Применение 2-спинорного исчисления в некоторых моделях теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Введение в общую теорию спиноров

1.1 Формализм абстрактных индексов.

1.2 Глобальная спинорная структура.

1.3 Спиноры: геометрический подход

1.3.1 Спиновые преобразования.

1.3.2 Изотропные флаги.

1.3.3 Спин-вектор.

1.3.4 Спинорные операции.

1.4 Связь спин-матриц с кватернионами.

1.5 Спиноры: алгебраический подход.

1.5.1 е-спиноры.

1.5.2 Комплексное сопряжение.

1.6 Связь спинорного и векторного базисов.

В данной работе рассмотрены две темы: применение лоренцевых 2-спиноров для решения физических задач (в частности при решении задач КЭД) и исследование влияния гравитационного поля на устойчивость само-гравитивующих солитонов в нелинейной электродинамике.

Применение лоренцевых 2-спиноров

Пространство-время, в котором мы живём, с очень большой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырёхмерное многообразие, наделённое гладкой лоренцевой метрикой в рамках частной или общей теории относительности. Наиболее употребимым формализмом для математического описания многообразий является тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Однако именно для четырёхмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует и другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это — 2-спинорный формализм [18,20]. Ещё в начале века Картан ввёл общее понятие спинора [48], потом Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в физике, а Ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений — однако до сих пор 2-спинорное исчисление всё ещё сравнительно непривычно.

Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Преимущество тензорного исчисления — в его универсальной применимости к многообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразия — пространство-время [52]. Таким образом из-за своей большей общности тензорный подход менее изящен, чем более специализированный 2-спинорный подход; в нём возникают трудности при описании некоторых тонких свойств пространства-времени, существенных в квантовой теории; к тому же он приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам.

Так же представляется не вполне удовлетворительным применение ди-раковских 4-спиноров. Данный формализм (в его современной форме) является существенно координатнозависимым. Кроме того, он вынуждает работать сразу в двух пространствах — в тензорном и спинорном, что ещё более усложняет вычисления. Выходом из данной ситуации может быть переход к работе только в одном из пространств. То есть получаем две ветви: тензорный (бивекторы) и спинорный (2-спиноры) формализмы.

В даной работе продемонстрирована возможность последовательного введения 2-спинорного формализма. Это сделано с различных позиций. Дано геометрическое представление 2-спиноров и различных операций над ними. Показан аксиоматический алгебраический способ построения 2-спиноров.

Также в работе по возможности используется метод абстрактных индексов (как в спинорном, так и в тензорном исчислении). Использование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами.

Влияние гравитационного поля на устойчивость

После создания общей теории относительности и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационных взаимодействий в физике элементарных частиц. С продвижением в область высоких энергий и по мере построения теории остальных взаимодействий включение гравитации в общую теоретическую схему взаимодействий элементарных частиц стало одной из наиболее актуальных задач физики высоких энергий.

Учет собственного гравитационного поля системы взаимодействующих полей представляет физический интерес в силу его универсальности и неэкранируемости, а также в силу того, что уравнения гравитационного поля по своей структуре нелинейны. И таким образом из нелинейности гравитационного поля следует невозможность введения точечного объекта.

В связи с малой массой объектов в квантовой теории очень долго пренебрегали гравитационными эффектами. Но при изучении нелинейных образований возникает вопрос об их устойчивости. И тут гравитационное поле может оказать сильное влияние.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Предложена простая методика перехода от формализма дираковских 4-спиноров к лоренцевым 2-спинорам.

2. Предложен метод вычисления матричных элементов, базирующийся на 2-спинорном формализме.

3. Показывается эффективность спинорного формализма в рассмотрении спиноризованного варианта киральной модели Скирма для групп 577(2) и 5/7(3).

4. Установлена линейная неустойчивость кинковых решений системы взаимодействующих скалярного, электромагнитного и гравитационного полей в статической плоско-симметричной метрике.

1. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Физмат-гиз. — 1961.

2. Ахиезер А. И., Верестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука. 1969.

3. Лизин И. М., Шелепин Л. А. Канонический метод расчёта эффектов для частиц с произвольным спином // Ядерная физика. — Т. 9, Вып. 2 (1969), С. 440-450.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука. — 1973.

5. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М. 1976.

6. Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — Т. 1,2. М.: Наука. - 1978.

7. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука. — 1978.

8. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. — М.: Высшая школа. 1980. - 335 с.

9. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация. — Киев: Наукова думка. 1985. - 198 с.

10. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб.: Наука. 1994.

11. Рыбаков Ю. П., Фарраж Н. Аби Спинорная реализация киральной модели Скирма // Вестник РУДН. № 4, Вып. 1 (1996), С. 59-64.

12. Джена Р., Морис Н. М. Волновая функция произвольно поляризованного электрона в тензорной формулировке // Вестник РУДН. — № 2 (1994), С. 117-121.

13. Данилова И. Н., Ндахайо Ф. Эффективные заряды и токи в уравнении Рейфлера для нейтрино // Вестник РУДН. № 2 (1994), С. 132-136.

14. Буликунзира С., Самсоненко Н. В. Тензорное описание частиц со спином 1/2 // Вестник РУДН. № 2 (1994), С. 104-116.

15. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир. - 1968.

16. Хокинг С., Эллис Д. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир. 1976.

17. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука. 1981.

18. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. — Т. 1. — М.: Мир. 1987.

19. Абловитц М., Сегур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир. — 1987.

20. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. — Т. 2. — М.: Мир. 1988.

21. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. — М.-Л.: ГИТТЛ. 1949.

22. Рашевский П. К. Теория спиноров // УМН. Т. X, Вып. 2 (64) (1955), с 1.

23. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физ-матгиз. — 1958.

24. Мовчан А. А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. мат. мех. Т. 24, № 6 (1960), С. 988-1001.

25. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: Физмат-гиз. 1961.

26. Окунь Л. Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц. — М.: Физ-матгиз. — 1963.

27. Тирринг Вальтер Е. Принципы квантовой электродинамики. — М.: Высшая школа. — 1964. — 226 с.

28. Малкин И. Г. Теория устойчивости. — М.: Наука. — 1966. — 531 с.

29. Иваненко Д. Д., под ред. Гравитация и топология. — М. — 1966.

30. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука. 1967.

31. Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. — М.: Атомиздат. — 1971. — 214 с.

32. Зубов В. И. Устойчивость движения. — М.: Высшая школа. — 1973. — 272 с.

33. Иваненко Д. Д., под ред. Квантовая гравитация и топология. Сборник статей. М. - 1973.

34. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука. — 1974.

35. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука. 1974.

36. Уэллс Р. О. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир. - 1976.

37. Соколов А. А. Квантовая механика. — М.: Наука. — 1979.

38. Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике. — М.: Наука. 1982.

39. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. — Т. II. — М.: Наука. — 1983. 544 с.

40. Рыбаков Ю. П. // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 14 (1984), с 161.

41. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука. 1984.

42. Рыбаков Ю. П. Структура частиц в нелинейной теории поля. — М.: Изд. УДН. 1985. - 80 с.

43. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — М.: Наука. — 1986.

44. Рыбаков Ю. П. Устойчивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации // Итоги науки и техники. — Т. 2 (1991), С. 56-111.

45. Кассандров В. В. Алгебраическая структура пространства-времени и ал-гебродинамика. М.: Изд. РУДН. - 1992. - 148 с.

46. Шикин Г. Н. Основы теории солитонов в общей теории относительности. М., Издательство «УРСС». - 1995. - 88 с.

47. Ндонтчуэнг Мойо Морис 1995. — Новый метод вычисления матричных элементов процессов с поляризованными фермионами. — РУДН.

48. Картан Э. Теория спиноров. — М.: ИЛ. — 1947.

49. Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1,2,3. - М.: ИЛ. - 1948, 1958.

50. Картан Э. Пространства аффинной, проективной, конформной связности. — Казань: Изд-во КГУ. — 1962.

51. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — Т. 1-4. — М.: Наука. — 19651967.

52. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. — М.: Мир. — 1972.

53. Меллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат. — 1975.

54. Дирак П. Лекции по квантовой механике. — М.: Наука. — 1981.

55. Паули В. Теория относительности. — М.: Наука. — 1983.

56. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир. 1985.

57. Канатчиков И. // Изв. АН Эст. ССР, Физика-Математика. — (1989).

58. Буликунзира С. 1994. — Тензорный формализм описания фермионов и новый метод вычисления матричных элементов. — РУДН.

