Динамика спинорных самогравитирующих полей в аффинно-метрическом пространстве-времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и

Орлова Елена Юрьевна ДИНАМИКА СПИНОРНЫХ САМОГРАВИТИРУЮЩИХ ПОЛЕЙ В АФФИННО - МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ - ВРЕМЕНИ

485797В

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 с о;;т ¡он

Ярославль, 2011

4857978

Работа выполнена на кафедре общей физики физико-математического факультета Ярославского государственного педагогического университета имени К. Д. Ушинского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кречет В. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сарданашвили Г. А., кандидат физико-математических наук, доцент Бол охов С. В.

Ведущая организация: Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»

Защита состоится 1 ноября 2011 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 Российского университета дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва ул. Орджоникидзе, 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан 1 октября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.203.34 кандидат физико-математических наук, доцент

•Л*»»^ Лаптев Ю. П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальность проблемы. Среди разрабатываемых в настоящее ремя разделов теоретической физики одним из важнейших и нтереснейших является теория спинорного поля и возникшее в езультате развития этой теории спинорное исчисление. !пинорные поля, описывающие фермионы, то есть частицы с

(\ 3 5^1

олуцелым спином —,—, играют фундаментальную роль в

2 2)

овременной теории поля. Дираковское спинорное поле вместе с пектромагнитным полем Максвелла составляет материальный бъект исследования в квантовой электродинамике [1]. Такую же оль играет спинорное поле в объединенной теории слабых и иектромагнитных взаимодействий - теории Вайнберга - Салама, в еории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамике, а акже во всех современных моделях теорий объединения •ундаментальных взаимодействий. Еще больший интерес вызывают пинорные поля в связи с развитием возникшей недавно теорией уперсимметрии и супергравитации. Оказалось, что учет в квантовой еории гравитации полей полуцелого спина (супергравитация) резко менынает расходимости в теории. Эти факты с очевидностью риводят к мысли об определяющей роли спинорного поля в груктуре материи и возрождают интерес к разрабатываемой в 50-х одах XX века теории фундаментального спинорного поля Иваненко Гейзенберга, являющейся основой перспективной единой теории [атерии [2].

[нтерес к нелинейной спинорной теории усилился сравнительно едавно в связи с обнаружением факта [3], свидетельствующего о ом, что в рамках общерелятивистской теории гравитации с ручением взаимодействие линейного дираковского спинорного поля кручением пространства - времени индуцирует у спинорного поля убическую нелинейность псевдовекторного типа, в результате чего инейное спинорное уравнение Дирака переходит в нелинейное равнение типа Иваненко - Гейзенберга [2].

Этот факт, в свою очередь, заставляет обратить внимание на проблему о возможной роли геометрии в структуре элементарных частиц [4,5,6].

Спинорное исчисление в настоящее время играет важную роль в общсрелятивистской теории гравитации как в связи с исследованием динамики спинорных полей в гравитационном поле (в искривленном пространстве - времени ¡ 7]), так и в связи с исследованием структуры самого пространства - времени. Начало этому направлению положено в работах Р. Пенроуза, Е. Ньюмена и др. [8] по исследованию спинорной структуры пространства - времени. Поскольку спинор более простой математический объект, чем тензор, и из спиноров операцией квадрирования можно построить тензор произвольного ранга, то описание геометрических характеристик пространства - времени, метрики, связности, кривизны, на сшшорном языке позволяет найти и исследовать более тонкие и фундаментальные свойства структуры пространства - времени.

Таким образом, даже кратко приведенное рассмотрение роли спинорных полей в современной теоретической физике демонстрирует важность и актуальность исследования теории спинорного поля, как на квантовом, так и на классическом уровнях в рамках общерелятивистской теории гравитации и развития спинорного исчисления[9].

Одним из важнейших направлений исследований является изучение динамики сплошных сред с внутренними степенями свободы в собственных гравитационных полях. Такая постановка задачи особенно актуальна в астрофизике и космологии в связи с проблемой сингулярностей, так как известно, что гравитационное сжатие (коллапс) сплошных сред с обычными свойствами с неизбежностью приводит к образованию сингулярностей[ 10,11]. Следовательно, возникает необходимость принять как можно более широкие представления о структуре пространства - времени и исследовать, в какой степени влияние внутренних степеней свободы материи, в частности, ее спина, в состоянии предотвратить возникновение сингулярностей.

/дной из интересных моделей для такого рода исследований вляется самогравитирующая сплошная среда в виде спинорных олей различного типа. Это в свою очередь приводит к проблеме :сследования динамики спинорных полей в рамках бщерелятивистской теории гравитации и описанию спиноров в ространствах, наделенных различными геометрическими войствами - кривизной, кручением, неметричностью и так далее. 1сследование динамики самогравитирующих классических пинорных полей важно также в связи с исследованием поведения шличных современных моделей теории объединения зундаментальных взаимодействий в древесном приближении на шличных этапах эволюции Вселенной, когда квантовые эффекты ще достаточно малы, а также в связи с развитием теории уперсимметрии [12,13], приводящей к необходимости одновременного рассмотрения в моделях фундаментальных заимодействий полей целого и полуцелого спинов.

В диссертационной работе представлены результаты исследований ю динамике самогравитирующих спинорных полей в рамках бщерелятивистской теории гравитации, которая включает в себя :ак классическую теорию гравитации А. Эйнштейна - общую теорию относительности (ОТО), так и ее обобщения - теорию гравитации с ■четом кручения пространства - времени (теория Эйнштейна -Сартана (ТЭК)), а также неметричности пространства - времени.

Поскольку приходится рассматривать свойства спинорных полей в различных пространствах более общего типа, нежели пространство Минковского М4, то есть 4 - мерное псевдоевклидово пространство Е (1,3), где спиноры первоначально и были введены, то есть в искривленном римановом пространстве У4, в пространстве Римана -Картана 114, в пространстве Эйнштейна - Вейля с неметричностью и других более общих пространствах, то в данной работе представлены также исследования и по вопросам спинорного анализа в этих обобщенных 4 - мерных пространствах.

Здесь рассмотрены дираковские 4-компонентные спиноры, которые с математической точки зрения являются композицией двухкомпонентных спиноров, то есть биспинорами [14,15], но в дальнейшем они просто будут называться спинорами.

Известно, что дираковские спиноры могут рассматриваться простейшими и неприводимыми представлениями алгебры Клиффорда [16,17] С (1,4), которая соответствует 5-мерному пространству с сигнатурой (- + + + +). Об этом говорит и формула связи между числом спинорных компонент N и

АТ — оЫ

размерностью пространства п, в которой они вводятся: N - I , где квадратные скобки обозначают целую часть от числа. Из этой формулы видно, что для N = 4 (размерность дираковского спинора) подходят и п = 4, и п = 5, то есть дираковский спинор является объектом и четырехмерного и пятимерного пространств.

Поэтому в представленной работе рассмотрены самогравитирующие спинорные поля и в пятимерных пространствах, тем более что современная теоретическая физика все более часто при разработке физических теорий объединений фундаментальных взаимодействий использует пространства высших размерностей. К ним относятся пятимерная геометрическая теория гравитации и электромагнетизма Калуцы [18,19], наиболее последовательно и полно представленная в работах Ю. С. Владимирова [20], геометрическая пятимерная модель грави-электрослабых взаимодействий, шестимерные и семимерные геометрические модели грави-электрослабых взаимодействий, объединяющая в единую геометрическую конструкцию все 4 фундаментальных взаимодеиствия [21,22].

Целью диссертационного исследования является рассмотрение свойств спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, рассматривающей гравитацию как проявление геометрических свойств искривленного пространства - времени, оснащенного кручением и неметричностью. Это делается путем получения и исследования точных решений совместной системы

авитационных уравнений Эйнштейна и дираковского спинорного >ля (в общем случае нелинейного) в аффинно-метрическом юстранстве с кручением и неметричностью, как с четырьмя так и с пью измерениями. Уравнения в этом случае выводятся из 1гранжиана, являющегося суммой гравитационного лагранжиана ,(хА) и спинорного лагранжиана :

(Ч/) =. А + - ЧУ V/? - - Ф^7^)]» 0)

2

А=1,2,3,4,5. Здесь И- скаляр кривизны аффинно - метрического ространства, связность которого определяется выражением

= О + о*/ + + 6е« + ^ - - №, V.*.

овариантная производная спина_^(хА) в аффинно - метрическом ространстве, Р(ЧПР) и некоторые функции от

пинорного инварианта. Путем варьирования по независимым еременным и возможными другими геометрическими

еличинами, получается совместная система уравнений равитационного и спинорного полей.

Научная новизна. В диссертационной работе: • Сформулирована общая задача исследования динамики самогравитирующих спинорных полей в римановом пространстве, где в качестве примера рассмотрены четырехмерные однородные и изотропные космологические модели, описываемые метрикой Фридмана с линейными и нелинейными спинорными полями. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака, а также компоненты спинорной функции.

Показано, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи, а дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на эволюцию космологической модели. Показано, что спинорное поле с нелинейностью вида ¿(ТТ)" в однородной космологии является хорошей полевой моделью для баротропной идеальной жидкости с широким

диапазоном изменения коэффициента баротропности (р = :п = + 1, <IV<«•

• Рассмотрены равновесные стационарные гравитационные и спинорные поля с цилиндрической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна -Дирака и спинорных полей более общего типа Показано, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего нелинейного спинорного поля с нелинейностью типа ¿(ЧАР) могут индуцировать образование геометрии пространства -времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы».

• Рассмотрены стационарные самогравитирующие спинорные поля со сферической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака и других спинорных полей, а также компоненты спинорной функции в статическом пространстве-времени со сферической симметрией. Показано, что самогравитирующее нелинейное спинорное поле с нелинейностью (ТУ)" с поляризованным спином в стационарном пространстве со сферической симметрией может индуцировать геометрию пространства -

времени типа «кротовой норы». . Показано реальное существование системы

взаимодействующих спинорного поля и вихревого гравитационного поля на примере решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в стационарном пространстве - времени с цилиндрической симметриеи при

' _ ^ с.Мт (а)*,

наличии вихревого гравитационного поля со --е ек с{а)Кт .

