Проективная геометрия на алгебраических многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Двойные отношения на алгебраических многообразиях

§ I. Определения, обозначения, соглашения

§ 2* Двойные отношения, связанные с полилинейными формами.

§ 3. Двойные отношения на параболических пространствах

§ 4. Модели компактных групп Ли, связанные с обоб-щенно-йордановыми операциями первого и второго порядка.

§ 5« Классификация неприводимых локально транзитивных групп Ли.

ГЛАЁА 2. Преобразования, допускающие отделимый рациональный инвариант

§ I. Основные определения, соглашения, леммы •

§ 2. Отображения с замкнутым графиком.

§ 3. Отображения, допускающие отделимый рациональный инвариант.

§ 4. Теоремы продолжения.

§ 5» Параметризация групп вида Autv.

ГЛАВА 3. Свободные семейства подмногообразий

§ I. Вспомогательные конструкции и леммы

§ 2. Автоморфизмы свободных семейств подмногообразий

ГЛАВА 4, Проективная геометрия на параболических пространствах

§ I. S ~ структура на параболических пространствах

§ 2. Плоские геометрии на некоторых параболических пространствах.

С позиций эрлангенской программы Клейна первостепенный интерес представляет построение содержательных геометрических объектов с заданной группой автоморфизмов. Классическая геометрия дает ряд известных примеров. Так группа проективных преобразований проективной прямой является группой автоморвизмов двойного отношения, движения евклидова пространства являются автоморфизмами его метрики, проективные преобразования плоскости - автоморфизмы плоской проективной геометрии, то есть структуры, заданной на плоскости семейством прямых и т.д. В связи с изучением различных групп преобразований, в частности, при построении моделей особых простых групп Ли различными авторами изучались многочисленные аналоги классических геометрических объектов. Так в работах [3,8, 9*13, 15*17, 30-32] изучались обобщения двойных отношений на однородные пространства с параболическими стационарными подгруппами, а в работах [ 7,21*23,26,27,28J , посвященных, в основном, построению проективных пространств над алгебрами, изучались различные аналоги плоской проективной геометрии.

Таким образом накоплен большой запас конкретных примеров разного рода инвариантных геометрических объектов для ряда конкретных групп преобразований, причем применяемые в этих примерах конструкции объектов и методы их исследования весьма различны даже для однотипных объектов. Поэтому возникает необходимость получения общих конструкций возможно более обозримых инвариантных объектов того или иного рода на интересных классах пространств3^, а также разработка методов, позволяющих исследовать авто

Под пространством в настоящей работе понимается гладкое многообразие, снабженное группой Ли преобразований. морфизмы достаточно широких классов геометрических объектов.

Решение этих задач представляет и принцшшальннй интерес, так как позволяет единообразно наполнить геометрическим содержанием изучение сразу целых классов групп преобразований.

Характерным примером к сказанному является предложенная П.К.Рашевским конструкция инвариантной аффинной связности на произврльном редуктивном пространстве ([24]). Различные классы инвариантных структур дифференциально геометрического характера довольно интенсивно изучаются и в настоящее время (например, [18] ).

Особый интерес с точки зрения изучения групп Ли преобразований (и в частности, для построения моделей простых групп Ли) представляет построение инвариантных объектов, имеющих "глобаль ный" характер, В частности, интересно выяснить на каких пространствах можно построить геометрические объекты аналогичные таким классическим объектам как метрика на евклидовом пространстве или семейство всех прямых на плоскости.

Указанные объекты и многие другие, изучающиеся в классической геометрии определяются заданием на подходящих комплексных или вещественных алгебраических многообразиях структур одного из следующих двух типов.

Структура первого типа представляет собой рациональную функцию У = iP.от фиксированного числа гь переменных, заданную вообще говоря только для наборов точек общего положения и разделяющую точки многообразия в том смысле, что для любых различных сс, к у, можно найти такой набор точек z - (2z,. Zn.) , что ф причем обе части неравенства определены в некоторой окрестности наборов ( х, а ) и ( 11 f 2) соответственно. Такие структуры будут в дальнейшем для удобства изложения называться 9? - структурами (порядка п, )•

Наиболее известные примеры Ф - структур - это полилинейные формы на векторных пространствах, прежде всего скалярные произведения и форма объема, а также дврйное отношение на проективной прямой.

