Инвариантно-групповые методы в теории проективных отображений пространственно-временных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

3 03 з

Ордена Ленина институт прикладной математики им. М.В.Келдыша Академия наук СССР

На правах рукописи

Аминова Ася Васильевна

ИНВАРИАНТНО - ГРУППОВЫЕ МЕТОДА В ТЕОРИИ ПРОЕКТ! :ЗНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина.

Официальные оппоненты: Н.Х.Ибрагимов - доктор физико-математических наук,профессор; А.С.Мященхо - доктор физико-математических наук,профессор; А.П.Широков - доктор физико-математических наук,профессор.

Е1едущая организация - Белорусский государственный университет имени З.И.Ленина

Защита состоится " " — —_1991г. в_ч.

на заседании специализированного Совета Д 002.40.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М. В.Келдыша АН СССР.

Автореферат разослан

■■ " 1991г.

Ученый секретарь специализированного Совета, л II '

д-р физ.-мат. наук (¡¡, //М ^ Е.И.Деванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ тлОЛ ,1

"*" Актуальность теш. Проективное преобразование псевдорима-?ова многообразия МЛ есть автоморфизм индуцированной римано-зой связностью проективной структуры, который переводит геодезические линии в Шп снова в геодезические. Проективные пре-эбразования систематически возникают при исследовании симметрий уравнений математической физики. Достаточно упомянуть, что элгебра Ли инфинитезимальных точечных симметрий уравнений Кор-:евега - де Фриза является подалгеброй проективной (точнее,аф-риняой) алгебры Ли, а уравнение Риккати можно рассматривать,по выражению Н.Х.Ибрагимова, как "своеобразную реализацию" группы фоективных преобразований на прямой. Указанное обстоятельство юлучает свое объяснение, когда мы обнаруживаем, что наиболъ-юй группой точечных симметрий уравнений динамики Ньютона яв-шется 24 - мерная проективная группа, действующая в 4 -мерном [лоском пространстве-времени. Этот результат получен в рамках. )азвитого е. диссертации геометрического подхода, основанного на щеях С.Ли и Э.Картана. Создавая теорию пространств с проектив-гой связностью, Э.Картан настойчиво подчеркивал ее значение для [сследования дифференциальных уравнений. Методы дифференциаль -[ой геометрии, в частности, методы теории Картана, дают систе-1атический подход к определению локальных и нелокальных симмет-)ий для широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений [ уравнений с частными производными и нахождению их решений.

Последние десятилетия отмечены бурным проникновением ясвей-:их геометрических методов в теоретическую физику. Это связано

развитием теории калибровочных полей, открытием суперсиммет -ии, появлением супергравитации, теории струн и суперструн,ожив-внием интереса к многомерным теориям Калуцы-Клейна. Наряду с имметриями важную роль в этих теориях играют расслоенные прост-анства, однако само понятие расслоенного пространства, исполь -уемого в теоретической физике, нуждается в группе преобразована для своего определения.

В основе перечисленных быстро развивающихся областей теоре-ической физики лежит групповой подход, включающий рассмотрение окализованных групп внешних, т.е.пространственно-временных,сим-етрий (изометрической, гомотетической, конформной и аффинной

груш), а также групп внутренних симметрия, имеющих л-2 + 2«.-плетные представления ( п, - I - электрослабые взаимодействия , л = 2,3 - сильные взаимодействия, адроны, кварки, /г = 4 -великое объединение), при этом генераторы присоединенных представлений и структурные константы алгебр Ли входят непосредственно в лагранжианы и определяют физические эффекты.

Ареной действия современных физических полевых теорий является многомерное искривленное лоренцево многообразие ("пространство-время"), геодезические линии которого определяют пути движения пробных тел - основного источника информации о структуре физических полей.

Теоремы А.З.Петрова о трех типах полей тяготения и разработанная им и учениками его школы классификация полей тяготе -яия по группам симметрия в (форме изометрических (А.З.Петров,В. Р.Кайгородов), конформных (Р.Ф.Билялов) и .других преобразова -ний стали основой программы поиска точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности и положили начало множеству работ, в которых физические свойства материальных систем, а также гравитационного, электромагнитного и других физических полей, переносящих взаимодействия, определялись группами автоморфизмов различных объектов геометрической или физической природы.

Принципиальное значение для нахождения решений полевых уравнений имеет выбор анзаца - общей конфигурации полевых потенциалов, устанавливаемой из теоретико-групповых соображений (анзац Виттена, процедура Форгача - Мантона систематического построения анзацев янг-миллсовских и хиггсовских полей для широкого класса пространственно-временных симметрий и т.д.).

С .другой стороны, в соответствии с теоремой Э.Нётер пространственно-временные симметрии используются для построения законов сохранения, составляющих основу любой физической теории. Согласно теореме Э.Нётер и исследованиям В.Девиса, М.Мос-са, Г.Кагцина и Дк.Левина проективные и аффинные движения приводят' к фундаментальным механическим и полевым законам сохранения. Главная трудность при построении таких законов заклю -чается, по мнению авторов, в нахождении указанных движений.

Говоря о геометрическом аспекте проблемы определения алгебр Ли проективных и аффинных движений, уместно вспомнить замечание, сделанное Ш.Кобаяси и К.Номидзу во втором томе их-

монографии по дифференциальной геометрии:"Помимо того, что группа автоморфизмов есть группа Ли в случаях, перечисленных вше ... (т.е. в случаях изометрической, аффинной, конформной и др. групп)... известно очень мало о структуре таких групп Ни"

Впервые непрерывные (локальные) группы проективных пре-эбразований римановых пространств .¿¿^рассматривались С.Ли идя случая двумерных поверхностей. Дальнейшее развитие теории троективных преобразований и проективных движений в простран-зтвах с линейной связностью связано с именами Э.Картана, Л.П. Эйзенхарта, М.С.Кнебельмана, Т.Томаса, И.А.Схоутена, К.Яно , 1.П.Егорова, Г.Врэнчану, Ш.Кобаяси и др. Основы теории проективных, или геодезических отображений псевдоримаяовых многооб-зазий заложены в трудах Е.Бельтрами, У.Дини, Т.Леви-Чивити,Г. >убини, Л.П.Эйзенхарта и П.А.Широкова. Важные результаты в >той области получены А,З.Петровым,Н.С.Синюковым,А.С.Солодов-шковым,В.И.Голиковым и Г.И.Кручковичем.

Как известно, в пространствах постоянной кривизны в" , досматриваемых в малом, максимальная проективная группа сов-[адает с проективной группой псевдоевклидова пространства,т.е. ! группой дробно-линейных подстановок, и зависит от п, 2/ь гараметров. В пространствах непостоянной кривизны размер-юсть максимальной проективной группы не превосходит число

2л-+5 (И.П.Егоров),причем в большинстве случаев эта груп-га состоит из преобразований подобия (гомотетий) либо изомет->ий. В 1903г. в "Записках Туринской Академии наук" появилась >абота Г.Фубини "О группах геодезических преобразований", ко-'орая положила начало систематическому определению и изучению 1Имановых пространств, допускающих инфинигезимальные проектив-:ые преобразования. Спустя полвека А.С,Солодовников продолжил :сследоваяия Фубини и до конца решил поставленную им задачу,-I трудах Фубини и Солодовникова содержится классификация ри-[ановых пространств , гь > 3 по (локальным) группам про-ктивяых преобразований, более широким, чем группы гомотетий, ыводы Г.Фубини и А.С.Солодовникова опираются на предположе -:ие о положзтельной определенности рассматриваемых метрик.Сня-ие условия знакоопределенности значительно усложняет задачу . требует принципиально нового подхода к ее решению.