Среди полученных решений есть решение, описывающее

геометрию «кротовой норы». . Рассмотрены пятимерные однородные космологические модели со спинорными полями (линейными и нелинеиными), описываемые метрикой:

¿Б2 =а2Ц)(ск2+(1у2+с122)-Ж2+Ь2(0(с1х5)2, где масштабный фактор b(t) = g55 является скалярным полем геометрического происхождения.

Показано, что в пятимерной космологической модели с массивным спинорным полем расширение или ее эволюция происходит медленнее, чем для соответствующей четырехмерной космологической модели. Это обусловлено влиянием геометрического скалярного поля g55 =£(/), то есть в данном

случае можно считать, что геометрическое скалярное поле играет роль невидимой гравитирующей «темной материи». А в космологической модели с нелинейным спинорным полем с нелинейностью типа (п < 2) получается, что за конечное

время (t = tf) скорость расширения Вселенной и ее размеры

стремятся к бесконечности («Большой Треск» - разрыв пространства).

• Рассмотрено взаимодействие спинорного и гравитационного полей в пятимерном стационарном римановом пространстве -времени с цилиндрической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в этом пространстве - времени, а также компоненты спинорной функции.

Показано, что пятимерные цилиндрические конфигурации могут существовать, но у них отсутствует плоская асимптотика и не существует решения с нетривиальной топологией, например, типа «кротовой норы» или космических «струн» и нет «солитонных» решений.

• В качестве примера гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с кручением рассмотрены однородные и изотропные космологические модели со спинорными полями, которые имеют нелинейность вида (Ч//„/5хР)2 , индуцированную

кручением пространства. Решена совместная система уравнений Эйнштейна и нелинейного спинорного поля.

9

Показано далее, что в этих космологических моделях массивное дираковское спинорное поле с такой нелинейностью, индуцированной кручением пространства - времени, играет роль идеальной жидкости с предельным уравнением состояния (р = е). Все эти космологические модели имеют начальную сингулярность. Следовательно, кручение не может остановить коллапс.

• Рассмотрено также гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве Римана - Вейля. Исследованы однородные изотропные космологические модели (открытая, плоская, закрытая) со спинорным полем. Получены соответствующие точные решения системы уравнений Эйнштейна-Дирака. Показано, что у всех рассмотренных космологических моделей устраняется начальная космологическая сингулярность вследствие влияния неметричности. Научная и практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в курсе теоретической физики, а также в спецкурсах по отдельным проблемам теоретической физики. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы на физическом факультете МГУ, во ВНИИМС, в Российском университете Дружбы народов, в Астраханском, Казанском, Красноярском, Томском, Пермском, Ульяновском, Владивостокском государственных университетах, Московском, Астраханском, Ульяновском и Ярославском государственных педагогических университетах.

Научные положения, выносимые на защиту содержатся в списке основных результатов диссертационной работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на 10-й международной конференции (Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики. - М.: РУДН, 2010), 12-й Российской гравитационной конференции (Казань, 2005), 13-й Российской

гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, РУДН, 2008), 14-й Российской гравитационной конференции - Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Ульяновск: УлГУ, 2011), а также на конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль ЯГПУ, 2006, 2008, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы из 130 названий. Объем диссертации составляет 130 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждена актуальность темы и сформулированы цели исследования. Представлен обзор методов введения спиноров и кратко охарактеризовано содержание диссертационной работы.

В первой главе введены спиноры в пространстве Минковского, через спинорные представления группы Лоренца, и рассмотрены свойства спинорных полей в псевдоевклидовом пространстве и различного вида линейные и нелинейные уравнения, описывающие динамику спинорных полей.

Вторая глава посвящена исследованию спинорного поля в римановой геометрии. Здесь рассмотрено ковариантное дифференцирование спиноров, где определяются коэффициенты спинорной связности Г^ через матрицы yt и их римановы

производные, и возможные физические следствия. Дана также формулировка теории динамики гравитационных взаимодействий спинорных полей с лагранжианом вида:

lq¥) = -2

8F 5Ф

F(S)-—S + 0(P)-—P ÖS дР

и с тензором энергии-импульса:

Tft Of) = у [V,.^^+V кЧ у p - Чу, Vt«P - +

ЙС + —

2

яр ЭФ

ds k эр

где в качестве примеров рассмотрены четырехмерные однородные и изотропные космологические модели с линейными спинорными полями, имеющими следующую метрику:

dS2 =_E^Ldr2 +a\t)r2de2+a2(t)r2 sin2 eda2-dt2. (4) a0

Получена и решена совместная система уравнений взаимодействия гравитационного и спинорного полей. Рассмотрены различные случаи решения этой системы уравнений

1) если к = 0 и (л = 0 (безмассовое поле), то а = const. Поэтому модель описывает статическую Вселенную;

( к Л

2) если к фО к<0;- = -р2 и ц = 0, то а = pt. Поэтому

V ао )

скорость расширения в этой космологической модели

2

2

Данное

постоянная.З) если к = 0 и ц Ф 0, то а(0 =

решение показывает, что масштабный фактор д(0 возрастает как

2

¿3,что совпадаете характером эволюции модели Вселенной с пылевидной материей (р = 0). Эти космологические модели, как видно, имеют сингулярность. Результаты

исследований показывают, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи и дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на

эволюцию космологической модели. Вычислены компоненты спинорной функции для данной модели.

Рассмотрены далее однородные космологические модели с нелинейными спинорными полями и с метрикой (4) и показано, что спинорное поле, моделирующее баротропную идеальную

жидкость, имеет степенную нелинейность по инварианту 4'4' : F(S) = ÀÇVyy, где n = w +1, -oo<w<co, а лагранжиан спинорного поля имеет вид:

ДЧ>) = у(V^'Y-2//ТТ + ¿(УЧО"). (5)

Получена система уравнений, описывающая эволюцию Вселенной с нелинейным спинорным полем и при к=0. В этом случае массивное дираковское спинорное поле играет роль идеальной жидкости. А в случае нелинейного спинорного поля (//= ОД^О), решение для масштабного

2_

фактора a(t) при п> О следующее: a(t) = a0tin .

2

Отсюда видно, что когда степень нелинеиности п > —, то расширение

2

происходит с замедлением (а <0), а если 0 < п < —, то расширение

Вселенной происходит по степенному закону (степенная инфляция). При п < 0 решение для масштабного фактора a{t) следующее:

a(t) =-(Р= tf=const- значение финального

' tYp 1-— tf

V f /

времени. Отсюда видно, что в такой космологической модели отсутствует начальная сингулярность, но существует сингулярность в будущем при t ->tj («Большой Крах»): a(t) —> оо при t ->tf ■

Затем рассмотрены свойства гравитационного взаимодействия уже нелинейных спинорных полей с нелинейностью степенного вида с лагранжианом (5). В результате выяснилось, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего спинорного поля с нелинейностью типа А(1РР)П не обладают плоской асимптотикой, но могут индуцировать образование геометрии пространства - времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы», соответствующая метрика следующая:

ц

с^2 = (к§Л\) -

ск

п-2 4 -х

V

п-2

ск2+(к-^Т\)

3(и-2)

ск

п-2

-х

3(и-2)

йа2 + е2х(к-у]\А~\У-п~2) ■

-е

-2х

(*лД|)

3(«-2)

ск

п-2

3(и-2)

ск

п-2

■х

3(п-2)

аг2-

Ж2; (п> 2);

Решена задача о взаимодействии спинорного и гравитационного полей в стационарном римановом пространстве - времени, описываемой метрикой в сферически - симметричном пространстве-времени:

(¡Б2 =еЯ{г)с!г2 (с/02 +ът2 Ша2)-е"{г)Ж2. (6)

Получены решения совместной системы уравнений Эйнштейна и нелинейного спинорного поля. Для массивного линейного спинорного поля, то есть когда отсутствует нелинейность, общее решение этих уравнений следующее:

л, а\ ^ _С^С + г ЫС + ;-1п(УС + /- + Уо к . 2

— 1 —, С' — т= I г=--1—т=\ с

Г у/г л/г у/г'

Чтобы не изменялась сигнатура, необходимо выполнение

условия е~л > 0, откуда 1 > 0. Тогда заменой переменной

г2 -а2 = х2 (-оо<х<оо). Общее решение приведется к виду:

е =

е =

_ 4(х2 +а2).

х

е" =х 2+а2;

С,х + Äxln(x + л/х2 + а2)

Л/Х2 +úf2

Поэтому метрика данного пространства - времени будет иметь

dS2 = ^Ц^-dx2 + (х2 + a2 )(d®2 + sin2 Qda2)-х

вид: г ¡—^---, (7)

С,х + Äxln(x + V*2 + я2) &

л/х2 + а2

л/7+a2

л/х2 + а2

с//2

то есть получилась метрика «кротовой норы», но без плоской пространственной асимптотики при -оо<х<оо. Здесь минимум функции ем =R(x) достигается в точке, где х = 0. Отсюда радиус горловины R(x = 0) будет равен постоянной «я».

Переходя к нелинейному спинорному полю с нелинейностью вида рассмотрена совместная система уравнений

Эйнштейна-Дирака при п = 2, где решение следующее:

е"=1; e-Ä=l + ~,a^ßs2Q=k.

