Спикоры в пространстве-времени аффинной связности с лоренцевой метрикой и их применение в теориях взаимодействия физических полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

г I О УН

1 г дьк г-

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 530.12;539.121.4;514.7

СТЕПАНОВ Валерий Егорович

СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ С ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИЯХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.01.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ТОМСК 19 О 5

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 530.12;539.121 .-1;51 7

СТЕПАНОВ Валерий Егорович

СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ С ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИЯХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая Фи.шкя

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ТОМСК 19Я.1

РаСюта выполнена в Якутском государственном университете им.М. К. Аммосова Госкомвуза РФ

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук.

профессор Черникой Н. А. доктор физико-математических наук, профессор КаГ.городов В. Р. доктор физико-математических наук, профессор Ооухов П. В.

Ведуили организация: Научно - исследовательский центр по изучения. сьоПств поверхности н вакуума Госстандарта РФ

Зацига состоится "____"____1995 г. в____час

на заседании специализированного совета Д 063. 53. 0? при Томском государственном университете Госкомвуза РФ (634050, Томск, пр. Ленина, 36.)

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеки Томского государственного университета Госкомвуза РФ

Автореферат разослан "_"_1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат фаз. - мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Обобщение спинорного анализа на случай пространства - времени аффинной связности является нерешенной проблемой геометрии и физики, обусловленной указанной самим творцом теории спиноров Эли Картагюм неприменимостью обычных тензорных методов к их определению в римановом пространстве, связанной с невозможностью построения спинорного представления общей линейной группы. Фок и Иваненко (19 29) преодолели эту трудность, использовав параллельный перенос ортонормпрованного репера при определении ковариактного дифференцирования спиноров . Их общепризнанная концепция сейчас выкристаллизовалась в понятие спинорного расслоения двухмерного комплексного векторного расслоения со структурной группой БЦ2,с) на базе псевдориманового многообразия (СегосЬе 1968). Таким образом, свойства спиноров хорошо вписываются в рнманово пространство - время, служащее удобным полигоном для разработки методов исследования спиноров и их обобщений. Но в то же время спинорный анализ в римановом пространстве, основанный на свойствах ортонормпрованного репера, неприменим в пространствах аффинной связности. Дело в том, что в них параллельный перенос нарушает свойство ортонормированности репера - они меняют как длины, так и углы между собой.

Следовательно, возникает проблема корректного обобщения понятия картановских спиноров с риманова многообразия на случай пространства - времени аффинной связности.

В диссертации аппарат современной дифференциальной геометрии и теории представлений групп применен для выявления

- з -

новых геометрических аспектов спиноров Карт-ана в качестве элементов расслоеннных пространств, на основе которых сформулированы принципы их обобщения.

Тема диссертации является составной частью более общей проблемы определения геометрической структуры пространства -времени, сформулированной Н. И. Лобачевским одновременно с открытием неевклидовой геометрии. Она сейчас стала одной из самых актуальных проблем естествознания в связи с успехами в разработках единых теорий слабого, сильного, электромагнитного и гравитационного взаимодействий, космологии, в обобщениях общей теории относительности на пространства с кручением, в теориях сверхплотных состояний вещества типа черных дыр, а также в калибровочных теориях дефектов сплошных сред.

Одним из самых изначальных свойств материи является спин, причем спин 1/2. который имеют электроны, протоны, нейтрино и кварки. Поэтому существование спинора - физического поля со спином 1/2, является исходным условием, определяющим общую геометрическую структуру Мира.

В диссертации установлены ограничения на аффинную связность пространства - времени с метрикой лоренцевой сигнатуры, обусловленные существованием спиноров Картана, спинорный анализ о'бо'бщен йа пространства с кручением и вейлевской неметричностью, разработаны геометрические основы для его приложений в построениях физических теорий с общими геометрическими структурами - калибровочных теориях взаимодействия спинорных полей, теории дефектов в металлах.

На самом деле, в изучении геометрической структуры Мира накоплен огромный опыт. Его крупный этап связан с развитием

общей теории; относительности (ОТО) А. Эйнштейна. В ранках ОТО определена зависимость метрической структур» пространства времени от распределения материи, создана теория Рождения Вселенной в результате большого Взрыва, предсказана возможность существования черных дыр. Развивались исследования геометрической структуры пространства - времени вне рамок ОТО. К ним относится классический результат А.3. Петрова о конформно - инвариантной классификации пространства - времени общего типа,, соответствующей трем основным типам тензора Вейля (1958).