в

Целью работы является развитие методов теории автомор -физмов геометрических структур и их приложение к групповому анализу дифференциальных уравнений математических моделей физики и механики.

В диссертации решаются три основные задачи:

1) определение всех псевдорлмановых метрик с соответствующими геодезическими;

2) определение всех пседцоримановьсс многообразий сигнатуры (+-... -) (лоренцевых многообразий) размерности п>> 3, допускающих негомотетические инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования, и для каждого из них - максимальных проективной и аффинной алгебр Ли, включая гомотетическую и изометрическую подалгебры;

3) определение всех двумерных псевдоримановых многообразий, допускающих негомотетические проективные движения, и для каждого из них - максимальных проективной и аффинной алгебр Ли (проблема Ли).

Первая задача есть классическая геометрическая проблема, возникшая в связи с задачей динамики о преобразованиях уравнений движения механических систем, сохраняющих траектории, и болео 100 лет - со времен Бельтрачи, Дини и Леви-Чивиты. - стоявшая на повестке дня. Вторая и третья задачи, как отмечалось выше, берут свое начало в трудах Ли и, будучи тесно связанны -ми с первой задачей, имеют ванные и актуальные физические ас -пекты.

Научная новизна. В диссертации развит систематический геометрический подход к определению локальных и нелокальных сим-метрий для широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и нахождению их решений. Разработана техника интегрирования тензорных дифференциальных уравнений с неизвестной билинейной формой на псевдоримановых многообразиях произвольных сигнатуры и размерности. Получены следующие новые результаты.

1. Определены все проективно эквивалентные римановы связности.

2. Дано общее решение задачи определения всех псевдоримановых метрик с соответствующими геодезическими.

3. Получена классификация лоренцевых многообразий Z

размерности /г-> 3 по максимальным негомотетическим проективным и аффинным алгебрам Ли.

4. Решена проблема Ли.

5. Доказано, что специальные конциркулярные векторные поля порождают алгебры Ли инфинитезимальннх изометрических, конформных, аффинных и проективных преобразований с характерной цепной структурой.

Решена задача о проективных и а|финных движениях концир -куляряого вида на псевдоримановых многообразиях Лп.

6. Введено понятие о почти проективных движениях на многообразиях с аффинной (в частности, римаяовой) связностью и исследованы их свойства.

7. Проведен групповой анализ уравнений геодезических на многообразиях с аффинной (в частности, римаяовой) связностью.

Найдена размерность максимально?, группы симметрзй уравнений динамики Ньютона в Ñ.^ и показано,что эта группа совпадает с проективной группой (/V + I) - мерного плоского пространства-времени.

8. Получено обобщение на п- -мерный случай георемы Ли о размерности группы симметрий уравнения d^/dx^^jñr.y,/с/xi).

9. Установлена связь проективных преобразований псевдори-манова многообразия ^ с симметриями гамильтоновых систем и преобразованиями Ли - Беклунда уравнений Гамильтона - Якоби с квадратичными гамильтонианами.

10. Показано, что группы аффинных и проективных преобра -зований псевдоримановых многообразий л являются группами обобщенных движений Н.Х.Ибрагимова. Найдены границы дефектов многообразий относительно этих групп.

11. Найдены волновые решения уравнений единых теорий поля Эйнштейна и Бонн opa в пространстве-времени с симметриями в форме проективных (аффинных) движений.

12. С помощью системы аналитических вычислений ль-лез получены два класса решений уравнений Эйнштейна - Раритк -Швиягера и уравнений Эйнштейна - Рариты - Швингера - Максвелла, описывающих поля гравитонов, гравитино и электромагнитное поле в рамках классической I супергравитации в пространстве -времени с плосковолновой метрикой.

Составлена программа для вычисления характеристики Сегре

симметричной билинейной формы.

Практическая значимость работы. Существуют разные способы отождествления геодезических линий псевдоримановых многообразий с траекториями консервативных и неконсервативных динами -ческих систем, которые открывают широкие возможности для приложения результатов исследования симметрии уравнений геодезических в механике.

Лроективяо эквивалентные метрики и связности (гл.2) могут использоваться для решения различных геометрических задач, например, проблемы определения симметрических и Риччи - симметрических пространств, исследования геодезических и т.д.

Успешное применение подвижного косонормального репера к решению классической задачи с более чем столетней историей наводит на мысль, что с использованием косореперов может быть связан дальнейший прогресс в решении старых и новых геометрических задач, включаощих рассмотрение билинейных форм на псев-доримановых многообразиях, а также разнообразных задач общей теории относительности, единых теорий поля, супергравитации и других областей современной теоретической физики, где широко применяется метод подвижного репера.

Полученные в главах 3 -5 результаты могут использоваться для исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2 -го порядка, а также гамильтоновых систем и уравнений Гамильтона - Якоби с квадратичными гамильтонианами.

Определенные в гл.4 лоренцевы метрики могут служить ан-зацами при построении теоретико - полевых физических моделей, а допускаемые ими инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования - генераторами механических и полевых законов сохранения в этих теориях.

Структурные константы проективных и аффинных алгебр Ли и определенные с их помощью формы Киллинга можно использовать для определения лагранжианов калибровочных полей. Левоинвари-антные метрики и левоинвариантные векторные поля на группах Ли, построенных по структурным константам с помощью стандартной процедуры, могут стать основой обобщенных теорий Калуцы -Клейна.

Первые интегралы уравнений геодезических, связанные с проективными движениями,могут использоваться для изучения ге-

одезических, определяющих крупномасштабную структуру пространства - времени.

УС - пространства могут найти применение в процедуре квантования полей в искривленном пространстве, а конциркулярные движения (гл.3)-при изучении равноускоренного движения частиц в гравитационном поле, описываемом теорией Эйнштейна.

Результаты исследования проблемы Ли (гл.5) могут использоваться в теории лагранжевых систем с одной степенью свободы, а также в теории струн, в конформных теориях поля, в двумерной гравитации, в теории солитонов и о - моделей.

Найденные в гл.5 первые квадратичные интегралы уравнений геодезических можно использовать для изучения свойств геодезических и построения с помощью машинной графики двумерных моделей, подобных плоскости Лобачевского или модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. Эти модели могут найти применение в тех -нике при расчете элементов современных конструкций.

Рассмотрение почти проективных движений (гл. 6) открывает новые перспективы в исследовании проблемы моделирования физических полей (А.З.Петров) и может быть использовано для полу -чения анзацев теоретико - полевых физических моделей.

Предложенный пакет программ для вычислений в У = I супергравитации (гл. 7) можно использовать для физических и геометрических исследований. Программа для вычисления характеристики Сегре симметричной билинейной формы может использоваться для автоматизации геометрических вычислений, связанных с проективными и аффинными преобразованиями, а также для изучения физической структуры пространства - времени, определяемой типом тензора энергии - импульса.