Структура второго типа - это такое семейство подмногообразий, что через любую гь -ку общего положения проходит единственное подмногообразие семейства. Такие структуру будут ниже называться свободными семействами или $ - структурами (порядка п, ).

Примерами - структур являются различные проективные плоскости над алгебрами, семейство окружностей и семейство всех кривых фиксированного порядка на плоскости и т.д.

В связи с построением моделей полупростых групп различными авторами рассматривался ряд интересных инвариантных ф - структур на многих однородных пространствах (см. [3,8,9t-I3,15,16.17, 30,31,32] ). В 1974 г. Й.Л.Кантору удалось получить общую конструкцию, позволяющую получать в качестве частных случаев практически все известные инвариантные Ф - структуры на самосопряженных параболических пространствах (см.[15,1б] ). Именно, он обобщил на произвольные параболические пространства классическую конструкцию двойного отношения 4-х точек на проективной прямой. Что касается $ - структур, то они рассматривались в ряде работ, посвященных, в основном, исследованию проективных геометрий или конформных геометрий над различными алгебрами (см.£7,21-23,25,27,28] ). В частности, рассматривая проективные плоскости над разными вариантами алгебры октав удалось интерпретировать вещественные формы группы Ли типа Е как группы

- 7 колинеаций плоских проективных геометрий.

Следует отметить, что способы построения проективных геометрий над разными неассоциативными алгебрами довольно существенно различаются между собой и мало походят на классическую конструкцию. Что до способов вычисления группы автоморфизмов, то и здесь все основано в значительной степени на специфике алгебры, над которой строится геометрия. Работ же посвященных общему исследованию S - структур и их автоморфизмов автору неизвестно, хотя Тит© изучал на параболических пространствах другой общий класс геометрий (см.[б], § 68-75).

Ф - структуры и £> - структуры, изучавшиеся классической проективной геометрией, обладают тем важным свойством, что группы их регулярных автоморфизмов являются алгебраическими. Кроме того, автоморфизмы классических Ф - структур автоматически регулярны. Естественно возникает вопрос о переносе этих свойств на произвольиые ф и £> - структуры.

В уже упоминавшихся работах ИЛ.Кантора fl5, 1б] показано, что группа автоморфизмов построенных им двойных отношений является группой Ли и оолыие того эта группа вычислена в явном виде. Аналогичных результатов для сколь-ниоудь отщшгклассов $ - структур автору неизвестно, хотя для ряда конкретных - структур группы автоморфизмов вычислены.

Диссертация состоим из четырех глав.

В первой главе на произвольных алгебраических многообразиях, а также на плотных в них по Зарисскому подмножествах строятся Ф - структуры, являющиеся обобщениями классического двойного отношения. В отличив от работ [15Дб] , где аналоги

Регулярность здесь и в дальнейшем понимается только в смысле алгебраической геометрии. двойного отношения строятся на параболических пространствах во внутренних терминах, конструкция двойного отношения приведенная в главе I основана на вложении многообразия в проективное пространство. Преимущество приводимой конструкции состоит в том, что во-первых, она проходит для любых алгебраических многообразий, а не только для однородных и тем более параболических пространств, а во-вторых, в том, что становится возможным получить "глобальные" и притом чисто алгебраические доказательства теорем о строении автоморфизмов и групп автоморфизмов, причем сами теоремы получаются более точными. Отметим, что в работах[15,1б] доказательства аналитические и локальные. Кроме того, для случая самосопряженных параболических пространств получаемые при некоторых специальных вложениях двойные отношения могут быть выражены в терминах двойных отношений из [15] , и предлагаемая конструкция позволяет.установить связи между этими двойными отношениями и некоторыми метриками инвариантными относительно максимальных связных компактных подгрупп в группах автоморфизмов соответствующих пространств.

В основе конструкции лежат следующие соображения.