Сложилось большое направление топологических исследований глобальных условий- существования тетрадных и спинорных полей в римановом пространстве - времени. Оказалось, что для глобального существования 2-спннорного поля необходимо обращение' в нуль характеристики Эйлера-Пуанкаре рпманова' многообразия: (СегосЬе 1968)» Было установлено,, что. обращение в нуль характеристического класса ШтиОеля - Уитни; необходимо для существования многомерных спиноров (СгшпеугоНе 1972). Локально существование тетрадных гс спинорных полей не накладывает ограничений- на риманову метрику пространства - времени. В противоположность этому здесь показано, что для пространств аффинной связности- имеют место именно локальные ограничения, следующие из условий существования пары взаимных спинорных связностей. Существует еще одно интересное направление исследований, связанное с построениями нелинейных спинорных представлений общей линейной группы, основанное на пионерских работах Гельфанда - Наймарка (1947), которое в настоящее время интенсивно развивается в работах Хеля и других (1977).

Сложивиуюся методологию исследования структуры

пространства - времени в направлении обобщений ОТО можно охарактеризовать как априорную - сначала постулируется какая-то геометрическая модоль. на фоне которой строится теория физических полей и затем ее предсказания должны сравниваться с экспериментом. Однако такой путь с неизбежностью приводит к большим трудностям, связанным с отсутствием отлаженных методов решения весьма сложных задач неримановой геометрии.

В диссертации предлагается независимый от выбора полевых уравнений аксиоматический метод исследования структуры пространства - временн, в котором определяются ограничения на аффинную связность пространства -<времени, логически следующие из условий существования классических спиноров Э. Картана.

Таким образом, на самом деле образовался пробел в развитии теоретического знания, поскольку было Сы логично сначала исследовать возможности обобщения классических спиноров Картана на случай пространства - времени аффинной связности, и на этой Сазе изучать другие обобщения типа нелинейных спиноров, суперсимметричных моделей.

Спиноры Картана, связанные с группой Лоренца, всегда будут занимать свое место в физике точно так же, как и ньютоновская механика и теория электромагнетизма Максвелла в том смысле, что все обобщенные теории спиноров должны будут воспроизводить свойства спиноров Картана. Поэтому необходимость иметь базу для развития и обобщений теории спиноров и ее приложений в калибровочных теориях физических полей делает актуальным решение поставленной здесь проблемы.

Целью работы являются обобщение спинорного анализа на случай пространств аффинной связности с метрикой лоренцевой

сигнатуры и разработка геометрических основ их применений для исследований обпих закономерностей взаимодействия полой полуцелого и целого спинов в неримзновом пространстве времени, которые состояли в решении следующих конкретных задач:

1. Отображение Картана и определяемую им связь спиноров с изотропными векторами, спннорными и ортогональным» реперами сформулировать в понятиях теории морфизмов главных расслоений в пространстве аффинной связности.

2. Разработать конформный спинорный анализ в пространстве аффинной связности с вейлевской неметричностью (построение теории конформных масштабных преобразований ортогональных и спинорных реперов, ковариантного и лиева дифференцирований спинтензорных полей, алгебраической классификации пространств аффинной связности со спинорным полем).

3. Исследовать возможности обобщения с риманова случая на пространства Римана - Картана законов сохранения и канонического лагрангева формализмов для спинорного и скалярного

Идея решения исследуемой здесь проблемы корректного обобщения понятия спиноров в пространстве - времени аффинной связности состоит из трех шагов.

Во - первых, классическая концепция картановских спиноров и отображение Картана переводятся на новый язык теорий сплетающих операторов и расслоенных пространств с целью более глубокого понимания их геометрического статуса и возможностей обобщена , в результате чего впервые построена теория локальных морфизмов главных расслоений реперов векторного ч спинорного типа в рнмановом пространстве - времени.

Во - вторых, на пространство аффинной связности накладывается условие существования БЬ(2,с) спинорно1го расслоения, естественно возникающего в ранках отображенйя Картана в римановом случае. Тогда из исходного общего пространства получается пространство - время Римана - Картана, в котором далее строится допускаемое отображением Картана расслоение конформных БЬ(2,с) х й(1) спиноров.

В третьих, тре'бу'ётсй-, чтобы общее пространство - время аффинной связности допускало существование конформных бъ(2,с) х <3(1) спиноров и таким образом получается пространство -время аффинной связности с лорендевой метрикой и вейлевской неметричностыо.

Методы исследования. В работе использован комплекс методов, включающий:

- бескоординатный метод описания тензоров и спиноров,

- теория морфизмов главных расслоений на гладких многообразиях,

- аксиоматические методы определения понятий ковариантного и лиева дифференцирований.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 157 наименований. Работа изложена на 156 страницах основного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана постановка проблемы, сформулированы

-а -

конкретные задачи для ее решения, история вопроса, методика исследования и основные способы достижения поставленной цели.