Апробация работы. Результаты диссертации прошли апробацию

на

Ш Советской гравитационной конференции (Ереван, 1972),1У Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Москва, 1981), У1 Советской гравитационной конференции (Москва, 1984), ТО Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Ереван, 1988), семинарах Института теоретической физики АН УССР (Киев, 1971, 1973);

У и У1 Всесоюзных конференциях по современным проблемам геометрии (Самарканд, 1972, Вильнюс, 1975), Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского" (Казань, 1976), УШ Всесоюзной научной конференции по современным проблемам дифференциальной геометрии (Одесса, 1984), IX Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988);

Международном симпозиуме "Теоретико - групповые метода в механике" (Новосибирск, 1978), 10 и II Международных конференциях по общей теории относительности и гравитации (Падуя,1983, Стокгольм, 1986), У Гроссмановской конференции (Западная Австралия, 1988);

Всесоюзном геометрическом семинаре им. Г.Ф.Лаптева (Москва, 1976, 1990), семинаре Московского государственного университета под руководством проф. Н.Х.Ибрагимова (Москва,1991), семинаре Московского государственного университета под руководством проф. A.C.Мищенко (Москва, 1991), семинаре Белорусского государственного университета под руководством проф. А.С.Фе -данко (Минск, 1991);

Семинаре ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР под руководством чл.-корр. АН СССР С.П.Курдамова (Москва, 1991);

Всесоюзной школе-семинаре "Теоретико - групповые и компьютерно - алгебраические метода исследования нелинейных математических моделей динамических систем" (Рахов, 1989).Всесоюзной школе - совещании "Основания современной физики" (Сочи, 1991) и других семинарах, совещаниях и конференциях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 50 работах, список которых приведен в конце автореферата. Общее число публикаций по теке диссертации - 75.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введя-ния, семи глав (36 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 490 названий. Общий объем диссертации - 390 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава (§§1 - 7) содержит предварительные сведения: о геодезических отображениях, проективной связности, проективных, аффинных и конформных преобразованиях. В ней приводится краткий исторический обзор результатов,относящихся к проблемам геодезических отображений и проективных преобразований псевдор!

мановых многообразий, рассматриваются ях £язичоск:м •фляокоявя.

В § 4 обсуждаются групповые свойства уравнений геодезических в пространстве ^ с аффинной (в частности, римановой) связностью V )• Доказывается, что группа точечных сим-

метрии уравнений геодезических, параметризованных одной из зависимых переменных, например, ос^ ("параметризация Картала") :

а,(ос)±^с (ас) ¿с ¿ос (х)ос К

( ^ 9/ > У =1» ••• , /г- - I) есть группа проективных преобразований в Параметризация Картана позволяет исключить из уравнений геодезических с аффинной параметризацией:

с/д:' <т-1 сЬсс^ сбое-*-

"лишнюю" переменную £ и обеспечить действие группы симметрии в пространстве ^¿¿^. В случае аффинной параметризации группа симметрий действует в расширенном пространстве /Й ,точ-

нее, Тх и , где т<= !& • а и - область карты в .

Симметрии уравнений геодезических с аффинной параметризацией порождаются специальными конциркулярными и параллельными векторными полями, а также аффинными и специальными проективными движениями (коллинеации кривизны) в

Каждое инфинитезимальное проективное преобразование X в псевдоримановом многообразии ( £ ) порождает гамиль-

тонову группу симметрии еоср,{ со ^ ) с

^ = 9кб -^¿6/у се/ж Ь-

гамильтоновой системы

(I)

с квадратичным гамильтонианом ~ '^рср/ -

Каждому проективному движению X в ( ^ил, ^ ) соответствует канонический оператор Ли - Беклунда

уравнения Гамильтона - Якоби

с гамильтонианом и Г - параметрическая группа

точечных симметрия уравнений Гамильтона, порождаемая векторным полем

2 = Сэ/<эе;+ с э^Сх^уа^сЬса/э^-О^зс./с-Уз^хэ/зх.^

и действующая в пространстве зависимых и независимых

(£) переменных гамильтоновой системы-(I).

В § 4 доказывается также, что размерность Х- группы симметрии системы

а;'4-..хд;л V• ■ - ос'1"'''), сы.-гъ-1)

обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с л, -I неизвестными ¿с*, ... ,зсп''"! и независимой переменной ссГ1 не превосходит число п -¡2 п. . Наибольшее возможное значение ъ = + 2л достигается для системы ж*- =0, = I,..., п. - I . Соответствующая группа симметрий совпадает (локально) с проективной группой /ь - мерного плоского пространства, а её алгебра Ли определяется базисными векторными полями

При п = 2 отсюда следует теорема Ли о размерности группы симметрий уравнения л^й^.Отсюда следует также,что

размерность группы симметрий динамических уравнений Ньютона

¿с = х, х'), (х ^ из";

Ц £

не превышает число Л/ + 4 /V + 3. Максимальная /V + 4/У +3 -мерная группа симметрий достигается в отсутствие "сил" С?" = 0) и совпадает с проективной группой /V + I - мерного плоского пространства - времени.

При /V = 3 максимальная группа симметрий уравнений Ньютона имеет размерность 24 и содержит в качестве подгруппы группу Пуанкаре, лежащую в основе специальной теории относительности.

В § 5 проективные и аффинные преобразования рассматриваются как обобщенные движения Н.Х.Ибрагимова.

Пусть - компоненты метрического тензора псевдорима-

нова многообразия в локальных координатах х1-, - /г-

мерное многообразие в пространстве X * У переменных ЭС1,..

• .....определенное уравнениями = =

= (¿с). Множество всех преобразований лГ' =у (з=) образует бесконечную локальную группу Ли &оо , а преобразования

3?< =У , есХ)

- расширенную группу преобразований , изоморфную .

Пусть & а - Орбита У ) мно-

гообразия & является минимальным инвариантным многообразием группы О- , содержащим -У как подмногообразие коразмерности К = сИ/п, У ) - п- , называемой дефектом 8" {¿¿"'.бг) пространства относительно & . Если = 0, то & есть группа изометрий в п . В общем случае & называется группой обобщенных движений (Н.Х.Ибрагимов, 1969 г.)

В § 5 показано, что группы () и 3> аф-

финных и проективных преобразований в псевдоримановом многообразии М11 являются группами обобщенных движений Н.Х.Ибрагимова, и найдены границы дефектов сГ ( , )), ¿Г^,

( М.^)). Наибольшее возможное"значение, равное + !)/%,,

и достигают в плоском пространстве Проективные и аффинные преобразования рассмотрены также в рамках понятия обобщенного движения, распространенного на многообразия с аффинной связностью.

Во второй главе ( §§8 - 12) в рамках метода подвижного репера развивается техника косонормального репера, с помощью которой определяются все проективно эквивалентные римановы связности я все псевдоримановы метрики с общими геодезическими.

