Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Даниярова Эвелина Юрьевна

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД СВОБОДНОЙ МЕТАБЕЛЕВОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2005

Работа выполнена в лаборатории комбинаторных

и вычислительных методов алгебры и логики Омского филиала Института математики СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Тимошенко Евгений Иосифович

кандидат физико-математических наук, доцент

Чирков Игорь Викторович

Ведущая организация:

Алтайский государственный университет

Защита состоится «Г декабря 2005 г. в WCO ч. на заседании диссертационного совета К 212.179.01 при Омском государственном университете им Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан 3> ноября 2005 ]

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент ^ М.А. Шевелин

2006 /7909

IIУ VI м

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А . В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией.

Становление алгебраической геометрии над полем вещественных чисел относят к ХУЛ веку, когда в геометрию было введено понятие координат, позволившее рассматривать геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическим соотношениям. Так, в геометрии на плоскости основным объектом алгебраической геометрии является плоская аффинная алгебраическая кривая - множество, заданное уравнением /(х,у) = 0, где / - многочлен от координат х и у, не являющийся константой. Кривые характеризуются в зависимости от их порядка, равного минимальной степени многочлена /(х,у), задающего данную кривую. Для случая поля вещественных чисел существует классификация кривых первого, второго и третьего порядков. Основным объектом алгебраической геометрии в трехмерном вещественном пространстве является алгебраическая поверхность, то есть множество, заданное уравнением §(х,у,г) = 0, где g -многочлен от координат х, у иг.

Изучение алгебраических кривых и поверхностей с неизбежностью привело к «комплексификации координат». С начала ХУПТ века алгебраическим уравнениям сопоставляют множества комплексных решений, а затем и приходят к рассмотрению уравнений с комплексными коэффициентами. Изучение алгебраической геометрии над полем комплексных чисел привело к значительному развитию технического аппарата и теоретических оснований алгебраической геометрии. Так, например, обобщением понятий алгебраической кривой и алгебраической поверхности стало понятие алгебраического многообразия, то есть решения системы алгебраических уравнений от конечного числа переменных; среди алгебраических многообразий выделяют неприводимые; на многообразиях определяют рациональные функции, а между многообразиями - рациональные и бирациональные отображения; вводят понятия проективных и квазипроективных многообразий, понятие размерности многообразия и т. д. Оказалось, что большинство полученных на этом пути результатов не используют топологию поля комплексных чисел и могут быть интерпретированы для произвольного алгебраически замкнутого поля.

Алгебраическая геометрия над алгебраически замкнутым полем является наиболее простым случаем. В частности, здесь получена классификация алгебраических кривых и неособых проективных поверхностей в заданном классе бирациональной эквивалентности. Однако вскоре было замечено, что недостаточно ограничиться только алгебраически замкнутыми полями. В начале XX века в работах А. Вейля, Зариского, Б.Л. Ван дер Вардена, Э. Нетер и других понятие алгебраической геометрии было обобщено на случай произвольного поля. Нагата пошел дальше, развив основания алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями.

Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма. К сожалению, для конкретных полей эта задача не поддается общему решению, но, тем не менее, она стимулирует изучать теорию, порождает большое количество работ и служит двигателем прогресса в этой области.

С 60-х годов XX века стала активно развиваться алгебраическая геометрия над конечными полями, которая получила применение в алгоритмических задачах теории чисел, например, в методе факторизации чисел.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами - это новое направление. На сегодняшний день оно представлено в основном алгебраической геометрией над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [10], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп. Однако предложенная в данных статьях система определений и набор основных результатов могут быть без труда перенесены на произвольную алгебраическую систему (без предикатов). Так, например, в препринте [24] нами были изложены элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы. Дана классификация координатных групп на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [9], К.И. Аппеля [1], Р. Брайнта [3], Г.С. Маканина [17], А. Раз-борова [13, 18], В.Н. Ремесленникова [19], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчано-

ва [5], 3. Селы [16], А. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [11, 12]. Завершающий результат был получен в замечательных работах О. Харлам-пович и А. Мясникова [6, 7, 8].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [4], В.Н. Ремесленникова [20], В. Ремесленникова и Р. Штёра [14,15], В.Н. Ремесленникова и Н.С. Романовского [21, 22], В.Н. Ремесленникова и Е.И. Тимошенко [23].

Работа над созданием алгебраической геометрии над алгебрами Ли над полем началась сравнительно недавно. Перед тем, как очертить результаты, полученные в этом направлении, приведем вкратце основные определения и обозначения алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Пусть А - фиксированная алгебра Ли над фиксированным полем к и X - - набор неизвестных. Тогда пространство А" называется аф-

финным и -мерным пространством. Алгебра А[Х] = А* F(Л'), где * - знак свободного лиева произведения алгебр Ли, а Г(Х) - свободная алгебра Ли, порожденная множеством X, называется свободной А -алгеброй, а ее элементы - многочленами. Приравнивая многочлены к нулю, получаем уравнения над алгеброй А . Если / € А[Х], то корнем многочлена / называется любой набор элементов а1,...,ап е А, для которых /(д,,...,ая) = 0 . Произвольное подмножество 5 с А[Х] называется системой уравнений. Решение У(5) системы 5 - это множество всех точек (а,,...,ан) е А", каждая из которых - корень одновременно всех многочленов из системы Б. Множества У(5) решений систем уравнений называются алгебраическими над алгеброй Ли А . Радикал Кас1(5) системы 5 (или алгебраического множества У(5)) - это максимальная система уравнений эквивалентная Б, где эквивалентность систем 5 и 5" определяется равенством У(5) = У(5"). Координатной алгеброй системы 5" (или алгебраического множества У(5)) называется факторалгебра Г(5) = Л[Л"]/К.ас[(,У). Под основной задачей алгебраической геометрии над алгеброй А мы понимаем задачу классификации всех алгебраических множеств над А . Так же, как и в алгебраической геометрии над полем, здесь справедлива теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр. Этот результат является основанием для трех эквивалентных подходов к решению основной задачи алгебраической геометрии над А :

• Классификация алгебраических множеств над А ;

• Классификация радикальных идеалов алгебры А[Х];

• Классификация координатных алгебр над А .

Среди всех алгебр Ли выделяют алгебры нетеровы по уравнениям и области, алгебраическая геометрия над которыми имеет ряд приятных особенностей, связанных с топологией Зариского на аффинном пространстве А". Здесь, как и в классическом случае, топология Зариского определяется через предбазу замкнутых множеств, состоящую из всех алгебраических множеств. Алгебра А называется нетеровой по уравнениям, если любая система уравнений 5 с А[Х] эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Любая конечно порожденная метабелева (а также нильпотентная) алгебра Ли является нетеровой по уравнениям. (

Алгебраическая нетеровость соответствует нетеровости геометрической, а именно: алгебра А нетерова по уравнениям тогда и только тогда, когда и-мерное аффинное пространство А" нетерово (в топологическом смысле) при всех натуральных п . Алгебраическое множество У с А" называется неприводимым, если оно непредставимо в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств; координатная алгебра неприводимого алгебраического множества называется неприводимой. Справедлива теорема о том, что если алгебра А - нетерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество над А представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств, причем такое представление однозначно с точностью до перестановки компонент и откидывания лишних. Таким образом, основная задача алгебраической геометрии над нетеровой по уравнениям алгеброй А разбивается на две подзадачи:

• Классификация неприводимых алгебраических множеств над А ;

• Решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?

Алгебра Ли А называется областью, если в ней нет делителей нуля, то есть таких ненулевых элементов х е А , для которых существует ненулевой у е А, такой, что идеалы \&<х> и ¡с! < >' > коммутируют. Полуобластями мы называем алгебры Ли, в которых делители нуля содержатся в том или ином идеале (например, в коммутанте или радикале Фигтинга). Если А - область, то любое пересечение и любое конечное объединение алгебраических множеств над А является алгебраическим множеством, поэтому семейство всех замкнутых в топологии Зариского множеств совпадает с классом всех алгебраических множеств. Свободная алгебра Ли является обла-

стью. Любое конечномерное линейное подпространство свободной алгебры Ли является алгебраическим множеством. Алгебраическое множество мы называем ограниченным, если оно по каждой своей координате вмещается в некоторое конечномерное линейное пространство.

В алгебраической геометрии над алгеброй Ли А выделяют три основных аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический (описание координатных алгебр на языке теоретико-модельных классов). Так, например, если алгебра А нетерова по уравнениям, то логический аспект выражается теоремой о том, что семейство координатных алгебр над А совпадет с классом конечно порожденных алгебр из квазимногообразия qvar(/^), порожденного алгеброй А, а семейство неприводимых координатных алгебр совпадает с классом конечно порожденных алгебр из универсального замыкания ис!(А), порожденного алгеброй А .

На сегодняшний день накопленные результаты по алгебраической геометрии над алгебрами Ли в основном относятся к двум областям исследований: к алгебраической геометрии над свободной метабелевой алгеброй Ли конечного ранга г над полем к и к алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли Ьг конечного ранга г над полем к. Из полученных здесь результатов и представленных работ перечислим следующие:

1. Построена алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли Гг над конечным полем к . Соответствующая теория и является содержанием данной работы. К этой тематике относятся статьи Э.Ю. Да-нияровой, И.В. Казачкова, В.Н. Ремесленникова [26, 27, 28] и Э.Ю. Дания-ровой [25]. Главными итогами перечисленных работ является классификация координатных алгебр над Рг и неприводимых координатных алгебр, аксиоматическое описание квазимногообразия и универсального замыкания, порожденных алгеброй Рг, доказательство алгоритмической разрешимости квазиэквациональной и универсальной теории алгебры Рг, а также проблемы разрешимости систем уравнений над Рг.

