Семейства оснащенных коллинеаций многомерных проективных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИЛ1ЕНИ В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

Л1АЛАХОВСКИЙ Николаи Владиславович

СЕМЕЙСТВА ОСНАЩЕННЫХ КОЛЛИНЕАЦИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань —

1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Калининградского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Б. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Остиану Н. М.;

доктор физико-математических наук, профессор Широков А. П.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится 23 декабря 1993 г. в 14 часов на заседании специализированного совета по математике К 053.29.05 Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина, 18, корпус 2, аудитория 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан «_»_199 г.

Ученый секретарь специализированного о^0^

профессор

Б.Н.Шапуков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация относится к дифференциальной геометрии точечных соответствий и полей геометрических объектов на многообразиях.

Исследуются Л -параметрические семейства П„ коллинеа-ций Я"; ^ Л -мерных проективных пространств, отобража-

ющих заданную точку /40& Р., в заданную точку Тг(Ао)-4е)

причем точки До и описыьают /1, -мерные области.

Теория дифференцируемых отображений многообразий является одним из важных разделов современной дифференциальной геометрии. Наиболее глубоко исследованы точечные отображения пространств Ш • В работах Чеха [*21 , В.В.Рыжкова [I], Ю.В.Павлюченко [3], М.ВДрагнева [ч], разработана общая теория точечных соответствий проективных пространств. В.Т.Базылев [ 5], связал теорию точечных отображений с теорией сетей и теорией многомерных поверхностей. В.С.Болодурин Гб], изучил геометрию точечных соответствий двух гиперповерхностей различных пространств.

В последнее десятилетие исследовались дифференцируемые отображения пространств с различными образующими элементами. Б.А.Андреев [т] , Г 8 ] изучил локально-биективные отображения

где я(р>Т) г

пространство неинцидентных нуль-пар пространства Рп , Я\Р>Чг)-пространство, образующим элементом которого является неинцидентная пара, состоящая из точки р и гиперквадрики . Каждое из отображений у> я f порождает два отображения ^ и ^ (ч=/Д);

\iPhl

Для отображений У^ , ^ определены понятия, аналогичные понятиям точечных соответствий. А.Андреев установил [9] для точечного отображения У; Р^ Рн существование для каждой пары соответствующих точек четырех отображений многообразий гиперквадрик из Р„ в Рл , дал им геометрическую характеристику и отметил их связь с характеристическими направлениям отображения у и порожденной этим отображением связностью.

В.В.Махоркин ГюЗ рассмотрел многообразия фигур в произведении Р^ у. Рл проективных пространств.

В.М.Овчинников Си], изучил дифференцируемое отображение

^ многообразия квадратичных элементов ¿"127 в точечное проективное пространство Рн . Найден основной фундаментальный объект отображения и аналитически выделена охватываемая им система тензоров и квазитензоров.

Однако семейства дифференцируемых отображений многообразий изучены недостаточно. Теория семейств коллинеаций проективных пространств, играющая важную роль в построении геометрических интерпретаций полей геометрических объектов точечных отображений, практически не рассматривалась. Настоящая диссертационная работа восполняет этот пробел.

Целью настоящей работы является инвариантное построение методом ГЖЛаптева продолжений и охватов дифференциальной геометрии (I -параметрических семейств Пп оснащенных коллинеаций "й".'!Рц многомерных проективных пространств, т.е. коллинеаций, каждая из которых отображает заданную точку А,^ в заданную точку £ Р„ , причем точки и описывают Я -мерные области з соответствующих проективных пространствах.

Так как оснащенная коллинеация является фигу-

рой ранга //•= 3 Ч Ги! В ПрЯМОМ ПрОИЗВбДбНИИ * Рп проективных пространств, то семейство Пп можно рассматривать как 1 -мерное многообразие фигур 1Г в прямом произведении двух -мерных проективных пространств.