Решение проблемы геодезических отображений псевдоримано -вых многообразий сводится к интегрированию уравнения

(ГУ, г, IV) - £+-^'сг, \к/)у? (у,г,щтм) (2)

на псевдоримановых многообразиях произвольных сигнатуры и размерности. Чаще всего задача ставится так: найти все псевдоримановы многообразия данной размерности или сигнатуры, которые до-

пускают нетривиальные решения с^ 4 уравнения (2), и

указать эти решения. При таком подходе все величины в уравнении (2) оказываются неизвестными, причем уравнение линейно по ^' и нелинейно по д ввиду нелинейной зависимости V от д. . Общая идея решения этой задачи отчетливо выражена П.А. Широковым - тип тензора определяет тип пространства. Задав тип билинейной формы ^ , определяемый ее характеристикой Сегре, после длинных и нетривиальных выкладок, сводящихся к интегрированию систем нелинейных уравнений с частными производными вкупе с подходящими преобразованиями локальных координат, находят д , ф и . Указанная задача была решена для пу - мерных римановых пространств Т.Леви-Чивитой, для двумерных псевдоримановых пространств - У.Дини и П.А.Широковым, для трехмерных псевдоримановых пространств - А.З.Петровым и а - мерных лоренцевых пространств - В.И.Голиковым и Г.И.Круч-ковичем. Перечисленные случаи исчерпываются тремя основными типами характеристики Сегре ... I) , V = I, 2, 3,

билинейной формы д' . В псевдоримановых пространствах произвольной сигнатуры и размерности п. основной тип билинейной формы задается набором {т^... т.т) натуральных чисел, связанных единственным условием + ... + пь^ = гь . Тормозом к решению задачи в общем случае являлась необходимость рассмотрения каждого типа в отдельности. Число разных типов с рос -том и неограниченно возрастает, и задача становится неразрешимой.

Предложенная нами техника подвижного косонормального репера устранила указанное препятствие. Косонормальный репер является естественным обобщением ортогонального репера, однако, в отличие от последнего, он приспособлен к рассмотрению билинейной формы произвольной алгебраической структуры. Риманова геометрия в косонормальном репере развивается подобно римано-вой геометрии в ортогональном репере. Техника интегрирования в косорепере в принципе так же проста, как и в орторепере.Это обстоятельство и делает в конечном итоге возможным интегрирование в общем виде ковариантннх дифференциальных уравнений с неизвестной билинейной формой на псевдоримановых многообразиях произвольных сигнатуры и размерности.

Следующие две теоремы получены с помощью техники подвижного косонормального репера. Первая теорема содержит решение проблемы проективной эквивалентности римаяовых связностей.

Две аффинные связности без кручения V и V ' , определенные формами связности о; и со' на расслоении ) линейных реперов над М , называются проективно эквивалент -ними, если существует I - форма р на ЛС такая, что выполняется условие

сл'- со = Эр, + {[ь9)-иС,. (3)

где 0 - каноническая форма на ¿Р' (). Связности У и у' на ЛС проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одной и той же проективной структуре и, следовательно, имеют общие геодезические. Зсли связности V и У7 римаяовы, то I - форма р, - точная: /г- = оС У .

Теорема. Пусть ( М. , £ ) и ( , д' 1 - два п, - мерных псевдоримановых многообразия с общими геодезически!®, а маю'- формы их римановых связностей V и У'. Пусть & и & - матричные функции на М , значения которых в каждой точке ее. ^ Ж совпадают с матрицами билинейных форм ^ и ^ в некотором базисе в Тл . Если л - матрица

определенная с помощью У - преобразования Н.С.Сияюкова,имеет в окрестности

Г произвольной точки ¿с характерис-

тику Сегре

£ « {С/Яу... С^-Д^З (4)

а собственные значения л1 то существуют косонор-

сальный репер } на V и сопряженный к нему корепер {#ь} , относительно которых компоненты ооу формы со = со^- Е<л связности у определены как явные функции параметров характеристики т.^ и собственных значений л,1С. 5орма со' связности у' определяется равенством (3), где

ус

/1шсС? «ел/*»/,

/ еС

Зсли, в частности, / = ссгъьЬ , то связности У и V' сов-гадагот. Наоборот, если в окрестности каждой точки £М, су-

шествует косонормальный репер, в котором выполняются перечисленные выше условия, то римановы связности V и у' проек -тивно эквивалентны.

Вторая теорема дает общее решение проблемы определения геодезически соответствующих псевдоримановых метрик.

Теорема. Пусть ( М , д ) - два л - мер-

ных псевдоримановых многообразия с общими геодезическими, а & и &г ~ матричные функции на , определенные в пре -двдущей теореме. Если в каждой точке открытого связного мно -жества л - матрица

- л &

имеет характеристику Сегре

г /с. к.+1 я ¡с ,

х - к• - «V (-пь1 - >"Ч*^' ----- > Л '

то контравариаятные метрические тензоры и в (/ оп-

ределяются равенствами

а=■<

где - попарно различные ненулевые функции, постоянные

при ы. > кс . Вокруг каждой точки ос £ V существует каноническая карта, в которой компоненты тензорных полей ^ и определены рекуррентными соотношениями, а также , при ¿>/со, - условием ковариантного постоянства тензорного поля относительно . Ковариантныв метрические тензоры определяются соответствующими формулами. Обратное также^верно, причем условие (2) выполняется с функцией </* = - /•

&га теорема сводит нахождение геодезически соответствующих метрик к задаче определения метрик, допускающих параллельные симметричные билинейные формы, общее решение которой было дано ранее П.А.Широковым, А.П.Широковым, Г.И.Кручковичем и А.С.Солодовниковым.

Важно подчеркнуть, что полученные результаты охватывают все, т.е. бесчисленное множество основных типов характерами-

:и Сегре, в отличие от предшествующих результатов, которые , :ак отмечалось, исчерпывались тремя основными типами характе-»истики Сегре. Использование косорепера позволило не только :олучить решение уравнений геодезического отображения для лю-¡ого набора элементарных делителей, но и записать его в общем шде, по существу, в виде одной формулы, управляемой- парамет-1ами характеристики, в отличие от предыдущих работ, где резуль-■атн получались для каждой характеристики в отдельности, так [то трудно было уловить что-либо общее в этих результатах и сознать, что они могут быть выведены из одной формулы.

В конце второй главы рассматриваются псевдоримановн мет-|ики с общими связностями. С помощью техники подвижного косо-:ормального репера устанавливается ряд свойств параллельных имметричных билинейных форм на псевдоримановых многообразиях, водится понятие об индексе характеристики Сегре билинейной ормы и дается его геометрическая интерпретация.

Два факта, установленных в § 4 , - проективный характер имметрий уравнений геодезических и способность конциркуляр-нх векторных полей частного вида поровдать такие симметрии -ежат в основе третьей главы ( §§13 - 16 ), где вводится по-ятие о конциркулярннх движениях и исследуется их связь с про-ктявными и аффинными движениями.

Конциркулярным отображением называется конформное отоб-ажение одного псевдориманова многообразия на другое, которое тображает кривые с постоянной первой и нулевой второй кривиз-ой, называемые геодезическими окружностями, в геодезические кружности (К.Яно, 1941 г.). Заметим,что геодезические окруж-ости определяют в теории тяготения Эйнштейна траектории рав-оускоренного движения. Укажем также на попытку Р.С.Сингатул-ина дать инвариантное определение осевой симметрии в общей еории относительности с помощью конциркулярннх преобразова-ий.