В первой главе изложены необходимые предварительные сведения из дифференциальной геометрии пространств аффинной связности, сформулированы аксиоматическое определение производной Ли тензоров, теория конформного масштабного преобразования ортогональных реперов в пространство аффинной связности. Доказано, что трансформационные свойства тензоров кручения и неметричности таковы, что полная линейная связность рри конформных растяжениях реперов испытывает градиентное преобразование. Дано инвариантное определение взаимной связности Нордена, на его основе построен новый геометрический объект - тензор дефекта антисимметричности кручения. Составлены изометрические и конформные уравнения Киллинга в пространствах Римана - Картана и аффинной связности с вейлевской неметричностью. Показано, что в последнем пространстве симметричная часть полного тензора кривизны внра*зетсг? через собственный след.

Во рторой главе проанализирована теоретико - групповая структура спиноров Картана для поиска возможностей их обобщения на пространства аффинной связности. Отображение Картана представляет из себя решение уравнения изотропного конуса пространства Минковского, зависящее от двух комплексных чисел, определяющих компоненты спинора. Здесь показано, что для анализа двухзначности отображения Картана удобно пользоваться компонентами изотропного вектора в сферических координатах. Условия срязц спинора и пары комплексно-сопряженных спиноров обеспечивают взаимную согласованность их преобразований.

Построением обратимого сплетающего оператора, переплетающего векторное представление группы Лоренца с представлением прямого

произведения групп sl(2,c)xsl(2,c) в пространстве эрмитовых спиноров второго ранга доказана теорема об изоморфности этих представлений. Показано, что отображение Картана допускает расширение спинорного представлений группы Лоренца только до представления семнпараметрической группы, изоморфной прямому произведению группы Лоренца на подгруппу днлатаций. При этом установлено сшшорное правило Лейбница, заключающееся в том, что если тензор второго ранга выражается через пару пряных матричных произведений комплексно - сопряженных спиноров второго ранга с символами Кронекера. то его симметричная часть выражается через свой след.

В третьей главе исследованы возможности определения спиноров Картана в пространстве - времени аффинной связности с метрикой лоренцевой сигнатуры.

Исходными для определения компонент сппнорной связности являются уравнения локальных гомеоморфизмов трех реперных полей, спинорного, ортонормированного и натурального

-В „ ^ „ я M »

Ç О <• « б . о ■ б Г П , . .

а Ь ab аЬ й • 1 1 '

Дифференцируя эти соотношения ковариантным образом, получаем переопределенную систему линейных алгебраических уравнений, связывающую компоненты спинорной и векторной связностей в пространстве Римана-Картана

аЬ Ьс ab Л X ab V

Г Ô. * Г .0 - о <3 б . ♦ Г б б . . < 2 )

Uc d lu а Л Ц cd Uv> А cd

Подстабляя сюда каноническое разложение общей линейной

- ю -

связности, можно уоедиться в том, что спинорннЯ эквивалент связности Римана - Картана разлагается на сумму рнмано!л п. связанной с символами Кристоффеля, и конторсионной частей. Условия совместности для конторсионной части спннорной связности удовлетворяются тождественно из-за антисимметричности тонзора конторсин по последней паре индексов. Риманова часть тоже имеет тождественно выполняющиеся условия совместности.

Взаимная по А. П.Нордену связность имеет компоненты

- ■ ( 3 )

Замечательно то, что она позволяет определить новый тензор дефекта антисимметричности кручения

+ Зи*в • ( 4 >

Спинтензор конторсии возникает без всяких ограничений на связность Римана.- Картана и поэтому в настоящее время в обобпениях. общей теории относительности слохилось целое направление так называемых теорий- Эйнптейна - Картана, где используется спинорный эквивалент несимметричной» связности со спинтензором конторсии.

Но априори не существует никаких причин, чтобы, из пары взаимных аффинных связностей предпочесть только какой то одной из них иметь право на существование спинорного эквивалента. Для устранения асимметрии между ними введено условие о существовании спинтензора кручения, ц- взаимной сшшориой связности, определяемых инвариантным.условием.

- а а, - а.

- V 0А . <5.б> ,8„с. - Г1№,- Гус... ( 5

-.и -

Отсюда следует, что имеет место система уравнений, определяющая спинорные эквиваленты тензора кручения [ i,s ]

а Ь b X ab 1?

s 8. + s . • s б с . . (6)

lie d lid IW X cd

Условия совместности этой переопределенной системы выполняются только тогда, когда симметричная часть тензора кручения выражается через свой след и поэтому он антисимметричен по всем трем индексам. sl(2,c) спиноры связаны с ортонормированием репером. С другой стороны, как это было показано в первой главе, тензор кручения при конформных растяжениях ортогонального репера подвергается изменению градиентного типа. Поэтому полученное ограничение на тензор кручения следует отнести к ортонормированному реперу [1,2,5].