Методы исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана с использованием инвариантного теоретико-группового метода Г.Ф.Лаптева. Рассмотрения носят локальный характер. Все встречающиеся функции и дифференциальные формы предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Теоретическое и практическое значение. Результаты работы носят теоретический характер. Построение в проективном пространстве инвариантных нормализации, различных ассоциированных геометрических образов с помощью задания семейства невырожденных оснащенных коллинеаций этого пространства на другое проективное пространство одинаковой размерности могут быть использованы при построении обойденных пространств с линейными связнос-тями, многообразий в них, а также для изучения дифференцируемых отображений многообразий фигур с различными образующими элементами.

Материалы могут быть включены в разделы спецкурсов по диф-

ференциальной геометрии по близкой тематике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского университета, на ХХП - ХХУ научных конференциях Калининградского университета, на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" и на научном семинаре при кафедре, геометрии Казанского университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [9]. Статьи написаны без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 97 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разделенных соответственно на б, б и 10 параграфов, и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕШАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана краткая историческая справка, обоснованы актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов и изложено основное содержание работы.

В первой главе, носящей реферативный характер, рассмотрены дифференцируемые точечные отображения проективных пространств. Так как исследуемое в диссертации семейство П.т оснащенных кол-линеаций индуцирует дифференцируемое точечное отображение Ч> проективного пространства на проективное пространство Рп , то результаты первой главы существенно используются в последующих главах.

В § I рассматривается локальное дифференцируемое биективное отображение (диффеоморфизм) проективного пространства на проективное пространство Рп ( П - размерность пространства). В реперах {Ау / {<[,} ( У О, я), где А0 е ?л отобра-

жается в Я0е рп , продолженная дважды система уравнений Пфаффа от об ранения V имеет вид:

В §? 2, 3 рассматриваются поля .фундаментальных.геометрических объектов отображения V К, соответственно первого, второго и третьего порядков. Тензор

П ={ А}} определяет связку касательных коллинеа-

ций отображения У> : • ч

, а; * ~ „

& У 1 * г*

и взаимный тонзор А , где Х^ %' ФуВДаментальный объект Д'Чохватывает квазитензор {/Д где

В §§ 2, 3 дается определение характеристических направлений и индикатрисы отображения У .

Если пространство р„ нормализовано, т.е. в нем задана инвариантная гиперплоскость, не содержащая точку (?0 С14] , то фундаментальный объект определяет в инвариантное алгебраическое многообразие У : .

называемое индикатрисой отображения у . Индикатриса 7 содержит точку и состоит в общем случае из 2 точек пространства . Она задает в пространстве ^ множество 2 - 1 характеристических прямых А0 М , где /Чб ^ и не. совпадает с точкой Аи .

В § 4 рассматриваются многообразия

гиперквадрик в проективных пространствах /?„ и содержащих соответственно точки й„ и Ис . Отображение у; Фп-+Р„ во второй дифференциальной окрестности каждой пары (А» а») соответствующих точек порождает дифференцируемое отображение

V Ж«.;-* имл

пространств гиперквадрик, т.к. для любой гиперквадрики пространства рг1

гиперквадрика С

рквадрике ^£■ соот: катриса отображения ^г у ; где ставит в соответ-

определена единственная гиперквадрика прос

ранстве % : ■

а; С- х = а

причем распавшейся гиперквадрике ^^соответствует инди-

ствие каждой точке Рп инцидентную ей гиперплоскость пучка о^ гиперплоскостей, определенного распавшейся гиперквадрикой ^ .

Локальная коллинеацда К0, принадлежащая связке касательных в точке к отображению коллинеаций УК(Оч)}определяется в однородных проективных координатах уравнениями

Она порождает отображение ^: ^</*)-»3£М,^многообразий гиперквадрик, определяемое соотношениями:

8мг = ^ I/ - с1 ) С3 = \у с,-

Так как отображение Ко определяется отображением У , то задание отображения у порождает два отображения £ ^ : ^^многообразий гиперквадрик. Вторая глава посвящена построению шлей геометрических объектов на семействе Пм оснащенных коллинеаций :

а'. X*'

В § I дается определение семейства П* как Ц -параметрического семейства оснащенных невырожденных коллинеаций Т: в,, когда точки А0£ (Р* и описывают -мерные об-

ласти в соответствующих проективных пространствах. Получена система уравнений Пфаффа семейства П„ и построены его фундаментальные объекты, возникающие при последовательном продол- . жении системы. Фундаментальный объект Г^-{М^Р^,^Над/йы.! второго порядка определяет все основные поля геометрических объектов, исследуемые в диссертации.