Назовем инфинитезимальное конциркулярное преобразование энциркуляряым движением. Нетрудно доказать, что уравнения кон-аркулярных движений имеют вид

и что множество всех конциркулярных движений в псевдоримано-вом многообразии lUп образует конечномерную алгебру Ли. Вследствие этого множество всех конциркулярных преобразований в Л образует группу Ли, которую мы будем называть концир-кулярной группой. Конформные группы в пространстве постоянной кривизны SÄ( rv> 2), в пространстве Эйнштейна ( гь> 2) z в пространстве V0 {.ЭС ) есть концйркулярные группы. Перечисленные пространства принадлежат к так называемым пространствам Сп {CK ), каждое конформное движение (5) в которых удовлетворяет условию (6). Указанное свойство позволяет сделать независимо от метрической формы пространства Сп ( ОС ) важные выводы о характере и строении конформной группы в этом пространстве и в случае ЗС Ф О указать простой алгоритм для построения ее алгебры 1и.

Если псевдоргманово многообразие М допускает г независимых конциркулярных движений

+ Ы-1.....0, (7)

то в касательном пространстве каждой точки sc возни -

кают т(т — 1)/2 параллелограммов, построенных на концирку -лярных векторах Z)^ . Стороны каждого из параллелограммов И одна из его диагоналей задаст неаффинные проективные даижбния, а вторая диагональ - изометрию. Каждая геодезичес -кая - траектория I - параметрической конциркулярной грушш служит также траекторией т I - параметрических проективных групп.

Более того, на многообразии М- действуют изометрическая алгебра Ли размерности г(гг - D/2:

free-,,* ^ " ^ 11 •

конциркулярная алгебра Ли размерности гг ( г- + 1)/2:

(-ТСТГ+-о/& -3 Cecr-i)zr/z. 23 "' -3 ' и проективная алгебра Ли размерности т4 :

каждая из которых имеет всего С различных нетривиальных подалгебр Х%,СГ, ¿Р^ размерностей ( г - -л )( е- -г-

- 1)/2, ^ (V )( г - * + 1)/2 и ( г - 4 )2

С 5 = I,..., г- - 2) соответственно. Характерное "цепное"стро-ение рассматриваемых алгебр Ли в случае тг = 5 иллюстрирует нижеследующая диаграмма.

16 г16

Р9^9^Э Р9 Р4^ГР4 Р^Р1 Р1

Р16 ^16^16

I Ш 3 3

6

I "I

Генераторы всех алгебр Ли конструируются с помощью простейших алгебраических и дифференциальных операций из тг инвариантов - решений уравнения (7). Столь же просто записываются структурные уравнения соответствующих алгебр Ли.

Параллельные и конкуррентяне векторные поля также порождают алгебры Ли инфияитезимальннх преобразований с характерным цепным строением. Если, к примеру, на псевдоримановом многообразии М*, л > 5, существует конкуррентное векторное поле ЪУ : У2/'= д., и4 независимых паралл&льяых векторных поля Ъ : У^=0, ( а. = 1,...,4), то в нем действуют 10-мерная изометрическая, П-иерная гомотетическая, 20-мерная аффинная и 25-мерная проективная алгебры Ли, имеющие по 4 различных нетривиальных подалгебры размерностей 6, 7, 13 и 16 соответственно, каждая из которых обладает тремя различными на -тривиальными подалгебрами размерностей 3, 4, 7, 9 соответствен-

но^ т.д.

гГХ1>1

Нг, Ну \lpjf Н^

?4чН4 Н4

I 2 ^

Нт

?16 Р16Р16Р16

13 А13 А13 А13

А1 Р1 В касательном пространстве каждой точки ос £ М. возникают 6 параллелограммов,, построенных на рекуррентных векторах

Р9 9 9

РХР ■ 4 4

Стороны каждого из параллелограммов и одна из его диагоналей задают негомотетические аффинные движения, а вторая диагональ - инфинитезимальную изометрию. Инфинитезимальные гомотетии и проективные преобразования натянуты в каждой точке на конкуррентное векторное поле . Подобные выводы справедливы для любого числа параллельных векторных полей, существующих в М^, Именно так, в частности, устроены проективные, аффинные, гомотетические и изометрические алгебры Ли п - мерных псевдоавклидовых пространств.

Приведенные результаты получены независимо от метрической формы пространства Мп из одного только предположения о существовании в нем нетривиальных решений уравнения

-о, С ос, ¿г- соп**-). (8)

Отсюда видна исключительная роль, которую играет это уравнение и определяемые им конциркулярные векторные поля в возникновении групповых симметрий псевдоримановых многообразий.

В пространстве 5 ® постоянной ненулевой кривизны Ж («•+ +1).конциркулярных векторных полей порождают полные изометри -ческую,конформную и проективную алгебры Ли,которые целиком определяются заданием л+1 скаляров,содержащих, таким образом,всю информацию о локально-групповых свойствах пространства 5"". В качестве этих скаляров могут быть взяты декартовы координаты X0, плоского пространства £п+\ъ которое вложено 5,определенное уравнением ^¡е^ос0- = 1/,ус . Следовательно, а>+1 функций погружения z0^ полностью определяют генераторы алгебр Ля,действующих в 5и притом так просто: -х^г. = ^"(и,), ул, = х{а2>гв) (п;д.), \х/а1- гс*2>г'Чл,зи).

В §15 дается полное решение задачи о проективных и аффинных движениях X конциркулярного вида: ЧХ + Ха1<Р, в произвольных псевдоримановых многообразиях. Ранее решение этой задачи для аффинных движений в специальном классе пространств было получено в серии работ японских математиков Такано, Окуму-ры я Иваи.

В §16 показывается, что траектории времениподобных конциркулярных векторных полей определяют во вселенной Де Ситтера мировые линии сближающихся или разбегающихся галактик, подчини -ющихся гипотезе Вейля я близких по своему поведению к реальным галактикам вселенной.

Четвертая глава (§§17 - 26) посвящена классификации ло-юнцевых многообразий ( ¿Г", j ) размерности п > 3 по алгеб->агл Ли проективных движений.

Векторное поле X на п, - мерном псевдорямановом много->бразии (М"', % ) с римановой связностью V называется инфл-штезималышм проективным преобразованием, шш проективным (вижением, если порождаемая игл в окрестности каждой точки 6 Al"' локальная группа локальных преобразований сохраняет геодезические, Проективное преобразование есть автоморфизм инду-дарованной рималовой связностью проективной структуры, опреде-иемой как главное подрасслоение расслоения P2(t^f/b) 2 -струй, ючнее, 2 - реперов на

X есть инфинитезимальное проективное преобразование на И"'% если и только если выполняется условие vy ах - r, с-х-.у;-с yv)-óc¿ —усс<г,

де ¿ - производная Ли вдоль х , И - тензор кривизны. !сли величина cUv X постоянна,то проективное движение сохра-иет аффинную связность а называется аффинным движением,в част-гости, при = с = zofitt , - инфинитезимальной го-

ютетией, а при ^ = 0 - инфинитезимальной изометрией. Мно-:ество всех проективных движений в ^"образует конечномерную лгебру Ли Р( , называемую проективной алгеброй Ли в

[ножество всех аффинных движений,а также множества всех инфи-:итезимальных гомотетий и изометрий также образуют алгебры Ли {М"-) ,Н( М'"'} и I которые называются соответствен-

:о аффинной,гомотэтической и изомэтрической алгебрами Лп и яв-яются подалгебрами проективной алгебры Ли в =>

э А(.Лл)э 1(^)0 I

Классификация основана на разбиении всех пространств L. о типам в соответствии с типом проективного движения X ,оп-еделвнянм алгебраической структурой производной Ли Ах g етрики у в направлении X . Тип тензора & = Áx д , задава-мый его характеристикой Сегра je »определяет тип метрики ^ , оторую мы называем / - метрикой типа JC ,а соответствующее оренцево многообразие - fi. - пространством типа JC ,

В исследовании можно выделить две основные части. В первой части ( §17 ) определяются пространства Ал , которые могут допускать I - параметрическую негомотетическую проективную группу. Эта задача сводится к интегрированию системы тензорных дифференциальных уравнений с ковариантными производными отно -сительно неизвестной симметричной билинейной формы в прост -ранстве ¿>11 с произвольной метрической формой. Интегрирова -ние системы осуществляется в §17 с помощью техники косонор -мального репера, развитой в главе 2.