2. Описаны ограниченные алгебраические множества над свободной алгеброй Ли Ьг над любым полем к и все алгебраические множества в размерности один. В работе Э.Ю. Данияровой и В.Н. Ремесленникова [30] показано, что существует взаимно однозначное соответствие между ограниченными алгебраическими множествами над алгеброй Ьг и алгебраическими множествами над основным полем к. Отсюда следует, что алгебраиче-

екая геометрия над свободной алгеброй Ли устроена достаточно сложно и включает в себя всю теорию алгебраической геометрии поля к . Оказалось, что результаты работы [30] без изменений перекладываются на случай свободной антикоммутативной алгебры Аг ранга г. Алгебраическая геометрия над алгебрами Ьг и Аг в настоящее время продолжает активно изучаться.

3. Исследованиям областей, полуобластей, делителям нуля в свободных произведениях алгебр Ли посвящены работы И.В. Чиркова и М.А. Ше-велина [31] и Э.Ю. Данияровой, И.В. Казачкова, В.Н. Ремесленникова [29].

Цель работы. В данной работе мы ставим перед собой задачу определить понятия алгебраической геометрии над алгебрами Ли и построить алгебраическую геометрию над свободной метабелевой алгеброй Ли конечного ранга г над полем к, классифицировать координатные алгебры над Гг и неприводимые координатные алгебры. Провести описание данных алгебр разными способами, в том числе, дать аксиоматическое и структурное описание.

Методика исследования. В качестве методов исследования использовались теория алгебр Ли, теория моделей и математическая логика, теория коммутативных колец многочленов и модулей над ними, а также алгебраическая геометрия над алгебрами Ли.

Научная новизна работы. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим некоторые из них в порядке появления в работе:

1) сформулированы основы алгебраической геометрии над алгебрами

Ли;

2) построена теория (^-модулей над кольцами многочленов и доказана теорема о примарном разложении (^-модулей в категории (^-модулей;

3) построена теория метабелевых (^-алгебр Ли и доказана теорема о примарном разложении О-алгебр в категории О-алгебр;

4) получено аксиоматическое описание квазимногообразия, порожденного всеми О-алгебрами, и универсального класса, порожденного при-марными (^-алгебрами;

5) найдены рекурсивные списки аксиом, порождающие квазимногообразие qvar(Fr) и универсальное замыкание ис1(^) свободной метабелевой алгебры Ли Рг\

6) доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры Fr;

7) доказана алгоритмическая разрешимость проблемы совместности систем уравнений над алгеброй Fr;

8) описаны неприводимые алгебраические множества над алгеброй F ;

9) описаны алгебраические множества в размерности один над алгеброй Fr;

10) построена теория размерности алгебраических множеств над Fr.

Результаты 4)~10) справедливы только в случае конечного основного

поля.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Получена классификация координатных алгебр над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr конечного ранга над конечным полем и классификация неприводимых координатных алгебр. Доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры F .

Практическая ценность. Результаты данной диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по алгебраической геометрии над алгебрами Ли, по подготовке учебных пособий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедр алгебры МГУ (Москва, 2002), НГУ (Новосибирск, 2003), ОмГУ, Конгрессе «Роль математики в XXI веке» (Новосибирск, 2003), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва, 2004), Международной конференции «The Canadian Mathematical Society Winter 2004 Meeting» (Монреаль, Канада, 2004).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 27, 28]. Работы [26, 27, 28] выполнены совместно с И.В. Казачковым и В.Н. Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 193 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам. Список литературы содержит 47 наименований.

Первая глава работы сформирована из вводной информации о мета-белевых алгебрах Ли (параграф 1.1), о модульной структуре на радикалах Фиттинга, об метабелевых и-алгебрах Ли, об элементах алгебраической геометрии над алгебрами Ли (параграф 1.2), а также сюда включены сведения о свободной метабелевой алгебре Ли Рг, категории ^-алгебра Ли и некоторые предварительные результаты алгебраической геометрии над алгеброй ^ (параграф 1.3).

Во второй главе мы вводим новую категорию идеалов в коммутативных кольцах многочленов и новую категорию модулей. В параграфе 2.1 даются определения линейного идеала, (^-идеала кольца многочленов, (}-ради-кала, линейного гомоморфизма колец многочленов и обсуждаются некоторые свойства таких объектов. В параграфе 2.2 мы определяем (^-модули над кольцами многочленов и исследуем структуру таких модулей. В частности, построена теория примарного разложения для (^-модулей и доказано, что произвольный (^-модуль вкладывается в прямую сумму модулей без кручения.

Третью главу работы составляет изучение специальных метабелевых алгебр Ли, так называемых С>-алгебр. В параграфе 3.1 приводится определение С?-алгебры, как алгебры, радикал Фиттинга которой является С^-моду-лем. Здесь же доказывается теорема а1-14 о том, что любая конечно порожденная р-алгебра вкладывается в прямую сумму примарных С?-алгебр. В параграфе 3.2 исследуются так называемые Рг -(^-алгебры Ли, удовлетворяющие свойствам 0-1, <3-2, С>-3, и доказывается теорема о примарном разложении в категории таких алгебр. В пятой главе будет показано, что данные алгебры доставляют один из способов описания координатных алгебр над свободной метабелевой алгеброй Ли над полем к .

Четвертая глава работы носит логический характер. В параграфе 4.1 построены рекурсивные списки аксиом, определяющие следующие классы алгебр: 1) квазимногообразие Й, порожденное всеми метабелевыми О-алгебрами Ли над полем к, 2) универсальный класс Н, порожденный всеми метабелевыми и-алгебрами Ли над полем к. Все аксиомы параграфа 4.1 являются универсальными формулами в языке £ первой ступени теории алгебр Ли над полем к. Параграфы 4.2 и 4.3 продолжают рассуждения параграфа 4.1. В них мы построили рекурсивные списки аксиом, определяющие такие классы, как: I) квазимногообразие, порожденное алгеброй ^ , 2) универсальное замыкание, порожденное алгеброй . Аксиомы данных параграфов являются универсальными предложениями языка £е , обо-

тащенного за счет констант алгебры Ft. Отметим, что все основные результаты четвертой главы справедливы только в случае конечного поля к . Однако часть результатов не зависит от мощности поля к. Проведен анализ того, как изменятся полученные результаты в случае бесконечного поля к.

В пятой главе собраны вместе основные результаты работы и получено их применение к алгебраической геометрии над алгеброй Fr. Теорема res-1 дает описание координатных алгебр над Fr на пяти эквивалентных языках, среди которых аксиоматический и структурный. Аналогично теорема res-2 описывает неприводимые координатные алгебры над Fr пятью способами. В теоремах res-3 и res-4 доказана разрешимость квазиэквациональ-ной и универсальной теории алгебры Fr соответственно. Теорема res-5 утверждает, что над алгеброй Fr алгоритмически разрешима проблема совместности систем уравнений. В параграфе 5.3 приводится классификация неприводимых алгебраических множеств над Fr и алгебраических множеств в размерности один, там же построена теория размерности алгебраических множеств над Fr. Результаты этой главы формулируются лишь для конечного основного поля к. Если поле к бесконечно, то справедливы слабые формы доказанных утверждений.

Нумерация лемм, предложений, утверждений, теорем в работе для удобства восприятия связана с делениями на параграфы: буквенный префикс в номере результата указывает на параграф. Приведем список соответствий:

• рг - параграф 1.1, предварительные сведения;

• ag - параграф 1.2, элементы алгебраической геометрии;

• f- параграф 1.3, свободная метабелева алгебра Ли;

• id - параграф 2.1, Q-идеалы;

• m - параграф 2.2, Q-модули;

• al - параграф 3.1, Q-алгебры;

• fq - параграф 3.2, Fr -Q-алгебры;

• ах - параграф 4.1, универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли;

• q - параграф 4.2, квазиэквациональная теория;

• и - параграф 4.3, универсальная теория;

• res - параграфы 5.1, 5.2, основные результаты;

• аш - параграф 5.3, алгебраические множества.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава работы начинается с параграфа 1.1, в котором собраны сведения о метабелевых алгебрах Ли, необходимые в данной работе.

Напомним, что алгебра Ли А над полем к называется метабелевой, если для любых элементов а,Ь,с,<1вА верно (а ° Ь) о (с о = о. Знаком мы обозначаем операцию умножения в алгебрах. Радикалом Фиттинга алгебры А называется идеал Рй(Л), порожденный всеми элементами всех нилытотентных идеалов алгебры А . Если радикал Фиттинга метабелевой алгебры Ли А абелев, то он обладает структурой модуля над коммутативным кольцом многочленов Я . Способ определения такой структуры, изложен в разделе 1.1.3. В разделе 1.1.4 вводится понятие и-алгебры и изучаются элементарные свойства таких алгебр.

Определение. Метабелева алгебра Ли А над полем к называется и-алгеброй, если

1) абелев;

2) Рк(Л) как модуль над кольцом многочленов не имеет кручения.

Лемма рг-5. Любая подалгебра и-алгебры также является и-алгеброй.

Лемма рг-7. Пусть А - и-алгебра. Тогда С (А) п А2 - 0.

Здесь С(А) - центр алгебры А, и А2 - ее коммутант.

В разделе 1.1.7 определены две операции расширения метабелевой алгебры Ли А с абелевым радикалом Фиттинга, одна из которых - это прямое присоединение к радикалу Фиттинга модуля М над кольцом многочленов Я; полученные таким образом алгебры мы обозначаем через А@М .