Пусть JP - проективизация векторного пространства V* и ф (х*,.а сйгь) - полилинейная форма на V" . Тогда формула

У*.--*!/') <pCXd).гХл) ф(^.^ определяет некоторую Ф - структуру на JP , называемую двойным отношением, ассоциированным с формой ф . В случае, если V - двумерное пространство, а ф - выражает объем,ш получаем обычное двойное отношение 4-х точек на проективной прямой.

По построению двойное отношение ассициированное с формой инвариантно относительно любого преобразования ]Р индуцированного линейным отображением V— v сохраняющим ф В частности, если Ф - форма объема на V , то соответствующее двойное отношение инвариантно относительно любого проективного преобразования IP. С другой стороны, важное свойство двойных отношений описанного вида состоит в том, что при естественных ограничениях типа невырожденности любое отображение произвольного неприводимого подмножества (см. [4] ) Мс ]Р в Р сохраняющее двойное отношение, продолжается до проективного преобразования всего IP (предложение I.I.I) х\ Таким образом вкладывая произвольное алгебраическое многообразие в проективное пространство и рассматривая ограничения на него двойных отношений ассоциированных с различными формами можно получать ф - структуры с обозримыми группами автоморфизмов. Отметим, что все автоморфизмы построенных таким образом Ф - структур автоматически регулярны.

Из сказанного вытекает,в частности, что для построения инвариантных ф - структур на пространстве JM однородном относительно группы Gr достаточно реализовать М в качестве орбиты в проективизации пространства V некоторого линейного представления Д" группы Gr » рассмотреть двойное отношение ассоциированное с некоторым полилинейным инвариантом Gr и взять его ограничение на W . Особенно интересен случай, когда образ X { Q ) рассматриваемого представления является максимальной

Ссылка вида "предложение т.п. ft." означает предложение т из § гъ главы я. подгруппой в группе всех линейных преобразований V , сохраняющих некоторую форму, так как в этом случае в силу предложения 1,1.1 получается реализация Сг в виде группы всех автоморфизмов двойного отношения. Заметим, что если SC непризодимо, то X С G~)практически всегда максимальна (см.[б]).

Таким образом для построения обозримых моделей группы Сг нужно искать как можно более простые орбиты в линейных представлениях этой группы. Особенно интересны, конечно, замкнутые и открытые орбиты. В первом случае получаются инварианты на параболических пространствах. Классификация открытых орбит в пространствах нерриводиыых представлений приведена в § 5. Эта классификация получена в работе [26], однако довольно громоздким путем (указанная работа занимает более 150 страниц). Автору Г37] удалось провести вычисления существенно компактнее благодаря использованию результатов работ [34, 35].

В § I, имеющем вспомогательный характер, приводятся нужные в дальнейшем определения и соглашения.

В § 2 строятся двойные отношения, ассоциированные с полилинейными формами и выводятся свойства сохраняющих их отображений.

В § 3 устанавливается связь между двойными отношениями на самосопряженных параболических пространствах из работ [15*17] и двойными отношениями, ассоциированными с некоторыми инвариантными билинейными формами на замкнутых орбитах в проективизациях пространств некоторых неприводимых линейных представлений. Это позволяет использовать результаты § 2 для исследования инвариантов из [l5*I7] . В частности, удается в терминах этих инвариантов описать некоторые метрики, инвариантные относительно максимальных связных компактных подгрупп в группах автоморфизнов соответствующих пространств.

В § 4 при помощи результатов § 3 строятся модели компактных форм простых групп Ли в терминах йордановых и фрейденталевых операций (Эти операции изучались в работах fl4,20] и др.)

Во второй главе исследуются автоморфизмы произвольных Ф -структурой, вообще, отображения, допускающие произвольный отделимый рациональный инвариант со значениями в любом алгебраическом многообразии). ( ф - структуры - это отделимые функции с числовыми значениями). Изучаются вопросы рациональности и ре-нулярности таких отображений, возможности их продолжения^ также введения в группу всех преобразований, сохраняющих фиксированный инвариант структуры алгебраической группы и рациональности полученного действия. Основные результаты получаются для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль. Однако доказанные теоремы о продолжении позволяют использовать эти результаты для квазипроективных многообразий над произвольными полями нулевой характеристики и даже для любых плотных по Барисскому подмножеств в таких многообразиях, например, для решеток в векторных пространствах. Важно только, чтобы рассматриваемый инвариант продолжался до отделимой рациональной функции на некотором гладком проективном многообразии.