Далее свойство выразимости симметричной части тензора кручения через собственный след проинтерпретировано как представитель искомого конформно - инвариантного соотношения, которое имеет место при единичной нормировке ортогонального репера. Доказано, что оно имеет вид

SU*Q + SUQ* - 2/3 V»0 " 1/3 {SAu + W

" • V« " •

( 7 )

В. И. Родичев (1961) впервые использовал условие абсолютной антисимметричности для тензора кручения V! показал, что оно позволяет свести уравнение Дирака в пространстве Минковского с кручением к уравнению нелинейного спинорного поля Иваненко -Гейзенберга, а также заметил, что геодезические линии не зависят от кручения. В дальнейшем результат Родичева был обобщен на случай риманова пространства - времени (оа«:а В.

1971, Кречет В. Г. , Пономарев В. Н. 1975). Поэтому било би справедливо называть условие о полной антисимметричности тензора кручения в ортонормированном репере условием Родичева.

Во второй главе было доказано, что отображение Картана допускает расширение спинорного представления группы Лоренца только до представления семипараметрической группы, получаемой прямым произведением собственной группы Лоренца на подгруппу дилатаций. Следовательно, в пространстве аффинной связности обобщенным спинорным расслоением, допускаемым отображением Картана, является двухмерное комплексное векторное расслоение s(Vj), ассоциированное главному расслоенному пространству P(v4) конформных сщщорных реперов с типовым слоем и

структурной группой, изоморфной прямому произведению sl(2,o х dс 1 > ( далее будем обозначать эту группу как С(?) ), на базе-дифференцируемого многообразия пространства-времени v^.

Следовательно, перзим условием, налагаемым на структуру пространства-времени, должно быть условие существования в нем главного расслоения конформных спинорных реперов P(v4) со

спинорной формой связности, принимающей значения в алгебре Ли С(7). Оно индуцирует существование форм связности в главном расслоенном пространстве конформных ортогональных реперов со значениями в этой же алгебре Ли, определяющих тензор неметричности вейлевского типа (ковариантная производная метрического тензора пропорциональна метрике). Группа С(7) двухлистно накрывает и является универсальной накрывающей группы so(i,3) х d(1) , являющейся структурной группой главного расслоения E(v4) конформных ортогональных реперов. Отсюда следует, ч :о р.^солооппо P(v.) двухлистно накрывает E(V4)

и оно в свою очередь, изоморфно тензорному произведению главных расслоений, равному пространству реперов конформных эрмитовых спиноров второго ранга

г.(v,, ) - р(у4) 0 р(у4) . ( 8 )

Этот изоморфизм осуществляется обратимым сплетающим оператором б, связанным с отображением Картана изотропного конуса на сшшорное пространство. В конечной области и многообразия , покрываемом двумя координатными системами, всегда можно установить согласуемый с действиями структурных групп гомеоморфизм сечений рассматриваемых изоморфных локально тривиальных главных расслоений через оператор с.

Сгшнорная связность представляется как сумма из трех членов - символов Крпстоффоля, тензоров конторсии и неметричности. Свойство линейности ковариантного дифференцирования обеспечивает корректность раздельного изучения каждой из трех составляющих. Первые два уже рассмотрены, а третья приводит к условию существования спннорного эквивалента тензора неметричности. которое, в силу спинорного правила Лейбница, приводит к неметричности вейлевского типа.

Как и в предыдущем пункте, существуют спинорные эквиваленты взаимной связности, которые однозначно приводят к спинорным эквивалентам тензора кручения. Условия существования сшшорной связности, налагаемые на тензор кручения, тогда получаются в точности теми же рассуждениями, проделанными для пространства Эйнштейна-Картана и приводят к тому хе результату об абсолютной антисимметричности тензора кручения в ортонормированном репере.

Доказано, что для существования спинорных эквивалентов

-»чпс.п кркгизнн необходим» и достаточно, чтобы «го сйниотрлчизя часть сырагалась чероз собственный слоя [1 ]. '5 первой главе Сило показано, что этому условию тождественно удовлетворяют тензоры кривизны для всех пространств с вейлевской номотричностьв.

Таким образом, пространство-время аффинной связности с лорспцевсй метрикой допускает существование иг-ри взаимных зи2,с)х.1(п спикорних связпостей только в областях с псметричностью вейлевского типа и абсолютно антисимметрнчнннм п ортонормированием репере тензором кручения.

В четвертой главе изложен конформный спинорний анализ. Построен алгоритм перевода уразнений, записанных в кормярованяом и конформно растянутом ортогональных реперах.