Предложение рг-10. Пусть А - конечно порожденная метабелева и-алгебра Ли над полем к . И пусть М - правый конечно порожденный модуль без кручения над кольцом многочленов Я . Тогда алгебра А®М является конечно порожденной метабелевой и-алгеброй Ли, причем Гл{А®М) = Т\Х(А)®М.

В разделе 1.1.10 приводится определение специальных матричных метабелевых алгебр Ли из статьи [27]. Здесь показано, что свободна метабелева алгебра Ли любого ранга является матричной, любая матричная - является и-алгеброй, а любая конечно порожденная и-алгебра реализуется как матричная алгебра.

Параграф 1.2 посвящен основам алгебраической геометрии над алгебрами Ли. Здесь приводятся определения и результаты алгебраической геометрии над фиксированной алгеброй Ли А . Основные определения этого параграфа (понятия алгебраического множества, радикала, координатной алгебры) уже изложены выше. В разделе 1.2.5 доказана следующая теорема, которую здесь мы сформулируем в слабой форме.

Теорема ag-7 (об эквивалентности категорий алгебраических множеств и координатных алгебр). Категория Л£{А) алгебраических

множеств над алгеброй Ли Л эквивалентна категории СЛ(А) координатных А -алгебр Ли. В частности, два алгебраических множества У и Z над алгеброй А изоморфны тогда и только тогда, когда А -изоморфны их координатные алгебры: Г(Г) =А Г^).

Под А -алгеброй мы понимаем любую алгебру Ли В , содержащую подалгебру, изоморфную А , а под А -гомоморфизмом А -алгебр - гомоморфизм алгебр Ли, действующий тождественно на подалгебре А . Ранее в разделе 1.2.3 была доказана следующая лемма.

Лемма щ-2. Пусть У с А" - алгебраическое множество над алгеброй Ли А . Тогда точки множества У находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Ногп^ (Г(Г), А) всех А -гомоморфизмов из координатной алгебры Г(К) в алгебру А .

В разделе 1.2.6 мы определяем топологию Зариского на аффинном пространстве А", а в разделе 1.2.7 - понятие нетеровых по уравнениям алгебр Ли.

Теоремаag-14. Любое алгебраическое множество Гс/ над нетеро-вой по уравнениям алгеброй Ли А представляется в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств (неприводимых компонент): У = У1 . Причем, если У, ДЛЯ любых то это представление

единственно с точностью до перестановки неприводимых компонент.

Таким образом, при изучении алгебраической геометрии над нетеро-вой по уравнениям алгеброй Ли А мы выделяем две основные задачи:

1) классификация неприводимых алгебраических множеств над алгеброй А;

2) решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?

Переформулировав поставленные задачи на язык координатных алгебр, получаем следующие задачи:

3) классификация координатных алгебр всех алгебраических множеств над А ;

4) классификация координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств над А , так называемых неприводимых координатных алгебр над А .

Лемма ag-15. Пусть А - конечно порожденная метабелева алгебра Ли. Тогда А нетерова по уравнением.

При построении алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой выделяют три аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический. Последний - привязывает классификацию координатных алгебр к описанию некоторых универсальных классов.

Через £ мы обозначили стандартный язык первой ступени теории алгебр Ли над полем к, а через £Л - обогащение £ с помощью добавление констант алгебры А . В разделе 1.2.8 приводятся определения квазимногообразия и универсального замыкания, порожденных алгеброй Ли А в языках £ и £А . Соответствующие обозначения здесь следующие: А - qvгr(A),

А - ис1(Л), qvar(/í), ис1(Л) .

Теорема ag-17. Пусть А - нетеровая по уравнениям алгебра Ли и С

- конечно порожденная А -алгебра Ли. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Алгебра С является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над А ;

2) Алгебра С принадлежит квазимногообразию A-qvaт(A) ;

3) Алгебра С аппроксимируется алгеброй А ;

4) Сев.РЛЛ).

Теорема ag-18. Пусть А - нетеровая по уравнениям алгебра Ли и С

- конечно порожденная А -алгебра Ли. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Алгебра С является координатной алгеброй некоторого неприводимого алгебраического множества над А ;

2) Алгебра С принадлежит универсальному замыканию А - ис1(Л);

3) Алгебра С дискриминируется алгеброй А ;

4) СеЪлГл{Л)-

Здесь , Ри, Р^' - операторы взятия подсистем, декартовых и ульта-произведений в категории А -алгебр Ли. Определения аппроксимируемости и дискриминируемое™ здесь приводить не будем.

Начиная с параграфа 1.3, через Рг мы обозначаем свободную метабе-леву алгебру Ли конечного ранга г над полем к и определяем основную цель работы, как построение алгебраической геометрии над алгеброй Рг . При этом в случае г =1 алгебраическая геометрия над Рг известна, поэтому мы считаем, что г > 2 .

Задача решения произвольного уравнения над Рт сводится к задачам

коммутативной алгебры, что показано в разделе 1.3.2, а в разделе 1.3.3 собраны 8 примеров решения некоторых простых систем уравнений над алгеброй Рг , на которые позже в работе удобно ссылаться. В разделе 1.3.5 определены метабелевы Рг -и-алгебрьг Ли, удовлетворяющие свойствам и-1, 11-2. Если метабелева алгебра Ли А над полем к одновременно является Рг -алгеброй и и-алгеброй, то будем говорить, что А - Рг -и-алгебра.

Свойство 11-1: Размерность линейного факторпространства алгебры А по радикалу Фиттинга равняется г: &\тк(А1¥1\{А)) = г.

Свойство 11-2: В радикале Фиттинга Рк(Л) как в модуле над кольцом многочленов Я подмодуль Рй(^) выделяется прямым слагаемым.

Утверждение Г-8. Пусть А - метабелева алгебра Ли над полем к . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Алгебра А является Рг -и-алгеброй, удовлетворяющей свойствам

и-1, и-2;

2. Алгебра А Рг -изоморфна алгебре вида Рг®М для некоторого модуля М без кручения над кольцом Я .

Утверждение МЗ. Пусть М - конечно порожденный модуль без кручения над кольцом многочленов Я . Тогда Рг -исЦТ) = Рг - ис1(Р Ф М).

Лемма Г-14. Если поле к бесконечно, то для любого натурального числа п > г свободная метабелева алг ебра Ли Рп ранга п над полем к РТ -дискриминируется алгеброй Рг.

Во второй главе мы вводим новую категорию идеалов в коммутативных кольцах многочленов и новую категорию модулей. Пусть /? = к[х^,х1,...,хг] - кольцо многочленов от г переменных над полем к.

Через V обозначим линейное пространство над полем к с базисом {xt,х2,...,хг}.

Определение. Идеал кольца многочленов R будем называть линейным, если он порождается некоторым линейным подпространством пространства V,

Лемма id-1. Любой линейный идеал I <R является простым идеалом и факторксшьцо по нему изоморфно кольцу многочленов.

Определение. Пусть / и /,,...,/„ - линейные идеалы кольца R , порожденные линейными подпространствами W и WV...,W„ соответственно, а Р0 - линейное подпространство векторного пространства V . Будем говорить, что У0 является линейным дополнением идеала I, если V = F0 (В W . Аналогично V0 - линейное дополнение семейства идеалов {/,,...,/„}, если F0 - линейное дополнение для каждого идеала /,, г=1,...,п.

Определение. Пересечение конечного числа линейных идеалов кольца многочленов R будем называть Q-идеалом.

Определение. Пусть S czR - подмножество кольца многочленов R . Пересечение всех линейных идеалов p<R , содержащих 5, будем называть Q-радикалом множества S и обозначать через Rad^S). Если не существует линейных идеалов, содержащих S, то будем считать, что RadQ(S) = Ä.

Если основное поле к конечно, то Q-радикал любого множества является Q-идеалом или совпадает с кольцом R . Для случая бесконечного поля существуют примеры, когда бесконечное пересечение линейных идеалов не сводится к конечному.

Пусть М - правый модуль над кольцом многочленов R . Напомним, что аннулятором произвольного элемента у е М называется следующий

идеал кольца R : Ann(j/) = {/&R\y-f = 0}. Ассоциатор Ass(M) модуля М - это множество всех тех аннуляторов Апп(^), у еМ , которые являются простыми идеалами. Идеал ассоциатора р е Ass(AZ) называется изолированным, если он не содержит в себе никакого другого идеала из Ass(M).

Определение. Конечно порожденный модуль М над кольцом многочленов R будем называть Q-модулем, если

1) аннулятор любого ненулевого элемента у е М ecTbQ-идеал;

2) для любого линейного идеала р кольца Я. верно, что М[р] П М-р = О, где М-р- модуль < {у ■ /1 уеМ, / е р) > и М[р] = {уеМ | у- р = 0}.

Определение, (¿-модуль М будем называть изолированным, если каждый элемент ассоциатора А^М) является изолированным идеалом.

Определение. Будем говорить, что М - примарный модуль, если М ф 0 и ассоциатор М&(М) состоит из одного единственного идеала.

Ненулевой модуль без кручения над кольцом Я является примарным (¿-модулем. В параграфе 2.2 описаны способы определения модульной структуры на прямой сумме модулей над разными кольцами многочленов и доказано следующее предложение.

Предложение т-6. Прямая сумма О-модулей является (¿-модулем.

Оказывается, что в категории О-модулей существует теория примар-ного разложения. Ноль (¿-модуля М можно представить в виде пересечения 0 = <2] Г\...Г\()п примарных компонент, таких, что фактормодули М 1(2, являются примарными (¿-модулями. Причем, если модуль М изолирован, то несократимое примарное разложение единственно.