Вторая часть ( §§ 18 - 25 ) посвящена определению макси -ыальяой проективной алгебры Ли Р( л ) в каждом из найденных в первой части пространств. Принципиальное решение этой проблемы дается в §18, где изучаются характер и строение алгебры Ли Р( ) в различных классах пространств. Полученные в §§19 , 23 результаты позволяют перейти в §§20 - 22, 24, 25 к непосредственному решению основной задачи - определению лоренцевых многообразий ¿л , допускающих максимальную негомотетическую проективную алгебру Ли, и самой этой алгебры вместе с ее базисными элементами и структурными уравнениями. В §26 с помощью ре -зультатов, полученных в главе 2, определяются алгебры Ли аффинных движений на лоренцевых многообразиях и формулируется окончательный результат. ^

Все лоренцевы многообразия , допускающие негомотети-ческие проективные алгебры Ли, можно разделить на пять непересекающихся классов, указанных в таблице I.

Заштрихованные клетки в графе П показывают, что соответствующий класс пространств допускает указанный вид преобразова -ний. Символы ги, га, % д в графе 1У означают размернос-

ти максимальных изометрических, гомотетическнх, аффинных и проективных алгебр Ли. Для наглядности в графах Ш, 1У приведены сведения, относящиеся к случаю п = 4.

Из таблицы видно, что К - пространства непостоянной кривизны существенно отличаются от обыкновенных - пространст: по характеру и строению максимальных проективных алгебр Ли.Они обладают наибольшей проективной подвижностью среди всех других лоренцевых пространств непостоянной кривизны и приближаются по своим свойствам к пространствам постоянной кривизны.

I П га ТУ

Класс Допускаемые преобразования Максим, проект, алгебра Ли (при п =4) Размерности подалгебр (при л-=4)

и.д. г.д. а.д. П. д.

Обыкновенные И-пространства т ш. 1 Р7 п.д. ъ = п г

К-пространства непостоянной кривизны (К Ф 0) щ Р8 п.д. -г п и

К-пространства непостоянной кривизны (К = 0) ш Ц ш Ш А10а.д. п а г

Пространства постоянной кривизны К Ф 0 т § Р24п.д. 3 и

Пространства постоянной кривизны К = 0 //У/ Ж § ш т Р24п.д. г = «+4= п а =« +13 = = |+14

Таблица I. Классификация псевдоримановых многообразий ¿. , п> 3, лоренцевой сигнатуры по максимальным проективным алгебрам Ли.

Отличительной чертой К - пространств является существование в них семейств вполне геодезических поверхностей постоян -ной кривизны К. С другой стороны, каждое К - пространство с яе-аффинной проективной группой Ли допускает конциркулярное векторное поле 2)9 специального вида:

-о,

с которым связано решение ^ волнового уравнения Клейна - Гордона □ 9 ± =о, гп^ = л1К| , описывающего скалярное, векторное, спинорное и другие физические поля.

Пятая глава ( §§27 - 30 ) содержит полное решение проблемы Ли. Здесь определены все двумерные псевдоримановы многообразия^-2, допускающие инфинитезимальные негомотетические проективные преобразования, и для каждого из них - максимальная проективная алгебра Ли, включая гомотетическую и изометрическую подалгебры. В подходящих локальных координатах указаны метрики, базисные элементы и структурные уравнения проективных алгебр Ли. Некоторые сведения о проективных алгебрах

I п ш 17

Максималь. проект, алгебры Ли Составляющие преобразования Подалгебры Ли Связные лаке.проект, группы Ли

и.д; г.д. а. д. п.д.

простые, неразрешимые типы Бианки УШ, IX I р i Р3 ^A2sH2=iI SXi (Н;2) SPM) SU(2) so(3) S0C1.2)

Р2-абелевы, неабадевы ш р VaI3 Н1 =11 R ® В Е о V ТФ I

рт V/, Е , 1

Таблица 2; Классификация максимальных негомотетических проективных алгебр Ли двумерных псевдоримановых многообразий М, 2 непостоянной кривизны.

, Н^ , А{ в графе Ш означают максимальные подалгебры Ли и.л;, г.д., а.д; максимальной проективной алгебры Ли Рс . В графе 1У указаны связные группы Ли, имеющие Рг своей алгеброй Ли. Каждое двумерное псевдориманово многообразие постоянной кривизны К допускает проективную алгебру Ли Рд=> Ад =

= Нд = 13 при К Ф- О и Pg => Ag =э Н4 => 13 при К = 0.

В §28 устанавливается связь инфияитезимальных проектив ных преобразований поверхностей вращения с законами сохранения лагранжевих систем с одной степенью свободы и находятся сохра -

няющиеся величины. Обсуждаются возможные приложения к теории солитонов и б - моделям.

В шестой главе ( §§31 - 33 ) определяются и изучаются ияфинитезимальные почти проективные преобразования (почти про>-ективные движения), сохраняющие комплекс геодезических. Доказывается, что почти проективные движения образуют алгебры Ли, конечномерные в случае квадратичного комплекса и бесконечно -мерные в случае линейного комплекса геодезических. Почти проективные преобразования включают как частные либо предельные случаи произвольные проективные, аффинные и конформные преобразования. Проективное отображение переводит конформную группу в почти проективную группу ( §31 ).

Определяются алгебры Ли почти проективных движений, сохраняющих квадратичные комплексы геодезических в псевдоевкли -цовых пространствах Е п , п, > 4, в пространстве Де Ситтера [ §32 ) ив приводимых полях тяготения. Показывается, что условие существования почти проективной алгебры Ли в приводимом поле тяготения автоматически приводит к пространствам электровакуума - точным решениям уравнений Эйнштейна - Макс-зелла в пустоте ( §33 ).

Седьмая глава ( §§34 - 36 ) имеет прикладной характер. 3 ней исследуются теоретико - полевые модели в рамках единых теорий Эйнштейна, Боннора, Шредингера и классической = I зупергравитации в пространствах с симметриями в форме проек -гивных (аффинных) движений.

В §34 получаются классы точных решений полевых уравнений теорий единого несимметричного поля Эйнштейна и Боннора,обсуж-;ается единая теория Шредингера.

В §35 рассматриваются классическая У = I супергравита-дая, а также электромагнитное поле в рамках этой теории. По-1учены два класса точных решений уравнений поля Эйнштейна -»ариты - Швингера и Эйнштейна - Максвелла - Рариты - Швингера, шисывающих гравитационное поле, поле гравитино (частица со ¡пином 3/2) и электромагнитное поле. Значительная часть внк -гадок производилась на ЭВМ с применением системы аналитичес -:их вычислений вегосе . Составлены программы для вычисления -формы кручения, I-формы связности, 2-формы кривизны, скаляр-

яой кривизны и тензора энергии - импульса. Листинги этих программ и соответствующих вычислений воспроизводятся в п.2 §35.