Рассмотрены конформные преобразования спинорной связности. Формализм смешанного отнесения В. Й. Родичова, основанной на одновременном использовании натурального и ортонормированного реперов, обобщен на сшшорные формы связности и кривизны. При этом из формул исчезает объект неголономности, что существенно упрощает вычисления при выводе соотношений канонического лагрзнгева формализма для спинорного поля.

Дифференцирование Ли- в пространстве-времени аффинной связности с неметричностью вейлевского типа определяется системой аксиом: 1) Производная Ли ь^ вдоль векторного поля с является дифференцированием тензорной алгебры локально гладких стштензорных полей, т. е. оно линейно и на тензорные произведения действует по правилу Лейбница дифференцирования произведения функций. 2) Ь^ перестановочно с любым свертыванием спинтензора по паре верхних и низених индексов. 3) Для

скалярного поля производная Ли совпадает с производной по направлению. 4) Для векторного поля производная Ли совпадает с коммутатором. 5). Производная. Ли сохраняет ранг снинтензора. Кроме этого, используем инвариантную трактовку переноса Ли как результата параллельного переноса и действия аффинора Ли. Таким- образом получена формула для производной Ли спинора

ь^е* « - А* 0Ь> «* , « 9 )

где спиыорный аффинор Ли определяется как решение системы

' - .. Ц ' сЬ Ьс-сЬ V .?С£1 . Ч е о .« . А 6. + Л.5 » ? . ( 10 *

аЬ &ь. * а й За а.3

Ее решение получается последовательными свертками и имеет вид Ла • i/2 (V ,еав - я* л», л » i/4 + и . t n i

с се с

Здесь а произвольный вещественный параметр, соответствующий проективной природе спиноров - производные Ли спиноров, отличающиеся друг от друга на элемент алгебры Ли группы, исп должны отождествляться друг с другом. Система (io) переопределена, так как неизвестных всего 8, а уравнений 16 . Поэтому подстановка полученных решений в исходную систему приводит к условиям совместности, которые, согласно теореме о снинорном правиле Лейбница, совпадают с конформными уравнениями Кцллиига. В окончательной формуле члены с кручением взаимно сокращаются. Таким образом, доказана теорема: Сохраняющее ранг спинтензора и совпадающее с коммутатором для вектора дифференцирование Ли в пространстве - времени аффинной связности с вейлевской кеистрп.чностью существует только вдоль

генераторов группы конформных движений и не зависит от кручения.

Далее показано, что спинорныв производные Ли образуют алгебру Ли. изоморфную алгебра Ли группы конформных движений, построен оператор углового момента спинорного поля в пространстве аффинной связности с вейлевской нонетричностью. Получены спинорные формы связности, кривизны и кручения. Выведены соответствующие спинорные тождества Бианки в пространство аффинной связности с вейлевской неметричностью. Метод локально - инвариантных реперов Лихнеровича для вычисления производных Ли от тензоров и связности обобщен на локально - инвариантные спинорные формы и применен для вычисления производной Ли от спинсвязности.

В пятой главе рассмотрены приложения конформного спинорного анализа к исследованию закономерностей поведения физических полей в пространстве Римана-Картана-Вейля.

Доказано, что именно условие Родичева о полной антисимметричности тензора кручения позволяет многие закономерности теории полей в ркмановом миро обобщить на пространство Римана-Картана. А именно, при выполнении этого условия в мире Римана-Картана имеют место следствия: 1) совпадение автопараллелей и геодезических линий, 2) свертки векторов Киллинга с четырехскоростями определяют первые интегралы уравнений геодезических, 3) такие же свертки с симметричным консервативным тензором энергии - импульса приводят к сохраняющимся токам, совпадающими со своими рпмановими аналогами, 4) удается построить канонический лаграпжов формализм для скалярного и спинорного полой п мире

Римана-Картана - составить консервативный канонический тензор энергии-импульса для скалярного поля, сформулировать инвариантное определение, тензора спина и коварнантпую процедуру симметризации канонического тензора энергии-импульса для сплнорного поля на, основе применения производной Ли к формулировке теоревд Нетер, определить конформный момент импульса Оезыассового спинорного поля.

Построена конформно-инвариантная классификация пространств аффинной связности, допускающих существование пары взаимных спинорных связностей из восемнадцати основных типов, получаемых композицией трех типов Петрова тензора конформной кривизны, двух типов кручения и трех типов бивектора Вейля. Показано, что кручение имеет первый тип с неизотропным ковектором. состоящего из четырех подтипов и второй тип с изотропным ковектором, определяющим твисторное поле, при этом решена самосогласованная, задача определения их канонических матриц компонент- а орторепере. Концепция локальных твисторов Пенроу.за обобщена., н?, пространство Римана-Картана. На основе применения механизма. Голембевской - Лясоты.калибровочной теории дефектов к теории: электронного поля- в металлах доказано, что поля, дефектов: определяются аффинными связностями. пространстцагвремени- из. полученных восемнадцати-основных типов.

