими базовые принципы локальной лоренц-ковариантной теории поля [49, 50]. В результате мы приходим к основной фундаментальной проблеме теории полей высших спинов, которая в общем виде может быть сформулирована как проблема построения лагранжевой формулировки полей высших спинов, взаимодействующих между собой, с полями низших спинов и с внешними полями.

2 Такое разделение полей не является общепринятым. Обычно поля со спинами 2 и 3/2 относят к полям высших спинов

Построение вершин взаимодействия полей высших спинов в значительной степени инициировано работами Фрадкина и Васильева по гравитационному взаимодействию безмассовых полей произвольных спинов [32, 33]. Было показано, что в этом случае более адекватным пространственно-временным фоном является не пространство Минков-ского, а пространство анти де Ситтера с отрицательной космологической постоянной Л, которое как и пространство Минковского является максимально симметричным вакуумом для уравнений Эйнштейна. Наличие космологической постоянной вносит в теорию естественный размерный параметр, используя который можно, в принципе, строить бесконечное число вершин взаимодействия. Однако при этом параметр Л должен стоять в знаменателе, и поэтому в рассматриваемой теории плоский предел не существует, что естественно согласуется с теоремой Коулмана-Мандулы [51] о запрете взаимодействующих теорий полей высших спинов в плоском пространстве3. Тем не менее, в некоторых случаях рассмотрение предела, когда константа гравитационного взаимодействия и космологическая постоянная одновременно стремятся к нулю так, что их отношение фиксировано, оставляет мес