В §36 обсуждается алгоритм вычисления характеристики Сегре билинейной формы на ЭВМ. В пп. 2,3 этого параграфа приводится программа для вычисления характеристики Сегре билиней ной формы в линейном пространстве и дается ее описание.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации.

~ Дало общее решение классической геометрической проблемы определения геодезически соответствующих псевдоримановых метрик произвольных сигнатуры и размерности.

Найдены все псевдоримановы метрики ^ и д ' с общими геодезическими на многообразии М-"', а также формы их римано-вых связностей, вид которых в области ^ ^^определяется характеристикой Сегре je симметричной билинейной формы а. , связанной с g и преобразованием Н.С.Синюкова. В случае je = ... /пс] , т.е. в случае элементарных делите -лей с простыми базисами, указана общая структура тензорных полей а и g' в области Г и в окрестности каждой точки ж £ v определена каноническая карта, в которой приведены явные выражения для координат этих полей. В случае кратных базисов нахождение метрик £ и сведено к задаче опре-

деления метрик, допускающих параллельные симметричные билине! ные форш, общее решение которой было дано ранее (П.А.Широко! А.П.Широков, Г.И.Кручкович, A.C.Солодовников).

- Определены все псевдоримановы многообразия L ло-реяцевой сигнатуры п- > 3 измерений, допускающие алгебры Ли инфинитезимальных проективных (в частности, аффинных) преобразований, более широкие, чем алгебры Ли инфинитезимальных гомотетий. Указаны метрические формы этих многообразий, а также базисные векторные поля и структурные уравнения максимальных проективных и аффинных алгебр Ли.

- Решена проблема Ли, т.е. определены все двумерные

л

псевдоримановы многообразия UL , допускающие инфшштезималь ные яегоыотетические проективные преобразования, и дом каждо го из них - максимальная проективная алгебра Ли, включая го-

лотетическую и изометрическую подалгебры. В подходящих ло-{альных координатах указаны метрики, базисные элементы и структурные уравнения проективных алгебр Ли.

- Введено понятие о конциркулярных движениях и исследована их связь с проективными и аффинными движениями. Доказа-ю, что специальные кояциркулярные векторные поля порождают шгебры Ли инфинитезимальных изометрических, конфоршых, аф-шнных и проективных преобразований с характерной "цепной" ¡труктурой. В пространствах постоянной кривизны ука -1анные поля порождают максимальные изометрические, конформ -[ые, аффинные и проективные алгебры Ли. Решена задача о про-¡ктивных и аффинных движениях конциркулярного вида на псевдо-)имановых многообразиях .

- Введено понятие об инфинитезимальных почти проективных реобразованиях (почти проективные движения), сохраняющих омплекс геодезических. Показано, что почти проективные дви-ения образуют алгебры Ли, конечномерные в случае квадратич-:ого комплекса и бесконечномерные в случае линейного комп-екса геодезических.

Определены алгебры Ли почти проективных движений, сохра-яющих квадратичные комплексы геодезических в псевдоевклидо -ых пространствах Е л , гь^- 4, в пространстве Де Ситтера и приводимых полях тяготения. Показано, что условие существо-ания почти проективной алгебры Ли в приводимом поле тяготе-ия автоматически приводит к пространствам электровакуума.

- Исследованы групповые свойства уравнений геодезичес-их пространств о аффинной (в частности, римановой) свя-яостыо. Установлен проективный характер точечных симметрий равнений геодезических с параметризацией Картана. Обнаруже-а связь между инфияитезимальными симметриями уравнений гео-эзических с аффинной параметризацией в <М,Л и конциркуляр-зми (конкуррентными) и параллельный векторными полями, а акже аффинными и специальными проективными движениями- (кол-шеации кривизны).

- Показано, что размерность % группы симметрий систе-J обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с 1,-1 неизвестними не превосходит число ^ + 2 л, . При

п = 2 отсюда следует теорема Ли.

- Найдена размерность максимальной группы симметрий динамических уравнений Ньютона в и показано, что эта группа совпадает с проективной группой ( -v + I) - мерного плоского пространства. При ы = 3 максимальная группа сим -метрий уравнений Ньютона имеет размерность 24 и содержит в качестве подгруппы группу Пуанкаре, лежащую в основе специальной теории относительности.

- Установлена также связь ияфияитезимальных проективных преобразований псевдориманова многообразия ( М-п, g ) с группой симметрий гамильгоновой системы и преобразованиями Ли - Беклуяда уравнения Гамильтона - Якоби с гамильтонианом Ж л ) =

- Показано, что группы аффинных и проективных преобразований псевдоримановых пространств являются группами обобщенных движений в смысле Н.Х,Ибрагимова и найдены границы дефектов пространств относительно этих групп. Проективные преобразования рассмотрены также в рамках понятая обобщенного движения, распространенного на пространства с аффинной связностью.

- Найдены волновые решения полевых уравнений единых теорий Эйнштейна и Боннора, а также уравнений Эйнштейна - Рари-ты - Швингера и Эйнштейна - Максвелла ~ Рариты - Швингера, описывающих поля гравитонов, гравитино и электромагнитное пола в рамках простой супергравитации.

- Составлены пакеты программ для вычислений в простой супергравитации с применением системы аналитических вычислений вевдсе и программа для вычисления характеристики Сег-ре билинейной формы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Аминова A.B. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений // Докл. АН СССР.- 1971.- 122, М.-С.807-

809.

2.-0 бесконечно малых преобразованиях, сохраняющих траектории пробных тел // Препринт ИТЕ АН СССР 71-85Р.-Киев,1971.-

- 21 о.

3. - Проективно - групповые свойства некоторых римановых пространств // Тр. Геометр.семин.Всес.ин-т науч. и техн.ин -форм. АН СССР. - 1974. -т';6 - С.295 - 316.

4. - Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности // Тр.Геометр.семия.Всес. инт науч. и техя.информ.АН СССР.- Т.6.-С. 317-346.

5. - Проективные группы в пространствах-временах, допускающих два постоянных векторных поля // Гравитация и теория относительности.- Казань, 1975(1976).- HO-II.- С.9-22.

6.-0 конциркуляряых движениях в римановых пространствах // Гравитация и теория относительн.- Казань, 1975(1976).-

№ 10-11,- С. 127-138.

7. - Определение бесконечно малых почти проективных преобразований // Гравитация и теория относительн.-Казань, 1976.-№ 13.- С. 3-9.

8. - Конциркулярные векторные поля и групповые симметрии в мирах постоянной кривизны // Гравитация и теория относи -тельн.- Казань, 1378.-й 14-15.- С. 4-16.

Э. - Примеры групп почти проективных движений // Гравитация и теория относительн.-Казань,1978.-№14-15.-С.138-142.

[0.- Группы почти проективных движений пространств аффинной связности//Изв.вузов.Математика.-1979.-№ 4,- С. 71-75.

[I,- Группы почти проективных движений в приводимых полях тяготения // Гравитация и теория относительн.- Казань, 1980.-№ 17. - С. 3-II.

[2.- Об одном классе проективно-подвижных пространств. I // Гравитация и теория относительн.- Казань, 1981.- № 18. -С. 3-10.