Теорема ш-14. Пусть М - (^-модуль над кольцом многочленов Я . Тогда М подпрямо вкладывается в прямую сумму М{ Ф... Ф Мп примарных

(¿-модулей М1,...,Мп надкольцом Я .

Третью главу работы составляет изучение специальных метабелевых алгебр Ли, так называемых (¿-алгебр.

Определение. Конечно порожденную метабелеву алгебру Ли А будем называть £Э-алгеброй, если

1) радикал Фиттинга РИ(Л) - абелев идеал;

2) как модуль над кольцом многочленов является (¿-модулем;

3) пересечение центра алгебры А с ее коммутантом равно нулю: С(А)пА2 = 0.

Определение, (^-алгебру А будем называть примарной, если ее радикал Фиттинга ¥к( А) - примарный (¿-модуль.

Предложение а1-2. Пусть А - конечно порожденная метабелева алгебра Ли А . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. А - примарная (¿-алгебра;

2. А - и-алгебра.

Предложение al-б. Пусть Al,...,/ia - примарные Q-алгебры и А = Ах Ф...Ф Д,. Тогда алгебра А и любая ее подалгебра D являются Q-алгебрами.

Теорема al-14. Любая конечно порожденная метабелева Q-алгебра Ли А подпрямо вкладывается в прямую сумму Ах@...®Ап примарных Q-алгебр Alt...,A„.

Лемма а!-15. Подалгебра конечно порожденной метабелевой Q-алгебры Ли является конечно порожденной метабелевой Q-алгеброй Ли.

Содержание параграфа 3.2 составляют метабелевы Fr -Q-алгебры Ли, удовлетворяющие свойствам Q-l,Q-2 и Q-3. Пусть {а,,...,я.} - свободная база алгебры Fr.

Определение. Пусть А - конечно порожденная метабелева Fr -алгебра Ли над полем к, которая одновременно является Q-алгеброй. В этом случае будем говорить, что А - Fr -Q-алгебра.

СвойствоQ-1: Линейное подпространство V0 = linк{а^...,аг} алгебры А является линейным дополнением для ассоциатора Ass(Fit(^)).

Лемма fq-1. Пусть Fr -Q-алгебра А удовлетворяет свойству Q-1. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Радикал Фиттинга F\t(A) - изолированный Q-модуль, в частности, его примарные компоненты Qv...,Qn определяются однозначно;

2. Фактормодули Fit{A)IQI, i = 1,..., и . являются модулями без кручения над кольцом многочленов R .

Свойство Q-2.1: Пересечение всех идеалов ассоциатора Ass(Fit(^)) совпадает с аннулятором Апп(с) любого ненулевого элемента с е Fit(Fr ) :

Свойство Q-2.2: Ни одна из примарных компонент нуля Q,,...,Qn модуля Fit(v4) не пересекает радикала Фиттинга Fit(F ) • Qi n Fit(Fr ) = 0, ..., e„nFit(Fr) = 0.

Лемма fq-2. Пусть A - Fr -Q-алгебра со свойством Q-1. Алгебра A удовлетворяет свойству Q-2.1 тогда и только тогда, когда она удовлетворяет

свойству р-2.2. В этом случае каждый Я -модуль Б\X{A)IQI содержит подмодуль, изоморфный Рй(^), I = 1 ,...,п .

Будем говорить, что алгебра А удовлетворяет свойству ()~2, если она удовлетворяет <3-2.1 или <3-2.2.

Свойство 0-3.1: Любая система уравнений 5 от конечного числа переменных над модулем ) с коэффициентами в кольце Я, несовместная над ), несовместна над Я-модулями Ш^A)IQl,...,Y\^{A)IQll.

Свойство <3-3.2: В каждом из Я-модулей ¥\\{А)1 ¥]Х(А)1<2п подмодуль Р^/^) выделяется прямым слагаемым.

Лемма Гд-З. Пусть Рг-С?-алгебра А удовлетворяет свойствам 0-1 и 0-2. Алгебра А удовлетворяет свойству 0-3.1 тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойству 0-3.2.

Будем говорить, что алгебра А удовлетворяет свойству ()-3, если она удовлетворяет 0-3.1 или 0-3.2.

Лемма Пусть А - Рг -алгебра Ли. Тогда А является -11-ал-геброй, удовлетворяющей свойствам 4-1,11-2, в том и только том случае, если А - примарная ^-0-алгебра, удовлетворяющая свойствам 0-1, 0-2,

* О-з.

Предложение Пусть М1,...,М! - конечно порожденные модули без кручения над кольцом Я и Г ФМ,,...,^ ФМз - метабелевы Рг-и-алгебры Ли. Тогда любая ^-подалгебра А прямой суммы (Рг ©М,)х -Х(РГ ®М5) является -О-алгеброй, удовлетворяющей свойствам 0-1,0-2, о-з.

Теорема Л\-1. Пусть А - конечно порожденная метабелева ^ -О-алгебра Ли над полем к (поле к произвольное), удовлетворяющая свойствам 0-1, 0-2, 0-3. Тогда алгебра А подпрямо ^-вкладывается в прямую сумму Рг-и-алгебр ©М,,...,/^ ФМЛ для некоторых конечно порожденных модулей М1,...,М„ без кручения над кольцом многочленов Я = к[х1г...,хг]:

Я: А —у-> №®М,)х...х(РФЮ,

^-вложение 4 ' I/ V г п"

где число п равно мощности ассоциатора радикала Фиттинга Р^(Л) как модуля: | АввОРк^)) | = п .

В разделе 3.2.3 изучаются множества Нот^ (Л,.РГ) ^-гомоморфизмов из ^ -(^-алгебр со свойствами 0-1, ($-2, 0-Ъ в алгебру Гг, которые, согласно лемме а§-2, играют важную роль при построении алгебраической геометрии над алгеброй Рг.

Четвертая глава данной работы носит логический характер. Здесь приводятся универсальные аксиомы, выражающие те или иные свойства О-алгебр и и-алгебр. В параграфе 4.1 мы пишем аксиомы в стандартном языке £ теории алгебр Ли над полем к. При этом для сокращения записи иногда используем модульную сигнатуру, то есть пишем выражения вида г-/(х^...,хт), где / € фср...,;^] - многочлен. Что это означает? Представим многочлен / в виде суммы одночленов: / = ^а, , 0. ек . И договоримся, что запись г-/(хп...,хт) означает следующий терм сигнатуры £\ ¿ °...°лг, °...°хт °—°хт . Если I - идеал

кольца к[х{,...,хт], то мы используем сокращение г-/(х,,...,хт) = 0 или г • / = 0, подразумевая под этим конъюнкцию тождеств

.....1,) = 0л...лг-^(х„...,1,) = 0, где gl,...,g, ~ произвольные

многочлены кольца к[х^...,хт], порождающие идеал / .

Через О обозначим квазимногообразие, порожденное всеми метабе-левыми О-алгебрами Ли, и через И - универсальный класс, порожденный всеми метабелевыми и-алгебрами Ли. В разделе 4.1.1 построен рекурсивный список аксиом, определяющих класс £3.

0„: (аксиома метабелевости)

Ч2х,2г,гъ,2А (7,о22)о(гзО24) = 0.

(аксиомы о тривиальном пересечении центра и коммутанта) Для каждого натурального х пишем:

V*,V2 2-Хх °ух +... + Хг °у!1 А А 2°Хг = О Л ... А 2°Хг =0 А 2°у1 ~ О Л ... Л 2 ° =0 -> 2-0.

02: (аксиома об аннуляторах) Для каждого натурального т и каждого идеала I кольца многочленов к[х^,...,хт] пишем:

V*,г, °г2 •/(*,,...,*„,) = 0 ->• г, ог2-Ка<1р(/) = 0, где Яас11}(/) - 0-радикал идеала I.

Теорема ах-10. Пусть поле к конечно. Тогда для любой конечно порожденной метабелевой алгебры Ли А над полем к следующие условия эквивалентны:

1. Алгебра А удовлетворяет всем квазитождествам Qo, Qi и Q2;

2. Алгебра А является Q-алгеброй;

3. Алгебра А подпрямо вкладывается в прямую сумму А1 ®...Ф Ап примарных Q-алгебр А,,...,Ап.

В разделе 4.1.2 построен рекурсивный список аксиом, определяющих класс il.

-«j

U0: (аксиома метабелевости)

Vz„z2,z3,z4 (z,oz2)o(z3oz4) = 0.

^ * Up (аксиома абелевости нильпотентных подалгебр)

Ух,У хоуоу = 0 л у°х°х = 0 хоу^о.

U2: (аксиома коммутативной транзитивности)

Vjc,y,z x^O л х°у=0 л xoz = 0 —> y°z-0.

U3: (аксиома об отсутствии кручения на радикале Фиттинга) Для каждого натурального m и каждого ненулевого многочлена / кольца многочленов к[хх,...,хт] пишем:

Vx|a...,jcm Vz,, Zj (z, oz2 f(x{,...,xj = 0 л z, oz2 #0) -» v fit{a,xt+...+amxm),

где fit(z) = Vx (x о z о z = 0) - позитивная формула языка £ с одной свободной переменной z . При записи аксиомы U3 предполагается, что поле к конечно.