Первые два параграфа имеют подготовительный характер.

В § I приводятся некоторые используемые в дальнейшем определения и леммы. В частности, вводится и исследуется понятие базы, являющееся основным инструментом для построения алгебраической параметризации группы всех автоморфизмов Ф - структуры.

В § 2 приводятся некоторые известные алгебро-геометрические результаты об отображениях с замкнутым по Зарисскому графиком см,[4, 19, 33]).0ни являются основным инструментом исследования отображений, сохраняющих отделимые рациональные функции.

В § 3 содержатся основные результаты с рациональности и регулярности отображений, допускающих отделимый рациональный инвариант (теоремы 5, 6 и б').

В § 4 доказываются теоремы о продолжении, являющиеся аналогами предложения I из § 2 главы I (теоремы 7 и 8).

Последний параграф второй главы посвящен вопросу о параметризации группы всех преобразований, сохраняющих данный инвариант. Основным его результатом является теорема 10, которая утверждает, что на гладком проективном многообразии над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль такая группа всегда допускает алгебраическую параметризацию, аналогичную матричной параметризации ортогональной группы.

В главе 3 исследуются автоморфизмы - структур, которые в силу геометрических ассоциаций называются в настоящей работе коллинеациями. Основная цель состоит в том, чтобы найти естественные условия типа регулярности и невырожденности, при которых группа всех коллинеаций данной £> - структуры допускает хорошую алгебраическую параметризацию.

Полученные условия сводятся,в основном, к тому, что касательное пространство к подмногообразию из рассматриваемой $ -структуры, проходящему через П -ку общего положения,в первой точке этой п, ~ки должно регулярно зависеть от П -ки и запас касательных пространств к элементам $ -структуры, проходящих через точку многообразия, в этой точке должен быть одинаков для всех точек.

Основным инструментом исследования автоморфизмов $ - струю тур является изложенная в § 2 конструкция, сопоставляющая произвольной S ~ структуре при выполнении соответствующих условий регулярности и невырожденности Ф - структуру, инвариантную относительно группы коллинеаций. В результате появляется возможность применения результатов второй главы для исследования автоморфизмов S - структур.

В § I изучаются некоторые вспомогательные конструкции на грассмановых многообразиях, которые используются в § 2.

В § 2 форкуладются условия регулярности и невырожденности £ -структуры, излагается конструкция Ф - структуры инвариантной относительно группы коллинеаций и исследуется соотношение между группой коллинеаций и группой всех автоморфизмов этой Ф - структуры. В частности показано, что если касательные пространства к различным элементам $ - структуры различны (это условие здесь названо слабой трансверсальностью), и все элементы £> - структуры связны, то эти группы совпадают (теорема 2.2.3). Кроме того, показано, что если отношение инцедент-ности между точками многообразия и П -ками общего положения - х принадлежит ( ., tyn,) если, и только если единственный элемент £ - структуры, проходящий через ( ^. содержит X - замкнуто по Зарисскому, то группа коллинеаций является замкнутой подгруппой в группе автоморфизмов соответствующей <Р- структуры. Таким образом, учитывая результаты главы 2, получаем весьма общие условия возможности алгебраической параметризации группы всех коллинеаций фиксированной 5 ~ струя туры.

В главе 4 строятся и изучаются некоторые специальные инвариантные S - структуры на параболических пространствах. В диссертации эти $ - структуры называются каноническими. Они имеют порядок два и являются естественными аналогами семейств прямых для различных проективных плоскостей.