т 2 0

Здесь интересен случай, когда к < 0, то есть когда ß s0 < 0. Тогда вводя обозначение к = —а2, и переходя к переменной г2 - а2 = х2 (-со < х < со), как в предыдущем случае массивного спинорного поля, получаем метрику «кротовой норы», но уже с плоской асимптотикой:

dS2=dx2+(x2 +a2)(d®2+ sin2 @da2)-dt2

и радиусом горловины, равным «а». Получены выражения для спинорных функций. Таким образом, самогравитируюгцее сиинорное поле с поляризованным спином может индуцировать геометрию пространства - времени с нетривиальной топологией, например, топологией «кротовой норы». Причем в случае нелинейного спинорного поля получается асимптотически плоская «кротовая нора».

Рассмотрена структура лагранжиана спинорного поля в римановом пространстве, взаимодействующего с гравитационным полем, где в итоге полный лагранжиан спинорного поля (5) с учетом полученных результатов разлагается на следующие части[23]:

fin ____fin -

1(40 = у /"У - Ч уа'v^ - F(S,Р)) + у 0)аЧ ykys4, где

уflc_ _

со" =^-4'yky5xî'. Данное взаимодействие индуцирует

псевдовекторную нелинейность у спинорного поля и приводит к взаимной поляризации. В общем случае спинорное поле взаимодействует с вихревой составляющей гравитационного поля так, что лагранжиан взаимодействия между ними равен

4«

Чтобы показать возможность реального существования системы взаимодействующих спинорного поля и вихревого гравитационного поля, рассмотрен конкретный пример решения совместной системы гравитационных уравнений Эйнштейна для самогравитирующего спинорного поля и спинорных уравнений в пространстве - времени, где может существовать вихревое гравитационное поле. Это стационарное пространство - время с цилиндрической симметрией, описываемое метрикой:

dS2 = Adx2 + Bda2 + Cdz2 - Ddt2 + 2Edadt,

где метрические коэффициенты A, В, С, D, Е являются функциями только от радиальной координаты х. В этом

пространстве может существовать стационарное вихревое гравитационное поле, описываемое вектором сок, направленным

к вк ЕЪ-Б'Е вдоль оси симметрии ОЪ\ со -5г-. . Получена в

2 0-у]ас(е2 + вп) общем виде совместная система уравнений Эйнштейна - Дирака. Для случая безмассового спинорного поля /л = 0, например, нейтрино, а также А=С (изотермические координаты) решение системы уравнений имеет

Л = О = С2х + С} М

л/х' 2 1

Л м

вид: м х /л^ ч

Л _--— (0 < х < оо).

о -г "»о 4 '

z - • - Г \-

СМ М и

С 2 + "

М

— X 2

(8)

Здесь Я= = ВЕ>*Е , М, С,, С2, С3 - постоянные

интегрирования, а 50 - граничное значение плотности потока спина

в точке, где л/~£=1- Приведенный пример показывает, что возможна физическая ситуация, когда самогравитирующее спинорное поле с поляризованным спином, индуцируя появление вихревого гравитационного поля, может образовать «кротовую нору».

В третьей главе исследовано спинорное поле в пятимерной теории гравитации. Сначала разобран общий вопрос о ковариантном дифференцировании спиноров в пятимерном пространстве - времени, где показано, что формула для пятимерных коэффициентов спинорной связности полностью совпадает по виду с формулой для четырехмерных коэффициентов. Затем представлены следующие пятимерные задачи со спинорным полем:

1) Пятимерные изотропные космологические модели, где в качестве примера исследуются пятимерные однородные космологические модели со спинорными полями (линейными и нелинейными), описываемые метрикой:

dS2 = a\t){dx2 + dy2 +dz2 ) - dt2 + b2 (t)(dx5 )2,

где b(t) = g55 является скалярным полем геометрического происхождения. Рассматривая сначала массивное линейное спинорное поле (Л = 0) в 5-мерной Вселенной, получено

следующее решение системы уравнений:

1 1

_ _ Q

a(t) = a0t2 ; b(t) = bJ2 + -p [b0,a0,c0- постоянные). (9)

Vf

Отсюда следует также, что в пятимерной космологической модели с массивным спинорным полем расширение или ее эволюция происходит медленнее, чем для соответствующей четырехмерной космологической модели. Это обусловлено влиянием геометрического скалярного поля g55 = b (t), то есть

в данном случае можно считать, что геометрическое скалярное поле играет роль невидимой гравитирующей «темной материи». При п = 2 решение следующее:

m 3m

a = a04t е 1, b = 2[ia^Jt е ' , m2 =---.

24 хТюц

При больших t » 1 имеем а « а0л/7, Ь « 2// af 4~t , a при п < 0 пятимерное спинорное поле ведет себя как решение (7). При пф2 и // = 0 получается решение:

п

чп-т

6п2

В результате за конечное время = ^) скорость расширения

Вселенной и ее размеры стремятся к бесконечности («Большой Треск» - разрыв пространства).

2) Пятимерные вращающиеся космологические модели с метрикой вида:

(Я2 =-А + а\1)((Ь2 +ке2Ххф2 +(Ь2) + 2аЦ)еЛхфа + <р\0(сЬ5)2, (10) где к, Л - постоянные величины. Здесь константа к определяет существование причинной структуры в космологической модели: при к < О-в модели существуют замкнутые времениподобные кривые, и причинная структура нарушается, при к > 0 замкнутые времениподобные кривые отсутствуют, и причинная структура

восстанавливается. Когда а(() = 1, ср^) = \,к = то приходим к стационарной метрике Геделя. Угловая скорость вращения

Для данной космологической модели (10) решена совместная система пятимерных уравнений Эйнштейна - Дирака (с квадратичной нелинейностью по Ч^Ч7):

Здесь / - константа взаимодействия, имеющая размерность длины.

Лс

космологическои модели со =

2 л[к + 1а'

у^^-^ + Р С¥уАу5 )уАу5Ч< = 0

АВ

Найденное решение следующее. Для параметров задачи — //,&,/2

1 3

получаем ¿и = 0,к = 0,1 =—%Нс, то есть получается случай

8

безмассового нелинейного спинорного поля и существует

тт ,Л а/3,, const причинная структура. Далее ait) =—At, ср =—г—, то есть

3 а

расширение пространственной части вращающейся космологической модели происходит с постоянной скоростью и с нулевым ускорением (пограничный между фридмановскими и инфляционными режимами эволюции), а поле cp(t), играющее роль масштабного фактора при 5-й координате, уменьшается по мере расширения.

Получены выражения для компонент спинорных функций. Если рассматривать эволюцию данной космологической модели, заполненной спинорным полем и идеальной жидкостью, то

1 2к + \ const

решение будет следующим// = О, a(t) = AJ---1; (р = ——.

V 3 а"

Из решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака выяснилось, что космологическое вращение дает вклад в

эффективную массу Вселенной р ,, (со)« .

Xе

3)Пятимерные стационарные конфигурации самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симметрией с метрикой вида: dS2 = A(x)dx2 + B(x)da2 + C(x)dz2 - D(x)dt2 + p(x) (dx5)2. Записана совместная система уравнений Эйнштейна и массивного спинорного поля в пространстве - времени. Решение этой системы ищется в пятимерных гармонических координатах: A = BCDq>, где показано, что пятимерные цилиндрические конфигурации могут существовать, но у них отсутствует плоская

асимптотика и не существует решения с нетривиальной топологией, например, типа «кротовой норы» или космических «струн» и нет «солитонных» решений.

4) Пятимерные стационарные сферически - симметричные конфигурации с метрикой с нелинейным спинорным полем: dS2 = emdr2 + е"(г)(dQ2 + sin2 ©da2)-ev{r)dt2 + ev{r)(dx$)2. Записана совместная система уравнений Эйнштейна и нелинейных спинорных полей.

Приведено решение этих уравнений для случая квадратичной по (lFvF )2 нелинейности (л = 2):

(p = v = 0; 1 = 0; = (х2 + а2); - со < х < со. Для компонент

С —

спинора Ч> имеем: % = Ч>2 = % = У4 = 1 е^

л1х2 +а2

Получается метрика пространства - времени «кротовой норы» с плоской асимптотикой с обеих ее концов, то есть соединяющий два плоских пространства, где минимальный радиус данной «кротовой норы» имеет размер порядка планковской длины.

В четвертой главе рассмотрено спинорное поле в пространствах аффинной связности с кручением и неметричностью. Исследование динамики самогравитирующих спинорных полей проводится не только в римановом пространстве V4, но и в пространстве с кривизной и кручением оснащенном метрикой dS2 = ga¡3dxadxp

(пространство U4), а также в пространствах с неметрической связностью (V ag 0). Показано, что кручение может не только

индуцировать, но и компенсировать кубическую нелинейность псевдовекторного типа С¥ууах¥)ууаЧ' как в уравнениях спинорных полей, так и в уравнениях гравитационного поля[9, 24].

Далее рассматривается гравитационное взаимодействие спинорного поля [25], в пространстве с кручением. В качестве примера

гравитационного взаимодеиствия спинорного поля в пространстве с кручением рассмотрены однородные и изотропные космологические модели с нелинейными спинорными полями, у которых нелинейность индуцирована кручением. Метрика такой модели следующая:

dS2 = а2 (0 dr2 + а2 (t)r2d92 + а2 (t)r2 sin2 в da2 - dt2,

где a(t) - масштабный фактор - функция, которая зависит только от времени. Тензор энергии- импульса спинорного поля в пространстве с кручением вычислен по формуле (при п = 2):

G¡=X

»ya _

ib

l tic . -

((ТЧТ +(Ч/75х1/Г)

= х

W)-

Vhc

<?0 +^0 Sg -

__g __(у

где ТТ = , (í0 = const) и х¥у5Ч> = —f,(cr0 =const) интегралы а а

уравнений Дирака, а Тьа (lF) - тензор энергии - импульса спинорного поля в отсутствии кручения. Получены уравнения Эйнштейна для данной задачи. Найдены решения для случая ц- 0, которые показывают, что сингулярность в данной космологической модели не устраняется, так как ait) —> 0 при t 0. Масштабный фактор a{t) для данной модели имеет вид, как и для космологической модели с идеальной жидкостью с предельным уравнением состояния (p = s). Следовательно, кручение в данной модели не может остановить коллапс. Найдены решения для случая ц* 0, которые показывают, что для массивного спинорного поля в данной космологической модели также наблюдается начальная сингулярность (а(0) = 0).