Теорема ах-19. Пусть поле к конечно. Тогда для любой метабелевой алгебры Ли А надполем к следующие условия эквивалентны: % 1. Алгебра А удовлетворяет универсальным формулам U0, Ub U2, U3;

2. Алгебра A является U-алгеброй.

t Таким образом, в случае конечного поля к аксиомы Q0, Qb Q2 поро-

ждают квазимногообразие Û, а аксиомы U0, Ub U2, U3 - универсальный класс il. Если поле к бесконечно, то в классе £2 существуют конечно порожденные алгебры, которые не являются Q-алгебрами, а в классе il - алгебры, которые не являются U-алгебрами. Это показано в примерах раздела 4.1.3.

Целью параграфа 4.2 является поиск рекурсивного множества аксиом О., определяющих квазимногообразие - яуаг(^), а параграфа 4.3 - поиск рекурсивного множества аксиом Ыг, порождающих универсальное замыкание Аксиомы этих параграфов пишутся в расширенном языке £е .

<23: (аксиома о логическом определении радикала Фиттинга) Уг Ух а, огог = 0 л а2 »гог = 0 л... л аг = 0 —> хогог = 0.

(аксиома об отсутствии кручения относительно ап...,аг ) Для каждого ненулевого многочлена /(х,,...,хг) кольца пишем

Уг ВДл2-/(а,,...,аг) = 0 -> г = 0. Здесь Л7(г) = (а,ого2 = 0 л ... л аг°2°г = 0).

05: (аксиома о пересечении идеалов ассоциатора) Для каждого ненулевого элемента с е РН(ГГ), каждого натурального т и каждого многочлена /е...,хг,пишем

Уг V/,,с-/(а1,..,аг,11,.„,1я) = 0лГф) -у г-Дв,,...^,,/,,...,/„) = 0.

<26: (аксиома об общем линейном дополнении всех идеалов ассоциатора)

V; ГТ ({ + а1а1 +—+агаг) =

а,, ,¡1, еА

При записи аксиомы предполагается, что поле к конечно.

(37: (аксиома об отделимости )) Для каждого натурального I, каждой системы 5 модульных уравнений от переменных у1,...,у1 над модулем Рй(Рг) с коэффициентами в кольце Л , несовместной над БИ^); для каждого натурального т и каждого многочлена /ек[хи...,хг,(,,...пишем

УУ„...,У, V/,,...,/„, .....у,) л

л 3(у^...,у1)-/{11,...,1т,а1,...,аг) = 0 а, °а2 •/(*„...,/„,,а,,...,аг) = 0, где Л'^,,...,^,) = РИ(у1) л ... л 7<гг(>'(), а запись 5-/ = 0 означает конъюнкцию записей £ ■ / = 0 по всем уравнениях Е е 5 .

Совокупность всех аксиом Оо-СЬ в языке £Р обозначим через О^.

Предложениея-11. Пусть А - конечно порожденная ^-алгебра Ли над конечным полем к, удовлетворяющая всем квазитождествам класса О,. Тогда алгебра А является Рг -(^-алгеброй Ли, удовлетворяющей свойствам

<3-1,0-2,0-з.

Предложение Свободная метабелева алгебра Ли Рг над конечным полем к удовлетворяет всем аксиомам из списка О,.

114: (аксиома размерности)

^хх,...,хг,хг^ V + ... + «„,*„,).

и5: (аксиома об отделимости РИ(РГ)) Для каждого натурального I, каждой системы 5 модульных уравнений от переменных у1,...,у, над модулем РЫ(РГ) с коэффициентами в кольце к\хх,...,хг], несовместной над Ри(Рг), пишем

ПЦУх,~,У,) а 5(;у1,...,>/,) = 0 а,°а2=0.

Совокупность всех аксиом и0-и5 в языке обозначим через Ыг.

Предложение и-3. Свободная метабелева алгебра Ли Рг над конечным полем к удовлетворяет всем аксиомам из списка Ыг.

Предложение и-4. Пусть А - конечно порожденная Рг -алгебра Ли над конечным полем к, на которой выполнены все аксиомы Ыг. Тогда алгебра А является -и-алгеброй Ли, удовлетворяющей свойствам и-1,11-2.

Для случая бесконечного поля к в параграфах 4.2 и 4.3 построены примеры, демонстрирующие принципиальные отличия от ситуации, когда поле к конечно.

В заключительной пятой главе мы объединяем основные результаты всей работы в форме их приложения к алгебраической геометрии над свободной метабелевой алгеброй Ли Рг. Согласно лемме а§-15, алгебра Рг не-терова по уравнениям.

Теорема ге«-1. Пусть Р. - свободная метабелева алгебра Ли над конечным полем к ранга г > 2 . Тогда для произвольной конечно порожденной Рг -алгебры Ли А над полем к следующие условия эквивалентны:

1 (алгебро-геометрическое описание). Алгебра А является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над алгеброй Рг;

2 (логическое описание). Алгебра А лежит в квазимногообразии -яуаг(^), порожденном алгеброй ¥г;

3 (аксиоматическое описание). Алгебра А удовлетворяет всем квазитождествам семейства £>. в языке £е ;

4 (дефинитное описание). Алгебра А является метабелевой Рг -(¿-ал-геброй Ли, удовлетворяющей свойствам <3-2, С>-3;

5 (структурное описание). Алгебра А подпрямо У7,.-вкладывается в конечную прямую сумму вида ®М1)х...х-(Рг ФМЯ), где Мх,...,Мп -конечно порожденные модули без кручения над кольцом многочленов ¿[я,,...,*,], а (Гг ©Л/,),...,(7^ @Мп) - соответствующие метабелевы ¥г -11-алгебры Ли.

Теорема гез-2. Пусть Рг - свободная метабелева алгебра Ли над конечным полем к ранга г > 2 . Тогда для произвольной конечно порожденной Гг -алгебры Ли А над полем к следующие условия эквивалентны:

1 (шгебро-реометрическое описание). Алгебра А является координатной алгеброй некоторого неприводимого алгебраического множества над алгеброй Рг;

2 (логическое описание). Алгебра А лежит в универсальном замыкании Иг - ис!(^), порожденном алгеброй ;

3 (аксиоматическое описание). Алгебра А удовлетворяет всем универсальным аксиомам Ыг в языке ;

4 (дефинитное описание). Алгебра А является метабелевой -11-алгеброй Ли, удовлетворяющей свойствам и-1,1Л-2;

5 (структурное описание). Алгебра А Рг -изоморфна алгебре РГ®М для некоторого конечно порожденного модуля М (возможно, нулевого) без кручения над кольцом многочленов .

Если поле к бесконечно, то равносильность 4 <-> 5 пунктов теорем гев-1 и гсб-2 все равно выполнена. Кроме того, в этом случае алгебры из пунктов 4, 5 являются координатными алгебрами (и соответственно неприводимыми координатными алгебрами) над РГ, однако, если поле к бесконечно, то, кроме описанных, существуют координатные алгебры с отличной структурой.

Теорема res-З. Множество аксиом 2; является рекурсивным множеством и, следовательно, квазиэквациональная теория алгебры Fr как Fr -алгебры над конечным полем к в языке £F алгоритмически разрешима.

Теорема res-4. Множество аксиом Ur является рекурсивным множеством и, следовательно, универсальная теория алгебры Fr как /^-алгебры над конечным полем к в языке алгоритмически разрешима.

Теорема res-5. Алгоритмически разрешима проблема совместности уравнений над алгеброй Fr над конечным полем к.

В параграфе 5.3 мы описываем алгебраические множества над алгеброй Fr, пользуясь полученной классификацией координатных алгебр и теоремой ag-7 об эквивалентности категорий.

Пусть М - конечно порожденный модуль без кручения над кольцом многочленов R. Придадим множеству R -гомоморфизмов Homs(A/,Fit(Fr)) интерпретацию объекта категории AS(Fr). Допустим, что <у,,...,уп \Q(ylt:.,yx) = 0> - представление модуля М, где {у,,...,у„} - система порождающих модуля М, a Q(yi,---,y„) - 0 - система определяющих модульных соотношений между порождающими у„...,у„ с коэффициентами из кольца. Любой Л-гомоморфизм ¡//е НотЛ(Л/,Рй(^)) однозначно определяется своим действием на порождающих элементах у,,...,уп, то есть набором е Fit(Fr). Следовательно,

Нотд(М,Fit(Fr)) = {(z,,—,zn)e Fit(Fr)x...x Fit(Fr) | Q(z1,...,z„) = 0}.

n

В частных случаях имеем: если М- 0, то НошЛ (A/,Fit(F)) - это одна точка {0} с Fit{Fr); если Jvf = Г - свободный модуль над кольцом R ранга п, то Нотя (М, Fit(Fr)) = Fit"(Fr).

Теорема ат-2. Пусть Fr - свободная метабелева алгебра Ли ранга г >2 над конечным полем к. Тогда любое неприводимое алгебраическое множество над Fr изоморфно множеству Hom/((M,Fit(F)) для некоторого конечно порожденного модуля М (возможно, нулевого) без кручения над кольцом многочленов R. И наоборот, любое такое множество

Нотх(М,Рк(Рг)) является неприводимым алгебраическим множеством над , а его координатная алгебра равна Гг © М .

Если поле к бесконечно, то все множества вида Нот„(Л/,Р^(.Рг)) являются неприводимыми алгебраическими, но, кроме них, есть и другие неприводимые множества. Если 5 - система уравнений над алгеброй ^ от одной переменной у, то ее решение У(5) называется алгебраическим множеством в размерности один.

Предложение аш-3. Любое неприводимое алгебраическое множество в размерности один над алгеброй Рг над конечным полем к - это, с точностью до изоморфизма, либо точка, либо радикал Фиттинга Рк(^).