В § 2. рассмотрены тензоры /Х?}, и взаимные им тензоры £ Доказано, что геометрический объект

где =

является тензором, определяющим в инвЗриаетную гиперпло^ кость, содержащую точку Аь • Тензоры А,-и задают в пространстве рп инвариантные гиперплоскости, содержащие точку 00 . Тензор ^ = определяет в пространстве (рп инвариантное подпространство размерности со-

держацее точку До :

Xх=0-

Подпространство характеризуется тем, что сужение

коллинеации на принадлежит связке коллинеаций

Р„ , являющихся сужением на коллинеаций ^ С&у).

касательных к точечному отображению у .

В § 3 рассмотрены аффиноры ,-'Лу

• Показано, что аффиноры ^ *} определяют в точке Ао связки проективных преобразований пространства О» , имеющих в точке Ас касание первого порядка соответственно с преобразованиями и . Аффиноры { йк.} и (К) определяют в точке Ок связки проективных преобразований пространства Рп , имеющих в этой точке касание первого порядка с преобразованиями >Х(аг) « Я-"' и где символами й*1 и - обозначены обратные кО" и З^Л,)-' проективные преобразования . (

В § 1 определены фокальные гиперповерхности £ и $ в пространствах ?« и д я фокальные направления семейства Л„ . Точка ( Х**')* называется фокальной точкой коллинеации

•/»"с Л« » если существует направление Л?, где -параметрическая форма, вдоль которого она принадлежит двум смежным коллинеациям. Гиперповерхности в проективных пространствах Й и рп , описанные проекциями фокальных точек коллинеации 0- па соответствующие пространства, называются фокальными гиперповерхностями этих пространств порожденными коллинеацией 7Г € Пп . Семейство П„ оснащенных коллинеаций индуцирует в какдом из проективных пространств Р„ и рп П -параметрическое семейство аягебраических гиперповерхностей порядка 2П . Доказано Стеорема 4Л), что фокальная гиперповерхность пространства 9Я содержит точку Л» тогда и только тогда, когда (У,!г)<П , т.е. когда семейство П* вырождается.

В § 5 исследованы семейства с нулевым тензором т.е. когда/1^ = . Для них построеш тензоры

~~ в пространстве ^ и <{, А/у с пространстве р„ .

Доказано, что гиперплоскость Я^Х' является подпространством, сужение на которое коллинеации и локальной коллинеации Чеха индуцированного точечного отображения ^ совпадают.

Гиперплоскость ^л1 пространства рп является образом

б

этой гиперплоскости при коллинеации 7Г .

Обращение тензора -{Ну} в тождественно нулевой тензор выделяет подкласс семейства Ц,с коллинеации ЦТ , являющихся локальными коллинеащяия точечного отображения V:

В § б построены в пространствах % и р„ инвариантные поля гиперквадрик и инвариантные поля гиперплоскостей, порок-денные семейством

8 третьей главе построены и геометрически охарактеризованы инзариатные нормализации проективных пространств (Я и />„ , определяемые невырожденным семейством П* и индуцируемые ими связности.

Доказано (§ I), что системы величин

являются квазитензорами. Каждый из них определяет в пространстве р„ для каждой точки инвариантную гиперплоскость, не инцидентную точке :

/Н;Х1'+1-0> ¿».ЗГ* V/ = О

Назовем эти гиперплоскости нормалями ^ и ^ пространства Р„ . Если семейство П„ не вырождается, то эти гиперплоскости определяют з пространстве рь пучок инвариантных нормалей р^) :

( + о} <Г6 /?

Теорема 1.1. Поле фундаментального объекта второго порядка ¡1={Г1 ■ } невырокденного семейства П„

оснащенных коллинеации 7Г; Я,-»А, определяет пучок инвариант-

«ЛХЬЯего

ных нормализации/из пространств и рл .