На основе этих результатов сделан вывод о физической-целесообразности принятия условия Родичева.

- -

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации поставлена и решена научная проблема обобщения спинорного анализа на случай пространств аффинной связности и создания геометрической основы для ее приложений п физике.

Основные результаты, которые получены в диссертации и выносятся на защиту, заключаются в следующем:

1. Доказано, что индуцируемое отображением Картанл расслоение конформных спиноров существует только в классе пространств - времен аффинной связности с метрикой лоренцепой сигнатуры, кручением и неметричностью вейлевского типа.

2. Показано, что условие существования спинорного эквивалента взаимной связности Нордена, порождающее пару взаимных спинорннх связностей. эквивалентно условию Родичева о полной антисимметрии тензора кручения в орторепере.

3. Установлена новая универсальная закономерность спинорной алгебры - спинорное правило Лейбница: спинорный эквивалент тензора второго ранга, связанного со спинорным аналогом правила Лейбница, существует тогда и только тогда, когда его симметричная часть выражается через собственный след.

4. Сформулирована теория конформных масштабных преобразований ортогональных и натуральных реперов п пространстве аффинной связности. Доказано, что свойства тензоров кручения и иеметричности таковы, что полная связность при конформном отображении подвергается градиентному преобразованию и все полевые уравнения, записанные через полные аффинные связности, конформно - инвариантны.

5. Найдены восемнадцать конформно - инвариантных основных типов пространств связности, допускающих существование пэры взаимных сцикорных связностей. Получены канонические матрицы компонент тензора кручения в ортонормированием репере, имеющие два основных типа и пять подтипов.

6. Доказано, что в пространствах Римана, Римана - Картана и аффинной связности с вейлевской неметричностью сохраняющее ранг спинора и в векторном случае совпадающее с коммутатором дифференцирование Ли существует только вдоль генераторов группы конформных движений и не зависит от кручения. Установлено, что спинорные производные Ли образуют операторную алгебру, изоморфную алгебре Ли группы конформных движений и введен оператор углового момента спинорного поля в пространстве аффинной связности с вейлевской неиетричностью.

7. Показано, что условие Родичева на кручение позволяет сформулировать законы сохранения и канонический лагранжев формализм для спинорного и скалярного полей в пространстве Римана - Картана. установить связь первых интегрздод ура?денйЙ геодезических с, изометрическими и кощфориныыи векторами Киллинга, приводит к совпадению автопараллелей и геодезических траекторий пробных тел. Разработана ковариантная схема симметризации канонического тензора энергии - импульса спинорного поля на основе применения спинорной производной Ли к формулировке теоремы Нетер.

8. Показано, что оператор симметрии уравнений Оезмассовых спинорных полей в мире Римана - Картана, построенный на основе спинорной производной Ли, совпадает с оператором конформного момента импульса нейтринного поля Черникова - Шавохиной.

- 20 -

9. Разработаны геометрические основ» калибровочной теории дефектов в металлах - определены восемнадцать основных типов аффинных связностей, определявши никродефектные состояния, разработан алгоритм применения механизма Голембевской - Лясоты построения калибровочной теории дефектов на базе конформного спинорного анализа.

На основе полученных результатов сформулированы следующие теоретические положения, выносимые на защиту:

1. Условие Родичева о полной антисимметрии тензора кручения, эквивалентное наличию спинорного эквивалента взаимной связности Нордека, является физически целесообразным ввиду ого решающей значимости для формулировки законов сохранения и канонического лагранхева формализма для спинорного и скалярного полей. И наоборот, условие существования пары взаимных спинорных связностей является геометрическим объяснением происхождения условия Родичева.

2. Спинорное поле порождает связь тензора кручения пространства аффинной связности с ортогональным репером.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ

Научная новизна состоит в том. что впервые получены локальные условия- существования спиноров Картана в виде ограничений на кручение, кривизну и неметричность пространства - времени аффинной связности, разработана его конформно -инвариантная классификация, применимая для обобщения общей теории относительности, калибровочных теорий физических полей, релятивистски инвариантной теории дефектов в металлах,

построена теория дифференцирования Ли спиноров Картана и твисторов, показано, что оператор симметрии уравнений бизмассового спинорного поля, построенный на основе производной Ли. совпадает с оператором конформного момента импульса нейтринного поля Черникова - ШавохиноД, построен канонический лагранжев формализм для скалярного и спинорного полей в мире Римана-Картака.