В разделе 5.3.2 исследуются произвольные алгебраические множества над алгеброй ^ . Описание произвольных алгебраических множеств по их координатным алгебрам не выглядит столь же просто, как описание неприводимых алгебраических множеств. Не будем здесь приводить результаты этого раздела, отметим лишь, что они сводятся к предложению ат-4 и примеру 1, в котором приведено описание алгебраического множества с координатной алгеброй, равной прямой сумме (Рг(ВМ1)х...х(Рг(ВМ11) неприводимых координатных алгебр. Раздел 5.3.3 посвящен полной классификации алгебраических множеств в размерности один над свободной метабелевой алгеброй Ли ^ над конечным полем к, основной результат здесь - предложение ат-5. В разделе 5.3.4 определено понятие размерности алгебраических множеств в соответствии с топологическим понятием размерности.

Определение. Пусть У - неприводимое алгебраическое множество. Размерностью У будем называть наибольшее натуральное число и (если оно существует) по всем строго убывающим цепочкам

¥ = ¥„ >¥„_, >...>¥}>¥0 неприводимых алгебраических подмножеств и обозначать через сИш(У) = п .

Определение. Пусть У = и...иУ( - представление алгебраического множества ¥ в виде объединения неприводимых компонент (см. теорему а£-14). Тогда размерностью ¥ (обозначение <1ш1(П) будем называть максимум размерностей неприводимых компонент и обозначать

через сПт(Г) = п. Корректность этого определения следует из теоремы а§-14.

Определение. Пусть М - модуль над кольцом R и f ®М - мета-белева Fr -алгебра Ли. Тогда рангом алгебры Fr®M будем называть ранг модуля М и будем обозначать его через гк(Г(У)).

Теорема ат-6. Пусть Y - неприводимое алгебраическое множество над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr ранга г> 2 над конечным полем к . Тогда размерность множества Y равна рангу координатной алгебры Г(Г): dim(Y) = г1с(Г(У)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

По алгебраической геометрии над группами

[1] Appel K.I. One-variable equations in free groups II Proc Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918,1968.

[2] Baumslag G., Myasnikov A. G., Remeslennikov V.N. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory II J. Algebra, 219 , pp. 1679, 1999.

[3] Bryant R. The verbal topology of a group // J. Algebra, 48, pp. 340346,1977.

[4] Chapuis О. V -free metabelian groups H J. Symbolic Logic 62, pp. 159-174,1997.

[5] Grigorchuk R.I., Kurchanov P.F. On quadratic equations in free groups II Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

[6] Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group I: irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz H J. Algebra, 200, pp. 472-5166 1998.

[7] Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups II J. Algebra, 200(2), pp. 517-570,1998.

[8] Kharlampovich O., Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points И Contemp. Math., 378, pp. 213318,2005.

[9] Lyndon R.C. Groups with parametric exponents И Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533, 1960.

[10] Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Algebraic geometry over groupч //• Logical Foundations II J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

[11] Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Exponential groups 2: extension of centralizers and tensor completion of csa-groups II International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687-711,1996.

[12] Myasnikov A., Remeslennikov V, Serbin D. Regular free length functions on Lyndon's free Z(t) -group FZ(" // Contemp. Math., 378, pp. 37-77,2005.

[13] Razborov A. On systems of equations in a free groups II Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269-283,1995.

[14] Remeslennikov V., Stohr. R. On algebraic sets over metabelian groups H J. Group Theory, 8, pp. 491-513,2005.

[15] Remeslennikov V., Stohr. R. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group И Algebra Colloq., 11, pp. 191-214, 2004.

[16] Scla Z. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques dc 1'IHES, 93, pp. 31-105, 2001.

[17] МаканинГ.С. Уравнения в свободной группе II Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 46. № 6. 1982. С. 1199-1273.

[18] Разборов А.А. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 48. № 4. 1982. С. 779-832.

[19] Ремесленников В.Н. Е-свободные группы // Сиб. мат. журн., Т. 30. № 6. С. 153-157, 1989.

[20] Ремесленников В.Н. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой II Фундам. и прикл. мат., Т. 7. С. 873-885, 2000.

[21] Ремесленников В.Н., Романовский II.C. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика, Т. 43. № 3. С. 341-352,2004.

[22] Ремесленников В.Н., Романовский Н.С. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, Т. 44. № 5. С. 601-621, 2005.

[23] Ремесленников В.Н., Тимошенко Е.И. О топологической размерности и-групп II Сиб. мат. журн., принята к печати, выйдет в Т. 47. № 2. 2006.

По алгебраической геометрии над алгебрами Ли, работы по теме диссертации

[24] Даниярова Э.Ю. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли II Препринт № 131, Новосибирск: РАН Сиб. Отд-ние, Ин-т математики, 33 е., 2004.

[25] Даниярова Э.Ю. Алгебраическая геометрия над свободной мета-белевой алгеброй Ли Ш: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств II Препринт, Омск: Изд-во ОмГУ, 130 с, 2005.

[26] Даниярова Э.Ю., Казачков И.В., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и А-модули И Препринт № 34, Омск: ОмГАУ, 2001.

[27] Даниярова Э.Ю., Казачков И.В., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и универсальные классы // Фундам. и прикл. мат., Т. 9. №3. С. 37-63, 2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/ras/k03/k033/

[28] Даниярова Э.Ю., Казачков И.В., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли 1Г Случай конечного поля II Фундам. и прикл. мат., Т. 9. № 3. С. 65-87, 2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/rus/k03/k033/

[29] Даниярова Э.Ю., Казачков И.В., Ремесленников В.Н. Полуобласти и метабелевы произведения метабелевых алгебр Ли II Итоги науки и техники, сер. «Современная математика», принята к печати. Английский перевод Journal of Mathematical Sciences.

[30] Даниярова Э.Ю., Ремесленников В.Н. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли И Алгебра и логика, Т. 44. № 3. С. 269-304,2005.

[31] Чирков И.В., Шевели» М.А. Делители нуля в свободных произведениях алгебр Ли с объединением // Сиб. мат. жури. Т. 45. № 1. С. 229-238,2004.

По теории категорий, математической логике и теории моделей

[32] Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов Н М.: Мир, 1972.

[33] Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий // Новосибирск, Научная книга, 1999.

[34] Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей // М.: Мир, 1977.

[35] Мальцев А.И. Алгебраические системы II М.: Наука, 1970.

[36] Справочная книга по математической логике. Часть I. Теория моделей I/ М.: Наука, С. 1-392,1982.

По теории алгебр Ли

[37] Artamonov V.A. The categories of free metabelian groups and Lie algebras H Commentationes mathematicae universitatis Carolinae, 18(1), pp. 142-159, 1977.

[38] Артамонов В. А. Проективные метабелевы алгебры Ли конечного ранга // Изв. Акад. Наук СССР, сер. мат., Т. 36. С. 510-522, 1972.

[39] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли И М: Наука, 1985.

[40] Ширшов А.И. Избранные труды, Кольца и алгебры II М: Наука,

1984.

[41] Шмелькин А.Л Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп И Труды московского математического общества, Т. 29. С. 247-260, 1973.

По коммутативной алгебре и топологии

[42] Ленг С. Алгебра II М.: Мир, 1968.

[43] Бурбаки Н. Коммутативная алгебра // М.: Мир, 1971.

[44] Келли Дж.Л. Общая топология II М.: Наука, 1981.

Ссылки на статьи, содержащие алгоритмические проблемы

[45] Seidcnberg A. Constructions in algebra II Trans. Amer. Math. Soc., 197, pp. 273-313, 1974.

[46] Романьков В.А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах И Сиб. мат. журн., Т. 20. № 3. С. 671-673, 1979.

[47] Романьков В.А. О неразрешимости проблем ондоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах и свободных кольцах II Алгебра и логика, Т. 16. № 4. С. 457-471,1997.

Даниярова Эвелина Юрьевна

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД СВОБОДНОЙ МЕТАБЕЛЕВОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 20.10.05 Формат бумаги 60x84 1/16. Печ л. 1,25 Уч.-изд п. 1,25 Тираж 60 экз Заказ 492.

Издательство Омского государственного университета 644077. г. Омск-77, пр Мира, 55а, госуниверситет

Р2 2 0 57

РНБ Русский фонд

2006-4 17909

Введение

1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Предварительные сведения о метабелевых алгебрах Ли

1.1.1. Определение метабелевой алгебры Ли

1.1.2. Определение радикала Фиттинга

1.1.3. Структура модуля на радикале Фиттинга

1.1.4. и-алгебры

1.1.5. Система порождающих элементов и определяющих соотношений

1.1.6. Расширения метабелевых алгебр Ли

1.1.7. Расширения радикала Фиттинга

1.1.8. Прямые суммы метабелевых алгебр Ли

1.1.9. Модульная структура на радикале Фиттинга прямой суммы метабелевых алгебр Ли

1.1.10. Матричные метабелевы алгебры Ли

1.2. Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли

1.2.1. Категория -алгебр Ли

1.2.2. Логический язык категории А -алгебр Ли

1.2.3. Основные понятия алгебраической геометрии

1.2.4. Категория алгебраических множеств и категория координатных алгебр

1.2.5. Теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр

1.2.6. Топология Зариского

1.2.7. Нетеровы по уравнениям алгебры

1.2.8. Универсальные классы

1.2.9. Логический аспект алгебраической геометрии в нетеровом случае . 68 1.3. Свободная метабелева алгебра Ли

1.3.1. Канонический базис свободной метабелевой алгебры Ли

1.3.2. Решение уравнений над алгеброй ^

1.3.3. Примеры алгебраических множеств над алгеброй

1.3.4. Категория Рг -алгебр

1.3.5. /7 -11-алгебры со свойствами и-1, И

2. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА

2.1. (¿-идеалы

2.1.1. Л и нейные идеалы

2.1.2. (¿-идеалы

2.1.3. Линейные гомоморфизмы

2.2. (¿-модули

2.2.1. Определение, свойства и примеры (^-модулей

2.2.2. Структура (¿-модуля: примарное разложение

2.2.3. Изолированные (¿-модули

2.2.4. Вырожденные (^-модули

2.2.5. Системы модульных уравнений

3.МЕТАБЕЛЕВЫ 0-АЛГЕБРЫ ЛИ

3.1. (¿-алгебры

3.1.1. Определение и свойства алгебр

3.1.2. Примарное разложение О-алгебр

3.2. /^-(¿-алгебры

3.2.1. Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l, Q-2, Q

3.2.2. Примарное разложение F-Q-алгебр.