Оказывается, что канонические £ - структуры допускают простое аксиоматическое описание (теоремы 1,1.4 и 2.1.4). Именно, назовем $ - структуру однородной относительно группы преобразований G , если G лежит в группе коллинецаий, действует транзитивно на множестве элементов S - структуры, и стабилизатор любого элемента рассматриваемой £> - структуры действует транзитивно на этом элементе. Оказывается, что на многих важных параболических пространствах каноническая S - структура является единственной слабо трансверсальной однородной $~ структурой второго порядка. Для произвольного же параболического пространства можно утверждать, что каноническая $ - структура в естественном смысле (уточняемом в § I) мажорируется лю -бой однородной слабо трансверсальной S -структурой.

В частности, каноническая S - структура является единственной однородной слабо трансверсальной структурой второго порядка на почти всех параболических пространствах классических групп, стационарная подгруппа которых максимальна, на двумерном октавном проективном пространстве и в ряде других случаев.

В § X приводится конструкция канонической S - структуры на параболическом пространстве и изучаются ее свойства. В частности, выясняется когда к этой S ~ структуре применимы результаты главы 3. Кроме того, выясняется структура подмногообразий, входящих в канонические £> - структуры. В наиболее интересных случаях они оказываются симметрическими самосопряженными X. -пространствами.

В § 2 вычисляются канонические S - структуры на важнейших параболических пространствах, в частности на всех параболических пространствах классических групп, стационарная подгруппа которых максимальна. К полученным $ - структурам применяются результаты главы 3 и таким образом вычисляются группы их авто морфизмов.

Основные результаты диссертации изложены в работах[зб*42]

1. Борель А, Линейные алгебраические группы.- Б сб.: "Арифметические группы и автоморфные функции", М.: "Мир", 1969,с.7-33.

2. Борель А. Линейные алгебраические группы. М.: "Мир", 1972, 269 с.3. ?уьсшаъ Н. иь ^угЛсиь Мдьбшъ.Мк. JLLcdhs. UhJuT. Hcurthwify, d96St 25-51

3. Винберг З.Б., Оншцик А.Л. Семинар по алгебраическим группам, М.: МГУ, 1969, 230 с.

4. Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп.- Труды Моск.матем.о-ва, 1952, I, с.39-166.

5. Sbuidenial Н., И- (кУ^л, tu Gtoufa-. JfeuT Y&k and tfondon: Асийтса 4969.- 5Ч€p,.

6. Кантор П.Л. Общая норма йордановой алгебры и геометрия некоторых групп преооразований.- "Тез.докладов на международном конгрессе". М., 1966.

7. Кантор П.Л. Нелинейные группы преобразований, определяемые общими нормами йордановых алгебр.- ДАН СССР, 1967, т.172, № 4, с.779-782.

8. Кантор П.Л. Общая норш йордановой алгебры и геометрия некоторых групп преобразований.- "Тр.семинара по вект.и тенз. анализу". М.: МГУ, 1968, вып.ПУ, с.114-143.

9. Кантор П.Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр,- Тр.семинара по вект.и тенз.анализу",- М.: МГУ, 1972, вып.ХУ1,с.407-499.

10. Кантор П.Л. Инварианты однородных пространств с параболическими стационарными подгруппами.- ДАН СССР, 1974, т.215 К! 2, с.249-252.

11. Кантор П.Л. Двойное отношение четырех точек и другие инварианты на однородных пространствах с параболическими стационарными. I.- "Тр.семинара по вект.и тенз.анализу". М.: МГУ, 1974, вып.ХУП, с.250-313.

12. Кантор П.Л. Двойное отношение четырех точек и другие инварианты на однородных пространствах с параболическими стационарными подгруппами. П.- "Тр.семинара по вект.и тенз.анализу",- М.: МГУ, 1978, вып.ХУШ, с.234-249.

13. Комраков Б.П. Однородные пространства с инвариантными структурами.- "Тр.семинара по вект.и тенз.анализу". -М.: МГУ, 1978, вып.ХУШ, с.264-292.

14. Мамрорд Д.- Алгебраическая геометрия I. М.: "Мир", 1979, 256 с.

15. MtyAuiq <biw, $кеош сЬл Щииоиь dm, tfvuMkrdkodbckuri11.- fc^.'jvonubkl Nbdml. Mad.V/el ,4968, Svl.^, 74, p 462,490.

16. Персиц Д.Б. Геометрии над вырожденными октавами.- ДАН СССР т.173, 1967, C.I0I0-I0I3.