Теоретическая значимость полученных в диссертации результатов и выводов обусловлена их актуальностью, многочисленными практическими перспективами и концептуальной новизной предложенного здесь обобщения понятия классических спиноров Картана: 1) назрела необходимость решения проблемы обобщения спиноров на пространства аффинной связности, поскольку калибровочные обобщения общей теории относительности в пространствах Римана - Картана со спинорными полями, изучались без анализа условий существования спинорных полей в априорно заданных пространствах, 2) на построенной здесь геометрической базе - теории спиноров в пространстве аффинной связности, просматриваются перспективы ее приложений в динамических моделях гравитационного взаимодействия полей полуцелого спина в гравитации и супергравитацин, в обобщении теории углового момента на пространства аффинной связности ( эта теория имеет применения в атомной и ядерной спектроскопии ), космологии и астрофизике сверхплотных состояний вещества (р. частности теория черных дыр), теории дефектов в металлах, 3) впервые на конкретных примерах показана неэквивалентность спинорного и тензорного представлений дифференциальной ! 'пи'отрии пространства - времени, которая является причиной

фундаментальной значимости спиноров в формировании структуры законов строения вещества и геометрии пространства - времени.

Практическая ценность. В связи с огромноП сложность»' построения моделей объединения сильного, слабого, электромагнитного и гравитационного взаимодействий, получение информации об общей структуре пространства-времени, происходящей из первых принципов и независимой от выбора конкретных моделей взаимодействий имеет фундаментальное значение для понимания закономерностей теории калибровочных полей и практическую ценность для разработки конкретных моделей взаимодействующих полей, прикладных теорий по гравитационно волновой тематике, калибровочным теориям дефектов в сплошных средах. Применение новых понятий теории представлений и современной дифференциальной геометрии, использование аксиоматического метода для решения конкретных задач методически упростило изложение теории спиноров и конформного спинорного анализа. Поэтому материалы диссертации также имеют практическое применение для изучения студентами курса физики элементарных частиц и дифференциальной геометрии в университетах на факультетах физико - математического профиля.

Достоверность и физический смысл полученных в диссертации результатов и выводов обосновываются тем, что полностью сохранена идейная основа классической концепции спиноров Эли Картана, а принципы их обобщений выводятся из основного положения еппнорной алгебры - отображения Картана, определяющего самую суть понятия спинора. Полученныи п диссертации новые алгебраические закономерности: спинорние правило Лейбница и теория морфизыов спннорных и ортогональных

реперов, - согласуются с известными теоретика - групповыми положениями классической теории спиноров об их связи с конформной группой и изотропным конусом.

Таким образом, в диссертации построена новая фундаментальная геометрическая теория спиноров Картана в пространстве аффинной связности с вейлевской немвтрцчиостью и лоренцевой метрикой и разработаны геометрические основы длл ее приложений в калибровочных теориях физических долей, исследования влияния спина на процессы ядерного излучения; и радиоактивного распада, изучения экзотических астрофизических объектов типа черных .дыр, теории- дефектов в металлах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на многочисленных ' заседаниях семинаров кафедр теории ядра и элементарных частиц Ленинградского университета, высшей математики Ленинградского финансово-экономического института, теоретической физики Московского, университета,, теории относительности и гравитации и геометрии Казанского университета, на Всесоюзном совещании "Современные проблемы гравитации" (1990 г. Якутск), на 2. 3, 4, 5„ 6 семинарах "Гравитационная энергия и гравитационные волны," в Объединенном* Институте Ядерных исследований (1989, 1990, 1991, 1992,. 1'993 г.г.Дубна), на 6, 7, 8 Всесоюзных и Всероссийской конференциях по теоретическим и экспериментальным проблемам гравитации (Г984"> г. Москва, 1988 г. Ереван, 1993 г. Пущино). на Всесоюзной-геометрической конференции (1988 г. Кишинев), на- Международной, научной конференции "Лобачевский и> современная- геометрия", (1992 г. Казань), на 2 и 3 международных вигнеровских симпозиумах по применению групповых методов в физике (1991 г.

- 24 -

Гослар, ФРГ, 1992 г. Саламанка, Испания), на Международной школа - семинаре "Многомерная гравитация и космология" (1994 г., г. Ярославль).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 3? научных трудов. Из них в 23 статьях отражено основное содержание диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Степанов В. Е. Условия существования связности сшшорного расслоения в пространстве - времени общего типа. // Изв. вузов. Математика, 198?, N 1. с. 72 - 74.

2.Степанов В. Е. Конформный спинорный анализ в пространстве Вейля с кручением.// Труды 4 семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". ОИЯИ. Дубна. Р2-92-12, 1992. с. 90-99.

3.Степанов В. Е. , Яппа D. А. Производная Ли геометрических объектов. //Вестник ЛГУ. 1978, № 22, физ.-хим. , в. 4. с. 42-46.