3.2.3. ^-гомоморфизмы

3.2.4. Пример Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l, Q-2, Q

4. АКСИОМЫ

4.1. Универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли

4.1.1. Аксиоматика Q-алгебр

4.1.2. Аксиоматика U-алгебр

4.1.3. Случай бесконечного поля .'.

4.2. Квазиэквациональная теория алгебры Fr

4.3. Универсальная теория алгебры Fr

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

5.1. Координатные алгебры над Fr

5.1.1. Классификация координатных алгебр над Fr

5.1.2. Классификация неприводимых координатных алгебр над Fr

5.2. Алгоритмические проблемы

5.3. Алгебраические множества над Fr

5.3.1. Классификация неприводимых алгебраических множеств над алгеброй Fr

5.3.2. Произвольные алгебраические множества над Fr

5.3.2. Классификация алгебраических множеств в размерности один

5.3.3. Размерность

Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А . В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией.

Становление алгебраической геометрии над полем вещественных чисел относят к XVII веку, когда в геометрию было введено понятие координат, позволившее рассматривать геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическим соотношениям. Так, в геометрии на плоскости основным объектом алгебраической геометрии является плоская аффинная алгебраическая кривая -множество, заданное уравнением f(x,y) = 0, где / - многочлен от координат х и у, не являющийся константой. Кривые характеризуются в зависимости от их порядка, равного минимальной степени многочлена f(x,y) , задающего данную кривую. Для случая поля вещественных чисел существует классификация кривых первого, второго и третьего порядков. Основным объектом алгебраической геометрии в трехмерном вещественном пространстве является алгебраическая поверхность, то есть множество, заданное уравнением g(x,y,z) = 0 , где g - многочлен от координат х, у и z.

Изучение алгебраических кривых и поверхностей с неизбежностью привело > к «комплексификации координат». С начала XVIII века алгебраическим уравнениям сопоставляют множества комплексных решений, а затем и приходят к рассмотрению уравнений с комплексными коэффициентами. Изучение алгебраической геометрии над полем комплексных чисел привело к значительному развитию технического аппарата и теоретических оснований алгебраической геометрии. Так, например, обобщением понятий алгебраической кривой и алгебраической поверхности стало понятие алгебраического многообразия, то есть решения системы алгебраических уравнений от конечного числа переменных; среди алгебраических многообразий выделяют неприводимые; на многообразиях определяют рациональные функции, а между многообразиями -рациональные и бирациональные отображения; вводят понятия проективных и квазипроективных многообразий, понятие размерности многообразия и т. д. Оказалось, что большинство полученных на этом пути результатов не используют топологию поля комплексных чисел и могут быть интерпретированы для произвольного алгебраически замкнутого поля.

Алгебраическая геометрия над алгебраически замкнутым полем является наиболее простым случаем. В частности, здесь получена классификация алгебраических кривых и неособых проективных поверхностей в заданном классе бирациональной эквивалентности. Однако вскоре было замечено, что недостаточно ограничиться только алгебраически замкнутыми полями. В начале 20 века в работах А. Вейля, Зариского, Б. Л. Ван дер Вардена, Э. Нетер и других понятие алгебраической геометрии было обобщено на случай произвольного поля. Нагата пошел дальше, развив основания алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями.

Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма. К сожалению, для конкретных полей эта задача не поддается общему решению, но, тем не менее, она стимулирует изучать теорию, порождает большое количество работ и служит двигателем прогресса в этой области.

С 60-х годов XX века стала активно развиваться алгебраическая геометрия над конечными полями, которая получила применение в алгоритмических задачах теории чисел, например, в методе факторизации чисел.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами - это новое направление. На сегодняшний день оно представлено в основном алгебраической геометрией над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [2] и А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [10], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп. Однако предложенная в данных статьях система определений и набор основных результатов могут быть без труда перенесены на произвольную алгебраическую систему (без предикатов). Так, например, в препринте [24] нами были изложены элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы. Дана классификация координатных групп на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [9], К. И. Аппеля [1], Р. Брайнта [3], Г. С. Маканина [17], А. Разборова

13, 18], В. Н. Ремесленникова [19], Р. И. Григорчука и П. Ф. Курчанова [5], 3. Селы [16],

A. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [11, 12]. Завершающий результат был получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [6, 7, 8].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [4], В. Н. Ремесленникова [20],

B. Ремесленникова и Р. Штёра [14,15], В. Н. Ремесленникова и Н. С. Романовского [21, 22], В. Н. Ремесленникова и Е. И. Тимошенко [23].

Работа над созданием алгебраической геометрии над алгебрами Ли над полем началась сравнительно недавно. Перед тем, как очертить результаты, полученные в этом направлении, приведем вкратце основные определения и обозначения алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Пусть А - фиксированная алгебра Ли над фиксированным полем к и X = {лг,,.,дгп} - набор неизвестных. Тогда пространство А" называется аффинным «-мерным пространством. Алгебра А[Х] = А * Р(Х), где * - знак свободного лиева произведения алгебр Ли, а Р (Х) - свободная алгебра Ли, порожденная множеством X, называется свободной А -алгеброй, а ее элементы - многочленами. Приравнивая многочлены к нулю, получаем уравнения над алгеброй А . Если / еА[Х], то корнем многочлена / называется любой набор элементов а} ,.,ап е А, для которых /(а],.,ая) = 0. Произвольное подмножество 5с А[Х] называется системой уравнений. Решение У(Я) системы Я - это множество всех точек (а],.,ап)е А", каждая из которых - корень одновременно всех многочленов из системы 5. Множества У(Л') решений систем уравнений называются алгебраическими над алгеброй Ли А. Радикал системы 51 (или алгебраического множества У(5")) - это максимальная система уравнений эквивалентная 5, где эквивалентность систем 5 и 5' определяется равенством У(5) = У(Я'). Координатной алгеброй системы 5 (или алгебраического множества У(5)) называется факторалгебра Г(5) = ДХ^Иас^). Под основной задачей алгебраической геометрии над алгеброй А мы понимаем задачу классификации всех алгебраических множеств над А. Так же, как и в алгебраической геометрии над полем, здесь справедлива теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр. Этот результат является основанием для трех эквивалентных подходов к решению основной задачи алгебраической геометрии над А : • Классификация алгебраических множеств над А;

• Классификация радикальных идеалов алгебры А[X];

• Классификация координатных алгебр над А.

Среди всех алгебр Ли выделяют алгебры нетеровы по уравнениям и области, алгебраическая геометрия над которыми имеет ряд приятных особенностей, связанных с топологией Зариского на аффинном пространстве А". Здесь, как и в классическом случае, топология Зариского определяется через предбазу замкнутых множеств, состоящую из всех алгебраических множеств. Алгебра А называется нетеровой по уравнениям, если любая система уравнений 8 а А[Х] эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Любая конечно порожденная метабелева (а также нильпотентная) алгебра Ли является нетеровой по уравнениям.

Алгебраическая нетеровость соответствует нетеровости геометрической, а именно: алгебра А нетерова по уравнениям тогда и только тогда, когда п -мерное аффинное пространство А" нетерово (в топологическом смысле) при всех натуральных п. Алгебраическое множество Кс / называется неприводимым, если оно непредставимо в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств; координатная алгебра неприводимого алгебраического множества называется неприводимой. Справедлива теорема о том, что если алгебра А - нетерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество над А представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств, причем такое представление однозначно с точностью до перестановки компонент и откидывания лишних. Таким образом, основная задача алгебраической геометрии над нетеровой по уравнениям алгеброй А разбивается на две подзадачи:

• Классификация неприводимых алгебраических множеств над А ;

• Решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?

Алгебра Ли А называется областью, если в ней нет делителей нуля, то есть таких ненулевых элементов хеА, для которых существует ненулевой уеА, такой, что идеалы ¡<1 < х > и ¡с1 <^> коммутируют. Полуобластями мы называем алгебры Ли, в которых делители нуля содержатся в том или ином идеале (например, в коммутанте или радикале Фиттинга). Если А - область, то любое пересечение и любое конечное объединение алгебраических множеств над А является алгебраическим множеством, поэтому семейство всех замкнутых в топологии Зариского множеств совпадает с классом всех алгебраических множеств. Свободная алгебра Ли является областью. Любое конечномерное линейное подпространство свободной алгебры Ли является алгебраическим множеством. Алгебраическое множество мы называем ограниченным, если оно по каждой своей координате вмещается в некоторое конечномерное линейное пространство.