Затем исследуется спинорное поле в пространстве с неметричностью Вейля: Vxgap = 2Wxgap Ф 0 .

Рассмотрена модельная теория в пространстве с дилатациями, но без кручения, для выделения в «чистом» виде эффекта взаимодействия векторного тока материи с неметричностью пространства-времени. В качестве примера рассмотрено влияние неметричности пространства-времени на существование сингулярности в однородной космологической модели с дираковским спинорным полем, описываемой метрикой вида:

dS> +a2(t)r2de2+a2(t)r2 sin2 Oda2 -dt1

1 -kr

Уравнение для масштабного фактора a(t) этой модели 6á2 _ 2juñcz Tic%l2b2__к_

2~ 3 6 2' ^ '

a a a a

которое показывает, что эволюция модели при учете индуцирования неметричности начинается при конечном значении масштабного фактора a(t0) = a0,то есть устраняется начальная сингулярность в космологических моделях с неметричностью, индуцированной дираковским спинорным полем.

В случае плоской модели (к = 0) решение уравнения (11)

Í3 MhXct2 12к2 _ , .

следующее: а = 21--— + . Оно показывает, что при t = О

а(0) ± 0 = const. Масштабный фактор a(t) при больших значениях

2

t возрастает как t3, что совпадает с характером эволюции модели Вселенной с пылевидной материей (р = 0). Поэтому дираковское массивное спинорное поле в пространстве Вейля эквивалентно пылевидной материи, но начальная сингулярность отсутствует.

При рассмотрении динамики гравитационного взаимодействия пинорного поля в пространстве с неметричностью и кручением юследние одновременно индуцируют (или компенсируют) екторную и псевдовекторную нелинейность не только в уравнениях пинорного поля, но и в уравнениях гравитационного поля[9,24].

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1.Сформулирована общая задача исследования динамики самогравитирующих спинорных полей в римановом пространстве, где в качестве примера рассмотрены четырехмерные однородные и изотропные космологические модели с линейными спинорными полями с метрикой Фридмана. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака, а также компоненты спинорной функции.

Показано, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи, а дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на эволюцию космологической модели.

Показано, что спинорное поле с нелинейностью вида Л,(1Г"-Р)" в однородной космологии является хорошей полевой моделью для баротропной идеальной жидкости с широким диапазоном изменения коэффициента баротропности лу (р = же): п = +1.

2.Рассмотрены равновесные стационарные поля с цилиндрической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака. Показано, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего нелинейного спинорного поля с нелинейностью типа Л(ТЧ')" могут индуцировать образование геометрии пространства -времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы».

3.Рассмотрены стационарные поля со сферической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака, а также компоненты спинорной функции в статическом пространстве-времени со сферической симметрией. Самогравитирующее нелинейное спинорное поле с

24

гшейностью (Ч^Р)" с поляризованным спином в стационарном странстве со сферической симметрией может индуцировать летрию пространства - времени типа «кротовой норы».^ "[оказано реальное существование системы взаимодействующих норного поля и вихревого гравитационного поля на примере гения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в ционарном пространстве - времени с цилиндрическои симметрии

i _ Ciklm Р

[ наличии вихревого гравитационного поля со --б ек e(a)Lm.

эди полученных решений есть решение, описывающее геометрию ютовой норы».

ассмотрены пятимерные однородные космологические модели со шорными полями (линейными и нелинейными), описываемые

грикой:

dS2=a2(t)(dx2 + dy2 +dz2)-dt2 + b (t)(dx5)2, где b(t) = g55

шяется скалярным полем геометрического происхождения. Решена вместная система уравнений Эйнштейна - Дирака.

Показано что в пятимерной космологической модели с юсивным спинорным полем расширение или ее эволюция юисходит медленнее, чем для соответствующей четырехмерной .смологической модели. Это обусловлено влиянием ометрического скалярного поля g55 =b(t), то есть в данном случае зжно считать, что геометрическое скалярное поле играет роль видимой гравитирующей «темной материи». А в космологическои одели с нелинейным спинорным полем с нелинейностью типа (Vjnp)" (п < 2) получается, что за конечное время (t - tf) скорость асширения Вселенной и ее размеры стремятся к бесконечности <Болыной Треск» - разрыв пространства).

Рассмотрено взаимодействие спинорного и гравитационного полей 'пятимерном стационарном римановом пространстве - времени с илиндрической симметрией. Получены точные решения овместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в этом

пространстве - времени, а также компоненты спинорной функции. Показано, что пятимерные цилиндрические конфигурации могут существовать, но у них отсутствует плоская асимптотика и не существует решения с нетривиальной топологией, например, типа «кротовой норы» или космических «струн» и нет «солитонных» решений.

7.В качестве примера гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с кручением рассмотрены однородные и изотропные космологические модели со спинорными полями, которые имеют нелинейность вида (У/а/' индуцированную кручением пространства. Решена совместная система уравнений Эйнштейна и нелинейного

спинорного поля.

Показано далее, что массивное дираковское спинорное поле с такой нелинейностью, индуцированной кручением

пространства - времени, играет роль идеальной жидкости с предельным уравнением состояния (р = е). Следовательно, кручение не может остановить коллапс.

8.Рассмотрено также гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве Римана - Вейля. Исследованы однородные изотропные космологические модели (открытая, плоская, закрытая) со спинорным полем. Получены соответствующие точные решения системы уравнений Эйнштейна-Дирака. Показано, что у всех рассмотренных космологических моделей устраняется начальная космологическая сингулярность вследствие влияния неметричности.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Орлова Е. Ю. Самогравитирующие спинорные конфигурации с нелинейными спинорными полями // 10-я международная конференция. Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики. - М.: РУДН, 2010. С. 7 - 9.

Сречет В. Г., Орлова Е. Ю., Садовников Д. В. Геометрические фекты в пятимерной геометрической модели грави -гктрослабых взаимодействий //Математика, физика, экономика и [зико-математическое образование. Часть 2: Материалы нференции «Чтения Ушинского» физико-математического дсультета. Ярославль: ЯГПУ, 2006. С. 3-12.

Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Пятимерная космология со спинорным >лем //Математика, физика, экономика и физико-математическое 5разование. Материалы конференции «Чтения Ушинского» изико- математического факультета. Ярославль: ЯГПУ, 2008. С. 32 37.

Орлова Е. Ю. Пятимерная космология с нелинейным спинорным шем //13-я Российская гравитационная конференция -гждународная конференция по гравитации, космологии и ;трофизике. - М.: РУДН, 2008. С. 118-119.

5.Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Астрофизические эффекты взаимодействия спинорного и гравитационного вихревого полей // Ярославский педагогический вестник, № 1, том III (Естественные науки), 2011. С. 31-36.

6.Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Пятимерные вращающиеся космологические модели со спинорным полем //Математика и физика, астрономия, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. - Ч. 1. -Ярославль: ЯГПУ, 2011. С. 48 - 53.

7. Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Пятимерные космологические модели со спинорными полями // Ярославский педагогический вестник, выпуск № 1 2010. С. 77-81.

8. Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Возможные эффекты спин -спинового взаимодействия спинорного и гравитационного полей //Известия вузов. Физика. №10,2011.

9. Орлова Е. Ю. Астрофизические эффекты взаимодействия спинорного и гравитационного вихревого полей //14-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. 4-ая Ульяновская международная школа-семинар «Проблемы теоретической и наблюдательной космологии». - Ульяновск: УлГУ, 2011.

lO.Krechet Y.G. and Orlova E. Y. То the effects of the interaction

between the spinor field and the vortex gravitation field. // Grav. and

Cosmology, vol. 17, No. 4, 2011.P. 324-327.

П.Орлова E. Ю. Пятимерные стационарные сферически -симметричные конфигурации со спинорным полем //Известия вузов. Физика. №10,2011.

12.Кречет В. Г., Левкоева М. В., Орлова Е. Ю., Садовников Д.В. Топологические эффекты в геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий. //12 - ая Российская гравитационная конференция. Казань, 2005, С. 149-150.

Список литературы

1. Дирак П. А. М. Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978.

2. Иваненко Д. Д. Актуальность теории гравитации Эйнштейна. - В сб.: Проблемы физики: классика и современность / под ред. Л. И. Седова. - М.: Мир, 1982. - С. 127 - 154.

3.Родичев В. И. Пространство с кручением и обобщенные уравнения спинорного поля // Известия ВУЗов. Сер. Физика. 1963. №2. С. 122-124.

4. Кречет В. Г. Геометрия пространства - времени и физические свойства фермионов //Известия вузов. Физика. Издательство Томского университета, № 10, 1986.

5.Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство - время (том 2). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства - времени. М.: Мир, 1988.

6. Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. -М.: Мир, 1968.

.Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии //Сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979, С. 18-33.

.Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

.Кречет В. Г. Проблемы гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах аффинной связности /'/Докторская диссертация. Минск. Академия наук СССР, 1988.

3. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

1. Червон С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. Ульяновск: УлГУ, 1997.

2. Весе 10., Беггер Д. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986.

3. Уэст П. Введение в суперсимметршо и супергравитацию. М.: Мир, 1989.

1. Dirac, P. A. M., Principles of Quantum Mechanics, 4th édition,Clarendon, 1982.

5. Дирак П.А.М. Релятивисткое волновое уравнение электрона (рус.) // Успехи физических наук. — 1979. — В. 4. — Т. 129. — С. 681-691.

5. Владимиров Ю. С. Реляционная теория пространства - времени и взаимодействий. Часть 2. Теория физических взаимодействий. -М.: МГУ, 1998.