4.Степанов В. Е. 0 структуре пространства-времени со спинорным расслоением.// Гравитация и теория относительности, вып. 25. Изд. Казанского университета.

Казань. 1988. с. 129-135.

5.Степанов В. Е. Применение аксиоматического метода

Н. И. Лобачевского к теории спиноров. //Труды 5 семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". Дубна. 1993. Р2-92-559. с. 92-94.

6.Степанов В. Е. Поляризация проводящей сферы гравитационным полем Земли.// Труды 4 семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". ОИЯИ, Дубна, 1992. Р2-92- 12. с. 202-207.

- 25 -

7.Степанов В. Е. , Ларионов В. П. Геометрические основы калибровочной теории дефектов в металлах. // ДАН СССР, Физика, 1991, Т. 318, N б. с. 1370 - 1372.

8. Степанов В. Е. Дифференциально-геометрические аспекты теории спинорных расслоений в неримановом пространстве-времени.// Труди Всесоюзного совещания "Современные проблемы гравитации" .3-7 июля 1990. Якутск. : ЯНЦ СО РАН СССР, 1991. с. 90-100.

9. Степанов В. Е. Некоторые принципы построения релятивистски

-инвариантной континуальной теории металлов с дефектами.// Труды Всесоюзного совещания "Современные проблемы гравитации 3-7июля 1990 г. .Якутск:ЯНЦ СО РАН СССР. 1991, с. 74-78.

ю. Степанов В. Е. Вычисление функционала электрогравистати-ческой энергии осесимметричного взаимодействия заряженных массивных проводников сферической формы.// Труды Всесоюзного совещания "Современные проблемы гравитации". 3-7 июля 1990 г., Якутск: ЯНЦ СО РАН СССР, 1991, с. 104 - 106.

11. Степанов В. Е. Некоторые принципы построения релятивистски-инвариантной континуальной теории металлов с дефектами.// Труды Всесоюзного совещания "Современные проблемы гравитации". 3-7 июля 1990 г. »Якутск:ЯНЦ СО РАН СССР, 1991, с. 74-78.

12.Степанов В. Е. Алгебра Клиффорда и матрицы Дирака в тензорной формулировке. //Вестник Ленингр.. Ун-та. 1979, If4.

Фпз. -хим. , в. I.e. 104-106.

13. Степанов В. Е. Применение производной Ли к ковариантному обобщению теоремы Нетер для еппнорного поля в римановом пространстве-времени. //Изв. вузов. Математика. 1985. № 2, с. 82-83.

14. Степанов В. Е. 0 коварнантном и лиевом дифференцировании спин-

ерных попей. //Рук. депонирована в ВИНИТИ, 1981. №839-81Деп.'- 12с.

- 26 -

•15. Степанов В. Е.., Семенов С. С. О лиевом дифференцировании Яйраковскнх бисппноров.// Рукопись депонирована н ИНШП!. 1983. № 2451-83 .Деп. - 11 с.

15. Степанов В. Е. Условия существования спшЮрной евязносш г, пространстве - 'времени общего типа. // Рукопись депонирована в ВИНИТИ. 1935, !/ 4901-85 Деп, - 4 с.

17. Степанов В. Е. Конформный момент импульса И дпФфоронцироьа нио Ли спинорного поля в римановои -мире. //Груды ь семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". Дубна. 1994. Р2-9-1-150. с. 84-8?

18.Степанов В. Е. Дифференцирование Ли спийоров Каргана и нрос • трапстяе - времен!! аффинной свйзностй с неметричностып гч>п-ЛОВСКОГО типа. //Изй. вузов. Физика. 1994. 1/11, с.102-106.

Ю.Степанов В. Е. Конформный момент импульса и производная Ли спинорного поля в римановом миро.//Изв.вузов. •г-ИЗ»КО. 1994..'/11 ,с.99-101

20.Степанов В. Е. 0 локальны:-; условиях существования спинорного ноля в римановом прос гранстЕ>е - времени. Препринт N 2 .Якутский ушиюрсигит. Якутск. 1979. 20 .•

21.Степанов В. Е. , Татарников Г. Л. Мулыяпольнлл паранотрп-. о,.: 1 /••лриэционного принципа Дирихле в оспсттчтрпънш ■ I »• взлюгодчПсIвия сферических проводников. Пр.-принт ЯИЦ ( с >!1 СССР, Якутск. 1990. -13 с.

23. Степанов В. Е. , Татарников Г. А. Мульпшольнал ¡ырам.ярн • и;;' I вариационного принципа Дирихле в трехмерной случен >•.• !.:•! • действия :'.ар''ч-н.чых проводников сфоричоск: форми / 'р,;:1; ;,п,м-' канпо! о. сог-ни 1 Топрономнн- прсп >«!.* I | ,::,:п -ц;-.!