В алгебраической геометрии над алгеброй Ли А выделяют три основных аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический (описание координатных алгебр на языке теоретико-модельных классов). Так, например, если алгебра А нетерова по уравнениям, то логический аспект выражается теоремой о том, что семейство координатных алгебр над А совпадет с классом конечно порожденных алгебр из квазимногообразия qvar(A), порожденного алгеброй А , а семейство неприводимых координатных алгебр совпадает с классом конечно порожденных алгебр из универсального замыкания ис1( Л), порожденного алгеброй А.

На сегодняшний день накопленные результаты по алгебраической геометрии над алгебрами Ли в основном относятся к двум областям исследований: к алгебраической геометрии над свободной метабелевой алгеброй Ли конечного ранга г надполем & ик алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли Ьг конечного ранга г над полем к. Из полученных здесь результатов и представленных работ перечислим следующие:

1. Построена алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли над конечным полем к. Соответствующая теория и является содержанием данной работы. К этой тематике относятся статьи Э Ю. Данияровой, И. В. Казачкова, В. Н. Ремесленникова [26, 27, 28] и Э. Ю. Данияровой [25]. Главными итогами перечисленных работ является классификация координатных алгебр над ^ и неприводимых координатных алгебр, аксиоматическое описание квазимногообразия и универсального замыкания, порожденных алгеброй Рг, доказательство алгоритмической разрешимости квазиэквациональной и универсальной теории алгебры ^, а также проблемы разрешимости систем уравнений над Ег.

2. Описаны ограниченные алгебраические множества над свободной алгеброй Ли ¡,г над любым полем к и все алгебраические множества в размерности один. В работе Э. Ю. Данияровой и В. Н. Ремесленникова [30] показано, что существует взаимно однозначное соответствие между ограниченными алгебраическими множествами над алгеброй Ьг и алгебраическими множествами над основным полем к. Отсюда следует, что алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли устроена достаточно сложно и включает в себя всю теорию алгебраической геометрии поля к. Оказалось, что результаты работы [30] без изменений перекладываются на случай свободной антикоммутативной алгебры Аг ранга г. Алгебраическая геометрия над алгебрами Ьг и Аг в настоящее время продолжает активно изучаться.

3. Исследованиям областей, полуобластей, делителям нуля в свободных произведениях алгебр Ли посвящены работы И. В. Чиркова и М. А. Шевелина [31] и Э Ю. Данияровой, И. В. Казачкова, В. Н. Ремесленникова [29].

В данной работе мы ставим перед собой задачу определить понятия алгебраической геометрии над алгебрами Ли и построить алгебраическую геометрию над свободной метабелевой алгеброй Ли Ь\ конечного ранга г над полем к, классифицировать координатные алгебры над и неприводимые координатные алгебры. Провести описание данных алгебр разными способами, в том числе, дать аксиоматическое и структурное описание.

В качестве методов исследования использовались теория алгебр Ли, теория моделей и математическая логика, теория коммутативных колец многочленов и модулей над ними, а также алгебраическая геометрия над алгебрами Ли.

Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим некоторые из них в порядке появления в работе:

1) сформулированы основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли;

2) построена теория (^-модулей над кольцами многочленов и доказана теорема о примарном разложении (^-модулей в категории (^-модулей;

3) построена теория метабелевых С>-алгебр Ли и доказана теорема о примарном разложении О-алгебр в категории С)-алгебр;

4) получено аксиоматическое описание квазимногообразия, порожденного всеми (¿-алгебрами, и универсального класса, порожденного примарными (¿-алгебрами;

5) найдены рекурсивные списки аксиом, порождающие квазимногообразие

ЯУаг(/^,) и универсальное замыкание ис1(/^) свободной метабелевой алгебры Ли

6) доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры Fr\

7) доказана алгоритмическая разрешимость проблемы совместности систем уравнений над алгеброй Fr;

8) описаны неприводимые алгебраические множества над алгеброй Fr;

9) описаны алгебраические множества в размерности один над алгеброй Fr;

10) построена теория размерности алгебраических множеств над Fr. Результаты 4)-10) справедливы только в случае конечного основного поля.

Работа носит теоретический характер. Получена классификация координатных алгебр над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr конечного ранга над конечным полем и классификация неприводимых координатных алгебр. Доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры Fr. Результаты данной диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по алгебраической; геометрии над алгебрами Ли, по подготовке учебных пособий.

Результаты работы докладывались на семинарах кафедр алгебры МГУ (Москва,. 2002), НГУ (Новосибирск, 2003), ОмГУ, Конгрессе "Роль математики в 21 веке" (Новосибирск, 2003), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва, 2004), Международной конференции "The Canadian Mathematical Society Winter 2004 Meeting" (Монреаль, Канада, 2004).

Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 27, 28]. Работы [26, 27, 28] выполнены совместно с И. В. Казачковым и В. Н. Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на 193 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам. Список литературы содержит 47 наименований.

1. AppelK. I. One-variable equations in free groups II Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918,1968.

2. Baumslag G., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory II J. Algebra, 219 , pp. 16-79, 1999.

3. Bryant R. The verbal topology of a group I I J. Algebra, 48, pp. 340-346, 1977.

4. Chapuis О. У -free metabelian groups II J. Symbolic Logic 62, pp. 159-174,1997.

5. Grigorchuk R. I., Kurchanov P. F. On quadratic equations in free groups И Gontemp. Math., 131(1), pp. 159-171,1992.

6. Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group I: irreducibilily of quadratic equations and Nullstellensatz И J. Algebra, 200, pp. 472-5166 1998.

7. Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups I I J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

8. KharlampovichO., Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points II Contemp. Math., 378, pp. 213-318,2005.

9. Lyndon R. C. Groups with parametric exponents II Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533,1960.

10. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups II: Logical Foundations И J. Algebra, 234, pp. 225-276,2000.

11. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups 2: extension of centralizers and tensor completion of csa-groups II International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687-711, 1996.

12. MyasnikovA., Remeslennikov V, SerbinD. Regular free length functions on Lyndon's freeZ(t)-group FZ(,) // Contemp. Math., 378, pp. 37-77,2005.

13. Razborov A. On systems of equations in a free groups II Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

14. Remeslennikov V., Stohr. R. On algebraic sets over metabelian groups II J. Group Theory, 8,pp. 491-513,2005.

15. Remeslennikov V., Stohr. R. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group II Algebra Colloq., 11, pp. 191-214,2004.

16. SelaZ. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams 11 Publications Mathematiques de 1'IHES, 93,pp. 31-105, 2001.

17. Маканин Г. С. Уравнения в свободной группе II Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 46, № 6, С. 1199-1273, 1982.

18. Разборов А А. О системах уравнений в свободной группе II Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 48, №4, С. 779-832, 1982.

19. Ремесленников В. Н. Е-свободные группы II Сиб. мат. журн., Т. 30, № 6., С. 153-157, 1989.

20. Ремесленников В. Н. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой II Фундам. и прикл. мат., Т. 7, С. 873-885, 2000.

21. Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О метабелевых произведениях групп II Алгебра и логика, Т. 43, № 3, С. 341-352,2004.

22. Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О неприводимых множествах в метабелевых группах II Алгебра и логика, Т. 44, № 5, С. 601-621, 2005.

23. Ремесленников В. Н., Тимошенко Е. И. О топологической размерности и-групп II Сиб. мат. журн., принята к печати, выйдет в Т. 47, № 2,2006.По алгебраической геометрии над алгебрами Ли, работы по теме диссертации

24. Даниярова Э. Ю. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли И Препринт № 131, Новосибирск: РАН Сиб. Отд-ние, Ин-т математики, 33 е., 2004.

25. Даниярова Э. Ю. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй JIu III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств II Препринт, Омск: Изд-во ОмГУ, 130 с, 2005.

26. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и А-модули И Препринт № 34, Омск: ОмГАУ, 2001.

27. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и универсальные классы И Фундам. и прикл. мат., Т. 9, № 3, С. 37-63, 2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/rus/k03/k033/

28. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли II: Случай конечного поля И Фундам. и прикл. мат., Т. 9, № 3, С. 65-87,2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/rus/k03/k033/

29. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Полуобласти и метабелевы произведения метабелевых алгебр Ли И Итоги науки и техники, сер. «Современная математика», принята к печати. Английский перевод Journal of Mathematical Sciences.

30. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов // М.: Мир, 1972.

31. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий //, Новосибирск, Научная книга, 1999.

32. Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей IIМ.: Мир, 1977.

33. Мальцев А. И. Алгебраические системы // М.: Наука, 1970.

34. Справочная книга по математической логике. Часть 1. Теория моделей IIМ.: Наука, С. 1-392, 1982.По теории алгебр Ли

35. Artamonov V. A. The categories of free metabelian groups and Lie algebras II Commentationes mathematicae universitatis Carolinae, 18(1), pp. 142-159,1977.

36. Артамонов В. А. Проективные метабелевы алгебры JIu конечного ранга II Изв. Акад. Наук СССР, сер. мат., Т. 36, С. 510-522, 1972.

37. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах JIu IIМ: Наука, 1985.

38. Ширшов А. И. Избранные труды, Кольца и алгебры // М: Наука, 1984.

39. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп II Труды московского математического общества, Т. 29, С. 247-260,1973.По коммутативной алгебре и топологии

40. Ленг С. Алгебра IIМ.: Мир, 1968.

41. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра И М.: Мир, 1971.

42. Келли Дж. Л. Общая топология IIМ.: Наука, 1981.Ссылки на статьи, содержащие алгоритмические проблемы

43. Seidenberg A. Constructions in algebra II Trans. Amer. Math. Soc., 197, pp. 273-313, 1974.

44. Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах II Сиб. мат. журн., Т. 20, № 3, С. 671-673, 1979.