7. Lawson H., Michelson M.-L. Spin Geometri. Princeton Univ. Press, Princeton, 1989.

i. Болохов С. В. Ступенчатая размерная редукция в моделях Калуцы-Клейна //14 - я Российская гравитационная конференция -Международная научная конференция по гравитации, космологии

и астрофизике. 4-ая Ульяновская международная школа-семинар «Проблемы теоретической и наблюдательной космологии». - Ульяновск: УлГУ, 2011, С. 100.

19.Алиев Б. Г. О конформном соответствии 4-мерной теории с электромагнитным полем и пятимерной теории Калуцы //Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию со дня рождения профессора К. П. Станюковича. М.: РУДН, 2006, С. 23.

20.Владимиров Ю. С. Размерность физического пространства -времени и объединение взаимодействий. М.: МГУ, 1987.

21.Кречет В. Г. Пятимерная геометрическая модель электрослабых взаимодействий // Сб. Гравитация и электромагнетизм. Вып. 7, Минск, 1998. С. 61 - 67.

22.Krechet V.G. 5-dimensional geometric model grav -elektrowecikinteradions // Grav. and Cosmology, № 4, 1999. P. 6165.

23.Кречет В. Г. Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории гравитации //Известия вузов. Физика. - 2007. - № 10.

24. Кречет В. Г. Нелинейные волновые поля и геометрия пространства - времени //Сб. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат - Энергоиздат, вып. 13, 1982. С. 60-66.

25.Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 5: Гравитация. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, С. 74 - 78

Орлова Елена Юрьевна

«Динамика спинорных самогравитирующих полей в аффинно-метрическом пространстве-времени»

Исследуются свойства спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, рассматривающей гравитацию как проявление геометрических свойств искривленного пространства - времени, оснащенного в общем случае кривизной, кручением и неметричностью.

Получены точные решения системы уравнений Эйнштейна и спинорного поля, описывающих взаимодействие спинорного и гравитационного полей в аффинно-метрическом пространстве-времени. В результате показывается, что эффекты такого взаимодействия могут устранять космологические сингулярности и приводить к образованию геометрии пространства - времени с нетривиальной топологией, например типа «кротовых нор».

Elena Orlova «The dynamics of self-gravitating spinor fields in the affine-metric space-time»

The properties of the spinor fields in general relativistic theory of gravitation are explored, which considers gravity as a manifestation of the geometric properties of curved space - time which generally has the angularity, torsion and nonmetricity.

Exact solutions of the equation system of Einstein equations and the spinor field are received, describing the interaction of spinor and gravitational fields in the affine-metric space-time. The result shows that the effects of such interactions can eliminate cosmological singularity and give rise to the geometry of space - time with nontrivial topology, for example such as wormholes..

Введение

Глава 1. Спинорное поле в пространстве

Минковского

§1.1 Преобразования Лоренца в пространстве Ю

Минковского

§ 1.2 Спинорные представления группы Лоренца

§ 1.3 Представление спиноров действительными тензорами '

§ 1.4 Уравнения для спинорных полей

Глава 2. Спинорное поле в римановой геометрии

§2.1 Ковариантное дифференцирование спиноров в римановой геометрии

§ 2.2 Формулировка теории динамики гравитационных 25 взаимодействий спинорных полей в римановом пространстве

§ 2.3 Однородные космологические модели со спинорными полями

§ 2.4 Стационарные конфигурации самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симметрией

§ 2.5 Стационарные сферически — симметричные конфигурации со спинорным полем

§2.6 Особенности гравитационного взаимодействия

СПИНОрНОГО ПОЛЯ'

§ 2.1 Стационарная задача о спин — спиновом взаимодействии спинорного и гравитационного полей

§ 2.8 Обобщение ковариантного дифференцирования 60 спиноров и возможные физические следствия

Глава 3. Спинорное поле в пятимерной теории гравитации

§ 3.1 Ковариантное дифференцирование спиноров в 68 пятимерном пространстве — времени

§ 3.2 Пятимерные изотропные космологические модели 73 со спинорным полем

§ 3.3 Пятимерные вращающиеся космологические модели со спинорным полем

§ 3.4 Пятимерные стационарные конфигурации самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симметрией

§ 3.5 Пятимерные стационарные сферически — симметричные конфигурации со спинорным полем

Глава 4. Спинорное поле в пространствах аффинно-метрической связности с кручением и неметричностью

§4.1 Геометрическое введение

§ 4.2 Проблемы и трудности ОТО. Основные положения теории гравитации с кручением

§ 4.3 Ковариантное дифференцирование спинорного поля в пространстве с кручением

§ 4.4 Гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве с кручением

§ 4.5 Спинорное поле в пространстве Вейля

§ 4.6 Динамика гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с неметричностью и кручением Заключение Литература

Среди разрабатываемых в настоящее время разделов теоретической физики одним из важнейших и интереснейших является теория спинорного поля и возникшее в результате развития этой теории спинорное исчисление. Спинорные поля, описывающие фермионы, то есть частицы с полуцелым играют фундаментальную роль в современной теории поля. 3 5^1 спином — и 2 2)

Дираковское спинорное поле вместе с электромагнитным полем Максвелла составляет материальный объект исследования в квантовой электродинамике [116]. Такую же роль играет спинорное поле в объединенной теории слабых и электромагнитных взаимодействий — теории Вайнберга — Салама, в теории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамике, а также во всех современных моделях теорий объединения фундаментальных взаимодействий. Еще больший интерес вызывают спинорные поля в связи с развитием возникшей недавно теорией суперсимметрии и супергравитации. Оказалось, что учет в квантовой теории гравитации полей полуцелого спина (супергравитация) резко уменьшает расходимости в теории. Эти факты с очевидностью приводят к мысли об определяющей роли спинорного поля в структуре материи и возрождают интерес к разрабатываемой в 50-х годах XX века теории фундаментального спинорного поля Иваненко — Гейзенберга, являющейся основой перспективной единой теории материи [1].

Интерес к нелинейной спинорной теории усилился сравнительно недавно в связи с обнаружением факта [2], свидетельствующего о том, что в рамках общерелятивистской теории гравитации с кручением взаимодействие линейного дираковского спинорного поля с кручением пространства -времени индуцирует у спинорного поля кубическую нелинейность псевдовекторного типа, в результате чего линейное спинорное уравнение Дирака переходит в нелинейное уравнение типа Иваненко — Гейзенберга [1]. Этот факт, в свою очередь, заставляет обратить внимание на проблему возможной роли геометрии в структуре элементарных частиц [3,67,68].

Спинорное исчисление в настоящее время играет важную роль в общерелятивистской теории гравитации как в связи с исследованием динамики спинорных полей в гравитационном поле (в искривленном пространстве - времени[129]), так и в связи с исследованием структуры самого пространства - времени. Начало этому направлению положено в работах Р. Пенроуза, Е. Ньюмена и др. [4] по исследованию спинорной структуры пространства - времени. Поскольку спинор более простой математический объект, чем тензор, и из спиноров операцией квадрирования можно построить тензор произвольного ранга, то описание геометрических характеристик пространства - времени, метрики, связности, кривизны, на спинорном языке позволяет найти и исследовать более тонкие и фундаментальные свойства структуры пространства - времени.

Таким образом, даже кратко приведенное рассмотрение роли спинорных полей в современной теоретической физике демонстрирует важность и актуальность исследования теории спинорного поля, как на квантовом, так и на классическом уровнях в рамках общерелятивистской теории гравитации и развития спинорного исчисления [54].

Важнейшей задачей , исследований является изучение динамики сплошных сред с внутренними степенями свободы в собственных гравитационных полях. Такая постановка задачи особенно актуальна в астрофизике и космологии в связи с проблемой сингулярностей, так как известно, что гравитационное сжатие (коллапс) сплошных сред с обычными свойствами с неизбежностью приводит к образованию сингулярностей [5, 114]. Следовательно, возникает необходимость принять как можно более широкие представления о структуре пространства - времени и исследовать, в какой степени влияние внутренних степеней свободы материи, в частности, ее спина, в состоянии предотвратить возникновение сингулярностей. Одной из интересных моделей для такого рода исследований является самогравитирующая сплошная среда в виде спинорных полей различного типа. Это в свою очередь приводит к проблеме исследования динамики спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации и описанию спиноров в пространствах, наделенных различными геометрическими свойствами - кривизной, кручением, неметричностыо и так далее. Исследование динамики самогравитирующих классических спинорных полей важно также в связи с исследованием поведения различных современных моделей теории объединения фундаментальных взаимодействий в древесном приближении на различных этапах эволюции Вселенной, когда квантовые эффекты еще достаточно малы, а также в связи с развитием теории суперсимметрии [69,70,71,72], приводящей к необходимости одновременного рассмотрения в моделях фундаментальных взаимодействий полей целого и полуцелого спинов.

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований по динамике самогравитирующих спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, которая включает в себя как классическую теорию гравитации А. Эйнштейна - общую теорию относительности (ОТО), так и ее обобщения — теорию гравитации с учетом кручения пространства - времени (теория Эйнштейна - Картана (ТЭК)), а также неметричность пространства — времени (теория гравитации Г. Вейля).

Поскольку приходится рассматривать свойства спинорных полей в различных пространствах более общего типа, нежели пространство Минковского М4, то есть 4-мерное псевдоевклидово пространство Е (1,3), где спиноры первоначально и были введены, то есть в искривленном римановом пространстве У4, в пространстве Римана - Картана Ц4, в пространстве Эйнштейна - Вейля с неметричностыо и других более общих пространствах, то в данной работе представлены также исследования и по вопросам спинорного анализа в этих обобщенных 4-мерных пространствах.

Здесь рассматривается дираковские 4-компонентные спиноры, которые с математической точки зрения являются композицией двухкомпонентных 5 спиноров, то есть биспинорами[73,74], но в дальнейшем они просто будут называться спинорами.