Отображение определяет для каждой точки Р„ пучок инвариантных нормалей в Я. .

= О.

В § 2 дана геометрическая характеристика нормалей д=д(0) и Ы-Ы(0) ,/<=¡>('1) И М - VII). Пусть Ко -локальная коллинеация Чеха СЯЗ •

Теорема 2.Г. Нормаль 0 является неподвижным элементом преобразования , сопряженного к преобра-

зовании У пространства ри . ^

Следств и е. Нормаль ^-^/¿»с.'Ц, пространства 1» в точке А0 является неподвижным элементом преобразования

* П* *■ 4

Я'. , сопрякенного к преобразованию К прост-

ранства *р„ . (здесь через , обозначены двойственные к , ря пространства).

Теорема 2.2. Нормаль /* является неподвижным элементом преобразования , сопряженного к преобразованию Я*1: , где /^"Я? - локальная коллинеация отображения V» 32 . _ Здесь символом обозначена коллинеация ^л •

V'-

1-ЦсХ*

В § 3 построены и геометрически охарактеризованы канонические реперы семейства . Вершины репера | расположены на нормали р , вершины Ау - на индикатрисе

5 индуцированного точечного отображения ф , причем касательные к линиям i^=■if(Tэ) , где Ту - линии в огибаемые прямыми А» Ау , проходят через точки . Индикатриса, возникающая в при нормализации пространства нормалью \)[{Г) называется ^ - индикатрисой семейства П„ . В общем случае - индикатриса является нуль-меркым алгебраическш многообразием, состоящим из 211 точек пространства , включая Ае

В § 4 доказано (теорема 4.1), что - индикатриса

является объединением множества -главных точек и множес-

тва состоящего из точки Ау . Каждой характеристической прямой С поставлено в соответствие характеристическое число (Г . "*"?/ с ^

У В § 5 исследуются аффинные связности , о / С-1 ")() , порожденные семейством П„ . Найдены структурные уравнения соответствующих пространств аффинной связности, тензоры кривизны и кручения. Дана геометрическая характеристика параллельного переноса в каждом из этих пространств.

В § 6 рассматриваются геодезические линии ассоциированных связностей.Доказано (теорема б.Т), что геодезические линии связности Г являются прообразами прямых пространства при отображении V

В § 7 определены характеристические, квазихарактеристические направления, индикатрисы и главные точки для индуциру-

емых точечных отображений рассмотренных пространств аффинных связностей. Дана их геометрическая характеристика.

В § 8 изучены семейства Г}п оснащенных проективных преобразований Т пространства Я , т.е. случай, когда пространства и совпадают. Определены нормализации в областях А? и пространства и порожда-

емые ими связности.

В § 9, 10 рассмотрены семейства П-, и П^ . Показано, что для семейства точка А0 является двойной фокальной точкой.

Научная новизна и основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построены инвариантные тензорые и квазитензорные поля на семействе Пя , дана им геометрическая характеристика, определены и изучены фокальные многообразия, порожденные семейством П„ ,

2. Найдены и геометрически охарактеризованы пучки нормализации проективных пространств & и р„ , порожденные семейством П„ .

3. Определены аффинные связности, индуцируемые в проективных пространствах семейством П* . Найдены тензоры кручения и кривизны этих связностей и геометрически охарактеризованы через ассоциированные отображения параллельные переносы и геодезические линии соответствующих пространств.

4. Изучены семейства П„ оснащенных проективных преобразований пространства <РП . Определены нормализации в областях Ц Э Ав и ) пространства и порождаемые ими связности.

5. Исследованы однопараметрические и двупараметрические семейства П1 , П^ коллинеаций проективных прямых и плоскостей и ассоциированные с ними геометрические образы.

Лит ература

1. Р ы ж к о в В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Алгебра. Топология. Геометрия. Итоги науки / ВИНИТИ. М., 1971.-С.153-174.