[3.- О косоортогональяых реперах и некоторых свойствах параллельных тензорных полей на римановых многообразиях // Изв. вузов. Математика,- 1982.- № 6.- С. 63-67.

'А,- 0 подвижном косоортогональном репере и одном типе проективных движений римановых многообразий. // Изв. вузов. Математика.» Казань, 1982.- №.- С. 69-74.

:5,- 0 нахождении Л -пространств Лоренца // Гравитация и теория относительн. - Казань, 1983.- J6 19,- С.3-8.

зо

16.— Об уравнении Эйзенхарта и первых интегралах уравнений геодезических на римановых- многообразиях лоренцевой сигнатуры // Изв.вузов. Математика.- 1983,- Ж,- С. 12-26.

17. - 0 полях тяготения с первым квадратичным интегралом уравнений геодезических // Гравитация и теория относит.-Казань, 1983,- № 20. - С. 3-15.

18. - Определение лоренцевых Я -пространств типа {2(1..I)..) // Гравитация и теория относительн.-Казань,1984. - № 21. - С. 3-7.

19. - 0 проективно-групповых свойствах римановых пространств лоренцевой сигнатуры // Изв.вузов.Математика.-1984.- |{6.-С. 10-21.

20. - Негомотетические проективные .движения в обыкновенных

/-пространствах лоренцевой сигнатуры // Изв.вузов. Математика.- 1985,- М.- С. 3-13.

21. - Алгебры Ли проективных движений и механические законы сохранения в двумерных мирах специальной структуры //Гравитация и теория относительн.-Казань,1985.-^22.-С. 3-12.

22. - Поверхность вращения как динамическая модель лагранже-вой системы с одной степенью свободы // Гравитация и теория относительн. - Казань, 1985,- № 22.- С. 12-30.

23. - Алгебры Ли проективных движений в Я- -пространствах типа 13} //Изв.вузов.Математика.-1987.-ЯЗ.- С.68-71.

24. - 0 проективно-групповых симметриях фридмановских миров

и их многомерных обобщений - обыкновенных / -пространств типа {1(1..1)} //Изв.вузов-Математ.-1987.-Ш2.-С. 66-68.

25.— О двухвалентных тензорах Кяллияга // Гравитация и теория относительн.-Казань, 1988.- №25.~ С.3-16.

26. - Группы симметрий в общей теории относительности //Гравитация и теория относительн.- Казань,1988.~№25.-С.16-23.

27? - Об интегрировании ковариантного дифференциального уравнения первого порядка и геодезическом отображении римановых пространств произвольной сигнатуры и размерности // Изв. вузов. Математика.- 1988,- № I.- С.3-13.

28. - Алгебры Ли проективных движений обыкновенных /С -пространств лоренцевой сигнатуры // Изв.вузов. Математика.-С.3-12.

29. - 0 группах инвариантности уравнений движения пробных тел в изотропных космологических UH -моделях // Гравитация и теория относительн.- Казань,1989.-№26.-С.93-101.

30. - 0 проблеме Ли, проективных группах двумерных римановых поверхностей и солатонах // Изв.вузов. Математика.- 1990.

- В.- С.3-10.

31. - 0 симметриях многомерных моделей // Гравитация и теория относигельн.- Казань, 1990.- № 27.- С. 46-54,

32. - Группы преобразований римановых многообразий // Проблемы геометрии. Т.22 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).

- М., 1990. - С.97-165.

33. - 0 К-простраяствах и пространствах V{YL) // Изв.вузов. Математика. - 1990,- № II.- С.75-78.

34. - Алгебры Ли проективных; движений пространств (0) ло-реяцевой сигнатуры // Изв.вузов. Математика.-1990.- ЖЕ2.-C.3-I3.

55. - Алгебры Ли проективных движений пространств ^(К) ло-ренцевой сигнатуры // Изв.вузов. Математика.-1991.~ № .С.

16. - Проективные преобразования как обобщенные движения Н.Х. Ибрагимова // Казан.гос.ун-т,- Казань, 1991. - 7с.- Биб-лиограф.5 назв.- Рус. - Деп.в ВИНИТИ 22.04.91,.'Я707-В91.

17. - Проективные преобразования как симметрии дифференциальных уравнений // Казан.гос.ун-т.- Казань, 1991,- 18 с.-Библиогра$.26 назв.-Рус. - Деп. в ВИНИТИ 22.04.91,.И706-В91.

18. - .Кошарова И.И. Об использовании системы reduce для нахождения точных решений уравнений Эйнштейна-Раритн -Швингера - Максвелла // Гравитация и теория относительн.-Казань, 1991. - Й28.- С.5-7.

9. - .Монахов Ю.В. Теории единого несимметричного поля Эйнштейна, Боннора и Шредингера в пространстве с симметрия-ми // Гравитация и теория относительн.- Казань, 1977. -М2,- C.3-I6.

0. - .Мухамедов A.M. Группы почти проективных движений д-мер-них (псевдо)евклдцовых пространств // Изв.вузов. Математика. - 1980.- Ml. - С.5-И.

1. -, - Группы почти проективных движений в пространстве Де

Ситтера // Гравитация и теория относит ельн,-Казань, 1980

- Мб.- С. 3-9.

42. - Догулева Т.П. Проективные и аффинные движения, опреде ляемые конциркулярными векторными полями // Гравитация и теория относительн. -Казань, 1975(1976).-Я0-П.-С.139-15

43. - Aminova a.v. The groups of symmetries in the spaces

of general relativity // Теор.-группов.методы в

мех. Тр. Междунар.' симпоз.-Новосибирск,1978.- С.24-33.

44. - hew type of space - time symmetries - ^гоирз oi nc-arl;, projective notions // Contributed papers of 10th Intern. Conf, or. General Kelativ. дао. Grayit. Padova, 4-9 Jul; 1983. - Padova, 1985.- Vol.1. - C.166 - 167.

45; - Space - time symmetry groups generated by cor.circular vector fields // Contributed papers of 10th Intern. Colon general.Eelativ. and Gravit. Padova, 4-9 July,1985

- Vol.1.-C. 168 - 170.

46. > The boost (revolution) surface as dynamic.model of ha monie oscillator. Conservation laws // Proc. 11th Int. Conf. oil General Eelativity and Gravit. Stockholm,July, 6 - 12, 1986. - Stockholm, 1986. - Ip. 47 ~ On.skewnormai frame and second order Killing tensors. Proc. 11th Int. Conf. on General Eelativity and Gravit. Stockholm, July, 6 - 12, 1986. - Stockholm, 1986.- 1p.

48. - Spacetimes with sffine and projective group symmetric Proc, of The Fifth Marcel Grossman® meeting. Perth, West Australia, Aug.,8 - 13, 1988. - 1p.

49. - On skew-orthonorcal frame and"parallel symmetric bil: ar form on Eiemannian manifold// Tensor.-1987.-IV45.-C,

50. - On geodesic.mappings of the.Eicmannian spaces // Ten; - 1987.- T.46. - C. 179 - 186.

Аминова Ася Васильевна ' Инвариантно - групповые методы в теории проективных отображений пространственно - временных много — образий'.

Специальность ОХ.ОХ.ОЗ — математическая физика.

Подписано в печать 12.07.91г. Заказ № 165. Тираж 100 экз._

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН СССР