59. Берестецкий А. Б., и др. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука. 1968.

60. Боголюбов Н. Н., и др. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука. — 1969.

61. Захаров В. Е., и др. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука. 1980.

62. Иваненко Д. Д., и др. Групповые, геометрические и топологические методы в теории поля. — М.: Изд-во Московского ун-та. — 1983.

63. Бронников К. А., и др. Самогравитирующие солитоноподобные конфигурации с векторным полем // Препринт Института ядерных исследований. № П-0381 (1984), с 18.

64. Иваненко Д. Д., и др. Калибровочная теория гравитации. — М.: Изд-во МГУ. 1985. - 141 с.

65. Дубровин Б. А., и др. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука. 1986.

66. Соколов А. А., и др. Калибровочные поля. — М.: МГУ. — 1989. — 260 с.

67. Березин А. В., и др. Кватернионы в релятивистской физике. — Минск: Наука и техника. — 1989.

68. Маханьков В. Г., и др. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. — Дубна. 1989.

69. Маханьков В. Г., и др. Модель Скирма и сильные взаимодействия (К 30-летию создания модели Скирма) // Успехи физических наук. — Т. 162, № 2 (1992).

70. Мизнер Ч., и др. Гравитация. — Т. 1-3. — М.: Мир. — 1977.

71. Додд Р., и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир. 1988.

72. Нелинейная спинорная теория. — М.: ИЛ. — 1954.

73. Bergman P. G. Two-component spinors in general relativity // Phys. Rev. — V. 107 (1957), pp. 624-629.

74. Blade W. L., Lehle H. An introduction to spinors // Rev. Mod. Phys. — V. 25 (1953), pp. 714-728.

75. Brauer R., Weyl H. Spinors in n dimensions // Am. J. Math. — V. 57 (1935), pp. 425-449.

76. Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors. — New York: Columbia University Press. — 1954.

77. Geroch R. Spinor stucture of space-time in general relativity I // J. Math. Phys. V. 9 (1968), pp. 1739-1744.

78. Geroch R. Spinor stucture of space-time in general relativity II // J. Math. Phys. V. 11 (1970), pp. 343-348.

79. Hara T., Migoshi Sh. Flare-up of the Universe after z « 102 for cosmic string model // Pr. Th. Phys. V. 78, № 5 (1987).

80. Hindmarsh M. B., Kibble T. W. Cosmic Strings // Rep. on Progress in Physics. V. 58 (1995), pp. 427-562.

81. Laporte O., Unlenbeck G. E. Application of Spinor Analisys to the Maxwell and Dirac Equations // Phys. Rev. V. 37 (1931), pp. 1380-1552.

82. Penrose R. An Analysis of the Structure of Space-time. — Cambridge University. — 1966.

83. Reifler F. // J. Math. Phys. V. 25, № 4 (1984), p. 1088.

84. Shrôdinger E. Space-time structures. — Cambridge. — 1960.

85. Sirlin A. // Nucl. Phys. V. B192 (1981), p. 93.

86. Skyrme T. H. R. A unified field theory of mesons and barions // Nuclear Physics. V. 31, № 4, pp. 556-569.

87. Skyrme T. H. R. Meson theory and nuclear matter // Proc. Roy. Soc. — V. A230, № 1181 (1955), pp. 277-286.

88. Skyrme T. H. R. A nonlinear theory of strong interaction // Proc. Roy. Soc. V. A247, № 1249 (1958), pp. 260-278.84

89. Sommers P. // J. Math. Phys. V. 21, № 10 (1979), p. 2569.

90. Veblen O. Geometry of Four-Components Spinors // Proc. Nat. Acad. Sci. -V. 19 (1933), pp. 503-517.

91. Veblen O. Geometry of Two-Components Spinors // Proc. Nat. Acad. Sci. -V. 19 (1933), pp. 462-474.

92. Vilenkin A. Cosmic Strings // Phys. Rev. V. D24 (1981), pp. 2082-2089

93. Whittaker E. T. On the Relations of the Tensor-calculus to the Spinor-calculus // Proc. Roy. Soc. London. V. A158 (1937), pp. 38-46.

94. Zeldovich Ya. B. // M. Not. R. Astron. Soc. V. 192 (1980), p. 663.