Известно, что дираковские спиноры являются простейшими и неприводимыми представлениями алгебры Клиффорда [6,117] С (1,4), которая соответствует 5-мерному пространству с сигнатурой (- + + + +). Об этом говорит и формула связи между числом спинорных компонент N и размерностью пространства п, в которой они вводятся:

-1

N = 212], где квадратные скобки обозначают целую часть от числа. Из этой формулы видно, что для N=4 (размерность дираковского спинора) подходят и п=4, и п=5, то есть дираковский спинор является объектом и четырехмерного и пятимерного пространств.

Поэтому в представленной работе рассматривается самогравитирующие спинорные поля и в пятимерных пространствах, тем более что современная теоретическая физика все более часто при разработке физических теорий объединений фундаментальных взаимодействий использует пространства высших размерностей. К ним относятся пятимерная геометрическая теория гравитации и электромагнетизма Калуцы [57, 95], наиболее последовательно и полно представленная в работах Ю. С. Владимирова [7], геометрическая пятимерная модель грави — электрослабых взаимодействий, шестимерные и семимерные геометрические модели грави-электрослабых взаимодействий[30,60], объединяющие в единую геометрическую конструкцию все 4 фундаментальных взаимодействия.

Как известно, существует несколько способов введения спиноров в геометрию пространства - времени.

Это, во-первых, наиболее извёстный способ введения спиноров как инвариантных объектов, преобразующихся по спинорному представлению группы Лоренца.

Во-вторых, ввести спиноры в геометрию пространства — времени можно с помощью образующих алгебр Клиффорда [10,75,] С (1,3) и С (1,4), каковыми являются известные четырехрядные матрицы Дирака у. (/ = 1,2,3,4), представляющие собой матричный вектор в пространстве

Минковского.

В-третьих, известен метод Э. Шмутцера [8], который начинает введение двух компонентных спиноров через более общие объекты как векторы двухмерного комплексного линейного пространства, доопределяя затем путем дедукции комплексные линейные преобразования до преобразований по спинорному представлению группы Лоренца, переходя затем к биспинорам, то есть к четырехкомпонентным дираковским спинорам.

Сравнительно недавно, в 80-х г. г. XX века, был найден Ю. С. Владимировым еще один способ введения спиноров в рамках развиваемой им теории «бинарной геометрофизики», или иначе, теории бинарных систем комплексных отношений (БСКО) [9,10]. В этой теории спиноры появляются естественным образом при рассмотрении структуры БСКО ранга (3;3).

Целью данной работы является исследование свойств спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, рассматривающей 6 гравитацию как проявление геометрических свойств искривленного пространства — времени, а возможно оснащенного и другими структурами, например, кручением и неметричностыо.

В первой главе кратко изложено введение спиноров в пространстве Минковского, в соответствии с первым традиционным способом, то есть через спинорные представления группы Лоренца, и в связи с этим рассмотрены сначала свойства спинорных полей в псевдоевклидовом пространстве и различного вида линейные и нелинейные уравнения, описывающие динамику спинорных полей.

Во второй главе рассмотрено спинорное поле в римановой геометрии, а именно ковариантное дифференцирование спиноров, где определяются коэффициенты спинорной связности Г^ через матрицы у1 и их римановы производные, и возможные физические следствия. Дана также формулировка теории динамики гравитационных взаимодействий спинорных полей, где в качестве примеров рассмотрены четырехмерные однородные и изотропные космологические модели с линейными спинорными полями. Результаты исследований показывают, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи и дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на эволюцию космологической модели.

Введены однородные космологические модели со спинорными полями, которые решены для различных видов нелинейности спинорных полей и показано, что нелинейное спинорное поле является полевой моделью для баротропной идеальной жидкости с любым коэффициентом баротропности со < к/ < оо.

Рассмотрено взаимодействие спинорного и гравитационного полей в стационарном римановом пространстве — времени, то есть исследуются стационарные поля с цилиндрической симметрией. Сначала исследовано взаимодействие линейного спинорного и гравитационного полей. Далее рассмотрены свойства гравитационного взаимодействия уже нелинейных спинорных полей с нелинейностью степенного вида. В результате становится ясно, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего спинорного поля с нелинейностью типа /1(Ч/¥)И не обладают плоской асимптотикой, но могут индуцировать образование геометрии пространства - времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы».

Решена задача о взаимодействии спинорного и гравитационного полей в стационарном римановом пространстве - времени с сферически -симметричной конфигурацией, где получена метрика «кротовой норы», но без плоской асимптотики в случае линейного спинорного поля и метрика «кротовой норы» с плоской пространственной асимптотикой в случае нелинейного спинорного поля.

Рассмотрена структура лагранжиана спинорного поля в римановом пространстве, взаимодействующего с гравитационным полем, которое индуцирует псевдовекторную нелинейность у спинорного поля и приводит к взаимной поляризации.

Решена стационарная задача о спин — спиновом взаимодействии спинорного и гравитационного полей. В результате чего выяснилось, что пустое стационарное пространство — время, в котором существует «априори» стационарное вихревое гравитационное поле имеет геометрию «кротовой норы».

Приведено обобщение ковариантного дифференцирования спиноров и рассмотрены возможные физические следствия этого, где показывается, что в различных гравитационных теориях с квадратичными по кривизне лагранжианами получающееся в них волновое гравитационное вихревое поле может, быть как обычным массивным полем, так и тахионным полем.

В третьей главе исследовано спинорное поле в пятимерной теории гравитации. Сначала разобран общий вопрос о ковариантном дифференцировании спиноров в пятимерном пространстве - времени, где показано, что формула для пятимерных коэффициентов спинорной связности полностью совпадает по виду с формулой для четырехмерных коэффициентов.

Представлены следующие пятимерные задачи со спинорным полем:

1) изотропные космологические модели, где в качестве примера исследованы пятимерные однородные космологические модели со спинорными полями (линейными и нелинейными); в результате получено, что за конечное время (/ = tf) скорость расширения Вселенной и ее размеры стремятся к бесконечности(«Большой Треск» - разрыв пространства);

2) вращающиеся космологические модели, где показано, что спинорное поле взаимодействует лишь с псевдоследом кручения пространства - времени и с вихревой составляющей гравитационного поля, причем одинаковым образом, то есть для спинорной материи оба эти объекта эквивалентны, и играют роль калибровочного поля локальной группы ^—вращений; в результате выяснено, что cp(t) уменьшается по мере расширения 4-мерного пространства-времени, то есть (pit) ведёт себя как обычная материя, а влияние космологического вращения (если оно существует) эквивалентно наличию дополнительной плотности массы, сопоставимой с плотностью "темной энергии", т. е. возможно, что наличие "темной энергии" есть эффект космологического вращения;

3) стационарные конфигурации самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симметрией, где показано, что «кротовая нора» не образуется, и нет плоской асимптотики;

4) стационарные сферически — симметричные конфигурации; в результате выяснено, что нелинейное по (Т^Р)" самогравитирующее спинорное поле при п- 2 с поляризованным по радиальному направлению спином может образовывать «кротовые норы», но размеры, которых очень малы - порядка планковской длины.

В четвертой главе рассмотрено спинорное поле в пространствах аффинной связности с кручением и неметричностью, где исследование динамики самогравитирующих спинорных полей проводится не только в римановом пространстве но и в пространстве с кривизной и кручением оснащенном метрикой ¿¡Б2 = gapdxadxp (пространство и4), а также в пространствах с неметрической связностью (У^ 0). Получены общие результаты в виде теорем о взаимосвязи динамики самогравитирующих линейных и нелинейных спинорных полей в римановом пространстве и в пространстве 114. Показано, что кручение может не только индуцировать, но и компенсировать кубическую нелинейность псевдовекторного типа ууах¥)ууак¥ как в уравнениях спинорных полей, так и в уравнениях гравитационного поля.

В параграфе о ковариантном дифференцировании спинорного поля в пространстве с кручением ЦГ4 вычислены коэффициенты спинорной связности и ковариантная производная от спинорных функций Х¥(хр') и

Рассмотрено гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве с кручением, где показано, что все конкретные результаты для самогравитирующего спинорного поля (линейного или нелинейного), полученные в рамках ОТО, молено рассматривать как результаты для самогравитирующего спинорного поля (нелинейного или линейного, соответственно) в пространстве с кручением.

Исследовано спинорное поле в пространстве Вейля, где рассмотрена модельная теория в пространстве с дилатациями, но без кручения, для выделения в «чистом» виде эффекта взаимодействия векторного тока материи с неметричностью пространства-времени.

При рассмотрении динамики гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с неметричностью и кручением последние одновременно индуцируют (или компенсируют) векторную и псевдовекторную нелинейность не только в уравнениях спинорного поля, но и в уравнениях гравитационного поля.

Заключение

В диссертации исследована динамика спинорных самогравитирующих полей на случай пространств аффинной связности с кручением и неметричностью, в пространстве Минковского, в Римановой геометрии и в пятимерном пространстве - времени. Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе:

1. Сформулирована общая задача исследования динамики самогравитирующих спинорных полей в римановом пространстве, где в качестве примера рассмотрены четырехмерные однородные, и изотропные космологические модели с линейными спинорными полями с метрикой Фридмана. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна — Дирака, а также компоненты спинорной функции.

Показано, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи, а дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на эволюцшо космологической модели.

Показано, что спинорное поле с нелинейностью вида в однородной космологии является хорошей полевой моделью для баротропной идеальной жидкости с широким диапазоном изменения коэффициента баротропности w (р = v/s): n = w + 1.

2. Рассмотрены равновесные стационарные поля с цилиндрической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака. Показано, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего нелинейного спинорного поля с нелинейностью типа Л(Ч'Ч')" могут индуцировать образование геометрии пространства — времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы».