2. Ч е х Э. Проективно-дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами. I // Чехосл. матем. ж. 1952. Т.2. C.9I-IC7.

3. Павлюченко Ю.В. Об одном случае наложимости точечных соответствий между проективными пространствами // Некоторые краевые задачи обыкн. дифференц. уравнений. М., 1970." С.155-164.

4. Драг нев М.В. О точечных соответствиях между двумя Рп с гармонической характеристической конфигурацией // Извести вузов. Матем. 1969. Ш 9."С.23-29.

5.Базылев В.Т. Многомерные поверхности, сети и дифференцируемые отображения пространств // Вопросы дифф. геометрии / МГПИ ии.В .И.Ленина. М., 1970. T.I.- С.28-40.

6. Болодурин B.C. О точечных соответствиях между гиперповерхностями проективных пространств // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ. М., 1969. Т.2.-С.55-79.

7. Андреев Б.А. О дифференцируемом соответствии между точечным пространством и пространством пары ( Р, // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. - Калининград, 1975. - Вып.6. - С.5-18.

8. Андреев Б.А. К геометрии дифференцируемого отображения i: Рт-*Р„ (М>п) //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, I987. -Вып.18,- С.5-9.

9. Андреев Б.А. Отображения многообразий гиперквадрик, порожденные точечным соответствием // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, Г990. -Вып.21. -С.8-12.

ТО. М а х о р к и н В.В. О многообразиях фигур в произведениях проективных пространств // Тезисы докл. 4 респ. конф. математиков Белоруссии. Проблемы разв. прикл. математических исследований. -Минск, 1975. Ч.2.-С.84.

11. Овчинников В.М. Дифференцируемое отобра-яение поверхности в многообразие квадратичных элементов // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, 1971. -Вып.2. -С.38-42.

12. Малаховский B.C. Поля геометрических объектов на многообразии квадратичных элементов // Тр. Томск, ун-та. 1964. Т.176. С.IТ—19.

13. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ. М., 1969. С.179-206.

14. Н о р д е н А.П. Пространства аффинной связности. М.:'Наука, 1976.

Публикации автора по теме диссертации

1. Малаховский Н.В. О семействах коллинеаций многомерных проективных пространств // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, 1989. -Вып.20. -С.50-57.

2. Малаховский Н.В. О нормализациях проективных пространств, порожденных П -параметрическим семейством оснащенных коллинеаций // Тезисы докл. ХХП науч. конф. проф.-препод, состава, науч. сотр. и студентов КГ7. Калининград, 1990. С.93.

3. Малаховски Я Н.В. Нормализации проективных пространств и характеристические числа, порожденные семейством коллинеаций // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, 1990. -Вып.21. -<3.50-56.

Малаховский Н.В. О фокальной кривой проективной плоскости, порожденной двупараыетрическим семейством оснащенных коллинеаций // Тезисы докл. ХХП науч. конф. проф.-препод, состава, науч. сотр. и студентов КГУ. Калининград, 1991. С.93.

5. Малаховский Н.В. Двупараметрические семейства коллинеаций проективных плоскостей // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун^г. -Калининград, 1991. -Вып.22. -С. 6672.

6. Малаховский Н.В. Параллельные переносы, порожденные семейством оснащенных коллинеаций многомерных проективных пространств // Тезисы докл. ХХ1У науч. конф. проф.-препод. состава, науч. сотр. и студентов КГУ. Калининград, I992.-C.I50.

7. Малаховский Н.В. Семейства оснащенных коллинеаций многомерных проективных пространств // Тезисы докл. Междунар. науч. конф. "Лобачевский и современная геометрия", 4.1. -Казань, I992.-C.57.

8. Малаховский Н.В. Аффинные связности, порожденные семейством коллинеаций // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. со', науч. тр. / Калинингр. ун-т. -Калининград, 1992. -Вып.23. -С.53-59.

9. Малаховский Н.В. Семейства оснащенных коллинеаций с нулевым оснащающим тензором // Тезисы докл. ХХУ науч.- конф. проф.-препод, состава, науч. сотр. и студентов КГУ. Калининград, I9S3.-C.I56.