17. Персиц Д.Б. Геометрии над алгеброй антиоктав.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1967, № 31, с.1263-1270.

18. Персиц Д.Б. Геометрии над обобщенными октавами.- Ученые записки МГПЙ им.Ленина, М., 1971, том 2, № 401, с.87-122.

19. Рашевский П.К. 0 геометрии однородных пространств.- "Тр. семинара по векти тенз.анализу", 1952, вып.XX, с.49-74.

20. ЯошгрЫ. UnpLcAjL tu, Ошррлп, unci псМшА-llduhjL ОесишЬпшъ r*fifydnxuccut and tofzofoyLcal fousictcubum 0{f quymttky,.- of cl Со№оуьилъ, (Що>и1, 496Z, p, J35-i55.

21. Sciio JM., lyCimu&CL Т. Л clcAiapicatiori op 'uvujdLujMbf&iJifrmoq£nioU6 v^edbyi and МиЬъ <i£tcduP£>inifasiiardi. Ja^o^a JUcdk. %ошиьаЛ y 491-4,65,^.1-155.27. ^шьдгА,. 3b. j^nx^duPt осЬсшг JplojuL.- Зп&оиусь-hont Jl^ktrncdical, №0, 22,

22. SptuJUftA,, £*>. ШсЦъатр,. Utifdic arui b^Mic octcur-e plcum I-Ж,- ЪгЛсц^д&от JiitM^^bcubicot, <!9€3t 25, p. W-45i.

23. Стейнберг P. Лекции о группах Шевалле.- М.: "Мир", 1975, 261 с.

24. Хуа Ло-Ген. Геометрия симметрических матриц над полем действительных чисел,- ДАН СССР, 1946, т.53, № 2, с.99-109.

25. Haa "ioo Ge&mdniu, of Mabwcib. I.- GcrwbcUUcu-iion> of IPOTL SicULoli' A> iketPWTh.- %€Ul6. PirrWb. JllcdA.Sec., 1945, 5%, p. ЧЧ4-ЧМ.

26. Haa rZoo ^Ktru^. Qre&mdnU^ of Mcdxiab. Ш,- Фшго1апи/ьЩ. dAuyiesni иг iht qzormfriUb of ^mmzbiLt rnaMUi^."$uuu. &rwL. JUodk. W, 4944, 61 ,№2, fb.Z29-Z55.

27. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.- М.:"Наука», 1972, 567 с.

28. Злашвили А.Г. Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли.-Функц.анализ, т.6, № I, 1972, с.51-62.

29. Элашвили А.Г. Стационарные подалгебры точек общего положения для неприводимых линейных групп Ли.- Функц.анализ,т.6, К? 2, 1972, с.65-78.

30. Шпиз Г.Б. О группах преобразований, обладающих алгебраическими инвариантами.- В сб.: "Вопросы теории групп и гомологической алгебры". Ярославль, 1977, с.201-210.

31. Шпиз Г.Б. Классификация неприводимых локально транзитивных линейных групп Ли.- В сб.: "Геометрические методы в задачах анализа и алгебры". Ярославль, 1978, с.152-160.

32. Шпиз Г.Б. Алгебраичность групп автоморфизмов некоторых геометрических объектов.- "Тр. семинара по вект.и тенз.анализу", М., 1981, вып.20, с.228-230.

33. Шпиз Г.Б. Преобразования, допускающие отделимый рациональный инвариант.- Известия высших учебных заведений, сер. математика, вып.6, Казань, 1981, с.85-87.

34. Шпиз Г.Б. Некоторые геометрические структуры на алгебраических многообразиях.- В сб.: "Вопросы теории групп и гомологической алгебры", Ярославль, 1981, с.148-154.

35. Шпиз Г.Б. Двойные отношения на алгебраических многообразиях. Деп.в ВШШи 18 июня 1980 г. , № 3177-80.- 28 с.

36. Шпиз Г.Б. Проективная геометрия на алгебраических многообразиях.- В сб.: "Вопросы теории групп и гомологической алгебры"/Ярославль, 1982, с.71-81.