3. Рассмотрены стационарные поля с со сферической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака, а также компоненты спинорной функции в статическом пространстве-времени со сферической симметрией. Самогравитирующее нелинейное спинорное поле с нелинейностью (ТО)" с поляризованным спином в стационарном пространстве со сферической симметрией может индуцировать геометрию пространства - времени типа «кротовой норы».

4. Показано реальное существование системы взаимодействующих спинорного поля и вихревого гравитационного поля на примере решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в стационарном пространстве - времени с цилиндрической симметрией при наличии вихревого гравитационного поля со1 = —^'"^^(я^л.

Среди полученных решений есть решение, описывающее геометрию «кротовой норы».

5. Рассмотрены пятимерные однородные космологические модели со спинорными полями (линейными и нелинейными), описываемые метрикой: dS2 = a2(t)(dx2 + dy2 +dz2) -dt2 + b2(t)(dx5)2, где b(t) = g55 является скалярным полем геометрического происхождения. Решена совместная система уравнений Эйнштейна — Дирака.

Показано, чтов пятимерной космологической модели с массивным спинорным полем расширение или ее эволюция происходит медленнее, чем для соответствующей четырехмерной космологической модели. Это. обусловлено влиянием геометрического скалярного поля g55 =b '(f), то есть в данном случае можно считать, что геометрическое скалярное поле играет роль невидимой гравитирующей «темной материи». А в космологической модели с нелинейным спинорным полем с нелинейностью типа /£(¥¥)" (п < 2) получается, что за конечное время (t = tf) скорость расширения Вселенной и ее размеры стремятся к бесконечности («Большой Треск» - разрыв пространства).

6. Рассмотрено взаимодействие спинорного й гравитационного полей в пятимерном стационарном римановом пространстве - времени с цилиндрической симметрией. Получены точные решения совместной системы уравнений Эйнштейна - Дирака в этом пространстве -времени, а также компоненты спинорной функции.

Показано, что пятимерные цилиндрические конфигурации могут существовать, но у них отсутствует плоская асимптотика и не существует решения с нетривиальной топологией, например, типа «кротовой норы» или космических «струн» и нет «солитонных» решений.

7. В качестве примера гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с кручением рассмотрены однородные и изотропные космологические модели со спинорными полями, которые имеют нелинейность вида (^У, индуцированную кручением пространства. Решена совместная система уравнений Эйнштейна и нелинейного спинорного поля.

Показано далее, что массивное дираковское спинорное поле с такой нелинейностью, индуцированной кручением пространства -времени, играет роль идеальной жидкости с предельным уравнением состояния (p — s). Следовательно, кручение не может остановить коллапс.

8. Рассмотрено также гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве Римана - Вейля. Исследованы однородные изотропные космологические модели (открытая, плоская, закрытая) со спинорным полем. Получены соответствующие точные решения системы уравнений Эйнштейна-Дирака. Показано, что у всех рассмотренных космологических моделей устраняется начальная космологическая сингулярность вследствии влияния неметричности.

Результаты диссертации опубликованы в работах [17,20,21,22, 23, 33, 35, 79, 80, 122, 124, 125] и были доложены на 10 - й международной конференции (Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики. - М.: РУДН, 2010), 12-й Российской гравитационной конференции (Казань, 2005), 13 - й Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, РУДН, 2008), 14 -й Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Ульяновск: УлГУ, 2011), а также на конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль ЯГПУ, 2006,2008,2011).

Методы и результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в курсе теоретической физики, а также в спецкурсах по отдельным проблемам теоретической физики. Развитые методы носят общий характер, что позволяет применить их для построения новых вариантов теорий фундаментальных взаимодействий полей в аффинно-метрическом пространстве.

Кроме того, полученные результаты могут быть использованы на физическом факультете МГУ, во ВНИИМС, в Российском университете Дружбы народов, в Астраханском, Казанском, Красноярском, Томском, Пермском, Ульяновском, Владивостокском государственных университетах, в Московском, Астраханском, Ярославском и Ульяновском государственных педагогических университетах.

Автор глубоко благодарен научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Кречету за постоянный интерес, большую помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Автор считает своим долгом выразить признательность заведующему кафедрой теоретической физики РУДН, доктору физико-математических наук, профессору Рыбакову Ю. П., доктору физико-математических наук, профессору Гуцунаеву Ц. И. за проявленный интерес к работе, обсуждения и ценные замечания.

Автор благодарен также сотрудникам кафедры общей физики ЯЛТУ за помощь и создание благоприятных условий для работы.

1. Иваненко Д. Д. Актуальность теории гравитации Эйнштейна. — В сб.: Проблемы физики: классика и современность / под ред. J1. И. Седова. — М.: Мир, 1982.-С. 127-154.

2. Родичев В. И. Пространство с кручением и обобщенные уравнения спинорного поля // Известия ВУЗов. Сер. Физика. 1963. № 2. С. 122 — 124.

3. Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. — М.: Мир, 1968.

4. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство — время (том 2). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства — времени. М.: Мир, 1988.

5. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства — времени. М.: Мир, 1977.

6. Dirac Р. А. М. Long range forces and broken symmetries // Proc. Roy. Soc. A. 1973. - V. 333. - P. 403 - 418.

7. Владимиров Ю. С. Размерность физического пространства — времени и объединение взаимодействий. М.: МГУ, 1987.

8. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефанн, М. Мак Каллум, Э. Херльт. Под ред. Э. Шмутцера: Пер. с англ. - М.: Энергоиздат, 1982.

9. Кулаков Ю. И., Владимиров Ю. С., Карнаухов А. В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику. — М.: Архимед, 1992.

10. Владимиров Ю. С. Реляционная теория пространства — времени и взаимодействий. Часть 2. Теория физических взаимодействий. М.: МГУ, 1998.

11. Желнорович В. А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике. -М.: Наука, 1982. С. 124-171.

12. Родичев В. И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: Наука, 1974.

13. Bergman D. Y. // Phys. Rep 1978. V. С 43. № 9. P. 377 407.

14. Паули В. Теория относительности: Пер. с нем. И англ. -3-е изд. испр. / Под ред. В. JI. Гинзбурга и В. П. Фролова. М.:Наука, 1991.

15. Бриль Д., Уилер Дж. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем. В сб.: Новейшие проблемы грвитации.- М.: Иностранная литература, 1961. С. 381 -427.

16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. -8-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 353.

17. Орлова Е. Ю. Самогравитирующие спинорные конфигурации с нелинейными спинорными полями // 10 — я международная конференция. Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики. М.: РУДН, 2010. С. 7 - 9.

18. Шикин Г. H. О влиянии гравитации на существование и свойства частицеподобных решений нелинейных уравнений теории поля. В кн.: Теоретическая физика. М.: РУДН, 1992. С. 133 139.

19. Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982. С. 256.

20. Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Астрофизические эффекты взаимодействия спинорного и гравитационного вихревого полей // Ярославский педагогический вестник, № 1, том Ш (Естественные науки), 2011. С. 31 -36.

21. Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Пятимерная космология со спинорным полем //Математика, физика, экономика и физико-математическое образование. Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: ЯГПУ, 2008. С. 32 37.

22. Орлова Е. Ю. Пятимерная космология с нелинейным спинорным полем //13 я Российская гравитационная конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. — М.: РУДН, 2008. С. 118-119.

23. Калуца Т. К. К проблеме единства физики //Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 219-235.

24. Вайнберг С. Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной. М.: Энергоиздат, 1981.

25. Окунь JI. Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1984.

26. Окунь JL Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.

27. Кречет В. Г. Геометрия пространства — времени и физические свойства фермионов //Известия вузов. Физика. Издательство Томского университета, № 10,1986.

28. Кречет В. Г., Иваненко Д. Д. О вращении Вселенной //Сб. Проблемы гравитации и элементарных частиц. Вып. 17,1986. С. 51 — 58.

29. Кречет В. Г. Пятимерная геометрическая модель электрослабых взаимодействий // Сб. Гравитация и электромагнетизм. Вып. 7, Минск, 1998. С. 61-67.

30. Godel К. An example of a new type of cosmological solution of Einstein4 s field équations of gravitation. Rev. Mod. Phys. V. 21,1949. P. 447 450.

31. Birch P. Nature. V. 298,1984. P. 451.

32. Cartan E. Sur les varieties a connexion offine et la theorie de la rilativitiegeneralisee //Ann. Ec. Norm. 1923. -V. 10. - P. 325 - 332.

33. Кречет В. Г;, Орлова Е. Ю. Пятимерные космологические модели со спинорными полями // Ярославский педагогический вестник, выпуск № 1 2010. С. 77 81.

34. Носков В. И. Возможность релятивистской финслеровой геометрии //Современная математика. Фундаментальные направления. Том 22, 2007.• С. 73-99. .

35. Zhytnikov V. V. Conformally invariant Lagrangians in metric — affine and

36. Riemann Cartan spaces //Int. J. Mod. Phys. A. 1993. - V. 8. - P. 5141 - 5152.

37. Биррелл H., Девис II. Квантованные поля вискривленном пространстве времени, пер. с англ., М.: Наука, 1984.

38. Линде А. Д. Раздувающаяся Вселенная, "УФН", 1984, т. 144, с. 177.

39. Логунов A.A., Лоскутов ЮЖ. Неоднозначность предсказаний ОТО и релятивистская теория гравитации. М.: МГУ, 1986.

40. Уилл K.M. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985.

41. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация. 3-е изд. — М.: УРСС,2008. ■ ■ ,

42. Иваненко Д.Д., Пронин . П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. М.: МГУ, 1985.

43. Kirsch I. Higgsmechanismfor gravity,— Phys. Rev. D72, 2005.

44. Sardanashvily G. Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint, — Int. J: Geom. Methods Mod. Phys. 3, 2006. N1. ; ; .

45. Obukhov Yu. Poincare gauge gravity: selected topics,— Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3, 2006. P. 95-138.

46. Подосёнов 'С'.А: Пространство, время и классические поля связанных структур. MI: Компания Спутник+, 2000. , , .

47. Захаров В:Е., Манаков С.В:, Новиков С.П., Питасвский Л.II. Теория солитонов: метод обратной задачи. Mi: Наука, 1980. ,

48. Логунов А. А., Мествиришвили М. А. Релятивистская теория гравитации. — М: Наука, 1989.

49. Обухов Ю. И!, Пронин П. И. Физические эффекты в теории гравитации с кручением // Итоги науки и техники. Сер. Классическая теория поля и теория гравитации. Т.2. —М.: ВИНИТИ, 1991. — С. 112—170.

50. Kibble T.W.B. Lorentz Invariance and the Gravitational Field. J. Math. Phys. 1961, №2, p. 212.

51. Фролов В. П. Черные дыры и квантовые процессы в них. — «Успехи физ. наук», 1976, т. 118, вып. 3, С. 437.

52. Болохов С. В. Финслеровы N-спиноры в рамках реляционного подхода //Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2(12), том 6, 2009.

53. Кречет В. Г., Пономарев В. Н. Нелинейность и кручение//ТМФ, 25:1, 1975, С. 141-144.

54. Кречет В. Г. Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории гравитации //Известия вузов. Физика. — 2007.-№10.

55. Барбашов Б. М., Пестов А. Б. Антисимметричные тензорные поля и калибровочная теория Вейля//ТМФ, 113:1, 1997, С. 112-123.

56. Рашевский П. К. Теория спиноров // Успехи математических наук, 1955, т. 10, в. 2(64).

57. Krechet V.G. 5-dimensional géométrie model grav — elektrowecïkinteradions // Grav. and Cosmology, № 4, 1999. P. 61- 65.

58. Горбатенко M. В., Романов Ю. A. Новый ковариантный подход в теории спинорного поля // ТМФ, 1:2, 1969, С. 222-237.

59. Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение. М.: Август-Принт, 2001.

60. Кречет В. Г. Астрофизические эффекты гравитационного взаимодействия вихревых полей // Ярославский педагогический вестник, Серия Физико-математические науки. Вып. 1-2010, С. 71-76.

61. Сыромятников А. Г. Проблема калибровочной инвариантности в теории с динамическим кручением // ТМФ, 87:1,1991, С. 157—160.

62. Сатаров, А. Г., Сыромятников А. Г. Некоторые особенности двух подходов к аффиннометрической теории гравитации // ТМФ, 92:1, 1992, С. 150-153.

63. Satarov A. G. Syromyatnikov A. G. Some features of two approaches to affine metric theory of gravitation //Plénum Publishing Corporation, 1993, p.799-801.

64. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии //Сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979, С. 18-33.

65. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

66. Весс Ю., Беггер Д. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986.

67. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацшо. М.: Мир, 1989.

68. Горбунов, Д. С., Дубовский, С. Л., Троицкий, С. В. Калибровочный механизм передачи нарушения суперсимметрии // УФН, том 169, выпуск 7. — М.: 1999, С. 705—736.

69. Лихтман Е. П. Суперсимметрия— 30 лет тому назад // УФН, том 171, выпуск 9. — М.: 2001, С. 1025—1032.

70. Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition,Clarendon, 1982.

71. Дирак П.А.М. Релятивисткое волновое уравнение электрона (рус.) // Успехи физических наук. — 1979. — В. 4. — Т. 129. — С. 681-691.

72. Гордиенко А. С. О тождествах в алгебрах Клиффорда. Сиб. матем. журн., 49:1, 2008, С. 61-66.

73. Лукаш В., Михеева Е. Темная энергия вселенной // Вокруг Света, №9(2816), 2008.

74. Чудаева Е. Н. Классические взаимодействующие поля в теории гравитации: проблемы космологической сингулярности, изотропизации и локализации //Диссертация на соискание ученой степени. Москва, 2003, С . 10-12.

75. Бронников К. Из Вселенной во Вселенную // Наука и техника. №16(02), 2011.

76. Кречет В. Г., Орлова Е. Ю. Возможные эффекты спин — спинового взаимодействия спинорного и гравитационного полей //Известия вузов. Физика. №10,2011, С. 104-107.

77. Юкава X. Лекции по физике. М., 1981.

78. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — Москва: Физматгиз, 1961.

79. Жук Н. А. Космология. — Харьков: ООО "Модель Вселенной", 2000.

80. Урман Ю. М. Теория симметрии в классических системах Н. Новгород: НГПУ, 2009.

81. Холево А. С. Условно положительно определенные функции в квантовой теории вероятностей //Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж., 36, ВИНИТИ, М., 1989, С. 103-147.

82. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Пер. с англ. -М.: Мир, 1985.

83. Kaluza Т. Sitzungberichte Preuss. Akademie der Wissenschaften, Wien, 33, 1921.88. Ист, Z. Phys. 37,1926.

84. Каку M. Введение в теорию суперструн. Пер. с англ. — М.: Мир, 1999.

85. Бронников К. А., Рубин С. Г. Лекции по гравитации и космологии. Учебное пособие. М.: МИФИ,.2008.

86. Ландау Л. Д. О законах сохранения при слабых взаимодействиях // ЖЭТФ, т. 32, 1957.

87. Christensen J. Н. е. a.. Evidence for the 2р decay of the K°2 meson // Phys. Rev. Lett., v. 13,1964, p. 138.

88. Burkhardt H. e. a., First evidence for direct CP violation //Phys. Lett., v. B206,1988, p. 169.

89. Шабалин Е. П., Электрический дипольный момент нейтрона в калибровочной теории // УФН, т. 139, в. 4, 1983, С. 561.

90. Тарасов В. Е. Квантовые диссипативные системы. П Струна в искривленном аффинно метрическом пространстве — времени // Теоретическая и математическая физика, том 101, № 1, октябрь, 1994, С. 38-46.

91. Antonelli P. L., Burghelea D., Kahn P. J. Topology, v. 11, № 1, 1972, p. 149. . ■ ,

92. Thurston W. Bull. Amer. Math. Soc. v. 80, №2. 1974, p. 304-307.

93. Mather J. N. Comment, math, helf. v. 49, № 4, 1974, p. 512.

94. Чернин. А.Д.Темная энергия и всемирное антитяготение // УФН, 178, 2008, С. 267.103; Лукаш В. Н., Рубаков В. А. Темная энергия: мифы и реальность // УФН, 178, 2008, С. 301.

95. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //Вестник МГУ, сер. Физика и астрон. № 6, 1963, С. 48.

96. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1, т.2, 1984.

97. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды, 1990.

98. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 1984.

99. Weyl H. Raum, Zeit Mattrrie. Berlin: Springer, 1923.

100. Weyl H. Elektron und Gravitation // Zs. f. Phys. V.57, S. 261 - 272, 1929.

101. Weyl H. A Remark on the Coupling of Gravitation and Elektron // Phys. Rev. V. 77, 1950, P. 699 - 701.

102. Левкоева M. В. Геометрическая теория гравитации и электромагнетизма в аффинно-метрическом пространстве-времени //Диссертация кандидата физико-математических наук. Ярославль, 2004.

103. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 5: Гравитация. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, С. 74 - 78.

104. Сибилева Е. Н., Шикин Г. Ш Нелинейные спинорные поля во фридмановской модели Вселенной: точные решения и проблема начальной сингулярности //Вестник РУДН, сер. Физика. — 10, вып. 1, 2002, С. 23-29.

105. Червон С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. Ульяновск: УлГУ, 1997.

106. Krechet V.G. and Sadovnikov D.V. Effects of spin-spin interaction in general-relativistic theory of gravity.// Grav. and Cosmology, 4, 2007, P. 269 -272.

107. Дирак П. A. M. Общая теория относительности. M.: Атомиздат, 1978.

108. Кречет В. Г. Спинорное поле впространстве аффинной связности //Сб. Проблемы гравитации и теории относительности. М.: УДНД986. С. 79 85.

109. Mangiarotti L., Sardanashvily G. Connectionc in Classical and Quantum Field Theory. World Scientific, Singapore, 2000.

110. Балащенко В. В., Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Однородные пространства: теория и приложения. — Ханты — Мансийск: Полиграфист, 2008, С. 83 100.

111. Bronnikov К. A. and Lemos J. P. S., Phys. Rev. D 79, 104019 (2009); ArXiv: 0902.2360.

112. Bronnikov K.A., Chudayeva E.N., Shikin G.N. Self-Gravitating StringLike Configurations of Nonlinear Spinor Fields // GRG Volume 36, Number 7, July 2004 , pp. 1537-1545(9).

113. Кречет В. Г., Левкоева М. В., Орлова Е. Ю., Садовников Д. В. Топологические эффекты в геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий. //12 ая Российская гравитационная конференция. Казань, 2005, С. 149-150.

114. Krechet V.G. and Orlova E. Y. On the Effects of Interaction of a Spinor Field with a Vortex Gravitational Field. // Grav. and Cosmology, vol. 17, No. 4, 2011. P. 324-327.

115. Орлова E. Ю. Пятимерные стационарные сферически — симметричные конфигурации со спинорным полем //Известия. вузов. Физика. №10,2011, С. 107-108.

116. Пономарев В. Н., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. М.: Энерго-атомиздат, 1985.

117. Кречет В. Г., Пономарев В. Н. Наблюдаемые эффекты кручения пространства времени // Проблемы теории гравитации. № 7,1976.

118. Кречет В. Г. Проблемы гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах аффинной связности //Докторская диссертация. Минск. Академия наук БССР, 1988.

119. Бабурова О. В. Фролов Б. Н. Идеальная дилатон-спиновая жидкость как источник неримановой космологии //Grav. & Cosm. V. 5 № 4 (20), 1999.

120. Кречет В. Г. Нелинейные волновые поля и геометрия пространства — времени //Сб. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат Энергоиздат, вып. 13, 1982. С. 60 — 66.d